Lukkede flader med konstant krumning
Hans Anton Salomonsen
Aarhus Universitet
March 13, 2015
Aarhus Universitet
En flade i rummet
B
A
giver anledning til to mål for afstanden mellem to punkter A og B
på fladen:
- længden af den rette linje, der forbinder dem.
- længden af den korteste kurve indeholdt i fladen, som forbinder
dem.
Det er det sidste afstandsmål, vi vil benytte. Kurven kaldes en
geodætisk kurve.
Aarhus Universitet
Betragt overfladen af en kugle med radius R set ovenfra
N r
En cirkel med centrum i nordpolen og radius r har omkredsen
p = 2πR sin
r
R
idet radius r måles langs en storcirkelbue.
Aarhus Universitet
En cirkel i planen med radius r har omkredsen 2πr . Forholdet
p
R
r
r2 1
= sin ≈ 1 −
2πr
r
R
6 R2
er mindre end 1. Det er udtryk for at kuglefladen krummer. Vi
siger at kuglefladen har Gausskrumningen κ = R12 .
Gausskrumningen afhænger kun af afstandsmålet på fladen, ikke af
det omgivende rum. Hvis vi tænker os kuglefladen beboet af
fladvæsner, vil de være i stand til finde ud af, at deres verden
krummer og størrelsen af krumningen ved at opmåle radius og
omkreds af cirkler.
Kuglefladen er et eksempel på en lukket flade med konstant positiv
krumning.
Aarhus Universitet
En torus er et andet eksempel på en lukket flade.
A
B
I nærheden af punktet A ligner den kuglefladen. Der har den positiv
krumning.
I nærheden af punktet B er fladen saddelformet. En lille cirkel
omkring B med radius r vil have en omkreds, der overstiger 2πr .
Fladen har negativ krumning i nærheden af B.
Aarhus Universitet
Betragt planen opdelt i kvadrater
Planen har krumning 0 overalt. Vi kan konstruere en flad torus,
dvs. en torus med konstant krumning 0 ved at rulle planen
sammen. Først rulles den sammen som et tæppe så alle vandrette
linjer bliver sammenfaldende. Herved opstår der et rør. De lodrette
linjer bliver rullet sammen til cirkler.
Aarhus Universitet
Dernæst rulles røret sammen, så cirklerne bliver sammenfaldende.
Den første oprulning påvirkede ikke afstandsmålet på torus.
Det vil den anden gøre, hvis det skal ske indlejret i det
3-dimensionale rum. Vi ønsker ikke at ændre på afstandsmålet.
Derfor skal den anden oprulning ske uden at tænke på den som
indlejret i et omgivende rum eller evt. i et rum af dimension større
end 3. Derved har vi konstrueret en torus med konstant krumning 0.
Aarhus Universitet
I stedet for at konstruere den flade torus ved sammenrulning af
planen kan vi i stedet betragte et enkelt af kvadraterne.
a
b
b
a
Torus dannes nu ved at identificere de to kanter mærket
henholdsvis a og b. Det skal gøres i overensstemmelse med de
angivne orienteringspile.
Aarhus Universitet
Efter identifikationen vil alle 4 hjørner blive identificeret til ét punkt,
a
b
b
a
og de 4 grønne kvartcirkler vil danne en cirkel med centrum i
punktet. Det er her vigtigt, at vinkelsummen i kvadratet netop er
2π (eller 360◦ ).
Samme fremgangsmåde kan benyttes til at konstruere andre flader
med konstant negativ krumning.
Aarhus Universitet
Vi har nu behov for en plan med konstant negativ krumning.
Ligesom vi afbilder den runde jordoverflade med kort, kan vi
ligeledes afbilde den hyperbolske plan på et kort af form som en
cirkel.
Ligesom geografiske kort ikke har et konstant målestokforhold
overalt er det også tilfældet her. Derimod afbildes vinkler korrekt,
som det sædvanligvis også gælder for geografiske kort.
Aarhus Universitet
Afstanden fra midtpunktet, dvs. punktet (0, 0) på kortet til punktet
(x, 0) er ln 1+x
1−x .
(0,0) (x,0)
,
,
Når x nærmer sig 1, vil afstanden gå mod ∞. Den hyperbolske
plan er derfor uendelig af udstrækning ligesom den euclidiske plan.
De geodætiske kurver afbildes som diametre og som cirkelbuer, der
møder randcirklen under en ret vinkel.
Aarhus Universitet
I Eschertegningen er engle og djævle kongruente.
Figure: Engle og djævle
Aarhus Universitet
Den hyperbolske plan har konstant krumning −1.
Vi så ovenfor, at der for omkredsen p af en cirkel med radius r på
en kugle med radius 1, dvs. med krumning κ = 1, gælder
p
sin r
1
=
≈ 1 − r2
2πr
r
6
Den tilsvarende formel for den hyperbolske plan er
p
sinh r
1
=
≈ 1 + r2
2πr
r
6
Omkredsen af en cirkel med radius r overstiger altså omkredsen
2πr af en plan cirkel.
Aarhus Universitet
Den hyperbolske plan kan udfyldes med regulære polygoner på
mange måder, som er styret af Gauss-Bonnet´s sætning. For en
polygon med n hjørner på en flade med konstant krumning κ siger
sætningen
X
Aκ + nπ −
v = 2π
P
hvor
v angiver vinkelsummen i polygonen og A er dens areal.
På enPkugle med radius 1 er κ = 1. Der gælder da for en trekant at
A=
v − π. Dvs. vinkelsummen overstiger π med trekantens
areal.
P
På den hyperbolske plan, hvor κ = −1, er A = (n − 2)π − v .
For en trekant er vinkelsummen mindre end π, og forskellen er igen
netop arealet.
Aarhus Universitet
Vi kan benytte formlen til at afgøre hvordan den hyperbolske plan
kan udfyldes med regulære n-kanter med vinklen v i hvert hjørne.
Der er to krav: Et helt antal, k polygoner mødes i hvert hjørne så
der skal gælde kv = 2π, dvs. v = 2π
k . Endvidere skal A > 0.
Dvs.(n − 2)π − n 2π
>
0.
k
Vi kan konstruere lukkede flader med konstant krumning −1 i
lighed med konstruktionen af den flade torus ved at starte med en
regulær n-kant med n lige, hvor vi identificerer modstående sider.
Det vil kræve at vinkelsummen nv = 2π. Dvs. vi skal have k = n.
Uligheden A > 0 kræver nu at n > 4.
Endvidere skal alle hjørner efter identifikation blive til det samme
punkt. Det vil kræve, at n er delelig med 4. Vi skal altså betragte
regulære n-kanter hvor n = 8, 12, 16, 20, · · · og hvor v = 2π
n .
Aarhus Universitet
Vi skal se nærmere på fladen der fremkommer af den regulære
8-kant ved identifikation af modstående sider.
Figure: Hyperbolsk plan udfyldt med regulære 8-kanter
Aarhus Universitet
Vi vil se bort fra kravet om konstant krumning for at finde en
lukket flade i rummet med samme topologiske form. Vi kan derfor
betragte en 8-kant i planen med de angivne identifikationer.
b
a
d
c
c
d
a
b
Aarhus Universitet
Vi skal se at det er en dobbelt torus.
Når vi skærer den over langs den røde cirkel får vi to tori, hvori der
er skåret en skive ud.
Aarhus Universitet
En torus hvorfra der er fjernet en (4-kantet) skive kan fremstilles
som følger.
Der sker identifikation af de grønne, henholdsvis de blå kanter.
Herefter danner de røde kanter randen af et 4-kantet hul i torus.
Aarhus Universitet
Vi deler nu 8-kanten langs den røde kurve, som på grund af
identifikationerne er lukket.
b
a
d
c
c
d
a
b
Den midterste del svarer nu til torusen med hul, idet halvdelene af
kanterne a og b svarer til henholdsvis den blå og den grønne kant,
mens de røde kanter svarer til hinanden og udgør randen af hullet.
Aarhus Universitet
De tre resterende dele af 8-kanten kan vi deformere og samle ved at
foretage identifikationen af a- og b-kanterne.
b
a
d
c
c
d
a
b
c
d
d
b
a
c
Aarhus Universitet
Ved yderligere deformation får vi
c
c
d
d
b
a
c
d
d
c
som ligeledes er en torus med et hul i.
Når vi samler de to tori med huller i får vi en dobbelttorus.
Aarhus Universitet
For n = 12, 16, 20, · · · kan man ligeledes konstruere lukkede flader
med konstant krumning −1 ved at identificere modstående sider i
en regulær n-kant i den hyperbolske plan. Topologisk set kan de
sammensættes af 3, 4, 5, · · · tori.
Lad os betegne kuglefladen med S og torus med T . Vi kan betegne
en n-dobbelt torus med Tn . Så har vi nu set hvordan man kan
konstruere lukkede flader med konstant krumning:
S med krumning > 0.
T med krumning 0.
T2 , T3 , T4 , · · · med negativ krumning.
Aarhus Universitet
Fladerne er essentielt forskellige. En af dem kan ikke omformes til
nogen af de andre uden at skære den i stykker og samle den på en
ny måde. Det gælder også selv om man bøjer og strækker den. En
nem måde at skelne mellem dem på er med Eulerkarakteristikken.
Eulerkarakteristikken for en flade udregnes ved at opdele den i
trekanter. Lad H være antallet af hjørner, K antallet af kanter og F
antallet af trekanter. Så er eulerkarakteristikken E = H − K + F .
Selv om opdelingen kan ske på mange måder med forskellige
værdier af H, K og F , bliver E det samme tal.
Aarhus Universitet
Kuglefladen kan trianguleres som et tetraeder. Her set fra oven.
Der er H = 4 hjørner og K = 6 kanter, 3 røde og 3 blå. Der er
F = 4 trekanter, grundfladen med røde kanter og tre sideflader.
Dermed er E = 4 − 6 + 4 = 2.
Aarhus Universitet
Betragt en triangulering af torus.
a
b
b
a
Ved optælling af punkter og kanter skal vi tage hensyn til
identifikationerne.
De 4 hjørner af firkanten bidrager kun med 1 punkt. De 4
midtpunkter på 4-kantens sider bidrager med 2 punkter. Sammen
med midtpunktet finder vi H = 1 + 2 + 1 = 4.
Der er 8 blå kanter og 8 sorte kanter, som dog kun bidrager med 4
kanter, så K = 8 + 4 = 12. Endelig er der F = 8 trekanter, så
E = 4 − 12 + 8 = 0.
Aarhus Universitet
Vi laver en lignende triangulering af en regulær 4n-kant.
b
a
d
c
c
d
a
b
De 4n hjørner i 4n-kanten bliver til kun 1 hjørne. De 4n
midtpunkter af 4n-kantens sider bliver til 2n hjørner. Sammen med
hjørnet i midten får vi H = 1 + 2n + 1 = 2n + 2.
Der er 8n blå kanter. De 8n sorte kanter bidrager med 4n kanter,
så K = 8n + 4n = 12n.
Der er F = 8n trekanter så E = 2n + 2 − 12n + 8n = 2 − 2n.
Aarhus Universitet
Vi kan opsummere at eulerkarateristikken kan skelne mellem
fladerne.
Flade
E
κ
S
2
>0
T
0
0
T2
−2
<0
T3
−4
<0
T4
−6
<0
···
···
···
Topologisk set udgør disse alle orienterbare flader. Dvs. flader
hvorpå man på konsistent måde kan vælge en omløbsretning om
fladens punkter.
Aarhus Universitet
Der findes også en familie af ikke-orienterbare flader. De kan alle
konstrueres ud fra den projektive plan, P 2 ligesom en n-dobbelt
torus konstrueres fra en torus.
Den projektive plan kan konstrueres ud fra en kugleflade ved at
identificere antipodiske punkter.
Figure: Boy´s surface - den projektive plan
Aarhus Universitet
Man kan også starte med den nordlige halvkugle og identificere
modstående punkter på ækvator.
N
Den røde og den blå halvcirkel identificeres med de angivne
orienteringer.
Aarhus Universitet
Betragt et kvadrat med en af orienteringerne vendt.
a
b
b
a
Når vi identificerer kanterne mærket b får vi er Möbiusbånd. Når vi
yderligere identificerer kanterne mærket a fremkommer Kleins
flaske.
Aarhus Universitet
Table: Möbiusbåndet og Kleins flaske
Kleins flaske ligner en torus, men efter at der er dannet et rør
samles enderne på en anden måde.
De ikke-orienterbare flader kan kendes på at de indeholder et
Möbiusbånd.
Aarhus Universitet
Betragt en regulær 2n-kant i den hyperbolske plan.
b
a
d
c
c
d
a
b
I forhold til de tidligere tegninger er orienteringen af en af kanterne
mærket c vendt. Derved kommer firkanten afgrænset af de blå
streger til at danne et Möbiusbånd efter at kanterne er identificeret.
Når orienteringen på en kant er vendt som her, vil alle hjørnerne
blive til ét punkt efter identifikationen, og der fremkommer en
ikke-orienterbar lukket flade med negativ krumning.
Aarhus Universitet
Eulerkarakteristikken for en ikke-orienterbar flade dannet ud fra en
regulær 2n-kant kan udregnes ligesom for de orienterbare flader. Vi
får værdien E = 2 − n. Denne formel gælder også for n = 1 så
eulerkarakteristikken for den projektive plan er 1. For n = 2 får vi
eulerkarakteristikken for 0 for Kleins flaske.
Man kan skelne mellem de ikke-orienterbare flader med
eulerkarakteristikken.
Man kan vise at der ikke findes andre topologiske typer af lukkede
flader end de ovenfor præsenterede.