1. No category

Vektoranalys III
Anders Karlsson
Institutionen för elektro- och informationsteknik
16 september 2015
Översikt
1 Gauss sats — divergenssatsen
Exempel på användning av Gauss sats
2 Stokes sats
Exempel på användning av Stokes sats
3 Övningar
Svar
Lösningsskisser
AK, EIT
Gauss sats — divergenssatsen
Låt S vara en sluten (styckvis glatt) yta med utåtriktad normal n̂,
som begränsar ett område V , samt A ett kontinuerligt
differentierbart vektorfält i V (mer precist i en öppen omgivning
som innehåller V och S)
^ (x)
n
V
S
ZZZ
ZZ
ZZ
∇ · A dv =
V
jämför integration in R:
AK, EIT
A · dS =
S
A · n̂dS
S
R b df(x)
dx = f (b) − f (a)
a
dx
Exempel
Beräkna normalytintegralen
(sfäriska koordinater r , θ, φ)
RR
S
F · dS av vektorfältet F givet av
1
r2
över ytan S som definieras av (Prolat sfäroid, halvaxlar 1,1,2)
F (r ) = r̂
S = {r : x 2 + y 2 +
z2
= 1, z > 0}
4
1.0
y
0.5
0.0
^
n
{ 0.5
{ 1.0
2.0
S
1.5
1.0
0.5
0.0
{ 1.0
{ 0.5
x
0.0
0.5
1.0
AK, EIT
Lösning I
Ytan S är komplicerad att parameterframställa, så vi undersöker
om vi kan välja annan yta för integration
Vi konstaterar:
I
Vektorfältet är singulärt i origo (måste undvikas)
I
Beräkna ∇ · F i sfäriska koordinater, r > 0
1 ∂
1 ∂ 2 1 ∂Fφ
r Fr +
(sin θFθ ) +
r 2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
1 ∂
(1) = 0
= 2
r ∂r
∇·F =
AK, EIT
Lösning II
Vi sluter ytan S med en halvsfär S 0 i övre halvrymden (Halvsfär i
övre halvrymden)
S 0 = {r : x 2 + y 2 + z 2 = 1,
z > 0}
1.0
y
0.5
0.0
^
n
{ 0.5
{ 1.0
2.0
S
V
1.5
1.0
S¶
^
n
0.5
0.0
{ 1.0
{ 0.5
x
0.0
0.5
1.0
I
I
AK, EIT
Sluten yta: S1 bestående av S och S 0 med normalriktningar
givna enligt figur
∇ · F = 0 i volymen V , som har S1 som begränsningsyta
Lösning III
Tillämpa Gauss sats på volymen V som har S1 som begränsningsyta
ZZ
ZZ
ZZZ
F · dS =
F · dS =
(∇ · F ) dS = 0
S+S 0
S1
V
ZZ
ZZ
⇒
F · dS
F · dS = −
S
AK, EIT
S0
Lösning IV
Vi beräknar enkelt normalytintegralen på S 0 (ytmått
dS = −r̂ r 2 sin θdθdφ, r = 1)
ZZ
π/2 Z 2π
Z
F · dS = −
S0
0
0
π/2
Z
= −2π
0
Till slut
F · r̂ r 2 sin θdφ dθ
ZZ
F · dS = 2π
S
AK, EIT
π/2
sin θdθ = 2π cos θ|0
= −2π
Stokes sats
Låt S vara en (styckvis glatt) yta med randkurva L, och låt
omloppsriktningen på L vara relaterad till ytan S:s ytnormal n̂ med
högerregeln, samt A ett kontinueligt differentierbart vektorfält på S
(mer precist i en öppen omgivning som innehåller S och L)
S
^ (r)
n
Z
ZZ
A · d` =
L
(∇ × A) · dS
S
L
Gäller för alla ytor S som har L som randkurva
Obs! Ytan S måste ha två sidor, jämför Möbius-band
AK, EIT
Exempel
Beräkna tangentlinjeintegralen
(sfäriska koordinater r , θ, φ)
F (r ) = r̂
R
LF
· d` av vektorfältet F givet av
r
a2 sinh r /a
+ φ̂
sin φ/2
r sin θ
över kurvan L som definieras av skärningen mellan ytorna
(omloppsriktning moturs, sett projicerad i x-y -planet)
(
(x − 1)2 + y 2 = 4
rc2
2
cirkulär cylinder (radie 2, axel parallell med ẑ)
2
= x + y = 1/z
y
{1
{2
1.0
0
2
1
1.0
0.5
0.5
2
0.0
{2
0
0
x
AK, EIT
2
{2
y
0.0
{1
L
0
x
1
2
3
Lösning I
Kurvan L är komplicerad att parameterframställa, så vi undersöker
om vi kan välja annan integrationsväg
Vi konstaterar
I Vektorfältet är singulärt längs z-axeln (måste undvikas)
I Beräkna ∇ × F i sfäriska koordinater, rc > 0
∂
∂Fθ
1
(sin θFφ ) −
r sin θ ∂θ
∂φ
1
1 ∂Fr
∂(rFφ )
1 ∂(rFθ ) ∂Fr
+ φ̂
+ θ̂
−
−
r sin θ ∂φ
∂r
r
∂r
∂θ
1 ∂ sin φ/2
=r̂
r sin θ ∂θ
r
1
∂ sin φ/2
1 ∂
r
+ θ̂
−
r sin θ ∂φ a2 sinh r /a
∂r
sin θ
1 ∂
r
− φ̂
=0
r ∂θ a2 sinh r /a
∇ × F =r̂
AK, EIT
Lösning II
Vi förenklar integrationsvägen till en cirkel i x-y -planet
m.h.a. Stokes sats L0 = {r : x 2 + y 2 = b 2 , z = 0}
y
{1
{2
1.0
0
2
1
0.5
C
C¶
L¶
0.0
{1
L
0
x
I
I
AK, EIT
1
2
3
Sluten kurva γ bestående av L, C , L0 och C 0 med givna
rikningar
∇ × F = 0 på en begränsningsyta S som har γ som rand
Lösning III
Tillämpa Stokes sats på begränsningsytan S som har γ som rand
Z
ZZ
Z
Z
F · d` =
(∇ × F ) · dS = 0 ⇒
F · d` = −
F · d`
γ
S
L
Tangentlinjeintegralerna längs C och C 0 tar ut varann
AK, EIT
L0
Lösning IV
Vi beräknar tangentlinjeintegralen längs L0 (linjemått d` = rc φ̂dφ,
θ = π/2, rc = b)
Z
0
Z
Z
F · d` =
F · b φ̂ dφ = −
L0
2π
0
Z
=−
0
oberoende av b
Till slut
2π
Z
F · d` = −
AK, EIT
sin φ/2
b dφ
r sin θ
sin φ/2 dφ = 2 cos φ/2|2π
0 = −4
Z
L
2π
F · d` = 4
L0
Övningar Gauss och Stokes satser
1. Beräkna normalytintegralen
RR
S
F · dS av vektorfältet F
F (r ) = x̂
yz
xz
+ ŷ 2
x2 + y2
x + y2
över ytan S, som är den del av hyperboloiden S1 = {r : x 2 + y 2 − z 2 = a2 },
som begränsas av området mellan planen
(
S2 = {r : z = −a}
S3 = {r : z = 2a}
Ytnormalen är riktad från z-axeln.
R
2. Beräkna tangentlinjeintegralen L F · d` av vektorfältet F (sfäriska koordinater
r , θ, φ)
r 3
a + φ̂ 1 +
F (r ) = r̂
a
r sin θ
Kurvan L definieras av skärningen mellan ytorna (omloppsriktning moturs, sett
projicerad i x-y -planet)
(
x 2 + y 2 = 4a2
2
cirkulär cylinder (radie 2a, axel parallell med ẑ)
x + (y + a) + z 2 = 9a2 , z > 0
AK, EIT
2
halvsfär, radie 3a, centrum i (0, −a, 0)
Övningar Gauss och Stokes satser — svar
1. 3πa2
2. 6πa
AK, EIT
Lösningsskiss 1
Skriv om vektorfältet m.h.a. enhetsvektorerna i cylinderkoordinater
x
z
y
rc
F (r ) = z x̂ 2
+
ŷ
= z 2 = r̂ c
x + y2
x2 + y2
rc
rc
Beräkna divergensen av F i cylinderkoordinater. För rc > 0 gäller
∇ · F (r ) =
AK, EIT
1 ∂Fφ ∂Fz
1 ∂
1 ∂
(rc Fc ) +
+
=
(z) = 0
rc ∂rc
rc ∂φ
∂z
rc ∂rc
Lösningsskiss 1, forts.
^
n
y
Slut ytan S med de tre delarna
(0 < b < a)
√
 0
S
=
{r
:
z
=
2a,
b
<
r
<
5a}

c
2

√
0
S3 = {r : z = −a, b < rc < 2a}


S4 = {r : −a < z < 2a, rc = b}
S
x
Normalytintegralen blir m.h.a. Gauss sats
ZZ
ZZ
ZZ
F · dS = −
F · dS = −
S
Z
S20 +S30 +S4
2a Z 2π
=
−a
AK, EIT
0
^
n
F · dS
S4
Z 2a
z
zdz = 3πa2
rc dφ dz = 2π
rc
−a
^
n
Lösningsskiss 2
Beräkna rotationen av vektorfältet i sfäriska koordinater. För rc > 0
gäller
∂
∂Fθ
1
(sin θFφ ) −
∇ × F =r̂
r sin θ ∂θ
∂φ
∂(rFφ )
1
1 ∂Fr
1 ∂(rFθ ) ∂Fr
+ θ̂
−
+ φ̂
−
r sin θ ∂φ
∂r
r
∂r
∂θ
∂
a
1
sin θ 1 +
=r̂
r sin θ ∂θ
r sin θ
!
a
r
∂ r 1 + r sin
1 ∂a
1 ∂ ar
1
θ
−
− φ̂
+ θ̂
r sin θ ∂φ
∂r
r ∂θ
=r̂
AK, EIT
cos θ
1
r̂ cos θ − θ̂ sin θ
ẑ
− θ̂ =
=
r sin θ
r
rc
rc
Lösningsskiss 2, forts.
3
Låt
L0
L
beteckna kurvan
2
C¶ C
1
L0 = {r : x 2 + y 2 = 4a2 , z = −1}
0
L¶
{1
{2
2
1
{1
x
0
0
y
{1
1
2
{2
och använd Stokes sats på den slutna kurvan L + C + L0 + C 0 , och
välj yta S som ”mantelytan” med L, C , L0 och C 0 som ränder. På S
är n̂ = −r̂ c
Z
ZZ
ZZ
ẑ
F · d` =
(∇ × F ) · n̂ dS = −
· r̂ c dS = 0
L+C +L0 +C 0
S
S rc
AK, EIT
Lösningsskiss 2, forts.
Detta ger (linjeintegralerna längs C och C 0 tar ut varann)
Z
Z
Z
2π
F · d` = −
F · d` =
F · φ̂2adφ
L
L0
0
Z 2π a
=
1+
2adφ = 6πa
2a
0
AK, EIT