Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0 × 5.0 ja korkeus 3.0 ? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine on normaali ja lämpötila on 20◦ , jolloin ilman tiheys on n. 1.20 / 3. Huoneen sisältämän ilman massa: mair = ρair V = 1.20 / 3 · (4.0 · 5.0 · 3.0) 3 = 72 . m m m C kg m kg m m kg Ilman paino: wair = mair g = 72 kg · 9.80 m/s = 700 N 2 Eli tällaisen huoneen sisältämän ilman massa/paino vastaa varsin keskimittaisen ihmisen massaa/painoa. kg! Jos huoneen täyttäisi vedellä, niin sen massa olisi 6.0 × 104 Ts. pyöreillä numeroilla puhuttaessa vesi on noin tuhat kertaa tiheämpää kuin ilma. Sitten paineen kimppuun. p= F⊥ A → F⊥ = pA F⊥ = 1.013 × 105 Pa × 20 m2 = 2.0 × 106 N mikä vastaa 200 tuhannen kilon massan aiheuttamaa painoa! Miksi lattia ei romahda kasaan? Esimerkki 12.2 m Vettä seisoskelee 12.0 syvässä säiliössä, jonka katto on avonainen. Mikä on absoluuttinen paine ja mittapaine säiliön pohjalla? Nyt siis h = 12.0 ja p0 = 1.01 × 105 . m Pa Absoluuttinen paine: p = p0 +ρgh = 1.01×105 Pa+1000 kg/m3 ·9.80 m/s2 ·12.0 m p = 2.19 × 105 Pa. Mittapaine: p − p0 = (2.19 − 1.01) × 105 Pa = 1.18 × 105 Pa. Esimerkki 12.3 U-kirjaimen muotoinen päistään avoin putki on täytetty osittain kahdella nesteellä vasemmanpuoleinen osa vedellä, oikeanpuoleinen öljyllä (joka ei sekoitu veteen). Nesteiden rajapinta on putken keskikohdalla. Mikä yhteys on nestepatsaiden korkeuksilla? Kummankin nesteosion pohjalla vallitsee sama paine p , sillä ne ovat yhteydessä ja tasapainossa, toisaalta molempiin vaikuttaa ylhäällä sama ilmanpaine p0 . Kummallekin nestepatsaalle voidaan kirjoittaa: p = p0 + ρwater ghwater ja p = p0 + ρoil ghoil . Nämä kaksi paineen lauseketta ovat siis yhtä suuret, joten hoil = ρwater ρoil hwater kg m Koska veden tiheys (ρwater = 1000 / 3 ) on suurempi kuin öljyn (ρoil ≈ 850 / 3 ), on hoil suurempi kuin hwater . kg m Esimerkki 12.4 kg m Jäävuori (ρj = 920 / 3 ) kelluu valtameressä 3 ρv = 1025 / ). Kuinka iso osa jäävuoresta on pinnan alla? Jäävuori kelluu, koska noste on yhtäsuuri kuin kappaleen paino. Arkhimedeen periaatteen mukaan noste on: kg m FB = mv g = ρv Vv g , missä Vv on jään syrjäyttämän vesimäärän tilavuus. Toisaalta jäävuoren paino on wj mj g = ρj Vj g , missä Vj on jäävuoren koko tilavuus. Koska meillä on nyt tasapainotilanne, FB = wj : ρj Vj g = ρv Vv g = → Vv Vj = ρj ρv = 920 kg/m3 = 0.8976 1025 kg/m3 Eli sopivalla tarkkuudella ilmaistuna 90% jäävuoresta on pinnan alla. Esimerkki 12.5 kg m ls Öljyä, jonka tiheys on 850 / 3 pumpataan tilavuusvirtausnopeudella 9.5 / putkeen, jonka halkaisija on 8.0 . a) Mikä on öljyn nopeus putkessa? b) Kun putki kapenee 4.0 halkaisijaltaan olevaksi, mikä on öljyn tilavuusvirtausnopeus? cm cm a) Kuten nesteet yleensäkin, öljy on käytännössä kokoonpuristumatonta. Ts. öljyn tiheys kautta tehtävän on ρ1 = 850 / 3 . Tilavuusvirtausnopeus: kg m dm dV dt ls = 9.5 / m 3 = 10−3 3 . Putken säde on nyt Yksi litra on 1.0 r1 = 4.0 , poikkipinta-ala taas A1 = πr12 , mikä on siis v1 ? cm dV dt v1 = 1 π · (0.04 = A1 v1 → v1 = dV A1 dt 1 −3 3 m)2 · 9.5 × 10 m /s = 1.9 m/s b) Nyt putken poikkipinta-ala pienenee kun säde muuttuu arvoon r2 = 2.0 . Jatkuvuusyhtälön mukaan tilavuusvirtausnopeus on vakio, joten cm A1 4.0 cm 2 ·1.9 m/s = 7.6 m/s A1 v1 = A2 v2 → v2 = v1 = A2 2.0 cm Esimerkki 12.6 Ison polttoainesäiliön poikkipinta-ala on A1 ja korkeus h . Nestepinnan yläpuolella on ilmaa paineessa p0 . Säiliön alaosassa on pieni reikä, jonka poikkipinta-ala on A2 . Johda yhtälö öljyn virtausnopeudelle ja tilavuusvirtausnopeudelle. Voimme tarkastella koko virtaavaa nestemäärää yksittäisenä vuoputkena kokoonpuristumatonta nestettä, jonka sisäinen kitka on olematon. Toisin sanoen voimme hyödyntää Bernoullin yhtälöä. Olkoon piste 1 nesteen pinnalla, piste 2 taas ulosvirtauspisteessä. Pisteessä 1 paine on p0 , jonka oletamme nyt olevan vakio tarkastelumme aikavälillä. Pisteessä 2 paine on sama kuin ilmakehän paine patm . Olkoo y = 0 ulosvirtauspisteessä, tällöin y1 = h ja y2 = 0. Koska reiän poikkipinta-ala on pieni verrattuna säiliön poikkipinta-alaan, säiliön pinta laskee hitaasti ja v1 voidaan olettaa likipitäen nollaksi. Soveltamalla Bernoullin yhtälöä saamme p0 + 1 1 2 ρv1 + ρgh = patm + ρv22 + ρg · 0 2 2 → v 2 2 = v 2 1 +2 p0 − patm ρ + 2gh Olettamalla nyt v1 = 0 saamme s v2 = 2 p0 − patm ρ + 2gh Tilavuusvirtausnopeus on puolestaan dV /dt = v2 A2 . Jos myös tankin yläosan ilma on ilmakehän paineessa, niin p p0 = patm ja saamme yksinkertaisesti v2 = 2gh. Tämä tulos tunnetaan nimellä Torricellin teoreema. Se pätee myös tilanteessa, jossa virtausaukko ei ole säiliön pohjassa, vaan on syvyydellä h oleva reikä säiliön kyljessä.
© Copyright 2024