Michelle Kyk
daPRØVER HVORI DER INDGÅR ET ARBEJDSRESULTAT (jfr. Studieordning for læreruddannelsen 2012 side 211 Eksamens og prøvebestemmelser for læreruddannelsen, pkt. 1.10 Professionsbachelorprojektet). Projektet skal afleveres senest den 8. april 2015, kl. 12.00. Der dispenseres ikke fra denne frist. Der afleveres elektronisk i WISEflow. Desuden afleveres 1 eksemplar i elektronisk form i PURE. Af administrative hensyn skal denne blanket være første side af opgaven. Maj/juni 2015 Eksamenstermin: Professionsbachelorprojekt i tilknytning til linjefag: Matematik Titel: Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning_______________ Vejledere: Inger Jacobsen og Svend Andreas Skov (Kun navne ikke underskrift) Dette projekt er udarbejdet af: Studie nr.: Navn: L110045 Michelle Ølholm Møller Kyk Antal sider i opgaven:__27__ (25-35 sider á 2600 enheder, eventuelle bilag herudover må højst udgøre 10 normalsider) Accepterer at opgaven kan bruges til undervisning, dog anonymt: _x__ JA ____ NEJ Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 1 Professionsbachelor læreruddannelsen Michelle Ølholm Møller Kyk 1 Tegning: Lars Refn Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Indholdsfortegnelse 1. Indledning ........................................................................................................................................ 3 2. Problemformulering ......................................................................................................................... 4 2.1 Begrebsafklaring ........................................................................................................................ 5 3. Metodeafsnit..................................................................................................................................... 5 4. Empiri............................................................................................................................................... 6 5. Undervisningsforløbet ...................................................................................................................... 7 5.1 Definition af undersøgelsesbaseret matematikundervisning...................................................... 8 5.2 Undersøgelsesorienteret undervisning ....................................................................................... 9 5.2.1 Undersøgelseslandskaber .................................................................................................... 9 5.2.2 Undersøgelsesbaseret undervisning .................................................................................. 10 5.3 Anvendelsesorienteret .............................................................................................................. 12 5.3.1 Realistisk matematikundervisning .................................................................................... 13 5.4 Delkonklusion .......................................................................................................................... 14 6. 8. klasse .......................................................................................................................................... 14 6.1 8 klasses matematikundervisning............................................................................................. 14 6.2 8. klasses holdning til matematik ............................................................................................. 15 6.3 Delkonklusion .......................................................................................................................... 16 7. Hvorfor undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning ................................................... 16 7.1. Folkeskolereformen 2014 ....................................................................................................... 16 7.2. Fælles mål ............................................................................................................................... 17 7.2.1 Analyse af kompetencebegrebet ....................................................................................... 17 7.2.2 Matematiske kompetencer ................................................................................................ 18 7.3 Tilegnelse af kompetencer ....................................................................................................... 19 7.4 Delkonklusion .......................................................................................................................... 19 8. Undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisnings påvirkning på eleverne ......................... 19 8.1 Elevernes mening om undervisningens påvirkning ................................................................. 20 8.2 Lærerens mening om undervisningens påvirkning .................................................................. 20 8.3 Læring ...................................................................................................................................... 21 8.3.1 Redegørelse for Illeris' læringsteori .................................................................................. 21 8.3.2 Analyse af Illeris' læringsteori .......................................................................................... 21 Side 1 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 8.3.3 Analyse af hvordan læringen finder sted .......................................................................... 22 8.3.4 Diskussion og vurdering af eleverne mening om undervisningens påvirkning i forhold til Illeris' læringsteori ..................................................................................................................... 22 8.4 Motivation ................................................................................................................................ 23 8.4.1 Redegørelse for Eccles og Wigfields teori om værdiperspektiver .................................... 23 8.4.2 Diskussion og vurdering af eleverne mening om undervisningens påvirkning i forhold til teorien om værdiperspektiver..................................................................................................... 24 8.5 Delkonklusion .......................................................................................................................... 24 9. Andres resultater af undersøgelser af undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning ..... 25 9.1 Virker anvendelses- og undersøgelsesorienteret matematik - andres erfaringer?.................... 25 9.1.2 Sammenligning mellem resultater fra PRIMAS undersøgelsen og mine resultater ......... 26 9.2 Har undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning effekt i forhold til andre tiltag i undervisningen ............................................................................................................................... 26 10 Konklusion .................................................................................................................................... 27 11 Perspektivering.............................................................................................................................. 29 12 Litteraturliste ................................................................................................................................. 30 Bilag 1 ................................................................................................................................................ 32 Bilag 2 ................................................................................................................................................ 33 Bilag 3 ................................................................................................................................................ 34 Bilag 4 ................................................................................................................................................ 35 Bilag 5 ................................................................................................................................................ 37 Bilag 6 ................................................................................................................................................ 38 Side 2 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 1. Indledning Undervisningen i matematik i folkeskolen er sammen med dansk de to kerne fag, som eleverne får mest undervisning i. 2 Derfor er matematik det fag i folkeskolen, eleverne bruger anden mest tid på i deres skoletid.3 Desværre har jeg i mine praktikker på læreruddannelsen og som vikar på forskellige skoler ofte oplevet, at nogle elever kommer med udsagn som: ”Matematik er kedeligt”, ”hvad skal jeg bruge matematik til”, ”jeg gider ikke lave det her” og ”jeg lærer ikke noget af at løse de opgaver”. Mine observationer omkring elevernes interesse for matematik er også blevet påvist undersøgelser. I en undersøgelse lavet af Trends in International Mathematics and Science Study(TIMSS) fra 2011 har de spurgt 4000 danske skoleelever om, hvad de synes om matematik. Dette har de sammenlignet med 52 andre lande, hvor der er lavet lignende undersøgelser. Her tilkendegav 37 % af de danske elever, at de kunne lide matematik, mens 21 % tilkendegav at de ikke kunne lide matematik. Dermed er danske elever nogle af dem, der synes mindst om matematik i undersøgelsen.4 Det, mener jeg, er problematisk, at eleverne har en negativ holdning til matematik, taget i betragtning, at matematik er det fag, som eleverne bruger mest anden tid på i skolen. Derudover er der mange elever, der fravælger matematik på ungdomsuddannelserne, hvor det er første gang, eleverne har mulighed for at vælge det fra. Dette skyldes, at eleverne har manglende motivation for matematik.5 Undersøgelsen af TIMSS viste også, at kun 21 % af eleverne forstår formålet med matematik og 15 % ikke forstår formålet med matematikundervisningen.6 Dette kan være grunden til, at eleverne kommer med udsagn om, at de ikke gider matematik i folkeskolen, fordi eleverne ikke ved, hvad de skal bruge det til. Efter jeg har hørt mange elever komme med forskellige udsagn, hvor de tilkendegiver en negativ holdning til matematik, og har set og hørt forskellige undersøgelser, der viser, at eleverne har manglende interesse og motivation for matematik, begyndte jeg at reflektere over, hvad man kan gøre, for at eleverne begynder at finde interesse i og motivation til matematikundervisningen. I matematikundervisningen har der været tradition for, at eleverne har skullet løse opgaver individuelt, hvilket medfører, at nogle elever forbinder matematikundervisningen med dette. 7 Igennem min egen skoletid og praktikker har jeg også observeret, at denne arbejdsmåde er meget fremtrædende, især hvis undervisningen foregår efter lærebøger. Derfor har jeg i mine praktikker prøvet at tilrettelægge undervisning, hvor det ikke har været opgaveløsningen, der har været i fokus. Der har dog stadig indgået elementer i undervisningen, hvor eleverne arbejder med opgaver. Jeg har observeret, at eleverne virker mere interesseret i undervisningen, når de arbejder undersøgende. Eleverne kan stadig arbejde med opgaver, når de arbejder undersøgende, men opgaverne har karakter af at være åbne opgaver, hvor eleverne bl.a. selv vælger arbejdsmåden for at finde svar.8 2 Undervisningsministeriet, 2014b Undervisningsministeriet, 2014c 4 Aarhus universitet 2011, s. 11 5 Skaalvik, 2015, s. 10-11 6 Aarhus universitet 2011, s. 12 7 Ranghøj, 2014, afsnit 3,7 8 Skovsmose, 2003, kapitel 10 3 Side 3 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 I folkeskolereformen fra 2014 er der kommet fokus på, at undervisningen skal være anvendelsesorienteret, hvilket betyder, at læreren skal vælge undervisningen og forklare eleverne, hvor de kan anvende det i fx hverdagssituationer, arbejds- og samfundsliv.9 Der har i matematikundervisningen allerede været fokus på matematik i anvendelse inden skolereformen 2014. I Fælles Mål for matematik fra 2009 er matematik i anvendelse et af de centrale kundskabsog færdighedsområder. Derfor har der i matematik været fokus på det inden den nye folkeskolereform, men med den nye reform er der kommet fokus på, at alle fag skal være anvendelsesorienteret.10 At undervisningen er anvendelsesorienteret, er også noget af det, jeg har observeret, der virker til at give eleverne interesse og motivation til undervisningen. En anden grund til at overveje at ændre på strukturen i undervisningen er, at vores samfund har ændret sig. Vores samfund i dag er blevet mere komplekst. Dermed er der mere, vi skal forholde os til. Vi kan kommunikere med hele verden, nyhederne, vi får, kommer fra alle steder, og vi bevæger os rundt i forskellige samfund. Derfor kræver det, vi har en anden tilgang til forståelse og tilegnelse heraf.11 Derfor kan vi ifølge Knud Illeris ikke længere nøjes med en traditionel undervisning, der giver eleverne paratviden. Dette kunne man førhen, da denne paratviden var det, man havde brug for at vide, for at kunne klare sig i samfundet, men i og med samfundet er blevet mere komplekst, og vi skal forholde os til mange flere ting, kan vi ikke tilegne os al den viden, vi har brug for, ved hjælp af paratviden. Derudover kan vi nu nemt finde denne tidligere paratviden ved at søge på nettet. I dag er der derfor fokus på, at eleverne skal lære at lære, og det, de lærer, skal de lære med forståelse. Eleverne skal tilegne sig en række kompetencer, så de kan anvende deres viden i andre sammenhænge, og de skal skabe mening i det, de lærer, for at kunne følge med samfundet og dets kompleksitet.12 Ud fra alle erfaringerne omkring vores samfundsændring og elevernes negative holdning til matematikundervisningen, er jeg blevet interesseret i, om det har en virkning at gøre undervisning mere undersøgelses- og anvendelsesorienteret. Selvom mine tidligere observationer har tydet på, at det har en positiv effekt, har jeg ikke lavet en systematisk undersøgelse for at klarlægge effekten. Derudover er jeg også interesseret i, om en sådan undervisning vil give eleverne bedre mulighed for at tilegne sig de kompetencer, som eleverne har brug for, for at kunne følge med samfundet. Dette leder mig frem til følgende problemformulering: 2. Problemformulering Hvordan kan en undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning fremme elevernes læring samtidig med, at det får eleverne i udskolingen til at se meningen med matematikundervisningen? 9 Ranghøj, 2014, afsnit 3,7 Undervisningsministeriet 2009, s. 34-35 11 Rasmussen, 2004 12 Illeris, 2006, kapitel 5 10 Side 4 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 2.1 Begrebsafklaring I problemformuleringen skriver jeg, at eleverne i udskolingen skal se meningen med undervisningen. Hermed mener jeg, at eleverne skal få en forståelse for, hvorfor det er vigtigt for dem at lære matematik, og hvad de kan anvende matematikken til i deres liv efter skoletiden. 3. Metodeafsnit For at kunne besvare min problemformuleringen vil jeg planlægge, gennemføre og evaluere et undervisningsforløb om sandsynlighed og statistik, der er undersøgelses- og anvendelsesorienteret. For at kunne vurdere, hvilken betydning undervisningen har haft, vil jeg indsamle empiri undervejs. Derfor vil jeg først i denne opgave starte med at beskrive, hvordan jeg har indsamlet empiri og diskutere, om det kunne have været gjort anderledes. Dette gør jeg fordi, indsamlingen af empirien ligger til grund for min analyse og vurderinger af undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisnings påvirkning på elevernes læring. Herefter vil jeg redegøre for mit undervisningsforløb, der omhandler statistik og sandsynlighed, da dette er hele grundlaget for min undersøgelse. Undersøgelsesforløbet har jeg planlagt ud fra Ole Skovsmoses teori om Undersøgelseslandskaber, Rune Hansen & Povl Hansens artikel om Undersøgelsesbaseret matematik undervisning og Hans Freudenthals teori om Realistisk undervisning. Grunden til, at jeg har anvendt forskellige teorier i planlægningen, er, at der ikke var én teori, der havde det samme fokus på undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning, som jeg ønskede. Efterfølgende vil jeg ud fra Morten Blomhøjs teori analysere mig frem til en definition af, hvad undersøgende matematikundervisning er. Det gør jeg for at kunne evaluere, hvorledes mine hensigter om at planlægge og gennemføre et undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisningsforløb er opnået. Dette gør jeg for at sikre mig, at undervisningsforløbet kan anvendes til at vurdere undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisnings påvirkning på læring. For at evaluere forløbet, analyserer og vurderer jeg undervisningen i forhold til de teorier og artikler, jeg har planlagt undervisningen ud fra. Først evaluerer jeg om undervisningen er undersøgelsesorienteret, dette holder jeg undervejs op mod den definition af undersøgende undervisning, jeg har analyseret mig frem til. Herefter evaluerer jeg, om undervisningen er anvendelsesorienteret. Efter jeg har evalueret undervisningsforløbet, vil jeg undersøge og analyser, hvordan klassens undervisning i matematik har været, inden jeg kom. Dette gøre jeg, for at kunne vurdere, om det er nyt for elverne at undervisningen er undersøgelses- og anvendelsesorienteret. Derefter vil jeg analysere og vurdere elevernes holdning til matematikundervisningen, inden jeg gennemførte undervisningsforløbet for dem. Jeg vil vurdere, om deres holdning er den samme, som TIMSS kom frem til, at danske skoleelever havde til matematik. Dette gør jeg for at kunne vurdere, om eleverne ændrer holdning til undervisningen igennem forløbet.. Jeg gør det at kontrollere, om man efter forløbet kan lave en analyse af, om undervisningen har påvirket eleverne og deres læring. Herefter vil jeg undersøge, om der er belæg for, at undervisningen skal være undersøgelses- og anvendelsesorienteret. Dette gør jeg for at vide, om der er en grund til at beskæftige sig med denne Side 5 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 form for undervisning. Først vil jeg undersøge, om der er belæg i Folkeskolereformen og Forenklede Fælles Mål. Jeg vil vurdere hvilke argumenter, der fremkommer for en sådan undervisning. Jeg vil anvende Per Schulz Jørgensens forklaringer på kompetencer og kompetencetilegnelse for at forstå de kompetencer, der er i Forenklede Fælles Mål for matematik. Dette vil jeg diskutere i forhold til teorien om Relational and Instrumental Understanding. Jeg anvender denne teori for at komme frem til en forståelse af, hvordan man tilegner sig kompetencer, samt hvilke fordele og ulemper der er ved tilegnelse af kompetencer. Efter jeg har evalueret min undervisning og undersøgt, om der er belæg for at undervisningen skal være undersøgelses- og anvendelsesorienteret, kan jeg begynde at analysere, diskutere og vurdere undervisningen. Jeg starter med at analysere og vurdere, hvad eleverne mener om undervisningen, og hvad de har fået ud af den. Dette gør jeg ud fra et interview, hvor eleverne er kommet med deres egne udsagn om undervisningens påvirkning på dem. Derefter analyserer jeg om deres lærer, som har observeret undervisningen, og mine egne observationer, viser det samme. Det gør jeg for både at have elevernes egen vurdering og vores fagdidaktiske vurdering. Det jeg kommer frem til, analyserer og diskuterer jeg i forhold til teori for at vurdere, hvorfor eleverne har følt det sådan. Jeg gør det for at undersøge, om min undersøgelse stemmer overens med andres undersøgelser. Jeg starter med at bruge Knud Illeris' læringsteori. Denne teori vælger jeg fordi, det er en generel teori om læring, som jeg kan anvende til at analysere og vurdere undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisnings påvirkning på elevernes læring. Derefter har jeg valgt, at analysere det i forhold til Eccles og Wigfilds teori om værdiperspektiver, som er en motivationsteori. Denne teori er valgt, fordi den siger noget om, hvordan anvendelsesorienteret undervisning påvirker eleverne. Denne teori vil jeg bruge til at analysere og diskutere elevernes udsagn. Det vil jeg diskutere i forhold til Illeris' læringsteori for at sammenligne, om begge teorier kommer frem til det samme om påvirkning på elevernes læring. Derefter vil jeg holde det op imod Blomhøjs undersøgelser omkring undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisnings påvirkning på eleverne. Dette gør jeg, fordi han har erfaringer med, hvordan denne type undervisning påvirker elevernes læring. Jeg vil herefter anvende John Hatties teori til at vurdere, om denne type undervisning har en større effekt på elevernes læring end andre typer undervisning. Jeg anvender Hatties undersøgelse om synlig læring, da dette er en omfattende undersøgelse af hvilke faktorer, der har en effekt i forhold til læring. Dette leder mig frem til en konklusion på min problemformulering. 4. Empiri For at kunne undersøge min problemstilling har jeg lavet to undervisningsforløb til 8. klasse, hvor undervisningen tager udgangspunkt i undersøgelses- og anvendelses orienteret matematikundervisning. Disse forløb har jeg gennemført i forbindelse med min praktik. I denne opgave vil jeg kun redegøre, analysere og diskutere det ene forløb, da det i forhold til problemstillingen i denne opgave, var samme observationer og erfaringer, jeg gjorde ved begge undervisningsforløb. Det er ikke en omfattende undersøgelse, jeg har gennemført, da jeg kun har ét forløb, der er gennemført i én klasse. Derfor holdes mine resultater op imod andre teorier, der har erfaringer med denne type undervisning. Side 6 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 For at få kendskab til, hvilken type undervisning eleverne havde i matematik, inden jeg kom, og for at få kendskab til deres holdning til matematik og om de kan se meningen med det, har jeg lavet en kvantitativ undersøgelse, hvor jeg delte et spørgeskema ud(se bilag 1) til eleverne, inden jeg startede min undervisning. Dette valgte jeg at gøre for at få hele klassens mening omkring den matematikundervisning, de var vant til. Derudover lavede jeg en kvalitativ undersøgelse, hvor jeg efter forløbet interviewede klassens matematiklærer. Se spørgeguide på bilag 2. Dette gjorde jeg, for at få hendes redegørelse for, hvilken form for undervisning, hun praktiserede. I samme interview spurgte jeg læreren, hvilken effekt hun mente, den undervisning jeg praktiserede havde på eleverne. Dette kunne jeg spørge hende om, da hun observerede min undervisning. Jeg valgte et interview, da jeg her havde mulighed for at spørge ind til hendes svar og få uddybet hendes meninger. Jeg lavede også et gruppeinterview med 4 elever, der var repræsentative for klassen, da jeg valgte dem ud fra følgende kriterier: Der skulle være elever fra begge køn, og de skulle have forskellige fagligt niveau. Spørgeguide til interviewet findes på bilag 3. I Interviewet spurgte jeg ind til, hvad de synes om den måde, jeg havde bygget undervisningen op på. Derudover spurgte jeg, hvad de selv mente, de havde fået ud af undervisningen. Jeg valgte her at lave et gruppeinterview, fordi jeg tænkte, de kunne få hinanden til at tænke over noget, de havde glemt. Samt fordi det er mere repræsentativt for klassen at interviewe mere end én elev. Desværre synes jeg, gruppeinterviewet havde den effekt, at eleverne tit mente det samme. Dette kan også være, at de gjorde det, men det kan også være de blev påvirket af hinanden. Undervejs i undervisningsforløbet observerede jeg også eleverne. Disse observationer er systematisk deltagende, da jeg selv har været en del af undervisningen. Dette kan være en ulempe, da man ikke får set alt, hvad der sker i undervisningen, men de observationer jeg har, er stadig brugbare. Det sidste, jeg indsamlede, var en evaluering af, om eleverne havde lært noget i undervisningen. Dette foregik ved test, og ved at eleverne skulle udfylde begrebskort. Dette valgte jeg at gøre, fordi begge evalueringsformer har deres stærke og svage sider. 5. Undervisningsforløbet Undervisningsforløbet er planlagt inden for emnet sandsynlighed og statistik. Det er planlagt til og gennemført i en 8. klasse. På bilag 4 ses en overordnet undervisningsplan. Undervisningen er planlagt således, at den skulle tage udgangspunkt i eleverne. Det gjorde den ved, at eleverne i 1. lektion skulle komme med bud på, hvor man kunne anvende sandsynlighed og statistik. Ud fra elevernes bud, konstruerede jeg nogle opgaver, der for eleverne var anvendelsesorienteret, da opgavernes udgangspunkt var elevernes forslag om anvendelse. Undervisningen var opbygget således, at vi først arbejdede med sandsynlighed, og da eleverne havde fået styr på det, arbejdede vi videre med statistik. Lektionerne var ofte opbygget sådan, at jeg startede lektionen med at introducere, hvad dagens underemne var, og dermed også hvad målet med undervisningen var. Efter det fik eleverne lov til at arbejde undersøgende, og til slut var der en klassediskussion, hvor eleverne delte deres erfaringer, og jeg som lærer prøvede at få eleverne til at komme frem til de faglige pointer, som jeg havde tiltænkt lektionen og få skrevet dem op. Side 7 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 På bilag 5 ses en af opgaverne, som eleverne arbejdede med. Denne opgave er repræsentativ for forløbet. Opgaven handler om, at eleverne skal finde statistikker i aviser og forstå dem. Opgaven er anvendelsesorienteret fordi, en avis er noget eleverne støder på i deres hverdag, og dermed kan de også få brug for at læse en statistik fra en avis. Opgaven er undersøgende, da eleverne ikke har lært, hvordan man skal læse en statistik. Eleverne har tidligere lært om diagrammer og statistiske deskriptorer, disse kunne de så anvende til selv at finde en metode til at tyde forskellige statistikker. Dette gjorde de i par, for at de kunne diskutere og undersøge, hvornår de havde fået alt viden ud af statistikken. Undervejs gik jeg som lærer rundt og stillede uddybende spørgsmål, der fik eleverne til at undersøge videre. Efter arbejdet med opgaven delte eleverne erfaringer, og vi fik fundet frem til hvilke deskriptorer, man kan anvende til at sammenligne forskellige statistikker, samt hvilken effekt forskellige diagrammer har, og hvornår de kan anvendes. Samtidig gik det op for eleverne, hvor mange steder man anvender statistikker, og hvad de kan bruges til. Dette var et eksempel på hvordan eleverne typisk arbejdede i undervisningsforløbet. 5.1 Definition af undersøgelsesbaseret matematikundervisning For at kunne evaluere, om den ovenfor beskrevne undervisning er undersøgelsesbaseret, er jeg nødt til at analysere og vurdere, hvad en undersøgelsesbaseret undervisning er. Ifølge Blomhøj kan undersøgende matematikundervisning ”løseligt defineres som undervisning, hvor eleverne arbejder målrettet med at afgrænse og formulere problemer, gennemføre og kritisere eksperimenter eller andre empiriske undersøgelser, opsøge information, konstruere modeller, danner hypoteser, debattere med hinanden og læreren samt udvikle og formidle sammenhørende faglig argumentation.”13 Dermed siger han, at eleverne skal arbejde med problemer, for at eleverne arbejder undersøgende. Han siger ikke noget om, at det skal være problemer, eleverne selv skal opstille, dermed kan det også være et problem, som læreren giver eleverne. Hvis det er læreren, der har givet problemet, er det vigtigt, at eleverne er interesseret i at arbejde målrettet med problemet. Efter at eleverne enten har fundet eller godtaget et problem, som de mener er relevant, skal eleverne for at arbejde undersøgende lave eksperimenter eller empiriske undersøgelser. Dette gør eleverne for at prøve at komme frem til en løsning på deres problem. Samtidig med at eleverne skal udføre eksperimenter og undersøgelser, skal de være kritiske og refleksive i forhold til deres egne undersøgelser. Dette er nødvendigt for, at de prøver at sikre sig at det, de kommer frem til, er validt. For at eleverne kan udføre disse undersøgelser, kan det være nødvendigt for eleverne at søge informationer. De kan for eksempel søge informationer i nogle af deres tidligere noter, formelsamling eller på nettet. For at eleverne kan få styr på det, de har erfaret, kan eleverne konstruere modeller, de kan anvende til at forstå det, de kommet frem til i deres undersøgelser. Derudover er det nødvendigt, for at eleverne får en forståelse af problemet, at de diskuterer det, de har fundet frem til, enten med læreren eller med hinanden. Dette skal eleverne gøre for at viden almengøres i undervisningen gennem fælles refleksion over fælles erfaringer.14 Dette er nødvendigt, fordi eleverne ofte ikke selv kommer frem til de faglige pointer, der er for undervisningen. Derfor har eleverne brug for gennem dialog med 13 14 Blomhøj, 2013, side 173 Blomhøj, 2013, side 175 Side 8 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 læreren eller hinanden at blive udfordret. Det er lærerens opgave at sørge for, at elevernes undersøgelser bliver koblet sammen med den faglige viden. Dermed er undersøgende arbejde: Eleverne skal opstille eller tage et problem til sig, som de forsøger at løse ved at udføre eksperimenter, søge informationer eller anvende andres undersøgelser kritisk. For at få en faglig indsigt skal eleverne derefter anvende modeller og få diskuteret det, de er kommet frem til for til sidst at kunne formidle det. 5.2 Undersøgelsesorienteret undervisning Der er flere forskellige teorier om, hvordan man kan opbygge undervisningen, så den er undersøgelsesorienteret. I dette afsnit vil jeg kort redegøre for undersøgelseslandskaber, som er Skovsmoses teori. Derefter vil jeg evaluere mit undervisningsforløb i forhold til teorien. Herefter vil jeg anvende Hansens & Hansens analyse af undersøgende arbejde. Dette vil jeg kort redegøre for og derefter evaluerer undervisningsforløbet i forhold til. 5.2.1 Undersøgelseslandskaber 5.2.1.1 Redegørelse for undersøgelses landskaber: Et undersøgelseslandskab er et landskab, som læreren opstiller og inviterer eleven ind i. Men eleverne er først i undersøgelseslandskabet, når de ikke kan lade være med, at spørge ”hvad nu hvis?” og ”hvorfor nu det?” Til at starte med er det læreren, der stiller disse spørgsmål for at få eleverne til at blive optaget af problemet, som lægger til grund for undersøgelsen. Skovsmose deler undervisningen op i to paradigmer: Et opgaveparadigme og et undersøgelseslandskab. Derudover kan der være ren matematik, en semivirkelighed eller reelle referencer.15 Disse læringsmiljøer har fået tildelt nummer se nedenfor: Referencer til ”ren matematik” Referencer til en ”semivirkelighed” Reelle referencer Opgaveparadigme (1) (3) Undersøgelseslandskaber (2) (4) (5) (6) 16 5.2.1.2 Evaluering af undervisningsforløbet i forhold til undersøgelseslandskaber: Undervisningsforløbet i sandsynlighed og statistik har bevæget sig i nr. 3-6. Dermed har eleverne både arbejdet med opgaver, men også i et undersøgelseslandskab, hvor jeg har lavet oplægget. Blandt andet har eleverne arbejdet med en opgave om en spillebule. I arbejdet befandt eleverne sig i læringsmiljø 6, da de arbejdede med at undersøge noget, de kunne udføre i virkeligheden, men de gjorde det ikke. Undersøgelsen gik ud på, at eleverne skulle forstille sig at være en spillebule, hvor de skulle designe et spil, som folk ville spille, fordi sandsynligheden var stor nok, men som de stadig tjente penge på. Oplægget lød: ”Man skal tænke sig om, når man fastsætter spilleregler. Kunsten er at sikre, at der hele tiden er nogle, der vil spille med samtidig med, at man selv i det lange løb tjener på spillet. 15 16 Skovsmose, 2003 Skovsmose, 2003, s. 149 Side 9 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Til det formål er det godt at kende til sandsynlighedsregning. Hvordan kan I på en smart måde designe en ”spillebule”, hvor folk kan komme og spille med terninger, kostspil, mønter osv.?”17 I den opgave arbejdede eleverne i et undersøgelseslandskab, da eleverne arbejdede ud fra et oplæg, som de tog til sig, og gjorde til deres eget problem. Efter de havde arbejdet med oplægget, fremlagde de for hinanden og overvejede, hvilke af de andres spillebuler, som de selv ville besøge. Eleverne har også arbejdet ud fra opgaver formuleret af læreren, der kan hjælpe dem på vej i deres undersøgelser og til at få bearbejdet de data, de er kommet frem til, og få deres resultater til at blive til viden. Hvis eleverne arbejder ud fra en opgave, arbejder de ikke i et undersøgelses landskab ifølge Skovsmose. 18 Ifølge Blomhøj skal eleverne arbejde med et problem for at arbejde undersøgende.19 Derfor kan eleverne ifølge Blomhøj, godt arbejde undersøgende, selvom de arbejder med opgaver. Eleverne kan, ifølge definitionen på undersøgelsesbaseret matematik, som jeg analyserede mig frem til, godt arbejde med opgaver. Men hvis de gør det, arbejder de bare ikke i et undersøgelseslandskab, som Skovsmose beskriver dette.20 Dermed kan eleverne godt have arbejdet undersøgende ud fra definitionen af undersøgende matematik uden at arbejde i et undersøgelseslandskab. Skovsmose mener, at læreren skal bevæge sig mellem alle de 6 forskellige læringsmiljøer for at skabe kvalitet i undervisningen. Dermed er det ifølge Skovsmose ikke noget negativt i, at eleverne også arbejder med opgaver. 21 5.2.2 Undersøgelsesbaseret undervisning 5.2.2.1 Redegørelse for Hansen & Hansen analyser af undersøgelsesorienteret undervisning Nogle andre, der siger noget om undersøgelsesbaseret matematikundervisning, er Hansen & Hansen. De har taget udgangspunkt i van Joolingen & Zacharias fire forudsætninger, som de mener, skal være opfyldt for at undervisningen er undersøgelsesbaseret.22 Van Joolingen & Zacharias 4 forudsætninger (oversat): ”Iscenesættelse af den undersøgende virksomhed som rammesætter aktiviteten ved at virke motiverende og eventuelt målbeskrivende. Eksperimenter med og/eller undersøgelser af fænomenet. Der indgår vidensprodukter i forbindelse med kommunikative handlinger om hvad elever/studerende har erfaret gennem forløbet. Der anvendes en stilladseringstilgang hvor eleverne/studerende får mulighed for at gøre sig erfaringer og refleksioner gennem anvendelse af systematiske iagttagelser som de uden metodearket ville have svært ved”23 17 Gregersen, 2001, s. 188 Skovsmse, 2003, s. 148 19 Blomhøj, 2013, s 173 20 Skovsmose, 2003, s. 148-149 21 Skovsmose, 2003, s. 152 22 Hansen, 2013, s. 46 18 Side 10 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 5.2.2.2 Evaluering af undervisningsforløbet i forhold til Van Joolingen & Zacharia 4 forudsætninger Det første man skal, er at få opstillet et problem, ligesom i de andre teorier. Dette problem skal være motiverende. Igennem undervisningsforløbet har jeg, som tidligere beskrevet startet med at indlede dagens problem eller lagt op til at eleverne skulle formulere et problem ud fra dagens underemne. Dermed har jeg ifølge Hansen & Hansen og Van Joolingen & Zacharia iscenesat aktiviteten. Efter det skal eleverne ifølge teorien udfører eksperimenter, for at eleverne arbejder undersøgende. Dette gjorde de flere gange i undervisningsforløbet. De udførte blandt andet eksperimenter omkring sandsynligheden for at slå en sekser, dette prøvede de gentagne gange. De sammenlignede også resultater og overvejede, om de fik det, de forventede. Dermed reflekterede de over, om man altid ville finde den teoretiske sandsynlighed ud fra eksperimenter. De stillede også spørgsmål om, hvordan de kunne nærme sig den teoretiske sandsynlighed, og fandt også frem til, at det kunne man ved at slå flere gange. I dette eksempel arbejdede eleverne i et undersøgelseslandskab, som Skovsmose beskriver.24 Derudover lavede de lignende eksperimenter med en tændstikæske. Dette var givende på en anden måde, da eleverne ikke kendte den teoretiske sandsynlighed for resultatet på forhånd. Efter eleverne havde udført eksperimenter, fik de noteret ned og skrevet op. De fik også sammenlignet med de andre grupper i klassen. På denne måde opfyldte det Joolingen & Zacharias 3. punkt om at eleverne skal lave vidensprodukter omkring hvad de har erfaret. 25 I forløbet lavede eleverne ikke kun eksperimenter, i nogle sammenhænge lavede de også undersøgelser, hvilket er de to arbejdsmåder, som ifølge Hansen & Hansens teori skal lægge til grund for en undersøgende matematikundervisning. Dette gjorde de bl.a. i forbindelse med, at de skulle lave statistikker over klassens tv-forbrug. Dermed fandt eleverne selv frem til nogle svar, som de så kunne analysere ved brug af modeller og sammenligne med hinandens svar.26 Jeg brugte i forløbet ikke det metodeark, som der nævnes i nummer 4 af forudsætningerne. I stedet brugte jeg metoden fra undersøgelseslandskaber, hvor eleverne har brug for at reflektere og diskutere det med andre. 5.2.2.3 Redegørelse for hvordan man indfører undersøgelsesorienteret undervisning Hansen & Hansen kom frem til, at det kunne være svært for eleverne at skulle starte med at arbejde undersøgende, som man gør, når man følger de 4 forudsætninger.27 Derfor udviklede de en model for indførelsen af undersøgende undervisning. Den går ud på, at der findes flere niveauer for at arbejde undersøgende, og man kan så lade eleverne tage mere og mere over. Man starte med at indføre bekræftende undersøgelser, derefter kan man gå videre til strukturerede undersøgelser, derefter til guidede undersøgelser og til sidst er eleverne klar til at arbejde med åbne undersøgelser. Følgende er en beskrivelse af de forskellige undersøgelses niveauer: 23 Hansen, 2013, s.46. oversat fra Van Joolingen &Zacharia, 2009, s. 24 Skovsmose, 2003, 147-149 25 Hansen, 2013, s. 46 26 Hansen, 2013, s. 46 27 Hansen, 2013, s. 42 24 Side 11 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Bekræftende undersøgelser: Et undersøgende element bundet op på lærerens forestilling om læringsudbytte. Her stiller man spørgsmål og ansporer eleverne til, at stille yderligere spørgsmål. Strukturerede undersøgelser: Læreren kommer med spørgsmål og fremgangsmåde, og eleverne skal selv udvikle forklaringsmetoder. Guidede undersøgelser: Eleverne arbejder ud fra et læringsstillet spørgsmål, men de vælger selv hvordan de vil undersøge det. Åbne undersøgelser: Her stiller eleverne selv spørgsmålene, og planlægger og gennemfører undersøgelse som de forholder sig reflekterende til. 28 I de to øverst er læreren formidlende og styrende, og i de nederste to er læreren vejledende og faciliterende. Det ses i figuren til højre, hvor meget undervisningen henholdsvis er lærerstyret og mere elevstyret.29 5.2.2.4 Evaluering af undervisningen i forhold til indførsel af undersøgelser i undervisning Da eleverne, jeg underviste, havde prøvet undersøgende undervisning før, men ikke var vant til undervisningen generelt var opbygget således, startede jeg med en struktureret undersøgende tilgang, hvor eleverne fik et spørgsmål og en arbejdsmetode de skulle arbejde efter. Dette gjorde de blandt andet i en opgave om kombinatorik, hvor de skulle bygge med centicubes for at finde forskellige kombinationer. Dette ledte dog hurtigt nogle frem til en regneteknik, som de fik mulighed for at dele med andre. Der var også andre, der fandt frem til at bruge tælletræer i stedet for. Dermed startede det med at være en struktureret undersøgelse, men blev meget hurtigt til guidet undersøgelse, da eleverne selv fandt strategier, der i længden er bedre, end den strategi jeg havde lagt op til. Dette var også meningen med opgaven. Det var en af de første opgaver eleverne arbejdede med. Efter dette arbejdede vi mest i den guidede og åbne undersøgelser, da eleverne oftest fik lov at vælge, hvordan de ville undersøge problemet. 5.3 Anvendelsesorienteret Der findes også flere forskellige teorier om, hvordan man kan opbygge undervisningen, så den er anvendelsesorienteret. Her har jeg valgt kort at redegøre for Freudenthals teori om realistisk matematikundervisning. Derefter vil jeg evaluere, hvilken del af teorien jeg har anvendt i undervisningsforløbet om sandsynlighed og statistik. 28 29 Hansen, 2013, s. 44 Hansen, 2013, s. 44 Side 12 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 5.3.1 Realistisk matematikundervisning 5.3.1.1 Redegørelse for Realistisk matematikundervisning Realistisk matematikundervisning er en tilgang til undervisningen udtænkt af Freudenthal og forkortes RME. Undervisningen er opbygget således, at eleverne arbejder med problemer, som for eleverne er i en virkelig verden. Eleverne skal så prøve at løse problemerne ved at finde nogle metoder, som de finder anvendelige.30 Eleverne kan tage udgangspunkt i kontekster i RME. Dette giver eleverne mulighed for både at matematisere horisontalt og vertikalt. Dermed får de mulighed for at systematisere og organisere deres erfaringer. Det gør de både ved at matematisere områder, der endnu ikke er sat matematisk symbolsprog på og derefter manipulere og videreudvikle noget, der allerede er på matematisk symbolsk form. Eleverne skal altså bearbejde kontekster, der for eleverne er deres omverden og så finde matematiske midler og systematisere og forfine deres metoder.31 5.3.1.2 Evaluering af undervisningsforløbet i forhold til RME I RME er det dermed vigtigt, at eleverne skal arbejde med et for dem virkelighedsnært problem. Dermed skal de kunne se, hvad man kan anvende matematikken til uden for skolen, altså skal undervisningen være anvendelsesorienteret. Undervisningsforløbet tog som beskrevet udgangspunkt i, hvor eleverne mente man anvendte statistik og sandsynlighed. Dette skrev de ned i grupper inden forløbet blev planlagt. De skrev først ned, hvor de mente man anvendte sandsynlighed og derefter, hvor man anvendte statistik. I forhold til anvendelsen af sandsynlighed skrev mange af grupperne, at man anvendte sandsynlighed i spil, herunder lotto, kort og fodbold. En gruppe skrev også om at man brugte sandsynligheder i forbindelse med sygdomme og i forhold til vejret. Derfor valgte jeg, at undervisningen omkring sandsynlighedsregning primært skulle tage udgangspunkt i spil. Tidligere er beskrevet, at de arbejdede med sandsynligheden på en terning, og at de arbejdede med en opgave om en spillebule. Dermed arbejdede vi med det, som der var en realistisk hverdag for eleverne. Dette gav eleverne også udtryk for undervejs, at de kunne se, hvor de kunne bruge det. I min undersøgelse af hvor eleverne mente, man brugte statistik, var der mange flere bud. Grupperne skrev bl.a. at man anvendte statistikker til økonomi, karakterer, navnestatistikker, indbyggertal, vejr, at det bruges til at holde styr på regnskab, og at Danmarksstatistik havde statistikker over mange ting. Derfor valgte jeg, at vi her tog udgangspunkt i nogle aviser, se opgaven på bilag 4, så eleverne kunne se de forskellige måder, at stille statistikker op og få et kendskab til dem. Derefter skulle eleverne selv lave nogle undersøgelser i klassen, som de skulle lave statistikker over. Dermed tog vi i forhold til statistikdelen udgangspunkt i elevernes hverdag, og de fik selv lov at undersøge, hvordan de selv kunne indsamle data til at udarbejde statistikker. De fik dermed lov til at matematisere aviser ved at undersøge dem. De fik også systematiseret og forfinet deres metoder, da de prøvede det mere end en gang. På denne måde var undervisningsforløbet anvendelsesorienteret med udgangspunkt i Hans Freudenthal teori om RME. 30 31 Skott, 2008, s. 379-390 Skott,2008, s. 390-404 Side 13 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 5.4 Delkonklusion Undervisningsforløbet om statistik og sandsynlighed, som havde til hensigt at være undersøgelsesog anvendelsesorienteret, er det også. Det følger ikke kun en teori, som jeg i min planlægning også havde besluttet, at det ikke skulle, da jeg for det første ikke synes, der var nogle af teorierne der havde de samme kriterier, som jeg mener, er nødvendige for at lave et undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisningsforløb. For det andet synes jeg ikke der var en teori, som ville passe på den klasse, som jeg underviste i. Dermed har undervisningsforløbet elementer fra Skovmoses teori om undersøgelseslandskaber, Hansen & Hansens analyser og vurderinger af undersøgelsesorienteret undervisning og Freudenthals teori om RME. De kommer alle tre med forudsætninger og måder, hvorpå man kan opbygge en undervisning, der i alle tre tilfælde er undersøgende, og i det sidste tilfælde også er anvendelsesorienteret. 6. 8. klasse Undervisningen, der er blevet beskrevet ovenfor, er blevet udført i den 8. klasse, jeg var i praktik i. I den 8. klasse var der 21 elever, hvor 11 af dem var drenge. Det var en almindelig klasse på en folkeskole. Jeg vil nu først analysere og vurdere, hvordan elevernes undervisning var opbygget, inden jeg overtog undervisningen. Dette vil jeg for at undersøge om elevernes tidligere undervisning var undersøgelses- og anvendelsesorienteret ud fra interviewet med deres underviser. Derefter vil analysere deres holdninger til matematikundervisningen, inden jeg kom. Efterfølgende vil jeg vurdere, om det er den samme holdning, som TIMSS kom frem til. 6.1 8 klasses matematikundervisning Læreren beskriver i interviewet, at undervisningen inden jeg kom, er meget traditionel. Det, hun kalder traditionel, er, at hun starter med at forklare noget på tavlen, hvor hun efter eget udsagn indimellem kommer til at snakke lidt for meget, så der bliver for lidt tid til, at eleverne arbejder. Det prøver hun dog så vidt muligt at undgå. Derefter skal eleverne arbejde med opgaver, hvor de så vidt muligt får noget i hånden. Derudover er de meget færdighedsrettede, da hun udtaler, at det er det, eleverne bliver dømt på. Hun anvender en lærebog i undervisningen, men finder også opgaver andre steder, hvis hun ikke er tilfreds med lærebogen. Derudover afleverer eleverne en problemregningsaflevering en gang om ugen, som de et par dage inden skal have regnet, og så gennemgår de regneteknikkerne i de forskellige opgaver, så alle kan regne dem. En gang om ugen har de også en time med færdighedsregning, dette springer de nogle gange over. Dermed vil jeg ud fra beskrivelserne vurdere, at eleverne ikke er vant til en undersøgende tilgang som det bærende princip i undervisningen. De har dog stiftet bekendtskab med arbejdsformen i nogle af deres opgaver. Læreren nævner, at hun i starten af et emne forsøger at forklare eleverne anvendelsesaspektet i undervisningen. Eleverne blev i spørgeskemaet på bilag 1, spurgt om: I matematikundervisningen ved du så, hvorfor du skal lærer det, du lærer? Resultatet derfra stemmer overens med lærerens beskrivelse. Se tabel nedenfor: Svar mulighed Antal elever Nej aldrig 0 Sjældent 2 For det meste 13 Ja altid 4 Side 14 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Dermed må det enten være fordi eleverne glemmer, hvad læreren har sagt det skal bruges til, at eleverne ikke altid ved hvad de skal bruge det til. Eller fordi læreren kun forklare, hvad noget af det faglige stof, eleverne skal arbejde med, skal bruges til. For ellers ville alle eleverne altid vide, hvad de skulle bruge det de lærer til. Derfor vil det også være nyt for eleverne, at undervisningen er anvendelsesorienteret, altså at alle eleverne altid ved, hvad de kan bruge det til, som de er ved at lære, også uden for skolen. 6.2 8. klasses holdning til matematik I indledningen skrev jeg, at TIMSS har lavet en undersøgelse over elevers holdning til matematik og naturfag. Der var de kommet frem til at 37 % kunne lide matematik, mens 21 % ikke kunne. 32 Derudover fandt de ud af, at mange elever manglede motivation for matematik.33 I den 8. klasse jeg var i, udleverede jeg et spørgeskema til eleverne, det ses på bilag 1. Der spurgte jeg ikke direkte, hvad eleverne mener om deres undervisning, men de kom alligevel med følgende udsagn: Holdning Antal elever Undervisning er kedelig Undervisning er god / fin Undervisningen er nogle gange sjov andre gange kedelig Undervisningen er svær Får ikke nok ros Ikke ved hvad det skal bruges til Lærer meget 3 3 1 Positiv eller negativ holdning Negativ Positiv Neutral 4 1 1 Negativ Negativ Negativ 5 Positiv Dermed har 9 elever en negativ holdning til undervisningen, og 8 elever har en positivt holdning til undervisningen. Der er 2 fra klassen, der ikke har udfyldt spørgeskemaet. og 2 der ikke skriver noget direkte om undervisningen, men mere om læreren. Da jeg ikke direkte spurgte om deres holdning til matematikundervisningen, men bare bad eleverne beskrive deres undervisning, kan man ikke helt være sikker på denne fordeling. Men hvis man regner det om til procent, er det 42,8 % der har negativ holdning, synes det svært eller kedeligt, ligeledes 38 % der synes det er godt eller lærerigt, og en gruppe der ikke har tilkendegivet deres holdning på 9,5 %. Det er både, en større procent del der er positive, og en større del der er negative i forhold til i TIMSS undersøgelse. Dermed mener jeg, der er for stor en procentdel, der mener, det er kedeligt og for svært, for i længden går det ud over elevernes motivation. For hvis eleverne ikke har en forventning om at kunne klare en opgave, mister de motivationen.34 Jeg vil komme nærmere ind på motivation senere. 32 Aarhus universitet 2011, s. 11 Skaalvik, 2015, s. 10 34 Skaalvik, 2015, s. 81-82 33 Side 15 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 6.3 Delkonklusion Eleverne i klassen har tidligere stiftet bekendtskab med undersøgelsesorienteret undervisning, og de fleste ved for det meste også, hvad de skal bruge den lærte matematik til, men det er nyt for dem, at undervisningens fokus er undersøgelses- og anvendelsesorienteret. Eleverne i 8. klassen, har i forhold til TIMSS undersøgelse af elevers holdning til matematik undervisningen både en større procentdel, der synes godt om undervisningen og en større procentdel, der ikke kan lide undervisningen. Dermed er der færre, der har en neutral holdning til undervisningen. 7. Hvorfor undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning Hvorfor beskæftige sig med undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning? Dette er der flere forskellige grunde til. En af grundene er, at der er kommet en ny reform, hvor denne type undervisning kan være en af måderne til at nå målene. En anden grund er, at det kan være en måde at opfylde de Forenklede Fælles Mål, vi som lærere er bundet op på. Jeg vil her analysere, hvorfor der er grund til at arbejde med undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning, først ud fra folkeskolereformen og derefter ud fra Forenklede Fælle Mål. I Forenklede Fælles Mål for matematik, er der kompetencer, som eleverne skal opnå. Derfor vil jeg analysere, hvad en kompetence er. Jeg vil slutte dette afsnit af med at diskutere fordele og ulemper ved at tilegne sig kompetencer, og vurdere hvad fordelen er ved at tilegne sig en kompetence. 7.1. Folkeskolereformen 2014 Folkeskolereformen fra 2014 vil give eleverne en længere skoledag, som dermed også skal være mere varieret. Dette skal give eleverne mulighed for mere læring, og en faglig fordybelse der ikke har været plads til før. Eleverne skal have mulighed for at fordybe sig i det, der motiver dem. Dermed kan undersøgelsesorienteret undervisning være en måde at gøre det på, fordi det tager udgangspunkt i problemer som eleverne finder relevant. Undersøgelsesorienteret undervisning giver også mulighed for, at eleverne selv vælger deres arbejdsmåder og dermed kan komme til at arbejde på forskellige måder, hvilket er med til at variere undervisningen. 35 Ydermere er der med den nye skolereform kommet fokus på, at den klassiske tavleundervisning skal kombineres med praktiske arbejdsformer. Dette kunne for eksempel være en undersøgende tilgang, hvor eleverne selv får lov at vælge deres arbejdsmetode, og dermed kan vælge en praktisk tilgang. Argumentet i den nye reform for dette er, at eleverne dermed kan blive udfordret og motiveret, både hvis det er en faglig stærk elev, men også hvis det er en faglig svag elev.36 En anden ting, der er fokus på i den nye reform, er, at skolen skal åbne sig for det omgivende samfund, så eleverne kan opleve hvordan det, de lærer i skolen, kan bruges i virkeligheden. Det kunne være en god måde til at få undervisningen til at blive anvendelsesorienteret, at eleverne enten før eller efter de arbejder med et emne, er på et besøg eller får besøg af en, der anvender det, de 35 36 Undervisningsministeriet, 2014a, s. 6 Undervisningsministeriet, 2014a, s. 8 Side 16 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 lærer, til dagligt. Derfor er der med den nye folkeskolereform belæg for, at undervisningen kan opbygges undersøgelses- og anvendelsesorienteret. 37 7.2. Fælles mål Udover at vi som lærere er forpligtet til at leve op til folkeskoleloven, er vi også forpligtet til, at eleverne skal opnå målene i Forenklede Fælles Mål. Derfor er det også relevant at se på, om der er belæg for, at eleverne skal arbejde undersøgelses- og anvendelsesorienteret i Forenklede Fælles Mål. I vejledningen til Forenklede Fælles Mål står der: ”At matematik fordrer og fremmer kreativt arbejde betyder, at matematik blandt andet er en eksperimenterende og undersøgende proces, hvor eleverne udvikler deres egne matematiske resultater”.38 Dermed står der direkte i vejledningen, at eleverne i deres arbejde i matematikundervisningen skal arbejde undersøgende og eksperimenterende, da undervisningen skal fordre og fremme kreativt arbejde. Det skal de for at finde frem til deres egne resultater. Der står ikke, at undervisningen altid skal være bygget op på denne måde. Men hvis eleverne altid selv skal finde frem til deres resultater, og de gør det gennem undersøgende og eksperimenterende arbejde, bliver de nødt til altid at arbejde på denne måde. I forhold til ovenstående citat skriver de, at det er vigtigt for eleverne, at de har mulighed for at indgå i dialog og samarbejde, for at de kan prøve flere forskellige muligheder, får mulighed for at prøve flere forskellige hypoteser, finde løsninger og kunne berette om deres løsninger.39 Dette ligger op af van Joolingen & Zacharias fire forudsætninger for at skabe en undersøgende undervisning. Derudover minder det også om den måde, jeg har gennemført undervisningen i 8. klasse. I vejledningen står der derudover, at undervisningen skal være varieret og anvendelsesorienteret. Dette skal den for at øge elevernes alsidige udvikling, motivation og trivsel. 40 Dermed er der god grund til, at man skal opbygge undervisningen således at den er undersøgelses- og anvendelsesorienteret. Udover det, der står i vejledningen til Forenklede Fælles Mål, er der i matematik nogle kompetencer som eleverne skal tilegne sig. Men før jeg kommer ind på disse kompetencer, vil jeg finde frem til hvad en kompetence er. 7.2.1 Analyse af kompetencebegrebet Kompetencebegrebet bruges i mange forskellige sammenhænge. Dermed er der også forskellige forståelser af det at besidde en kompetence. I Danmark har Per Schulz Jørgensen, der er professor i socialpsykologi, været en af dem der har været med til at diskutere hvad en kompetence er. Kompetencebegrebet i forhold til Jørgensen er, at man besidder en kvalifikation til at kunne anvende sin faglige viden i forhold til de krav, der er i en given situation. 41 Hans betegnelse af kompetence er ikke langt fra Tomas Højgaard. Højgaard mener, at ”kompetence er nogens indsigtsfulde parathed til at handle på en måde der lever op til udfordringerne i en given situation”.42 Dermed skal man, når man besidder en kompetence, også kunne anvende sine 37 Undervisningsministeriet, 2014a, s. 7 Ranghøj, 2014, afsnit 1,2 39 Ranghøj, 2014, afsnit 1,2 40 Ranghøj, 2014, afsnit 3,7 41 Undervisningsministeriet, 2011, s. 26 42 Højgaard, 2008, s. 43 38 Side 17 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 personlige forudsætninger til at vurdere en situation. For at have en kompetence inden for et område skal man besidde en kvalifikation, kunne handle og anvende sine personlige erfaringer i forhold til dette område, men samtidig kunne anvende det i en anden kontekst.43 Kompetencen gør sig gældende inden for et bestemt område/domæne og det er inden for det domæne man er i stand til at handle.44 For matematikundervisningen sigter kompetencebegrebet mod at eleverne skal kunne agere i, om og med faget. ”Matematisk kompetencebesiddelse kan beskrives som en indsigtsfuld parathed til at handle på en måde, der lever op til udfordringen i en given situation, hvor matematik og matematikvirksomhed indgår, eller kommer til at indgå”.45 Dette kræver dermed, at eleverne har nogle færdigheder og viden, som de kan bringe i spil i forskellige sammenhænge for at kunne løse matematik-faglige situationer eller problemer.46 Grunden til, at der er kommet fokus på kompetencer, er fordi, man er begyndt at fokusere mere på elevernes processer for at nå til et produkt i stedet for kun at fokusere på produktet. Dette fokus er kommet ud fra, at eleverne skal lære det tilsigtede med forståelse, og ikke bare lære en proces, der fører dem til svaret.47 7.2.2 Matematiske kompetencer I matematik er der 6 kompetencer, som eleverne skal tilegne sig gennem deres skolegang. Det er problembehandling, modellering, ræsonnement og tankegang, repræsentation og symbolbehandling, kommunikation og hjælpemidler.48 For at opnå problembehandlingskompetencen skal eleverne kunne løse problemer ved en undersøgende virksomhed. Det er ikke hensigten, at de kan løse den ud fra en rutinepræget færdighed. Dermed er det nødvendigt for eleverne, at de ved, hvordan de skal arbejde undersøgende og dermed, at de er vant til det, hvilket de bliver når undervisningen er undersøgelsesbaseret.49 I elevernes undersøgende arbejde får de også mulighed for at træne deres ræsonnement og tankegang. Dette gør de ved, at de hele tiden i deres arbejde skal stille spørgsmål for at komme videre. Derefter skal de så ræsonnere sig frem til løsninger. Eleverne skal også kunne følge hinandens ræsonnementer, da de skal diskutere deres resultater for at komme frem til mere brugbare løsninger. Dermed får de trænet deres tankegang- og ræsonnementskompetence, da det går ud på det beskrevne. Eleverne får også trænet deres kommunikationskompetence, da de kommunikerer om matematik og dermed anvender det matematiske sprog. 50 I forhold til den anvendelsesorienterede undervisning får eleverne arbejdet med modellering, da den kompetence går ud på at kunne opstille matematiske modeller af virkeligheden. Dette kommer eleverne til, når de arbejder med noget, der er anvendelsesorienteret. Det gjorde de fx i forløbet, hvor de arbejdede med sandsynlighed, for når eleverne regner på sandsynligheder, putter de virkeligheden ind i en model om, at man kan forudsige forskellige hændelser.51 Dermed kommer 43 Undervisningsministeriet, 2011, s. 26 Højgaard, 2008, s 43 45 Undervisningsministeriet, 2011, s. 27 46 Jensen, 2002, S. 43 47 Undervisningsministeriet, 2011, s. 27 48 Ranghøj, 2014, afsnit 4,1 49 Ranghøj, 2014, afsnit 4,1 50 Ranghøj, 2014, afsnit 4,1 51 Ranghøj, 2014, afsnit 4,1 44 Side 18 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 eleverne til at arbejde og bringe mange af de matematiske kompetencer i spil, når de arbejder undersøgelses- og anvendelsesorienteret. 7.3 Tilegnelse af kompetencer Det at tilegne sig kompetencer er, at eleverne får tilegnet sig nogle færdigheder og forståelse, de kan bringe i spil i andre situationer. Der er to former for forståelser: Relational and instrumental Understanding. Den instrumentelle er, hvor eleverne har evnen til at løse problemer ud fra en regel, de husker, men de ved ikke hvordan reglen virker.52 Dette er den måde, vi gerne vil væk fra.53 Hvorimod den relationelle forståelse er, hvor eleverne selv kan udlede nogle regler og procedurer fra matematiske forhold. Fordelen ved den instrumentelle undervisning er, at det er lettere at forstå, og dermed er det lettere for eleverne at give de rigtige svar. Dermed får eleverne succes. Derimod er det svært at lære matematik relationelt, men når eleverne så har gennemgået læringen, vil de have nemmere ved at huske det lærte. Det er også nemmere for eleverne at relatere deres regler og procedurer til andre problemer, da det netop er den måde eleverne har fundet deres løsningsmåde på. Ved at eleverne selv arbejder med at løse problemer, aktiverer den relationelle tilgang elevernes indre motivation, hvilket medvirker at eleverne selv opsøger og udforsker nye områder.54 Den undersøgende tilgang til undervisningen er, hvor eleverne arbejder på at få en relationel forståelse. Dermed er det for eleverne en svær proces, men de får på den måde ikke bare tilegnet sig en forståelse, men også kompetencer. Når eleverne har tilegnet sig kompetencer og forståelse ved at arbejde undersøgende, vil eleverne have nemmere ved at huske det. Eleverne vil også nemmere blive motiveret til at arbejde videre med spørgsmål.55 7.4 Delkonklusion Der findes både i Folkeskolereformen fra 2014 og Forenklede Fælles Mål for matematik belæg for at opbygge undervisningen undersøgelses- og anvendelsesorienteret. Det er en nødvendighed, at eleverne stifter bekendtskab med denne arbejdsform, for at eleverne kan tilegne sig de kompetencer, som matematikundervisningen sigter imod. Ved tilegnelse af kompetencer vil eleverne, når de arbejder undersøgende, tilegne sig dem ved relationel forståelse. Dette medfører, at eleverne husker det, de lærer, og har nemmere ved at blive motiveret til at arbejde videre med et problem, og dermed gå i dybden med stoffet, som er det Folkeskolereformen tilsigter. 8. Undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisnings påvirkning på eleverne Efter undervisningen lavede jeg et interview med eleverne, om deres mening om undervisningen, og hvordan de mener, undervisningen har påvirket dem. Jeg vil analysere og vurdere, hvad eleverne mente, de fik ud af undervisningen. Efter dette vil jeg ud fra interviewet med læreren analysere, hvordan hun mener, at undervisningen påvirkede eleverne. Dette vil jeg vurdere i forhold til 52 Hansen, 2013, s. 40-41 Undervisningsministeriet, 2011, s. 27 54 Hansen, 2013, s. 40-41 55 Hansen, 2013, s. 40-41 53 Side 19 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 eleverne egen mening. Derefter vil jeg vurdere og diskutere det jeg er kommet frem til i forhold til andres teorier om læring. 8.1 Elevernes mening om undervisningens påvirkning Jeg startede mit interview med at spørge eleverne, om eleverne skulle beskrive den måde jeg underviste på, hvordan de så ville gøre det. Hertil svarede en af eleverne: ”Jeg synes, man lærte rigtig meget af undervisningen, fordi det er sådan en anderledes måde end vi plejer.” Eleverne fortæller derefter, at det, de synes, der er anderledes, er, at jeg ikke forklarer i lang tid, men bare forklarer lidt og så får de selv lov til at prøve sig frem. Dette har de godt kunnet lide, for de mener, de lærer mere ved at få lov til at prøve sig frem. Eleverne kom i interviewet også med udsagn, der stemmer overens med teorien om relationel forståelse. En af eleverne sagde i forhold til opgaven om spillebulen: ”Men jeg synes det der med spillet, det var sådan lidt uoverskueligt i starten på en eller anden måde, fordi det føles som om, der var så meget, men så snart man kom i gang, så var det ikke så galt alligevel.” Dermed synes eleven også, det var svært at lære det tilsigtede med denne arbejdsform. De er dog enige om, at de alligevel fik styr på tingene, når de lige havde arbejdet lidt med det. Eleverne er også enige med teorien om, at de tror de husker det bedre, fordi de får mulighed for at komme mere i dybden med det faglige stof, når de arbejder undersøgende.56 De mener også, de husker det bedre, når de ved hvad det skal bruge til. For som en af eleverne sagde, så ryger det ikke bare ud af det andet øre, når der er et formål med undervisningen. Eleverne var i det hele taget meget positive omkring den undervisning, de havde deltaget i. En af eleverne sagde: ”Jeg synes også det er rigtig godt, og jeg synes, det sådan er blevet sjovere, når man skal have matematiktimer i det forløb, hvor du har været her. Og så synes jeg, det er rigtig godt, det der at man ved hvad man skal bruge det til.” På baggrund af hele interviewet vurderer jeg, at eleverne selv mener, at de lærer mere, når de arbejder undersøgelses- og anvendelsesorienteret. De har samtidig lyst til at lære mere, gå mere i dybden med tingene, høre bedre efter og husker det bedre. I det hele taget synes de at have været mere glad for undervisningen. De har dermed ændret holdning til undervisningen ved, at de synes den var blevet spændende og meningsfuld, og de kunne se, hvad de skulle bruge matematik til. 8.2 Lærerens mening om undervisningens påvirkning Læreren var meget enig med elevernes egne udsagn om, hvad de synes, de havde fået ud af undervisningen. Hun mente, at eleverne var mere motiverede for opgaverne og havde nemmere ved at komme i gang med opgaverne, når de vidste, hvad de kunne bruge det til i samfundet uden for folkeskolen. Dermed også at de vidste, det var nødvendigt for dem at lære. Derudover nævnte hun også, at det var som om eleverne fik ejerskab over opgaverne, når de arbejdede undersøgende, hvilket også virkede motiverende for dem og fik dem til at arbejde mere med opgaverne, end de normalt gjorde. Hun nævnte, at eleverne virkede mere glade i forløbet om sandsynlighed og statistik. Så det påvirkede dem til, at de var i et positivt læringsmiljø, hvor de var motiverede og glade for undervisningen. Det var ifølge lærerens og min egen vurdering alle eleverne i klassen, der virkede interesseret og præsterede en god arbejdsindsats i undervisningen. Det gjaldt også de elever, 56 Hansen, 2013, s. 40-41 Side 20 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 der normalt ikke var så interesseret i matematikundervisningen. Der var ikke nogle elever, der igennem undervisningen spurgte ind til, hvorfor de skule lære det, eller sagde, det gad de ikke. Eleverne var hele tiden selv opmærksomme på, hvorfor det var godt for dem at lære. Efter undervisningsforløbet blev eleverne evalueret på 2 måder. Den ene måde var en test, som var den evalueringsmåde eleverne var vant til. Ifølge læreren virkede det til, at flere havde fået bedre resultater, end de normalt opnåede i en test efter et forløb. Man kan dog ikke helt sammenligne det, da eleverne arbejdede inden for forskellige emner. Den anden evaluering var, at eleverne fik udleveret en lang række begreber, se bilag 6, som de skulle forklare med deres egne ord. Derefter afleverede de det, så jeg kunne se, om de havde lært det tilsigtede. Der havde alle eleverne ud fra min vurdering opnået de læringsmål, jeg havde opstillet for forløbet. 8.3 Læring 8.3.1 Redegørelse for Illeris' læringsteori Der er mange forskellige teorier om, hvordan eleverne tilegner sig den læring, undervisningen tilsigter. En af disse teorier er Illeris' læringsteori. Ifølge teorien er der 2 processer, der skal ske, for at læring finder sted. Disse finder oftest sted samtidig, men kan være lidt tidsmæssigt forskudt. Den ene proces er samspillet mellem individets og dets omgivelser, som finder sted al den tid, vi er vågen. Den anden er den psykologiske bearbejdelse og tilegnelse af de impulser og påvirkninger, som samspillet indebærer. Disse nye impulser sætter vi ofte sammen med tidligere læring, dermed bliver det et personligt og individuelt resultat af læringen. Samtidig med at eleven er i samspil med omgivelserne, er der også et indhold, som eleverne skal lære, men eleven lærer det ikke uden en drivkraft. Dette kalder Illeris for tilegnelsesprocessen: Eleverne skal tilegne sig et indhold med en drivkraft. Drivkraften er en psykisk energi, som eleverne skal bruge for at tilegne sig læring. Denne psykiske energi er påvirket af, om det er noget man er interesseret i at lære, eller noget man tvinges til at lære. Dermed kommer drivkraften også til at påvirke det lærte. Sammenhængen mellem samspils- tilegnelsesprocessen og individet ses i figuren57 til højre.58 8.3.2 Analyse af Illeris' læringsteori Ifølge dette er det vigtigt, at eleverne har en drivkraft, for at de har mulighed for at tilegne sig læring. Denne drivkraft består af det motivationelle, følelsesmæssige og viljemæssige. Der er ifølge Illeris forskel på, om drivkraften er skabt af noget, eleven føler sig tvunget til at lære, eller om det er 57 58 Kræsne børn, 2012 Illeris, 2006, kapitel 3 Side 21 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 noget eleven har interesse i at lære. Den elev, der er interesseret i at ville lære, vil oftest have nemmere ved at huske det lærte, end den elev der ikke har været motiveret, selv om de har lært den samme faglige matematikpointe. Den motiverede elev vil også anvende det lærte i alle mulige relevante sammenhænge, også uden for undervisningen. Hvorimod den ikke-motiverede elev vil have en tendens til at undgå at se denne sammenhæng med det matematikfaglige.59 Dermed vil eleverne i den 8. klasse, jeg underviste i, som gav udtryk for at det var blevet sjovere og mere spændende, være mere interesseret i undervisning. Det vil medføre, at de fleste vil have nemmere ved at huske det lærte, og de vil have nemmere ved at anvende deres viden uden for skolen. 8.3.3 Analyse af hvordan læringen finder sted Denne læring, som eleverne skal tilegne sig, kan ske på to måder ifølge Piaget. Læring er at sammenkoble noget nyt med det, man i forvejen ved. Det kan ske ved assimilation som en tilføjelse eller akkumulativt som en omstrukturering. Hvis læringen foregår ved assimilation, er det lærte karakteriseret ved at være bundet til bestemte skemaer. Dermed er det svært at anvende denne viden i andre sammenhænge. Et eksempel på dette er, når eleverne har lært at tegne funktioner i matematik, kan de have svært ved at overføre det til fysiktimerne. Hvorimod akkumulation giver mulighed for at aktivere viden i andre situationer. Grunden til at vi ikke altid bare akkumulerer, hvilket giver den tilegnede viden størst brugsværdi, er fordi, det kræver en større psykisk energi at akkumulere end at assimilere. Derfor undgår vi denne form for læring, hvis vi ikke har interesse i at lære det. Det er derfor eleverne, hvis de er interesseret i at lære stoffet, bedre vil kunne bringe den tilegnede viden i spil i andre sammenhænge. Hvis eleverne pga. deres interesse for stoffet bruger energien på at lære det akkumulativt, får de en mere holdbar og anvendelig læring. Det giver også mulighed for mere sammenhængende forståelser, som de vil huske bedre. Det er gennem akkumulativ tilegnelse, at eleverne tilegner sig kompetencer, da de får tilegnet sig stoffet således, at de også vil kunne anvende det i en anden situation.60 8.3.4 Diskussion og vurdering af eleverne mening om undervisningens påvirkning i forhold til Illeris' læringsteori En af eleverne kom i interviewet ind på, at hun havde anvendt den læring, hun havde tilegnet sig i undervisningen, hjemme. Hvis man holder det i forhold til Illeris' læringsteori og Piagets teori om tilegnelse af læring, så tyder det på, eleven har tilegnet sig læringen eller dele af læringen i undervisningsforløbet akkumulativt. Dermed giver det eleven kompetencer inden for analyse af statistikker. For hvis hun havde tillært sig det assimilativt, vil hun forbinde læringen med matematikundervisningen. Eleverne var, som skrevet, generelt positive i forhold til forløbet, og dermed var de blevet interesseret i at lære stoffet. Derfor havde eleverne lyst til at anvende mere psykisk energi på at tilegne sig stoffet akkumulativt, og dermed har de i forløbet opnået en mere holdbar og anvendelig viden, som de husker bedre. I Illeris' læringsteori kan man også finde argumenter for, hvorfor eleverne synes, de lærte mere af at arbejde undersøgelsesorienteret. Det gjorde eleverne, fordi de havde en drivkraft for stoffet. Dette havde de fordi, forudsætningerne for en drivkraft var til stede. De forudsætninger er, at det skal 59 60 Illeris, 2006, kapitel 5 Illeris, 2006, kapitel 4 Side 22 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 være interessant for dem, og det blev undervisningen, da de kunne se hvad de kunne anvende det til. Derudover er det også vigtigt, at stoffet er overkommeligt for eleverne, men det må heller ikke være for nemt. Når eleverne arbejder undersøgende, tager det udgangspunkt i deres egne forudsætninger. Dermed kommer de til at arbejde på et niveau, der er tilpasset dem.61 Ved at eleverne arbejder undersøgende, er det også eleverne der bestemmer, hvordan de vil arbejde, og hvordan de vil nå frem til svaret. Dermed er de medbestemmende og aktive. Dette læringsmiljø hvor eleverne er medbestemmende og aktive, giver eleverne mulighed for kritisk refleksion og social ansvarlighed i forhold til egen læring, som ifølge Illeris også er med til at øge læringen.62 Det, at eleverne reflekterer over emnet, gør også, at de nemmere kan koble det sammen med dets anvendelse i samfundet.63 8.4 Motivation I Illeris' teori skal eleverne have en drivkraft for, at læring kan finde sted. Denne drivkraft består af motivation, følelser og vilje til at lære. Der er også andre, der har beskæftiget sig med, hvad der i undervisningen gør, at eleverne er motiveret. For det er ikke kun Illeris, der mener, at der skal motivation til. Skaalvik & Skaalvik mener også, at motivation er nødvendig for at igangsætte og holde en aktivitet ved lige, og det er endvidere styrende for elevernes adfærd.64 8.4.1 Redegørelse for Eccles og Wigfields teori om værdiperspektiver Skaalvik & Skaalvik redegøre i deres bog, om motivation, for Eccles og Wigfield motivationsteori om værdiperspektiver. Den går overordnet ud på, at hvis eleverne kan se værdien i faget, bliver de motiverede. De har 4 former for værdier: Indre værdi, nytteværdi, personlig værdi og omkostninger. Indre værdi er, hvis man oplever glæde ved en aktivitet. Denne værdi er der nogle elever i en klasse, der vil have til et bestemt fag, emner eller arbejdsmåder. Dog vil det sjældent kunne lykkes at få alle til at synes, en opgave er interessant. Derfor er det også vigtigt, at opgaven har en nytteværdi. Dette betyder, at eleverne kan se, at det, de lærer, kan komme dem til nytte senere i livet. Eleverne vil især i udskolingen være opmærksomme på, om det er noget, der er nyttigt for dem. Hvis de kan se, det er nyttigt, vil de være mere motiverede for skolearbejdet. Da eleverne i den klasse jeg underviste i, var udskolingselever, vil denne form for nytteværdi have en effekt på dem, da eleverne i udskoling nemmere bliver motiveret af at se nytteværdien i faget end yngre elever. Ved at eleverne ser værdien i faget, vil det øge motivationen, som medfører at eleverne har en øget indsats og udholdenhed i forhold til deres indsats i undervisningen. Dette stemmer overens med min og lærerens observation af eleverne, at når de arbejdede med noget anvendelsesorienteret, fik de lyst til at arbejde med det, også selvom det kunne være svært at tilegne sig den viden, de havde brug for.65 61 Illeris, 200, kapitel 6 Illeris, kapitel 7 63 Illeris, kapitel 5 64 Skaalvik, 2015, s. 11 65 Skaalvik, 2015, s. 43-45 62 Side 23 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 8.4.2 Diskussion og vurdering af eleverne mening om undervisningens påvirkning i forhold til teorien om værdiperspektiver For at eleverne kan se det nyttige i faget, er det ifølge Ecceles og Wigfield en god ide, at eleverne selv reflekterer over det og kommer med bud på hvorfor. Dette var også den måde, jeg valgte at starte undervisningen på. Jeg valgte at gøre det, for at undervisningen kunne tage udgangspunkt i eleverne, men dette har ifølge teorien haft en medvirkende effekt til, at eleverne blev motiveret for undervisningen.66 Eccles og Wigfield er enige med Illeris i, at eleverne skal have opgaver, der er overkommelige. Det skal de, fordi at eleverne værdsætter det, de er dygtige til. Dermed er det nødvendigt med en differentieret undervisning, hvilket en undersøgelsesorienteret undervisning er, da elever ikke er ens. Det er den, da eleverne selv vælger arbejdsmåder. I en vis grad vælger eleverne også hvor meget i dybden, de går med problemet.67 Denne teori giver en god begrundelse for, hvorfor eleverne var så begejstret for at arbejde anvendelses- og undersøgelsesorienteret. Det gør den, da denne form for undervisning har givet dem motivation for undervisningen, da de ifølge teorien har kunnet se værdien i undervisningen, samtidig med den også har været overkommelig for dem. Dette har givet dem drivkraften til at tilegne sig læring.68 Det man skal huske ved en sådan motivationsteori er, at det er en blandt mange, da der ikke kun er en faktor der er afgørende for, at det lykkes at motivere eleverne. Man er også nødt til at have fokus på nogle af de andre faktorer. I den undervisning jeg har gennemført, har det virket til eleverne har været motiveret. Jeg kan dog ikke udelukke, at det kan være af andre årsager end disse aspekter, jeg har fokuseret på. Jeg vil ud fra elevernes udsagn mene, at tilgangen til undervisningen har spillet en rolle for deres motivation, dermed sagt vil jeg vurdere, ud fra teorien, at eleverne er blevet motiveret af anvendelsesperspektivet i undervisningen.69 Eleverne mente også selv, at de blev motiveret af, at de fik lov at undersøge. Derfor er eleverne både blevet motiveret af anvendelses- og undersøgelses perspektivet i undervisningen. 8.5 Delkonklusion Eleverne giver udtryk for, at de har lært mere i undervisningen. De synes, undervisningen har været mere spændende, og de føler, at der har været plads til at kunne gå i dybden med stoffet. Eleverne har også set meningen med undervisningen, og hvor de kan anvende matematik uden for skolen, hvilket de tror, får dem til at huske det, de har lært, bedre. Læreren og jeg var enige med eleverne i, at de virkede mere glade. De var i forløbet mere motiverede og havde en større arbejdsmoral, end de normalt havde i undervisningen. Det førte til, at det som udgangspunkt så ud til, de klarede sig bedre i evalueringen efter forløbet. Eleverne havde opnået de læringsmål, der var opstillet for dem. 66 Skaalvik, 2015, kapitel 5 Skaalvik, 2015, kapitel 5 68 Skaalvik, 2015, kapitel 5 69 Skaalvik, 2015, side 83 67 Side 24 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Ud fra Illeris' læringsteori har jeg vurderet, at eleverne, fordi de var interesseret i undervisningen, har nemmere ved at huske det, de lærer, og har nemmere ved at anvende deres viden uden for skolen. Dette har de fordi, de har tilegnet sig læringen eller dele af læringen akkumulativt, der medfører, at eleverne får en mere holdbar og anvendelig viden. Eleverne har også tilegnet sig kompetencer i sandsynlighed og statistik, da de har tillært sig det akkumulativt. Eleverne har gennem den undersøgende undervisning været medbestemmende og aktive, og det har medført, at de har været refleksive og ansvarlige, som gør, at de øger deres læring. Gennem refleksionen får eleverne også nemmere ved at se meningen med undervisningen og hvordan den skal anvendes i samfundet. I Illeris' teori har eleverne brug for en drivkraft, denne drivkraft består af motivation, følelse og vilje. Eccles og Wigfield har en motivationsteori, som vurderer, hvordan eleverne kan blive motiveret, og dermed have en drivkraft til at tilegne sig indholdet. Denne teori siger, at hvis eleverne i udskolingen kender nytten af det, de lærer, bliver de motiverede. Dette medfører, at de engagerer sig i skolearbejdet og vil få en øget indsats og udholdenhed, som vil føre til en øget læring i sidste ende. 9. Andres resultater af undersøgelser af undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning I dette afsnit vil jeg vurdere om andres erfaringer med undervisningen også viser at eleverne får en øget læring af undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning. 9.1 Virker anvendelses- og undersøgelsesorienteret matematik - andres erfaringer? Ud fra mine egne observationer, analyser og vurderinger, har anvendelses- og undersøgelsesorienteret matematikundervisning haft en positiv indflydelse på elevernes læring. Men viser andres undersøgelser det samme? Blomhøj har bl.a. gennem sit arbejde med PRIMAS (Promoting Inquiry in Mathematics and Science education across Europe) vurderet, hvilken effekt undersøgelsesbaseret matematik har. PRIMAS er et projekt, der skal støtte lærere i at gennemføre en inquiry-based learning (IBL) eller undersøgelsesbaseret matematik, som jeg kalder det, i matematik og naturfag. Dette gør de bl.a. ved at udarbejde undervisningsmateriale til lærere. I undervisningsmaterialet er problemerne, som eleverne arbejder med, ofte baseret på virkelige situationer, så denne undervisning er oftest også anvendelsesorienteret.70 Undersøgende matematik åbner ifølge Blomhøj for, at eleverne kan få deres egne erfaringer med det stof, de arbejder med. Dermed kan matematiklæring lettere blive en del af deres personlige udvikling og dannelse. Han er også kommet frem til, at undersøgende arbejde kan være motiverende og lægge op til en større faglig fordybelse, end når undervisningen er præget af lærebogsopgaver. Dette er han kommet frem til ud fra John Deweys teori om, at mennesket har en indbygget motivation til at løse et givent problem eller forstå en situation. Dewey er også kommet frem til, at eleverne skal opleve, at den viden, de lærer, er nyttig og brugbar i deres omverden.71 70 71 Abril, 2013 Blomhøj, 2013, s. 174-177 Side 25 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Dermed er Blomhøj kommet frem til nogle af de samme pointer, som jeg er kommet frem til, ud fra min analyse af Illeris' læringsteori og Eccles og Wigfields motivationsteori om værdiperspektiver. 9.1.2 Sammenligning mellem resultater fra PRIMAS undersøgelsen og mine resultater Erfaringer fra PRIMAS-DK viser, at det kan være mere givende for eleverne at arbejde undersøgende. Claudia Matt, lærer fra Tyskland, har deltaget i det europæiske projektet og siger følgende: “This makes the lessons even more fun, the skills students acquire are much more diverse and maths do not remain so isolated and unrelated to students’ lives and interests.”72 Hun siger altså, at de færdigheder eleverne får tilegnet sig er mere brugbare, og eleverne bedre kan relatere matematik til deres hverdag. De lærere, der i rapporten udtaler sig, er generelt positive omkring IBL. De mener, eleverne bliver mere engagerede og synes matematik er sjovere, og dermed gider eleverne yde en større indsats. Dette resulterer, ifølge nogle af lærerne, i, at eleverne kommer mere i dybden og dermed får en bedre forståelse.73 Dermed er det ikke kun min undersøgelse, der viser, at anvendelses- og undersøgelsesorienteret matematik undervisning har en positiv indvirkning på elevernes læring. Dette viser PRIMASprojektet også. Men har det en bedre effekt end så meget andet undervisning, det vil jeg prøve at analysere, diskutere og vurdere ud fra John Hatties teori om versible learning. 9.2 Har undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning effekt i forhold til andre tiltag i undervisningen Hattie har lavet en stor empirisk undersøgelse af, hvad der påvirkede elevernes læring. I hans undersøgelse kom han frem til, at alt hvad læreren gør, har en effekt på elevernes læring. 95 % af det vi gør, har en positiv effekt. Derfor har han tildelt de forskellige påvirkninger en effektstørrelse, som han har udregnet. Derefter lavede han en rangliste over, hvad der havde den største positive effekt. Han fandt i undersøgelsen frem til, at gennemsnittet af alle effekterne er på 0,4. Derfor har alle de påvirkninger, der har en effekt på over 0,4, en bedre indvirkning på elevernes læring end gennemsnittet, ifølge Hatties undersøgelse.74 Hattie undersøgte ikke, om et fokus på at undervisningen skulle være anvendelsesorienteret, havde en effekt på elevernes læring. Dog har han undersøgt motivations betydning, som jeg har analyseret mig frem til, at eleverne bliver, når undervisningen er anvendelsesorienteret. Han kom frem til at motivation havde en effekt på 0,48, hvilket er over gennemsnittet. Dermed kan man indirekte sige, at anvendelsesorienteret undervisning har en større effekt end gennemsnittet har på elevernes læring.75 Han kom også frem til, at hvis eleverne har en indre motivation, vil de investere mere tid i læring, og dette fører til større læringsresultater. Dette er denne motivationsform eleverne får, når de ifølge Eccles & Wigfields motivationsteori ser værdien i undervisningen. Hvis eleverne derimod har en ydre 72 Abril, 2013, s. 74 Abril, 2013, s. 74-82 74 Hattie, 2014, s. 11-14+24 75 Hattie, 2014, s. 289-293 73 Side 26 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 motivation, som fremkommer, når de får belønning eller straf, vil de ifølge Hattie få en mere overfladisk læring.76 Hattie undersøgte undersøgelsesbaseret undervisnings effekt. Den kom han frem til var på 0,31, hvilket er under gennemsnittet, men stadig indenfor det, han kalder for en middel påvirkning af elevernes læring. Dermed er det ikke en af de påvirkninger, der scorer højst på Hatties liste.77 Han kommer flere gange ind på i bogen Synlig læring for lærere, at læreren oftest taler for meget. Dette fører ifølge ham til, at eleverne mentalt ikke er til stede. Hvorimod hvis undervisningen er udfordrende, relevant og fagligt krævende, vil eleverne være mere engageret i undervisningen. Dette beskriver meget godt undersøgelsesorienteret undervisning. Men Hattie er kommet frem til, at der bør vælges flere metoder, og at man bør fokusere på at evaluere metoden, da forskellige metoder virker i forskellige sammenhænge, og dermed finde ud af, hvilken metode der virker for klassen i undervisningen.78 Igennem hans bog giver Hattie flere gange udtryk for. at det ikke er selve undervisningsmetoden, der har en effekt. Han mener, det er læringsmål, feedback og elevernes selvvurdering, hvilket man sagtens kan inddrage i forskellige undervisningsmetoder og derfor højne effekten. En anden pointe han har, er, at han har lavet undersøgelser og der er varians på resultaterne, derfor kan noget, der rangerer lavt på hans liste, have en større effekt i den klasse, som man underviser i79. Derfor vurder jeg ud fra Hatties undersøgelser om synlig læring, at anvendelses- og undersøgelsesbaseret undervisning har en effekt i forhold til elevernes læring i den klasse jeg underviste. Den har dog ikke en stor effekt i Hatties undersøgelse, men jeg mener ud fra mine tidligere analyser og vurderinger i forhold til elevernes egne udsagn, mine egne observationer og de teorier jeg har brugt tidligere i opgaven, at den har haft en større effekt på de elever, jeg har undervist i forhold til deres tidligere undervisning. 10 Konklusion Jeg har planlagt et undervisningsforløb til en klasse i udskoling om sandsynlighed og statistik. Undervisningsforløbet tog udgangspunkt i Skovmoses teori om undersøgelseslandskaber, Hansen & Hansens artikel om van Joolingen & Zacharias fire forudsætninger for undersøgende undervisning og Freudentals teori om realistisk matematikundervisning. Undervisningen var undersøgelses- og anvendelsesorienteret og tager udgangspunkt i flere forskellige teorier, da der ikke var en teori, der passede til den måde, jeg ville bygge undervisningen op. Undervisningen blev gennemført i en 8. klasse i forbindelse med min praktik. Omkring 40 % af eleverne i klassen syntes, matematik var kedeligt eller svært. Dermed havde disse elever en negativ holdning til matematik, som gik udover motivationen, inden jeg startede en undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning. Eleverne ændrede i undervisningen holdning til matematik. Hele klassen gav udtryk for, at de synes, det var spændende og de ydede en god arbejdsindsats. Dermed opnåede eleverne de læringsmål, der var opstillet for undervisningsforløbet. 76 Hattie, 2014, s. 81 Hattie, 2014, s. 289-293 78 Hattie, 2014, s. 143-144 79 Hattie, 2014 77 Side 27 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Elevernes motivation skyldes set ud fra Eccles & Wigfields motivationsteori om værdiperspektiver, at eleverne kunne se nytteværdien med undervisningen. Eleverne kunne altså se meningen med matematikundervisningen og dette gjorde dem motiverede for undervisningen. Elevernes motivation førte til en større arbejdsindsats. Eleverne blev også motiverede af, at de selv fik lov at arbejde med problemerne og prøve sig frem, så de fik ejerskab over problemerne. Elevernes øgede motivation har givet dem en interesse i at beskæftige sig med matematik. Denne interesse har gjort, at eleverne har været villige til at investere psykisk energi i at tilegne sig læringen akkumulativt. Dette er en måde hvorpå, man ifølge Piaget kan tilegne sig læring. Ved at eleverne har tilegnet sig læringen akkumulativt, har det givet eleverne en mere holdbar og anvendelige viden. Det har også ført til, at eleverne er i gang med at tilegne sig de kompetencer, som eleverne skal opnå ved arbejdet med matematik i folkeskolen. De kompetencer, eleverne får trænet gennem arbejdet med undersøgelsesorienteret undervisning, er problembehandlings-, ræsonnement og tankegang- og kommunikationskompetence. De får trænet kompetencerne, da de i undersøgende matematik arbejder med problemer, som de forsøger at finde svar på ud fra ræsonnementer, derefter kommunikerer de med andre omkring deres løsninger, hvor de også følger andres ræsonnementer og tanker, for til sidst at justere deres egen forståelse af løsningen på problemet. Gennem arbejdet med anvendelsesorienteret undervisning får de trænet deres modelleringskompetence, da de kommer samfundet ind i en model, for at de kan arbejde med det i matematik. Elevernes læring kan dermed fremmes gennem arbejdes med undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning ved, at eleverne bliver motiveret for undervisning. Dermed øger de deres arbejdsindsats og interesse, som gør, at de øger deres læring. Ydermere har eleverne gennem en sådan undervisning været ansvarlige for deres egne undersøgelser og læring, og de har reflekteret over deres læring. Dette øger ifølge Illeris ligeledes elevernes læring. Ud fra Hatties undersøgelse har undersøgelsesorienteret undervisning ikke en større effekt på elevernes læring end gennemsnittet. Men det har motivation, og min opgave har vist, at eleverne er blevet mere motiverede under den undersøgelses- og anvendelsesorienteret undervisning. Elevernes motivation har ifølge Hattie også den påvirkning på eleverne, at de vil investere mere energi i undervisning, og dermed får de en øget læring. Ligeledes viser erfaringer fra PRIMAS-projektet, at eleverne kan opnå en øget læring gennem undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematik. Dermed kan jeg som lærer ved planlægge en undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning ud fra forskellige teorier, fremme elevernes læring. Dette gør jeg ved, at eleverne bliver motiveret og interesseret i undervisningen, dermed har de lyst til at investere den energi, det kræver at opnå læring og kompetencer, der også er brugbare og anvendelige i andre situationer, som de samtidig husker bedre. Samtidig kan eleverne i udskolingen pga. anvendelsesorienteringen se meningen med matematikundervisningen, hvilket gør dem endnu mere motiveret. Side 28 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 11 Perspektivering Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning kan være en måde at udarbejde undervisning på, der gør eleverne klar til at være omstillingsparate. Vores samfund er i udvikling, det er blevet mere komplekst80 og derfor skal man som borger være klar på at omstille sig og være klar til at påtage os nye arbejdsopgaver.81 Grunden til, at undersøgelsesorienteret undervisning kan forberede os til at være omstillingsparate, er, at det at være undersøgende lære os at lære. Vi opnår en viden om, hvordan vi skal forholde os til et problem og giver os kompetencer til at kunne løse forskellige problemer i forskellige sammenhænge. Derfor kan undersøgelsesorienteret undervisning være med til at danne borgere, som har lært at arbejde med problemer og løse problemer. Hvorfor er der så ikke flere der vælger den undervisningsform? Det kan skyldes, at det bl.a. i PRIMASprojektet har vist sig, at det kan være svært at planlægge og gennemføre undervisning, der er undersøgelsesorienteret. Dette skyldes bl.a., at det kan være svært at få eleverne til at tage et problem til sig og gøre det deres eget. Eller hvis man vælger, at eleverne selv skal komme med nogle problemer, kan det være svært at sikre sig, de er matematikfaglige. Det er samtidig svært at vide, i hvilken retning en undersøgelse fører eleverne, og om de finder frem til den ønskede læring. Derfor kan det være svært at praktisere undersøgende undervisning, som det bærende princip i undervisningen, da alle eleverne gennem deres undervisning gerne skulle opnå de mål, der er formidlet i Forenklede Fælles Mål.82 Derfor kunne det være interessant, at der blev lavet flere undersøgelser på dette område, for eksempel om hvordan man kunne arbejde undersøgelses- og anvendelsesorienteret, samtidig med at man arbejder med læringsmål. Denne undersøgelse kunne samtidig undersøge, hvilke teorier man kunne koble sammen, for at eleverne får det optimale læringsudbytte af undervisningen. En anden grund til det kan være, som den interviewede lærer også udtalte, at fordi eleverne bliver testet på færdigheder, vil de hellere fremme færdigheder gennem træning. 80 Rasmussen, 2004 Regeringen, 2005, s. 14 82 Blomhøj, 2013, s. 186-187 81 Side 29 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 12 Litteraturliste Aarhus Universitet(2011): ”TIMSS undersøgelse 2011en sammenfatning”. Findes på: http://edu.au.dk/fileadmin/edu/Forskning/Internationale_undersoegelser/TIMSS/TIMS S_2011_resume.pdf. Sidst set 6/4-15 Abril, Ana M., Daniel Aguirre, Anna-Maria Aldorf, Szilárd András, Erzsébet Antal, Marta R. Ariza, Morten Blomhøj, m.fl.(2013): ”Primas”: Findes på: http://www.primasproject.eu/en/index.do. Sidst set 5/4-15 Blomhøj, Morten (2013): ”Hvad er undersøgende matematikundervisning – og virker den?”, Artikel 12. I: Andersen, Michael Wahl og Peter Weng(red.)( 2013): Håndbog om matematik i grundskolen, læring, undervisning og vejledning, Dansk psykologisk forlag, 1. udg., 1. opl. EMU(2014): ”Forenklede Fælles Mål matematik, 7.-9. klasse, sandsynlighed og statistik.” Findes på: http://www.emu.dk/omraade/gsk-l%C3%A6rer/ffm/matematik/7-9klasse/statistik-og-sandsynlighed. Sidst set 5/4-15 Gregersen, Per, Kaj Jensen, Thomas Højgaard Jensen og Bo Boisen Pedersen(2001): Matematrix 8, Grundbog, Alinea A/S København, 1. udg. 1. opl. Hansen, Rune og Povl Hansen(2013): ”Undersøgelsesbaseret matematikundervisning.” I tidsskriftet Mona 13-4. Institut for Naturfags Didaktik. Københavns Universitet Hattie, John(2014): Synlig læring - for lærere, Dafolo 1. udg. 9. opl Højgaard, Tomas.(2008): Kompetancer, færdigheder og evaluering, Matematik. Findes på: http://pure.au.dk/portal/files/247/THJ08. Sidst set 5/4-15 Illeris, Knud(2006): Læring, Roskilde universitetsforlag, 2 reviderede udgave Jensen, Thomas Højgaard og Mogen Niss(red.)(2002):Kompetencer og matematiklæring Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning. i Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie, nr. 18 - 2002. Sangill Grafisk Produktion 1. udgave, 1. oplag. Findes på: http://pub.uvm.dk/2002/kom/hel.pdf. Sidst set 5/4-15 Kræsne børn(2012): Lærings trekanten fra Illeris. Findes på: http://kraesneboern.blogspot.dk/2012/11/lrings-trekanten-fra-illeris.html. Sidst set 5/415 Ranghøj, Mette Ibsen(Red)(2014): ”Vejledning for faget matematik”, EMU. Findes på: http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik#afsnit-4kompetenceomraader-i-matematik. Sidst set 5/4-15 Regeringen(2005): ”Danmark og globaliseringen, Debatpjece om globaliseringens udfordringer for Danmark”, Datagraf A/S. Findes på: http://www.stm.dk/multimedia/Danmark_og_globaliseringen.pdf. Sidst set 7/4 Side 30 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Rasmussen, Jens (2004): ”Modernitet som baggrund for læring.” I: Andersen, P et. El. (red.): (2004): Konstruktivistiske bidrag – udvalgte artikler af Jens Rasmussen. Unge Pædagoger, nr. B 76 Skaalvik, Einar M. og Sidsel Skaalvik(2015): Motivation for læring teori og praksis, Dafolo, 1. udg. 1 opl. Skott, J., Jess, K. og Hansen, H. C.(2008): Hans Freudenthal og realistisk matematikundervisning, I: Matematik for lærestuderende. Delta, Forlaget samfundslitteratur Skovmose, Ole(2003): ”Undersøgelseslandskaber.” I: Skovmose, Ole og Morten Blomhøj(red.)(2003): Kan det virkelig passe? - om matematiklæring, L&R uddannelse i København, 1. udg. 1 opl. Undervisningsministeriet (2009): Fælles Mål 2009 Matematik. Faghæfte 12. Undervisningsministeriets hånd-bogsserie nr. 14 2009. Undervisningsministeriet(2011): Moderne matematiske færdigheder fra skolestart til studiestart. Et udredningsarbejde finansieret af Undervisningsministeriet 2010-11 s. 25-27 Undervisningsministeriet(2014a): Den nye folkeskole - en kort guide til reformen. Findes på: http://www.uvm.dk/~/media/UVM/Filer/Folkeskolereformhjemmeside/2014/Juni/140 611%20miniguide%20reform.pdf. Sidst set 5/4-15 Undervisningsministeriet (2014b): ”Mere undervisning i dansk og matematik.” UVM Findes på: http://uvm.dk/Den-nye-folkeskole/En-laengere-og-mere-varieretskoledag/Undervisning-i-fagene/Mere-undervisning-i-dansk-og-matematik. Sidst set 5/4-15 Undervisningsministeriet (2014c): ”Tabel over revideret skoleår.” UVM Findes på: http://www.uvm.dk/~/media/UVM/Filer/Folkeskolereformhjemmeside/Timetal/14010 7_Tabel_over_revideret_skoleaar_klokketimer.pdf. Sidst set 5/4-15 Van Joolingen, W.R. & Zacharia, Z.C. (2009): “Developments in Inquiry Learning.” I: N. Balacheff, S. Ludvigsen, T. de Jong, A. Lazonder & S. Barnes, Tech nology-Enhanced Learning. Springer. Findes på: http://elearning.fit.hcmup.edu.vn/~longld/References%20for%20TeachingMethod&E duTechnology%20%20Tai%20lieu%20PPDH%20&%20Cong%20Nghe%20Day%20Hoc/%28Book%29 %20-%20Sach%20tham%20khao%20-%20Technologyenhanced%20Learning%20%28TEL%29/Technology-enhanced%20Learning%20Principles%20and%20Products%20%28Balacheff%20et%20al%202009%29.pdf. Sidst set 5/4-15 Forside: http://ing.dk/artikel/visionarium-matematik-skal-ud-i-alle-fag-116014. Sidst set 5/4-15 Side 31 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Bilag 1 Spørgeskema om matematikundervisning I matematikundervisningen ved du så, hvorfor du skal lærer det, du lærer? Nej aldrig Sjældent For det meste Ja altid Det du lærer i matematik undervisningen, er det noget, du tror du kommer til at bruge i din fremtid? Nej aldrig Sjældent For det meste Ja altid Er det vigtigt for dig, at vide, hvad du kan bruge den matematik til, som du lærer i undervisningen? Ja Nej Hvorfor? Hvorfor ikke? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Hvis du skal beskrive din matematikundervisning, hvordan vil du så beskrive den? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Hvordan skal undervisningen være, for at du tror du lærer mest i matematik? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Side 32 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Bilag 2 Spørgeguide til gruppeinterviewet med eleverne. Spørgeguiden er en overordnet guide, hvor jeg så spørger ind til elevernes svar. - - - Kan I beskrive, den måde jeg har undervist på? Anvendelsesorienteret: o Synes I, at I har kunnet mærke, at jeg har prøvet at lave undervisningen, sådan I kunne se, hvad I skulle bruge det til? o Synes I at det var vigtigt? Undersøgelsesorienteret: o Synes I, at I har kunnet mærke, at jeg har prøvet at lave undervisningen, sådan I kunne se, hvad I skulle bruge det til? o Hvordan har I oplevet den måde, at arbejde på? Synes I, at I lærte noget i undervisningen, og synes I at det var mere eller mindre?(svare enkeltvis) Side 33 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Bilag 3 Spørgeguide lærer interview Jeg spurgte i interviewet ind til lærerens svar. - Hvis du skal beskrive din egen undervisning, hvordan vil du så beskrive den? Hvordan er opbygningen i undervisningen, har du nogle ting du gør fast? Hvis du skal beskrive den undervisning jeg gennemførte, hvordan vil du så beskrive den? Synes du, at jeg formåede at få undervisningen undersøgelses- og anvendelsesorienteret? Hvordan synes du undervisningen påvirkede eleverne? Synes du, at du kunne mærke forskel på eleverne i det forløb jeg gennemførte, i forhold til deres normale adfærd i matematikundervisningen. Side 34 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Bilag 4 Aktuel status Omfang Formål Mål Indhold: Stofvalg/emne Arbejdsformer 83 8. klasse 4 uger med 5 lektioner hver uge fordelt på følgende måde: Onsdag: 2 lektion, torsdag: 1 lektioner og fredag: 2 lektioner Eleverne skal opnå en forståelse for, hvor de kan anvende sandsynlighed og statistik i deres hverdag. Derudover skal de lærer at anvende sandsynlighed og statistik. Følgende mål fra Forenklede Fælles Mål vil eleverne nærme sig gennem undervisningsforløbet: Kompetencemål: - ”Eleven kan vurdere statistiske undersøgelser og anvende sandsynlighed” Statistik: - ”Eleven kan vælge relevante deskriptorer og diagrammer til analyse af datasæt - Eleven har viden om statistiske deskriptorer, diagrammer og digitale værktøjer, der kan behandle store datamængder - Eleven kan undersøge sammenhænge i omverdenen med datasæt - Eleven har viden om metoder til undersøgelse af sammenhænge mellem datasæt, herunder med digitale værktøjer - Eleven kan kritisk vurdere statistiske undersøgelser og præsentationer af data” Sandsynlighed - ”Eleven kan beregne sammensatte sandsynligheder - Eleven har viden om sandsynlighedsmodeller og sandsynlighedsberegninger”83 Mine mål: - Eleverne kan anvende sandsynlighedsregning til at udregne sandsynligheder i spil. - Eleverne ved hvad sandsynlighedsregning anvendes til. - Eleverne kan sætte en datasæt ind i diagrammer og analysere hvad datasættet fortæller. - Eleverne kan anvende digitaleværktøjer til at opstille diagrammer. - De fleste af eleverne kan kritisk vurdere en statisk undersøgelse. Indholdet i undersvidningsforløbet er sandsynlighed og statistik. Under sandsynlighed skal eleverne arbejde med: statisk sandsynlighed og teoretisk sandsynlighed. Eleverne skal lærer begreber som frekvens, udfald, hændelse eksperiment, gunstig, chance og risiko. Under statistik skal eleverne arbejde med: datasæt og diagrammer, samt at vurdere disse. Eleverne skal lærer begreberne: diagram, datasæt, typetal, median, gennemsnit og iagttagelse. Eleverne skal arbejde både med åbne og lukkede opgaver, og eleverne skal selv være med til at præge undervisningsforløbet. Da det er meningen, at eleverne skal kunne se anvendelsesmulighederne i sandsynlighed og statistik. Derfor bliver der taget udgangspunkt i eleverne og dette kommer også til at præge arbejdsformerne i forløbet. Primært vil eleverne komme til, at arbejde i par eller EMU, 2014 Side 35 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Tilrettelæggelse af undervisningen: Principper og organisering Læreropgaver: Ledelse og organisering Tegn Evaluering Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 grupper, for at løse forskellige problemer og opgaver. Undervisningen skal være anvendelses og undersøgelsesbaseret. Dermed skal elverne kunne se, hvad de kan anvende undervisningen til. Derfor tilrettelægges undervisningen, ud fra hvor eleverne kan se emnets anvendelse i deres fremtiden og ud fra Ole Skovsmose teori om undersøgelses landskaber, Rune Hansen og Povl Hansens artikel om undersøgelsesbaseret matematik og Hans Freudenthal teori om realistisk matematikundervisning. Det er lærerens opgave, at finde elevernes niveau og deres forståelse af, hvor eleverne mener de kan anvende matematikken. Dette skal læreren så bruger til at skabe et undersøgelseslandskab, som eleverne kan arbejde inden for og på den måde tilegne sig kundskaber og færdigheder inden for sandsynlighed og statistik. Elverne kan løse de opgaver, de får. Hvis eleverne gennem sine undersøgelser, kan løse opgaverne, de får stillet i forløbet, er det et tegn på, de er på vej mod målene. Eleverne deltager i deres pararbejde og diskuterer, hvordan de kommer frem til en løsning. Eleverne deltager i klassediskussionerne. Hver gang eleverne har arbejdet i et undersøgelseslandskab, bliver der på klassen samlet op ved en klassediskussion, hvor eleverne får reflekteret over deres læring og diskuteret deres erfaringer med hinanden. Dette gøres, for at jeg som lærer kan hører og se, om eleverne har fået det ud af undervisningen og de opgaver de har arbejdet med, som jeg havde forventet. I slutningen af forløbet skal eleverne lave en begrebsliste, over de begreber de har lært. Der skal de med deres egne ord, forklarer dem på skrift. Dette afleveres til mig, så jeg kan tjekke op på, om de har forstået det, og om der er nogle misforståelser. Eleverne kan anvende begrebsliste, næste gang de skal arbejde med noget inden for samme emne. Side 36 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Bilag 5 Statistikker i aviser Opgave 1 a) Vælg en avis? b) Find i avisen en statisk? c) Hvad fortæller statistikken noget om? d) Hvilke midler har de brugt til at præsentere statistikken? (diagrammer, data..) e) Hvilke oplysninger kan du finde ud fra den statistik? Opgave 2 a) Find en ny statistik i samme avis. b) Hvad fortæller statistikken noget om? c) Hvilke midler har de brugt, til at præsentere statistikken? (diagrammer, data..) d) Hvilke oplysninger kan du finde ud fra den statistik? e) Var der forskel på, hvordan de to statistikker var stillet op? f) Stemmer deres opbygning overens med, hvad statistikken fortæller noget om? Opgave 3 a) Tror du at alle statistikker i aviser er lige troværdige? Hvorfor? Hvorfor ikke? b) Hvordan tror du man kan manipulere med en statistik? c) Hvorfor tror du der er nogen der manipulere med statistikker? Side 37 af 38 Michelle Ø. M. Kyk L110045 UCN Hjørring Undersøgelses- og anvendelsesorienteret matematikundervisning 8. april 2015 Bilag 6 Sandsynlighed Største værdi Statistisk sandsynlighed Teoretisk sandsynlighed Eksperiment Mindste værdi Udfald Observation Udfaldsrum Frekvens Hændelse Summeret frekvens Cirkeldiagram Gunstige udfald Kombinatorik Multiplikation sprincippet Sandsynlighed for udfald Chance Type interval Hyppighed Pindediagram Trappediagra m Sumkurve Boksplot Risiko Tælletræ Statistik Datasæt Diagram Typetal Median Gennemsnit Iagttagelse Kvartilsæt Side 38 af 38
© Copyright 2024