Optimoinnin haasteet ja hyödyt
− esimerkkejä elävästä elämästä
Prof. Marko M. Mäkelä
Turun yliopisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Turku Optimization Group (TOpGroup )
Johtaja:
- Marko M. Mäkelä
Tutkijat:
- Stefan Emet
- Yury Nikulin
- Napsu Karmitsa
Jatko-opiskelijat:
- Outi Wilppu
- Kaisa Joki
- Ville-Pekka Eronen
- Olga Karelkina (väit. 18.12.2012)
- Seppo Pulkkinen (väit. 5.12.2014)
- Vladimit Korotkov (väit 20.2.2015)
Turku Optimization Group (TOpGroup )
Optimointialat:
-
epäsileä optimointi
monitavoiteoptimointi
globaali optimointi
diskreetti optimointi
sekalukuoptimointi
robusti optimointi
Teoriaa, menetelmiä ja sovelluksia!
Yhteistyökumppanit
Kansalliset:
-
Åbo Akademi
Aalto yliopisto
Jyväskylän yliopisto
Tampereen teknillinen yliopisto (Pori)
Kansainväliset:
-
University of Ballarat, Australia
University of Southern Denmark
Belarusian State University, Minsk, Belarus
Imperial College London, United Kingdom
Federal University of Rio de Jaineiro, Brazil
Polish Academy of Sciences, Warsaw, Poland
Witwatersrand University, Johannesburg, South Africa
Academy of Sciences, Czech Republic
Universidad Católica de la Ssma. Concepción, Chile
Pontificia Universidad Catolica de Chile
Matemaattinen mallintaminen
• mallinnus = ilmiön kuvaamista matemaattisten yhtälöiden avulla
• simulointi = ilmiön matkimista tietokoneella
• optimointi = parhaan ratkaisun etsimistä annetuissa olosuhteissa
Fysikaalinen ilmiö
Matemaattinen malli
Numeerinen malli
Tulosten analysointi
Optimointi:
Parhaan mahdollisen ratkaisun etsimistä
sallituissa olosuhteissa
• lyhimmän reitin ongelma, kauppamatkustaja
• lukujärjestys, aikataulut, pakkausongelma, selkäreppu
• tukiasemien sijoittelu
• teiden linjaus, reititys
• tuotantolinjan optimisäätö
• minimikustannukset, maksimivoitto, jne.
Optimointitehtävä matemaattisesti:
Minimoi/maksimoi f (x)
siten että x  S ,
missä
• x on (päätös, suunnittelu, kontrolli, säätö)muuttuja,
• f on kohde(objekti, kriteeri, kustannus, hyöty)funktio,
• S on sallittujen pisteiden joukko (sallittu joukko,
rajoitejoukko, käypä joukko, sallittu alue, jne.).
Lisäksi:
• parametrit, esim. f (x) = xTQx
• indeksit, esim xijk
Optimointialoja:
• Lineaarinen optimointi (LP)
• Epälineaarinen optimointi (NLP, mathematical programming)
• Konveksi optimointi
• Kvadraattinen optimointi (QP)
• Diskreetti (kokonaisluku) optimointi
• Sekalukuoptimointi (MILP/MINLP)
• Kombinatorinen optimointi
• Stokastinen optimointi (vs. deterministinen)
• Sumea optimointi
• Robusti optimointi
• Dynaaminen optimointi
• Globaali optimointi
• Epäsileä optimointi
• Monitavoiteoptimointi
• Geometrinen optimointi
• Variaatiolaskenta
• Kontrolliteoria, (Optimi)säätöteoria
• Portfolio-optimointi
• Semi-ääretön optimointi (semi-infinite programming, SIP)
• Semidefiniitti optimointi (SDP)
• Fraktionaalinen optimointi (FP)
• jne
Turun saariston yhteysalusverkosto:
Yhteysalusverkon reititys- ja aikataulutusongelma
• optimointikriteerit:
 käyttökustannukset (min)
 palvelutasot (max)
• päätösmuuttujat - vastaavat mm. seuraaviin kysymyksiin:





Ajaako tietty alus tietyn reitin tiettyyn aikaan? (bin)
Käytetäänkö tiettyä alusta tiettynä vuodenaikana? (bin.)
Liikennöikö tietty alus kahdella miehistöllä? (bin)
Kuinka monta kysyntäyksikköä tietty alus kuljettaa? (kok.luku)
Kuinka suuri palvelutaso tietyllä reitillä saavutetaan? (jatkuva) jne.
• rajoitukset:
 alus vain yhdellä reitillä kerrallaan, kapasiteetit, työaikalainsäädäntö, jne.
• parametrit:
 alusten nopeudet, reittien pituudet, aikarajat, polttoaineen hinnat, jne.
…
1. päätös: Ajaako Eivor Utön reitin kesällä maanantaiaamuisin?
2 vaihtoehtoa
2. päätös: Ajaako Eivor Utön reitin kesällä maanantai-iltaisin?
4 vaihtoehtoa
3. päätös: Ajaako Eivor Utön reitin talvella maanantai-iltaisin?
8 vaihtoehtoa
4. päätös: Ajaako Finnö Utön reitin talvella maanantai-iltaisin?
16 vaihtoehtoa
5. päätös: Ajaako Finnö Paraisten reitin talvella maanantai-iltaisin?
32 vaihtoehtoa
…
…
20. päätös: Ajaako Cheri Paraisten reitin kesällä maanantai-iltaisin?
yli miljoona vaihtoehtoa
Matemaattiset haasteet (vs. LP-malli)
• epälineaarisuus
 transformaatiotekniikat (vs. linearisointi)
• monitavoitteisuus
 skalarisointi (rajoiteyhtälömenetelmä)
 sarja yksitavoitteisia MILP-tehtäviä
• sekalukutehtävä
 haaroitusmenetelmä (branch & bound)
 relaksointi
sarja jatkuvia LP-tehtäviä
• tehtävän koko
 300 miljoonaa päätösmuuttujaa
 1 miljoona diskreettiä muuttujaa
'eksponentiaalisen kasvun kirous'
Monitavoitteinen lineaarinen sekalukutehtävä:
min c1Tx + c2Ty + c3Tz
max s1Tx + s2Ty + s3Tz
(kustannukset)
(palvelutasot)
siten että
A1x + A2y + A3z ≤ b,
x ≥ 0, z ≥ 0,
n
k
x  R , yi  {0,1} kaikilla i=1,…, m ja z  Z .
• ei ratkea nykypäivän parhailla supertietokoneillakaan!!!
 pienemmät ratkeavat osamallit ( ~ tuhansia muuttujia)
 uuden aluksen hankinta (ominaisuudet)
• GAMS & ILOG CPLEX®
• satsaus tulevaisuuteen
Ensihoidon optimaalinen järjestäminen
Ambulanssien kiinteiden sijoituspaikkojen optimointi
Tavoitteet:
•
•
palveluvutasot, saavutettavuus (max)
kustannukset (min)
Mallit:
•
•
monitavoitteinen diskreetti optimointimalli
paikkatietokantapohjainen malli
Sahahakkeen laadun optimointi
 Uusiutuva biopolttoaine
 Sahahaketta ja purua 15 %
 Seulonta: 6 kokoluokkaa, loput purua
 Laatuluokat (asiakaskohtaiset)
 Tehtävä: optimoi hakkeen koostumus (laatu/määrä)
 Matemaattinen malli: LP-tehtävä
 Numeerinen malli: Simplex-menetelmä (Lingo)
 Ratkaisu: ylisuuri- ja hienojae seulotaan kokonaan pois,
tikkujae kokonaan mukaan, ylipaksujakeesta pois 35 %
 Herkkyysanalyysi: pullonkaulana laatuarvon yläraja
Kuormauslavan pakkausongelma
 3D-pakkausongelma
 Manuaalinen pakkaus
automatisoitu robottilinja
 Tavoitteet:
 täyttöasteen maksimointi
 stabiilisuuden maksimointi
 Kaksitasoinen optimointi:
 Pakkausjärjestys (Geneettinen algoritmi)
 Pakkaaja (pakkausheuristiikka)
Paperinvalmistuslinjan mallinnus ja
optimointi
Tavoitteet:
•
•
hyvälaatuinen lopputuote (paperi)
koneen maksimaalinen ajettavuus
Malli:
•
monifysikaalinen (kytketty) malli
- virtausdynamiikka (Navier-Stokes)
- tilastolliset mallit
Häivetekniikkaan perustuvan lentokoneen
muodonoptimointi
Tavoitteet:
•
•
mahdollisimman heikko tutkakaiku
mahdollisimman hyvät aerodynaamiset
ominaisuudet
Malli:
•
monifysikaalinen malli
- virtausdynamiikka (Navier-Stokes)
- sähkömagneettinen säteily (Maxwell)
- lujuuslaskenta (Hooken laki)
Metsätyökoneiden optimaalinen
muodonsuunnittelu
Tavoitteet:
•
•
•
•
•
•
tehokkuus
tuotantokustannukset
ergonomiset kriteerit
ekologiset kriteerit
psygologinen kriteeri
paino
Malli:
•
•
analyyttinen malli (lujuuslaskenta)
FEM-malli
Optimointi:
•
•
•
epäsileä ja epäkonveksi
monitavoitteinen
rajoitteet
Tulokset:
•
•
•
Metsätyökoneiden optimaalinen
muodonsuunnittelu
puomien painosta pois ≈ 20 %
automatisoitu tuotantoprosessi
ohuempi materiaali
helpompi työstää
Muita sovelluksia:
- teräksen jatkuvavalu
- EMF-kalvoon perustuvan litteän kaiuttimen muodonoptimointi
- ultraäänilähettimen muodonoptimointi
- aktiivinen meluntorjunta
- sädehoidon suunnittelu
- tietoliikenneverkon kapasiteetin optimointi
- piirilevyjen suunnittelu
- sokeriteollisuuden erotteluongelmat
- lentokentän toiminnan suunnittelu
- konttilaivaston logistiikka
- sataman konttikentän mallinnus ja simulointi
- ennakoiva huolto (Preventive Maintenance)
Optimoinnin haasteet:
•
Reaalimailman epäjatkuvuus
 Epäsileä optimointi
•
Reaalimaailman epäkonveksisuus
 Globaali optimointi
 Metaheuristiikat ja hybridimenetelmät
•
Useita ristiriitaisia tavoitteita
 Monitavoiteoptimointi
•
Sekä jatkuvia että diskreettejä muuttujia
 Sekalukuoptimointi
•
Suuret tehtävät (Big Data)
 Menetelmien tehostaminen
 Vastepinta- ja metamallit
•
Suurempien kokonaisuuksien hallinta
 Monitieteiset (Multidisciplinary) mallit
•
Epätarkka tai puutteellinen data
 Epävarmuuden käsittely,
 Robusti- ja stokastinen optimointi
 Herkkyys- ja stabiilisuusanalyysi
Optimoinnin hyödyt:
•
Paremmat (optimaaliset) lopputuotteet
•
Tuotantoprosessien (ml. logistiikka, varastonhallinta, huolto) tehostuminen
 Kilpailukyvyn lisääntyminen
•
Suurempien kokonaisuuksien hallinta
 Ilmiöiden ja prosessien ymmärryksen lisääntyminen
 Uudet innovaatiot
•
Optimoinnin ulottaminen liikkeenjohdon tasolle
 Älykkäät päätöksenteon tukijärjestelmät
Tutkimusyhteistyö
Työn tilaaja
 yritys
 julkisyhteisö (kaupunki, kunnat,...)
 tutkimuslaitos
Työn toteutus
 opinnäytetyö
 tutkimusprojekti (Tekes, EU)
 tilaustutkimus
Opinnäytetyö
 työn muoto (pro gradu, kanditutkielma, mallinnusprojekti,…)
 rahoitus
 ei rahaliikennettä
 ulkopuolinen palkkatyö
 tutkimusprojekti
 (apuraha)
 aikataulu
 työn julkisuus
 tulokset ↔ opinnäyte
SMAT5216 Mallinnusprojekti 8 – 12 op
Tavoitteet:
• mallintaa ja ratkaista joku reaalimaailman matemaattinen ongelma
• omaksua työelämässä käytetyn projektityöskentelyn periaatteet
Ajoitus: Syventävät opinnot, 3.– n. vuosi
Arvostelu: 0 – 5 (tarvittaessa henkilökohtainen)
Soveltuvuus: MOS
Muoto ja suoritustapa:
• projektimuotoinen (2-4 henkilön) ryhmätyö
• projektisuunnitelman laadinta ja esittely
• muiden ryhmien suunnitelmien opponointi
• viikoittaiset projektipalaverit (kiertävä puheenjohtajuus, mukana ohjaaja ja tilaaja)
• palaverimuistiot (kiertävät sihteerin tehtävät)
• henkilökohtainen ajankäyttöpäiväkirja (tehdyt työt ja tunnit)
• projektikansio (suunnitelma, tutkimusraportti, muistiot, ohjelmistot, itsearviointi),
• loppuesitys (20-30 min., julkinen, ohjelmistodemo)
”Projektityö on välttämätöntä, sillä se antaa tekosyyn syyttää virheistä muita.”
Toteutuneita projekteja:
2007:
• Geneettiset vuorovaikutukset: mallinnus ja data-analyysi (GIN, Tero Aittokallio)
• Eläinten kuvionmuodostus (PILVI, Kalle Parvinen)
2009:
• Geneettisten interaktioiden mekanistinen mallinnus (GIM, Tero Aittokallio)
• Satamatoimintojen mallintaminen (SATAMA, MKK)
• MIMO-OFDM simulation and analysis (MIMOSA, IT-laitos)
2011:
• Symboliset laskimet yliopisto-opetuksessa (Symppis, Kalle Parvinen)
• Hengitysliikkeen mallinnus sydämen PET-kuvantamisessa (Help Pete, PET-keskus)
• Robust discerete optimization with fuzzy parameters (SPOFI, Yury Nikulin)
• Cross-docking satamaterminaalissa (SATAMA 2011, MKK)
• Sandwich-levyjen ääneneristävyyden mallinnus (Sämpylä, Työterveyslaitos)
2013:
• Hengitysgeittaus PET- ja TT-kuvantamisessa (PETLAB, PET-keskus)
• Konttilaivaston optimointia (CFO, Cargotec Finland Oy)
• Massajakauman mallinnus 3-D –pakkausongelmassa (MassMal, Kine Robotic
Solutions Oy)
Kiitos!