Föreläsning 1, Matematisk statistik 7.5hp för E Sannolikhet
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Föreläsning 1, Matematisk statistik 7.5hp för E Sannolikhet Anna Lindgren 2 november 2015 Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 1/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik – slumpens matematik Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen? Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ett datamaterial? Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 2/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Slumpmässig Variation ▶ Inom population ▶ Mätosäkerhet Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 3/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Vad kan vi veta om slumpmässig variation? Inte exakt vad som ska hända, men hur ofta olika saker händer. Vad vi kan säga är hur sannolika olika händelser är. Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 4/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik ▶ Miljö ▶ ▶ ▶ Ekonomi ▶ ▶ ▶ Ozonlagret bild Våghöjd bild Aktiedata bild Försäkringar bild Signalbehandling ▶ ▶ ▶ EEG/EKG bild Hitta sprängämnen Hitta narkotika bild bild Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 5/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik (forts) ▶ Mobil kommunikation ▶ Elmarknad ▶ Försäkringar ▶ Spel/Lotterier ▶ Biologi ▶ Geologi ▶ osv Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 6/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillämpningar Praktiska detaljer Praktiska detaljer ▶ Ny kurs på 7.5hp (istället för 9hp) för E-13. Äldre årskullar som inte läst eller inte är godkända på FMS012, ska kontakta E-programmet! ▶ Kräver 12 hp inom Endim och/eller Flerdim och/eller Linalg. Vi inväntar oktobertentorna innan vi kastar ut er från kursen. ▶ 2 föreläsningar i veckan ▶ 2 räkneövningar i veckan ▶ 5 obligatoriska datorövningar (läsvecka 3–7). ▶ 1 obligatoriskt färdighetsprov deadline 23/11 kl 9.00 ▶ skriftlig tentamen 14 januari. ▶ Kurshemsida: www.maths.lth.se/matstat/kurser/fmsf20/ ▶ Föreläsare: Anna Lindgren, MH:136 Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 7/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Grundläggande sannolikhetsteori Grundläggande begrepp ▶ Utfall – resultatet av ett slumpmässigt försök. Bet. w1 , w2 , . . . ▶ Händelse – en samling av ett eller flera utfall. Bet. A, B, . . . ▶ Utfallsrum – mängden av möjliga utfall. Bet W Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 8/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel: Tärningskast Ex. Kasta en tärning. ▶ Utfallsrum W = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a, 6:a} ▶ En händelse A : ”Minst 4:a” = {4:a, 5:a, 6:a} ▶ B : ”Högst 5:a” = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} ▶ C : ”3:a” = {3:a} Ex. Kasta två tärningar. Ej uppenbart hur man skall välja utfallsrum. T.ex. ▶ W = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)}. Totalt 36 utfall. ▶ Om man bara är intresserad av summan: W = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. 11 utfall. Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 9/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Händelser Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Wenn-diag. Utfallsrummet Ω Händelsen A; A inträffar Komplementhändelsen. A∗ till A; A inträffar ej Unionhändelsen A ∪ B; A eller B eller båda inträffar Snitthändelsen A ∩ B = AB; både A och B inträffar A och B oförenliga hndlser; kan ej inträffa samtidigt Anna Lindgren — [email protected] Mängdlära Grundmängden Delmängden A Komplementet ∁A till A Unionen A ∪ B Snittet A ∩ B A och B disjunkta FMSF20 F1: Sannolikhet 10/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel (kasta en tärning rep, forts) ▶ A : ”Minst 4:a” = {4:a, 5:a, 6:a} ▶ B : ”Högst 5:a” = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} ▶ C : ”3:a” = {3:a} Några exempel på snitt och union ▶ A ∩ B = {4:a, 5:a} ▶ A∪B=W ▶ B ∩ C = C = {3:a} ▶ A ∩ C = {} = ∅. Kan inte inträffa, eftersom A och C är oförenliga. Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 11/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Sannolikhet Sannolikheten att en händelse A skall inträffa bet. P(A) En sannolikhet måste uppfylla följande, Kolmogorovs axiomsystem: ∙ 0 ≤ P(A) ≤ 1 En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 ∙ P(W ) = 1 Sannolikheten att något skall hända är 1 ∙ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Om och endast om A och B är oförenliga Härur följer även t.ex. Komplementsatsen P(A∗ ) = 1 − P(A). Om det är slh 1/100 att vinna på ett lotteri är slh 99/100 att inte vinna. Additionssatsen P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 12/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Frekvenstolkning av sannolikhet Upprepa ett slumpmässigt försök n gånger Antal ggr A inträffar → P(A), n n→∞ Ex Kasta tre tärningar 100 000 ggr och räkna ut relativa frekvensen treor i varje kast för var och en av tärningarna Relativa frekvensen av antal treor Relativ frekvens 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 1/6? 1 10 2 3 10 10 Antal tärningskast Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 4 10 5 10 13/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Om ett försök kan utfalla på m möjliga sätt som alla är lika sannolika (har vi en likformig sannolikhetsfördelning) och en händelse A inträffar vid g st av dessa gäller P(A) = g m Ex Dra ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att det är ett hjärter? Lsg Det finns m = 52 kort varav g = 13 är hjärter så P(♥) = 13/52 = 1/4 Ex Dra två. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Lsg Med lite kombinatorik blir det lite mer komplicerat (13) 78 1 Antal sätt att välja två ♥ 2 P(båda ♥) = = (52 = )= Antal sätt att välja två kort 1326 17 2 Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 14/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Betingad sannolikhet Ex. För en tärning har vi P(Etta) = 1/6, men om vi vet att utfallet är udda får vi P(Etta om udda utfall) = 1/3. Def. Den betingade sannolikheten att A skall inträffa om vi vet att B inträffat betecknas P(A ∣ B) och definieras som P(A ∣ B) = P(A ∩ B) P(B) Ur detta (och P(B ∣ A)) får vi två räkneregler för P(A ∩ B) P(A ∩ B) = P(A ∣ B) ⋅ P(B) = P(B ∣ A) ⋅ P(A) Ex (igen) Dra två kort. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 15/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Betingad risk Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 16/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Satsen om total sannolikhet Om vi har n st händelser H1 , . . . , Hn som är ▶ ▶ Parvis oförenliga, dvs Hi ∩ Hj = ∅, i ∕= j n ∪ Tillsammans täcker utfallsrummet, dvs Hi = W i=1 gäller för varje händelse A P(A) = n ∑ P(A ∣ Hi ) ⋅ P(Hi ) i=1 samt ”Konsten att vända en betingad sannolikhet” eller Bayes sats P(Hi ∣ A) = P(Hi ∩ A) P(A ∣ Hi ) ⋅ P(Hi ) = P(A) P(A) Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 17/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Oberoende händelser Om det visar sig att P(A ∣ B) = P(A), påverkas inte A av att B inträffat eller ej, de är oberoende. Detta kan med definitionen av betingad sannolikhet skrivas om som P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B). Def. Händelserna A och B är oberoende av varandra ⇐⇒ P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) Obs. Skilj mellan oberoende och oförenliga. Kan två oberoende händelser vara oförenliga? Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 18/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Exempel: Oberoende Kasta två tärningar och låt A = Första tärningen visar sexa B = Summan är sju C = Summan är åtta Vilka av händelserna A, B och C är oberoende av varandra? A B C 6 Tärning 2 5 4 3 2 1 1 2 3 Anna Lindgren — [email protected] 4 Tärning 1 5 6 FMSF20 F1: Sannolikhet 19/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera händelser Alla, ingen och någon Om vi har n st oberoende händelser A1 , . . . , An kan vi räkna ut sannolikheten att ▶ alla inträffar P(A1 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ An ) = P(A1 ) ⋅ . . . ⋅ P(An ) ▶ ingen inträffar, dvs alla inträffar inte P(A∗1 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ A∗n ) = P(A∗1 ) ⋅ . . . ⋅ P(A∗n ) = = [1 − P(A1 )] ⋅ . . . ⋅ [1 − P(An )] ▶ någon inträffar, dvs minst en, eller ”inte ingen” P(A1 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An ) = 1 − P(A∗1 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ A∗n ) = = 1 − [1 − P(A1 )] ⋅ . . . ⋅ [1 − P(An )] Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 20/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Ozon i Dobson enheter Tillbaka Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 21/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Våghöjd Tillbaka Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 22/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende OMXS30 aktieindex Tillbaka OMXS30 1400 1200 1000 800 600 400 200 1993 1995 1997 1999 2001 Anna Lindgren — [email protected] 2003 2005 2007 2009 FMSF20 F1: Sannolikhet 23/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Kostnad stormskador Tillbaka Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 24/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende EKG och R-R variation Tillbaka Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 25/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Detektion av sprängämne Tillbaka Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 26/27 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende NQR signal meta-amfetamin Tillbaka Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F1: Sannolikhet 27/27
© Copyright 2024