1. No category

Forfatter:
Anders Heidemann
201207555
Vejleder:
Michael Christensen
Tegn: 69.668
Equity Premium Puzzle and Myopic Loss Aversion in Denmark
Aarhus Universitet
Institut for Økonomi
Maj 2015
Abstract
This thesis investigates whether an equity premium puzzle is present in the Danish financial market
and if the puzzle can be explained by myopic loss aversion. The term equity premium puzzle is used
to describe the observation that the difference between stock returns and returns on risk-free assets
is larger than what can be explained by traditional economic theory. The puzzle was first
documented in 1985 by Mehra and Prescott who showed a discrepancy between the theoretical and
the observed equity premium on the American market. They use a traditional model based on the
normative expected utility theory and find that the observed equity premium cannot be explained by
the differences in risk associated with holding stocks or bonds. Mehra and Prescott’s model can thus
only account for the observed premium if investors display unrealistically large aversion to risk.
In 1995 Benartzi and Thaler used concepts from behavioral finance to propose a possible solution to
the equity premium puzzle. They assume that investors have preferences as describes by prospect
theory. Prospect theory is a descriptive alternative to expected utility theory in relation to decision
under uncertainty. An important insight from prospect theory is that individuals are loss averse
which means that they are affected more by losses than by corresponding gains. Benartzi and Thaler
suggest that loss aversion and short evaluation periods can serve as an explanation to the size of the
equity premium.
In the empirical analysis part of the thesis it is first analysed whether an equity premium puzzle
occurred on the Danish market in the period 1970 to 2013. By using Mehra and Prescott’s model it
is concluded that also in Denmark there is an inconsistency between the theoretical and the
observed equity premium. The result is further confirmed by a statistical test of the puzzle.
Thereupon it is analysed if myopic loss aversion can serve as a useful explanation to the size of the
Danish equity premium. The results show that the equity premium can be explained if investors are
loss averse and evaluate their portfolios once a year. This result is reasonable and is consistent with
Benartzi and Thaler’s result for the American market. It is found that with a one year evaluation
period the optimal asset allocation is 30 to 35 percent stocks. Since this corresponds fairly to the
observed allocation by Danish institutional investors, it is seen as a further confirmation of the
result. To test the validity of the result, the sensitivity of the model is tested. It occurs that when
government bonds constitutes the risk-free asset instead of a short-term money market rate, myopic
loss aversion is not as good an explanation to the size of the equity premium. Therefore it is
concluded that myopic loss aversion is a possible solution to the equity premium puzzle but that it is
conditional on the data used in the analysis.
Indholdsfortegnelse
1. Indledning ........................................................................................................................................ 1
1.1 Problemformulering ................................................................................................................... 2
1.2 Teori og struktur......................................................................................................................... 2
1.3 Data ............................................................................................................................................ 4
2. Equity Premium Puzzle .................................................................................................................... 5
2.1 Modellen .................................................................................................................................... 6
2.2 Mehra og Prescotts resultater ..................................................................................................... 9
2.3 Statistisk test af equity premium puzzle .................................................................................. 10
3. Prospektteori .................................................................................................................................. 11
3.1 Kritik af forventet nytteteori .................................................................................................... 12
3.2 Redigeringsfasen ...................................................................................................................... 13
3.3 Evalueringsfasen ...................................................................................................................... 14
3.3.1 Værdifunktionen ............................................................................................................... 14
3.3.2 Vægtningsfunktionen ........................................................................................................ 15
3.4 Hypotetiske værdi- og vægtningsfunktioner ............................................................................ 17
4. Myopic Loss Aversion ................................................................................................................... 18
4.1 Benartzi og Thalers analysemetode og -resultater ................................................................... 19
4.1.1 Evalueringsperiode............................................................................................................ 20
4.1.2 Optimal aktivallokering .................................................................................................... 21
5. Risikopræmien på danske aktier .................................................................................................... 21
5.1 En ”equity premium puzzle” i Danmark? ................................................................................ 23
6. Analyse af ”myopic loss aversion” i Danmark .............................................................................. 26
6.1 Metode ..................................................................................................................................... 26
6.1.1 Evalueringsperiode og optimal aktivallokering ................................................................ 27
6.2 Analyseresultater (1970-2013) ................................................................................................. 29
6.2.1 Evalueringsperiode............................................................................................................ 29
6.2.2 Optimal aktivallokering .................................................................................................... 30
6.2.3 Reale afkast ....................................................................................................................... 31
6.2.4 Statsobligationer som risikofrit aktiv ................................................................................ 32
6.2.5 Ændringer i parameteren for tabsaversion ........................................................................ 33
7. Opsummering og diskussion af resultater ...................................................................................... 33
8. Konklusion ..................................................................................................................................... 35
Litteratur............................................................................................................................................. 37
1. Indledning
Forskellen mellem afkastet på aktier og fastforrentede, risikofrie værdipapirer kaldes for
risikopræmien på aktier. Det er velkendt fra økonomisk teori, at der er en sammenhæng mellem
aktivers risiko og deres afkast. Jo mere et risikabelt et aktiv er, jo højere kompensation vil en
investor forlange for at holde aktivet. Da der er højere risiko forbundet med at holde aktier, er det
ikke underligt, at der historisk har været et højere afkast på det samlede aktiemarked sammenlignet
med relativt risikofrie, fastforrentede værdipapirer. Økonomerne Mehra og Prescott viste imidlertid
i 1985, at den observerede risikopræmie på amerikanske aktier over en årrække havde været langt
højere, end traditionel økonomisk teori kan gøre rede for.
Mehra og Prescott benytter en prisfastsættelsesmodel, som er baseret på klassisk teori om forventet
nytte. Forventet nytteteori er en normativ teori om risikobetonet beslutningstagning og har som
grundprincipper, at individer er rationelle og altid forsøger at maksimere værdi og nytte. Ved at
sammenligne den teoretiske risikopræmie med den observerede finder Mehra og Prescott, at der
eksisterer en uoverensstemmelse mellem teori og empiri. Den traditionelle model er således kun i
stand til at gøre rede for det observerede merafkast på aktier, hvis investorer antages at udvise
urealistisk stor aversion mod risiko. Denne uforklarlighed kaldes for ”equity premium puzzle”.
Siden den første dokumentering af denne gåde om størrelsen på aktiers risikopræmie har den været
genstand for meget forskning, og der er blevet foreslået flere forklaringer. I 1995 kom Benartzi og
Thaler med en mulig løsning, idet de foreslår, at gåden skyldes investorers ”myopic loss aversion”.
Benartzi og Thaler antager, at investorers præferencer kan beskrives med prospektteori.
Prospektteori er udviklet af Kahnemann og Tversky i 1979 og er en central adfærdsøkonomisk
teori. Teorien er udviklet på baggrund af observerede overskridelser af principperne fra forventet
nytteteori og er en deskriptiv teori om beslutningstagning under risiko. Benartzi og Thaler
kombinerer prospektteori med konceptet ”mental accounting” og angiver, at en forklaring på gåden
kan være investorers tabsaversion og hyppige evalueringer af porteføljer.
Side 1 af 38
Der eksisterer litteratur vedrørende risikopræmien på danske aktier i diverse perioder, men kun
ganske få har undersøgt, om størrelsen på risikopræmien kan forklares teoretisk, og om ”myopic
loss aversion” er en mulig forklaring på risikopræmiens størrelse.
1.1 Problemformulering
Den grundlæggende litteratur om uforklarligheden af størrelsen på aktiers risikopræmie samt
”myopic loss aversion” er baseret på amerikanske data. Målet i denne rapport er at undersøge, om
størrelsen på risikopræmien på danske aktier udgør en ”puzzle”, og om denne kan forklares med
investorers
tabsaversion
og
hyppige
evalueringer.
Dermed
lyder
den
overordnede
problemformulering:
Hvor brugbar er ”myopic loss aversion” som forklaring på ”equity premium puzzle” i
Danmark”
Med henblik på at nå frem til en besvarelse af den overordnede problemformulering arbejdes der
med en række underspørgsmål i rapporten:
Hvad er ”equity premium puzzle”, og forekommer den i Danmark?
Hvad er prospektteori, og hvordan adskiller den sig fra forventet nytteteori?
Hvad er ”myopic loss aversion”, og hvordan kan det være en forklaring på ”equity premium
puzzle”?
Med problemformuleringen er formålet at bidrage til det empiriske grundlag samt litteraturen om
henholdsvis aktiers risikopræmie og ”myopic loss aversion”. Samtidig er formålet er opnå større
viden om investorers adfærd.
1.2 Teori og struktur
Rapporten er bygget op således, at den består af et teoriafsnit og et analyseafsnit. Teoriafsnittet er
placeret først, da teorierne danner grundlaget for analysen.
I afsnit 2 redegøres der for Mehra og Prescotts dokumentering af ”equity premium puzzle”. Gåden
om størrelsen på aktiers risikopræmie er rapportens hovedfokus, og det er derfor naturligt, at teorien
og modellen gennemgås først. Afsnittet indeholder en overordnet udledning af modellen og
Side 2 af 38
beskriver de antagelser, der ligger bag den. Derefter præsenteres resultaterne fra Mehra og Prescotts
oprindelige undersøgelse af aktiers risikopræmie på det amerikanske marked. Som en tilføjelse til
Mehra og Prescotts analyse vil der blive redegjort for Kocherlakotas alternative formulering og test.
Kocherlakotas fremgangsmåde er relevant, da den gør den muligt at teste ”equity premium puzzle”
statistisk.
Benartzi og Thaler forklaring på gåden er i høj grad baseret på prospektteori, og der bruges derfor
en del plads på denne teori. Det vil blive beskrevet, hvordan Kahnemann og Tversky observerede
overskridelser af forventet nytteteoris grundprincipper, og hvordan prospektteori blev udviklet på
baggrund af disse observationer. Dernæst vil de hypotetiske værdi- og vægtningsfunktioner samt de
estimerede parameterværdier fra Tversky og Kahnemanns artikel om kumulativ prospektteori blive
præsenteret.
I sidste del af teoriafsnittet beskrives Benartzi og Thalers teori om ”myopic loss aversion” som
mulig løsning på gåden om risikopræmien, og deres analysemetode og –resultater gennemgås. Der
er foreslået adskillige andre mulige forklaringer på risikopræmiens størrelse, men der fokuseres i
denne rapport kun på ”myopic loss aversion”. Det skyldes, at denne teori er en af de mest udbredte
forklaringer, og at det er muligt at teste dens brugbarhed på danske data.
I analyseafsnittet gentages henholdsvis Mehra og Prescotts og Benartzi og Thaler undersøgelser
med danske data, og fremgangsmåderne er derfor så vidt muligt de samme som i de oprindelige
artikler. Det vil sige, at der anvendes en deduktiv tilgang, hvor eksisterende teorier danner
grundlaget for den empiriske analyse. Der fokuseres på det danske marked i perioden 1970 til
2013. At denne periode er valgt skyldes først og fremmest adgangen til data, hvilket uddybes
yderligere i det næste underafsnit.
Første del af analysen fokuserer på risikopræmien på danske aktier fra 1970 til 2013. Det vil blive
undersøgt, at om størrelsen på præmien kan forklares med Mehra og Prescott, eller om der findes en
”equity premium puzzle” som på det amerikanske marked. For at bekræfte en eventuel
uforklarlighed anvendes Kocherlakotas statistiske test. I analysens andel del undersøges det, om
Benartzi og Thalers teori om ”myopic lossa aversion” kan være en plausibel forklaring på
Side 3 af 38
risikopræmiens størrelse. Analysemetoderne beskrives mere detaljeret i de enkelte afsnit. Til sidst
diskuteres resultaterne af analysen.
1.3 Data
Et mål med rapporten er at gentage undersøgelserne af henholdsvis aktiers risikopræmie og
”myopic loss aversion”, og det er derfor blevet forsøgt at finde danske dataserier, der svarer til de
anvendte data i de oprindelige undersøgelser. Mehra og Prescotts analyse dækker perioden 18891979 og er baseret på årlige data, mens Benartzi og Thalers undersøgelse gælder 1926-1990 og
anvender månedlige data. I denne rapport benyttes månedlige data til begge dele af analysen.
Som mål for det danske aktiemarkeds præstation anvendes et månedligt totalafkast-indeks fra
MSCI. I totalafkast-indekset antages det, at udbytter geninvesteres i selskaberne, og ved at
medregne både kursstigninger eller –fald samt korrigere for udbytter måles markedets samlede
præstation. I indekset er selskaberne vægtet med markedsværdien af de aktier, som er tilgængelige
for offentligheden, også kaldet free float-aktier. MSCI’s indeks dækker omkring 85 procent af det
danske marked og er et bruttoindeks, hvilket vil sige, at der ikke tages højde for skatter. Indekset
går tilbage til slutningen 1969, og derfor er 1970 valgt som basisår for analysen. De årlige afkast er
fundet ved at beregne det aritmetiske gennemsnit af indeksværdierne i de enkelte år.
Til at udgøre det risikofrie afkast er en kortfristet pengemarkedsrente valgt. Fra 1970 til 1988
benyttes Nationalbankens diskonto, mens CIBOR med tre måneders løbetid anvendes i resten af
perioden. Det kan diskuteres, om pengemarkedsrenten er det mest relevante valg af risikofri rente,
og om obligationer ikke udgør en bedre substitut for aktier for de fleste investorer. Mehra og
Prescott og bruger i deres analyse en kortfristet treasury bill, mens Benartzi og Thaler både
anvender treasury bill og femårige statsobligationer. Det har imidlertid ikke været muligt at finde et
dansk obligationsindeks, der går længere tilbage end 1986, og derfor er pengemarkedsrenten valgt.
For at øge robustheden af resultaterne er dele af analysen også foretaget for perioden 1986 til 2013
med statsobligationer som risikofrit aktiv. I de tilfælde anvendes JP Morgans indeks for danske
statsobligationer..
Side 4 af 38
Inflationen i perioden er beregnet som stigninger i det danske forbrugerprisindeks, som
offentliggøres af Danmarks Statistik. De reale afkast er fundet ved at korrigere for inflation ved
1+𝑅
1+𝑖
− 1.
Den årlige reale vækstrate i forbrug pr. indbygger er fundet ved at dividere hvert års samlede
private forbrug i faste priser med det pågældende års befolkningstal.
2. Equity Premium Puzzle
I perioden 1889 til 1979 gav amerikanske aktier i gennemsnit et årligt afkast på syv procent, mens
afkastet på relativt risikofrie statsobligationer i gennemsnit var på under én procent. Risikopræmien
er den kompensation, investorer forlanger for at holde mere risikable aktiver som for eksempel
aktier i forhold til risikofrie aktiver. Risikopræmien var således på lidt over seks procent i perioden.
Formålet med Mehra og Prescotts (1985) artikel er at undersøge, om traditionel økonomisk teori
kan forklare den observerede risikopræmie på det amerikanske marked fra 1889 til 1979. Kvalitativt
giver det god mening, at aktier på grund af den større risiko giver et større afkast, men Mehra og
Prescott finder, at forskellene i risici på aktier og statsobligationer langtfra er tilstrækkelige til at
retfærdiggøre en risikopræmie på over seks procent.
Mehra og Prescotts model bygger på Lucas’ (1978) ligevægtsmodel. I modellen forklares forskelle i
forventede afkast med, i hvor høj grad aktiver kovarierer med den typiske investors forbrug. Det
skyldes, at den samme mængde forbrug kan medføre forskellig nytte på forskellige tidspunkter. Det
følger af en antagelse om, at økonomiske individer ønsker at udjævne deres forbrug over tid. Et
aktiv, der giver afkast i gode tider, hvor markedsafkastet er relativt højt, ”forstyrrer”
forbrugsudjævningen og er derfor mindre værd end et aktiv, der giver afkast i dårlige tider.
Investorer vil derfor kræve en større risikopræmie, jo mere aktivet kovarierer med markedet. Et
andet vigtigt princip i modellen er, at aktiver i en ligevægtssituation er prissat således, at tabet af
marginal nytte ved at ofre forbrug og investere i aktiver er lig med den forventede forøgelse af
marginal nytte, som kommer af det øgede forbrug, der kan foretages, når aktivet giver afkast i
fremtiden.
Side 5 af 38
Udover de nævnte principper bygger modellen på tre hovedantagelser (Kocherlakota, 1996):
1) Individer har præferencer forbundet med en standard-nyttefunktion og forsøger at maksimere
nytten af forbrug i al fremtid.
2) Finansielle aktiver kan handles omkostningsfrit, dvs. uden skat og diverse gebyrer.
3) Individer har identiske præferencer, og der findes derfor et repræsentativt individ.
2.1 Modellen
Følgende redegørelse bygger på Mehra og Prescott (2003). I modellen antages det, at en økonomi
har et repræsentativt individ, som forsøger at maksimere følgende
∞
𝐸0 {∑ 𝛽 𝑡 𝑈(𝑐𝑡 )} , 0 < 𝛽 < 1
(2.1)
𝑡=0
hvor ct er forbrug pr. indbygger, og β er en subjektiv tids-diskonteringsfaktor. β er udtryk for,
hvilken nytte inividet tillægger fremtidigt forbrug. Hvis β er lav, er individet utålmodigt og vil
forbruge nu, og hvis β er høj, tillægger individet fremtidigt forbrug højere nytte og vil derfor øge
opsparingen. Et{∙} viser, at der er tale om en forventning, som afhænger af information tilgængelig
på tidspunkt t, mens U er nyttefunktionen, der bestemmer nytten af forbrug i tidspunkt t. Det
repræsentative individ forsøger altså at maksimere den forventede, diskonterede nytte af forbrug
over tid.
Individet antages at have præferencer, der kan beskrives ved følgende standardnyttefunktion
𝑈( 𝑐, 𝑎 ) =
𝑐1−𝛼 − 1
, 0<𝛼<∞
1−𝛼
(2.2)
hvor 𝛼 er koefficienten for relativ risikoaversion. Det kan vises matematisk, at denne koefficient er
konstant. Nyttefunktionen for et individ med konstant relativ risikoaversion er konkav og stejlere i
bunden end i toppen, hvilket indikerer, at jo lavere udgangspunktet er, jo højere marginal nytte
medfører en forøgelse i forbruget. Det vil senere blive undersøgt, om ændringer i antagelsen om
individets præferencer kan være en mulig løsning på gåden om risikopræmiens størrelse.
Side 6 af 38
Koefficienten 𝛼 er reciprok til elasticiteten for intertemporal substitution. Når denne elasticitet er
lav, har individet et stort ønske om at udjævne sit forbrug over tid. Det betyder, at et individ som
har stor konstant relativ risikoaversion og dermed ønsker at udjævne sit forbrug over forskellige
økonomiske stadier, også ønsker at udjævne forbruget over tid.
Det antages, at der i økonomien findes én aktie, som har prisen 𝑝𝑡 . Hvis individet vælger at
investere i aktier, ofrer han i den nuværende periode den nytte, som kunne være opnået ved forbrug
i stedet for investering. Ved at købe en aktie ofrer individet 𝑝𝑡 enheder af forbrug, og det medfører
et tab i nytte på 𝑝𝑡 𝑈′(𝑐𝑡 ). Dette tab af nytte sammenlignes med den nytte, som kan opnås i næste
periode. Hvis individet sælger aktien i næste periode, kan han opnå et forbrug på 𝑝𝑡+1 + 𝑦𝑡+1
enheder, hvilket medfører en forventet værdi af diskonteret nytte på 𝛽𝐸𝑡 {(𝑝𝑡+1 + 𝑦𝑡+1 )𝑈′(𝑐𝑡+1 )}.
𝑦𝑡 er aktiens dividende. I ligevægt må tabet af nytte ved investering i aktien på tidspunkt 𝑡 være lig
med den forventede fremtidige nytte på tidspunkt 𝑡 + 1, og det fører til den grundlæggende formel
for prisfastsættelse af aktiver:
𝑝𝑡 𝑈 ′ (𝑐𝑡 ) = 𝛽𝐸𝑡 {(𝑝𝑡+1 + 𝑦𝑡+1 )𝑈′(𝑐𝑡+1 )}
Aktiens afkast kan skrives som 𝑅𝑒,𝑡+1 =
𝑝𝑡+1 +𝑦𝑡+1
𝑝𝑡
(2.3)
, og det kan vises, at
𝐸𝑡 (𝑅𝑒,𝑡+1 ) = 𝑅𝑓,𝑡+1 + 𝐶𝑜𝑣𝑡 {
−𝑈 ′ (𝑐𝑡+1 ), 𝑅𝑒,𝑡+1
}
𝐸𝑡 (𝑈 ′ (𝑐𝑡+1 ))
(2.4)
Det fremgår af formlen, at det forventede afkast på aktien er det risikofrie afkast plus en præmie for
at bære risiko. Denne risiko afhænger af kovariansen mellem aktieafkastet og den marginale nytte
af forbrug. Aktier, som kovarierer positivt med forbrug, kræver en højere præmie. Det skyldes, at
disse aktier giver højere afkast i tider, hvor forbruget er højt og den marginale nytte dermed lav.
Disse aktier ”destabiliserer” således udjævningen af individets forbrug.
Der antages en vækstrate for forbrug på 𝑥𝑡+1 =
𝑐𝑡+1
𝑐𝑡
, og det kan vises, at henholdsvis aktieafkastet
og det risikofrie afkast kan udtrykkes som
Side 7 af 38
𝐸𝑡 {𝑅𝑒,𝑡+1 } =
𝐸𝑡 {𝑥𝑡+1 }
1−𝛼 }
𝛽𝐸𝑡 {𝑥𝑡+1
(2.5)
og
𝑅𝑓,𝑡+1 =
1
1
−𝛼 }
𝛽 𝐸𝑡 {𝑥𝑡+1
(2.6)
Dividender og vækstraten for forbrug antages af Mehra og Prescott (2003) at være
lognormalfordelt, og aktieafkastet kan derfor defineres som
1 2
𝐸𝑡 {𝑅𝑒,𝑡+1 } =
𝑒 𝜇𝑥 +2𝜎𝑥
1
2 𝜎2
𝑥
𝛽𝑒 (1−𝛼)𝜇𝑥 +2(1−𝛼)
(2.7)
hvilket kan omskrives til
1
ln 𝐸𝑡 {𝑅𝑒,𝑡+1 } = − ln 𝛽 + 𝛼𝜇𝑥 − 2𝛼 2 𝜎𝑥2 + 𝑎𝜎𝑥2
(2.8)
𝜇𝑥 betegner den gennemsnitligt vækstrate for forbrug, og 𝜎𝑥2 er vækstratens varians.
Ligeledes bliver formlen til at bestemme det risikofrie afkast
𝑅𝑓 =
1
1 2 2
𝜎𝑥
𝛽𝑒 −𝛼𝜇𝑥 +2𝛼
(2.9)
og dermed
1
ln 𝑅𝑓 = − ln 𝛽 + 𝛼𝜇𝑥 − 2𝛼 2 𝜎𝑥2 (2.10)
Risikopræmien for at holde aktier bliver således
Side 8 af 38
ln 𝐸 {𝑅𝑒 } − ln 𝑅𝑓 = 𝛼𝜎𝑥2
(2.11)
Af formlen fremgår det, at præmien som investorer forlanger for at holde aktier kan forudsiges som
produktet af koefficienten for risikoaversion og variansen af vækstraten for forbrug.
2.2 Mehra og Prescotts resultater
Mehra og Prescotts (1985) oprindelige undersøgelse bygger på amerikanske data fra en 90-årig
periode fra 1889 til 1978: Det årlige reale afkast på aktieindekset S&P 500, det årlige vækst i realt
forbrug pr. indbygger samt det årlige reale, risikofrie afkast. Som mål for det risikofrie afkast
benyttes afkast på treasury bills med en løbetid på 90 dage. Tabel 2.1 gengiver statistik fra
stikprøven.
Tabel 2.1: Mehra og Prescotts stikprøvedata, 1889-1978
𝑅𝑓
0,8 %
Gennemsnitligt afkast på aktier
𝐸{𝑅𝑒 }
6,98 %
Gennemsnitlig vækstrate for forbrug
𝐸{𝑥}
1,8 %
Standardafvigelse på vækstrate for forbrug
𝜎{𝑥}
3,6 %
𝐸{𝑅𝑒 } − 𝑅𝑓
6,18 %
Gennemsnitlig risikofri rente
Gennemsnitlig præmie for aktier
Kilde: Mehra og Prescott (2003), p. 907
Ovenstående data kan sættes ind i formlerne fra forrige underafsnit, og de forventede afkast kan
bestemmes. I den forbindelse skal risikoaversions-koefficienten α og tids-diskonteringsfaktoren β
fastsættes. Begge parametre er subjektive og derfor forskellige for de enkelte investorer. Mehra og
Prescott (2003) angiver, at de fleste studier indikerer, at α ligger i nærheden af 3. I analysen
fastsættes α til 10, hvilket er forbundet med meget stor risikoaversion og ligger over, hvad der kan
formodes at være realistisk. β sættes til 0,99. Med parametrene fastlagt kan det forventede risikofrie
afkast findes ved (2.10):
1
ln 𝑅𝑓 = − ln 0,99 + 10 ∗ 0,018 − 2 ∗ 102 ∗ 0,0362 = 0,120
og dermed
𝑅𝑓 = 𝑒 0,120 = 1,127
Side 9 af 38
Dvs. et risikofrit afkast på 12,7 procent. Ved en omskrivning af (2.11) bliver det forventede afkast
på aktier
ln 𝐸 {𝑅𝑒 } = ln 𝑅𝑓 + 𝛼𝜎𝑥2 = 0,120 ∗ 102 ∗ 0,0362 = 0,132
så
𝐸{𝑅𝑒 } = 𝑒 0,132 = 1,141
Dvs. 14,1 procent. Det giver en risikopræmie på 𝐸{𝑅𝑒 } − 𝑅𝑓 = 14,1 − 12,7 = 1,4 procent, hvilket
er betydeligt lavere end den observerede præmie på 6,18 procent.
Modellen tager højde for forbrugsrisiko, men er altså ikke i stand til at forklare den observerede
risikopræmie, på trods af at der antages en meget stor risikoaversion. Det er denne uforklarlighed,
der kaldes ”equity premium puzzle”.
2.3 Statistisk test af equity premium puzzle
Kocherlakota (1996) benytter de samme data som Mehra og Prescott (1985), men anvender en
alternativ fremgangsmåde i undersøgelsen af, om standardmodellen kan forklare den observerede
risikopræmie på aktier.
Når der er taget højde for risikoaversion og vækst i forbrug, bør der i en ligevægtssituation ikke
være forskel på det risikofrie afkast og aktieafkastet, og risikopræmien for at holde aktier må altså
være nul. Betingelsen kan skrives som
𝐶𝑡+1 −𝛼
𝐸 {(
) (𝑅𝑒,𝑡+1 − 𝑅𝑓,𝑡+1 )} = 0
𝐶𝑡
(2.12)
En fordel ved denne formulering er, at α ikke behøver at være fastsat på forhånd. Det kan derimod
testes, hvor høj α skal være, før modellen er i stand til at forklare den observerede aktiepræmie.
.
Side 10 af 38
Venstresiden af formel (2.12) kan estimeres ved at finde stikprøvegennemsnittet af
𝐶𝑡+1 −𝛼
𝑒𝑡+1 = {(
) (𝑅𝑒,𝑡+1 − 𝑅𝑓,𝑡+1 )}
𝐶𝑡
(2.13)
Kocherlakota udregner gennemsnit af 𝑒𝑡 for alle årene fra 1889 til 1979 ved forskelle værdier af α
og tester, om disse gennemsnit er signifikant forskellige fra 0. Ved en én-sidet t-test fremkommer
det resultat, at for α-værdier mindre eller lig med 8,5 er gennemsnittene signifikant positive. Dette
resultat bekræfter gåden om, at Mehra og Prescott standardmodel kun kan forklare den observerede
risikopræmie, hvis der antages en risikoaversion, som er langt højere, end hvad der formodes at
være realistisk.
3. Prospektteori
Som det blev beskrevet i forrige afsnit, antager Mehra og Prescotts (1985) model, at et individ har
præferencer repræsenteret ved en standardnyttefunktion, som kommer fra forventet nytteteori.
Forventet nytteteori er en normativ teori, der definerer, hvordan et rationelt individ bør handle i
beslutningssituationer, hvori der indgår usikkerhed om udfaldene. Teorien var i mange år den
generelt accepterede teori vedrørende beslutningstagning under usikkerhed.
Kahnemann og Tversky (1979) påviser imidlertid, at individer i beslutningssituationer i praksis
overtræder flere af grundprincipperne fra teori om forventet nytte, og på baggrund af disse
observationer formuleres en alternativ deskriptiv teori, som kaldes prospektteori. Teorien udvides i
Tversky og Kahmemann (1992). Følgende redegørelse bygger på begge artikler. Afsnittet
indeholder ikke en grundigere redegørelse af forventet nytteteori, men der vil blive beskrevet nogle
af de principper, som ifølge Kahnemann og Tversky ikke overholdes i praksis.
Notationen er således, at et spil eller et sats, som her kaldes et prospekt, formuleres som
(𝑥1 , 𝑝1 ; … ; 𝑥𝑛 , 𝑝𝑛 ), hvor udfaldet 𝑥𝑖 forekommer med sandsynlighed 𝑝𝑖 , og hvor 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ +
𝑝𝑛 = 1. Nul-udfald udelades, og et prospekt (𝑥, ; 0, 1 − 𝑝) skrives derfor som (𝑥, 𝑝).
Side 11 af 38
3.1 Kritik af forventet nytteteori
Teori om forventet nytte bygger på den neoklassiske hovedantagelse, at økonomiske individer er
rationelle og forsøger at maksimere deres nytte. Kahnemann og Tversky (1979) foretager et
eksperiment, hvor forsøgspersoner bliver stillet over for hypotetiske beslutningssituationer, der
indebærer
risiko.
Tre
grundprincipper
fra
forventet
nytteteori
brydes
systematisk
af
forsøgspersonerne:
(i) Den samlede nytte af et prospekt er den forventede nytte af prospektets forskellige udfald. Det
kan formuleres som 𝑈(𝑥1 , 𝑝1 ; … ; 𝑥𝑛 , 𝑝𝑛 ) = 𝑝1 𝑢(𝑥1 ) + ⋯ + 𝑝𝑛 𝑢(𝑥𝑛 ). Nytten af et udfald vægtes
altså med den objektive sandsynlighed forbundet med udfaldet.
(ii) Et individs nuværende aktivbeholdning integreres i beslutningen om valg af et prospekt. Et
prospekt vælges, hvis nytten af prospektet sammen med ens aktiver overstiger nytten af disse
aktiver alene. Domænet for nyttefunktionen er altså endelige stadier og ikke forøgelser eller tab.
(iii) Et individ udviser risikoaversion, hvilket vil sige, at det foretrækker et sikkert prospekt (𝑥)
fremfor et risikabelt prospekt med den forventede værdi 𝑥. Nyttefunktionen 𝑢 er konkav.
Kahnemann og Tversky angiver flere beslutningssituationer, hvor principperne ikke overholdes.
Udfaldene
i
eksemplerne
er
hypotetiske
pengeudfald.
Følgende
eksempel
illustrerer
forsøgspersonernes irrationelle beslutninger:
I to forskellige beslutningssituationer bliver forsøgspersonerne bedt om at vælge mellem alternative
prospekter.
I
første
tilfælde
skal
der
foretages
et
valg
mellem
prospekterne
𝐴: (2.500, 0,33; 2.400, 0,66) og 𝐵: (2.400), mens der i det andet tilfælde skal vælges mellem
𝐶: (2.500, 0,33) og 𝐷: (2.400, 0,34).
I den første situation vælger 82 procent af deltagerne prospekt B og udviser dermed præferencerne
𝑢(2.400) > 0,33𝑢(2.500) + 0,66𝑢(2.400) eller 0,34𝑢(2.400) > 0,33𝑢(2.500). Ved valget
mellem C og D vælger flertallet C, så præferencerne er i dette tilfælde omvendt, så 0,33𝑢(2.500) >
0,34(2.400).
Side 12 af 38
Valgene er åbenlyst usammenhængende og indikerer, at forsøgspersonerne overvægter sikre udfald,
i dette tilfælde prospekt B. Tendensen til at overvægte sikre udfald er en overskridelse af princip (i),
hvor udfaldene kun vægtes med deres objektive sandsynligheder.
Overskridelse af principperne (ii) og (iii) kan illustreres ved et andet eksempel. Forsøgsdeltagerne
bliver nu stillet over for følgende hypotetiske problemstillinger:
Problem 1: Du er blevet givet 1.000. Vælg nu mellem 𝐴: (1.000, 0,50) og 𝐵: (500)
Problem 2: Du er blevet givet 2.000. Vælg nu mellem 𝐶: (−1.000, 0,50) og 𝐷: (−500)
Flertallet af deltagerne vælger prospekt B i Problem 1 og prospekt C i Problem 2. Med disse valg
udvises der risikoaversion ved positive prospekter, mens der ved negative prospekter udvises
risikosøgning, hvilket overskrider princip (iii). Læg desuden mærke til, at med hensyn til endelige
stadier er de to problemer ens, så 𝐴 = (2.000, 0,50; 1.000, 0,50) = 𝐶 og 𝐵 = (1.500) = 𝐷.
De usammenhængende valg får Kahnemann og Tversky til at konkludere, at personerne ikke
integrerer deres nuværende beholdning i beslutningssituationen, og at det i stedet for endelige
niveauer af rigdom eller velfærd er forøgelser eller tab af samme, der afgør nytten. Især den sidste
indsigt udgør en vigtig hjørnesten i prospektteori.
Ovenstående er blot få ud af adskillige eksempler på, at aksiomerne fra forventet nytteteori ikke
overholdes i praksis. Derfor argumenterer Kahnemann og Tversky for, at teorien ikke er
tilstrækkelig til at forklare individers adfærd i beslutningssituationer under usikkerhed. Deres
alternative teori bygger på den observerede adfærd hos testpersoner og er inddelt i to dele, en
redigeringsfase og en evalueringsfase.
3.2 Redigeringsfasen
I redigeringsfasen foretager individet en indledende analyse, hvor mulige tilbud eller prospekter
fortolkes. I analysen transformeres prospektets udfald og sandsynligheder ved en række handlinger.
Et eksempel på en sådan handling er kodning. Som nævnt i forrige underafsnit vurderes udfaldene
Side 13 af 38
af et prospekt som enten en forøgelse eller et tab. Ved kodningen placerer individet et
referencepunkt, hvorudfra udfaldet vurderes, og denne placering har følgelig betydning for, om
udfaldene opfattes som forøgelser eller tab.
Et andet eksempel er segregering, hvor et prospekts udfald deles op i risikable og risikofrie
komponenter. For eksempel kan prospektet (300, 0,80; 200, 0,20) adskilles, så det udgør en sikker
gevinst på 200 og et risikabelt prospekt (100, 0,80). Af andre handlinger kan nævnes kombinering,
hvor sandsynligheder forbundet med ens udfald kombineres, og annullering, hvor prospekters
identiske par af sandsynligheder og udfald ignoreres. Formålet med disse og andre handlinger i
redigeringsfasen er at simplificere evalueringen og det efterfølgende valg af prospekt, som sker i
evalueringsfasen.
3.3 Evalueringsfasen
I evalueringsfasen sker den vurderingsproces, som fører til valget af et prospekt. I den klassiske
teori er nytten af et prospekt lig med summen af de forskellige udfald nytte, hvor hvert udfald
vægtes med dets objektive sandsynlighed. I prospektteori vælges et prospekt ud fra dets samlede
værdi, 𝑉, der bestemmes ved
𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑝 ; 𝑦, 𝑞) = 𝜋(𝑝)𝑣(𝑥) + 𝜋(𝑞)𝑣(𝑦) (3.1)
hvor 𝑝 og 𝑞 er sandsynlighederne tilknyttet 𝑥 og 𝑦. Det ses, at et udfalds sandsynlighed nu vægtes
med beslutningsvægten 𝜋, som reflekterer, hvor stor indflydelse 𝑝 har på prospektets totale værdi. 𝑣
tilskrives udfaldet og er et subjektivt mål for værdien af forøgelsen eller tabet.
3.3.1 Værdifunktionen
Som følge af den observerede adfærd hos forsøgsdeltagere fremfører Kahnemann og Tversky
(1979) en værdifunktionen som vist i Figur 3.1. Forfatterne argumenterer for, at rigdom ligesom
eksempelvis temperaturer vurderes ud fra et referencepunkt. Derfor afhænger værdien af ændringer
i rigdom af referencepunktet.
Side 14 af 38
Figur 3.1: Værdifunktion
Figuren illustrerer flere andre hovedelementer i prospektteori. Det fremgår, at værdifunktionen er
konkav for forøgelser og konveks for tab. Dette afspejler to forskellige forhold. Det første er
princippet om aftagende sensitivitet. Forskellen mellem en forøgelse på 100 og 200 opfattes større
end forskellen mellem en forøgelse på 1.100 og 1.200, og for både forøgelser og tab gælder det, at
en ændrings værdi aftager med størrelsen. Konkaviteten og konveksiteten for henholdsvis forøgelse
og tab viser desuden tendensen til risikoaversion i det positive domæne og risikosøgning i det
negative.
Det noteres desuden, at værdifunktionen er stejlere i det negative domæne end i det positive. I deres
eksperiment observerede Kahnemann og Tversky, at tab føles stærkere end tilsvarende forøgelser.
Et tab på 100 vil således føles mere negativt, end en forøgelse på 100 vil føles positivt. Dette
fænomen kaldes tabsaversion og er endnu en vigtig egenskab ved prospektteori.
3.3.2 Vægtningsfunktionen
Af formel (3.1) fremgår det, at værdien af et udfald ganges med beslutningsvægten 𝜋(𝑝). 𝜋(𝑝) er
ikke en objektiv sandsynlighed som i forventet nytteteori, men et mål for udfaldenes indflydelse på
et prospekts attraktivitet. Vægtningsfunktionen er derfor en funktion, der transformerer udfaldenes
objektive sandsynligheder til individets opfattelse af disse sandsynligheder. I dette afsnit
præsenteres vægtningsfunktionen fra Tversky og Kahnemanns (1992) kumulative prospektteori.
Side 15 af 38
I den kumulative version af prospektteori rangeres udfaldene af hvert prospekt i stigende
rækkefølge fra −𝑚 til 𝑛, og individets opfattelse af udfaldet afhænger af dets rangering i denne
samlede fordeling af udfald. Forøgelser og tab transformeres separat. For et risikabelt prospekt
(𝑥𝑖 , 𝑝𝑖 ) er beslutningsvægten i henholdsvis det positive og negative domæne defineret som
𝜋𝑖+ = 𝑤 + (𝑝𝑖 + ⋯ + 𝑝𝑛 ) − 𝑤 + (𝑝𝑖+1 + ⋯ + 𝑝𝑛 ),
𝜋𝑖− = 𝑤 − (𝑝−𝑚 + ⋯ + 𝑝𝑖 ) − 𝑤 − (𝑝−𝑚 + ⋯ + 𝑝𝑖−1 ),
0≤ 𝑖 ≤𝑛−1
1−𝑚 ≤ 𝑖 ≤0
(3.2)
(3.3)
.
hvor 𝑤 + og 𝑤 − er stigende funktioner, så 𝑤 + (0) = 𝑤 − (0) = 0 og 𝑤 + (1) = 𝑤 − (1) = 1.
Beslutningsvægten 𝜋𝑖+ , som er forbundet med et positivt udfald, er dermed forskellen mellem
vægtene, der tillægges henholdsvis hændelsen, hvor udfaldet er mindst lige så godt som 𝑥𝑖 , og
hændelsen, hvor udfaldet er udelukkende bedre end 𝑥𝑖 . Ligeledes er 𝜋𝑖− i det negative domæne
forskellen mellem vægtene for henholdsvis hændelsen, hvor udfaldet er mindst lige så dårligt som
𝑥𝑖 , og hændelsen, hvor udfaldet udelukkende er dårligere end 𝑥𝑖 .
Figur 3.2 viser vægtningsfunktioner for både forøgelser og tab. Det ses tydeligt, at der i modsætning
til forventet nytteteori foretages en ikke-lineær omdannelse af sandsynligheder. Tversky og
Kahnemann observerer det mønster, at der ved moderate og høje sandsynligheder bliver udvist
risikoaversion ved forøgelser og risikosøgning ved tab, mens det omvendte er tilfældet ved små
sandsynligheder. Funktionernes former illustrerer desuden den egenskab, at lave sandsynligheder
overvægtes, mens moderate og høje sandsynligheder undervægtes. Samtidig er kurverne stejlere i
nærheden af 𝑝 = 0 og 𝑝 = 1, hvilket betyder, at folk er relativt mere følsomme over for ændringer i
sandsynligheder nær grænserne.
Side 16 af 38
Figur 3.2: Vægtningsfunktioner
3.4 Hypotetiske værdi- og vægtningsfunktioner
Tversky og Kahnemann (1992) foretager endnu et eksperiment med beslutningstagning og er ud fra
resultaterne i stand til at angive formelle værdi- og vægtningsfunktioner. En værdifunktion, der
medtager de tidligere diskuterede egenskaber, formuleres som
𝑣(𝑥) = {
𝑥𝛼 ,
−𝜆(−𝑥)𝛽 ,
𝑥≥0
𝑥<0
(3.4)
Udfaldet 𝑥 angiver forøgelsen eller tabet og vurderes forskelligt i det positive og negative domæne.
Eksponenterne 𝛼 og 𝛽 estimeres begge til 0,88, hvilket er udtryk for princippet om aftagende
sensitivitet. Tabsaversion er angivet ved parameteren 𝜆, som estimeres til 2,25. Det vil sige, at tab
føles mere end to gange hårdere end forøgelser.
Vægtningsfunktionerne er ligeledes separate for forøgelser og tab og udtrykkes ved
𝑤 + (𝑝) =
𝑝𝛾
1
(𝑝𝛾 +(1−𝑝)𝛾 )𝛾
og
𝑤 − (𝑝) =
𝑝𝛿
1
(3.5)
(𝑝𝛿 +(1−𝑝)𝛿 )𝛿
hvor 𝛾 estimeres til 0,61 og 𝛿 til 0,61. Vægtningsfunktionerne i Figur 3.2 bygger på disse estimater.
At 𝛿 er lidt større end 𝛾 afspejler, at risikoaversionen for gevinst er mere udtalt end risikosøgning
for tab ved moderate og høje sandsynligheder.
Side 17 af 38
Med de angivne værdi- og vægtningsfunktioner kan den samlede værdi af et prospekt defineres som
(Benartzi & Thaler, 1995)
𝑉 = ∑ 𝜋𝑖 𝑣(𝑥𝑖 )
(3.6)
hvor 𝑣(𝑥𝑖 ) er værdien af et udfald, og 𝜋𝑖 er den tilknyttede beslutningsvægt.
4. Myopic Loss Aversion
Med inddragelse af koncepter fra adfærdsøkonomi kommer Benartzi og Thaler (1995) med en
mulig løsning på ”equity premium puzzle”. Det første af disse koncepter er tabsaversion. I forrige
afsnit blev der redegjort for, at tabsaversion er en af de vigtige egenskaber i Kahnemann og
Tverskys prospektteori og betegner det observerede fænomen, at folk er mere følsomme over for
tab end for tilsvarende gevinster eller forøgelser.
Det andet koncept er ”mnetal accounting”, der af Thaler (1999) defineres som kognitive processer,
som benyttes af individer og husholdninger til at organisere, evaluere og holde styr på finansielle
aktiviteter. ”Mental accounting” betegner flere forskellige psykologiske processer. Den vigtigste i
denne sammenhæng er ”choice bracketing”, som har at gøre med opfattede grænser og
evalueringshyppighed.
I beslutningssituationer, hvor der indgår flere forskellige prospekter, har den psykologiske
”indramning” af prospekterne stor betydning for individets valg. Der kan enten foretages en snæver
indramning, hvor et eller få prospekter evalueres af gangen, eller en bred indramning, hvor flere
eller alle prospekter evalueres som en helhed.
Samuelson (1963) angiver et eksempel, som viser betydningen af ”mental accounting”. Økonomen
Samuelson spørger en kollega, om han er villig til at spille mønt om en gevinst på 200 eller et tab på
100. Kollegaen afslår, men tilkendegiver, at han villig til at acceptere spillet, hvis det gentages 100
gange. Hans begrundelse for at afvise det første spil er, at tabet af 100 vil føles stærkere end
Side 18 af 38
gevinsten på 200. Denne begrundelse hænger naturligvis sammen med tabsaversion, og det kan
derfor antages, at kollegaen har nyttefunktionen
𝑥,
𝑈(𝑥) = {
2,5𝑥,
𝑥≥0
𝑥<0
som kendes fra prospektteori. Koefficienten for tabsaversion er her 2,5.
Hvis det nævnte spil spilles en enkelt gang, vil den forventede nytte være negativ. Foretages spillet
derimod to gange, afhænger valget af, hvordan de enkelte spil indrammes og evalueres. Hvis
spillene evalueres hver for sig, bliver den forventede nytte dobbelt så dårlig som ved et enkelt spil.
Evalueres
spillene
derimod
som
en
samlet
bliver
portefølje,
bliver
prospektet
(400, 0,25; 100, 0,50; −200, 0,25), og den forventede nytte med ovenstående nyttefunktion er i så
fald positiv. Det følger dermed, at så længe der foretages flere end ét, bør kollegaen være villig til at
acceptere ethvert antal spil, så længe han ikke skal se dem blive udført.
Benartzi og Thaler (1995) argumenterer for, at tabsaverse personer generelt er mere villige til at
påtage sig risiko, hvis de kombinerer flere væddemål. Det er denne indsigt om kombinationen af
tabsaversion og ”mental accounting”, som Benartzi og Thaler overfører til ”equity premium
puzzle”. Argumentet er i den sammenhæng, at investorer er mere villige til at påtage sig risiko, hvis
deres præstation ikke evalueres hyppigt. Det vil sige, at jo længere en investor har tænkt sig at holde
et aktiv, jo mere attraktivt vil det risikable aktiv være, så længe investeringen ikke evalueres
hyppigt. Af samme logik følger, at det er kombinationen af tabsaversion og en kort
evalueringsperiode, der gør, at investorer ikke ønsker at påtage sig den risiko, der er forbundet med
aktier. Denne beskrivelse af investorers adfærd kaldes ”myopic loss aversion”.
4.1 Benartzi og Thalers analysemetode og -resultater
Benartzi og Thaler ønsker med deres analyse at svare på spørgsmålet: Hvis investorer har
præferencer som i prospektteori, hvilken evalueringsperiode er så nødvendig for at forklare den
historiske risikopræmie på aktier?
Side 19 af 38
For besvare dette spørgsmål undersøges det, hvor ofte en investor skal evaluere sin portefølje for at
være indifferent mellem de historiske afkast på aktier og obligationer. For denne evalueringsperiode
undersøges det så, hvilken kombination af aktier og obligationer, der maksimerer investorens nytte.
Det antages, at investorer har præferencer som beskrevet ved prospektteori. Der antages derfor
værdi- og vægtningsfunktioner med de estimerede parameterværdier fra Tversky og Kahnemann
(1992).
Til analysen benyttes data vedrørende historiske, månedlige afkast på amerikanske aktier,
obligationer og treasury bills fra perioden 1926 til 1990. Med henblik på at gøre resultaterne mere
robuste sammenlignes aktieindekset både med femårige statsobligationer og kortfristede treasury
bills, og sammenligningerne foretages både i nominelle og reale termer. Benartzi og Thaler
argumenterer dog for, at der skal lægge mest vægt på den nominelle sammenligning af aktier og
femårige statsobligationer, da disse obligationer udgør bedre substitutter for investorer med lange
investeringshorisonter.
Den nominelle sammenligning er ifølge forfatterne mest relevant af to årsager. For det første
rapporteres afkast i nominelle termer, og for det andet viste deres undersøgelse, at i reale termer
medførte det negativ nytte at holde treasury bills uanset evalueringsperioden.
4.1.1 Evalueringsperiode
For at finde frem til den evalueringsperiode, ved hvilken en investor vil være indifferent mellem at
holde aktier og obligationer, udtrækkes 100.000 n-måneders afkast. Disse afkast rangeres fra bedst
til værst, og den prospektive nytte kan derefter udregnes. Proceduren foretages for det givne aktiv
startende med en evalueringsperiode på en måned, og perioden øges derefter med en måned af
gangen. Tabel 4.1 viser resultaterne af analysen.
Tabel 4.1: Evalueringsperiode, måneder
Data
Aktier og obligationer
Nominel
Real
13
10-11
12
9-10
Aktier og T-bills
Kilde: Benartzi og Thaler (1995), s. 83
Side 20 af 38
Det fremgår af Tabel 4.1, at evalueringsperioden varierer en smule, alt efter hvilke data der
anvendes. Forfatterne finder, at en plausibel længde på evalueringsperioden er et år. Det begrundes
blandt andet med, at indberetninger til skat foretages årligt, og at institutionelle investorer lægger
stor vægt på årsrapporter. Med de historiske afkast på aktier og obligationer vil en investor altså
være indifferent mellem at holde aktier og obligationer, hvis han evaluerer sin porteføljes præstation
en gang om året.
Man skal her være opmærksom på, at evalueringsperioden ikke er det samme som
investeringshorisonten. En person, som sparer op til sin pension og derfor har en
investeringshorisont på 30 år, kan have en evalueringsperiode på tre måneder, hvis han hver tredje
måned tjekker sin portefølje og bliver påvirket af forøgelsen eller tabet.
4.1.2 Optimal aktivallokering
I praksis laver investorer ofte blandede porteføljer og holder dermed ikke kun porteføljer, der
indeholder udelukkende aktier eller obligationer. For at bekræfte resultatet fra foregående afsnit
undersøger Benartzi og Thaler derfor, hvilke andele af henholdsvis aktier og obligationer en
investor bør holde i sin portefølje, hvis han ønsker at maksimere nytten i den etårige
evalueringsperiode. Evalueringsperioden antages altså at være givet ved et år, og den prospektive
nytte udregnes for alle kombinationer af aktier og obligationer med intervaller på 10 procentpoint.
For både nominelle og reale afkast er resultatet, at investoren maksimerer sin nytte ved at holde
mellem 30 og 55 procent aktier. Dette resultat stemmer ifølge forfatterne overens med observerede
porteføljesammensætninger hos både private og institutionelle investorer i USA. En tilsvarende
analyse foretages med danske data i afsnit 6.
5. Risikopræmien på danske aktier
I denne del af rapporten analyseres risikopræmien på danske aktier i perioden 1970 til 2013. Efter
en kort gennemgang af risikopræmien i perioden vil det blive undersøgt, om størrelsen på præmien
udgør samme gåde, som Mehra og Prescott (1985) dokumenterer med amerikanske data.
Side 21 af 38
Til analysen benyttes data om vækstrate i forbruget samt reale afkast på pengemarkedet og på et
aktieindeks som beskrevet i afsnit 1.3. Figur 5.1 viser udviklingen for risikopræmien, aktieafkastet
og pengemarkedsrenten fra 1970 til 2013. Som nævnt er risikopræmien merkafkastet på aktier i
forhold til det risikofrie afkast, og den gennemsnitlig risikopræmie var i perioden på 7,85 procent.
Afkastet på det risikofrie aktiv var i hele perioden relativt stabilt, og risikopræmien afhænger derfor
i høj grad aktiemarkedets præstation. Figur 5.1 illustrerer, at risikopræmien har svinget meget i
perioden som følge af aktiemarkedets volatilitet, og i flere forskellige år har risikopræmien været
negativ.
Lavest var risikopræmien med -30 procent i 1974, hvilket sandsynligvis skyldes den første
oliekrise, som blandt andet medførte høj inflation. Af andre år med lav risikopræmie kan nævnes
2008 og 2009 i forbindelse med finanskrisen samt 2002 efter IT-boblen og terrorangrebet på World
Trade Center i USA. Den højeste risikopræmie forekom i 1983, hvor den var på 61 procent. Nielsen
og Risager (2001) mener, at det store opsving på aktiemarkedet i 1983 kan skyldes det skift i den
økonomiske politik, der fulgte med Schlüter-regeringen indtræden i 1982.
Figur 5.1: Risikopræmien på danske aktier, 1970-2013
Data: Aktieindeks og pengemarkedsrente, 1970-2013, real.
Risikopræmien var i 1980’erne med et gennemsnit på 15 procent væsentligt højere end i de andre
årtier. Den gennemsnitlige risikopræmie var således på 2 procent i 70’erne, mens den i både 90’erne
og 00’erne lå på 5 procent. Fra 2010 til 2013 forekom en gennemsnitlig risikopræmie på over 17
Side 22 af 38
procent. Det skyldtes en kombination af relativ høje aktieafkast og en et negativt realafkast på det
risikofrie aktiv.
Men størrelsen på aktiernes risikopræmie dokumenteret er spørgsmålet, om Mehra og Prescotts
model i er stand til at forklare den observerede risikopræmie i perioden, eller om der også på det
danske marked findes en uforklarlig forskel mellem den forventede og den observerede
risikopræmie.
5.1 En ”equity premium puzzle” i Danmark?
Denne del af analysen af danske marked i perioden 1970-2013 følger Mehra og Prescotts (1985)
fremgangsmåde. Ligesom i den oprindelige undersøgelse sættes tids-diskonteringsfaktoren 𝛽 til
0,99, mens koefficienten for risikoaversion 𝛼 sættes til 10. Med disse parametre fastsat, og med
stikprøvedata fra det danske marked, kan det undersøges, om standardmodellen er i stand til at
forklare den observerede risikopræmie på markedet i perioden. Som mål for det risikofrie afkast
benyttes i denne del af analysen pengemarkedsrenten.
Det forventede risikofrie afkast findes ved formel (2.10):
1
ln 𝑅𝑓 = − ln 𝛽 + 𝛼𝜇𝑥 − 2𝛼 2 𝜎𝑥2
og ud fra en omskrivning af formel (2.11) bestemmes det forventede afkast på aktier:
ln 𝐸 {𝑅𝑒 } = ln 𝑅𝑓 + 𝛼𝜎𝑥2
Den forventede risikopræmie er forskellen på de to afkast. Ved at sammenligning den teoretiske
risikopræmie med den observerede kan det afgøres, om Mehra og Prescotts model er i stand til at
forklare den observerede risikopræmie.
Tabel 5.1 viser beskrivende statistisk fra stikprøven fra det danske marked. Det ses, at den
gennemsnitlige risikopræmie var på 7,85 procent i perioden.
Side 23 af 38
Tabel 5.1: Stikprøvedata, 1970-2013
𝑅𝑓
1,60 %
Gennemsnitligt afkast på aktier
𝐸{𝑅𝑒 }
9,45 %
Gennemsnitlig vækstrate for forbrug
𝐸{𝑥}
1,27 %
𝜎{𝑥}
𝐸{𝑅𝑒 } − 𝑅𝑓
2,70 %
Gennemsnitlig risikofri rente
Standardafvigelse på vækstrate for forbrug
Gennemsnitlig risikopræmie på aktier
7,85 %
Data: Danmark, 1970-2013
Hvis parametrene 𝛼 og 𝛽 fastsættes til henholdsvis 10 og 0,99 kan det risikofrie afkast findes som
1
ln 𝑅𝑓 = − ln 0,99 + 10 ∗ 0,0127 − 2 ∗ 102 ∗ 0,0272 = 0,1003 ⇒ 𝑅𝑓 = 𝑒 0,1003 = 10,55 %
og det forventede afkast på aktier bliver
ln 𝐸 {𝑅𝑒 } = 0,1003 + 10 ∗ 0,0272 = 0,1076 ⇒ 𝐸{𝑅𝑒 } = 𝑒 0,1076 = 11,36 %
Modellen forudsiger således en risikopræmie på aktier på 11,36 – 10,55 = 0,81 procent, mens den
observerede risikopræmie er på 7,85 procent. Der findes altså en del af risikopræmien på 7,04
procent, som modellen ikke er i stand til at redegøre for. Der eksisterer derfor også på det danske
marked den ”equity premium puzzle”, som Mehra og Prescott (1985) dokumenterer med
amerikanske data.
Analysen er også udført med danske statsobligationer som det risikofrie aktiv. Som nævnt i
indledningen har det ikke været muligt at finde et obligationsindeks, der går længere tilbage end
1986, og analysen foretages derfor med 1986 som startår. Det gennemsnitlige reale afkast på aktier
var i denne periode 10,31 procent, mens afkastet på obligationer var 5,13 procent. Risikopræmien
på aktier var dermed 5,18 procent. Modellen forudsiger en risikopræmie på 0,67 procent, og den
uforklarlige del af risikopræmien er dermed lidt mindre i dette tilfælde (4,51 procent).
Konklusionen er dog den samme, at der er en uoverensstemmelse mellem den teoretiske og den
observerede risikopræmie.
Med henblik på at opnå en yderligere bekræftelse af en dansk ”equity premium puzzle” anvendes
Kocherlakotas (1996) alternative test af modellen. Kocherlakotas fremgangsmåde bygger som
Side 24 af 38
nævnt på betingelsen om, at der i en ligevægtssituation ikke bør være forskel på de to afkast, når der
er taget højde for forbrugsvækst og risikoaversion. Den forventede risikopræmie ved en givet værdi
af 𝛼 kan findes ved formel (2.13):
𝑒𝑡+1
𝐶𝑡+1 −𝛼
= {(
) (𝑅𝑒,𝑡+1 − 𝑅𝑓,𝑡+1 )}
𝐶𝑡
hvor 𝑒 er den forventede risikopræmie i et år, (
𝐶𝑡+1
𝐶𝑡
) er væksten i forbruget og 𝑎 er risikoaversions-
koefficienten.
Ved en én-sidet t-test kan det testes, om det kan afvises, at den gennemsnitlige forventede
risikopræmie er lig 0 ved forskellige værdier af 𝛼. H0-hypotesen bliver altså at 𝑒̅ = 0. Hvis
modellen skal kunne retfærdiggøre den observerede risikopræmie, må 𝑒̅ ikke være signifikant
forskellig fra nul ved plausible værdier af 𝛼.
I denne analyse er den gennemsnitlige risikopræmie udregnet i alle årene fra 1970 til 2013 ved 𝛼værdier fra 0 til 30 med et interval på 0,5. Derefter er der foretaget en én-sidet t-test med et
signifikansniveau på 5 procent og med 43 frihedsgrader. Tabel 5.2 viser et uddrag af resultaterne af
testen.
Tabel 5.2: Test af ”equity premium puzzle”
𝜶
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
𝑒̅
0,058
0,057
0,056
0,055
0,054
0,053
0,053
𝜎
0,217
0,217
0,218
0,218
0,218
0,219
0,220
𝑡
1,765
1,763
1,707
1,677
1,647
1,617
1,587
Data: Danmark, 1970-2013
Resultatet viser, at for alle 𝛼-værdier under 12 kan det med 95 procent sikkerhed afvises, at den
gennemsnitlige risikopræmie 𝑒̅ er lig nul. Betingelsen fra (2.12) bliver således ikke overholdt, når 𝛼
er lavere end 12. Det betyder, at Mehra og Prescotts model ikke er stand til at forklare den
observerede risikopræmie, medmindre der anvendes en risikoaversions-koefficient på 12 eller
derover. Som nævnt i afsnit 2.2 angiver Mehra og Prescott (2003), at studier indikerer, at 𝑎 ligger i
Side 25 af 38
nærheden af 3. En risikoaversionskoefficient på 12 er følgelig forbundet med usandsynlig stor
risikoaversion.
Da den alternative hypotese i testen er, at 𝑒̅ er forskellig fra nul, og da 𝑒 i nogle år er negativ, kan
der argumenteres for, at en to-sidet test er mere relevant. Ved en sådan test bliver resultatet, at 𝑒̅ er
signifikant forskellig fra nul, når 𝛼 er mindre end 6,5. Denne værdi ligger inden for den grænse,
som Mehra og Prescott fastsatte i deres oprindelige analyse, men stadig over plausible værdier
mellem 1 og 3. Resultatet ændrer derfor ikke på konklusionen. Disse resultater bekræfter, at der
findes en ”equity premium puzzle” i Danmark.
6. Analyse af ”myopic loss aversion” i Danmark
I det foregående afsnit blev det dokumenteret, at risikopræmien på danske aktier fra 1970 til 2013
ikke kan forklares med traditionel teori. Den gennemsnitlige, observerede risikopræmie var i
perioden 7,85 procent, mens Mehra og Prescotts model forudsiger en risikopræmie på 0,81 procent.
I denne del af analysen undersøges det, om ”myopic loss aversion” kan være en forklaring på
risikopræmiens størrelse.
6.1 Metode
Ligesom i Benartzi og Thalers (1995) artikel er hovedspørgsmålet i denne del af analysen: Hvis
investorer har præferencer som i prospektteori, hvilken evalueringsperiode er så nødvendig for at
forklare den historiske risikopræmie på aktier?
For at nå frem til at svar på spørgsmålet undersøges det først, hvilken evalueringsperiode det
kræver, hvis en investor skal være indifferent mellem aktier og et risikofrit aktiv. Dernæst udregnes
den optimale aktivallokering for denne evalueringsperiode, og det undersøges, om denne allokering
svarer til den observerede hos danske investorer.
Med henblik på at teste resultaternes robusthed foretages forskellige analyser af modellens
sensitivitet. Det undersøges, om resultaterne ændres, hvis der benyttes statsobligationer i stedet for
pengemarkedsrente som risikofrit aktiv. Ligeledes testes det, om det har betydning, hvis der
anvendes reale afkast i stedet for nominelle. Derudover vil det blive analyseret, om modellen er
følsom over for ændringer i koefficienten for tabsaversion.
Side 26 af 38
En forskel fra fremgangsmåden i den oprindelige artikel er, at resultaterne i denne analyse ligesom i
Isager-Nielsen (2006) er baseret på observerede afkast, hvor Benartzi og Thaler benytter
simulationer.
6.1.1 Evalueringsperiode og optimal aktivallokering
Den nødvendige evalueringsperiode findes ved at udregne nytten af at holde udelukkende aktier
eller udelukkende det risikofrie aktiv i forskellige tidsperioder, i dette tilfælde måneder. De
sammensatte T-måneders afkast findes ved
𝑖=𝑇
𝑥𝑖 = ∏(1 + 𝑟𝑖 ) − 1
𝑖=1
hvor 𝑟𝑖 er de månedlige afkast.
Da investorer antages at have præferencer som i prospektteori, anvendes Tversky og Kahnemanns
(1992) hypotetiske værdifunktion i udregningen af værdierne af de sammensatte afkast:
𝑥𝛼 ,
𝑣(𝑥) = {
−𝜆(−𝑥)𝛽 ,
𝑥≥0
𝑥<0
Egenskaberne ved denne værdifunktion blev beskrevet i afsnit 3. Tverskys og Kahnemanns
estimerede parameterværdier benyttes, så både 𝛼 og 𝛽 fastsættes til 0,88, mens koefficienten for
tabsaversion, 𝜆, sættes til 2,25.
Alle disse opfattede værdier skal herefter tildeles en beslutningsvægt. Beslutningsvægtene ved
henholdsvis forøgelser og tab findes ved
𝜋𝑖+ = 𝑤 + (𝑝𝑖 ) − 𝑤 + (𝑝𝑖∗ ) og
𝜋𝑖− = 𝑤 − (𝑝𝑖 ) − 𝑤 − (𝑝𝑖∗ )
I det positive domæne betegner 𝑝𝑖 sandsynligheden for at få en lige så høj eller højere værdi end
𝑣(𝑥𝑖 ), og 𝑝𝑖∗ er sandsynligheden for at få udelukkende højere værdi. Ligeledes er 𝑝𝑖 i det negative
domæne sandsynligheden for at få lige så lav eller lavere værdi, mens 𝑝𝑖∗ betegner sandsynligheden
Side 27 af 38
for at få en udelukkende lavere værdi. For at kunne bestemme disse sandsynligheder sorteres
værdierne af afkastene, 𝑣(𝑥𝑖 ), i stigende rækkefølge. Værdierne gives en rang, 𝑖, som går fra 0 til
1 − 𝑛, hvor 1 − 𝑛 er observationen med den højeste værdi. 𝑝𝑖 og 𝑝𝑖∗ kan nu bestemmes i domænet
for forøgelser som
𝑝𝑖+ =
𝑛−𝑖
𝑛
og
+
𝑝𝑖∗ =
𝑛−𝑖−1
𝑛
samt i domænet for tab som
𝑝𝑖− =
𝑖+1
𝑛
og
𝑖
−
𝑝𝑖∗ = 𝑛
hvor 𝑛 er antallet af observationer.
Sandsynlighederne indsættes derefter i vægtningsfunktionerne, som også blev beskrevet i afsnit 3:
𝑤 + (𝑝) =
𝑝𝛾
1
(𝑝𝛾 +(1−𝑝)𝛾 )𝛾
𝑝𝛿
og 𝑤 − (𝑝) =
1
(𝑝𝛿 +(1−𝑝)𝛿 )𝛿
Igen benyttes Tversky og Kahnemanns (1992) estimationer, så 𝛾 sættes 0,61 og 𝛿 til 0,69.
Med værdierne af de sammensatte afkast og de tildelte beslutningsvægte kan den samlede
prospektive nytte af at holde et aktiv i en periode udregnes som
𝑉 = ∑ 𝜋𝑖 𝑣(𝑥𝑖 )
Denne udregning af den samlede nytte foretages for både aktier og det risikofrie aktiv ved
evalueringsperioder på 1 til 30 måneder, og på den måde findes den evalueringsperiode, der gør
investoren indifferent mellem at holde aktier og det risikofrie aktiv.
I analysens næste skridt tages den fundne evalueringsperiode for givet, og nytten af at holde
blandede porteføljer med aktier og det risikofrie aktiv udregnes. Beregninger udføres igen som
Side 28 af 38
beskrevet ovenfor og foretages for porteføljer indeholdende mellem 0 og 100 procent aktier med
forøgelser på fem procentpoint. Den optimale aktivallokering er naturligvis den, der tilfører
investoren mest nytte.
Resultatet sammenlignes derefter med undersøgelser af danske investorers aktivallokeringer. Hvis
modelles resultat svarer til den observerede allokering, kan det ses som en yderligere bekræftelse af
resultatet.
6.2 Analyseresultater (1970-2013)
I det følgende præsenteres resultaterne af analysen af ”myopic loss aversion” på danske data fra
perioden 1970 til 2013. Resultaterne vises i nominelle termer. Den gennemsnitlige risikopræmie i
nominelle termer var i perioden på 8,19 procent.
6.2.1 Evalueringsperiode
Figur 6.1 viser nytten af at holde aktier og det risikofrie aktiv ved forskellige evalueringsperioder.
Som mål for aktiemarkedet anvendes MSCI-indekset, og det risikofrie aktiv er igen den kortfristede
pengemarkedsrente.
Figur 6.1: Evalueringsperiode og nytte
Data: Aktieindeks og kortfristet pengemarkedsrente, 1970-2013, nominel
Det fremgår af Figur 6.1, at den medførte nytte stiger både for aktier og for det risikofrie aktiv, men
at stigningen er størst for aktier. Afkastet på aktier har en højere standardafvigelse (risiko) end det
risikofrie afkast, og tab forekommer mere hyppigt for aktier. En investor med en kort
evalueringsperiode bliver oftere påvirket af disse tab, og på grund tabsaversion medfører det lavere
Side 29 af 38
nytte at holde aktier. Det på trods af, at det gennemsnitlige aktieafkast som forventet er højere end
afkastet på det risikofrie aktiv. Ved længere evalueringsperioder oplever investoren færre tab, og
det bliver dermed mere attraktivt at holde aktier.
Investoren er indifferent mellem aktier og det risikofrie aktiv ved det punkt, hvor de to kurver i
figuren krydser hinanden. Det sker i dette tilfælde ved en evalueringsperiode på omkring 12
måneder. Dette resultat stemmer fint overens med resultatet af Benartzi og Thaler undersøgelse af
det amerikanske marked. Som beskrevet i afsnit 4 argumenterer de for, at en evalueringsperiode på
et år er et plausibelt resultat.
6.2.2 Optimal aktivallokering
Nytten af forskellige aktivallokeringer for en investor med en 12 måneders evalueringsperiode er
vist i Figur 6.2. Beregningerne er foretaget med henblik op at opnå en yderligere bekræftelse af
resultatet fra forrige underafsnit.
Figur 6.2: Aktivallokering og nytte ved etårig evalueringsperiode
Data: Aktieindeks og pengemarkedsrente, 1970-2013, nominel
Den opnåede nytte ved at holde porteføljer med forskellige andele aktier og risikofrit aktiv er vist i
figuren. Den optimale andel af aktier ligger mellem 30 og 35 procent, men det ses i figuren, at der
ikke er store forskelle i nytten ved aktieandele på omkring 20 til 45 procent. Benartzi og Thaler
finder en optimal aktieandel på 30 til 55 procent.
Side 30 af 38
Brancheforeningen for danske investeringsfonde angiver i en analyse, at investorernes samlede
formue er fordelt på 38,49 procent aktiebaserede fonde og 49,5 obligationsbaserede fonde (resten
placeret i ”øvrige” og ”blandede”) (Investeringsforeningsbranchen, 2015, p.3). I disse tal indgår dog
også investeringsfonde, som er baseret på udenlandske aktier og obligationer. En rapport fra
Finanstilsynet viser, at de danske investeringsforeninger har placeret 55,9 procent af deres midler i
obligationer og 40,3 procent i aktier samt investeringsforeningsbeviser i andreforeninger
(Finanstilsynet, 2014, p. 6). Af OECD’s statistiske database fremgår det, at andelen af aktier i
danske investerings- og pensionsfonde udgør henholdsvis 39,5 og 37,4 procent af de finansielle
aktiver. For forsikringsselskaber er andelen af aktier noget højere med 59,4 procent.
Tallene fra de nævnte undersøgelser af danske investorers aktivallokering ligger ikke langt fra
modellens optimale aktivallokering ved en etårig evalueringsperiode. Det tyder dog på, at den
teoretisk optimale aktieandel er en smule lavere end den observerede.
6.2.3 Reale afkast
For at validere resultaterne og teste modellens følsomhed er analysen gentaget med reale afkast i
stedet for nominelle.. Figur 6.3 viser igen nytten af at holde henholdsvis aktier og risikofrit aktiv
ved forskellige evalueringsperioder.
Figur 6.3: Evalueringsperiode og nytte
Data: Aktieindeks og pengemarkedsrente, 1970-2013, real
Benartzi og Thaler finder, at deres resultater ikke ændres af, om analysen foretages med reale
afkast. Det samme må siges at være tilfældet her. Kurverne er som forventet knapt så stejle som i
Side 31 af 38
Figur 6.1, men krydser igen hinanden ved en evalueringsperiode på 12 måneder. Med
evalueringsperioden fastsat til et år er den optimale andel af aktier i porteføljen igen 30 til 35
procent.
6.2.4 Statsobligationer som risikofrit aktiv
I den oprindelige artikel af Benartzi og Thaler sammenlignes aktieindekset både med kortfristede Tbills og 5-årige statsobligationer. Forfatterne argumenterer for, at der bør lægges mest vægt på
sammenligningen med statsobligationerne, da disse for investorer er mere oplagte substitutter. Af
samme årsag, og for igen at teste modellens følsomhed, er udregningerne i Figur 6.4 foretaget med
danske statsobligationer som det risikofrie aktiv. Igen har det kun været muligt at analysere data for
perioden 1986-2013. Den gennemsnitlige nominelle risikopræmie var med disse data 5,31 procent i
perioden.
Figur 6.4: Evalueringsperiode og nytte
Data: Aktieindeks og statsobligationer, 1986-2013, nominel.
Resultaterne af udregningerne med statsobligationer adskiller sig tydeligt fra det tidligere resultat.
Det kræver nu en evalueringsperiode på omkring 22 måneder, hvis investoren skal være indifferent
mellem de to aktiver. Det skyldes, at det gennemsnitlige afkast på obligationer var en del højere end
den gennemsnitlige pengemarkedsrente, mens standardafvigelsen ikke var meget højere. Det kræver
således en længere evalueringsperiode, før det giver højere nytte at holde aktier. Hvis
evalueringsperioden skulle være på et år, ville det kræve, at koefficienten for tabsaversion var på
kun -1,6.
Side 32 af 38
Når den evalueringsperioden på 22 måneder tages for given, maksimeres nytten ved 25 til 30
procent aktier i porteføljen. Dette resultat ligger noget under den observerede allokering.
Tabsaversion og hyppige evalueringer ser derfor ud til i mindre grad at være en mulig forklaring på
risikopræmiens størrelse med disse data. At dataserien dækker en kortere periode kan dog have
betydning for resultaterne.
6.2.5 Ændringer i parameteren for tabsaversion
På baggrund af eksperimenter estimerer Tversky og Kahnemann (1992) koefficienten for
tabsaversion, 𝜆, til -2,25, og denne værdi har været anvendt i analysen. I Tabel 6.1 er
evalueringsperioden, der gør investoren indifferent mellem aktier og risikofrit aktiv, fundet ved
forskellige 𝜆-værdier.
Når koefficienten for tabsaversion ligger i nærheden -2,25, holder resultatet med en etårig periode
nogenlunde. Ved koefficienter på -2 og -2,5 bliver evalueringsperioden således henholdsvis 9 og 12
måneder.
Tabel 6.1: Tabsaversions-koefficient og evalueringsperiode
𝝀
-1,5
-2
-2,25
-2,5
-3
Evalueringsperiode, måneder
5
9
12
14
19
Data: Aktieindeks og pengemarkedsrente, 1970-2013, nominel
Ved en tabsaversion på -1,5 føles eventuelle tab mindre hårdt for investoren, og
evalueringsperioden bliver derfor kortere. Omvendt vil en investoren med en koefficient på -3 blive
mere påvirket af tab, og kun hvis porteføljen evalueres hver 19. måned, er aktier lige så attraktivt
som det risikofrie aktiv. Resultaterne viser, at modellen er forholdsvis robust over for ændringer i
koefficienten for tabsaversion.
7. Opsummering og diskussion af resultater
I forrige afsnit blev det undersøgt, om investorers tabsaversion og hyppige evalueringer kan være en
forklaring på størrelsen på danske aktiers risikopræmie. Resultaterne viste, at ”myopic loss
aversion” med visse betingelser kan være en forklaring. Med pengemarkedsrenten som det
Side 33 af 38
risikofrie aktiv kan den historiske risikopræmie forklares, hvis investorer evaluerer deres porteføljer
årligt. Dette resultat er plausibelt jf. Benartzi og Thalers argumentation. Ved en etårig
evalueringsperiode passer modellens optimale aktivallokering nogenlunde med den observerede,
men er tilsyneladende en smule lavere.
Når statsobligationer benyttes som risikofrit aktiv, er resultaterne mindre lovende. Der skal i så fald
en langt længere evalueringsperiode til at forklare den observerede risikopræmie, og den teoretiske,
optimale aktivallokering er en del lavere end den observerede.
Der er foretaget få lignede undersøgelser af ”myopic loss aversion” på det danske marked. IsagerNielsen (2006) finder, at en gennemsnitlig risikopræmie på 9,3 procent i perioden 1971-2005 kan
forklares med en evalueringsperiode på et år. Den optimale andel aktier udregnes til 30 procent, og
hendes resultater ligger dermed ganske tæt på resultaterne i denne rapport. Hun finder desuden en
observeret aktivallokering med omkring 30 procent aktier, hvilket er interessant, da det passer med
den teoretiske aktivallokering fra denne rapport.
Christensen (2011) får det resultat, at det kræver en evalueringsperiode på 16 til 19 måneder at
forklare en risikopræmie på 3,98 procent for perioden 1970 til 2010. Han konkluderer derfor, at
”myopic loss aversion” ikke er nogen overbevisende forklaring på risikopræmiens størrelse.
Man kan stille kritiske spørgsmål til en række forhold i forbindelse med analyseresultaterne i denne
rapport. For det første dækker dataserierne en væsentligt kortere periode end dataserierne i de
artikler, der har dannet grundlag for undersøgelserne. Mehra og Prescott (1985) anvender data fra
1889 til 1978, mens Benartzi og Thalers (1995) undersøgelse dækker perioden 1926-1990. De
markant færre tilgængelige observationer fra det danske marked kan have betydning for forskelle i
resultaterne.
I analysen anvendes en koefficient for tabsaversion på -2,25. Denne værdi blev estimeret af Tversky
og Kahnemann (1992) på baggrund af eksperimenter med amerikanske og israelske individer. Der
er ingen garanti for, at danske individer udviser samme præferencer som personerne i forsøgene.
Resultaterne af analysen viste sig dog at stemme overens med resultaterne fra det amerikanske
marked, når en tabsaversions-koefficient på -2,25 anvendes. Desuden var resultatet relativt robust
Side 34 af 38
over for ændringer i koefficienten. Derudover bør man holde sig før øje, at det naturligvis ikke kun
er danske investorer, der har mulighed for at investere på det danske marked. Resultaterne gælder
derfor for ikke blot for danske investorer, men for investorer på det danske marked.
Modellens optimale aktivallokering blev sammenlignet med institutionelle investorers allokering.
Man kan derfor passende spørge, om institutionelle investorer er præget af tabsaversion og korte
evalueringsperioder på samme måde som private investorer. Benartzi og Thaler adresserer dette
spørgsmål. De argumenter for, at selvom eksempelvis en pensionsfond som organisation
sandsynligvis har et meget langsigtet fokus, bliver ansvarlige ledere hyppigt stillet til ansvar for
fondens præstationer. Som følge af agency-problemer kan derfor forekomme ”myopic loss
aversion” hos institutionelle investorer.
8. Konklusion
Det første formål med rapporten var at undersøge, om der findes en ”equity premium puzzle” på det
danske marked. Mehra og Prescotts (1985) artikel viser, at risikopræmien på amerikanske aktier er
højere, end hvad traditionel økonomisk teori kan forklare. Der blev i rapporten redegjort for Mehra
og Prescotts model og de antagelser, den er baseret på. Det blev vist, at modellen er baseret på
forventet nytteteori. I forventet nytteteori antages det, at individer er rationelle og forsøger at
maksimere deres nytte. Mehra og Prescott undersøgelse af det amerikanske marked viste, at den
observerede risikopræmie er større end den teoretiske. Deres model er ikke i stand at redegøre for
den observerede præmie, medmindre investorer antages at udvise urealistisk stor risikoaversion.
En tilsvarende undersøgelse blev foretaget med danske data. Undersøgelsen viste, at den
gennemsnitlige risikopræmie på danske aktier fra 1970 til 2013 var på 7,85 procent. Der blev fundet
en teoretisk risikopræmie på 0,81 procent, og det blev derfor konkluderet, at der også i Danmark
findes en uoverensstemmelse mellem teori og empiri. Resultatet blev yderligere bekræftet, da en
statistisk test svarende til Kocherlakotas (1996) viste, at risikopræmien kun kunne forklares
teoretisk med en meget høj koefficient for risikoaversion.
Benartzi og Thalers (1995) artikel forklarer den amerikanske ”equity premium puzzle” med det, de
kalder ”myopic loss aversion”. Ifølge Benartzi og Thaler kan investorers tabsaversion og korte
Side 35 af 38
evalueringsperioder forklare den observerede risikopræmie. Det andet formål med denne rapport
var at undersøge, om ”myopic loss aversion” som beskrivelse af investorers adfærd kan forklare
risikopræmien på danske aktier.
I Benartzi og Thalers model antages investorer at have præferencer som beskrevet ved
prospektteori, og der blev derfor redegjort for denne teori. Blandt andet blev prospektteoriens
værdi- og vægtningsfunktioner fremført, og det blev beskrevet, hvordan de illustrerer individers
tabsaversion. Tabsaversion betegner det observerede fænomen, at tab føles stærkere end forøgelser
og gevinster. ”Myopic loss aversion” er en kombination af tabsaversion og ”mental accounting”,
som betegner forskellige psykologiske processer. Det blev forklaret, hvordan ”mental accounting” i
form af opfattede afgrænsninger har betydning for vurderingen af prospekter.
Analysen af det danske marked viste, at ”myopic loss aversion” kan være en forklaring på den
observerede risikopræmie. Ligesom i Benartzi og Thalers undersøgelse blev det fundet, at
risikopræmien kan forklares, hvis investorer er tabsaverse og har en evalueringsperiode på et år.
Med en evalueringsperiode på et år blev det udregnet, at den optimale andel af aktier i porteføljen
ligger mellem 30 og 35 procent. Dette resultat svarer nogenlunde til den observerede allokering hos
danske investorer.
For at teste resultaternes robusthed blev der foretaget diverse analyser af modellens sensitivitet. Det
viste sig, at ”myopic loss aversion” ikke er en god forklaring på risikopræmien, når statsobligationer
udgør det risikofrie aktiv i stedet for en kortfristet pengemarkedsrente.
Et mål med rapporten var at opnå større viden om investorers adfærd. Resultaterne viser, hvordan
”behavioral finance” med indsigter fra fag som psykologi kan føre til forbedrede løsninger på
eksisterende økonomiske problemer. Dette har både praktisk og akademisk relevans. På det
akademiske felt kan ny viden om individers adfærd udgøre et alternativ til forventet nytteteori, der
som normativ teori er en hovedantagelse i meget af den neoklassiske økonomiske teori. På det mere
praktiske område kan viden om investorpsykologi muligvis hjælpe investorer til at opnå bedre
resultater.
Side 36 af 38
Litteratur
Ackert, L. F. & Deaves, R. (2010). Behavioral Finance: Psychology, Decision-Making and Markets.
South-Western Cengage Learning.
Benartzi, S. & Thaler, R. H. (1995). Myopic Loss Aversion and the Equity Premium Puzzle. The
Quarterly Journal of Economics, 110(1), pp. 73-92.
Christensen, A. F. (2011). The equity premium puzzle and myopic loss aversion in Europe.
Kandidat. Copenhagen Business School.
Christensen, M. (2014). Aktieinvestering. Teori og praktisk anvendelse. 4th ed. Jurist- og
Økonomforbundets Forlag.
Finanstilsynet (2014). Markedsudviklingen i 2013 for investeringsforeninger. Finanstilsynet.
Investeringsfondsbranchen (2015). Markedet for investeringsfonde 2014.
Investeringsfondsbranchen.
Isager-Nielsen, L. (2006). Explaining the Equity Premium Puzzle Using Myopic Loss Aversion.
Kandidat. Copenhagen Business School.
Kahneman, D. & Tversky, A. (1979). Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk.
Econometrica, 47(2), pp. 263-291.
Keller, G. (2008). Managerial Statistics. 8th ed. South-Western Cengage Learning.
Kocherlakota, N. R. (1996). The Equity Premium: It's Still a Puzzle. Journal of Economic
Literature, 34(1), PP. 42-71.
Lucas, R. E., Jr. (1978). Asset Prices in an Exchange Economy. Econometrica, 46(6), 1429-1445.
Side 37 af 38
Læssøe, S. & Diernisse, M. (2011). The equity premium puzzle and myopic loss aversion.
Kandidat. Copenhagen Business School.
Mehra, R. (2008). Handbook of the Equity Risk Premium. Elsevier.
Mehra, R. & Prescott, E. C. (1985). The Equity Premium: A Puzzle. Journal of Monetary
Economics, 15(2), pp. 145-161.
Mehra, R. & Prescott, E. C. (2003). The Equity Premium in Retrospect. I: G. M. Constantinides et
al., ed. 2003. Handbook of the Economics of Finance. Elsevier B.V, pp. 889-938
Nielsen, S. & Risager, O. (2001). Stock returns and bond yields in Denmark, 1922-1999.
Scandinavian
Economic History Review, 49(1), pp. 63-82.
OECD (2015): OECD Statistics: Institutional investors indicators.
http://stats.oecd.org/Index.aspx?DataSetCode=7II_INDIC (tilgået 21.4.2015)
Samuelson, P. A. (1963). Risk and Uncertainty: A Fallacy of Large Numbers. Scientia, 98, pp. 108113.
Thaler, R. H. (1999). Mental Accounting Matters. Journal of Behavioral Decision Making, 12(3),
pp. 183-206.
Tversky, A. & Kahneman, D. (1992). Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of
Uncertainty. Journal of Risk and Uncertainty, 5(4), pp. 297-323.
Side 38 af 38