1. No category

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält Föreläsningsanteckningar
Christian Forssén, Institutionen för fundamental fysik, Chalmers,
Göteborg, Sverige
Sep 23, 2015
12. Tensorer
• Fysikaliska lagar skall inte bero på i vilket koordinatsystem de beskrivs.
• Detta kan vi åstadkomma genom att skriva dessa lagar som en likhet
mellan två objekt vilka vi vet transformerar likadant under en koordinattransformation.
• Vi kommer att kalla sådana objekt för tensorer.
• En invarians kan kopplas till en symmetri (t.ex. rotationssymmetri).
Invariansen kan kodas in genom att använda"tensorspråket".
• Kan generaliseras till större symmetrier. T.ex. Lorentzinvarians i speciell
relativitetsteori vilken involverar rum-tiden (fyra dimensioner); och mer
allmänna koordinattransformationer i allmän relativitetsteori.
Plan:
• Hur beskriva transformation mellan cartesiska koordinatsystem
• Transformationsegenskaper hos: Skalär, vektor, ... generell tensor
• Visa att diverse objekt verkligen är tensorer
• Fysikaliskt exempel: Tröghetstensorn
Koordinattransformationer
När vi byter koordinater från ett Cartesiskt högersystem, med koordinater xi ,
till ett annat (med origo i samma punkt), med koordinater x0i , relateras
x0i = Lij xj ,
(1)
där L är en ortogonal matris som uppfyller LLt = I = Lt L. Från detta följer
direkt att det(Lt L) = det(L)2 = det I = 1 vilket ger det L = ±1.
Rita 1: x0 y 0 -system som är roterat en vinkel α relativt ett xy-system.
0 x
cos α sin α
x
=
(2)
y0
− sin α cos α
y
Comment 2: Om L transformerar ett högersystem till ett högersystem
gäller plustecknet, det L = 1. Kolla exemplet ovan att Lt L = I.
I indexnotation
Lt L ij = Lt ik Lkj = Lki Lkj = δij .
(3)
Ett allmänt uttryck för determinanten av en (3 × 3)-matris är
det M = εijk M1i M2j M3k
(4)
Comment 3: Kontrollera gärna. Detta uttryck ger en summa med sex
nollskilda termer (3 positiva och 3 negativa) vilket alltså motsvarar determinanten.
Notera att vi genom att derivera Ekv. (1) kan skriva matrisen L som Lij =
Eftersom matrisen är ortogonal gäller den inversa relationen xi = Lji x0j ,
∂x0i
∂xj .
och vi har också Lji =
∂xi
∂x0j .
Skalärer och vektorer
En skalär s (= enklaste exempel på en tensor) kännetecknas av att den tar
samma värde i alla koordinatsystem, dvs. s0 = s.
Comment 4: Det är viktigt att förstå att det är transformationsregeln
som är det viktiga. Det räcker inte med att "s är ett tal".
Rita 5: En punkt P i ovanstående två koordinatsystem och illustrera dess
x0 - och x-koordinat.
Sålunda är x-koordinaten för en punkt i R3 inte en skalär, medan t.ex.
temperaturen i en punkt är en skalär.
En vektor ~v är en uppsättning tal som beter sig likadant som ortvektorns
komponenter när vi byter system, dvs.
vi0 = Lij vj
(5)
Comment 6: Det är denna transformationsregel som definierar vilka uppsättningar av tre (eller D) tal som får privilegiet att kallas vektor.
2
Tensorer
Comment 7: Nu är det rättframt att gå vidare och definiera objekt, tensorer,
som har fler än ett index. En matris kan, som vi redan sett, skrivas som en
tensor med två index, Tij . Men inget hindrar att man har ett godtyckligt antal,
säg p.
Transformationsregeln för en tensor med två index (tänk matris) är
Tij0 = Lik Ljl Tkl = Lik Tkl Lt lj ,
(6)
vilket ju motsvarar T0 = LTLt .
En tensor med p index (en tensor av rank p) skrivs Ti1 i2 ...ip . och allmänt
Ti01 ...ip = Li1 j1 . . . Lip jp Tj1 ...jp .
(7)
Poängen med detta är att man kan multiplicera samman tensorer och vara
säker på att resultatet blir en tensor.
Skalärprodukt. Är ~u · ~v en skalär? Hur beter den sig vid ett koordinatbyte?
u0i vi0 = Lij uj Lik vk = δjk uj vk = uk vk
(8)
Resultatet är alltså oberoende av koordinatsystem, dvs det är en skalär.
Produkt av tensorer. Produkten av två tensorer är också en tensor.
• cij = ai bj är också en tensor.
• ui = Mij vj är också en tensor.
Comment 8: I första fallet kan man “kontrahera” två index, såsom man bildar
skalärprodukten.
0 0
Comment 9: För det andra fallet har vi Mij
vj = Lik Ljl Mkl Ljm vm =
Lik δlm Mkl vm = Lik Mkl vl = Lik uk (där vi i första steget har använt att L är
ortogonal). Om Mij och vi är tensorer är alltså även ui det. Det allmänna
beviset går likadant (och innefattar förstås det faktum att skalärprodukten av
två vektorer är en skalär).
Exempel: Kryssprodukt. Är (~a ×~b)i = εijk aj bk en tensor? Dvs är resultatet
en vektor?
Comment 10: I linjär algebrakurserna har ni säkert visat att detta är en
vektor.
Räknereglerna ovan ger att vi bara måste visa att εijk är en tensor. Transformationsreglerna säger:
ε0ijk = Lil Ljm Lkn εlmn
3
(9)
Vi kommer att visa att ε är helt invariant under koordinattransformationer. Men
låt oss först visa att ε0ijk är antisymmetriskt. Byt plats på två index
ε0jik = Ljl Lim Lkn εlmn = Ljm Lil Lkn εmln = −Lil Ljm Lkn εlmn = −ε0ijk ,
(10)
där vi först bytte namn på två summationsindex, och sedan bytte plats på dem
och utnyttjade att εijk är antisymmetrisk.
Den bevisade antisymmetrin betyder ju också att element med två lika index
måste vara noll. T.ex. ε0iik = −ε0iik .
ε0ijk är alltså proportionell mot εijk . Visa därför en permutation, t.ex.
ijk = 123.
ε0123 = L1l L2m L3n εlmn = det L = +1,
(11)
för en högertransformation.
Så ε0ijk = εijk , Levi–Civita-tensorn är en invariant tensor. Den enda andra
0
invarianta tensorn är Kroneckers delta. Visa själv att δij
= δij .
Vektoroperatorn. Vi behöver också kunna derivera. Låt oss visa det litet
triviala påståendet att gradienten av en skalär är en vektor. Vi har (∇φ)0i =
∂φ ∂xj
∂φ
∂
0
∂x0i φ = ∂xj ∂x0i = Lij ∂xj = Lij (∇φ)j . Detta visar att ∂i är en vektoroperator,
och man kan sedan använda den för att konstruera andra derivator (divergens,
rotation osv.). Samma regler gäller för ∂i som för andra tensorer.
Tröghetstensorn
Ett annat klassiskt exempel är tröghetstensorn,
Z
Iij =
dV ρ(r2 δij − xi xj ),
(12)
V
som man räknade ut i stelkroppsdynamik. Den relaterar rörelsemängdsmomentet
till rotationsvektorn enligt Li = Iij ωj . I och med att den innehåller upprepade
kryssprodukter är det enklare att härleda den i tensorformalism.
Ett litet volymelement dV av en stel kropp har massan dm = ρdV , och om
kroppen roterar med en rotationsvektor ωi har det hastigheten vi = (~
ω × ~r)i =
εijk ωj xk . Dess rörelsemängd är dpi = dmvi = dmεijk ωj xk . Bidraget till
rörelsemängdsmomentet från volymelementet är
dLi = varepsilonijk xj dpk = dmεijk xj εklm ωl xm = dm(δil δjm − δim δjl )xj xm ωl
= dm(r2 ωi − xi xj ωj ) = dV ρ(r2 δij − xi xj )ωj (13)
och totalt blir detta
Z
Li =
dV ρ(r2 δij − xi xj )ωj = Iij ωj ,
V
4
(14)