1. No category

Självständigt arbete II, 15 hp
Konsten att prata matematik
En studie om kommunikativ förmåga i matematik i
årskurs 4-6
Författare: Despina Patli
Handledare: Peter Markkanen
Examinator: Jeppe Skott
Termin: VT 2015
Ämne: Matematikdidkatik
Nivå: Avancerad nivå
Kurskod: 4GN04E
Konsten att prata matematik
En studie om kommunikativ förmåga i matematik i årskurs 4-6.
The art of talking mathematics
A study of communicative ability in mathematics in grades 4-6.
Abstrakt
Syftet med den här studien är att undersöka hur verksamma lärare i årskurs 4-6
beskriver hur de tolkar kommunikativ förmåga i matematik, hur lärare kan arbeta med
området samt vilka möjligheter och svårigheter som kan förekomma vid undervisning i
matematisk kommunikation. Studien har genomförts med hjälp av kvalitativa intervjuer
med sex lärare. Resultatet visar att lärare beskriver matematisk kommunikation som ett
sätt för elever att tillsammans prata matematik och bli medvetna om sitt eget lärande.
De anser att elever ska få arbeta tillsammans och att problemlösning kan vara ett sätt att
arbeta med området. Lärarna menar att den största möjligheten är att elevers förståelse
för matematik ökar men att det kan vara svårt att individanpassa undervisningen.
Nyckelord
Matematik, kommunikation, lärare, undervisning
Despina Patli
Antal sidor 27
i
Innehåll
1 Inledning ___________________________________________________________ 1 2 Syfte och frågeställningar _____________________________________________ 2 3 Teoribakgrund ______________________________________________________ 3 3.1 Sociokulturellt perspektiv på lärande __________________________________ 3 3.2 Kommunikativ förmåga i matematik ___________________________________ 3 3.3 Lärarens roll ______________________________________________________ 5 3.4 Teoretiskt exempel på kommunikativt arbetssätt i matematik _______________ 7 3.5 Möjligheter och svårigheter __________________________________________ 8 4 Metod _____________________________________________________________ 10 4.1 Val av metod ____________________________________________________ 10 4.2 Datainsamlingsmetod _____________________________________________ 10 4.3 Urval __________________________________________________________ 11 4.4 Genomförande ___________________________________________________ 11 4.5 Analys _________________________________________________________ 11 4.6 Överförbarhet, pålitlighet, trovärdighet och objektivitet ___________________ 12 4.7 Etiska överväganden ______________________________________________ 13 5 Resultat ___________________________________________________________ 14 5.1 Hur beskriver lärare vad matematisk kommunikation innebär för dem? ______ 14 5.1.1 Att prata matematik ___________________________________________ 14 5.1.2 Medvetenhet om det egna lärandet ________________________________ 14 5.1.3 Övergång till muntlig förklaring _________________________________ 15 5.2 Hur arbetar verksamma lärare för att utveckla elevers kommunikativa förmåga?15 5.2.1 Arbeta tillsammans ____________________________________________ 15 5.2.2 Problemlösning _______________________________________________ 16 5.2.3 Fokus på uträkningar __________________________________________ 17 5.2.4 Planering ___________________________________________________ 18 5.2.5 Observationer ________________________________________________ 18 5.3 Hur beskriver lärare de möjligheter respektive svårigheter som kan uppstå genom
matematisk kommunikation? ___________________________________________ 18 5.3.1 Ökad förståelse, trygghet och motivation ___________________________ 19 5.3.2 Passivitet, rätt nivå och barns olikheter ____________________________ 19 5.4 Resultatsammanfattning ___________________________________________ 20 6 Diskussion _________________________________________________________ 22 6.1 Metoddiskussion _________________________________________________ 22 6.2 Resultatdiskussion ________________________________________________ 23 6.2.1 Hur beskriver verksamma lärare på mellanstadiet vad matematisk
kommunikation innebär för dem? _____________________________________ 23 6.2.2 Hur arbetar verksamma lärare för att utveckla elevers kommunikativa
förmåga? ________________________________________________________ 24 ii
6.2.3 Hur beskriver lärare de möjligheter respektive svårigheter som kan uppstå
genom matematisk kommunikation? ___________________________________ 26 6.3 Förslag på vidare forskning _________________________________________ 27 Referenser____________________________________________________________ I Bilagor______________________________________________________________ III Bilaga A ___________________________________________________________ III Bilaga B ___________________________________________________________ IV iii
1 Inledning
Matematiker har ett eget språk. Fantasifulla ord som kvadrat, topologi, oktaeder
och primtal har de hittat på för att kunna beskriva sitt arbete och sina
arbetsredskap. Det är ett mycket exakt språk, som man inte får slarva med.
Matematikernas språk är obegripligt för den som inte har lärt sig det. Men så är
det ju med alla språk (Dahl & Nordqvist, 1994:7).
På liknande sätt lyfter Ahlberg (2000) fram att matematiken kan vara svår att uppfatta
som givande och lustfylld om elever endast får lära sig att matematik handlar om att
ställa upp siffror och säga rätt svar. Det kan hämma deras förmåga att våga hitta nya
vägar, strategier och sätt att uttrycka sig på inom matematiken.
Konsten att kunna uttrycka sig, kommunikation, är en av förmågorna i matematikämnet
i dagens skola. I Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011
(Skolverket, 2011) framgår det att matematikundervisningen ska erbjuda alla elever kan
utveckla sin förmåga att ”använda matematiska uttrycksformer för att samtala om,
argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser” (Skolverket,
2011:63). Eleverna behöver i och med detta kunna ”prata” matematik. De måste till
exempel muntligt kunna förklara hur de tänker, det vill säga vilken strategi de använder,
när de försöker lösa matematiska uppgifter.
Hagland, Hedrén och Taflin (2005) menar att elever fördjupar sin kunskap när de får
förklara sina tankar högt för någon annan. Det menar att även när elever får diskutera
matematik tillsammans får de nya insikter och idéer som gynnar det egna lärandet .
Stein, Engle, Smith och Hughes (2008) argumenterar för att matematikdiskussioner är
nödvändiga för att få en effektiv och givande matematikundervisning. De menar även
att vi har lämnat tiden då endast läraren var i fokus. Eleverna ska inte vara passiva och
endast ta emot kunskaper från läraren utan de ska själva vara aktiva i sitt lärande. Dock
finns det enligt Stein et al. (2008) vissa svårigheter att ha i beaktning när en lärare
planerar matematiska diskussioner. Det får till exempel inte bli så att eleverna på ett
negativt sätt tar över undervisningen och kanske diskuterar sådant som inte har med
ämnet matematik att göra.
Med erfarenhet av verksamhetsförlagd utbildning (VFU) på olika skolor i årskurs 4-6
har jag märkt att det kan skilja mellan olika klasser, beträffande deras förmåga att
kunna förklara och diskutera matematik. Alla lärare måste förhålla sig till läroplanen,
men den beskriver vad eleverna ska lära sig, inte hur. Lärares personliga syn på
matematisk kommunikation kan således påverka på vilket sätt de arbetar med området i
sin undervisning. Som blivande lärare ser jag det därför som intressant att få ta del av
verksamma lärares tankar om vad de anser matematisk kommunikation är för något och
hur de arbetar med det i matematikundervisningen. Fokus kommer att ligga på deras
åsikter och det de beskriver om sina olika sätt att arbeta. Genom att ta del av det de
anser kan vara möjligheter och svårigheter inom området kan det även ge en bild av
vilka förutsättningar som krävs för att undervisa i matematisk kommunikation.
1
2 Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie är att undersöka vilka tankar och åsikter verksamma lärare i
årskurs 4-6 har vad gäller muntlig kommunikativ förmåga i matematik. Utifrån detta
syfte har följande frågeställningar skapats:
•
Hur beskriver lärare vad muntlig kommunikativ förmåga i matematik innebär
för dem?
•
Hur beskriver lärare att de arbetar för att elever ska kunna utveckla den muntliga
kommunikativa förmågan i matematik?
•
Hur beskriver lärare de möjligheter respektive svårigheter som kan uppstå när de
tillsammans med sina elever arbetar med matematisk muntlig kommunikation i
undervisningen?
2
3 Teoribakgrund
Nedan presenteras sociokulturell syn på lärande, hur matematisk kommunikation kan
förstås, vilken roll lärare har för att utveckla elevers matematiska förmågor samt vilka
möjligheter och svårigheter som kan förekomma vid undervisning i matematisk
kommunikation. Avsnittet tar även upp ett teoretiskt exempel på hur lärare konkret kan
arbeta med det valda matematiska området.
3.1 Sociokulturellt perspektiv på lärande
Säljö (2010) har gjort en beskrivning av sin tolkning av pedagogen och psykologen
Vygotskij (1896-1934) och det sociokulturella perspektivet. Beroende på vilken kultur
vi tillhör och lever i uppfattar vi saker på olika sätt. Enligt Säljös tolkning menade
Vygotskij att människor väljer olika vägar när de tänker beroende på deras erfarenheter
(Säljö, 2010). Sättet som vi uppfattar exempelvis geometriska figurer på är beroende av
vad vi har lärt oss om dem:
Begreppet triangel är ett medierande redskap som uppfunnits inom ramen
för en viss kulturell gemenskap och som människor som vuxit upp inom
ramen för denna finner naturlig att använda. Vi ser trianglar och andra
tecken helt enkelt för att vi socialiserats in i en värld av medierande redskap
där sådana resurser ingår. Vi ser och förstår på de sätt våra kulturella
erfarenheter inbjuder oss att se. Om någon skulle påstå att figuren är en
kvadrat, skulle vi ha protesterat. (Säljö, 2010:186)
Vidare lyfter Säljö (2010) fram att enligt det sociokulturella perspektivet är människor
tänkande varelser som får sina tankar genom att kommunicera och interagera med andra
människor. Vi använder språket för att reda ut våra tankar. Vid lärande kan människor
också behöva en vägledare som besitter mer kunskap som kan hjälpa till vid förståelsen
av nya begrepp. En vägledare kan vara en lärare eller en klasskamrat. I skolans värld är
det sociokulturella perspektivet, enligt Säljö, tydligt och många gånger nödvändigt för
att det ska kunna ske ett lärande i det mångkulturella samhälle vi idag lever i. På skolor
idag samlas barn och ungdomar från olika kulturer som måste kunna samspela och lära
av varandra. En fördel med detta perspektiv är också att det inte är beroende av en
särskild pedagogik utan kan tillämpas på alla skolor. Dock är det viktigt att poängtera
att även andra synsätt på lärande går att applicera i skola och undervisning och att inte
endast det sociokulturella perspektivet fokuserar på samspel mellan elever.
3.2 Kommunikativ förmåga i matematik
Kommunikativ förmåga i matematik kan uppfattas på olika vis. Sfard, Nesher,
Streefland, Cobb och Mason (1998) skiljer mellan att prata matematik och att prata om
matematik. Att prata matematik kan bland annat innebära att elever kan använda sig av
matematiska begrepp medan att prata om matematik tillhör det språket vi använder i vår
vardag. Det först nämnda kan också ses som mer formellt medan det andra kan ses som
informellt språk.
Skolverket (2011) har gett ut en publikation med kommentarer till skolans kursplaner
som ett förslag på förtydligande av innehållet i de olika undervisningsämnena. Följande
text är hämtad ur de kommentarer som rör matematikundervisning:
Att kommunicera matematik innebär i sammanhanget att utbyta information med
andra om matematiska idéer och tankegångar, muntligt, skriftligt och med hjälp
3
av olika uttrycksformer. I undervisningen får eleverna möjlighet att utveckla ett
alltmer precist matematiskt språk, för att därigenom kunna anpassa sina samtal
och redogörelser till olika mottagare och ändamål. Först när eleverna har
utvecklat förmågan att kommunicera matematik kan matematiken utvecklas till
ett funktionellt verktyg i olika sammanhang. (Skolverket, 2011:11)
Ovanstående text förmedlar att elever måste ges möjlighet att arbeta tillsammans med
andra samt att de ska kunna använda sig av olika uttrycksformer. Uttrycksformer i
matematik kan även kallas för representationsformer och syftar till att öka elevers
förståelse för matematik. Det kan hjälpa elever att se matematiken på både ett abstrakt
och ett konkret sätt, samt hur dessa sätt hänger samman (Skolverket, 2011). ”Det kan till
exempel innebära att utveckla förståelse för att en fotbollsplan kan uttryckas som en
rektangel eller att fem klossar kan representeras av talet 5. Det kan också innebära att
med hjälp av konkret material, bilder, symboler, grafer eller formler kunna beskriva
begrepp som cirkel eller exponentiell tillväxt” (Skolverket, 2011:9). Förutom ovanstående aspekter, som elever ska lära sig, innebär kommunikation, enligt
Skolverket (2011), att elever ska kunna föra egna och lyssna på andras matematiska
resonemang. Det innebär bland annat att eleverna måste få träna på att resonera,
argumentera och förklara för varandra. För att kunna ta till sig det andra elever säger
krävs även en förståelse av matematiska begrepp. När eleverna får diskutera med
varandra och jämföra sina egna beräkningar och sätt att tänka ges de även möjlighet att
se samband och att motivera olika lösningar. Skolverket (2011) menar även att det är
acceptabelt för elever att både använda informella och formella argument när eleverna
diskuterar med varandra. Vad som menas med informella och formella argument
framgår ej av Skolverkets text. Det går dock att tänka sig att gissningar skulle kunna
vara ett exempel på ett informellt argument.
Vidare ska undervisningen i matematik, enligt Skolverket (2011) ge eleverna ”möjlighet
att utveckla en medvetenhet om att det ofta finns många olika sätt att komma fram till
ett resultat på” (Skolverket, 2011:7). Att eleverna får kommunicera matematik kan vara
ett sätt för eleverna att inse det. Lampert (1990) ger ytterligare ett förslag på hur matematisk kommunikation som
begrepp kan förstås. Hon anser att det inte innebär att elever kan förklara vilken regel
eller metod de har använt, utan varför de har använt den och varför den fungerar. Hon
menar på så vis att kommunikationen ska ske på ett djupare plan och att det kan
medföra en fördjupad förståelse och nya insikter. Vidare förklarar Lampert, Rittenhouse
och Crumbaugh (1996) att kommunikation i matematik inte endast rör det matematiska
området utan även det sociala samspelet mellan elever och mellan lärare- elev. Det
pågår hela tiden olika roller och grupperingar i klasser som kan påverka på vilket sätt
och i vilken grad elever känner sig fria att uttrycka sig. För elever handlar det inte
enbart om att resonera om exempelvis matematik, utan att även uttala sig inför
klasskamrater, kompisar de umgås med på fritiden, äter lunch med eller är kära i. Det
medför att klassammansättning och klimatet i klassen i hög grad kan påverka elevers
möjlighet att utveckla sin kommunikativa förmåga. Matematisk kommunikation kan
därför inte ses som en aktivitet som är separerad från övriga undervisningsaktiviteter,
eller elevers vardag.
I enlighet med det ovan nämnda förmedlar Kilpatrick, Martin och Schifter (2003) att det
är viktigt att det finns goda relationer i grupperna som eleverna ska prata i för annars
kanske de inte vågar göra fel. Kilpatrick et al. (2003) menar också att det finns en
4
svårighet i att veta hur elever ska kunna uttrycka att de inte håller med om en
klasskamrats resonemang utan att låta nedlåtande. Även om en elev vill kritisera ett
annat förslag ska läraren se till att det leder till ett lärande genom att veta och förklara
varför ett svar eller en metod är fel. De lyfter även fram att ett matematiskt vokabulär
inte ska ses som något som är separerat från vårt övriga talade språk. Det påståendet kan
tala emot hur Dahl och Nordqvist (1994) beskriver matematiken och dess språk, vilket
presenterades tidigare i den här studien.
3.3 Lärarens roll
Vilken roll lärare har i matematikundervisning är också något som det kan råda skilda
uppfattningar om. Enligt Ahlberg och Wallby (2000) har lärare en avgörande och
betydande roll gentemot elevers uppfattning om matematik. Deras egna förhållningssätt
till ämnet och till sig själva i sin yrkesroll är också avgörande. Lärare bör av den
anledningen själva reflektera över vad de tycker om ämnet och hur det påverkar
undervisningen. Författarna menar även att elever behöver känna att undervisningen är
meningsfull och att den varken är för lätt eller för svår. Det är även lärarens ansvar att se
till att matematikundervisningen gör elever nyfikna och motiverade. För att kunna göra
det krävs det att läraren har goda relationer till sina elever.
För att elever ska kunna argumentera eller visa olika strategier inom matematiken krävs
det även att de har kännedom om olika matematiska begrepp. Ahlberg och Wallby
(2000) menar att det är viktigt att föra in vardagen i matematiken så att matematiken
inte ses som något som är avskilt från deras verklighet. I detta sammanhang kan det
innebära att lärare själva behöver använda korrekt matematiskt språk även i andra
ämnen än endast matematik. Att till exempel säga addera istället för plussa kan vara ett
sådant exempel. Redan i låg ålder bör matematiken kopplas till barnens vardag:
För att de matematiska symbolerna ska få en innebörd för barnen måste dessa
kopplas till deras eget språk. De matematiska symbolerna måste därför föras in
med varsamhet. Utgångspunkten för arbetet bör tas i barns erfarenhetsvärld,
vilket innebär att barnens egna upplevelser och erfarenheter bildar innehållet i
undervisningen. Då barn kan koppla matematiken till sitt eget sätt att tänka ökar
deras möjligheter att skapa innebörd i matematikens begrepp och symboler.
(Ahlberg & Wallby, 2000:61)
Ahlberg och Wallby (2000) menar att matematiken och dess språk måste gå från det
abstrakta till det konkreta för att barnen ska kunna ta till sig matematiken på ett
fördjupat sätt. Ahlberg och Wallby (2000) menar även att en av de viktigaste
grundstenarna är att lärare har god kännedom om elevernas tidigare erfarenheter och
kunskaper om ämnet. För att få det ger de förslag på att ha samtal med eleverna. Detta
kan ske både enskilt och i grupp. Samtalen kan även kompletteras med observationer.
Genom samtalen får läraren förhoppningsvis mer kunskap om elevernas uppfattning och
förståelse som kan leda till en form av kartläggning av deras tidigare erfarenheter. Det
gör det enklare att planera matematikundervisningen.
Hagland et al. (2005) menar att elever lär sig genom att få arbeta tillsammans med
andra. Fördelen med att eleverna får diskutera med varandra istället för endast med
läraren är att de kommer närmare sitt eget lärande. Studiekamrater är heller inga
auktoriteter på samma sätt som lärare är. Det kan medföra att elever känner sig mer fria
att diskutera varandras lösningar och matematiska begrepp. Dock menar författarna att
även om det ska vara eleverna som är i fokus vid lärandet så har läraren en viktig roll.
De menar exempelvis att det är lärarens uppgift att se till att lärandemiljön är trygg och
5
möjliggör att alla elever vågar uttrycka sig. Eleverna bör veta vikten av att respektera
sig själva och varandra och att ingen riskerar att bli utskrattad även om de inte kan eller
har löst uppgifter på ett felaktigt sätt.
Lampert (1990) ger ett exempel på hur lärarens roll vid matematisk kommunikation kan
se ut. Läraren börjar med att välja ett matematiskt problem som ska diskuteras.
Problemet bör vara på en nivå, och ha en utformning, som gör det möjligt för alla elever
att delta. Eleverna får sedan veta att de förväntas förmedla deras åsikter, frågor och
förståelse av problemet. Diskussionerna lyfts så att hela klassen får ta del av dem.
Tanken är att de ska få förklara sina strategier och se hur de liknar eller skiljer sig från
de andra klasskamraternas strategier. När dessa lyfts är det bra om läraren kan utveckla
elevernas matematiska förmågor genom att fråga om dessa strategier är hållbara eller
om de endast fungerade i detta typiska fall.
Vidare lyfter Lampert (1990) fram ett konkret exempel på hur diskriminering kan
undvikas när elever ifrågasätter varandras strategier och svar. Hon menar att det måste
finnas tydliga ramar för hur de matematiska diskussionerna ska gå till. Eleverna kan få
skriva sina uträkningar till ett visst problem på tavlan. Därefter får klassen titta på dem
och reflektera över vad de anser om dem. ”Jag vill ställa en fråga om X uträkning” är ett
exempel på ett uttryck som eleverna kan använda sig av när de vill ifrågasätta något.
Lampert menar att det kan vara ett bättre sätt än eleverna exempelvis skulle säga rakt ut
att ”X uträkning är fel och ska tas bort”. Om en elev vill ifrågasätta någons strategi
måste hen också ge anledningar till detta. Fokus hamnar då på ett logiskt resonemang
istället för ett dömande. Vidare menar Lampert att även de strategier som elever anser är
fel kan bidra till lärande. Hon anser att det är bra att fråga klassen om de kan förstå hur
och varför en viss elev har tänkt. Personen som har skrivit resonemanget får även chans
att försvara och förklara sitt tänkande. Viktigt att poängtera är även att elever ska lära
sig att ett rätt svar inte innebär att de ska sluta tänka. Det är nu lärarens uppgift att
bygga vidare på elevernas förståelse och ge dem nya utmaningar som bygger på deras
tidigare erfarenheter.
Det är även lärarens uppgift att se till att alla elever har de förkunskaper som krävs för
att till exempel kunna lösa och resonera kring ett problem. Hagland et al. (2005) menar
också att läraren måste vara medveten om de resonemang som förs mellan elever i
klassrummet för att kunna lyfta upp givande resonemang i helklass. Vidare är det
lärarens uppgift att veta vilka elever som arbetar bra tillsammans och vilka som inte gör
det. Som tidigare nämnts är det viktigt att lärare har en god relation till sina elever.
Oavsett hur läraren väljer att grupperna ska se ut, om eleverna får välja själva eller om
läraren gör det åt dem, måste läraren se till så att samarbetet fungerar i grupperna.
Dessutom måste läraren visa sig engagerad för att öka elevernas nyfikenhet och
motivation till att diskutera matematiska uppgifter tillsammans. Hagland et al. (2005)
förklarar att lärarens egna intresse för den undervisning hen arbetar med fångas upp av
eleverna.
Det är lärarens uppgift att se till att när elever talar matematik så ska det vara om
relevanta matematiska områden och samtidigt bidra till matematisk förståelse. Det är
inte själva kommunikationen i sig som är viktig utan vad den kan leda till för
matematisk förståelse. Exempel är att elever som deltar i kommunikation i ämnet kan
lära sig att uttrycka sig matematiskt eller kommunicera för att lära sig matematik. Ett
sätt att få elever att utveckla sin kommunikativa förmåga i matematik är att läraren kan
omformulera elevers påståenden om det behövs. Det kan till exempel handla om att
6
flika in ett korrekt begrepp eller förklara det så att resten av klassen förstår, om det
behövs ett förtydligande (Kilpatrick et al., 2003).
3.4 Teoretiskt exempel på kommunikativt arbetssätt i matematik
Det finns olika sätt för lärare att arbeta för att få elever som utvecklar förmågan att
kommunicera inom matematikämnet. Stein et al. (2008) har gjort en modell som utgår
från fem olika aspekter och som kan underlätta för lärare att få elever mer muntligt
aktiva på matematiklektioner. På engelska kallas dessa aspekter anticipating,
monitoring, selecting, sequencing och connecting. I denna studie har dessa begrepp fått
översättningen att förutspå, att observera, att välja, att välja tur och ordning och att se
samband. Genom att använda dessa kan lärare hitta arbetssätt som kan komma till
användning när de arbetar med matematisk kommunikation i sin undervisning.
Den första aspekten som Stein et al. (2008) beskriver syftar till att försöka förutspå
elevers matematiska svar. Vid planeringen av en lektion ska lärare försöka förutspå hur
elever kommer ta sig an uppgifter som läraren ger dem. Det handlar bland annat om att
försöka lista ut hur de kommer att tolka uppgiften, vilka strategier de kommer att
använda, hur strategierna förhåller sig till det läraren vill att eleverna ska lära sig och de
representationsformer läraren vill ge dem möjlighet att använda. Det går alltså djupare
än att endast ta hänsyn till om uppgifterna kommer vara för svåra eller lätta för eleverna.
Genom att vara väl förberedd kan läraren till exempel ställa frågor som kan få eleverna
på rätt väg utan att avslöja för mycket. Om läraren även kan förutspå eventuella
feltolkningar kan det även bli lättare att förklara varför vissa metoder eller svar är fel. På
så vis kan matematikundervisningen även bli mer effektiv. För att kunna förutspå detta
krävs det att läraren själv löser de uppgifter som eleverna kommer att få göra. Det är
även bra att försöka lösa dem med så många olika strategier som möjligt för att kunna
hjälpa och förstå eleverna. Genom att försöka tänka som eleverna ger det även en
möjlighet att förutspå vilka misstag som eventuellt kan göras och hur läraren då ska
agera för att dessa ska undvikas eller redas ut.
Den andra aspekten handlar om observation. Stein et al. (2008) menar att det vanligaste
sättet som lärare observerar på är att de går runt i klassrummet och både tittar och
lyssnar på hur eleverna arbetar. Det är även vanligt att läraren gör anteckningar för att
exempelvis använda för omdömen och betygssättning. Dock poängterar författarna att
det är viktigt att uppmärksamma och ta till vara på det eleverna säger. Om de till
exempel använder en strategi kan det vara bra att tala om den i helklass även om den
inte har lett till rätt svar på en uppgift. Det gäller på så vis att kunna se sin
matematikundervisning i ett större perspektiv och ta till vara på den kunskap som
eleverna besitter. Målet med den här typen av observation är att se hur lärande skapas
och sker samt att värdesätta elevernas matematiska tänkande. Observationer kan även
visa hur väl elever kan använda sig av matematiska uttryck och begrepp. Det kan också
visa vilka representationsformer de använder sig av när de ska lösa uppgifter. Dessa
olika former kan exempelvis vara tabeller och bilder. Observationerna kan även ge
ledtrådar om hur läraren bör ge instruktioner till eleverna.
Den tredje aspekten handlar om förmågan att kunna välja vilka av elevernas svar,
resonemang och strategier som kan vara värdefulla att lyfta i helklass (Stein et al.,
2008). Ett sätt att göra det på är att be elever tala om och visa för resten av klassen hur
de har tänkt när de löste sina uppgifter. Om läraren vet vilka elever som vid ett visst
tillfälle har använt en strategi som kan vara bra för de andra att känna till, så kan läraren
7
se till att de eleverna berättar även om andra också får tala om hur de har tänkt. På
samma sätt kan det vara bra att lyfta de tankegångar som har lett till att en uppgift inte
har blivit löst på ett korrekt sätt. Som Ahlberg (2000) lyfte handlar matematiken inte
enbart om rätt eller fel svar. De felaktiga svaren kan vara minst lika intressanta och
bidra med lärdom precis som de korrekta svaren. Vidare menar Stein et al. (2008) att
läraren även kan visa strategier som hen märker att ingen av eleverna har använt sig av
eftersom de kan ha nytta av att kunna den vid andra tillfällen i matematiken.
Den fjärde aspekten rör i vilken ordning eleverna ska få berätta om sina lösningar och
de metoder som har lett fram till dem. Den berör även hur läraren ska välja ut de
lösningar som är relevanta och som bidrar med olika aspekter. Stein et al. (2008)
förklarar att det kan vara bra att låta elever som har använt metoder som de flesta andra
har gjort börja. Det kan bidra till att få så många av eleverna som möjligt att lyssna
aktivt när genomgången börjar. Därefter kan läraren be elever som har använt sig av
andra strategier att presentera hur de har löst uppgiften. Ett annat sätt att välja i vilken
ordning eleverna ska få diskutera om hur de har tänkt, är att börja med en vanlig
missuppfattning som eleverna har haft. Det kan leda till att dessa missförstånd reds ut
och att elever förstår varför det blev fel. När de väl har insett det kan det vara tid att
förklara det eller de rätta metoderna. När eleverna får chans att tillsammans diskutera
deras strategier kan det leda till en djupare förståelse.
Den femte och sista aspekten handlar om samband. För att få nytta av alla strategier
som eleverna kan lära sig av varandra kan det vara bra att som lärare visa hur strategier
och matematiska idéer hör ihop med olika representationsformer. Det kan till exempel
handla om att de kan lära sig att en viss typ av matematiska problem enklast och
snabbast kan lösas med hjälp av tabeller. Läraren kan även föreslå att eleverna ska
jämföra deras olika strategier med varandra för att se vilka samband som finns mellan
dem (Stein et al., 2008).
Sammanfattningsvis vill Stein et al. (2008) förmedla att eleverna själva ska ha stort
inflytande i och över sin matematiska undervisning. De ska vara aktiva i sitt lärande och
det ska vara de som ges mest utrymme under lektionerna, inte läraren. Dock är det
lärarens ansvar att vara väl förberedd och att kunna se lärande i alla matematiska
situationer.
3.5 Möjligheter och svårigheter
Sfard et al. (1998) menar att matematiska konversationer kan anses vara bra för elevers
matematiska tänkande. När elever får prata matematik kan de lära sig att reda ut och
förstärka sina tankar. Detta stämmer även överens med Säljös (2011) tolkning av
Vygotskijs syn på hur tanke och språk samspelar med varandra. Det går därför att säga
att matematisk kommunikation i sig inte behöver vara den viktigaste aspekten utan vad
den kan bidra med och göra för lärandet. Att prata matematik skapar också möjligheter
för elever att jämföra, resonera och argumentera om exempelvis olika matematiska
lösningar och strategier. Det kan också bidra till att förbättra elevers metakognitiva
förmåga. Metakognition betyder enligt Lundberg (2007) att reflektera över sina egna
tankar och sitt eget lärande. Det kan exempelvis innebära att elever förstår hur de lär sig
bäst.
Sfard et al. (1998) lyfter dock fram att det även kan finnas svårigheter med att arbeta
med matematisk kommunikation. När elever arbetar tillsammans och ska diskutera med
varandra kan det störa den enskilda individens lärande. Det kan till exempel vara så att
8
en elev tvingas anpassa sitt eget tänkande för att hamna på en nivå som passar övriga
elever. Detta kan medföra att eleven inte använder sina matematiska förmågor effektivt
och till fullo.
En annan svårighet kan vara att koppla nytt lärande till elevers tidigare kunskaper inom
området kommunikation i matematik. Sfard et al. (1998) menar till exempel att det näst
intill är omöjligt att lära ett barn ”roten ur 16” genom att använda ett vardagligt språk
som ligger nära barnet och som bygger på deras tidigare erfarenheter. Roten i det här
sammanhanget har inget att göra med samma ord som de mött i deras vardagliga språk.
De menar att elever behöver använda sig av vårt vardagliga språk för att göra det
matematiska språket begripligt.
Ytterligare en svårighet som Sfard et al. (1998) nämner är att alla elever har skillda
personligheter som lärare inte kan göra något åt. Alla är till exempel inte utåtriktade och
bekväma med att uttrycka sina åsikter och tankar för andra människor. Även om de
tränar på det kanske de aldrig blir bekväma med det, vilket påverkar hur väl de kan
kommunicera matematik.
9
4 Metod
I det här avsnittet presenteras den metod som har använts, en presentation av de
medverkande lärarna i studien samt hur genomförandet av studien har gått till. Avsnittet
behandlar även hur resultatet har analyserats samt de etiska överväganden som studien
tagit hänsyn till.
4.1 Val av metod
Björkdahl Ordell (2007) menar att svaret till vilken metod som ska användas i en studie
ofta går att finna i forskningsfrågan till studien. Eftersom fokus i den här studien ligger
på lärares erfarenheter av kommunikativ förmåga i matematik, har en kvalitativ metod
använts. Björkdahl Ordell menar att en kvalitativ metod är djupgående och fokuserar på
exempelvis personliga upplevelser medan en kvantitativ metod tenderar att vara mer
ytlig och exempelvis behandlar siffror. Denscombe (2009) förklarar att en kvalitativ
metod kan användas vid småskaliga studier med få människor. Det passar bra eftersom
den här studien endast berör sex lärares erfarenheter. Denscombe (2009) menar även att
intervjuer och observation är två exempel på metoder som kan användas vid kvalitativa
studier. Intervjuer kan vara lämpliga när forskaren vill få kunskap och information om
människors tankar och åsikter. Vid en observation studerar forskaren en situation med
egna ögon och gör därefter en bedömning av det hen sett och hört. Intervjuer kan vara
bra att att använda när det är önskvärt att få djupgående information om olika ämnen.
Det är dock tidskrävande, inte minst efter intervjun då allt material ska sammanställas
och formuleras om till en skriftlig text så att andra kan ta del av resultatet.
Observationer kan användas när forskaren vill se det som faktiskt sker, inte bara det
som påstås ske.
4.2 Datainsamlingsmetod
För att få tillgång till verksamma lärares åsikter och tankar om elevers kommunikativa
förmåga i matematik har intervjuer använts som redskap. Kihlström (2007) menar att en
kvalitativ intervju påminner om ett vanligt samtal. Dock har den en förutbestämd
riktning som intervjuaren har ansvar för. Däremot är det viktigt att inte ställa ledande
frågor. Ett sätt att undvika det är att arbeta med öppna frågor som ger respondenten
möjlighet att uttrycka sina tankar utan att bli för styrd av den som intervjuar. Det kan
vara bra att själv fundera över ämnet och de frågor som ska ställas så att intervjuaren
kan ha ett mer öppet sinne och inte tolkar in sina egna erfarenheter när intervjun
genomförs och svaren ska analyseras.
I den här studien används en semistrukturerad intervju. Vid en semistrukturerad intervju
görs i förväg en intervjuguide. Det kan enligt Bryman (2011) liknas vid en mall där
forskaren samlar frågorna som ska ställas till informanten. Denscombe (2009) menar att
intervjuaren använder sig av öppna frågor och låter informanten tala fritt. Dock finns
det ett fokus i intervjun som måste behandlas. Det finns hela tiden en röd tråd, men
informanten kan själv avgöra hur pass djupgående varje fråga blir. Ordningen på hur
frågorna ställs spelar mindre roll och det viktiga är att informanternas synpunkter kan
utvecklas och redas ut. I den här studiens intervjuguide (Bilaga A) finns de frågor som
utgör grunden för de samtal som fördes med de utvalda lärarna. Bryman (2011) menar
att det är bra att starta en intervju med frågor som är relativt enkla för informanten att
svara på. Detta för att de ska känna sig bekväma och avslappnade.
10
4.3 Urval
Informanterna i studien arbetar alla i södra Sverige och har varit aktiva lärare mellan
fyra och trettio år. De är alla behöriga att undervisa i matematik i årskurs 4-6, vilket var
ett krav för att de skulle få delta i studien. Tre kvinnliga och tre manliga lärare har
intervjuats. Två av de medverkande arbetar på samma skola och dessa kände jag sedan
tidigare. De valdes därför av ett bekvämlighetsskäl. Övriga lärare kontaktades via ett
mail (Bilaga B) där jag beskrev vem jag var och vad syftet med min undersökning var.
Mailet skickades till cirka 15 lärare vars adresser jag hittade via skolors hemsidor. Fyra
lärare svarade att de ville medverka i min studie och det är dessa, samt de jag kände
sedan tidigare, som också deltagit i mina intervjuer. Att det är just tre kvinnliga och tre
manliga informanter är en slump. Samtliga lärare har fiktiva namn och i tabellen nedan,
tabell 1, finns en presentation av de lärare som kommer att finnas med i den här studien.
Tabell 1.
Lärare
Sophie
Hanna
Johan
Pelle
Erik
Susanna
Antal verksamma år
13
4
7
5
30
12
4.4 Genomförande
När intervjuerna genomfördes träffade jag de verksamma lärarna på deras respektive
skola. De visade sina klassrum och det var även där vi genomförde intervjuerna. I
enlighet med vad Denscombe (2009) förmedlar om hur en intervju ska inledas,
upprepades den information de medverkande hade fått tidigare innan vi startade
intervjuerna. Detta för att försäkra att lärarna var väl införstådda med upplägget. Syftet
med intervjun förklarades samt på vilket sätt de lämnade uppgifterna skulle komma att
användas. Som introduktion till våra samtal fick de först tala om hur länge de arbetat
som lärare, beskriva deras nuvarande klass och deras övergripliga tankar om att arbeta
som lärare. Detta gjordes för att Denscombe (2009) menar att det är bra att inleda en
intervju med ett översiktligt ämne som ska kännas relativt enkelt att svara på. Det kan
leda till att informanten känner sig avslappnad och kan ge mer utförligare svar på de
senare huvudfrågorna. Därefter gick vi igenom frågorna som förberetts i intervjuguiden
och som berörda matematisk kommunikation. Alla frågor besvarades av alla lärare även
om ordningen inte alltid blev densamma. Det förekom till exempel att lärare svarade på
en fråga utan att den behövdes ställas och ibland berörde de teman om studiens frågor i
början av intervjun även om det var tänkt att de skulle diskuteras i slutet.
4.5 Analys
Denscombe menar att “oavsett formen måste kvalitativa data förberedas och organiseras
innan de låter sig analyseras” (2009:370). För att underlätta analysen av intervjuerna
spelades de in. Därefter transkriberades intervjuerna för att det skulle bli lättare att
strukturera och förstå lärarnas svar. Kvale och Brinkman (2009) förklarar att
transkribering innebär att intervjuer skrivs ner i ett dokument för att det ska bli lättare
för forskaren att ta sig an materialet. Intervjuerna skrevs ut och lästes flera gånger för att
11
få en ökad förståelse för lärarnas svar. Genom att läsa igenom intervjuer flera gånger
menar Denscombe (2009) även att det underlättar arbetet med att hitta detaljer och
specifika betydelser. Intervjuerna i studien har sammanställts och jämförts med
varandra för att kunna skapa teman som rör samma sak. Enligt Denscombe är det
forskarens ansvar att se till att hitta dessa teman. Flera av lärarna i studien nämnde till
exempel problemlösning som ett sätt att arbeta med matematisk kommunikation. Därav
har alla lärarnas kommentarer om det området samlats under ett och samma tema. Dessa
teman är tänkta att fungera som svar på studiens frågeställningar. För att komma fram
till ett resultat i studien föreslår Denscombe (2009) att forskaren måste prioritera vissa
områden och kanske lägga mindre vikt vid andra områden när intervjuerna ska
omformuleras till ett resultat. Det förekom att lärarna som medverkade under studiens
intervjuer även talade om sådant som inte var relevant för studiens syfte. Sådan
information har inte tagits med i resultatet. Denna studie ledde till att tre teman
framträdde till första forskningsfrågan, fem teman till den andra forskningsfrågan och
slutligen två teman till den sista forskningsfrågan. Dessa utgör grunden när resultatet
presenteras.
Denscombe (2009) menar också att resultatet ska jämföras med teorier. Resultatet i den
här studien jämförs med ett urval av forskning som berör matematisk kommunikation
samt den sociokulturella synen på lärande. Anledningen till att resultatet jämförs med
just det sociokulturella perspektivet är att Skolverket (2011) poängterar att undervisning
ska bygga på elevers tidigare erfarenheter och att elever ska få möjlighet att samspela
med varandra. Det sociokulturella perspektivet beskriver möjliga sätt att se på hur tanke
och språk påverkar varandra. Perspektivet förespråkar även att elever behöver lära sig
med stöd av någon som har mer kunskap, till exempel en lärare. Dessa tre aspekter är
viktiga inom det sociokulturella perspektivet (Säljö, 2011). Det är relevant eftersom
studiens syfte handlar om matematisk kommunikation och hur lärare låter sina elever
arbeta med området. Vidare menar Säljö (2011) att denna syn på lärande framhäver att
en elev kan behöva vägledning av någon som besitter mer kunskap. Detta kan också
bidra med liknelser till att elever ska kommunicera matematik med varandra eftersom
det då sker ett samspel mellan elever där får möjlighet att utbyta sin kunskap. Eftersom
den här studien rör skola och undervisning jämförs även resultatet med läroplaner och
Skolverkets (2011) kommentarer till läroplanen i matematik.
4.6 Överförbarhet, pålitlighet, trovärdighet och objektivitet
Denscombe (2009) menar att det är viktigt att försäkra sig om att resultat som lyfts fram
i en studie är korrekta. Ett sätt att göra det är att ta hänsyn till överförbarhet, pålitlighet,
trovärdighet och objektivitet. Med överförbarhet menas huruvida studiens resultat kan
generaliseras. Kvalitativa studier går på djupet men har ofta inte så många informanter
eller fall som studeras. Därför kan det vara svårt att säga vilken relevans sådana studier
har i större sammanhang (Denscombe, 2009). I den här studien har sex lärare
intervjuats. Eftersom de endast utgör sex lärare av alla som arbetar som lärare i Sverige
kan det vara svårt att säga om dessa lärares åsikter går att applicera i ett större
sammanhang och om fler lärare skulle komma fram till ungefär samma resultat. Dock
syftar inte kvalitativa studier till att ge bred information utan djup (Bryman, 2011).
Samtliga lärare arbetar i södra Sverige vilket medför att den geografiska spridningen
inte är så stor. Det som går att säga vad gäller överförbarhet i den här studien är att alla
lärare ska arbeta med matematisk kommunikation, men eftersom lärare tolkar begreppet
utifrån deras egna erfarenheter kan det dock skilja mellan hur lärare uppfattar ämnet.
12
Att en kvalitativ studie ska vara pålitlig innebär kortfattat att en annan forskare ska
kunna genomföra samma undersökning med samma grupp informanter och få samma
resultat (Bryman, 2011). Även om det praktiskt skulle vara svårt för en annan forskare
att genomföra exakt samma undersökning har denna aspekt tagits i beaktning när
studien genomförts. Metoden som har lett fram till studiens resultat är exempelvis
dokumenterad för att andra ska kunna ta del av hur processen har gått till.
Trovärdighet i kvalitativa resultat kan även kallas för validitet och innebär huruvida en
forskares data kan anses vara korrekta eller ej. För att ge en så rättvis bild som möjligt
av lärarnas svar vid intervjuerna i denna studie spelades de in och intervjuerna, har som
tidigare nämnts, transkriberats. Detta är ett sätt att öka studiens trovärdighet.
Objektivitet rör hur resultatet har påverkats av den som genomfört studien. Denscombe
(2009) menar att det är omöjligt att inte påverka sin studie i någon riktning när det
handlar om att tolka någon annans svar, vilket det gör när intervjuer genomförs och
analyseras. Forskarens identitet och egna åsikter och värderingar spelar automatiskt in
när kvalitativa data ska tolkas. Ett sätt att försöka minska att forskarens egna
värderingar leder till missförstånd i tolkningarna av respondenternas svar är att ha ett
öppet sinne och försöka skala bort sig själv. I den här studien spelades intervjuerna in
och har blivit lyssnade på flera gånger för att förstärka att det är just informanternas svar
som framkommer i resultatet och inte forskarens personliga åsikter.
4.7 Etiska överväganden
Denscombe (2009) poängterar vikten av forskningsetik när en intervju genomförs. Det
är till exempel viktigt att respektera integritet, värdighet och rättighet hos de personer
som medverkar. Att vara informant ska således inte medföra någon risk.
Vetenskapsrådet (2002) har formulerat fyra huvudkrav som vid undersökningar ska
skydda individer som deltar. Det första huvudkravet är Informationskravet, vilket
innebär att de som deltar i undersökningen måste känna till syftet med den. De
verksamma lärarna som medverkar i den här studien fick veta syftet med intervjun i det
mail som skickades ut till dem. Syftet upprepades sedan innan intervjun startades. Det
andra huvudkravet från Vetenskapsrådet (2002) är Samtyckeskravet som betyder att det
är frivilligt att medverka i undersökningen. Även den informationen framgick i det mail
lärarna fick skickat till sig. Det tredje huvudkravet är Konfidentialitetskravet och
innebär att personuppgifter inte ska vara tillgängliga för obehöriga. Detta krav
informerades lärarna om både i mailet, där det stod att de skulle förbli anonyma, samt
vid intervjutillfället. I studien har lärarna fiktiva namn och går inte att identifiera. Det
fjärde huvudkravet är Nyttjandekravet. Det betyder att de uppgifter som samlas in om
de medverkande endast får användas i forskningssyfte. Detta blev lärarna också
informerade om innan intervjun startades. De inspelade intervjuerna raderades när
studien var klar.
13
5 Resultat
I följande avsnitt presenteras en sammanställning av lärarnas svar på studiens
forskningsfrågor som rör hur lärare i årskurs 4-6 beskriver vad matematisk
kommunikation innebär för dem, hur de arbetar med området samt vilka möjligheter
och svårigheter som kan uppstå vid undervisningen. Varje fråga har fått ett eget avsnitt
som ett sätt att förtydliga resultatet. Avsnittet avslutas med en resultatsammanfattning.
5.1 Hur beskriver lärare vad matematisk kommunikation innebär för
dem?
5.1.1 Att prata matematik
Lärarna är även överens om att kommunikation i matematik innebär att elever kan lära
av varandra. De anser att det är bra att elever ofta får arbeta tillsammans och att de får
hjälpa varandra.
Erik menar att matematisk kommunikation för honom innebär att elever får prata
matematik med varandra. Han menar att han hellre ser att elever frågar varandra innan
de frågar en lärare. Det beror på att han anser att det skapas ett lärande när elever får
förklara för varandra och att det på så sätt annars kan gå lärande till spillo om läraren
förklarar istället för en annan elev. Vidare menar Erik att det är bra när hela klassen får
ta del av varandras resonemang och strategier. Han menar även att kommunikation
mellan elever är viktig för den matematiska processen. När elever framför vad de
tillsammans har pratat om i helklass hjälper det dem att få en förståelse för
matematiken.
Även Sophie anser att hon upplever matematisk kommunikation handlar om att elever
muntligt ska få samspela med varandra:
För mig innebär det att eleverna får prata matematik. Till exempel att de får
förklara hur de tänker, diskutera tillsammans och också att de kan använda olika
begrepp i rätt sammanhang. Det är också något som sker tillsammans med andra
och att få ta del av andras kunskap. (Sophie)
5.1.2 Medvetenhet om det egna lärandet
Enligt Hanna innebär kommunikativ förmåga i matematik bland annat att eleverna kan
resonera och förstå hur de lär sig. Hon anser att läroplanen är tydlig med att eleverna
ska få resonera och förklara hur de tänker. Hanna menar att resonemang kan innebära
att elever jämför sina strategier med varandra. När de resonerar får de också chans att
tänka på sitt eget lärande och hur de själva lär sig bäst. Det är något som Hanna
fokuserar mycket på, hon vill att eleverna ska bli självmedvetna om sitt lärande. Hon
menar att det kan vara svårt för eleverna och att det därför är viktigt att de får mäjlighet
till att träna på det.
Hanna kopplar resonemang och kommunikativ förmåga i matematik till att elever ska
kunna förstå hur de lär sig bäst. Hon menar att det är viktigt att de förstår vilka metoder
och strategier de kan använda sig av och som passar dem. Även Susanna nämner att
innebörden av matematisk kommunikation är att elever blir medvetna om sitt eget
lärande.
14
5.1.3 Övergång till muntlig förklaring
Johan menar att kommunikation i matematik innebär att elever kan förklara hur de
tänker och att det är viktigt att de förstår varför de måste kunna göra det:
Det är viktigt att de förstår vad det är som är viktigt när de räknar matte. Jag bryr
mig egentligen inte om svaret som står i deras böcker eller som de kommer fram
till utan hur de har gjort för att komma dit. På nationella prov får de inga poäng
om de bara skriver rätt svar och de måste förstå varför. Det är så lätt att bara
skriva av en kompis eller råka höra rätt svar någonstans. Jag vill veta hur just de
har gjort för att komma fram till rätt svar. (Johan)
Johan menar också att kommunikationen sker i olika led. Han vill inte vara den enda
som är intresserad av att veta hur eleverna tänker och resonerar matematiskt. Han vill att
de själva ska upptäcka hur spännande det är att få ta del av andras matematiska
kunskaper. Enligt Johan ska kommunikationen ske både mellan eleverna och mellan
honom och eleverna.
Pelle menar att matematisk kommunikation kan upplevas som ett sätt att gå från den
skriftliga matematiken, som de flesta barn är vana vid, till den muntliga. Han anser att
det är ett samtalsämne och att kommunikationen ska hjälpa elever att förstå innebörden
av matematik. Han menar att många elever är vana vid att att använda skrift i matematik
men inte ord. När eleverna pratar matematik anser Johan att förståelsen för matematik
ökar.
Susanna menar också att eleverna måste få möjlighet att arbeta med matematik på andra
sätt än att bara arbeta själva i sin matematikbok. Hon beskriver matematisk
kommunikation som ett sätt att förstå vad som sker i matematiken. Hon menar att vissa
elever är vana vid att tyst och stilla vid sin plats räkna i sin matematikbok. Hon liknar
det vid att eleverna är robotar som mekaniskt är inställda på att ge läraren det rätta
svaret utan att reflektera över det de faktiskt har räknat:
Varför använder vi vissa metoder? När kan det vara bra att använda dem och när
kan det vara bra att inte använda dem? Varför passar de inte just i den här
uträkningen? När eleverna får prata om det här så kan de förstärka och utveckla
det som de har i sina tankar. (Susanna)
5.2 Hur arbetar verksamma lärare för att utveckla elevers
kommunikativa förmåga?
5.2.1 Arbeta tillsammans
För att kunna få goda elevresultat krävs det en bra grund att stå på, det menar Johan.
Han säger att det först och främst måste finnas en god stämning och trygghet bland
eleverna för att de ska kunna arbeta tillsammans. Det första han gör när han träffar en
klass är att försöka skapa ett tryggt klassrumsklimat. Han beskriver även att han är
tydlig med vad han förväntar sig av eleverna. Förväntningarna ska vara höga men
rimliga. Eleverna måste känna att lärare tror på dem. Johan anser även att det är viktigt
med elevinflytande och att detta är viktigt även i andra sammanhang utöver den
matematiska kommunikationen. Johan menar att dessa aspekter är viktiga för att elever
ska kunna arbeta tillsammans och att han kan se vilka som arbetar bra tillsamamns och
vilka som inte klarar av att arbeta ihop.
15
Hanna berättar att hon låter eleverna arbeta tillsammans som ett sätt att låta dem
utveckla sin kommunikativa förmåga i matematik. Hon låter dem ofta arbeta i grupper,
även i andra ämnen än matematik. Hon tror att eleverna utvecklar sitt eget lärande
genom att diskutera och förklara sina tankar för andra. Hanna poängterar att vissa elever
är mer pratsamma än andra men att hon generellt märker att eleverna uppskattar att få
arbeta tillsammans.
Tre av lärarna nämner metoden EPA som ett sätt att arbeta med kommunikativ
matematik. De förklarar att EPA står för ensam, par, alla. Johan säger att det är en
metod som han använder i fler ämnen än matematik. Han nämner även att det är en
metod som han tror att de flesta lärare använder sig av även om de inte kallar den för
just EPA. Metoden går ut på att elever först ska få chansen att lösa en uppgift själva.
Johan menar att eleverna då ska läsa igenom uppgiften och försöka lista ut vilken
strategi som kan vara möjlig att använda. därefter får de diskutera uppgiften med en
kompis och slutligen går klassen igenom de rätta svaren och uträkningarna tillsammans
i helklass.
Även Sophie berättar att EPA kan vara ett av många sätt att arbeta med den
kommunikativa förmågan i matematik. Hon menar att metoden fungerar för all typ av
kommunikation eftersom syftet är att eleverna ska få tid att själva tänka och sedan
jämföra sina strategier med varandra. Om en elev inte kan lösa en uppgift kan det bli bra
träning för den elev som får öva på att förklara för någon annan hur hen har tänkt.
Pelle menar att han använder gemensamma genomgångar som ett tillfälle för eleverna
att lära både av läraren och varandra. Han försöker undvika matematikboken så mycket
som möjligt även om han ser den som ett bra stöd. Om det sedan tidigare är bestämt att
hans elever ska arbeta med ett särskilt kapitel eller några uppgifter ur matematikboken
så brukar klassen ha genomgångar tillsammans där de samtalar om det som står i boken.
Susanna beskriver att hon lägger stor vikt vid att vänja sina elever vid hur de arbetar
med den kommunikativa förmågan i matematik. Hon anser att lärare måste vara tydliga
med att förklara vilket syfte olika arbetsmoment eller uppgifter har:
När vi ska prata matematik, som barnen och jag kallar det, så vet de innan hur det
ska gå till. Vi arbetar alltid i grupper då och vi har ett bestämt upplägg för att
göra dem medvetna om vad det är de ska fokusera på och lära sig. Ett stående
moment är att de ska använda sig av korrekt matematiskt språk och att de kan
använda sig av de olika begreppen i matten. De vet också om att vi respekterar
varandra och att vi lyssnar till de förslag som de kanske vet med sig inte är rätt.
Det är en sådan sak som de har fått lära sig att jaha, bara för att den där
uträkningen var fel så betydde inte det att vi inte lärde oss något av att studera
den. (Susanna)
5.2.2 Problemlösning
Sophie menar att även problemlösning är ett sätt som låter elever utveckla sin
kommunikativa förmåga i matematik. Hon berättar att hennes skola har medverkat i
matematiklyftet som har handlat om problemlösning:
Vi har medverkat i mattelyftet som har handlat om problemlösning. Inom det
området är det ju nästan omöjligt att inte tangera kommunikationen. Där kan de
få chansen att både resonera om vad själva problemet är och sen givetvis också
16
fokusera på hur problemet kan lösas. Eleverna brukar också få skapa egna
problem som de byter med varandra. (Sophie)
När de arbetar med problemlösningen anser Sophie att eleverna får många möjligheter
till att prata matematiskt med varandra. Vidare förklarar hon att hon märker att eleverna
har blivit bättre på att kommunicera matematiskt sedan de började fokusera på
problemlösning i matematikundervisningen. Hon nämner att de har arbetat med
problemlösning mer sedan de genomgick matematiklyftet och att hon märker att vissa
elever förbättrat sin kommunikativa förmåga sedan dess. Hon menar att det kan ha att
göra med att eleverna arbetat mer tillsammans med andra än vad de vanligtvis gör i
matematiken. Sophie säger att vissa elever har blivit modigare och vågar uttrycka sig
mer muntligt än innan vilket kan vara en förutsättning för matematisk kommunikation.
Vidare säger Sophie att ett exempel de har arbetat med, vad gäller problemlösning, är att
eleverna får göra fruktsallad. Hennes elever har fått veta viss information om vilka
frukter som ska finnas med men inte hur många av varje sort. Syftet med
problemlösningsuppgiften var att träna algebra. Eleverna fick laborera med riktiga
frukter och alla var engagerade i uppgiften. Det som Sophie gillade med upplägget av
uppgiften var att klassen fick se många olika strategier som alla kom fram till samma
svar. Vissa testade sig fram, några använde uteslutningsmetod och andra klarade av att
komma fram till en enklare formel som fungerade för problemet. Sophie visste inte
exakt hur hennes elever skulle angripa problemet, även om hon hade sina aningar, men
hon upplevde att hon kunde ta tillvara på den kunskap som kom av att eleverna använt
sig av olika strategier:
De jobbade i grupp då och klassen fick verkligen förståelse för att en uppgift kan
lösas på många olika sätt. (Sophie)
Sophie berättar att det blev många spännande diskussioner och att den muntliga
kommunikationen fick hjälp av att eleverna var så engagerade i uppgiften:
Eftersom alla var så engagerade i uppgiften så gick de in för den muntliga biten
och var väldigt duktiga på att använda rätt begrepp, försöka förklara varför det
gick eller inte gick att tänka på ett visst sätt för att komma fram till svaret.
(Sophie)
Även Pelle förklarar att han använder problemlösning som ett arbetssätt för att hjälpa
eleverna med deras kommunikativa förmåga.
5.2.3 Fokus på uträkningar
Johan säger att han lägger mycket tid och vikt vid att eleverna ska kunna visa hur de har
tänkt vid olika uträkningar. Han menar att det är en vanesak och upp till läraren att se
till att eleverna är vana vid att alltid få förklara. Han menar även att när eleverna lär sig
att skriva ner hur de har tänkt kan det vara lättare för dem att förmedla det muntligt. Det
underlättar för dem när de ska resonera, jämföra och argumentera om olika strategier.
Johan beskriver att han själv har lättare för att reda ut sina tankar om han först ser dem
på papper. En skriftlig uträkning kan även vara bra för att inte glömma bort alla led i en
lång uträkning:
När en uträkning har flera olika led så kanske man annars glömmer vad det var
man började med. (Johan)
17
5.2.4 Planering
Att en lärare måste vara både spontan och välplanerad är något som Hanna diskuterar
när hon försöker beskriva hur hon arbetar med den matematiska kommunikationen. Hon
anser bland annat att det är viktigt att tänka igenom vilka elever som ska arbeta med
vilka när de ska arbeta tillsammans. En lärare bör alltid vara väl förberedd inom all
undervisning menar Hanna. Dock menar hon att även den bästa planeringen kanske inte
alltid fungerar i praktiken av olika anledningar och att det ibland uppstår bra
elevdiskussioner vid situationer som inte var planerade från hennes sida. Hon lyfter
även fram att det är viktigt att tänka över vilka elever som ska arbeta med vilka samt
vilka uppgifter de ska lösa.
Hon tillägger dock att gruppsammansättningar kan vara svårt att hantera:
Jag vet vilka som arbetar bra ihop och vilka som inte gör det. Men jag tycker det
är viktigt att eleverna känner sig delaktiga och att de också får välja grupper. Jag
försöker få dem att själva inse vilka de arbetar bra tillsammans med men ofta blir
det att man jobbar med bästa kompisen. (Hanna)
Erik förklarar att han ofta låter elever diskutera matematik tillsammans eftersom de bör
vara mer på samma nivå kunskapsmässigt än vad han och eleverna är. Dock menar han
även att lärare måste planera vilka elever som ska arbeta tillsammans för att de ska vara
på en likvärdig nivå. Vad gäller planering anser Erik även att det är viktigt att dagens
kunskap hänger samman med den eleverna lärde sig igår. Han menar att det måste
finnas en röd tråd genom undervisningen så att elever kan återkoppla till sin tidigare
kunskap. Han menar att ett sätt att göra det är att inleda en lektion med att prata om
något eleverna arbetade med dagen innan.
Pelle menar att det är viktigt att planera väl inför gruppmoment för att exempelvis
undvika att det uppstår konflikter. Det är även viktigt att planera vilken typ av
matematiskt problem klassen ska få lösa. Det ska både vara relevant och kopplat till
något de känner igen samt att det ska ligga på en nivå som eleverna behärskar.
5.2.5 Observationer
Susanna säger att genom att observera sina elever får hon kunskap om hur elever
utvecklar sin kommunikativa förmåga i matematik. När hennes elever arbetar i grupp
går hon gärna runt och lyssnar på deras samtal. Hon menar att lärare har svaren rakt
framför sig om de bara observerar sina elever. Då kan lärare upptäcka vilka begrepp
eleverna använder sig av samt vilka strategier och metoder de använder. På så vis kan
lärare se vilka strategier och begrepp som kan vara bra att ta upp i helklass så att alla får
lyssna till dem. Susanna menar även att det är bra att lyfta både bra och mindre bra
strategier:
Genom att lyssna till dem så märker vi vad de behöver utveckla och vad de har
utvecklat sen förra gången vi gjorde en liknande övning. (Susanna)
5.3 Hur beskriver lärare de möjligheter respektive svårigheter som kan
uppstå genom matematisk kommunikation?
De sex verksamma lärarna nämner att det finns både möjligheter och svårigheter när det
kommer till att arbeta med den kommunikativa förmågan i matematik.
18
5.3.1 Ökad förståelse, trygghet och motivation
Samtliga sex lärare menar att det skapas en ökad förståelse för matematiken när elever
får träna på att utveckla sin kommunikativa förmåga i ämnet. De ser även det som den
största fördelen. Sophie nämner även att genom att träna på muntlig kommunikation i
matematik utvecklas elever till bättre talare i andra ämnen också.
Hanna menar att när elever arbetar i par eller i grupp kan det leda till att elever vågar
uttrycka sig mer än vid andra tillfällen. Hon har sett att elever tar för sig mer om de har
någon vid sin sida. Hon tror att det beror på att det inte känns lika ”farligt” om en
lösning skulle vara fel när det är fler än en som har löst den.
Johan förklarar även att han märker att elever kan motiveras av andra elever. Han menar
att han många gånger sett att elever reagerar när de hör att någon annan elev har räknat
ut en uppgift. Johan anser att elevers lärande kan motiveras genom att de hör någon
annan elev som har förstått en uppgift. Det kan leda till att elever sporrar varandra.
5.3.2 Passivitet, rätt nivå och barns olikheter
Dock finns det som tidigare nämnt även vissa svårigheter med det kommunikativa. Erik
nämner att vissa elever blir passiva eller intar en passiv roll när de ska arbeta
tillsammans med någon. Han menar att det är ett grupproblem och att det kan leda till
att en elev löser uppgiften medan den andra tittar på. Vissa elever parar gärna ihop sig
med någon som de vet har det rätta svaret. Erik menar att det även har att göra med
status i gruppen. Det kan också leda till en frustration hos den elev som får göra mycket
själv. Därför anser han att det är väldigt noga att som lärare titta på allihop så att alla på
något sätt bidrar och deltar i de matematiska uppgifterna.
En annan svårighet som Johan beskriver är att elever tenderar att prata om annat än det
som rör kommunikativ matematik när de arbetar i grupp. Det kan ses som en form av
passivitet eftersom syftet med undervisningen inte behandlas. Dessutom måste lärare ta
hänsyn till att barn är olika och har olika kunskapsnivåer. Pelle menar att det kan vara
en svårighet för både lärare och elever. För läraren kan det vara svårt att hitta ett språk
som gör att så många som möjligt av eleverna förstår. För eleverna kan det även
innebära en svårighet att hitta vägen mellan det de har tänkt till att muntligt förklara det:
Man har ju dem som språkmässigt ligger duktigt till och svagt till. Hitta en balans
där så man vet hur man ska uttrycka sig för att så många som möjligt ska förstå.
Matte har ju alltid varit ett sätt att visa en uträkning i skrift. Det är ibland svårt
för barnen att försöka sätta ord på det de har gjort. (Pelle)
Även Sophie och Hanna förmedlar att det är viktigt att anpassa
matematikundervisningen efter vad eleverna kan och inte kan. Båda två nämner att det
är en fördel att ha kännedom om ungefär på vilken nivå varje individ ligger. Sophie
förklarar att hon, efter att ha lärt känna klassen, fått vetskap om vilka elever som
fungerar bra tillsammans i grupp:
Det som kan upplevas som svårt ibland är ju att du inte bara ska anpassa dig efter
vilken nivå klassen ligger på utan varje elev. Annars är det ganska svårt vid
gruppsammansättningar att få grupper som kompletterar och stärker varandra. Nu
känner jag mina elever och jag vet ungefär vilket resultat jag får genom att para
ihop dem på ena eller det andra viset. (Sophie)
19
Susanna menar att det kan ta tid för lärare att lära sig vilka metoder och strategier som
är bra att lyfta upp i helklass. Hon menar att det ständigt finns en balansgång mellan att
inte tråka ute lever med fallenhet för matematik samtidigt som elever som upplever att
matematik är svårt inte ska känna att det inte ens är värt att lyssna. Pelle förklarar att
han kan märka av en svårighet som grundar sig i att vissa elever har svårt för att arbeta
med andra:
I min klass har eleverna ibland svårt för att jobba i grupp så bara det är en sak att
jobba på. Så man kan ju inte ha en för svår uppgift på en gång för då fallerar
gruppen innan de ens har kommit igång och det är ingen som förstår. (Pelle)
5.4 Resultatsammanfattning
Majoriteten av lärarna beskriver att matematisk kommunikation innebär att elever får
prata matematik med varandra. Det kan till exempel vara att elever får resonera och
jämföra olika metoder och strategier tillsammans. Genom att prata matematik kan
eleverna även bli medvetna om sitt eget lärande och det beskrivs också som en
förklaring till vad matematisk kommunikation är för något. Elever kan uppmärksamma
vilka strategier eller metoder som de känner sig mest bekväma med och helt enkelt få
möjlighet att lära sig hur de lär sig bäst. Matematisk kommunikation kan även för dessa
verksamma lärare innebära att elever blir medvetna om sitt eget lärande. När de
samtalar med varandra kan det ge dem en tydligare bild av vad de förstår eller inte
förstår.
När elever pratar matematik kan det även skapa en bro till muntliga förklaringar. Detta
gäller övergångar från både tanke och skrift. Lärarna menar att när elever får diskutera
matematik med andra lär de sig att förmedla sina tankar om exempelvis strategier och
metoder. På liknande sätt kan det även hjälpa elever att gå från en skriftlig förklaring,
exempelvis en uträkning, till att muntligt kunna förklara hur de har gått tillväga för att
lösa en matematisk uppgift.
För att skapa möjligheter för att elever ska utveckla sin kommunikativa förmåga i
matematik beskriver lärarna att de låter sina elever arbeta tillsammans. Det nämns att
det måste finnas goda och trygga relationer mellan elever som en förutsättning för att
elever ska klara av att arbeta tillsammans. Gemensamma genomgångar och
gruppuppgifter är ytterligare två förslag på hur elever kan arbeta tillsammans.
Problemlösning ses också som ett moment som kan utveckla elevers kommunikativa
förmåga i matematik. Där tillåts elever bland att resonera, jämföra och använda olika
representationsformer. Genom planering och observationer kan även lärare skapa goda
förutsättningar för att eleverna ska utvecklas. Ytterligare ett sätt att hjälpa elever med att
muntligt förklara hur de tänker vid matematiska uppgifter är att fokusera på skriftliga
uträkningar. De kan fungera som en grund att utgå ifrån om elever anser att det är lättare
att skriva ner hur de har tänkt istället för att muntligt förklara det.
De möjligheter som lyfts fram berör ökad förståelse, ökad trygghet och ökad
motivation. Svårigheterna som även nämns av lärarna handlar om att elever kan bli
passiva när de arbetar tillsammans med andra, att det kan vara svårt att som lärare hitta
rätt nivå för svårighetsgrad samt att det kan uppstå konflikter vid grupparbete.
20
Förutsättningar för matematisk kommuniktation kan därför ses som att klassen måste ha
ett tryggt klassrumsklimat samt att lärare måste ha vetskap om elevers kunskapsnivå.
21
6 Diskussion
I följande avsnitt presenteras en metoddiskussion som diskuterar huruvida den valda
metoden påverkar studien. Lärarnas svar jämförs även med den tidigare presenterade
teorin. Avsnittet avslutas med förslag till vidare forskning.
6.1 Metoddiskussion
Som metod för att få fram studiens resultat har intervjuer använts. Anledning till det är
att studiens syfte är att få kännedom om verksamma lärares erfarenheter och syn på
matematisk kommunikation. Genom intervjuer fick studien tillgång till lärares
personliga åsikter och svar. Informanterna fick inte se intervjufrågorna i förväg men de
visste vad temat för intervjun var. Anledningen till att de inte fick se frågorna var för att
förhindra att de anpassade sina svar istället för att vara ärliga med sina personliga
åsikter. Dock är det möjligt att frågorna hade blivit mer detaljerat beskrivna om lärarna
haft möjlighet att förbereda sig på frågorna.
Det hade också varit möjligt att använda sig av observationer. Observationer hade
kunnat fungera som ett komplement för att se hur lärare arbetar för att utveckla
elevernas kommunikativa förmåga i matematik. Det kunde ha bidragit till en mer
tillförlitlig studie eftersom det då hade varit möjligt att jämföra lärarnas beskrivningar
med hur de arbetar i praktiken. Med hänsyn till tidsaspekt och studiens omfång var det
dock inte genomförbart. Att endast använda observationer hade inte varit ett alternativ
eftersom lärarnas egna reflektioner och beskrivningar då hade gått till spillo.
För att få reda på vad lärare anser om matematisk kommunikation och hur de arbetar
med området hade det även varit möjligt att be dem medverka i en enkätundersökning
istället för intervjuer. Det kunde ha medfört att fler lärare hade kunnat medverka
eftersom det inte kräver lika mycket tid från lärarna. Ett större urval hade kunnat göra
studiens resultat mer överförbart. Dock hade det funnits en svårighet att få lika utförliga
svar genom att använda enkäter. Fördelen med en intervju i förhållande till enkät är
även att forskaren kan fråga om hen tolkar informantens svar rätt och också fråga om
det är något som är oklart. Att endast tolka skriftliga svar från en okänd person skulle
kunna leda till missförstånd.
Eftersom två av lärarna arbetar på samma skola hade det varit möjligt att genomföra en
gruppintervju. Det hade kunnat spara tid men också medfört att lärarna inte hade känt
sig lika fria att beskriva deras erfarenheter och åsikter. De hade till exempel kunnat
uppleva att de kände sig dömda av den andra läraren som medverkade och det hade
kanske hindrat dem från att beskriva vilka svårigheter de upplever. Av den orsaken
bestämde jag att jag ville intervjua dem enskilt. Dessa två lärare kände jag sedan
tidigare och det kan bidra till både för- och nackdelar. Lärarna kan till exempel anta att
jag var bekant med deras åsikter och hur de arbetar med matematisk kommunikation.
Det skulle kunna leda till att de inte beskriver sina åsikter lika detaljerat som om de inte
hade haft någon kontakt med mig tidigare. Fördelarna kan däremot vara att de känner
sig avslappnade i en intervjusituation med någon de känner och att de då känner sig
bekväma med att prata fritt.
22
6.2 Resultatdiskussion
6.2.1 Hur beskriver verksamma lärare på mellanstadiet vad matematisk
kommunikation innebär för dem?
Att lärarna i studien nämner att matematisk kommunikation kan innebära att eleverna
pratar matematik liknar det Sfard et al. (1998) nämner om ämnet. Dock gör Sfard et al.
(1998) en mer ingående beskrivning samt att de menar att det är skilland mellan att
prata matematik och att prata om matematik. Att det finns en sådan skillnad är inget
som lärarna i studien lyfter. Det skulle kunna bero på att Skolverket (2011), som
tidigare nämnts, menar att elever ska tillåtas uttrycka sig både formellt och informellt.
Hanna menar att matematisk kommunikation innebär att elever kan förklara exempelvis
vilken metod de har använt när de räknar. Lampert (1990) framhäver dock att det
viktiga är att elever kan förklara varför de har använt en metod och varför den fungerar
eller inte gör det. Här finns en skillnad i beskrivning som kan tyda på att Lampert tolkar
ämnet på ett mer djupgående sätt. Olikheten i deras beskrivningar kan också bero på att
Hanna, och majoriteten av lärarna i studien, kopplar begreppet matematisk
kommunikation till olika klassrumssituationer än att just reda ut själva begreppet.
Många av lärarnas beskrivningar stämmer överens med Skolverkets (2011) beskrivning
av matematisk kommunikation. Ett sådant exempel är att Hanna nämner att hon anser
att resonemang hör till ämnet. Även Skolverket poängterar att elever ska ges möjlighet
att både föra egna resonemang och lyssna till andras inom matematisk kommunikation.
Detta kan visa att lärarna är väl insatta i kursplanen i matematik.
Sophie säger att matematisk kommunikation för henne bland annat innebär att elever
kan använda sig av rätt begrepp vid rätt tillfällen. Även Kilptarick et al. (2003) menar
att korrekt begreppsanvändning är en del av den muntliga kommunikationen.
Författarna förklarar att det kan vara bra att lärare lyfter fram och sätter begrepp i fokus
när elever samtalar i grupper och i helklass. Det kan leda till att elever lär sig nya
begrepp eller att de blir mer säkra när begrepp de redan känner till ska användas. Även
Skolverket (2011) nämner att matematsika begrepp ska behandlas i den matematiska
undervisningen.
Majoriteten av lärarna i studien understryker att det är viktigt att elever får vara aktiva
och delaktiga i sitt lärande. Erik beskriver till exempel att det är därför han anser att det
är så viktigt att elever får arbeta tillsammans och fråga varandra istället för läraren. Att
elever ska vara aktiva i sitt lärande framgår även av Stein et al. (2008) där deras
exempel på hur lärare kan arbeta med matematisk kommunikation är grundad i att
elever ska få ut så mycket som möjligt av sina diskussioner med varandra. För att detta
ska ske menar Stein et al. (2008) bland annat att lärare måste observera, i förväg tänka
ut vad elever kommer svara samt att välja vilka av elevernas strategier som vore
lämpliga att lyfta i helklass. När detta görs kan det öka elevers möjligheter till att
utveckla sin matematiska kompetens. Att vara aktiv i sitt lärande hänger även ihop med
att elever förstår på vilket sätt de lär sig bäst och att de är uppmärksamma på vad och
när de lär sig något. Hanna vill att den enskilda eleven ska förstå vilken strategi som
passar hen bäst.
Johan menar att han vill att elever själva ska känna att det är kul och intressant att få
reda på sina klasskamraters strategier och lösningar. Det uttalandet kan kopplas till
Lampert (1990) som lyfter fram att det är lärares ansvar att se till att elever blir
23
motiverade och nyfikna på matematik. Ahlberg och Wallby (2000) samt Hagland et al.
(2005) menar att lärares egna förhållningssätt till matematik påverkar hur elever
uppfattar ämnet. Att Johan förmedlar att han själv är intresserad av elevers strategier
kan, i enlighet med ovannämnda författare, innebära att eleverna också blir det.
Samtliga lärare nämner att elever behöver arbeta tillsammans med andra för att de ska
utveckla sin kommunikativa förmåga i matematik. Både Hanna och Erik nämner
exempelvis att lärare måste planera vilka elever som ska arbeta med vilka för att det ska
ske ett givande lärande. Detta stämmer överens med Säljös (2010) tolkning av det
sociokulturella perspektivet på lärande. Säljö beskriver, som tidigare nämnt, nämligen
hur ett barn måste få stöd av en vuxen eller någon med mer kunskap för att utveckla sitt
lärande. Detta kan i skolsammahang vara en lärare eller en annan elev. Genom att låta
eleverna arbeta tillsammans och att läraren ser till att vara den som för undervisningen
framåt kan detta ske.
Att ta hänsyn till elevers tidigare kunskap och erfarenheter är något som förespråkas
inom det sociokulturella perspektivet enligt Säljö (2010). Eftersom han menar att
människor väljer olika strategier beroende på de erfarenheter de besitter kan det tolkas
som att lärare måste se till att elever har de erfarenheter som krävs för att kunna
genomföra olika moment. På liknande sätt nämner Erik att han anser att det är viktigt att
ny kunskap som elever ska få ta till sig måste bygga på kunskap som de redan besitter.
Även Ahlberg och Wallby (2000) samt Lampert (1990) menar att lärare måste ha
kännedom om elevers tidigare erfarenheter. Lampert menar att det är viktigt eftersom
nya utmaningar måste bygga på tidigare förståelse.
6.2.2 Hur arbetar verksamma lärare för att utveckla elevers kommunikativa
förmåga?
Sophie berättar om ett exempel från när hon och hennes klass arbetade med algebra och
problemlösning. Klassen fick tillverka egen fruktsallad i samband med att de skulle lösa
problemuppgiften och prata matematik. Upplägget gjorde att eleverna blev engagerade
och Sophie kände att lektionen blev givande. Det går att säga att Sophie tog sitt ansvar
för att göra matematikundervisningen motiverande och få eleverna att känna nyfikenhet
på att lära. Detta går även att koppla till Ahlberg och Wallby (2000) som just påpekar
lärares ansvar över sin undervisning och att elever måste känna sig motiverade och
engagerade. Sophies exempel kan även jämföras med det Sfard et al. (1998) nämner om
att det kan vara svårt om muntlig matematik enbart ska beröra matematiska formler och
uttryck som inte återfinns i elevers vardag. Sfard et al. (1998) menar att det näst intill är
omöjligt att göra det. Sophies exempel med fruktsallad kan ses som ett sätt som gör att
både elevers vardagliga situationer tas till vara på samtidigt som de kan lära sig nya
matematiska begrepp.
Sophies exempel om att elever fick arbeta med något konkret för att lösa matematiska
problem kan liknas vid det Stein et al. (2008) förmedlar om att lärare måste planera
vilka representationsformer som elever ska få möjlighet att använda. Att använda
konkret material var i detta specifika fall en lyckad representationsform för Sophies
elever. Även Hannas resonemang om planering och att lärare även ska fundera över
vilka elever som presterar bra när de arbetar tillsammans stämmer väl överens med det
Stein et al. (2008) förespråkar. Hannah nämner även att hon tycker att det är viktigt att
eleverna får vara med och bestämma vilka de vill arbeta tillsammans med. Hon
poängterar dock att hon vill att de själva ska para ihop sig med någon som de arbetar bra
24
med. Detta kan kopplas till det Säljö (2011) beskriver om det sociokulturella
perspektivet och att elever kan behöva en vägledare när de ska ta till sig ny kunskap.
För att detta ska ske kan det som Hanna menar vara en stor fördel om de elever som
arbetar tillsammans verkligen gynnar varandras lärare. Annars kanskse det som Erik
nämner istället medför passitivitet elever.
Lamperts (1990) resonemang om att det måste finnas tydliga ramar för hur matematiska
diskussioner i en klass ska gå till stämmer överens med Susannas beskrivningar av hur
hon arbetar med området. I likhet med Lampert anser Susanna att elever måste vara
medvetna om momentets upplägg och att de bör veta hur de ska tilltala varandra för att
undvika kränkande ord eller handlingar. De syftar då främst till när exempelvis en elev
vill förmedla att en annan elevs strategi eller uträkning är felaktig. Susanna berättar
även att hennes elever är medvetna om vilka regler som gäller vid dessa övningar som
de kallar för att prata matematik. Att klassen har namngett detta till att prata matematik
kan tyda på att de är medvetna om vad det är för typ av lärande som ska ske samt vilket
språk som ska användas. Det kan bidra till att de även tränar på att bli medvetna om sitt
eget lärande vilket diskuterades tidigare i studien. Dessutom menar Susanna att elever
ska ha vetskap om att även felaktiga svar och lösningar kan skapa ett lärande. Det
överensstämmer också med Ahlberg och Wallbys ståndpunkt om att matematik måste
vara djupare än att bara se rätt och fel svar.
Något som lärarna nämner är att det måste finnas goda relationer i ett klassrum för att
elever ska kunna utveckla sin kommunikativa förmåga i matematik. Johan ger ett
exempel på att när han träffar sina elever börjar han alltid med att skapa förutsättningar
för en trygg lärandemiljö. Hagland et al. (2005), Lampert (1990) och Kilpatrick et al.
(2003) förmedlar samma budskap i och med att de anser att grunden till matematisk
kommunikation ska vila på att elever vågar uttrycka sig och vågar göra fel. Att ha ett
tryggt klimat i en klass är dock ingen självklarhet och det går att tolka både lärarnas svar
och den ovannämnda teorin som att en lärare först måste skapa trygga relationer mellan
eleverna innan det är möjligt att arbeta med matematisk kommunikation.
Vid matematisk kommunikation menar Lampert (1990) att det är bra att observera
klassen för att få kännedom om vilka strategier som kan vara bra att lyfta i helkass. En
form av observation ägnar sig Susanna åt när hon går runt och lyssnar när klassen pratar
matematik med varandra. Hon menar att det hjälper henne att avgöra vilka begrepp
eleverna använder och vad de behöver utveckla. I enlighet med vad Lampert förespråkar
ger observationer även Susanna möjlighet att bestämma vad som behöver lyftas i
helklass.
Stein et al. (2008) menar att det är viktigt att som lärare försöka förutspå elevers svar
och de strategier de kommer att använda sig av. Sophie förklarar att hon vid en uppgift
inte visste hur hennes elever skulle svara men att hon i alla fall kunde ana hur de skulle
ta sig an uppgiften. Det kan tyda på att hon är medveten om att det är bra att förutspå en
sådan sak för att kunna utveckla sin egen undervisning.
Det Erik nämner om att elever hamnar på liknande kunskapsnivå när de frågar kompisar
istället för läraren stämmer överens med det Hagland et al. (2005) förmedlar. Hagland et
al. menar till exempel att elever kan uppleva att de känner sig friare att diskutera med
klasskamrater än med en lärare. Det går på så sätt att tolka att genom att elever får
arbeta tillsammans med andra elever främjas lärandet mer än om de pratar med lärare.
Dock innebär inte det att lärarens roll inte är viktig.
25
6.2.3 Hur beskriver lärare de möjligheter respektive svårigheter som kan uppstå
genom matematisk kommunikation?
En svårighet som Erik nämner, när han låter elever arbeta tillsammans för att de ska få
möjlighet att kommunicera matematik, är att vissa elever riskerar att bli passiva. Detta
kan uppstå när elever parar ihop sig med någon som de tror kommer att kunna lösa
uppgiften. Detta kan skapa problem eftersom den passiva eleven riskerar att inte
utvecklas särskilt mycket, medan den aktiva eleven kanske upplever en frustration av att
behöva göra allting själv. Sfard et al. (1998) menar att matematikundervisningen i
sådana fall inte blir effektiv eller så meningsfull som skulle kunna vara. Detta går dock
emot den upplevelse Hanna har. Hon upplever att elever presterar bättre när de får
arbeta tillsammans eftersom det kan bidra med en ökad trygghet att våga uttrycka sig
muntligt.
Även om Hanna anser att hennes elever presterar bättre tillsammans med andra menar
hon, Pelle och Sophie att det kan innebära en svårighet i att elever är olika och att de
besitter olika sorts kunskap. Även om det skulle kunna vara så att de befinner sig på en
liknande kunskapsnivå i jämförelse med vuxna betyder inte det att det inte kan skilja
mycket mellan olika elever. Lärarna menar att det kan bli svårt för att veta vilken nivå
de ska anpassa den matematiska undervisningen efter. Det kan kopplas till det Sfard et
al. (1998) påpekar om att alla elever är olika och att det kan bli tydligt när elever arbetar
tillsammans. Författarna menar att elevers olikheter inte endast tydliggörs via deras
olika kunskapsnivåer utan även deras skillda personligheter. Vissa elever är helt enkelt
inte lika pratsamma och avslappnade med att socialisera som andra. Trots det är det
ingen av lärarna som nämner något om att vissa elever är blyga eller inte trivs med att
arbeta med andra. Hanna nämner dock att “vissa elever är mer pratsamma än andra”.
Johan nämner att det finns tillfällen då elever tar chansen att prata om något annat än det
som rör undervisning när de får arbeta tillsammans. Att han är medveten om det och ser
det som en svårighet kan vara viktigt eftersom Hagland et al. (2005) poängterar att det
ska vara relevanta områden elever diskuterar i matematiken eftersom det inte är
kommunikationen i sig som är viktig utan själva förståelsen som utvecklas av
kommunikationen.
Avslutningsvis visar resultatet av min studie att lärare uppfattar matematisk
kommunikation på liknande sätt, men att de fokuserar på olika saker. För att återkomma
till studiens inledning där det nämndes att Läroplanen i matematik kan upplevas
tolkningsbar, skulle detta kunna vara en av anledningarna. Lärare är individer som likt
alla andra uppfattar och tolkar saker utifrån deras egna erfarenheter. Det kan bidra till
att de inte arbetar med matematisk kommunikation på exakt samma sätt samt att det
finns skillnader i hur de väljer att beskriva området. Lärarna nämner både möjligheter
och svårigheter med att arbeta med matematisk kommunikation men lyfter fram att
ökad förståelse är en positiv effekten av att arbeta med området. Resultatet visar också
att ett tryggt klassrumsklimat är en förutsättning för att det ska vara möjligt att bedriva
matematisk kommunikation i undervisning i årskurs 4-6.
26
6.3 Förslag på vidare forskning
Avslutningsvis visar resultatet att lärare har skilda men ändå liknande beskrivningar av
vad matematisk kommunikation är för något. Lärarna har bidragit med värdefulla tips
som förhoppningsvis kan gynna andra lärare som planerar undervisning i matematisk
kommunikation. Som författare till den här studien känner jag att jag har fått svar på
mina forskningsfrågor och jag tar med mig kunskap in i min kommande yrkesroll som
lärare. Som förslag till vidare forskning hade det varit intressant att undersöka hur lärare
arbetar med matematisk kommunikation med elever som har svårt för att uttrycka sig.
Det skulle till exempel kunna handla om elever som nyligen anlänt till Sverige eller
elever som har svårigheter med det sociala samspelet. Det hade även varit intressant att
genomföra obvservationer under en längre tidsperiod för att se hur elevers matematiska
förmåga utvecklas i samband med att de får undervisning i ämnet.
27
Referenser
Ahlberg, A & Wallby, K (2000). Matematik från början. 1. uppl. Göteborg:
Nationellt centrum för matematikutbildning, Univ.
Björkdahl Ordell, S (2007) Kvantitativ metod- ett annat sätt att tänka. Från: Björkdahl
Ordell, Susanne & Dimenäs, Jörgen (2007). Lära till lärare: att utveckla läraryrket vetenskapligt förhållningssätt och vetenskaplig metodik. 1. uppl. Stockholm: Liber
Bryman, A (2011). Samhällsvetenskapliga metoder (2:a upplagan) Malmö: Liber.
Dahl, K & Nordqvist, S (1994). Matte med mening: tänka tal och söka mönster.
Stockholm: Alfabeta
Denscombe, M (2009). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt inom
samhällsvetenskaperna. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur
Hagland, K, Hedrén, R & Taflin, E (2005). Rika matematiska problem: inspiration till
variation. 1. uppl. Stockholm: Liber
Kihlström, S (2007). Att genomföra en intervju. Från: Björkdahl Ordell, Susanne &
Dimenäs, Jörgen (2007). Lära till lärare: att utveckla läraryrket - vetenskapligt
förhållningssätt och vetenskaplig metodik. 1. uppl. Stockholm: Liber
Kilpatrick, J, Martin, W. G. & Schifter, D. (red.) (2003). A research companion to
Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of
Teachers of Mathematics
Kvale, S & Brinkmann, S. (2009). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund:
Studentlitteratur.
Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the
answer: Mathematical knowing and teaching. American Educational Research Journal,
Vol. 27, No. 1. (Spring, 1990), pp. 29-63.
Lampert, M, Rittenhouse, P & Crumbaugh, C (1996). Agreeing to disagree: Developing
sociable
mathematical
discourse.
[http://wwwpersonal.umich.edu/~mlampert/lampert%20pdfs/Lampert_etal_1996.pdf] 150414
Lundberg, I. (2007). Pedagogisk psykologi. P. Hwang m.fl. (Red.), Vår tids psykologi.
Lund: Natur & Kultur.
Sfard, A, Nesher, P, Streefland, L, Cobb, P & Mason, J. (1998). Learning Mathematics
through Conversations: Is It as Good as They Say? For the Learning of Mathematics,
v18 n1 p41-51.
Skolverket (2011). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm:
Skolverket Tillgänglig på Internet: http://www.skolverket.se/publikationer?id=2608
Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011.
Stockholm: Skolverket
I
Stein, M-K et al. (2008). Mathematical learning and thinking. Orchestrating Productive
Mathematical Discussions: Five Practices for Helping Teachers Move Beyond Show
and Tell. 313-340.
http://www.tandfonline.com.proxy.lnu.se/doi/full/10.1080/10986060802229675#_i5
[150401]
Säljö, R. Den lärande människan- teoretiska traditioner. Från: Lundgren, Ulf P., Säljö, R
& Liberg, C (red.) (2010). Lärande, skola, bildning: [grundbok för lärare]. 1. utg.
Stockholm: Natur & kultur
Vetenskapsrådet
(2002).
Forskningsetiska
principer
samhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet
II
inom
humanistisk-
Bilagor
Bilaga A
Intervjuguide
1. Berätta om vad kommunikation i matematikämnet innebär för dig?
2. Hur arbetar du för att eleverna ska kunna utveckla sin kommunikativa förmåga i
matematik?
3. Vilka fördelar ser du med att arbeta på det sättet?
4. Vilka svårigheter ser du med att arbeta på det sättet?
III
Bilaga B
Mail till verksamma lärare
Hej!
Jag heter Despina Patli och läser min sista termin vid Grundlärarprogrammet 4-6 vid
Linnéuniversitetet i Växjö. Just nu skriver jag mitt examensarbete i matematik med
fokus på elevers kommunikativa förmåga i matematik. Syftet med min studie är att se
vad behöriga lärare i matematik anser att kommunikativ förmåga i matematik innebär
och hur man kan arbeta med området.
Om du har möjlighet skulle jag bli glad om du ville medverka på en intervju som tar ca
30 minuter och berör matematisk kommunikation.
Intervjuerna och den information som lämnas kommer endast att användas i
utbildningssyfte och du kommer att vara anonym. Om du vill medverka träffas vi vid
din skola när det passar dig.
Tack på förhand!
Despina Patli
IV