Luvun 12 laskuesimerkit
Esimerkki 12.1
Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat
ovat 4.0 × 5.0
ja korkeus 3.0 ? Minkälaisen voiman ilma
kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine on normaali ja
lämpötila on 20◦ , jolloin ilman tiheys on n. 1.20
/ 3.
Huoneen sisältämän ilman massa:
mair = ρair V = 1.20 / 3 · (4.0 · 5.0 · 3.0) 3 = 72 .
m
m
m
C
kg m
kg m
m
kg
Ilman paino: wair = mair g = 72 kg · 9.80 m/s = 700 N
2
Eli tällaisen huoneen sisältämän ilman massa/paino vastaa varsin
keskimittaisen ihmisen massaa/painoa.
kg!
Jos huoneen täyttäisi vedellä, niin sen massa olisi 6.0 × 104
Ts. pyöreillä numeroilla puhuttaessa vesi on noin tuhat kertaa
tiheämpää kuin ilma.
Sitten paineen kimppuun.
p=
F⊥
A
→
F⊥ = pA
F⊥ = 1.013 × 105 Pa × 20 m2 = 2.0 × 106 N
mikä vastaa 200 tuhannen kilon massan aiheuttamaa painoa! Miksi
lattia ei romahda kasaan?
Esimerkki 12.2
m
Vettä seisoskelee 12.0
syvässä säiliössä, jonka katto on
avonainen. Mikä on absoluuttinen paine ja mittapaine säiliön
pohjalla?
Nyt siis h = 12.0
ja p0 = 1.01 × 105
.
m
Pa
Absoluuttinen paine:
p = p0 +ρgh = 1.01×105 Pa+1000 kg/m3 ·9.80 m/s2 ·12.0 m
p = 2.19 × 105 Pa.
Mittapaine:
p − p0 = (2.19 − 1.01) × 105 Pa = 1.18 × 105 Pa.
Esimerkki 12.3
U-kirjaimen muotoinen päistään avoin putki on täytetty osittain
kahdella nesteellä vasemmanpuoleinen osa vedellä,
oikeanpuoleinen öljyllä (joka ei sekoitu veteen). Nesteiden rajapinta
on putken keskikohdalla. Mikä yhteys on nestepatsaiden
korkeuksilla?
Kummankin nesteosion pohjalla vallitsee sama paine p , sillä ne ovat
yhteydessä ja tasapainossa, toisaalta molempiin vaikuttaa ylhäällä
sama ilmanpaine p0 . Kummallekin nestepatsaalle voidaan kirjoittaa:
p = p0 + ρwater ghwater
ja
p = p0 + ρoil ghoil .
Nämä kaksi paineen lauseketta ovat siis yhtä suuret, joten
hoil
=
ρwater
ρoil
hwater
kg m
Koska veden tiheys (ρwater = 1000
/ 3 ) on suurempi kuin
öljyn (ρoil ≈ 850
/ 3 ), on hoil suurempi kuin hwater .
kg m
Esimerkki 12.4
kg m
Jäävuori (ρj = 920
/ 3 ) kelluu valtameressä
3
ρv = 1025
/ ). Kuinka iso osa jäävuoresta on pinnan alla?
Jäävuori kelluu, koska noste on yhtäsuuri kuin kappaleen paino.
Arkhimedeen periaatteen mukaan noste on:
kg m
FB = mv g = ρv Vv g ,
missä Vv on jään syrjäyttämän vesimäärän tilavuus. Toisaalta
jäävuoren paino on
wj
mj g = ρj Vj g ,
missä Vj on jäävuoren koko tilavuus. Koska meillä on nyt
tasapainotilanne, FB = wj :
ρj Vj g = ρv Vv g
=
→
Vv
Vj
=
ρj
ρv
=
920 kg/m3
= 0.8976
1025 kg/m3
Eli sopivalla tarkkuudella ilmaistuna 90% jäävuoresta on pinnan alla.
Esimerkki 12.5
kg m
ls
Öljyä, jonka tiheys on 850
/ 3 pumpataan
tilavuusvirtausnopeudella 9.5 / putkeen, jonka halkaisija on
8.0
.
a) Mikä on öljyn nopeus putkessa?
b) Kun putki kapenee 4.0
halkaisijaltaan olevaksi, mikä on
öljyn tilavuusvirtausnopeus?
cm
cm
a) Kuten nesteet yleensäkin, öljy on käytännössä
kokoonpuristumatonta. Ts. öljyn tiheys kautta tehtävän on
ρ1 = 850
/ 3 . Tilavuusvirtausnopeus:
kg m
dm
dV
dt
ls
= 9.5 /
m
3 = 10−3
3 . Putken säde on nyt
Yksi litra on 1.0
r1 = 4.0 , poikkipinta-ala taas A1 = πr12 , mikä on siis v1 ?
cm
dV
dt
v1 =
1
π · (0.04
=
A1 v1 → v1 =
dV
A1 dt
1
−3
3
m)2 · 9.5 × 10 m /s = 1.9 m/s
b) Nyt putken poikkipinta-ala pienenee kun säde muuttuu arvoon
r2 = 2.0 . Jatkuvuusyhtälön mukaan tilavuusvirtausnopeus on
vakio, joten
cm
A1
4.0 cm 2
·1.9 m/s = 7.6 m/s
A1 v1 = A2 v2 → v2 = v1 =
A2
2.0 cm
Esimerkki 12.6
Ison polttoainesäiliön poikkipinta-ala on A1 ja korkeus h .
Nestepinnan yläpuolella on ilmaa paineessa p0 . Säiliön alaosassa on
pieni reikä, jonka poikkipinta-ala on A2 . Johda yhtälö öljyn
virtausnopeudelle ja tilavuusvirtausnopeudelle.
Voimme tarkastella koko virtaavaa nestemäärää yksittäisenä
vuoputkena kokoonpuristumatonta nestettä, jonka sisäinen kitka on
olematon. Toisin sanoen voimme hyödyntää Bernoullin yhtälöä.
Olkoon piste 1 nesteen pinnalla, piste 2 taas ulosvirtauspisteessä.
Pisteessä 1 paine on p0 , jonka oletamme nyt olevan vakio
tarkastelumme aikavälillä. Pisteessä 2 paine on sama kuin
ilmakehän paine patm . Olkoo y = 0 ulosvirtauspisteessä, tällöin
y1 = h ja y2 = 0. Koska reiän poikkipinta-ala on pieni verrattuna
säiliön poikkipinta-alaan, säiliön pinta laskee hitaasti ja v1 voidaan
olettaa likipitäen nollaksi. Soveltamalla Bernoullin yhtälöä saamme
p0 +
1
1 2
ρv1 + ρgh = patm + ρv22 + ρg · 0
2
2
→
v
2
2
=
v
2
1
+2
p0 − patm ρ
+ 2gh
Olettamalla nyt v1 = 0 saamme
s v2 =
2
p0 − patm ρ
+ 2gh
Tilavuusvirtausnopeus on puolestaan dV /dt = v2 A2 .
Jos myös tankin yläosan ilma on ilmakehän paineessa,
niin
p
p0 = patm ja saamme yksinkertaisesti v2 = 2gh. Tämä tulos
tunnetaan nimellä Torricellin teoreema. Se pätee myös
tilanteessa, jossa virtausaukko ei ole säiliön pohjassa, vaan on
syvyydellä h oleva reikä säiliön kyljessä.