1. No category

TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA
Harjoitus 6 syksy 2015
1.
Piirrä kaikki ei-isomorfiset 6 pistettä sisältävät puut.
Ratk.
2.
Juurrettu puu on binääripuu, jos jokaisella pisteellä on korkeintaan 2 lasta. Montako pistettä enintään on k:n korkuisella binääripuulla. Montako lehteä?
Ratk.
3.
Tietokoneverkko voidaan esittää graafina, missä pisteet kuvaavat tietokoneita ja viivat kuvaavat
suoria yhteyksiä. Jokaisella tietokoneella v on osoite eli bittijono α(v). Osoitteen pituus on bittien
lukumäärä osoitteessa. Viestiä, joka on tarkoitettu tietokoneelle v, edeltää aina v:n osoite. Kahden
samanpituisen osoitteen Hamming-etäisyys h(α(u), α(v)) on niiden osoitteen bittien lukumäärä,
joissa kyseiset osoitteet eroavat. Esimerkiksi h(00100, 11101) = 3.
Graafi on osoitettavissa oleva(addressable), jos sen pisteille voidaan muodostaa sellainen osoitteisto,
missä
dG (u, v) = h(α(u), α(v)).
Osoita, että jokainen puu T = (V, E) on osoitettavissa oleva ja puun pisteiden osoitteiden pituudeksi
voidaan valita |V |-1.
Ratk.
4.
Olkoon T graafin G virittävä puu. Osoita, että aina kun viiva e on graafin G viiva, mutta ei puun
T viiva, niin graafi joka saadaan lisäämällä e puuhun T sisältää täsmälleen yhden piirin.
Ratk.
Oletus: Puu T virittää graafin G, viiva e ∈
/ ET , e ∈ EG .
Väite: Graafi T + e sisältää täsmälleen yhden piirin.
Tod. Olkoon |VT | = n.
T + e ei ole puu, mutta on yhtenäinen graafi, joten T + e sisältää ainakin yhden piirin.
Olkoon C piiri , C ⊆ T + e. Selvästi e on C:n viiva. Poistetaan graafista T + e piirin C sellainen viiva
e0 , että e0 6= e.
Selvästi graafi T 0 = (T + e) − e0 on yhtenäinen ja T 0 sisältää n pistettä ja
|ET | − 1 + 1 = |ET | = |VT | − 1 = n − 1 .
Vastaoletus: T + e sisältää ainakin 2 piiriä.
Jos T + e sisältää 2 piiriä, niin T 0 sisältää ainakin yhden piirin.
Silloin T 0 :sta voidaan poistaa jokin viiva e00 niin, että T 00 = T 0 − e00 on yhtenäinen graafi.
Silloin T 00 :ssa on n pistettä ja n − 2 viivaa.
Siis T 00 virittää G. Koska |ET 00 | < |ET | ja T sekä T 00 virittävät G:n, on T 00 puu.
Tämä on ristiriita, sillä T 00 :ssa on n pistettä ja n − 2 viivaa.
Vastaoletus on epätosi, eli Väite on voimassa.
5.
Onko graafi D = (VD , ED ), missä VD = {a, b, c, d, f } ja ED = {af, bc, bd, bf, cb, cf, db, dc, df }, yhtenäinen, unilateraalinen tai vahvasti yhtenäinen. Määrää D:n pisteiden tulo- ja lähtöasteet.
Ratk.
6.
Määrää hyperkuution Q3 vahvasti yhtenäinen orientaatio.
Ratk.
7.
Voiko vahvasti yhtenäisen orientaation sisältävä graafi sisältää irrotuspisteen?
Ratk.
8.
Suunnattu graafi on asyklinen, jos se ei sisällä suunnattua piiriä. Osoita, että asyklinen suunnattu
graafi sisältää pisteen, jonka tuloaste on 0.
Ratk. Oletus: D = (VD , ED ) on asyklinen suunnattu graafi.
I
Väite: degD
(v) = 0 jollakin pisteellä v ∈ VD .
∗
Tod. Olkoot P : v → u D:n pisin suunnattu polku.
I
Vastaoletus: degD
(v) > 0
Vastaoletuksen perusteella on olemassa D:n suunnattu viiva xv jollakin pisteellä x ∈ VD , x 6= v.
∗
Jos x ei esiinny suunnatussa polussa P , niin polku (xv)P eli polku x → v → u on pidempi kuin P .
Tämä on ristiriita, koska P oli pisin.
∗
Jos piste x esiintyy polussa P , niin D sisältää suunnatun piirin x → v → x.
Tämä on ristiriita, koska D oli asyklinen.
Siis Vastaoletus on epätosi ja Väite on voimassa.
9.
Olkoon aakkosto V = {0, 1}. Mitkä seuraavista kielistä sisältävät sanan 01110?
a) {0, 1}∗ b){01}{1}∗ {10} c) {000}∗ {1}∗ {0}+ {11}∗ {0}∗ d) {00}∗ {10}∗ e) {{0}∗ {1}∗ {0}∗ }+ .
Ratk. a) {0, 1}∗ sisältää kaikki bittijonot. Siis 01110 ∈ {0, 1}∗
b) 01110 = 0111 10 ∈ {01}{1}∗ {10}
c) Kielen {000}∗ {1}∗ {0}+ {11}∗ {0}∗ sanoissa on pariton määrä 1:iä peräkkäin vain kun sana alkaa
000:lla tai 1:llä. Siis 01110 ∈
/ {000}∗ {1}∗ {0}+ {11}∗ {0}∗ .
/ {00}∗ {10}∗
d) 11 ei ole osasanana kielen {00}∗ {10}∗ sanoissa. Siis 01110 ∈
3
∗
∗
∗
∗
∗
∗ +
e) 01110 = 01 0 ∈ {0} {1} {0} . Siis 01110 ∈ {{0} {1} {0} }
10. Määrää säännölliset ilmaisut seuraaville aakkoston {a, b} kielille. Muunna saamasi säännöllinen ilmaisu R sen määräämäksi säännölliseksi kieleksi L(R).
a) Sanat, jotka alkavat sanalla aba ja loppuvat kirjaimeen b.
b) Sanat, joiden pituus on jaollinen 3:lla.
c) Sanat, joissa esiintyy osasanana sana abba.
d) Sanat, joissa esiintyy pariton määrä kirjainta a.
Ratk. a) aba(a + b)∗ ba
{aba}{a, b}∗ {ba}
b) (aaa + aab + aba + baa + abb + bab + bba + bbb)∗
{aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb}∗ .
∗
Toinen ratkaisu ((a + b)(a + b)(a + b)) .
c) (a + b)∗ abba(a + b)∗
{a, b}{aba}{a, b}∗ .
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗
d)b ab (b ab ab )
{b} {a}{b}∗ {{b}∗ {a}{b}∗ {a}{b}∗ }∗
11. Yksinkertaista alla olevat aakkoston {a, b}säännölliset ilmaisut ja muunna ne säännöllisiksi kieliksi.
a) λ + ab + abab(ab)∗
b) aa(b∗ + a) + a(ab∗ + aa)
c) b + ab∗ + aa∗ b + aa∗ ab∗ .
Ratk. a) λ + ab + abab(ab)∗ = (ab)∗
{ab}∗
b) aa(b∗ + a) + a(ab∗ + aa) = a∗ (b + ab∗ )
{a}∗ ({b} ∪ ({a}{b}∗ )).
c) b + ab∗ + aa∗ b + aa∗ ab∗ = b + aa∗ b + ab∗ + aa∗ ab∗ = a∗ b + aa∗ b∗ = a∗ (b + ab∗ )
{a}∗ ({b} ∪ ({a}{b}∗ ))