Regning med funktioner - TAVLENOTER Jens Thostrup, GUX Nuuk 1

Regning med funktioner - TAVLENOTER
Sammensat funktion
[Elevsamtaler]
Jens Thostrup, GUX Nuuk
1
Regning med funktioner - TAVLENOTER
FACIT b)
1 og 3 er de eneste løsninger, der optræder i tabellen
Jens Thostrup, GUX Nuuk
2
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Regningsarter for funktioner
Sumfunktion: (f+g)(x) = f(x) + g(x)
Differensfunktion: (f g)(x) = f(x)
g(x)
Sammensat funktion: (f g)(x) = f(g(x))
Omvendt funktion: f 1(x) = t
Jens Thostrup, GUX Nuuk
3
Regning med funktioner - TAVLENOTER
)(3) =
Jens Thostrup, GUX Nuuk
4
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Sammensat funktion
[Elevsamtaler]
Jens Thostrup, GUX Nuuk
5
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Opvarmning: Graftegning (uden hjælpemidler)
Jens Thostrup, GUX Nuuk
6
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Sammensat funktion
Jens Thostrup, GUX Nuuk
7
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
8
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
9
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Kontrollér dine svar i Maple
Jens Thostrup, GUX Nuuk
10
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
11
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Differentation - sammensat funktion
Sætning 4.8 (Kædereglen)
Formel (124)
Hvis funktionen g er differentiabel i x0, og f er differentiabel i y0 = f(x0), er den
sammensatte funktion f(g(x)) differentiabel i x0 med differentialkvotienten
Jens Thostrup, GUX Nuuk
12
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
13
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Øvelse 10: Funktionerne differentieres
Jens Thostrup, GUX Nuuk
14
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Kædereglen - i Leibniz' notation
Jens Thostrup, GUX Nuuk
15
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Bestem endvidere de afledede funktioner for f g og g f.
Kontrollér svar i Maple
Jens Thostrup, GUX Nuuk
16
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Opgave 828 2) ændret!
2
Metode 1: Der differentieres direkte (sammensætning af tre funktioner)
Metode 2: Funktionen omskrives først (sammensætning af to funktioner)
Jens Thostrup, GUX Nuuk
17
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
18
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Bestem forskrifter for f g og g f .
Bestem de afledede funktioner for f og g .
Bestem endvidere de afledede funktioner for f g og g f .
Kontrollér svar i Maple
Jens Thostrup, GUX Nuuk
19
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Spørgerunde - sæt 9
Jens Thostrup, GUX Nuuk
20
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Bestem definitionsmængder for f og g .
Bestem værdimængder for f og g .
Bestem definitionsmængder for f g og g f .
Bestem værdimængder for f g og g f .
Tegn evt. grafer i Maple
Jens Thostrup, GUX Nuuk
21
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
22
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Arbejde med øvelse 17 og Dm og Vm
Lektie til torsdag 27. november
Læs og løs til og med øvelse 18
Jens Thostrup, GUX Nuuk
23
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Løs ligningen
FACIT a)
20
, hvor g har regneforskriften
FACIT c)
Jens Thostrup, GUX Nuuk
x = 1/4 t + 5 .
24
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
25
Regning med funktioner - TAVLENOTER
f(x) = x2
For en injektiv funktion f er den omvendte funktion f 1
bestemt ved at f 1(t) = x, hvor x er løsningen til ligningen
f(x
t.
Jens Thostrup, GUX Nuuk
26
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Test i regning med funktioner - uden hjælpemidler
Husk papir og blyant.
Jens Thostrup, GUX Nuuk
27
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Opvarmning - uden hjælpemidler: Lineær sammenhæng (mat C)
Ved et laboratorieforsøg hænges en fjeder op ved siden af en målestok. Når der hænges et
lod på fjederen, bliver fjederen længere. Fjederens position aflæses på målestokken ud for
pilen (se figur 1).
Det oplyses, at sammenhængen mellem fjederens position og loddets vægt med god
tilnærmelse kan beskrives ved en matematisk model af formen y = a x + b , hvor y er
fjederens position, målt i cm, og hvor x er loddets vægt, målt i gram (se figur 2).
Det oplyses, at den rette linje på figur 2 går gennem punkterne P (20, 16.3) og Q (80, 34.6).
a) Bestem tallene a og b – og forklar hvad de to tal fortæller om fjederens position.
Der hænges et lod på fjederen, og fjederens position aflæses til 24,5 cm.
b) Bestem loddets vægt.
Der hænges et nyt lod på fjederen, og fjederens position aflæses.
c) Bestem, hvor meget fjederens position ændres, hvis der hænges yderligere 8,0 gram på
fjederen.
Jens Thostrup, GUX Nuuk
28
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Øvelse 18: Temperaturskalaer
Temperaturmålinger kan ske ved hjælp af flere skalaer. To af dem er
Celcius- og Fahrenheit-skalaen, der begge ses anvendt på termometret på
figuren.
Celsius-skalaen bruges i det meste af Europa, mens Fahrenheit-skalaen
bruges i USA.
Sammenhængen mellem de to skalaer er lineær - og der gælder, at vands
frysepunkt på 0°C svarer til 32°F og vands kogepunkt på 100°C svarer til
212°F.
a) Bestem regneforskriften for den funktion, der omregner °C til °F
- dvs. f(x) angiver hvor mange °F, der svarer til x °C.
b) En amerikaner på rejse i Europa ser at temperaturen i København er 15°C.
Hvor mange °F er der tale om?
c) Bestem regneforskrift for den omvendte funktion til funktionen fra a)
- og forklar hvad denne omvendte funktion kan bruges til.
d) En grønlænder besøger Miami i USA og ser at temperaturen 77°F.
Hvor høj er temperaturen målt i °C?
e) Hvilken temperatur giver samme gradtal på de to skalaer?
f) Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem
- og forklar hvordan svaret fra e) kan ses på denne tegning.
Jens Thostrup, GUX Nuuk
29
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
30
Regning med funktioner - TAVLENOTER
f(x) = x2
For en injektiv funktion f er den omvendte funktion f 1
bestemt ved at f 1(t) = x, hvor x er løsningen til ligningen
f(x
t.
Jens Thostrup, GUX Nuuk
31
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
32
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
33
Regning med funktioner - TAVLENOTER
TEST: Regning med funktioner - uden hjælpemidler
Jens Thostrup, GUX Nuuk
34
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Præsentation af sæt 10
CMU-projekt:
Inuk, Mininnguaq og Richard
Jens Thostrup, GUX Nuuk
35
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Opvarmning - uden hjælpemidler: Differentation
Løs ligningerne
f ' (x) = 0 og
g ' (x) = 0 .
Jens Thostrup, GUX Nuuk
36
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
37
Regning med funktioner - TAVLENOTER
g'(x) =
=
Obs! Forkort
brøken med x.
Her tabes løsningen x = 0.
Uden for Dm(g), så faktisk er der ingen løsninger!
Jens Thostrup, GUX Nuuk
38
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
39
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
40
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Jens Thostrup, GUX Nuuk
41
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Titalslogaritmen, log
Maple: log10 eller log10
Titalslogaritmen til et positivt tal er den eksponent,
som 10 skal opløftes til for at give tallet.
Den naturlige logaritme, ln
Maple: ln eller log
Den naturlige logaritme til et positivt tal er den eksponent,
som e skal opløftes til for at give tallet.
Jens Thostrup, GUX Nuuk
42