1
KORT 1, 29.4.2014 STUDENTEXAMENS KORT 1, 29.4.2014 NÄMNDEN
MATEMATIKPROV
KORT LÄROKURS
18.3.2015
Högst tio uppgifter får lösas.
1. Nedan finns grafen för tre räta linjer. Ange linjernas ekvationer i formen y  kx  b.
Motiveringar behövs inte. 1. Nedan finns grafen för tre räta linjer. Ange linjernas ekvationer i formen y  kx  b.
Motiveringar behövs inte. Linje 1 Linje 2 Linje 3 Linje 1
Linje 2
Linje 3
y
y
y
Linje 1 Linje 2 Linje 3 x
x
2. a) Bestäm värdet av uttrycket x  4 x  2   3 x  x  1  x då x  1. b) Ge ett exempel på en andragradsekvation vars ena rot är x  1. 2. a) x
1. x  4 x  2   3 x  xx x1 5 x då Bestäm koefficienten a. c) Bestäm värdet av uttrycket Variabelvärdet x  2 uppfyller ekvationen ax 
2. 
x
b) Ge ett exempel på en andragradsekvation vars ena rot är x  1. c) 2. Bestäm koefficienten a. Variabelvärdet x  2 uppfyller ekvationen x  x  5   ax 
3. Enligt en modell beräknas den maximala pulsen vid motionsträning för kvinnor med for‐
meln 226  T och för män med formeln 220  T , där T är personens ålder i år. 3. Enligt en modell beräknas den maximala pulsen vid motionsträning för kvinnor med for‐
> a) Hur många procent högre är den maximala pulsen för en 18‐årig kvinna än den maxi‐
meln 226  T och för män med formeln 220  T , där T är personens ålder i år. mala pulsen för en man i samma ålder? a) Hur många procent högre är den maximala pulsen för en 18‐årig kvinna än den maxi‐
b) Enligt en rekommendation ska pulsen vid motionsträning vara 60−70 % av den maximala mala pulsen för en man i samma ålder? pulsen. Bestäm dessa gränser för en 30‐årig kvinna. b) Enligt en rekommendation ska pulsen vid motionsträning vara 60−70 % av den maximala pulsen. Bestäm dessa gränser för en 30‐årig kvinna. 2
4. I den rätvinkliga triangeln ABC har kateten AB längden 4,4 cm och hypotenusan AC längden 8,1 cm. a) Bestäm längden av kateten BC. b) Bestäm storleken av triangelns spetsiga vinklar med 0,1 grads noggrannhet. c) Beräkna triangelns area med 0,1 kvadratcentimeters noggrannhet. 5. Enligt en förenklad modell sjunker luftens temperatur linjärt i förhållande till höjden h till ungefär 11 kilometers höjd. Vid havsytan h  0 är medeltemperaturen 15 grader celsius och på 11 kilometers höjd är den 56 grader celsius. a) Hur många grader avkyls luften då man stiger 1,0 kilometer uppåt från höjden 5,0 kilometer? b) Bestäm uttrycket T  T  h  för luftens temperatur vid höjden h och rita grafen av uttrycket i ett  h , T  ‐koordinatsystem, då 0  h  11 km. 6. En meter långa vedbitar staplas till en vedhög som har formen av ett rätblock. Vedhögen täcks in med en presenning både ovanifrån och från två motstående sidor enligt figuren. Bestäm vedhögens bredd x och höjd h då presenningens area är 10 kvadratmeter och högens volym är så stor som möjligt. h
x
1m
3
7. På ett visst vägavsnitt införs olika fartbegränsningar på sommaren och på vintern. Med vinterfart tar det 15 minuter att tillryggalägga sträckan och med sommarfart går det 3 minuter snabbare när man håller maximal fart. Vilken är vinterfartbegränsningen om sommarfarten är 20 km/h högre än vinterfarten? 8. Antalet bakterier N (t ) i en bakteriepopulation som odlas i en näringslösning växer (t ) 1000 1, 25 t , där t är tiden i timmar. exponentiellt enligt modellen N
a) Vilken är populationens storlek efter 24 timmar? Ange svaret med tusen bakteriers noggrannhet. b) Med hur många procent växer populationen varje timme? c) Hur många timmar tar det för populationen att till storleken överskrida en miljon? 9. Kurvan y ( x  1)( x  3)( x  4) skär x‐axeln i tre punkter. En tangent dras till kurvan i den mittersta skärningspunkten. Bestäm den spetsiga vinkeln mellan denna tangent och x‐
axeln. 10.
10. Ett prov har 10 uppgifter, där man i varje uppgift ska välja det korrekta svaret av två alternativ. För ett korrekt svar får man en poäng, och för ett felaktigt svar förlorar man en poäng. En dåligt förberedd studerande väljer alla svar genom att gissa. Med vilken sannolikhet får studeranden minst 8 poäng i provet? 11.
11. En industrispion hittar en olåst dator och börjar kopiera datafiler. Datorn innehåller endast bildfiler på 10 kilobyte och textfiler på 1 kilobyte, för vilka spionen har blivit lovad 100 euro respektive 8 euro per fil. a) Bilda ett uttryck för spionens totala arvode uttryckt med hjälp av det kopierade antalet bildfiler x och textfiler y. b) Bilda de begränsningsvillkor som gäller för antalen x och y då det bara finns 1000 kilobyte utrymme kvar på spionens minnespinne och 10 minuter tid för kopierandet. Det tar 5 sekunder att kopiera en bildfil och 1 sekund att kopiera en textfil. c) Hur många bildfiler och textfiler lönar det sig för spionen att kopiera? 12.
12. Förhållandet mellan bredd och höjd för den rektangulära bildrutan på en LED‐tv är 16:9. Längden av bildrutans diagonal är 40 tum; en tum är 2,54 centimeter. a) Bestäm bildrutans bredd och höjd med en millimeters noggrannhet. b) Bestäm bildrutans area med en kvadratcentimeters noggrannhet. 4
13. Vitsorden i studentprovet i matematik fördelades i en viss skola enligt tabellen nedan. 13.
Bestäm vitsordens medelvärde och standardavvikelse om man använder siffervärdena i tabellen för vitsorden. Vitsord Siffervärde Antal 7
7
l 6
20
e 5
30
m 4
16
c 3
9
b 2
4
a 0
0
i 14.
14. För en deposition på ett placeringskonto beräknar man den årliga räntan, från vilken man drar av källskatten. Den återstående avkastningen sätts in på kontot vid årets slut. Hannele deponerade 1 000 euro på ett sparkonto i slutet av år 2010. I slutet av år 2013 fanns det 1 086,37 euro på kontot. Under denna tidsperiod ökade konsumentprisindexet från värdet 100,0 till värdet 108,5, vilket betyder att inflationen totalt var 8,5 % under tidsperioden. a) Beräkna depositionens nominella årliga räntesats under dessa tre år. b) Vilken är depositionens reella ränta i euro under dessa tre år? 15.
15. a) Tre hörn i en rektangel ligger i origo, i punkten (2,1) och i punkten (2, 4). Bestäm koordinaterna för det fjärde hörnet. b) Bestäm arean av rektangeln i deluppgift a. c) Sträckorna från origo till punkterna (1, 2,1), (1, 1,1) och (2, 0, 2) utgör tre kanter i ett rätblock. I vilken punkt ligger ändpunkten av den rymddiagonal till rätblocket som utgår från origo?