Matematik 1b, Geometri repetition [email protected] Geometri Centrala innehåll som fokuseras: •
Representationer av geometriska objekt och symmetrier med ord, praktiska konstruktioner och estetiska uttryckssätt. •
Begreppet symmetri och olika typer av symmetriska transformationer av figurer i planet samt symmetriers förekomst i naturen och i konst från olika kulturer. •
Matematisk argumentation med hjälp av grundläggande logik inklusive implikation och ekvivalens samt jämförelser med hur man argumenterar i vardagliga sammanhang o ch inom olika ämnesområden. •
Illustration av begreppen definition, sats o ch bevis, till exempel med Pythagoras sats och triangelns vinkelsumma. OBS! Kom ihåg att titta på formelbladet! Har du koll på de geometriska objekten vi jobbat med? -‐ Rektangel -‐ Rätblock -‐ Kvadrat -‐ Prisma -‐ Triangel (liksidig, likbent och rätvinklig) -‐ Kon -‐ Cirkel -‐ Klot -‐ Parallellogram -‐ Pyramid -‐ Parallelltrapets -‐ Cylinder -‐ Romb -‐ Kub -‐ Polygon Kan du med hjälp av formelbladet beräkna omkrets och area av objekten i vänsterspalten? Kan du med hjälp av formelbladet beräkna volym (och mantelarea*) av objekten i högerspalten? Kan du definiera en polygon, rektangel, kvadrat, triangel, parallellogram, parallelltrapets och romb? Kan du använda dig av olika typer av symmetrier, ex linjesymmetri och rotationssymmetri? Kan du föra ett matematiskt resonemang (bevis) samt använda dig av implikations-‐ och ekvivalenspilar ⇒ och ⇔? Kan du lösa olika geometriska ”problem”? I problemlösningen kan du exempelvis använda dig av areaenheter, volymenheter, skala, likformighet, vinkelsumman i polygoner, olika typer av vinklar och trianglar… Kan du använda dig av Pythagoras sats? Vet du vad orden katet och hypotenusa betyder? Matematik 1b, Geometri repetition [email protected] Instuderingsfrågor 1. a) Hur många liter går det på 1 dm3? b) Hur många milliliter går det på 1 cm3? c) Stefan ska göra en förpackning som ska rymma 2,5 dl. Ge två olika exempel på vilka mått förpackningen kan ha. 2. Vilka av figurerna är linjesymmetriska (ange hur många symmetrilinjer figuren har) respektive rotationssymmetriska (ange med hur många grader figuren ska roteras för att återfå sin ursprungliga form)? 3. a) Vad kallas detta geometriska objekt? b) Beräkna arean c) Beräkna omkretsen d) Om du ska göra en kvadrat med lika stor area vilka mått ska den då ha? 𝑎 = 4 cm b = 6,4 cm c = 3,5 cm d = 2,7 cm h = 2,5 cm 4. Kan en rektangel vara en parallellogram? Motivera 5. I en rätvinklig triangel är en av sidorna 2,7 dm. Hypotenusan är 3,5 dm. Hur lång är den tredje sidan? Svara i dm och avrunda till två decimaler. 6. a) Vad kallas den här typen av triangel? b) Om vinkeln 𝐶 = 40°, hur stor är då vinkeln A? c) Om vinkeln 𝐵 = 60°, hur stor är då vinkeln C? 7. Ett rätblock är 2 m högt och 1,5 m brett. Volymen är 9 m2. Hur djupt är rätblocket? 8. Hur stor är vinkeln mellan timvisaren och minutvisaren då klockan är 16:00? 9. Hur många symmetrilinjer har en liksidig pentagon (femhörning)? Skissa pentagonen och markera symmetrilinjerna. 10. Ett kvadratiskt golv har omkretsen 32 m. Hur stor är golvets area? 11. Bevisa att 𝑥 = 𝑦 + 𝑧. Motivera med ord och beräkningar. Matematik 1b, Geometri repetition [email protected] 12. I en triangel är sidorna 5 m, 7 m och 9 m. Är triangeln rätvinklig? Motivera 13. a) Beräkna omkretsen, svara med 2 decimaler b) Beräkna arean, svara med 2 decimaler c) Ange talet 𝜋 med 6 decimaler 𝑟 = 4 cm 14. Vilken area är störst 17 m2 eller 160 000 cm2. Förklara hur du tänker. 15. Greta ska räkna ut volymen på en pyramid. Hon vet att 𝑠 = 5 m och ℎ = 6 m. Hon kommer inte ihåg hur man räkna ut volymen och tittar därför på formelbladet. Där står det följande: 𝐵ℎ
𝑉=
3
a) Vad står h för i formeln? Bestäm h? b) Vad står B för i formeln? Bestäm B? 16. För att besvara följande frågor kan det vara smart att klippa/riva ut en bit papper som ser ut som en triangel respektive kvadrat. a) Hur många grader ska en liksidig triangel roteras kring sin egen mittpunkt för att bli en kopia av sig själv? b) Hur många grader ska en kvadrat roteras kring sin egen mittpunkt för att bli en kopia av sig själv? 𝑑 = 16 cm 17. Beräkna volymen på figuren. 18. Skriv en ekvivalens-‐ eller implikationspil mellan påståendena. a) Ebba är en tax Ebba är en hund b) 𝑥 = 3 4𝑥 + 5 = 17 c) 𝑥 > 0 x är ett positivt tal d) 𝑥 = 3 𝑥 ! = 9 19. Det finns jättemånga rektanglar som har omkretsen 48 cm. a) Ge exempel på två olika rektanglar med omkretsen 48 cm b) Beräkna arenan på dessa två rektanglar. c) Undersök vilken av alla rektanglar med omkretsen 48 cm som har störst area. Matematik 1b, Geometri repetition [email protected] 20. I koordinatsystemet nedan är en figur inritad a) Spegla figuren i 𝑥 -‐axeln. b) Spe figuren i 𝑦-‐axeln. 21. En park har formen av en rektangel med längden 63 m och bredden 60 m. Du ska gå från ett hörn till motsatt hörn över parken. Hur mycket längre blir vägen om du går utmed parkens sidor istället för att snedda över den? Matematik 1b, Geometri repetition [email protected] Instuderingsfrågor* 22. I figuren har cirkelringarna samma bredd som innercirkelns radie. Beräkna andelen av det färgade områdets area jämfört med hela den stora cirkelns area. 23. Från en helt fylld konisk behållare med höjden 18 cm rinner det ner saft i en burk med cylinderform. Konen och cylindern har samma diameter. Vilken höjd måste cylindern ha för att all saft ska få plats i den? 24.
Emma klipper bort en ”tårtbit” från en cirkel med diametern 24 cm. Kvar blir det blåa området som visas till vänster. Emma limmar sedan ihop sidorna så att det bildas en kon. Beräkna 297° konens basradie. 25. I. Rita två rektanglar där den ena är en avbildning av den andra i skalan 1:4. II. Bestäm arean på de båda rektanglarna. a) Ser du något samband mellan den stora rektangelns area jämfört med den lilla rektangelns area? b) Kan du hitta något generellt samband mellan arena på en liten rektangel och arean på en större rektangel (som är en likformig avbildning av den lilla i skala 1:4). 26. Kan det finnas någon figur som är rotationssymmetrisk med mer än 180 grader? 27. Hör någon av symbolerna ⇒ och ⇔ hemma mellan följande påståenden? Du får ändra ordning på påståendena. Motivera ditt svar. rektangelns omkrets ökar rektangelns area ökar 28. De markerade sträckorna i figuren är lika långa som cirkelns radie. Visa att vinkeln 𝑢 = 120°. u 29. Rymddiagonalen i en kub är 20 cm. Beräkna kubens sidlängd. r 30. Ange radie och höjd till en kon som ska rymma 5 dl. r r Matematik 1b, Geometri repetition [email protected] 31. Visa att i en liksidig triangel med sidan a gäller att 3 !
𝑎𝑟𝑒𝑎𝑛 =
𝑎 4
32. Figuren visar två kvadrater. Antag att den lilla kvadratens hörn nuddar den stora kvadratens sidor precis på mitten. Hur stor del av den stora kvadraten är i så fall färgad? 33. Finns det något samband mellan antalet hörn i en månghörning och månghörningens vinkelsumma? Försök hitta en formel för att beräkna vinkelsumman i en månghörning. Motivera dina svar.