Exempel: Avstånd mellan punkt och plan.

Avstånd mellan punkt och plan
Exempel 8. Låt Ξ : 2π‘₯ βˆ’ 3𝑦 βˆ’ 𝑧 = 6 och 𝑃(1,1,0). Bestäm avståndet mellan Ξ  och 𝑃. Bestäm
även den punkt 𝑃1 i Ξ  som ligger närmast 𝑃.
Lösning.
𝑃
β€’ Bestäm den normal till Ξ  som går genom 𝑃.
𝐧
β€’ Dess skärningspunkt med Ξ  blir den sökta 𝑃1 .
𝑃1
𝑃0
β€’ Avståndet mellan Ξ  och 𝑃 är 𝑃𝑃1 .
Planets normalvektor 𝐧 = 2, βˆ’3. βˆ’1 , blir riktningsvektor,
π‘₯
1
2
𝑂
normalens ekvation blir då 𝑦 = 1 + 𝑑 βˆ’3 .
𝑧
0
βˆ’1
Bestäm skärningspunkten; 𝑃1 = 1 + 2𝑑, 1 βˆ’ 3𝑑, βˆ’π‘‘ sätts in i ekvationen 2π‘₯ βˆ’ 3𝑦 βˆ’ 𝑧 = 6
Vi får 2(1 + 2𝑑) βˆ’ 3(1 βˆ’ 3𝑑) βˆ’ (βˆ’π‘‘) = 6 ⇔ 2 + 4𝑑 βˆ’ 3 + 9𝑑 + 𝑑 = 6 1 ⇔ 14𝑑 = 7
⇔ 𝑑=
1
2
𝑃𝑃1 =
1
1
1
1
1
1
𝑃1 = 1 + 2 βˆ™ , 1 βˆ’ 3 βˆ™ , βˆ’( ) = 2, βˆ’ , βˆ’
= (4, βˆ’1, βˆ’1)
2
2
2
2
2
2
1 1
3 1
1
2, βˆ’ , βˆ’
βˆ’ 1,1,0 = 1, βˆ’ , βˆ’
= (2, βˆ’3, βˆ’1)
2 2
2 2
2
1
och 𝑃𝑃1 = 2 4 + 9 + 1 =
14
.
2