EN UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet INF1080 — Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. desember 2015 Tid for eksamen: 08.15 – 12:15 Oppgavesettet er på 4 sider. Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler: Ingen SA M Eksamen i Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. RØ VE EK • Det er mulig å få 100 poeng totalt, og for hver oppgave er det angitt det maksimale antall poeng. • Det er mange oppgaver, så pass på at du bruker tiden din godt. Hvis du bruker 20 minutter på 10 poeng, så vil du ha 3 timer og 20 minutter til alle oppgavene, og da vil du ha 40 minutter til å se over alt til slutt. • Husk at det faktisk er noen som skal lese veldig nøye det du skriver. Sørg for at det du skriver er klart, tydelig og enkelt å forstå, både når det gjelder form og innhold. Sjekk at begrunnelsene dine er gode. • Lykke til! (Fortsettes på side 2.) Grunnleggende mengdelære (10 poeng) A = {1, 2} C = {{1}, {2}} B = {1, {1, 2}} D = {{1}, {1, 2}} E = {{2}} F = {∅, {1, 2}} [1 poeng] Er det slik at 1 ∈ A? [1 poeng] Er det slik at A ∈ B? [1 poeng] Er det slik at C ⊆ D? [1 poeng] Er det slik at E ⊆ F? [1 poeng] Regn ut B \ A. [1 poeng] Regn ut C ∩ D. [1 poeng] Regn ut E ∪ F. [1 poeng] Regn ut (A ∪ B) ∩ (C ∪ D). [2 poeng] Vi har at E ⊆ X og E 6= X for én av mengdene oppgitt i oppgaven. Hva er X? Forklar kort hvorfor det er slik. Oppgave 2 SA M (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) EN Oppgave 1 Utsagnslogikk (10 poeng) RØ VE EK La M være mengden som består av følgende to formler: P → Q og P → ¬Q. (a) [2 poeng] Avgjør om M er oppfyllbar eller ikke. Hvis M er oppfyllbar, gi en valuasjon som oppfyller M; hvis ikke, forklar hvorfor M ikke er oppfyllbar. (b) [2 poeng] Avgjør om M er falsifiserbar eller ikke. Hvis M er falsifiserbar, gi en valuasjon som falsifiserer M; hvis ikke, forklar hvorfor M ikke er falsifiserbar. La F stå for formelen (P → (Q → P)) → Q. (c) [2 poeng] Sett opp en sannhetsverditabell for F. (d) [2 poeng] Er F gyldig? Begrunn svaret ditt. (e) [2 poeng] Finn en formel med kun én utsagnsvariabel, som er ekvivalent med ¬F. Oppgave 3 Hypoteser og moteksempler (10 poeng) For hver av følgende påstander skal du finne ut om den er sann eller usann. Hvis du mener at påstanden er sann, gi et kort argument for hvorfor. Hvis du mener at den er usann, finn et moteksempel eller forklar hvorfor det ikke kan være slik. (a) [2 poeng] Det finnes en formel som er både oppfyllbar og falsifiserbar. (b) [2 poeng] Hvis A ⊆ B, så A ⊆ (B ∪ C). (c) [2 poeng] Hvis M og N er to ikke-tomme mengder, så finnes det alltid en funksjon f : M → N som er injektiv. 2 EN (d) [2 poeng] Formelen ¬(P → Q) er en logisk konsekvens av formelen (P ∧ ¬Q). (e) [2 poeng] Hvis funksjonene A og A 0 er definert på den samme mengden slik at A(X) = X ∪ {a} og A 0 (X) = X \ {a}, så er A og A 0 inverse funksjoner. Egenskaper ved funksjoner (10 poeng) SA M Oppgave 4 (a) [4 poeng] Forklar hva som skiller funksjoner fra relasjoner. Du må finne minst én egenskap som enhver funksjon har, men som ikke alle relasjoner har. (b) [4 poeng] Forklar hva det vil si at en funksjon er injektiv eller en-til-en. (c) [2 poeng] Har alle funksjoner en invers? Gi en kort begrunnelse. Oppgave 5 Kombinatorikk (10 poeng) La A være en mengde med tre elementer, og la B være en mengde med fire elementer. [2 poeng] Hvor mange elementer er det i A × B? [2 poeng] Hvor mange relasjoner finnes det fra A til B? [2 poeng] Hvor mange funksjoner finnes det fra A til B? [2 poeng] Hvor mange av disse funksjonene er injektive? [2 poeng] Regn ut 10 . 2 RØ VE EK (a) (b) (c) (d) (e) Oppgave 6 Induktivt definerte mengder (10 poeng) La P være språket over alfabetet {◦, ∆, ∇} som er induktivt definert på følgende måte: 1. Λ ∈ P 2. Hvis X ∈ P, så ◦X◦ ∈ P. 3. Hvis X ∈ P, så X∆ ∈ P. 4. Hvis X ∈ P, så X∇ ∈ P. (a) [2 poeng] Er strengen ◦◦◦∆◦∇ med i P? Forklar kort. (b) [2 poeng] Inneholder P alle strenger over alfabetet {◦, ∆, ∇}? Forklar kort. La f være funksjonen på P som er definert rekursivt på følgende måte: 1. f(Λ) = Λ 2. f(◦X◦) = X 3. f(X∆) = f(X) 4. f(X∇) = f(X) (c) [2 poeng] Regn ut f(◦◦◦∆◦∇). (d) [2 poeng] Er det slik at f(X) = f(f(X)) for alle X? Hvis ja, forklar hvorfor. Hvis nei, finn et moteksempel. (e) [2 poeng] Forklar kort med egne ord hva denne funksjonen gjør. 3 EN Oppgave 7 Litt abstrakt algebra (10 poeng) Oppgave 8 SA M (a) [2 poeng] Hva skal til for at en binær funksjon er en operasjon? (b) [6 poeng] For hver av følgende operasjoner, avgjør om det finnes et identitetselement for denne operasjonen. Hvis det gjør det, spesifiser et slikt identitetselement. 1. ∪ : P(U)2 → P(U) 2. ∩ : P(U)2 → P(U) 3. \ : P(U)2 → P(U) (Anta at U 6= ∅.) 4. + : Z2 → Z 5. − : Z2 → Z 6. Konkateneringsoperasjonen på strenger. (c) [2 poeng] Hvilke av funksjonene over er idempotente? Bevis og naturlig deduksjon (10 poeng) RØ VE EK (a) [2 poeng] Hvilke regler i naturlig deduksjon gjør at vi kan lukke antakelser? (b) [3 poeng] Gi en utledning av P med (Q ∧ ¬Q) som eneste åpne antakelse. (c) [5 poeng] Gi et bevis for formelen ¬(Q ∨ P) → (¬Q ∧ ¬P) i naturlig deduksjon. Oppgave 9 Førsteordens logikk (20 poeng) Anta at vi har et førsteordens språk med to binære relasjonssymboler, D og L. La M være modellen med domene P({a, b, c}), hvor D tolkes som delmengderelasjonen og at L tolkes som likhetsrelasjonen. Avgjør om følgende formler er sanne eller usanne i modellen M. Gi korte begrunnelser for hvert enkelt svar. (a) (b) (c) (d) (e) [2 poeng] ∃x(Lxx ∧ Dxx) [2 poeng] ∀x∀y(Dxy → Dyx) [2 poeng] ∀x∀yLxy [2 poeng] ∃x∀yDxy [2 poeng] ∀x∃y(¬Lxy ∧ Dxy) Finn førsteordens formler som representerer følgende setninger: (f) (g) (h) (i) (j) [2 poeng] Ingen mengde er en delmengde av seg selv. [2 poeng] Likhetsrelasjonen er ikke refleksiv. [2 poeng] Alle mengder har en delmengde. [2 poeng] Delmengderelasjonen er transitiv. [2 poeng] Delmengderelasjonen er antisymmetrisk. 4