FFM232, Klassisk fysik och vektorfält Veckans tal Christian Forssén, Institutionen för fundamental fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 2, 2015 Tentatal 2015-08-17: 3 Vektorfältet F~ ges av ( F~ = (~ r −aẑ) A |~ r −aẑ|3 + B x̂, Cz ẑ, z > 0, z ≤ 0, där A, B, C och a är konstanter. Beräkna normalytintegralen av F~ över en sfär med radien 2a och centrum i origo. Hint. • C-termen motsvarar en rymdkälla med källtätheten ∇ · F~C = C i nedre halvplanet. • B termen ger inget bidrag då den har ∇ · F~B = 0 • A-termen motsvarar en punktkälla med styrkan 4πA i punkten aẑ innanför ytan. Fältet från punktkällan existerar dock bara i övre halvplanet. Bidraget kan beräknas på två sätt: – Genom att räkna ut rymdvinkeln som den övre delen av sfären upptar sett från punktkällan. – Genom att behandla den som en punktkälla i hela rummet plus en diskontinuitet i xy-planet, dvs en ytkälla. Answer. ~ · dS ~ = 2πA 1 + F S R √1 5 + 16 3 3 πa C Solution. • C-termen, F~C = Cz ẑ (för z ≤ 0), motsvarar en rymdkälla med konstant källtäthet ∇ · F~C = C i nedre halvplanet. Här kan vi enkelt använda Gauss sats Z Z ~= F~C · dS ∇ · F~C dV S V Källtätheten är ju noll i den övre halvan av sfären så bidraget blir lika med den konstanta källtätheten gånger volymen av en halv sfär med radien 2a. Z 3 3 ~ = C 1 4π(2a) = C 16πa . F~C · dS 2 3 3 S • B-termen, F~B = B x̂ (för z > 0), ger inget bidrag eftersom den inte uppvisar någon singularitet och har ∇ · F~B = 0. (~ r −aẑ) • A-termen, A |~ r −aẑ|3 (för z > 0), motsvarar en punktkälla med styrkan 4πA i aẑ innanför ytan. Men fältet från punktkällan existerar bara i övre halvplanet. Normalytintegralen kan därför räknas ut genom att beräkna vilken rymdvinkel den övre delen av sfären upptar sett från punktkällan. Genom att rita en √ figur inser man att en sfär med centrum i punktkällan och med radien 5a kommer att skära xy-planet i samma cirkel som den ursprungliga sfären.√Cirkeln i xy-planet träffas alltså vid en vinkel θ0 som ges av cos θ0 = −1/ 5. Den sökta rymdvinkeln är därför Z Ω0 = 2π Z 0 θ0 Z sin θdθ = 2π dϕ 0 0 θ0 1 sin θdθ = 2π 1 + √ . 5 Alltså blir bidraget från A-termen Z Ω0 1 ~ ~ FA · dS = 4πA = 2πA 1 + √ . 4π 5 S Totalt får vi alltså normalytintegralen som summan av ovanstående bidrag Z 16 1 ~ ~ √ F · dS = 2πA 1 + + πa3 C, 3 5 S vilket alltså är svaret. Alternativ. • Alternativt kan vi betrakta A-termen som en punktkälla i hela rummet plus en diskontinuitet i xy-planet vid z = 0, dvs en ytkälla som har effekten att släcka fältet i det nedre halvplanet. Styrkan på denna ytkälla fås från fältets diskontinuitet vid z = 0, dvs vid punkter som ligger längs ~r = ρêρ + 0ẑ, 2 ẑ · F~A+ − F~A− = A (ρ2 −a . + a2 )3/2 Bidraget från denna ytkälla skall integreras över den inneslutna ytan, dvs över en cirkelskiva 0 ≤ ρ ≤ 2a. Detta blir Z 2a −a 1 . 2π A 2 ρdρ = −2πA 1 − √ (ρ + a2 )3/2 5 0 Tillsammans med bidraget från punktkällan, dvs 4πA, blir detta Z 1 ~ = 4πA − 2πA 1 − √1 = 2πA 1 + √ . F~A · dS 5 5 S vilket ju ger samma som räkningen ovanför. • Notera gärna att varken B- eller C-termerna motsvarar någon ytkälla trots att de är definierade enbart ovanför, respektive nedanför, z = 0. C fältet är inte diskontinuerligt eftersom det faktiskt är noll då z = 0. B-fältet har iof en diskontinuitet, men den är vinkelrät mot planet och skalärprodukten ẑ · F~B+ − F~B− = 0. Dessutom finns det en ytkälla vid z = 0-planet som bestäms av diskontinuiteten. 2 2 3/2 Man finner ytkällans styrka σ = −Aa/(ρ + a ) . Tillsammans blir integralen R ~ = 2πA 1 + √1 + 16 πa3 C. F~ · dS S 5 3 Remarks. Uppgiften illustrerar hur det ofta är fördelaktigt att behandla komplicerade fält som en summa av olika bidrag. Diskontinuiteten vid z = 0 är en speciell svårighet med denna uppgift. 3
© Copyright 2024