ELEMENTÆR
STYRKELÆRE
Karl Terpager Andersen
2. udgave
POLYTEKNISK FORLAG
Elementær styrkelære
Copyright© 1980, 1985 by Karl Terpager Andersen and Polyteknisk Forlag
1.
1.
1.
2.
2.
2.
1.
udgave,
udgave,
udgave,
udgave,
udgave,
udgave,
udgave,
1 . oplag 1980
2. oplag 1981
3. oplag 1983
1. oplag 1985
2. oplag 1986
3. oplag 1992
digital version 2013- ingen ændringer i forhold til 2. udgave, 1992
Alle rettigheder forbeholdes. Mekanisk, fotografisk eller anden
gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt i
overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copy-Dan. Enhver anden udnyttelse uden
Polyteknisk Forlags skriftlige samtykke er forbudt ifølge
gældende dansk lov om ophavsret.
Bogen er trykt l offset hos AiO Tryk as
Printed in Denmark 1992
E-bog 978-87-502-1 076-4
Polyteknisk Forlag
Anker Engelundsvej 1
2800 Lyngby
www.polytekniskforlag.dk
FORORD
Denne lærebog i elementær styrkelære er oprindeligt udarbejdet til
brug ved undervisningen i dette fagområde på Danmarks Ingeniørakademi' s Elektroafdeling. Det er tilstræbt at gøre stoffet let tilgængeligt ved hjælp af figurer og gennemregnede eksempler. Derved skulle
bogen også være anvendelig til undervisning af andre end elektroingeniørstuderende og ligeledes være velegnet til selvstudium.
At bogen starter med et kapitel nr. S hænger sammen med, at fagets
statikdel omfatter 4 kapitler, der i dag foreligger som en seperat
bog.
Bagerst i bogen er der en opgavedel, og opgaverne er nummeret svarende til de kapitler, de henhører under.
Det er 2. udgave af lærebogen, der nu foreligger, og den afviger kun
fra 1. udgaven derved, at de fejl, der er fundet i
1. udgaven, er
blevet rettet. En del af fejlene er blevet fundet af kollegaer rundt
om i landet, hvor bogen har fundet anvendelse, og jeg vil her rette
en tak til dem for deres venlige hjælp.
Lyngby, August 1986
Karl Terpager Andersen
INDHOLD
I
SYMBOLLISTE
IV
STIKORDSREGISTER
VII
5. SPÆNDINGSBEGREBET
5.1
Normal og tangentialspændinger
5.1
Tøjninger, Hooke's lov
5.3
Arbejdslinier
5.6
Stænger af flere materialer
Temperaturs pændinger
5.8
5.1 o
Tilladelig spænding
5.13
6. SPÆNDINGER VED BØJNING
6.1
Betingelsesligninger
6.1
Narmalspændinger
6.4
Tværsnitskonstanter
Intertimoment
6.7
6.7
6.9
Polært inertimoment
6.11
Tyngdepunktsakse
Tangentialspændinger
Dimensionering
6.1 3
6.22
6.28
Profiltabeller, appendix 6.1
6.33
Sammensatte tværsnit
7. DEFORMATIONER VED BØJNING
7.1
Udbøjningslinien
7.1
Momentbelastningsmetoden
7.14
Bjælker med variabelt tværsnit
7. 21
Bjælker med sammensat tværsnit
7.24
Bjælkeformler, appendix 7.1
7.29
8. VRIDNING
8. 1
Betingelsesligninger
8.1
Cirkulære tværsnit
8.4
Vilkårlige tværsnit
8.6
Dimensionering
8.9
II
9. ARBEJDSLIGNINGEN
9.1
Indre deformationsarbejde
9.1
Gastilianos 2. sætning
9.4
Arbejdsligningen
Produktformler
9.7
9.10
Influenstal, Maxwell's sætning
9.16
Produktformler, appendix 9.1
9.20
10. STATISK UBESTEMTE KONSTRUKTIONER
Superpositionsmetoden (Kraftmetoden)
11. SØJLER
10.1
10.1
11 • 1
Simpelt understøttet ideal søjle, Euler-formlen
11. J
Andre ideale søjler
11.9
Euler-formlens gyldighedsområde
11.12
Korte søjler
11 .15
Dimensionering
11 • 18
Ostenfeldformlen
11 • 1 9
Dimensioneringskurver
11. 2J
Bjælkesøjler
11.25
Dimensioneringskurve for stål og aluminium,
appendix 11.1
11 • J2
Bjælkesøjleformer, appendix 11.2
11.J4
12. SPÆNDINGS- OG DEFORMATIONSANALYSE
Eenakset spændingstilstand
1 2. 1
1 2.1
Teakset spændingstilstand
12. J
Mohrs cirkel
12.6
Teakset deformationstilstand
1 2. 1 o
Strain-gauges
12.16
Elasticitetslove
1 2.1 9
Styrkehypoteser
12.26
Største hovedspændings- og største
hovedtøjningshypotese
1 2. 26
Største tangentialspændingshypotese
12.27
Formændringsarbejdshypotesen
12.JO
Sammenligning af hypoteser
12.J2
III
B.1
13. OPGAVER
Spændingsbegrebet,
(kap. 5)
Spændinger ved bøjning,
(kap. 6)
Deformationer ved bøjning,
Vridning,
B.1
(kap. 8)
Arbejdsligningen,
B.12
B.19
(kap. 9)
Statisk ubestemte konstruktioner,
Søjler,
B.2
(kap. 7)
B.23
(kap. 10)
(kap. 11 )
Spændings- og deformationsanalyse, (kap. 12)
B.28
B.34
B.38
IV
BOGSTAVSYMBOLER
S mbol
Anvendes for
Enhed
2
2
A
areal
mm , m
AL' B v
henholdsvis lodrat understøtningsreaktion i punkt A og vandret i B
N, kN
E
elasticitetsmodul
2
2
2
N/mm , N/m , kNjm
F
enkeltkraft
N, kN
G
glidningsmodul
tangent i al kraft
inertimoment om tværsnitstyngdepunktsakse (z-akse)
mm , m
polært inertimoment for tværsnit
mm , m
bøjningsmoment i
Nm, kNm
H
I, I z
I
p
M
snit
2
2
2
N/mm , N/m , kNjm
N, kN
4
4
4
4
kraftmomenter virkende på konstruktion
Nm, kNm
MA' MB
reaktionsmoment i
ding i A, B,
fast indspænNm, kNm
Mt
vridningsmoment i
snit
s
statisk moment for tværsnit
s
stangkraft
T
tværkraft i
M1 '
M2 •.
N, kN
snit
N, kN
vridningsmoment virkende på
konstruktion
Nm, kNm
VA' VB. •
vridningsmomentreaktion i
indspænding i punkt A, B
Nm, kNm
XA' XB ..
overtallig i punkt A, B
kraft eller moment
w, wz
modstandsmoment om tværsnits
tyngdepunktsakse
wp
polært modstandsmoment
a,b,c, ..
længder, afstande,
v1'
v2 ••
fast
.. '
spændvidder
N, kN, Nm, kNm
mm,
m
v
s
Anvendes for
mb ol
Enhed
b
bredde af tværsnit
mm, m
d
diameter
mm, m
f
nedhæng for tove
mm, m
h
højde af tværsnit
mm, m
h
forskydning,
i
tværsnits inertiradius
l
længde, spændvidde
n
sikkerhedsfaktor
p
liniebelastning
N/m, kN/m
r
radius
mm, m
influenstal
II
r, r
o
(=lA.)
mm,
m
mm, m
tilladelig spænding
s
fri søjlelængde
mm,
t
godstykkelse
mm
u
nedbøjning
mm,
v
vinkel
a,~,y
vinkler
~
længdeudvidelseskoefficient
y
tværtøjrring
m
m
længdetøjrring
11.
materialekonstant
v
Paissans forhold (tværkontraktionsforhold)
s
tværsnitskonstant
Q
krumningsradius
w
vægtfylde, specifik tyngde
mm, m
VI
S mbo1
Anvendes for
Enhed
(J
norma1spænding
2
2
2
N/mm , N/m , kN/m
'T
tangentia1spænding
2
2
2
N/mm , N/m , kNjm
forskydningsvinke1
VII
STIKORDSREGISTER
Emne:
Arbejdsligningen
Arbejdslinier
Arealmoment
Bjælkesøjler
Bøjningsspændinger
Bøjningsdeformationer
Castiglianos anden sætning
Deformationsarbejde
Deformationstilstand, teakset
Dimensioneringskurver for søjler
Elasticitetslove
Enakset spændingstilstand
Euler'sk søjlekraft
Flydemoment
Flydningsmodstandsmoment
Formændringsarbejdshypotesen
Fri søjlelængde
Glidningsmodul
Grashofs formel
Guestts hypotese
Hooke's lov
Hooke's udvidede lov
Hovedretninger for deformationstilstand
Hovedretninger for spændingstilstand
Ideal søjle
Indre deformationsarbejde
Inertimoment
Inertimoment, polært
Inertiradius
Influenstal
Kort søjle
Kontinuerlig bjælke
Kraftmetoden
Længdetøjning
Maxwell's sætning
Modstandsmoment
Mohr's analogi
Mohr's cirkel
Momentbelastningsmetoden
Navier's formel
Normalspænding
Ostenfeldparablen
Ostenfeldformlen
Sidetal:
9. 1 ' 9.7
5.6
6.7
11.25, 11.34
6.1
7. 1
9.4
9. 1
12.10
11.23, 11.32
12.19
5.3, 12.2
11.7
6. 31
6.31
12.30
11 • 1 o
5.5, 8.2, 12.22
6.15
12.27
5.4
12.20
12.2
12.12
11.3
9. 1
6.9
6. 11
11 • 1 5
9.16
11 • 1 5
1 o. 8
1 0.1
5.4
9.17
6.6
7.14
12.6
7.14
6.5, 6.23
5.1, 6.4
11 • 1 7
11 • 1 9
VIII
Sidetal:
Emne:
Poissons forhold
Polært inertimoment
Produktformler
Reduceret momentflade
Referencespænding
Sammensatte tværsnit
Sikkerhedsfaktor
Slankhedstal
Spændingstilstand, enakset
Spændingstilstand, toakset
Spændingstilstand, treakset
Statisk ubestemte konstruktioner
Strain-gauge
Strain-rosette
Styrkehypoteser
Stænger af flere materialer
Største hovedspændingshypotese
Største hovedtøjningshypotese
Største tangentialspændingshypotese
Superpositionsmetoden
Søjler
Tangentialspænding
Temperaturspænding
Tetmajerlinien
Tilladelig spænding
Toakset deformationstilstand
Toakset spændingstilstand
Transformerede tværsnit
Treakset spændingstilstand
Tværbelastet søjle
Tværkontraktion
Tværkontraktionsforholdet
Tværsnit, sammensatte
Tværsnit, transformerede
Tværsnits flydningsmodstandsmoment
Tværsnitskonstanter
Tværtøjning
Tyngdepunktsakse
Tøjninger
Udbøjningslinie
Variabelt tværsnit
Vridning
Von Mise's hypotese
Ydre deformationsarbejde
9.1
o,
5.4
6.11
9.20
7.14
1 2. 26
6.22, 7.24
5.13
11 • 15
5.3, 12.2
5.3, 12.3
5.3
1 o. 1
12.16
1 2. 1 7
12.26
5.8
12.26
12.26
12.27
1 o. 1
11 • 1
5.1, 6.13
5.1 o
11 • 1 6
5.13
12.1 o
12.3
6.23
5.3
11.25
5.4
5.4
6.22
6.23
6.31
6.7
5.4
6.7
5.3
7.3
7.21
8. 1
12.30
9. 1
INDLEDNING
I styrkelæren beskæftiger man sig med de materialepåvirkninger (spændinger) og de deformationer, som optræder inde i en konstruktion,
når den belastes. Formålet er at forudberegne, om en konstruktions
styrke og stabilitet vil være tilstrækkelig, og om deformationerne
vil være acceptable. Hvor statikken primært beskæftiger sig med de
kræfter, der optræder ved legemer i hvile, går styrkelære det skridt
videre at se på, hvad der sker inde i selve konstruktionen, når den
belastes. Hertil anvendes bl.a. de oplysninger om konstruktionsmaterialernes fysiske egenskaber, som kan fås fra materialelæren.
Betragtet som et videnskabeligt fagområde kan styrkelæren mindst
fØres tilbage til Leonardo da Vinci (1452-1519) og Galileo (15641642), der eksperimentelt søgte at bestemme styrken af tove, stænger
og bjælker. Men de udviklede ikke nogen rigtig teori, der kunne forklare forsøgsresultaterne. En egentlig teoretisk behandling stammer
fra begyndelsen af 1800-tallet, hvor bl.a. en række fremtrædende
franske matematikere beskæftigede sig med problemer af styrkernæssig
karakter, og hvis navne idag ofte ses knyttet til formeludtryk eller
materialekonstanter, fx Poisson, Navier, Set. Venant og Couchy.
I den elementære styrkelære foretager man, som det også vil fremgå
af denne bogs fremstilling af emnet, en række idealiseringer for at
nå frem til simple, men brugbare formeludtryk. Desuden vil man ofte
anvende sådanne fortegnsregler, at de beregnede størrelser i de almindeligst forekommende belastningstilfælde kommer ud med positivt
fortegn.
SPÆNDINGSBEGREBET
Normal- og tangentialspændinger
Snitkræfterne i
et tænkt snit lagt i en
konstruktion repræsenterer som anført i
kapitlet om snitkraftbegrebet de molekylære kræfter, der optræder mellem de
to snitflader, de såkaldte indre kræfter, Vi betragter en lille arealdel AA
af snitfladen, fig. 5,1 a, Resultanten
af småkræfterne på arealdelen kaldes
AF. Der vil da gælde, at AF- o når
AA
o, men danner vi
AF
AA
p
for AA -
~
gælder der, at
o, Størrelsen -p
a)
kal-
des spændingen, og for hvert punkt på
snitfladen finder vi en sådan større!se, når AA
n
o omkring punktet,
Spændingen p vil ikke nødvendigvis stå
''
'
',P
'
vinkelret på snitfladen, men
:
af beregningsmæssige grunde opløses
l.,/
tn
den i komposantarne an efter normalen
og Tn beliggende i
fladen,
jvf, fig.
5.1 b,
b)
Størrelsen an kaldes narmalspændingen
og indices viser, hvilken normalretning
den har, Den regnes positiv, når den er
rettet efter den udadrettede normal ,
svarende til at den trækker i
snitfla-
den,
Størrelsen Tn kaldes tangentialspændingen, og indices'et viser, at den ligger
i en flade, der har
n som
normal, Tan-
gentialspændingen Tn opløses igen efter
et xy-koordinatsystem beliggende i fla-
Fig. 5.1
" "tny
den,
således at vi får de to komposanter
Tnx og Tny med retning efter henholdsvis
x- og y-aksen. Tangentialspændingerne vil
i det følgende blive regnet positive, når
de virker drejende med uret.
Udskæres af en konstruktion et parallelepipedum med kantlængderne dx, dy
og dz orienteret efter et xyz-koordinatsystem med O-punkt i
parallel-
epipedets tyngdepunkt, kan der på
dets snitflader principielt virke
tre forskellige normalspændinger:
o , o
og o , og 6 forskellige tanx
y
z
gentialspændinger: Txy' Txz' Tyx'
Tyz' Tzx og Tzy• Det er her antaget, at kantlængderne er så små,
dy
at spændingerne på to parallelle
sideflader er lige store og at de
er konstante over sidefladerne.
Antallet af ubekendte tangentialspændinger kan dog halveres ved at
opstille ligningerne for momentligevægt om koordinatakserne. Tages
således moment om z-aksen fås (idet
det er kræfterne på sidefladerne,
Fig 5.2
der skal regnes med):
Txy • dydz • dx + Tyx • dxdz • dy
Txy = -
o
Tyx
Ved moment om henholdsvis x- og y-aksen
fås tilsvarende:
-
Tzy
og
Txz
=-
Tzx
Det ses, at tangentialspændinger belig-
=>
gende på to flader, der står vinkelrette på hinanden og med retning mod
samme kant, er lige store med modsat
fortegn.
Den på fig.
5.2 viste situation kaldes
en treakset spændingstilstand. I
de
konstruktioner vi kommer t i l at beskæftige os med vil der hyppigst kun være
tale om en plan (toakset) spændingstilstand, hvor planen t i l en af akserne
er spændingsløs. Er denne akse fx z-aksen, vil der kun optræde spændingerne
crx' cry og~(= ~xy = -~yx),
~xz
~zx
= o,
idet
jvf. figur 5.3a og 5.3b.
Endnu simplere er forholdene, når vi
har en enakset spændingstilstand, hvor
der af spændinger kun optræder en normalspændingo
Tø,jninger 1 Hooke 1 s lov
I en stang med tværsnitsarealet A, der
trækkes i
enderne med kraften F som
vist på figur 5.4 har vi - lige bortset fra enderne -
spændingstilstand, idet der i
en lille
udskåret del med længden dx kun optræder narmalspændingen cr
F
A'
der har
retning efter stangens længderetning.
Er
stanglængden i
ubelastet tilstand a
vil belastningen øge den t i l a +
~a.
For en stang af stål vis'er forsøg,
at
så længe F ikke overskrider en vis grænse, finder man følgende relation for
~a
Fa
EA
b)
overalt en enakset
( 5. 1 )
Fig 5.3
5.4
hvor E, e1asticitetsmodu1et, er en konstant større1se kun afhængig af materia1et. Udtrykket
1ov. Det kan
l
omformes ti1
lE
D. a
a
jF
(5.1) ka1des Hooke's
E A
a
e11er:
Q
(5.2)
E
hvor
A!!;
e
a
Udtrykket
ka1des 1ængdetøjningen.
(5.2) gæ1der også, hvis stan-
gen udsættes for tryk. Da vi1 såve1 cr
som e være negative.
Når der trækkes i
stangen, b1iver den
ikke b1ot 1ængere, den b1iver også tyndere,
og når den trykkes, b1iver den
tykkere. Denne ændring i
tværsnitsdi-
mensionerne ka1des tværkontraktionen,
og den er proportiona1 med 1ængdeændringen. For den re1ative ændring i
tværretningen gæ1der så1edes
Større1sen v benævnes tværkontraktions-
~
a)
forho1det e11er Poissons forho1d. Det
er en materia1ekonstant, men er for næsten a11e meta11er ca. 0,3.
Udsættes en 1i11e udskåren de1 a1ene
for tangentia1spændinger, vi1 der kun
optræde vinke1drejninger me11em snitjvf. fig. 5.5. Vinke1drejy ka1des tværtøjningen.
f1aderne,
ningen
For den sam1ede vinke1forskydning
dx
~
me11em to snitf1ader kan det vises, at
b)
Fig 55