Elevers möjligheter till lärande av matematiska resonemang
Elevers möjligheter till lärande av matematiska resonemang Jonas Jäder Licentiatavhandling Försvaras 4 mars 2014 klockan 13.30 Opponent: Mogens Niss, professor, Roskilde universitet Institutionen för samhälls- och välfärdsstudier Linköpings universitet, S-601 74 Norrköping, Sverige Norrköping 2015 ii ”I'm not the same as I was long ago, I've learned some new things and I hope that it shows” (N. Young) “When it comes to luck you make your own” (B. Springsteen) ”Gå ut o var glad, din jävel! Gå ut och var vacker och stolt hela vintern Gå fort och le genom shoppingcentrat Du kan om du vill” (U. Lundell) “Tonight I‟ll be on that hill „cause I can‟t stop, I‟ll be on that hill with everything I‟ve got” (B. Springsteen) ”När jag kysser havet, är jag tätt intill det verkliga När jag kysser havet, blir jag uppfylld av det märkliga I att finnas till, och allt jag vill Är att leva, låta leva, livet ut” (U. Lundell) “Keep on rockin' in the free world.” (N. Young) iii Förord När jag sitter och skriver det här känns det som jag nått upploppet. Än är jag inte i mål, men mycket möda, slit, och framför allt glädje, under tre års tid har tagit mig till en plats där ett par sista stavtag kan föra mig över mållinjen. Likt ett vasalopp krävs givetvis en mängd träning och rejält stöd för att nå målet. Och likt ett vasalopp kan även den här tiden då min licentiatavhandling, och de tre studierna jobbats fram, ses som en träning. En träning för nya, framtida lopp. Jag skulle vilja passa på att tacka Hudiksvalls kommun som gett mig chansen att genomföra dessa forskarstudier. Som lärare likväl som nu i detta forskningsarbete har en av mina drivkrafter hela tiden varit att utveckla skolan och mer specifikt matematikundervisningen, för att möjliggöra ett större lärande för eleverna. I den processen är all personal på skolan oerhört väsentlig, och läraren den enskilt viktigaste faktorn. Det är också med mina kollegor i tanken jag skrivit den här kappan. För trots att de tre artiklarna är skrivna i ett forskningssammanhang med allt vad det innebär, så bottnar teorier, syften, resultat och diskussioner i den verklighet som möter oss lärare i klassrummet varje dag. Ett speciellt tack vill jag rikta till de av er som släppt in mig i era klassrum med filmkamera och anteckningsblock, och till de elever som välvilligt ställt upp och löst uppgifter och samtalat med mig. Jag har haft glädjen av fantastisk handledning, som alltid varit målfokuserad och med mitt välbefinnande i centrum. Oräkneliga är de Skypemöten vi haft där det hela tiden visats en tro på projektet och där vägen mot målet analyserats på ett konstruktivt sätt. Jag hyser den allra största respekt för min huvudhandledare, Michael Hörnquist såväl som människa som i hans yrkesroll. Ett stort tack vill jag rikta till dig Michael. Ett tack vill jag också rikta till min biträdande handledare Konrad Schönborn, tillika koordinator för forskarskolan, Font D. Konrad har i allra högsta grad bidragit till den positiva miljö som jag fått befinna mig i under tre års tid, och har med sin framåtanda och klokhet fått mig att hela tiden se nya detaljer. Font D med dess ordförande Lena Tibell i spetsen är också värda ett tack för den plattform som erbjudits mig och den inramning av hela långa loppet som har skapats. Jag har fått åka tillsammans med en fantastisk skara människor omkring mig. I klungan av människor utkristalliserade sig tidigt en person, som höll min takt, och som hela tiden drev på framåt med aldrig sinande energi. Så fort jag fått bakhalt har han stannat och hjälpt mig valla om, och dessutom bjudit på, såväl något att äta som ett leende. Jag har helt enkelt mycket att tacka Johan Sidenvall för. iv Längs vägen har jag dessutom haft glädjen att få arbeta tillsammans med ytterligare två mycket kompetenta forskar, Johan Lithner och Lovisa Sumpter. Johan och Lovisa har varit högst delaktiga i de projekt jag haft längs vägen och bidragit med så mycket visdom. Båda två har helhjärtat hoppat in i spåret bredvid mig och med sin erfarenhet, tillsammans med mig nått flera etappmål. Jag är tacksam för att ha fått lära känna er båda, och för den insyn i forskningsvärlden ni bidragit med. Vad behövs då, förutom ordentliga förberedelser, för att klara av ett Vasalopp på bästa möjliga sätt? Jo, givetvis blåbärssoppa! Och den har jag fått mig serverad av vänner och familj längs hela vägen. Ingen nämnd och ingen glömd. Men utan all den support jag fått från mina tre underbara barn, Rasmus, Love och Alvin hade loppet känts så oändligt mycket längre. De har sett till att soppan hela tiden varit varm och alltid kommit med hejarop. När jag gått i mål kan vi ägna mer tid till att valla skidor tillsammans och göra gemensamma utflykter i skogen. Den här är till er. Inte nu, men om några år är det kanske fett coolt eller möjligen swag /Jonas Jäder, Hudiksvall i snöskrud, februari 2015 v Avhandlingens studier Avhandlingen baseras på följande tre studier: 1. Reasoning requirements in school mathematics textbooks: an analysis of books from 12 countries (Inskickad för publicering, major revision requested, januari 2015) – Jonas Jäder, Johan Lithner & Johan Sidenvall Avseende den första studien har undertecknad ansvarat för detaljutformningen av analysverktyget utifrån ramverket (Lithner, 2008), analysprocessen avseende såväl kategorisering av läroboksuppgifter som analys av dessa data, urvalet av läromedel samt textbearbetning. 2. Students’ reasoning in mathematical textbook task-solving (Accepterad för publicering i International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, DOI 10.1080/0020739X.2014.992986. Tillgänglig online) – Johan Sidenvall, Johan Lithner & Jonas Jäder I studie 2 består undertecknads bidrag av ett kontinuerligt samarbete med de övriga författarna kring studiens upplägg och genomförande. Detta arbeta har stärkt det använda ramverket och innefattar delaktighet i processen att utforma analysverktyget, tolkningar av empirin och stöd i utformning av stommen till manuskriptet. 3. Students’ mathematical reasoning and beliefs in non-routine task solving (Inskickad för publicering, februari 2015) – Jonas Jäder, Johan Sidenvall & Lovisa Sumpter Den tredje och sista studien är ett samarbete där undertecknad tillsammans med JS jobbat med urval och datainsamling, samt analys av data med stöd av LS. De tre författarna har tillsammans skrivit manuskriptet. vi Innehållsförteckning Förord iii Avhandlingens studier v Sammanfattning Abstract viii ix DEL 1 - KAPPA 1 Introduktion 1 1.1 Skolans utmaningar 1 1.2 Möjligheter till lärande 4 2 Syfte och frågeställningar 6 3 Bakgrund 7 4 5 6 3.1 Matematiska resonemang 7 3.2 Ett nät av kunskap 7 3.3 Ett ramverk för analys av resonemang 14 3.4 Kunskap som en individuell konstruktion i ett socialt samspel 16 3.5 Sociomatematiska normer som en grund för möjligheterna till lärande 16 3.6 Elevers uppfattningar om matematik 22 3.7 Lärobokens betydelse 23 Metodöverväganden 27 4.1 Kategorisering av resonemang i läromedelsuppgifter 27 4.2 Kategorisering av elevresonemang 29 4.3 Att studera elevers uppfattningar 31 Om studierna 33 5.1 Sammanfattning av studie 1 33 5.2 Sammanfattning av studie 2 33 5.3 Sammanfattning av studie 3 34 Diskussion 36 6.1 Klassrumsarbetet 36 6.2 Läromedlen och läromedelsanvändningen 41 6.3 Sammanfattningsvis 44 6.4 Fortsatt forskning 45 Referenser 47 vii DEL 2 - STUDIERNA Studie 1: Reasoning requirements in school mathematics textbooks: an analysis of books from 12 countries Studie 2: Students’ reasoning in mathematical textbook task-solving Studie 3: Students’ mathematical reasoning and beliefs in non-routine task solving viii Sammanfattning En av anledningarna till varför elever har svårigheter med matematik i skolan är att utantillinlärning utgör grunden för utbildningen för många av dem. Procedurella och konceptuella kunskaper behövs för att skapa en bred matematisk kompetens. Eleverna lär sig bara det som de får en möjlighet att lära sig, vilket innebär att de möjligheterna till lärande som erbjuds eleverna i skolan måste beaktas. Ett väletablerat ramverk som gör det möjligt att analysera det resonemang som krävs för att lösa läroboksuppgifter samt det resonemang som används av eleverna vid uppgiftslösning har använts för att undersöka möjligheterna att lära sig resonera matematiskt. Genom att använda ramverket möjliggörs en mer förfinad diskussion av vilken typ av kunskap som används av eleverna. Ramverket skiljer på kreativa matematiska resonemang, där en lösning måste skapas av eleven, och imitativa resonemang som bygger på utantill-inlärning eller imitering av en tillgänglig lösningsalgoritm. Möjligheterna att lära sig beror på klassrummets normer som har förhandlats fram mellan elever och lärare. Dessa normer påverkas i sin tur av flera faktorer. I denna avhandling diskuteras läroboken, både som en av flera bilder av undervisningen och utifrån hur den används i klassrummet, samt elevernas uppfattningar om matematik. Den första studien består av en analys av uppgifterna i läromedel från tolv länder, i fem världsdelar. För den andra studien har elevers resonemang då de jobbar med uppgifter från läroboken i klassrummet analyserats. I den tredje studien används en tematisk analys för att undersöka de uppfattningar som eleverna visar upp, och koppla dessa uppfattningar till de resonemang som används. Resultaten visar att läroböckerna från tolv olika länder har en liknande andelen uppgifter som kräver att eleverna använda kreativa matematiska resonemang. Detta antyder att läroboken inte är den enda faktorn som påverkar elevernas möjligheter till lärande. I genomsnitt krävde ungefär var tionde uppgift ett mer genomgripande kreativt matematiskt resonemang. Resultaten visar även att elever i den svenska gymnasieskolan främst löser de första, lättare uppgifterna, där andelen uppgifter som kräver ett kreativt matematiskt resonemang är lägre. Eleverna använder också i stor utsträckning imitativa resonemang. Möjligheterna för elever att träna sig på kreativa matematiska resonemang verkar i våra ögon vara begränsade. Då elever guidar varandra genom uppgiftslösning verkar det som att fokus främst ligger på att komma fram till ett svar som överensstämmer med facit. Inte heller då elever får hjälp av en lärare verkar möjligheter till annat än imitativa resonemang skapas. Eleverna indikerar dessutom uppfattningar om att matematiska uppgifter i de allra flesta fall ska kunna lösas genom ett imitativt resonemang och att utantill-inlärning därför bör vara en central del av undervisningen. Lärarens roll i klassrummet är viktig för att skapa och utveckla de gemensamma klassrumsnormerna. Läraren bör bland annat lägga stor vikt vid vilka uppgifter och vilka läromedel som används i undervisningen. Även elevernas sätt att arbeta i klassrummet måste beaktas i relation till möjligheterna till lärande, och den matematiska förståelsen bör spela en större roll. ix Abstract One of the main problems with learning difficulties in mathematics is that rote-learning becomes the very foundation of mathematics for many students. Procedural as well as conceptual knowledge is needed to build a broad mathematical competence. Students learn only what they get an opportunity to learn, which means that we must consider what opportunities to learn are given to school students. For the purpose of exploring what opportunities are available to learn to reason mathematically, a well established framework is used to analyze the reasoning required by textbook tasks as well as the reasoning used by students. The framework was used to refine the discussion of what type of knowledge is used by the students. Application of the framework distinguishes between creative mathematical reasoning, where a solution has to be created by the student, and imitative reasoning which is based on rote learning or following an existing template. Opportunities to learn depend on the classroom norms that have been negotiated between students and teacher. These norms are influenced by several factors. This thesis deals with the textbook, both as one of several pictures of the education, and in terms of how it is used in the classroom, as well as students’ beliefs about mathematics. In the first study included in the thesis, mathematics textbooks used in secondary school around the world are analyzed. For the second study an analysis of students reasoning during textbook task solving in the classroom has been conducted. In the third study a thematic analysis has been used to explore students’ beliefs about mathematics and relate these beliefs to the reasoning used. Results from analyzing textbooks from twelve different countries paint a similar picture when it comes to the proportion of tasks requiring students to use creative mathematical reasoning. This indicates that the textbook is not the only factor influencing students’ opportunities to learn. On average, only every tenth task required creative mathematical reasoning to a greater extent. Furthermore, students in the Swedish upper secondary school level mainly focus on solving the easier, earlier tasks and also mainly use imitative reasoning. Opportunities for students to use creative mathematical reasoning seem limited. When students guide each other during task solving, the main focus seems to be to reach a conclusion in terms of an answer corresponding to that given in the answer-section of the book. Moreover, guidance from a teacher does not seem to lead to anything other than imitation of a procedure. Students also indicate their beliefs by expressing that most tasks should be possible to solve using imitative reasoning, and that therefore, rote learning is a central part of mathematics education. This places pressure on teachers to carefully reflect on what tasks and textbooks they use in their teaching, and also what types of classroom norms they wish to present. The manner in which students work in the classroom also needs consideration, where a greater focus should be directed toward understanding. DEL 1 - KAPPA Introduktion 1 1 Introduktion 1.1 Skolans utmaningar Utbildningsväsendet och skolan är viktiga institutioner för att de så tydligt omfattar en stor del av befolkningen och dessutom en del av befolkningen som har stor potential att forma framtiden, eller som Schmidt et al. (2001) uttrycker det: dåtiden formar våra skolor, och våra skolor formar framtiden. Skolan står ständigt inför stora utmaningar för att på bästa möjliga sätt kunna stötta elever i deras strävan efter att nå sin fulla potential. För att kunna se en helhet i utbildningen behöver densamma också brytas ned i mindre delar och analyseras i syfte att kunna svar på frågor om vad som görs och vad som behöver förändras och på vilket sätt. Ett övergripande tema för de tre studier som ingår i denna avhandling är förmågan att resonera matematiskt. Jag har utgått från en definition av matematiska resonemang (Lithner, 2008) där resonemanget kategoriseras baserat på vilken typ av kunskap som används. Medan ett imitativt resonemang baseras på memorerade algoritmer eller imitation av en lösning, kräver ett kreativt matematiskt resonemang att en lösning skapas helt eller delvis utan ett sådant stöd. För snart hundra år sedan poängterade Dewey (1929) att skolundervisningen plågas av en strävan efter snabba svar. Fortfarande kan liknande tendenser ses i matematikutbildningen. En av de avgörande anledningarna till inlärningssvårigheter avseende matematik är att utantill-inlärning är basen i matematikundervisningen för många elever (Hiebert, 2003). Lithner och Palm (2010) beskriver en elevs skolgång som, bland annat, ett ackumulerande av algoritmer som till slut blir för många för eleven att hantera. Analyser av läromedel från flera olika länder har påvisat att det finns brister i vad eleverna får möta i bokens presentationer respektive uppgifter, avseende en bred matematisk kompetens. (Fan & Zhu, 2007; Vincent & Stacey, 2008). Procedurella kunskaper är väsentliga i matematiken och är basen för mycket problemlösning, men avtar i värde om den alltför sällan knyts till ett sammanhang. Boaler (1998) förtydligar genom att dra slutsatsen att många elever som besitter utantill-kunskaper inte klarar av att överföra denna kunskap till nya situationer och att lösa, för dem nya problem. Schoenfeld (2012) beskriver en situation där det, redan tidigt i ett barns utbildning byggs upp en kultur som baseras på att lösa uppgifter så snabbt och smidigt som möjligt med hjälp av inövade algoritmer. Inom en begränsad kontext och mer kortsiktigt kan ”rules without reasons” (Skemp, 1976), grundlösa regler vara välmotiverat. Men om å andra sidan en förståelse för en större helhet finns skapas utrymme för en större flexibilitet (Skemp, 1976). Exempelvis har det visat sig mer värdefullt och effektivt att skapa en förståelse för de procedurer som används i matematiken än att lära sig utantill (Hiebert, 2003). Det är oerhört viktigt att mer inkluderas i termen lärande än bara att ”komma ihåg”. Distinktionen mellan procedurer och ett mer resonerande arbetssätt kan exemplifieras med hjälp av ett exempel tidigare presenterat av Lithner (2003). 2 Introduktion ____________________________________________________________ En elev frågar sin lärare om . Han berättar att han minns att beräkningen har något att göra med att adderas eller multiplicera exponenterna, men att han inte minns vilket av räknesätten som är det korrekta. ____________________________________________________________ Exemplet visar hur en algoritmisk syn på matematiken och ett procedurellt tillvägagångssätt kan hämma eleverna i deras utveckling. En fråga som bör ställas i relation till exemplet är, varför eleven, istället för att försöka erinra sig en specifik algoritm, inte beaktar de grundläggande egenskaperna hos potenstal. I detta fall hade det räckt att eleven förstod och beaktade att bara är ett mer smidigt sätt att representera en upprepad multiplikation med m faktorer. Med hjälp av denna förståelse och ett resonemang kring antalet faktorer i respektive kan en slutsats dras där . Ytterligare ett exempel som jag stött på i min roll som lärare är då elever använder sig av en algoritm som inte är applicerbar i det aktuella sammanhanget. ____________________________________________________________ I läroboken återfinns uppgiften att räkna ut . En elev försöker använda kalkylatorn i sin mobiltelefon för att lösa uppgiften. Tyvärr kan inte mobilen hantera negativa tal så bra, och han lyckas inte få fram något svar. Istället erinrar han sig att ”minus och minus blir plus”, och att svaret med andra ord borde bli . ____________________________________________________________ Eleven i exemplet minns en algoritm för multiplikation av negativa tal. Tyvärr har algoritmen inte något stöd av en djupare förståelse hos eleven vilket leder till att eleven använder den i fel sammanhang. Att eleven till synes verkar ha en svag taluppfattning medför dessutom att svaret accepteras. Hiebert (2003) anser det sannolikt att en elev mer troligt minns en procedur om han också förstår hur den fungerar. Dessutom ökar då sannolikheten att eleven kan applicera proceduren i nya sammanhang. Forskning har visat att ett medvetet arbete med förmågor såsom problemlösning, kommunikation, modellering och resonemang krävs för att kunna behärska matematik (Hiebert, 2003). Detta har också satt sina spår i riktlinjer och styrdokument såväl i Sverige som i andra delar av världen (Boesen et al., 2014) som numera tydligt betonar vikten av en bred matematisk kompetens och vilka förmågor som krävs för att detta ska uppnås. Att behärska matematik innebär att inneha en rad förmågor (Niss, 2003). Niss (2003) beskriver att en individ kan inneha en förmåga till viss del, och i relation till ett visst matematiskt innehåll. Det finns två aspekter av de matematiska förmågorna, den analytiska vilket innebär att en viss förståelse skapas, och en produktiv där fokus är på produkten av ett matematiskt arbete (Niss, 2003). Således har en förändrad målbild inom matematikutbildningen vuxit fram, där hänsyn tas till en helhet som inkluderar flera förmågor som tillsammans bygger upp en matematisk kompetens. De förmågor som nämns i den svenska ämnesplanen för matematik är: begreppsförståelse, procedurhantering, problemlösning, matematisk modellering, Introduktion 3 resonemangsförmåga, kommunikation och slutligen att kunna relatera matematiken till hur den används inom olika områden. De olika förmågorna är både relaterade till varandra och ibland överlappande (Niss, 2003). Skolverket skriver: Kunskap är inget entydigt begrepp. Kunskap kommer till uttryck i olika former – såsom fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet – som förutsätter och samspelar med varandra. Undervisningen får inte ensidigt betona den ena eller den andra kunskapsformen. (Skolverket, 2011a, s. 8) Citatet visar på komplexiteten i kunskapsbegreppet och på nödvändigheten av att diskutera vad matematisk kunskap är och hur den byggs upp. En del av matematikens berättigande som skolämne formuleras i kommentarsmaterialet till ämnesplanen i matematik, av Skolverket på följande sätt: Förutom att elever i skolan får en direkt tillämpning av ett matematikinnehåll som behandlas, får de också möjlighet att upptäcka matematikens egenvärde.(Skolverket, 2011b) Det vill säga, såväl att träna sig i logiskt tänkande, som att kunna applicera procedurer i verkliga problemlösningssituationer är en drivkraft i ämnet. Mål och kunskapskrav som uttrycks i olika styrdokument så som läroplaner och kurs- eller ämnesplaner blir levande i klassrummen och i skolan. Det är här som utbildningen genomförs och resultaten mäts. Den svenska skolinspektionen har uppmärksammat att lärare ofta lämnas att tillsammans med sina kollegor på skolan tolka nya styrdokument (Boesen et al., 2014). Vidare har det visat sig att en stor majoritet av skolorna inte i tillräcklig utsträckning undervisar mot målen i styrdokumenten (Boesen et al., 2014). Förmågor så som resonemang, problemlösning och kommunikation hamnar i skymundan. Lithner (2003) oroar sig för en situation som är alltför obalanserad och där få möjligheter att lära sig resonera matematiskt gör det svårare för eleverna att utveckla en förståelse. Även Schoenfeld (2012) betonar vikten av en bredare syn på vad som ska betraktas som matematik. Han inser att givetvis måste vissa regler och procedurer bemästras, men att samtidigt krävs det ett arbetssätt i klassrummen där tonvikt läggs även på att göra antaganden, utforska och på att skapa djupare förståelse för matematiken. Forskning har också visat att en undervisning som syftar till att stärka en bred matematisk kompetens, där såväl procedurer som en förståelse för dessa är möjlig (Hiebert, 2003). Detta innebär en undervisning som bereder eleverna möjligheter att jobba med förmågor såsom resonemang, problemlösning, begreppsförståelse och modellering. Hiebert och Lefevre (1986) motiverar en breddad målbild och en strävan efter en ökad förståelse för matematiken med att de nödvändiga procedurerna blir mer användbara om de kan relateras till en större helhet och på så sätt finna sin plats i flera olika kontexter och inte heller i alla lägen användas som en memorerad algoritm utan snarare med hjälp av matematiska resonemang. En större förståelse för helheten ökar också möjligheten för eleverna att använda sig av flera procedurer och begrepp i en och samma problemlösningssituation och koppla samman dessa (Hiebert & Carpenter, 1992). 4 Introduktion 1.2 Möjligheter till lärande Ett av de starkaste didaktiska forskningsresultaten kan synas självklart, men är så oerhört viktigt att det ändå bör betonas. Elever lär sig det de får en möjlighet att lära sig (Hiebert & Grouws, 2007). På samma sätt som att det behövs en cykel för att kunna lära sig cykla, behöver eleverna i våra skolor möta specifikt kursinnehåll och ges möjligheten att träna på specifika matematiska förmågor för att lära sig det som förväntas av dem. Möjligheter till lärande är inte det samma som att få undervisning eller att exponeras för, utan något mer komplext (Hiebert & Grouws, 2007). Till exempel är det svårt att påstå att en nyfödd bebis som får en cykel och lite instruktioner också har fått en möjlighet att lära sig cykla. Utifrån samma resonemang bör en elev innan han kan få en möjlighet att lära sig lösa ekvationer känna sig trygg med begrepp som till exempel variabler och likhetstecknets betydelse. Men med adekvata förkunskaper är just möjligheterna till lärande, i form av någon typ av exponering, en nödvändighet för lärande. Möjligheter till lärande kan användas som ett mått på huruvida elever haft möjligheten att träna upp en viss förmåga eller öva på ett visst matematiskt innehåll (Husen, 1967, citerad i Burstein, 1993). Detta innebär att utbildningssystemet och skolan, inklusive lärare och elever måste skapa möjligheter för lärande. Utifrån en elevs förkunskaper behöver alltså lärsituationer skapas så att möjligheter att lära sig ett specifikt ämnesinnehåll eller att träna en specifik matematisk förmåga ges. För som Hiebert (2003) säger är det inte eleverna som är problemet, de kan utvecklas mer om ökade möjligheter till lärande skapas. Möjligheterna till lärande beror på en mängd olika faktorer varav denna avhandling diskuterar några. Den första studien presenterar en undersökning där läromedel, som en väsentlig del av det som eleven möter i skolan, har analyserats utifrån vilka möjligheter till matematiska resonemang de erbjuder eleverna. Den andra studien visar på vilket sätt elever jobbar med läroboksuppgifter och vilka matematiska resonemang som faktiskt används av eleverna i klassrummet. Slutligen undersöker den tredje studien vilka uppfattningar om matematik och matematiska resonemang och problemlösning elever har och på vilket sätt dessa kan kopplas samman med elevernas agerande med avseende på matematiska resonemang. Läromedel, deras uppgifter och hur dessa används, samt elevernas egna uppfattningar är några av många faktorer som påverkar vilka reella möjligheter till lärande som skapas och kan således bidra till en bild av vad som görs i skolan idag (Rezat & Strässer, 2012). Att påverka möjligheterna till lärande kan ske på flera olika plan, såväl på systemnivå som på en mer praxisnära nivå. The International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA) har i Trends in International Mathematics and Science Study, (TIMSS) diskuterat möjligheterna till lärande med hjälp av tre begrepp i relation till läroplanen (Mullis, Martin, Ruddock, O'Sullivan & Preuschoff, 2009). Dessa är den avsedda, den genomförda samt den uppnådda läroplanen. Med den avsedda läroplanen menas det som finns skrivet i styrdokument såsom exempelvis ämnesplanen för matematik. Detta är alltså en läroplan som existerar främst på en systemnivå. Den genomförda läroplanen är det som presenteras för Introduktion 5 eleverna i skolan och innefattar till exempel lärares och läroboksförfattares kommunikation med eleverna. Mellan den avsedda och den genomförda läroplanen finns alltså en rad källor vars hantering får en stor betydelse för hur en avsedd läroplan faktiskt genomförs. En källa såsom läroboken kan i denna mening betraktas som en potentiellt genomförd läroplan (Schmidt et al., 2001). Trots att läroboken används på olika sätt i olika miljöer och av olika lärare och elever så syns en tydlig och stark influens från läroboken i den genomförda läroplanen (Rezat och Strässer, 2014). I såväl den avsedda som den genomförda läroplanen kan möjligheterna till lärande mätas som antingen närvarande eller frånvarande eller utifrån den betoning som ges det specifika lärandet (Floden, 2002). Slutligen finns en uppnådd läroplan som är det som faktiskt tas emot av varje enskild elev (Schmidt et al., 2001). Tydliga distinktioner kan således göras mellan vad som avses med, vad som genomförs av och vad som uppnås av en läroplan. För att komma så nära det verkliga lärandet som möjligt blir det intressant att studera hur en läroplan genomförs snarare än hur den är skriven (Floden, 2002). Det är inom strukturen för skolans lektioner som möjligheter till lärande skapas men även begränsas (Hiebert & Carpenter, 1992). Lärmiljön påverkas av ett flertal faktorer. Att lärare och elever tillsammans bygger upp denna miljö är både en logisk konsekvens av och en orsak till hur matematiklektionerna i skolan ser ut (Lampert, 1990). För att ytterligare nyansera elevers möjligheter till lärande har jag alltså valt att analysera några av de faktorer som påverkar den miljö vilken lärandet sker. Här, i den introducerande delen av avhandlingen, kappan, är mitt främsta syfte att lyfta fram på vilka gemensamma grunder de tre studierna är gjorda. För att möjliggöra en diskussion kring möjligheterna till lärande krävs en bild av vad matematisk kunskap består av och även hur denna kunskap byggs upp. Som en del av matematisk kunskap finns förmågan till matematiska resonemang vilket är huvudfokus i avhandlingens tre studier. Därför fördjupas diskussionen kring kunskap utifrån just matematiska resonemang. Detta leder diskussionen vidare till vilken lärmiljö som skapas i skolor och klassrum. Diskussionen kring lärmiljön har två utgångspunkter, nämligen vilken påverkan läromedel respektive elevers uppfattningar har på miljön som skapas och på lärandet. Därefter beskriver jag på vilka grunder de olika metodologiska besluten tagits och sammanfattar de tre studierna var för sig. Studierna tar avstamp i tidigare forskningsresultat som diskuterar vad som är centralt för en god matematikutbildning. Utifrån vad som behövs och den nulägesbeskrivning som de tre studierna tillsammans med andra studier bidrar med kan en diskussion kring tänkbara förändringar i skolan och dess struktur initieras. I kappan önskar jag främst att ha den svenska skolan i sikte och skriver därför också på svenska. Data till avhandlingens tre studier har också samlat från den svenska gymnasieskolan. Utöver detta består dessutom den första studien av en analys av matematikläromedel från ytterligare elva länder. 6 Syfte och frågeställningar 2 Syfte och frågeställningar Det övergripande syftet med studierna som ingår i denna avhandling är att skapa en större förståelse för vad som sker i skolan idag med avseende på matematiska resonemang, och vilka möjligheter till att lära sig att resonera matematiskt eleverna får. Detta sker genom att undersöka flera aspekter som potentiellt påverkar elevers möjlighet till lärande. Elevers läromedel används som en indikator på möjligheterna till lärande och analyseras både utifrån vilka krav uppgifterna ställer på eleverna och utifrån hur eleverna använder läroboken på lektionstid. Då sättet som elever agerar på i problemlösningssituationer visat sig vara länkat till deras uppfattningar om ämnet undersöks även elevers uppfattningar om matematik i relation till de matematiska resonemang som används för att ytterligare vidga bilden av vilka möjligheter till att lära sig att resonera matematiskt som eleverna får. Mer specifikt är frågeställningarna i de tre studierna enligt nedan. För de mer tekniska forskningsfrågorna hänvisas till respektive studie. Studie 1: Reasoning requirements in school mathematics textbooks: an analysis of books from 12 countries. I vilken utsträckning räcker det med imitativa resonemang för att lösa uppgifterna i matematikläromedel från 12 olika länder, och vilka möjligheter till lärande med avseende på olika typer av resonemang erbjuder böckerna utifrån bland annat hur läroboksförfattarna väljer att strukturera uppgifterna i grupper med olika beteckningar. Studie 2: Students’ reasoning in mathematical textbook task-solving. På vilket sätt angriper elever olika typer av läroboksuppgifter, med avseende på olika typer av resonemang, och i vilken utsträckning lyckas de med sina lösningar? Studie 3: Students’ mathematical reasoning and beliefs in non-routine task solving. Vilka uppfattningar om matematik uppvisar eleverna i relation till det resonemang som används då de löser icke-rutinuppgifter? Bakgrund 7 3 Bakgrund För att kunna genomföra studierna och skapa en förståelse för vad matematiska resonemang kan innebära för matematikundervisningen vill jag nu presentera en bild av vad matematisk kunskap är och hur den kan byggas upp. Vidare önskar jag placera denna kunskapsutveckling i ett större socialt sammanhang där den rådande klassrumskulturen ligger till grund för en elevs möjligheter till lärande. Lärmiljön påverkas av en mängd faktorer, varav läroboken är en. Läroboken diskuteras utifrån såväl dess betydelse i undervisningen, som sin utformning och hur den används i klassrummet. 3.1 Matematiska resonemang Ball och Bass (2003) beskriver det som att en diskussion om matematisk förståelse blir meningslös utan en tonvikt på resonemang. De beskriver matematiska resonemang som såväl ett mål som ett medel för att nå denna förståelse. Ett matematiskt resonemang kan användas för att förklara eller bevisa en kunskap. Men matematiska resonemang kan även användas för att utforska ny matematik och skapa förståelse för nya begrepp eller procedurer och bygga ny kunskap. För att skapa förståelse för någonting och för att även kunna använda detta i olika kontexter krävs resonemang. Genom att se detta i ett socialt sammanhang definierar Bauersfeld (1980) resonemang som förmågan att motivera val och slutsatser genom argumentation som baseras på logik och matematisk kunskap. I linje med Bauersfeld definieras resonemangsförmågan av Skolverket (2011b) på följande sätt: Resonemangsförmågan innebär att kunna föra matematiska resonemang som involverar matematikens begrepp, metoder och utgör lösningar på problem och modelleringssituationer. Att föra ett resonemang innefattar även att själv och tillsammans med andra till exempel testa, föreslå, förutsäga, gissa, ifrågasätta, förklara, finna mönster, generalisera, argumentera. Det innefattar även att kunna formulera och allmänt undersöka hypoteser samt genomföra bevis i tal och skrift. Detta inkluderar att uppmärksamma betydelsen av och kunna redogöra för de bärande idéerna i ett matematiskt bevis och inse skillnader mellan gissningar och välgrundade påståenden. Att resonera innebär alltså att flera andra förmågor införlivas i en process för att kunna dra önskade slutsatser. Jag har för syftet med dessa tre studier valt att använda en definition av resonemang som enligt Lithner (2008) är utfallet av den tankebana som antagits för att formulera påståenden och dra slutsatser. Definitionen gör det möjligt att kategorisera resonemang utifrån vilken typ av kunskap som används. Som en bakgrund till definitionen av matematiskt resonemang blir det därför relevant med en diskussion kring matematisk kunskap. I följande avsnitt presenteras en modell för hur matematisk kunskap kan betraktas och för hur denna kunskap byggs. Kunskapsmodellen fungerar också som bas för att introducera det ramverk för kategorisering av matematiska resonemang (Lithner, 2008) som använts i avhandlingens samtliga studier. 3.2 Ett nät av kunskap Resonemangsförmågan beskrivs av skolverket (2012) som vilandes på en konceptuell grund och dessutom som ett verktyg för att utveckla förståelsen för det matematiska innehållet och 8 Bakgrund dess relation till andra områden. Vad som kan avses med konceptuell kunskap fångas av den metafor som Hiebert och Lefevre (1986) presenterar och benämner ett nät av kunskap (se figur 1 för exempel). Nätet är rikt på sammankopplande relationer och fakta. I noderna finns till exempel grundförståelsen för matematiska objekt. När en större förståelse skapas framträder hur dessa matematiska objekt relaterar till varandra, och ett nät formas och växer sig starkare. Ett nytt objekt kan införlivas i nätet för att vidga detsamma, likväl som att två mindre nät kan sammanfogas till ett större med hjälp av en sammankopplande relation. När så fler relationer skapas mellan de bägge nätdelarna växer sig det stora nätet starkare. En konceptuell kunskap kan med andra ord inte bestå av en enskild faktauppgift, utan är snarare ett förhållande mellan faktauppgiften och annan information. ”Roten ur…” pq-formeln Andragradsekvationer Variabler Konstanter Ekvationer Koordinatsystem Likhetstecken Grafer Figur 1. Exempel på ett nät av kunskap, med kopplingar som bygger upp en konceptuell kunskap. Procedurell kunskap å andra sidan beskrivs som bestående av det formella matematiska språket och algoritmer (Hiebert & Lefevres, 1986). Detta inkluderar till exempel en medvetenhet om de matematiska symbolerna och om hur man hanterar dem, samt regler, procedurer och algoritmer som kan användas för att lösa matematiska uppgifter (Hiebert & Lefevres, 1986). Distinktionen mellan de två typerna av kunskap kan exemplifieras genom att betrakta ett barn som blir ombedd att tala om hur många leksaker det ligger på golvet. Hon inleder räknandet; 1, 2, 3… och slår slutligen fast att det ligger sju leksaker på golvet. Uppräkningen kan ses som en procedur bestående av att uttrycka tal i en förutbestämd ordning. I och med att uppräkningen slutar på sju drar barnet slutsatsen att svaret på frågan är just sju leksaker. Men när samma fråga ställs en gång till visar det sig att den procedurella kunskapen inte är länkad till den konceptuella, i form storhet eller antal, då barnet snarare än att direkt svara sju, återigen börjar räkna för att kunna besvara frågan. En procedurell kunskap kan givetvis även den vara svagare eller starkare utvecklad. I följande exempel visas på en situation där denna skillnad synliggörs. Bakgrund 9 ____________________________________________________________ En elev som tidigare i kursen visat procedurella kunskaper löser ekvationen genom algoritmen som går ut på att ”flytta” termer, koefficienter och delar av rationella uttryck från ena ledet till det andra. En metod som innebär att exempelvis en positiv konstantterm kan elimineras från ena ledet genom en subtraktion som utförs i bägge leden för att behålla likheten. Detta tillvägagångssätt hanteras dock inte sälla per automatik som att ”flytta” termen med omvänt tecken till andra ledet. Dock använder eleven i detta fall algoritmen på ett felaktigt sätt då han inleder arbetet genom att ”flytta” koefficienten (3:an) först, på ett felaktigt sätt, utan att ta hänsyn till konstanttermen 6. I och med att metoden baseras på att just flytta innebär det att eleven delar 15 med 3, och får vilket sedan leder till svaret . Eleven hade med en tryggare procedurell kunskap kunnat börja med att flytta 6:an och får efter förenkling. Nästa steg för eleven blir då att flytta även koefficienten 3 och på så sätt slutligen få svaret . ____________________________________________________________ I detta fall är det dessutom uppenbart att eleven hade varit hjälpt av en större konceptuell förståelse där exempelvis algoritmen för ekvationslösning var kopplad till en förståelse för likhetstecknet, och till metoden giltighet. Förståelsen kan enligt Gravemeijer och van Galen (2003) skapas genom att eleverna själva, utifrån flera problemsituationer får möjligheten att jämföra lösningsmetoder och generalisera. Ett problem med den procedurella kunskapen då den isoleras är således att en större mängd information måste memoreras. Inte heller blir det självklart att bygga upp matematiska modeller för att lösa problem om inte procedurerna kan kopplas till en större helhet och på så sätt också användas i olika situationer. Ett exempel på detta är en elev som jobbar med en uppgift där kostnaden för att gå på två olika gym, A och B, jämförs. Uppgiften består i att undersöka hur många gymbesök det krävs för att gym A ska vara fördelaktigt att gå på. ____________________________________________________________ Det ena gymmet, gym A har en årsavgift på 1500 kr och därefter betalar man 30 kr/besök. På det andra gymmet, gym B kostar ett besök 75 kr. Eleven, som enbart lärt sig algoritmen för att lösa ekvationer och en definition för variabel får svårt att lösa uppgiften då det krävs att en matematisk modell skapas, där exempelvis likställs med , eller där de bägge ekvationerna representeras som grafer. Han frågar läraren om hjälp som också visar en möjlig väg framåt genom att skriva ner de bägge ekvationerna åt eleven. Återigen fastnar dock eleven. Denna gång på grund av en bristande förståelse för att kostnaden för gym A och B kan likställas genom att jämföra respektive uttryck med variabeln x. Läraren kommer återigen till eleven och visar att kan likställas med och att då en ekvation som kan lösas för x skapas. Tyvärr har eleven inte tidigare stött på ekvationer med x i bägge leden och måste ännu en gång fråga läraren om hjälp, som nu förklarar för eleven att kan ”flyttas till andra sidan” precis som konstanttermer. Då har eleven efter förenkling ekvationen framför sig, som han löser med hjälp av sedan tidigare bekant algoritm. Han svarar på uppgiften, noterar att facit har avrundat felaktigt till 34, och går vidare. ____________________________________________________________ 10 Bakgrund I exemplet visas en situation då den algoritmiska kunskapen återigen inte räcker till för att lösa ett matematiskt problem. I detta fall orsakar bristen både att en modell inte kan skapas, men också att proceduren utan stöd från en större helhetsförståelse inte stöttar en delvis ny problemformulering. Genom att inte heller underbygga sitt svar med en koppling till uppgiftens kontext, indikeras ytterligare att eleven inte naturligt kopplar samman sin algoritmiska kunskap med en större förståelse för en helhet. Att istället svara att vid 33 besök eller färre på gymmet lönar det sig att gå på gym B, men då antalet överstiger 33/år så är det mer ekonomiskt att gå på gym A, visar att mer än en procedur har använts för att lösa problemet. I exemplet visas också den betydelse en lärare kan ha för en elevs lärande. Sättet på vilket lärare handleder elever återkommer jag till i diskussionen. Skemp (1976) beskriver två typer av förståelse som särskiljs genom att man antingen vet hur något genomförs, eller vet såväl hur som varför någonting genomförs. Skemp (1976) åskådliggör skillnaden mellan de två olika typer med hjälp av en metafor baserad på två personer som flyttar till en ny stad. De bägge personerna bekantar sig på varsitt sätt med stadens omgivningar. Jag beskriver i det följande en metafor fritt efter Skemp (1976). Låt oss börja med att betrakta person 1 som lär sig vägen från sin nya bostad till sitt jobb, och från bostaden till affären och till motionsspåret. Han lägger på minnet höger respektive vänstersvängarna och i vilken ordning dessa genomförs. När detta väl är gjort nöjer han sig. Han har nu memorerat tre stycken färdvägar. Person 2 lär sig även han vägen från bostaden till jobbet, till affären och till motionsspåret. Relativt omgående blir dock personen intresserad av att även kunna gå via affären hem från jobbet någon dag. Under sina initiala promenader reflekterar han över platsernas inbördes läge i relation till varandra. Person 2 börjar skapa en slags mental karta över staden där även en potentiell väg från jobbet till affären finns representerad, trots att han egentligen aldrig ännu gått den vägen. På detta sätt lyckas person 2 utforska även andra delar av staden och stärker bilden av den mentala kartan han skissat. Med tiden kopplas allt fler punkter i staden samman vilket möjliggör att han till exempel kan ta en löprunda innan jobbet en morgon utan att behöva åka hem emellan, eller ta en annan väg till jobbet dagen då ett vägarbete begränsar framkomligheten. Han kan således konstruera ett nästan oändligt antal resvägar inom staden. Person 1 som inte skapat en mental karta över staden tvingas dagen då ett vägarbete hindrar hans väg till jobbet ringa en arbetskamrat för att få en alternativ vägbeskrivning. Då person 2 ställs inför samma problem lyckas han tack vare sin mentala karta själv konstruera en alternativ resväg. Att fråga om hjälp är givetvis i sig inte att förakta, men den flexibilitet som en mental karta erbjuder och det faktum att faktiskt få eller inga vägbeskrivningar då heller behöver memoreras talar för att den mentala kartan kan underlätta. Det person 1 bär med sig kan jämföras med den information man kan få ut om man söker på vägbeskrivningen mellan två städer i Google Maps. Person 1 har i detta fall ett flertal sådana vägbeskrivningar med hänvisningar till höger- och vänstersvängar och avståndsangivelser. Person 2 å andra sidan bär istället för dessa vägbeskrivningar med sig den karta man också kan ta fram på Google Maps och som innehåller information om platsers inbördes relation till varandra. Skemp (1976) skiljer på den undervisning som syftar till att Bakgrund 11 skapa en mental karta och den som istället ger en detaljerad vägbeskrivning. Parallellt till Skemps (1976) metafor beskriver jag nedan två exempel på hur jag själv som gymnasielärare i matematik valt att presentera begreppet andragradsekvationer för mina elever. Dessa två exempel illustrerar hur synen på kunskap hos mig som lärare också influerar de möjligheter till lärande av olika typer av kunskap som eleven får. I den första undervisningssituationen står den algoritmiska kunskapen i centrum medan den kunskap som relaterar begrepp och procedurer till varandra för en djupare förståelse får större utrymme i den andra undervisningssituationen. ____________________________________________________________ Ett sätt att introducera begreppet andragradsekvationer som jag vid flera tillfällen använt mig av är att tillsammans med eleverna lösa ett antal typekvationer på tavlan och bygga upp en bulk av mallar för eleverna att förhålla sig till då de senare går vidare till att lösa läroboksuppgifter. Inkluderat i en sådan presentation finns ofta också ett tillämpat problem av typen där en till exempel kulstöts längd ska beräknas, där kulbanan beskrivs med hjälp av en andragradsfunktion. Jag har även inlett en diskussion kring andragradsekvationer genom att först diskutera likheter och samband i allmänhet och också kopplat dessa diskussioner till grafiska representationer. Här har också funnits möjligheter att introducera parabler som beskriver exempelvis kaströrelser. Utifrån denna bas har jag sedan fortsatt diskussionen genom att introducera ett exempel på en kaströrelse i form av exempelvis en handbolls bana, . I detta skede får eleverna i uppgift att undersöka hur långt från mål man bör stå för att pricka ribban med en handboll. Många elever i klasserna brukar då försöka skissa bollbanan i ett koordinatsystem och därifrån dra sina slutsatser. Några jobbar mer algebraiskt och ställer upp en ekvation där bollbanan likställs med ribbans höjd över marken 2 meter. Eleverna finner snart ett behov av en metod att hantera den andragradsekvation som skapats. I detta skede brukar jag finna det lämpligt att visa eleverna den så kallade pq-formeln. För att knyta ihop diskussionen finns ett behov av att få ett antal punkter tydliggjorda för eleverna. En av dessa är att det är möjligt att finna två svar på den ställda frågan. I sammanhanget brukar jag då försöka lyfta fram exempel på såväl grafiska som algebraiska lösningsmetoder som visar på detta. En ytterligare punkt som jag i en sådan undervisningssituation försöker förmedla är det gränssnitt som finns mellan det matematiska och den specifika kontexten som handbollens bana och ribban utgör. Vi samtalar kring vikten i att förflytta sig mellan den matematiska modellen och verkligheten och resonerar kring hur denna förflyttning kan ske. I och med detta upplägg har också alla elever fått se såväl en algebraisk metod, pqformeln, som en grafisk metod för att lösa problemet med. ____________________________________________________________ Eleverna i det första exemplet kommer sannolikt bli goda ekvationslösare i de flesta av de av skolan presenterade uppgifterna. Det är däremot mer osäkert om det också stöttar en djupare förståelse för när detta kan tänkas vara användbart och modelleringar med hjälp av ekvationer i olika sammanhang. I den andra undervisningssituationen används det som Sfard (1991) beskriver som ”matematikens dubbla natur” i och med att begreppet ekvation får en mening med hjälp av procedurer för att lösa andragradsekvationer, samtidigt som begreppet också kopplas till andra begrepp och får en innebörd på den större matematiska kartan. Eleverna 12 Bakgrund engageras i en problemlösande aktivitet och precis som Hiebert et al., (1996) uttrycker det så är det slående här inte hur eleverna löser ett extremt svårt problem, eller att de visar på enastående förmågor, utan snarare att eleverna engagerades i sann problemlösning i något som annars riskerar att vara en rutinaktivitet. Hiebert och Carpenter (1992) betonar att undervisningen måste sträva efter att eleverna ska bygga relationer mellan matematiska begrepp och att begrepp och procedurer inte ska hanteras som enskilda bitar information utan införlivas i den mentala kartan, kunskapsnätet som eleverna bygger. Såväl procedurell som konceptuell kunskap krävs för en god matematisk kompetens (Hiebert, 2003). Kopplingarna mellan exempelvis två begrepp baseras på likheter och skillnader (Hiebert & Carpenter, 1992). Genom att skapa en större förståelse för procedurerna kan också antalet procedurer minskas. Till exempel blir det inte nödvändigt att minnas formlerna för hur arean av varje enskild figur beräknas om en djupare förståelse för areabegreppet finns. Att en rektangel har arean basen (b)∙höjden (h) blir uppenbart, liksom att då formeln för triangelns area är b∙h/2. Även parallelltrapetsens och parallellogrammets area följer då naturligt. Att genom modeller försöka att beskriva kunskap och en lärandeprocess innebär naturligtvis att generalisera och att göra förenklingar. Syftet med att utifrån beskrivningen av olika typer av kunskap bygga upp en modell för samspelet mellan konceptuell och procedurell kunskap är att tydliggöra väsentliga aspekter av lärprocessen. Kunskapsnätet vidgas på så sätt med införlivandet av nya processer och nya matematiska objekt som kopplas till det existerande nätet. Hiebert och Carpenter (1992) definierar förståelse som att ett matematiskt begrepp eller procedur har införlivats i ett större nätverk med andra begrepp och procedurer. Djupet av förståelse kan beskrivas med antalet kopplingar till andra begrepp och procedurer, och kopplingarnas styrka. I den beskrivna modellen tas en tydlig hänsyn till den förförståelse som finns, och vilken kunskap som kan användas som bas i kunskapsutvecklingen. En kunskap som sedan tidigare införlivats i kunskapsnätet bidrar på ett annat sätt än en isolerad förförståelse för exempelvis en viss, enskild procedur (Hiebert & Carpenter, 1992). Utvecklad kunskap kan karakteriseras som en förändring i nätet. Antingen förtätas nätets utseende utifrån de nya kopplingar som tillkommer, eller så vidgas det då nya begrepp, procedurer kopplas till det existerande nätet. Dessutom kan två mindre nät kopplas samman i en eller flera punkter för att skapa ett nytt, större nät. Nätet är i ständig förändring. Ibland kan en förändring baseras på en förvirring, där nätet för en stund får en struktur som inte i alla delar är logiskt uppbyggt. Figur 2. En paradoxal illusion med lokal logik, Penrose trappa. Bakgrund 13 Man skulle kunna jämföra ett sådant förvirrat nät med en paradoxal illusion som till exempel Penrose trappa (se figur 2) där logiken finns lokalt men inte i ett större sammanhang, men där den mer omfattande logiken ändå sätts på prov. Förhoppningsvis leder undervisningen till att ett sådant kunskapsnät istället omstruktureras. Innan ny kunskap införlivas i tidigare befäst kunskap kan den skapa ett eget delnät där ett fåtal procedurer och begrepp ryms, som sedan i sin helhet knyts till det större nätet. Förändringar i ett kunskapsnät kan illustreras med nedanstående exempel där bråkräkning introduceras för en elev. ____________________________________________________________ En elev har en förförståelse för bland annat de hela talen och även för begreppet division och även hur division av heltal kan utföra, det vill säga i elevens kunskapsnät finns det kopplingar mellan heltal och begreppet division samt en algoritm för division. Att urskilja hur starka dessa kopplingar är och vad de är byggda av krävs en hel del efterforskning för att utröna. På en matematiklektion presenteras eleven för bråkbegreppet och får ett stöd i att införliva detta i sitt kunskapsnät genom att koppla det till såväl de hela talen som till division. Inledningsvis ser eleven bråktalen som två objekt, täljare och nämnare som delas med varandra, men med tiden utvecklas en förståelse för hur det rationella talet som sådant också är ett objekt i sin egen rätt, och kan införlivas i kunskapsnätet även med kopplingar till begrepp som procent, och tiondelar, hundradelar och tal i decimalform. Undervisningen går vidare till att addera bråk med gemensam respektive olika nämnare. Återigen relateras dessa nya idéer till det redan befintliga kunskapsnätet, och bland annat till begreppet addition och algoritmer för additionsberäkningar. När eleven sätter sig för att lösa en läroboksuppgift där två bråktal ska adderas stöter han dock på problem. Uppgiften är att beräkna , och eleven använder då delar av de kopplingar han byggt upp för att komma fram till ett korrekt svar. Han adderar täljarna och nämnarna var för sig och kommer fram till , jämför det med facit och inser att hans svar är felaktigt. Eleven har i sitt försök att koppla det som undervisningen tar upp till sitt eget kunskapsnät inte helt lyckas skapa tillräckligt med kopplingar utan förlitar sig på någon enstaka koppling mellan heltalen har ser som delar av bråktalen och den förståelse för addition han sedan tidigare har, vilket i detta fall inte är erforderligt. Han provar då att istället skriva om respektive bråk i decimalform och adderar sedan dessa med resultatet och får fram resultatet 0,91666… Återigen jämför han sitt svar med facit och ser att de inte stämmer överens. Denna gång har han använt andra kopplingar i sitt nät och detta på ett välgrundat sätt. Kopplingen mellan tal skrivna i bråkform och tal skrivna i decimalform verkar inte tillräckligt utvecklad för att han ska se sambandet mellan sitt svar och , som facit anger som rätt svar. Ytterligare jämförelser mellan de två representationsformerna verkar krävas. ____________________________________________________________ För att stötta eleven i en strävan efter ett större och stabilare kunskapsnät krävs det att han får en undervisning som beaktar hans förkunskaper och hjälper till att skapa starka kopplingar mellan dessa och de nya begrepp som det undervisas om. För att eleverna ska beredas möjligheter till konceptuell kunskap krävs utmaningar. En utmaning bör vara möjlig för eleven att klara av men ändå befinna sig på den övre delen av den proximala utvecklingszonen (Vygotsky, 1978). Den proximala utvecklingszonen beskriver vad en elev 14 Bakgrund kan förväntas lära sig utifrån sina förkunskaper och förutsättningar för stunden. Det innebär att utmaningen som skapas består av något som till viss del är nytt för eleven och som stimulerar upptäckande. Att eleverna själva upptäcker betyder också att de knyter an till sina egna förkunskaper (Hiebert & Grouws, 2007). Möjligheter till lärande med fokus på en bred matematisk kompetens behöver således vara elevcentrerade och dessutom innehålla utmaningar där mer än utantill-kunskaper används (Hiebert & Grouws, 2007). Detta medför ett behov av en balanserad matematik utbildning där möjligheter ges till elever att jobba med procedurer såväl som resonemang baserade på en konceptuell förståelse. 3.3 Ett ramverk för analys av resonemang Med förståelsen för vilka typer av kunskap som krävs för att skapa en bred matematisk kompetens har jag valt att använda mig av ett ramverk (Lithner, 2008) för kategorisering av olika typer av resonemang som tar hänsyn till om eleven får möjlighet att träna på mer än en procedurell förmåga. Resonemang definieras här som utfallet av den tankebana som antagits för att formulera påståenden och dra slutsatser (Lithner, 2008). I resonemang innefattas i och med definitionen även resonemang som inte är baserade på formell logik och bevisföring. Resonemangen kan till och med vara felaktiga, eller baseras på imitation snarare än djupare förståelse. Det centrala är dock att även om de är felaktiga stöttas de av någon form av argument som betraktas som rimliga och meningsfulla av den resonerande. Ramverket möjliggör en mer nyanserad diskussion av den typ av kunskap som eleverna använder och de möjligheter till lärande som detta innebär. De empiriska studier som ligger till grund för ramverket visar på två huvudkategorier av resonemang. Dessa två benämns kreativa matematiska resonemang och imitativa resonemang. Det finns tre krav på ett resonemang för att kunna kategoriseras som kreativt matematiskt. Ett för uppgiftslösaren nytt resonemang ska föras, strategivalet ska vara medvetet samt motiveras med argument som bygger på relevanta matematiska egenskaper. Viktigt att notera är att ett kreativt resonemang inte nödvändigtvis måste uppfinna något helt nytt, utan snarare att en ibland till synes anspråkslös lösningsmetod har skapats som är ny för uppgiftslösaren (Jonsson, Nordqvist, Lithner & Liljekvist, 2014). Kreativa matematiska resonemang kan antingen omfatta en större, central, global del av en uppgiftslösning eller enbart en mindre central, lokal del av uppgiftslösningen. Imitativa resonemang å andra sidan passar ofta väl vid arbete med rutinuppgifter, då genomförandet enbart består av att imitera en återkallad eller på annat sätt lättillgänglig algoritm, eller att från minnet producera ett svar på en fråga. I detta fall är det ledtrådar i form av till exempel nyckelord eller mer ytlig karakteristik i uppgiften som vägleder eleven i strategivalet. De imitativa resonemangen kan ytterligare preciseras i underkategorier utifrån på vilket sätt som algoritmen tillgängliggörs (se tabell 1 nedan). En algoritm definieras här som en instruktion med ett begränsat antal steg som möjliggör att ett svar erhålls för en viss typ av uppgifter (Brousseau, 1997). En algoritm kan alltid specificeras i förväg. Ett visst steg i kedjan av instruktioner beror inte på någon oförutsedd Bakgrund 15 händelse tidigare i sekvensen. I denna definition ingår inte bara beräkningar utan även alla förutbestämda procedurer som kan krävas för att kunna dra en slutsats. Detta innebär att algoritmen hanterar konceptuella svårigheter i en uppgiftslösning (Lithner, 2008). I tabellen 1 nedan presenteras de centrala delarna av kategoriseringen av resonemang utifrån ramverket (Lithner, 2008). Tabell 1. Sammanfattning av olika typer av resonemang enligt Lithners (2008) ramverk. Kreativt matematiskt resonemang Imitativt resonemang Algoritmiskt resonemang Globalt Lokalt Bekant Algoritm Kompisvägledning Lärarvägledning Textvägledning Memorerat resonemang Om inte ett resonemang i sin helhet kan tas ur minnet, kan det ändå imiteras. Ett sätt kan vara att utifrån ett urval av algoritmer välja den man tror passar bäst för situationen, baserat på ytlig karakteristik eller ledtrådar i uppgiften. Ett annat sätt kan vara att få vägledning av en kompis, en lärare eller en lärobok eller annan textkälla. I dessa fall utgör grunden för strategivalet att algoritmen finns tillgänglig. Och implementeringen består således av att imitera någon av dessa källor. Enligt ramverket är de olika typerna av resonemang disjunkta kategorier. I verkligheten kan elever snarare visa upp typer av resonemang längs ett kontinuum, från att vara helt baserade på ett det som definierar ett kreativt resonemang till att vara helt imitativt. Ramverket har visat sig användbart vid analys av såväl läromedel och prov som lärares arbete och elever i olika sammanhang (Bergqvist & Lithner, 2012; Lithner, 2004; Palm, Boesen & Lithner, 2011; Sumpter, 2013). Det jag använt ramverket till i de tre studierna i denna avhandling är att undersöka läromedel ämnade för gymnasiet och jämföra resultaten med läromedel från elva andra länder, att analysera svenska elevers resonemang då de arbetar med läroboksuppgifter, samt att se hur elevers resonemang kan kopplas till elevers uppfattningar om matematik och matematiska resonemang då de arbetar med uppgifter som kräver ett kreativt matematiskt resonemang. Ramverket förtydligar att en elevs tankebanor styrs och begränsas av elevens förståelse och formas i en sociokulturell miljö, som beskrivs i figur 3. I miljön inkluderas allt som berör eleven eller som berörs av eleven, i en lärsituation (Brousseau, 1997). Huvudsakligen behandlas här distinktionen och relationen mellan utantill-inlärning och en djupare förståelse. Miljö Elevens förståelse Tankebanor Figur 3. Resonemangets ursprung. (Fritt efter Lithner, 2008). Resonemangssekvens 16 Bakgrund Ett matematiskt resonemang ska alltså ses i ljuset av en speciell miljö, där elever och även lärare anpassar sig efter de förutsättningar som miljön ger (Brousseau, 1997). Denna lärmiljö utvecklas som ett slags didaktiskt kontrakt som fungerar som en implicit överenskommelse mellan lärare och elever i ett klassrum. I det följande avsnittet önskar jag titta närmare på lärmiljön med avseende på skolmatematiken. 3.4 Kunskap som en individuell konstruktion i ett socialt samspel Cobb (1994) jämför det konstruktivistiska och det sociokulturella perspektivet på lärande. Såväl det konstruktivistiska som det sociokulturella perspektivet ser aktiviteter som en språngbräda för utveckling (Cobb, 1994). Då den sociokulturella teorin betraktar aktiviteter som något som sker i en gemenskap med andra individer, anser däremot konstruktivister att en aktivitet är något som en individ genomför för sig själv men i en kontext. Skillnaden mellan de två perspektiven utvecklas av Cobb (1994) genom en diskussion om synen på kunskap. Konstruktivismen ser kunskap som en konceptuell process i individen och en strävan att skapa struktur för nya intryck. Med andra ord är lärande utifrån denna synvinkel högst personligt och baserat på den kontext som tolkas specifikt för varje individ. För den sociokulturella inriktningen har omgivningen en större betyder för kunskap och blir en beskrivning av hur en individ förhåller sig till och förstår nya situationer. Kunskap ses då som något som skapas i ett socialt samspel och som sedan utifrån miljön befästs i individens medvetande. För en djupare diskussion av de två perspektiven på lärande hänvisas till någon av förespråkarna för respektive inriktning. Den konstruktivistiska inriktningen förespråkas av namn som Piaget och von Glasersfeld, medan förespråkare för den sociokulturella synen på lärande till exempel är Vygotsky och Leont’ev. Cobb (1994) säger att lärande är en individuell konstruktion likväl som en process som pågår i samarbete med den omkringliggande miljön. Med andra ord är den miljö som till viss del kan formas av utbildningssystemet väsentlig för vad elever kan lära sig i skolan. Genom att elever till exempel jobbar i par eller grupp får de möjlighet att reflektera över andras förståelse för det matematiska innehållet (Webb & Mastergeorge, 2003). En elevs kunskap Detta är en syn som jag i fortsättningen av denna text kommer att förhålla mig till. Det nät av kunskap som skapas är unikt för varje individ, men den kunskap som införlivas i nätet får sin mening med hjälp av det sociala sammanhanget. Förståelsen för en ny information byggs upp utifrån en gemensam överenskommelse i en specifik kontext. 3.5 Sociomatematiska normer som en grund för möjligheterna till lärande Den didaktiska triangeln där läraren, eleverna och ämnesinnehållet utgör de tre hörnen är en vedertagen modell av undervisningssituationen. Det samband som skapas mellan de tre hörnen i triangeln ramar in och skapar de möjligheter till lärande som erbjuds i undervisningen (se figur 4). I resten av detta avsnitt önskar jag beskriva under vilka premisser dessa möjligheter till lärande kan förverkligas och existera, utifrån den miljö som gemensamt skapas i samspelet mellan lärare, elever och matematiken. Bakgrund 17 Matematik Möjligheter till lärande Elev Lärare Figur 4. Den didaktiska triangeln som ramar in möjligheterna till lärande. Ett av syftena med en modell är att förenkla och framför allt förtydliga verkligheten. Huruvida förenklingen är alltför grov har med inramningen och användningsområdet att göra. Som en bas fungerar den didaktiska triangeln som modell dock oomtvistat. Inom ramen för den didaktiska triangeln förhandlas ett didaktiskt kontrakt fram (Brousseau, 1997). Läraren, eleverna och ämnets karaktär är grunden för det kontrakt som kontinuerligt och dynamiskt vidareutvecklas. Cobb, Wood och Yackel (1993) beskriver att den unika kulturen som finns i varje enskilt klassrum är en produkt av vad lärare och elever för med sig avseende kunskap och värderingar, och hur dessa påverkar och påverkas av det sociala samspelet i klassrummet. Kontraktet är en slags implicit överenskommelse kring en mängd, regler eller normer som påverkar och i vissa fall styr interaktionen mellan lärare och elever (Schoenfeld, 2012). De möjligheter att lära som erbjuds i ett klassrum utvecklas inom ramarna för denna överenskommelse. Vissa av dessa regler är mer generella och rör klassrumsinteraktion i allmänhet. Några av reglerna är däremot unika för matematikämnet, sociomatematiska normer, och skapar en normativ bild av ämnet (Yackel & Cobb, 1996). Att elever förväntas redovisa och förklara sina tankar är exempelvis en social norm, medan vad som betraktas som en acceptabel matematisk förklaring är en sociomatematisk norm (Yackel & Cobb, 1996). En godtagbar förklaring normaliseras av flera faktorer så som elevernas förståelse för matematiken, lärarens förståelse för elevernas utveckling (Yackel & Rasmussen, 2002). Överenskommelsen om en förklarings giltighet växer fram i samspelet mellan lärare och elever (Yackel & Rasmussen, 2002). Cobb et al., (1993) betonar i detta sammanhang vikten av att i klassrummet samtala om såväl matematik som om själva samtalet om matematik. Denna metanivå av samtalet kan påverka hur normerna ser ut. De presenterar ett exempel på ett sådant samtal, med ett tidigt möte mellan en lärare och hans nya elever. 18 Bakgrund ____________________________________________________________ Eleverna i klassrummet har en stund arbetat enskilt med ett problem, och läraren frågar efter Jacks lösning till problemet. Jack i sin tur förutsätter, utifrån hans tidigare erfarenheter av matematik i skolan, att läraren efterfrågar ett svar och avger detta. Jack hade i detta skede också förväntat sig att få svaret utvärderat. Läraren väljer dock att förtydliga frågan och undrar hur Jack kommit fram till sitt svar. Detta är en indikation till eleven och även resten av klassen om vad läraren anser är ett passande sätt att samtala kring matematik. Jack beskriver hur han löst uppgiften, men inser i samband med detta att han tidigare angivit ett felaktigt svar. I detta tar läraren fasta på att det är tillåtet att göra misstag och att ansträngningen med att tydliggöra sin lösning och att fortsätta att sträva efter korrekthet är väsentlig. ____________________________________________________________ Snarare än ett samtal som strikt håller sig till matematik lutar sig läraren även mot en diskussion kring det matematiska samtalet, en slags metadiskussion. I exemplet visar sig en konflikt i den mån att eleven, Jack och läraren initialt har olika syn på den sociomatematiska normen. Läraren använder i undervisningen den inbyggda auktoritet han har genom sitt yrkesroll till att utveckla den kultur han önskar finns i klassrummet (Cobb et al., 1993). Överenskommelsen blir en jämkning av den syn på matematiken och matematikämnet och dess undervisning som läraren och som eleverna har. Triangeln existerar dessutom i ett vidare didaktiskt system där påverkansfaktorer nära eller längre ifrån klassrummet finns representerade. I det följande ämnar jag därför att bygga på modellen med vidare teorier och fylla den med ytterligare innehåll. I förhandlingarna kring de sociomatematiska normerna såväl som andra klassrumsnormer inkluderas lärarens uppfattning om vad som bör inbegripas i undervisningen. Denna uppfattning påverkas av en mängd olika faktorer såsom den avsedda läroplanen i form av styrdokument på systemnivå, ämnesdiskussioner på skolan, nationella prov, läromedel, traditioner och influenser från andra miljöer. Även eleverna kliver in i klassrummet med en uppfattning om vad som ska finnas med i ett kontrakt avseende normer, och mer specifikt de sociomatematiska normerna. Det normativa bestäms alltså, bland annat av de uppfattningar som klassrummets deltagare bär med sig (Yackel & Rasmussen, 2002). När så en norm byggs upp och en oskriven överenskommelse sluts mellan lärare och elever kring ett ämne och dess innehåll, är det inte ett enkelt förhållande mellan lärare och elev, utan snarare ett förhållande där såväl lärare som elev finns i en unik miljö som ligger till grund för det dynamiska och intrikata samspelet. Varje matematikklassrum med sina elever och sin lärare blir en unik miljö som under loppet av kursens gång utvecklar gemensamma sociomatematiska normer, som en delmängd av större mer allmänna undervisningsnormer. I följande exempel åskådliggörs några av de faktorer som indirekt kan påverka de sociomatematiska normerna i ett klassrum. Bakgrund ____________________________________________________________ I augusti kliver en lärare in i ett klassrum på gymnasiet och träffar för första gången sina 25 nya elever. Med sig har läraren många års erfarenheter som matematiklärare och även erfarenheter av hur det är att själv vara elev. Läraren har en lärarutbildning som också till viss del format honom. Efter tiden på lärarhögskolan har han dessutom influerats av såväl kollegor som läroböckernas utformning och de nationella proven. Under årens lopp har också de klasser han undervisat satt sina spår i hans syn på skolmatematiken. Eleverna har även de sina unika erfarenheter med sig in i klassrummet, och har förväntningar på vad undervisningen under året ska bjuda på. De erfarenheter som läraren och eleverna tar med sig till klassrummet är inte desamma som samma individer tar med sig till låt oss säga samhällskunskapslektionen, utan är ämnesspecifika och beror på ämnets karaktär och mer specifika erfarenheter i relation till just matematik. Läraren börjar snart presentera kursen med hjälp av ämnesplanen och den tilltänkta läroboken. Han initierar också förhandlingen kring hur de sociomatematiska normerna ska se ut. Genom sättet som läraren betonar olika aspekter av kursinnehåll, kunskapskrav och bokens upplägg visar han implicit vad han värderar som viktigt. Under nästa lektion inleds arbetet med det matematiska innehållet i kursen. Läraren håller en genomgång vid tavlan men engagerar samtidigt eleverna till en aktiv dialog. Det inledande kapitlet i boken handlar om algebra och det första som presenteras är hur man tecknar och tolkar algebraiska uttryck. Läraren går igenom ett antal exempel på uppgifter eleverna senare under lektionen kommer att stöta på då de jobbar med lärobokens uppgifter. Läraren, tillsammans med läroboken skapar här en i det närmast gemensam röst som beskriver en syn på matematikundervisningen. I elevgruppen sitter ett flertal elever som är vana med arbetssättet som går ut på en lärargenomgång med lösta exempel för att sedan få möjligheten att jobba med liknande uppgifter på egen hand. Dessa elever och läraren torde i detta avseende vara överens om hur den sociomatematiska normen borde se ut. De svar som eleverna får på uppgifterna jämförs med facit för en snabb återkoppling, där just svaret har stor betydelse och där antalet avklarade uppgifter blir till ett mått på framsteg. Dock finns det i gruppen även ett par elever som önskar diskutera begreppen och i vissa fall även utveckla resonemangen kring uttryck till att även innefatta formler och kanske även ekvationer. Frågor som ”vad är det för nytta med det här” formuleras och i deras strävan att försöka sätta in det matematiska materialet i ett större sammanhang visar de möjligen en något annan syn på matematikundervisningen. För att undervisningen ska gå framåt för hela gruppen känner sig läraren pressad att bedriva en undervisning i helklass och således måste han också inleda en förhandling med klassen som helhet kring hur undervisningen ska bedrivas och vad det slutgiltiga målet bör vara. Då lärarens tid är begränsad finner han det rationellt att använda läroboken i största möjliga utsträckning. Läroboken ger också undervisningen en viss ytterligare auktoritet då inte alla elever i gruppen har samma uppfattning om vad undervisningen bör syfta till. Fortfarande måste dock alla elevers olika syn beaktas då en gemensam norm för det matematiska klassrummet ska skapas. Frågan om vilken typ av kunskap som premieras kommer upp då klassen jobbar med ekvationer och några elever har svårt att följa den av läraren presenterade algoritmen för ekvationslösning som innebär att termer ”flyttas” mellan de två sidorna av likheten och ”byter tecken”, och istället prövar sig fram eller i vissa fall jobbar med en alternativ algoritm som dock är svårare att redovisa skriftligt. 19 20 Bakgrund Läraren diskuterar med eleverna de sju förmågor som eleverna enligt kunskapskraven behöver visa prov på. Åsikterna går isär i och med att det finns flera uppfattningar i klassrummet om vad som är att betrakta som matematik. Läraren påverkas således av såväl läroboken som av kunskapskraven som ställs på eleverna i styrdokumenten. Den uppfattning kring matematik som läraren sedan gentemot eleverna presenterar är det som skapar utgångspunkten i den implicita förhandlingen kring gemensamma sociomatematiska normer. Rollen som lärare medför en auktoritet som innebär att eleverna särskilt beaktar vad läraren i klassrummet förmedlar med avseende på synen på matematik. Några av eleverna har djupt rotade uppfattningar om vad det borde innebära att kunna matematik som antingen harmonierar med lärarens eller som i viss utsträckning går emot lärarens uppfattning. Dessa uppfattningar kan inte slipas bort direkt, utan utvecklas med tiden och i ett socialt samspel kring de sociomatematiska normerna som förhandlas fram bit för bit. De sociomatematiska normerna växer dynamiskt fram under kursens gång. Läraren och klassen tittar gemensamt på ett äldre nationellt prov för att se vad som krävs för att få ett E i betyg. Provets utformning kommer även det, i stor utsträckning att påverka elevernas syn på matematik, och därmed också dynamiken i hur de sociomatematiska normerna formuleras. ____________________________________________________________ I exemplet framgår att elevers och lärares agerande visar på deras syn på matematik och påverkar den dynamik som råder i klassrummet avseende de sociomatematiska normerna. Rezat och Strässer (2012) betonar att den didaktiska triangeln finns i ett socialt sammanhang där ett flertal faktorer påverkar en eller flera av noderna i triangeln. Till exempel influeras sannolikt eleverna av vänner och familj i sin syn på ett didaktiskt kontrakt. Även skolan som institution, såväl på lokal nivå som på nationell nivå, påverkar lärare och elever i samspelet i den didaktiska triangeln. På lokal nivå kan de rutiner som finns i ett lärarkollegium influera den enskilde läraren genom samtalen som förs kring kunskapsbegreppet eller utformningen av gemensamma prov. På nationell nivå påverkar styrdokumenten vad som sker i klassrummen. Även faktorer som nationella prov och den bild media förmedlar kring matematikundervisningen kan påverka hur sociomatematiska normer förhandlas fram i klassrummen. Påverkansfaktorer kan således finnas i nära anslutning till klassrummet såväl som längre bort från skolans verklighet. Greer, Verschaffel och de Corte (2002) presenterar en modell där faktorer på olika nivåer påverkar elevers och lärares uppfattningar om matematik. I figur 5 nedan har jag valt att inkludera den didaktiska triangeln i modellen för att ytterligare poängtera att samspelet i klassrummet påverkas av underliggande faktorer. I modellen tydliggörs varifrån influenserna kommer, då sociomatematiska normer förhandlas fram i klassrummet. Bakgrund 21 Matematik Elever Klassrummet: Sociala normer Sociomatematisk norm Lärare Skolan: Pedagogisk miljö Prov Läromedel Utbildningssystemet: Läroplaner Prov Lärarutbildning Samhället: Familj, vänner Politik Media Figur 5. Faktorer som påverkar socio- och sociomatematiska normer. (Fritt efter Greer et al., 2002). Elevers möjligheter till lärande påverkas av vilka sociomatematiska normer som råder i klassrummet (Yackel & Cobb, 1996). I modellen synliggörs det att sociomatematiska normer indirekt påverkas av faktorer såsom den allmänna uppfattningen av matematik, vänner och familj samt olika institutioner såsom den lokala skolan eller högre utbildningsinstanser. Utifrån modellen som den nu målats upp, med en didaktisk triangel och undre lager av påverkansfaktorer kan en diskussion kring vilka möjligheter till lärande som erbjuds eleverna utvecklas. Den påverkan som de undre lagren till den didaktiska triangeln innebär kan både möjliggöra och begränsa lärandet (Hiebert & Carpenter, 1992). 22 Bakgrund 3.6 Elevers uppfattningar om matematik Vad som blir normativt i klassrummet påverkas av såväl kognitiva som icke-kognitiva, mer känslomässiga förmågor och värderingar som alla de i klassrummet aktiva för med sig. Vad en elev lär sig beror på såväl rent kognitiva faktorer som på elevernas bidrag till sociala normer, inklusive de sociomatematiska normerna i form av icke-kognitiva faktorer (Op’t Eynde, de Corte & Verschaffel, 2002). De kognitiva och känslomässiga faktorerna som en individ för med sig in till det sociala samspelet i klassrummet kan klassificeras utifrån bland annat deras stabilitet över tid (McLeod, 1992). Exempelvis är känslor mer flyktiga och kommer och går relativt snabbt jämfört med till exempel attityder. Ytterligare mer stabila är uppfattningar som influeras i en högre utsträckning av det kognitiva. Uppfattningar betraktas som mer stabila än känslor och attityder och tar längre tid på sig att slå rot i en individ och är även svårare att förändra än känslor. I den engelskspråkiga forskningslitteraturen används affect som en sammanfattande term för de faktorer som är mindre kognitivt betingade än kunskap. Ett rakt motsvarande ord på svenska är svårt att finna. Affekt får en delvis annan, mer känslomässigt betonad innebörd i det svenska språket. Den del av begreppet affect som vi valt att beforska i studie 3, väljer jag här att benämna uppfattningar, vilket ska tolkas som likstämmigt med engelskans beliefs. Då förhandlingarna kring en sociomatematisk norm pågår är enskilda elevers uppfattningar ett viktigt förhandlingsmaterial. Så att påverka elevers uppfattningar innebär att påverka deras syn på de sociomatematiska normerna, och att också fortsätta att förhandla fram normer. De tolkningar av de rådande sociomatematiska normerna som elever och lärare gör påverkar de uppfattningar de har om matematikämnet (Greer et al., 2002). Samtidigt som elevernas och lärarnas uppfattningar påverkas av de sociomatematiska normerna påverkas normerna av dessa uppfattningar i ett dynamiskt samspel. Ett unikt kommunikationssystem där elever och lärare interagerar utifrån sina uppfattningar inom ramen för den didaktiska triangeln bygger upp normer. Skapandet, eller förändringen av uppfattningar går med andra ord hand i hand med utvecklingen av en klassrumsnorm (Yackel & Rasmussen, 2002). Uppfattningar kan således betraktas som individens förståelse av de normativa kraven som ställs i undervisningssituationen (Yackel & Rasmussen, 2002). Lärare och elever möts i en vidare kontext där deras uppfattningar påverkas både av de gemensamt framförhandlade sociomatematiska normerna som av andra normer som aktörerna är en del av i skolan såväl som utanför densamma (Greer et al., 2002). Om normen betraktas som något som förhandlas fram i ett socialt sammanhang kan den enskilde elevens (eller lärarens) uppfattningar om matematik och syn på den sociomatematiska normen sägas vara den psykologiska dimensionen av den gemensamma normen (Yackel & Rasmussen, 2002). Uppfattningarna kommer till uttryck och utvecklas genom att de införlivas i en klassrumsnorm (Op’t Eynde et al., 2002). Sambandet mellan Bakgrund 23 normer och individers uppfattningar innebär att en diskussion om uppfattningar är tätt relaterad till en diskussion om normer (Yackel & Rasmussen, 2002). I modellen med ett didaktiskt torn, som tidigare presenterats kan det vertikala flödet från underliggande plan representera influenser på elevers (och lärares) uppfattningar. Noderna i det över planet, den didaktiska triangeln utgör då representanter för aktörernas uppfattningar, vilka i sin tur samspelar för att bygga upp och påverkas av sociomatematiska normer. Elevers uppfattningar om matematik har visats sig i hög utsträckning påverka sättet de angriper matematiska problem på (Schoenfeld, 1992), och således också skapat förutsättningar för olika typer av lärande. Sambandet mellan elevers uppfattningar och inte minst utvecklingen av en konceptuell kunskap bör synliggöras mer (McLeod, 1992). Tidigare forskning har visat att de matematiska uppfattningar som elever har är kontextuellt betingade (Francisco, 2013). I en svensk gymnasieskolekontext har Sumpter (2013) undersökt elevers uppfattningar om matematik och matematiska resonemang, då de jobbar med matematiska uppgifter av standardkaraktär. Sumpter identifierade tre huvudgrupper, nämligen förväntningar, motivation och säkerhet. Elever har visat förväntningar på såväl sig själva som på matematiken. Motivationen hos en elev kan komma antingen inifrån eller utifrån. En elev kan uppvisa säkerhet eller osäkerhet. Utifrån Sumpters (2013) resultat har analysen i studie 3 bedrivits deduktivt i den meningen att vi utgick från tre fördefinierade kategorier för att undersöka om uppfattningarna är desamma om eleverna erbjuds arbeta med ickerutinuppgifter som kräver kreativa matematiska resonemang för att skapa en korrekt lösning. 3.7 Lärobokens betydelse Enligt Valverde, Bianchi, Wolfe, Schmidt och Houang (2002) bör en läromedelsanalys ses i ljuset av hur den används. Läroboken är en artefakt som används i ett sampel mellan lärare och elever. Såväl internationellt som i den svenska kontexten finns tydliga indikationer på lärobokens betydelse för hur undervisningen i matematik ser ut. Till exempel redovisas i TIMSS-studien från 2011 (Mullis, Martin, Foy & Arora, 2012) hur läromedel används i årskurs 8 i några av de i studie 1 inkluderade länderna. Över hälften av eleverna i såväl Australien, Finland, Singapore, Sverige, Sydafrika (åk 9), som 2 av 3 provinser i Kanada undervisas i miljöer där läroboken utgör basen i undervisningen. I TIMSS-undersökningen från 2007 (Mullis et al., 2008) redovisades även detta resultat för Skottland. I USA är siffran 48 %, och i Sverige är siffran så hög som 97 %. Färre än 10 % av eleverna i de angivna länderna undervisas helt utan lärobok. Skolverket (2003) uppmärksammar också att svensk matematikutbildning till stor del influeras av lärobokens utformning. Istället för att läroplaner och kursplaner är de bärande dokumenten i en lärares arbete bygger en stor del av planeringen av undervisningen på just läroboken, som fungerar som en guide till ämnesplanen. Jablonka och Johansson (2010) beskriver i en svensk kontext ett förhållande mellan läroboken och läraren där bokens giltighet godkänns av läraren samtidigt som boken stöttar läraren i uppbyggnaden av undervisningen. Schmidt et al. (2001) har visat att den utbredning ett specifikt matematiskt innehåll får i en bok också styr hur mycket undervisningstid en lärare 24 Bakgrund planerar för detta innehåll. Läroboken förmedlar dock inte bara vilket innehåll som ska presenteras och dess omfattning, utan även sättet på vilket det kan hanteras av lärare i undervisningen (Valverde et al., 2002). Eleverna påverkas av läroboken indirekt, via lärare och genom deras direkta användning av boken (Rezat, 2012). När eleverna skapar sin bild av vad matematik är, är läroboken en influerande faktor (Valverde et al., 2002). Rezat och Strässer (2012) bedömer att undervisningsverktyg såsom läroboken spelar en så central roll i det sociala samspelet i klassrummet att den didaktiska triangeln bör kompletteras med en fjärde nod för att skapa en didaktisk tetraeder. En lärobok kritiseras dessutom sällan av dess användare (Jablonka & Johansson, 2010), vilket ytterligare stärker banden till lärare och elever i en didaktisk tetraeder. Läroboken är betydelsefull för vilka sociomatematiska normer som gäller i klassrummet. Ett läromedels möjlighet att omforma en didaktisk situation berättigar dess position i förhållande till den didaktiska triangeln (Rezat & Strässer, 2012). Läroboken visar ett filtrerat innehåll som reflekterar vad författarna anser är värdefull kunskap och skapar en slags metakunskap som är viktig att beakta lärande diskuteras. Aktiviteterna som genomförs i klassrummet visar vad som är legitimt och vad som är att betrakta som matematisk kunskap (Lampert, 1990). Detta i sin tur påverkar hur den sociomatematiska normen växer fram. Till exempel blir urvalet av uppgifter vägledande då sociomatematiska normer (Yackel och Cobb, 1996) ska förhandlas fram i klassrummet. Detta urval kan visa på synen på hur kunskap skapas. Uppgifters betydelse då sociomatematiska normer skapas poängteras även av Doyle (1983) som beskriver det som att uppgifter påverkar eleverna genom att fokusera deras uppmärksamhet på en speciell aspekt av innehållet och genom att förtydliga hur informationen bör hanteras. Stein och Lane (1996) understryker detta och poängterar att den kumulativa effekten av en undervisning baserad på en viss typ av uppgifter påverkar möjligheterna till lärande som erbjuds och den bild av matematiken som visas upp. Schmidt (2012) beskriver läroboken som en mall för skeendet i klassrummet, och ser tydligt kopplingen mellan läroboken, undervisningen och lärandet. Och trots att ett läromedel kan användas på många olika sätt kan det fungera som indikator på elevernas möjligheter till lärande (Schmidt, 2012). Som ett exempel på detta kan jämföras två av de läromedel som ingått i studie 2 (Sanaghan et al., 2007; Wai Keung, 2013). Bakgrund 25 ____________________________________________________________ I Sanaghans bok, under rubriken ”Solving equations” återfinns 9 lösta exempel av typen; ”solve the equation ”, där lösningen presenteras genom att först 7 subtraheras från båda led och sedan en division med 3 utförs. Inget vidare resonemang kring metodens giltighet förs. Den algebraiska komplexiteten stiger ju längre fram i avsnittet man kommer, och ett av de senare exemplen som presenteras av boken är . Lösningen visar att det krävs att termerna multipliceras med 12, som är den minsta gemensamma nämnaren. Efter det förkortas respektive term så att ekvationen får följande utseende: , vilket förenklas och löses steg för steg enligt samma princip som i tidigare exempel. Avsnittet erbjuder eleverna 89 uppgifter av liknande karaktär att lösa och jämföra med ett svar i facit. I läroboken av Wai Keung, under rubriken ”Simple linear equaitons in one variable” ägnas första sidan åt en diskussion kring den utsaga som en ekvation innebär och vad likhetstecknet betyder. Där behandlas dessutom begreppen lösning, rot utifrån en ekvations giltighet, och vad det innebär att lösa en ekvation. Boken använder termer som ”balans” och höger och vänster led för att förklara en ekvations uppbyggnad. Begreppen linjär ekvation och ekvivalenta ekvationer presenteras också på sidan. På nästföljande sida återfinns en aktivitetsuppgift kopplat till en mjukvara som följer med boken. Uppgiften består i att bibehålla balansen på en balansvåg där det i respektive vågskål återfinns ett antal marker med numeriskt värde samt en eller flera x-marker. Samtidigt som balansen ska bestå, ska eleverna ta reda på vad som döljer sig bakom marken märkt med x som återfinns i den ena vågskålen. För att göra detta behöver eleverna ta bort marker så att en x-marker till sist ligger kvar själv i den ena vågskålen och kan jämföras med en mark med numeriskt värden i den andra. Innan ett antal lösta exempel presenteras ställs också frågan om innebär detsamma som samt om 2 är detsamma som att säga att x+7 . Sex lösta exempel följer sedan och byggs upp på ett sätt liknande det i Sanaghans bok. Eleverna har sedan 22 uppgifter att jobba med på två olika svårighetsnivåer, och sedan sju uppgifter på den högsta svårighetsnivån där ekvationslösning tillämpas på verkliga kontexter och i vissa fall även eleverna själva behöver ställa upp ekvationerna utifrån given information. ____________________________________________________________ Då dessa bägge läromedel används förmedlar de också olika budskap avseende vad som kan betraktas som värdefull matematik. Den presentation som böckerna ger av begreppet ekvation och hur de kopplar det till andra ingående och nära relaterade begrepp skiljer sig markant. Genom att jämföra bokens genomgång med de uppgifter eleverna sedan förväntas jobba med kan de krav som ställs på eleverna också analyseras. Bilden som läroboken ger, och inte minst de uppgifter som eleverna genom läroboken får tillgång till, blir således en högst bidragande faktor till hur de sociomatematiska normerna kommer att se ut. Hiebert och Wearne (1993) har visat att uppgifter påverkar lärandet indirekt genom elevernas syn på matematiken och sättet som de angriper uppgifterna på, vilket i sin tur påverkas av undervisningen och de uppgifter som eleverna möter. 26 Bakgrund Många läromedel betecknar sina uppgifter utifrån olika kriterier. För att elevernas möjligheter till lärande ytterligare ska nyanseras är det rimligt att också beakta på vilket sätt boken presenterar uppgifterna. Tillsammans med en analys av elevers arbete med läroboken kan denna data ytterligare bidra värdefullt till diskussionen. I arbetet med urval av läromedel för studien ingående i denna avhandling har jag uppmärksammat att uppgifter grupperas i läromedlen såväl utifrån svårighetsnivå, som en specifik förmåga och det arbetssätt som önskas. Till exempel finns det i flera av de analyserade böckerna grupper av uppgifter av mer undersökande karaktär, under rubriker som “Activity”, “Reflection”, “Investigate”. Under rubriker som “Discuss”, “Reflection”, “Discuss the concept”, “To think about” och “Write in your journal” återfinns uppgifter där ett mer reflekterande förhållningssätt krävs. Även inom den grupp uppgifter som direkt följer på en av bokens genomgångar finns i flera fall en uppdelning. I vissa fall är denna uppdelning uttalat utifrån svårighetsnivå, medan det i andra fall baseras på den förmåga som enligt läroboksförfattarna eleverna ska få möjlighet att öva på. Exempel på rubriker för den grupp som eleverna först stöter på i böckerna är “Basic”, “Fluency”, “Skill practice” “Practice” och “General”. Bland de senare grupperna märks “Understanding”, “Reasoning”, “Apply”, “Extend”, “Maths at work”, “Brainworks”, “Challenge” och “Problem solving”. Ett samband mellan läroboken, sedd som en potentiell bild av den genomförda läroplanen, och den uppnådda läroplanen i form av det eleverna får ut av undervisningen har påvisats i flera kontexter (Schmidt, 2012). Henningsen och Stein (1997) beskriver det som att en uppgift kan ses ur flera perspektiv, där den initialt betraktas objektivt så som den gestaltats i till exempel en lärobok. Nästa perspektiv i deras modell är sättet på vilket en lärare presenterar uppgiften i klassrummet, följt av hur eleverna implementerar uppgifter och slutligen vilket utfall i form av lärande det leder till. Samtliga dessa perspektiv bör beaktas för att skapa en så komplett bild som möjligt av hur en lärobok och dess uppgifter påverkar elevernas lärande. I linje med detta föreslår Shield och Dole (2013) att betrakta en läromedelsanalys som en förstanivåanalys som kan ge en av flera bilder av de möjligheter till lärande som erbjuds i skolan. En läromedelsanalys knyts därför med fördel till studier som till exempel visar på hur boken används av lärare och elever. Speciellt specifika förmågor, så som i detta fall förmågan att resonera matematiskt är möjliga att urskilja och tydliggöra för en diskussion kring möjligheterna till lärande enligt Schmidt et al. (2001). Tillsammans med en större förståelse för sättet som elever och lärare använder läroboken kan en tydligare bild av lärobokens betydelse för de sociomatematiska normerna växa fram. Metodöverväganden 27 4 Metodöverväganden I följande avsnitt presenteras något av bakgrunden till de metoder som använts i de tre studierna. Två separata analysverktyg har använts, ett för analysen av resonemang och ett för analysen av elevers uppfattningar. Analysen av resonemang innefattar såväl uppgifterna i läromedel, som elevresonemang. Samtliga elever samt lärare i de deltagande klassrummen och de elever som ingick i urvalet för studie 3 blev innan datainsamlingen tillfrågade, och accepterade sitt deltagande, genom att skriftligt underteckna ett medgivandeavtal. Lärarna, samt eleverna, som samtliga var över 15 år, såväl som elevernas målsmän informerades om att ljud- och bildupptagning skulle ske, samt att enstaka elevers anteckningar skulle kopieras. Elever och målsmän informerades också om att ingen insamlad data skulle användas annat än i forskningssammanhang. Vidare är i alla sammanhang där eleverna refereras till namnen fingerade. De etiska överväganden som gjorts har skett utifrån Vetenskapsrådet (2011). Genomgående för de tre studierna och för avhandlingen som helhet finns en strävan efter största möjliga trovärdighet. I samtliga för avhandlingen ingående studier finns tre författare. Diskussionen kring elevers möjligheter att lära sig resonera matematiskt stärks av de olika metoder som använts i de tre studierna, så som analysen av läromedel, videofilmning såväl i som utanför klassrummet, elevintervjuer och insamling av elevlösningar till uppgifter. Insamlingen av data har dessutom skett i fler än en skola och vid fler än ett tillfälle. I möjligaste mån har också den kontext i vilken datainsamlingen skett beskrivits i respektive studie. 4.1 Kategorisering av resonemang i läromedelsuppgifter Läromedelsanalysen har genomförts som en förstanivåanalys där det som står i läroboken analyseras, snarare än sättet som uppgifterna presenteras i klassrummet. Detta motsvarar det första perspektivet i Henningsen och Steins (1997) modell som tidigare refererats till. För att analysera vilka möjligheter till resonemang som erbjuds av en lärobok undersöks om en uppgift kan lösas med hjälp av textvägledning från boken, eller om en elev för att lösa uppgiften måste utföra ett kreativt matematiskt resonemang enligt resonemangsramverket som tidigare presenterats (Lithner, 2008). Ramverket har tidigare använts för liknande analyser av uppgifter i andra kontexter (Boesen, Lithner & Palm, 2010; Lithner, 2003; Palm et al., 2011). Stein, Remillard och Smith (2007) poängterar att genom att se skillnader mellan olika uppgifter kan också olika möjligheter till lärande urskiljas. För varje uppgift har bokens teorigenomgångar, lösta exempel, fakta och även tidigare uppgifter genomsökts för att finna stöd för en lösningsmetod som kan appliceras på uppgiften eller en del av uppgiften. Om ett sådant stöd finns tidigare i boken, i samma avsnitt som uppgiften, eller med en karaktäristik som liknar den i uppgiften (Palm et al., 2011) och gör det möjligt för eleven att koppla ihop de två, betraktas det också som tillgängligt för eleverna. Detta innebär i sin tur att en elev kan lösa uppgiften i fråga utan att föra ett matematiskt resonemang. För varje uppgift noterades också vilken kategorisering som gjorts av läromedelsförfattarna avseende till exempel svårighetsnivå eller arbetssätt enligt tidigare presentation i bakgrunden. Jag är ödmjuk inför 28 Metodöverväganden det självklara i att en läromedelsanalys också bör ses i ljuset av hur läromedlet används (Rezat & Strässer, 2012). Läroboken är ett verktyg som används av lärare och elever i ett samspel i klassrummet. I en verklig situation kan en uppgift som en viss elev löser med hjälp av ett imitativt resonemang, kräva ett kreativt resonemang av en annan elev. Detta beror till exempel på de förkunskaper som eleverna har då de läser och tolkar lärobokens presentationer. Men en läromedelsanalys kan ses som en av flera bilder av de möjligheter till lärande som erbjuds eleverna. När man betraktar läromedel som en objektiv faktor kan läromedlets potential att vara såväl ett stöds som en begränsning i lärandet analyseras (Herbel-Eisenmann, 2007). Studien kan bidra med en del av underlaget för en diskussion kring vilka möjligheter till lärande som erbjuds. Ett led i detta är att skapa en ökad förståelse för vilka budskap som läromedel i sig bär med sig. För att bättre förstå lärobokens roll i ett didaktiskt system krävs att såväl lärobokens utformning som hur den används av elever och lärare (HerbelEisenmann, 2007) undersöks. Att kategorisera läromedelsuppgifter gör det också praktiskt möjligt att jämföra flera olika länder på ett relativt omfattande sätt. I studien ingår en kategorisering av knappt 6000 läroboksuppgifter från 12 olika länder. Trots en avsaknad av, till exempel en diskussion kring hur läromedel används i respektive land, och ett urval av länder, där endast engelsk- och svenskspråkiga läromedel finns representerade, bedöms att generella slutsatser kring läromedelsuppgifters krav kan dras. För att diskutera elevers möjligheter till lärande betraktas alltså i studie 1 läroboken som en spegling av undervisningen som bedrivs. Därför baserades också urvalet på de mest använda läromedlen i respektive land. Törnroos (2005) har påvisat en korrelation mellan lärobokens utformning och elevers lärande i en finsk kontext, beaktandes specifika matematiska områden och också under en längre tidsperiod än ett läsår. I urvalsprocessen tillfrågades erfarna matematikdidaktiska forskare, lärarutbildare, lärare och skolledare om vilka böcker de i sina respektive länder ansåg vara just mest använda. Dessa fick ingen kostnadsersättning för sitt deltagande i studien. Kontaker i 13 länder användes, och tolv av dessa länder ingår också i studien. Avseende England erhölls inget svar. Urvalet skedde utifrån uppfattningen att samtliga böcker skulle vara möjliga att analysera utan översättningar, med potentiella risker för feltolkningar. Således bestod underlaget av länder där undervisningen på gymnasienivå bedrivs i en större omfattning på antingen engelska eller svenska. På detta sätt var kategoriseringen möjlig att genomföra med en hög reliabilitet, där även initialt, alla uppgifter medkodades av medförfattare till studien. Detta i sin tur stärkte metoden så att en samstämmighet till 98 % nåddes i kategoriseringen. Till min vetskap har inga matematikläromedelsstudier de senaste 30 åren, förutom de baserade på TIMSS-studierna, inkluderat ett urval av fler än tre länder. Detta i sin tur innebär att urvalskriterierna för studien varit explorativa och baserats på en spridning i termer av geografisk position, vilket lett till att länder i fem världsdelar inkluderats i studien. Vidare skedde ett urval inom respektive bok eller bokserie utifrån det matematiska innehållet. För att möjliggöra en jämförelse av möjligheterna till lärande bör de matematiska områden som behandlas i de olika böckerna Metodöverväganden 29 vara likvärdigt (Schmidt et al., 2001). Två huvudområden centrala för matematikundervisningen på gymnasienivån valdes ut, algebra och geometri. Inom dessa två områden specificerades urvalet ytterligare till ”ekvationer och formler” respektive ”omkrets, area och volym”. Detta urval baserade sig på den indelning av det matematiska innehållet som gjorts i TIMSS ramverk (Mullis et al., 2008). Detta innebar också att läromedlen som slutligen analyserades riktade sig till elever i något skiftande åldrar, mellan 12 och 17 år, men där merparten av böcker var ämnade för elever i åldern 15-16 år och som gick sitt tionde år i skolan. Ramverket möjliggör en analys av ytterligare läromedel för en utvidgning av jämförelsen. Resultaten, tillsammans med resultat kring hur läroboken används och andra klassrumsnära faktorer kan även bidra till en diskussion kring elevers möjligheter att lära sig resonera matematiskt så som önskat. Urvalet av uppgifter för studien 2 skedde naturligt utifrån vad eleverna jobbade med under just de lektionstillfällena som datainsamlingen ägde rum. Dessa uppgifter kategoriserades sedan i enlighet med metoden som användes för studie 1. Svårighetsnivån hos en uppgift har visat sig påverka elever som antingen kan bli frustrerade eller uttråkade (Kloosterman, 2002). För genomförandet av studie 3 sökte vi aktivt efter uppgifter med en ökande svårighetsnivå, för att eleverna skulle erbjudas en utmaning på lämplig nivå. Uppgifter från tidigare nationella prov, och som bedömdes svara mot innehåll och krav för den aktuella kursen (matematik 1) kategoriserades för ett urval baserat på krav på ett kreativt matematiskt resonemang. Urvalet av uppgifter för studie 3 skedde utifrån en kategorisering med en metod liknande den för studie 1, med den skillnaden att relationen mellan lärobok och elev beaktades ur en något annan synvinkel. Uppgifterna som eleverna i studie 3 löste tillhandahölls på lösblad, skiljt från boken. Detta distanserar alltså uppgifterna från specifika avsnitt i boken. Uppgifterna behandlade dessutom olika matematiska områden, som eleverna inte nödvändigtvis hade arbetat med nyligen. Det ställdes samma krav på uppgifterna i relation till den av eleverna använda läroboken som i Boesen et al. (2010), för att de skulle bedömas kräva ett kreativt resonemang för att lösas och därmed vara icke-rutinuppgifter. Detta innebar att en lösningsmetod för en uppgift inte skulle förekomma fler än tre gånger i boken. 4.2 Kategorisering av elevresonemang Resonemangsramverket (Lithner, 2008), som tidigare presenterats, och som använts för att undersöka elevers resonemang har tidigare använts i liknande studier i andra kontexter (Boesen et al., 2010; Lithner, 2004; Sumpter, 2013). Då elevers faktiska resonemang analyseras underlättar en strukturering av arbetsgången, resonemangssekvensen, för att urskilja de argument som eleven använder explicit eller implicit i sin uppgiftslösning. Denna struktur möjliggör också att en uppgift kan delas in i fler än en resonemangssekvens 30 Metodöverväganden För att kunna kategorisera olika typer av resonemang särskiljs fyra moment i en resonemangssekvens. 1. Eleven stöter på en (del)uppgift där det inte är uppenbart hur han ska gå vidare 2. Ett val av strategi görs, där ”strategi” kan innebära allt från delalgoritmer till mer generella angreppssätt, och ”val” betraktas i en vidare mening som exempelvis minnas, återkalla, skapa, upptäcka, gissa osv. Ett strategival kan stöttas av predikativa argument som svarar på frågan varför just denna strategi kommer att lösa uppgiften. 3. Strategin som valts, genomförs. Genomförandet kan slutligen stöttas av verifierande argument som svarar på frågan varför den valda strategin löste uppgiften. 4. En slutsats nås. I och med att uppgiftslösningen och även resonemanget struktureras på detta sätt möjliggör det att elevers argument identifieras och används för att kategorisera resonemangets karaktär. Elevernas resonemang analyserads på individnivå snarare än parnivå då det inom paren inte sällan var uppenbart att typen av resonemang var olika. De enskilda elevernas resonemang var oftast möjliga att urskilja. I några fall saknades erforderlig data för en tillförlitlig kategorisering, medan dialogen i ett fåtal fall medförde att de två elevernas resonemang blev alltför nästlade för att särskiljas. Metodvalet för den andra studien, då elevers resonemang skulle analyseras var att göra detta i klassrummet, under lektionstid, för att göra så få förändringar av elevernas naturliga undervisningsmiljö som möjligt och bibehålla dessa faktorer som yttre ramar. Två elevpar eller grupper valdes ut under lektionstid, efter några minuters arbete med läroboksuppgifter. Urvalet tog hänsyn till graden av matematisk aktivitet och dialog för att öka möjligheten till värdefull data. Inga andra aspekter såsom till exempel genus eller prestationer/betyg vägdes in urvalet, och därför kan inte heller några slutsatser kring dessa aspekter dras. Jämfört med exempelvis så kallade ”think aloud protocols”, där eleverna ombeds att högt delge sina tankar vid uppgiftslösning, medför den valda metoden även att data kan samlas in under vanliga lektionsförhållanden. Dock innebär det att elever som jobbar enskilt inte finns representerade i data. Schoenfeld (1985) bedömer det ändå som en metod med god giltighet, då eleverna vid pararbete med större sannolikhet visar upp då de inte vet hur de ska komma vidare, och resonerar kring den uppstådda situationen, och även mer tydligt visar på vilka grunder de gjort sina val i uppgiftslösningsprocessen. En nackdel som Schoenfeld (1985) presenterar är att en elev ensidigt kan dominera en grupp eller par. Till viss del går det att komma till rätta med detta då varje enskild elevs resonemang analyseras, snarare än gruppens. Elevernas uppgiftslösande filmades med ljudupptagning och detta material transkriberades för att tillsammans med elevernas skriftliga lösningar till uppgifterna samt de använda läromedlen utgöra data. Tidigare insamlingar av klassrumsdata med hjälp av videofilmande har betonat fördelar som större detaljrikedom i en analys i och med att situationerna kan Metodöverväganden 31 betraktas flera gånger och med olika syfte, samt att det möjliggör för fler personer att aktivt delta i analysprocessen (Hiebert et al., 2003). Datainsamlingen skedde i två kommuner, på naturvetenskaps-, teknik-, bygg och anläggningsoch handels och administrationsprogrammet, samt det estetiska programmet. I samtliga fall gick eleverna det första året på gymnasiet och läste någon av de två första kurserna i matematik. Två elevpar eller grupper per lektion filmades och i varje klass skedde datainsamling vid 2-3 tillfällen. Detta renderade 26 filmer à 30-45 minuter. För analys valdes i samtliga fall det första lektionstillfället och 5 elevpars och en grupp om 3 elevers uppgiftslösande analyserades. Eleverna från handelsprogrammet analyserades inte på grund av att de inte i erforderlig utsträckning ägnade lektionstiden åt att lösa matematikuppgifter eller löste uppgifter tyst. Innan analysen genomfördes kalibrerades, för ökad reliabilitet, analysverktyget av samtliga författare. Urvalet av elever för den tredje studien skedde efter en dialog med två undervisande lärare i tre klasser. Elevpar efterfrågades som var vana att arbeta tillsammans och som förväntades precis klara av kursen, som i detta fall var Matematik 1. Inga andra aspekter såsom till exempel genus eller prestationer/betyg vägdes in urvalet, och därför kan inte heller några slutsatser kring dessa aspekter dras. Totalt fyra stycken elevpar, två från vardera byggprogrammet respektive samhällsprogrammet i två kommuner valdes ut. Eleverna ombads att i par lösa fyra uppgifter i ett avskilt rum med tillgång till såväl lärobok som miniräknare. De slutsatser som således dras av studiens resultat är begränsade till dessa förutsättningar, och hade möjligen sett delvis annorlunda ut om studien till exempel genomförts i ett klassrum. Eleverna ombads att kommunicera muntligt med varandra kring sina tankar och lösningar kring uppgifterna. Inom en veckas tid genomfördes även intervjuer enskilt med samtliga åtta elever, där filmklipp från uppgiftslösningen visades för att återkalla minnet från tidigare, för att ytterligare förstärka analysen. Metoden med filmning av uppgiftslösning och efterföljande intervjuer har använts framgångsrikt i tidigare studier (Bergqvist, Lithner & Sumpter, 2008; Boesen et al, 2010). Såväl elevparens uppgiftslösande som de enskilda intervjuerna filmades med ljudupptagning och detta material transkriberades för att tillsammans med elevernas skriftliga lösningar till uppgifterna utgöra data. Totalt ingick 5 timmar filmat material i data. I den slutliga analysen av data valdes de tre elever ut som bedömdes gett mest data och som också bedömdes visa upp olika typer av uppfattningar och något olika angreppssätt i uppgiftslösningen. I vår process med data har analysarbetet hela tiden gjorts av fler än en av författarna, vilket skapat en större reliabilitet än om en enskild person gjort arbetet. 4.3 Att studera elevers uppfattningar Jag är medveten om att en analys av elevers uppfattningar om matematik och matematiska resonemang innebär att tolkningar görs, vilket också bekräftas av Furinghetti och Morselli (2009). Uppfattningarna i studien har tillskrivits egenskaper i form av namn eller teman. Furinghetti och Morselli är ödmjuka inför att andra tolkningar kan göras, men att en analys ändå kan presentera en, av flera bilder av hur uppfattningarna kan tolkas och relateras till 32 Metodöverväganden elevers agerande. Snarare än att analysera uppfattningar har vi analyserat indikationer på uppfattningar som finns i data. En indikation på en uppfattning definieras av Sumpter (2013) som ett teoretiskt begrepp och del av en modell vars syfte är att beskriva ett specifikt fenomen, i detta fall utsagorna från elever då de löser matematiska uppgifter. För att analysera dessa indikationer har en tematisk analys genomförts. Den tematiska analysen har noggrant inkluderat elevernas utsagor i form av muntliga uttalanden, gester och även skriftlig kommunikation i form av uppgiftslösningar. Då indikationen inte var tydlig har den utelämnats. Indikationerna på uppfattningar har sedan tolkats i den kontext de har sitt ursprung, och utifrån ett deduktivt tillvägagångssätt relaterats till de tre teman på uppfattningsindikationer som presenterats av Sumpter (2013), och som tidigare refererats till. Då relationen mellan elevernas uppfattningar och resonemang skulle studeras skedde insamlingen av data av naturliga skäl enligt beskrivningen i stycket ovan. Uppfattningsindikationerna har dessutom kopplats till de resonemang som eleverna använt i situationen. I vissa fall bestod denna koppling av en eller flera uppfattningsindikationer och ett byte av resonemang. Analysen har i sin helhet genomförts gemensamt och i samförstånd mellan två av författarna, vilket skapat en ökad reliabilitet. Initialt har även den tredje författaren deltagit i analysen och stärkt stabiliteten av densamma ytterligare. En stärkt reliabilitet avseende analysen av elevernas matematiska resonemang bedöms erhållas i och med att analysverktyget är det samma som i den tidigare genomförda studie 2. Om studierna 33 5 Om studierna De tre studierna som ingår i avhandlingen har alla haft ett gemensamt syfte att studera matematiska resonemang på gymnasiet. Detta sker genom tre olika perspektiv. Ett är en analys av läromedel, ett är en undersökning av vilka typer av matematiska resonemang elever använder i klassrummet, och i det tredje perspektivet innebär att elevers resonemang relateras till de uppfattningar om matematiska resonemang och matematik de visar upp. I följande avsnitt presenteras kortfattat de resultat som erhållits i respektive studie, samt något om de slutsatser som dras i relation till dessa resultat. 5.1 Sammanfattning av studie 1: Reasoning requirements in school mathematics textbooks: an analysis of books from 12 countries. Den första studien är en internationell läromedelsanalys där vanligt förekommande läromedel från tolv olika länder analyserats. Läromedel från Australien, Kanada, Finland, Irland, Indien, Nepal, Skottland, Singapore, Sydafrika, Sverige, Tanzania och USA ingår i studien. Uppgifter inom de två matematiska områdena algebra och geometri analyserades med avseende på vilka krav på resonemang som de ställer på eleverna i kontexten av läroboken som en vägledare i uppgiftslösandet. Mer specifikt har uppgifterna i läromedlen jämförts med bokens övriga innehåll i en strävan att bedöma huruvida ett matematiskt resonemang krävs för att lösa uppgiften eller inte. Samtliga böcker är hämtade från motsvarande gymnasieskolan, ”upper secondary school” eller ”high school”, och är ämnade för elever i åldersspannet från 13 till 17 år. Total har knappt 6000 uppgifter kategoriserats, och trots att länderna representerar olika nivåer av resultat i internationella kunskapsjämförelser (Mullis et al., 2012; OECD, 2014), och geografiska positioner i fem olika världsdelar, visar resultaten att andelen uppgifter som kräver ett kreativt matematiskt resonemang (lokalt eller globalt) är jämförbart i de olika länderna. Andelen uppgifter som kräver ett globalt kreativt resonemang var i genomsnitt 8 respektive 12 procent för algebra och geometriavsnitten. Denna andel är avsevärt mindre i den grupp av uppgifter eleverna först stöter på inom varje nytt avsnitt. Något som blir intressant att beakta i den svenska kontexten där vi även sett att eleverna främst jobbar med dessa första, enklare uppgifter. Detta innebär givetvis också att andelen uppgifter där eleverna får en möjlighet att träna på att resonera matematiskt, snarare än att imitera minskar. Den relativa homogenitet som syns i resultaten av den internationella läromedelsanalysen indikerar att om urvalet är representativt för respektive land så är läroboken inte den enda faktorn som påverkar resultaten i matematik. I ett klassrum där fokus läggs på de traditionella uppgifterna och för en elev som främst jobbar på grundläggande nivå kan i vissa fall möjligheten att träna resonemangsförmågan i det närmaste helt utebli. 5.2 Sammanfattning av studie 2: Students’ reasoning in mathematical textbook task-solving. I den andra studien jämförs de resonemang som elever använder då de löser läroboksuppgifter i reella undervisningssituationer med kategoriseringar av vilka krav uppgiften ställer avseende resonemang. Elever videofilmades i sitt uppgiftslösande under lektionstid och deras resonemang analyserades och kategoriserades i överensstämmelse med ramverket för 34 Om studierna resonemang som presenterats tidigare. Elever som jobbade i parkonstellationer valdes ut för att på så sätt få tillgång till deras tankeprocess indirekt via de resonemang som verbalt uttrycktes. Undersökningen gjordes i den svenska gymnasieskolan och visar att eleverna till mycket övervägande del jobbar med de enklare uppgifterna i boken och sällan stöter på uppgifter som kräver ett kreativt matematiskt resonemang. Resonemanget som eleverna för överensstämmer också i mycket hög grad med de krav som uppgiften ställer. 80 % av alla analyserade uppgifter löstes framgångsrikt med imitativa resonemang. Vidare visar studien att eleverna ofta vägleder varandra på så sätt att algoritmer presenteras för varandra i syfte att lösa en uppgift snarare än för en djupare matematisk förståelse. I de fall då elever sökte stöd av läraren i sitt uppgiftslösande ledde det till ett imitativt snarare än kreativt resonemang. Då eleverna fick problem med att lösa en uppgift var huvudalternativet för den fortsatta processen nästan uteslutande att fråga en kompis eller lärare om hjälp. Detta innebär i praktiken att en potentiell möjlighet att få träna på ett kreativt resonemang försvinner. Eleverna använde sällan lärobokens presentationer eller lösta exempel som ett stöd i sin uppgiftslösning. Däremot användes facit, som återfinns längst bak i boken snarare än egna argument för en verifikation av en metods giltighet. Utifrån dessa resultat kan slutsatsen dras att även i beaktande hur läroboken används skapas få möjligheter till att lära sig resonera kreativt. Även arbetsmetoderna avseende arbete i par och sättet på vilket lärare vägleder elever i uppgiftslösningen diskuteras. I bägge fall krävs ett strukturerat och organiserat arbetssätt för att förstärka elevernas möjligheter att använda kreativa matematiska resonemang i sin uppgiftslösning. Dessutom skapar sättet som läroboken används av eleverna frågor kring bokens utformning. Läromedelsförlagen bör fråga sig om facit snarare än bokens genomgångar ska stå för den främsta vägledningen då eleverna jobbar med bokens uppgifter. Sammanfattning av studie 3: Students’ mathematical reasoning and beliefs in nonroutine task solving. I avhandlingens tredje studie har vi undersökt vilka uppfattningar om matematik några elever har i relation till matematiska resonemang. Elevpar filmades då de jobbade med ickerutinuppgifter, i en avskild miljö. Uppgifterna bedömdes kräva ett kreativt matematiskt resonemang för att lösas. Eleverna ombads att tala högt med varandra kring vad de gjorde och varför. Samtliga elever intervjuades också för en möjlighet till klargöranden av data. Urvalet av elever bestod av elever som förväntades precis klara kursen, då elever som får betyget F eller E utgör mer än hälften av alla elever som läser denna kurs. Tre elever analyserades djupare, och de använda resonemangen kopplades till indikationer på elevernas uppfattningar om matematik. De tre eleverna visade upp olika relationer mellan deras respektive uppfattningar och de resonemang som de använde. Såväl imitativa som kreativa matematiska resonemang användes. Bilden av de uppfattningar och de resonemang som elever använder har breddats jämfört med tidigare resultat (Sumpter, 2013). Att eleverna jobbade med ickerutinuppgifter synes ha en påverkan på deras resonemang. En av eleverna förstärker bilden av osäkerhet, låg förväntningar på sig själv, en negativ inre motivation och förväntningar på att kunna använda sig av algoritmer för att lösa uppgifterna. Denna elev använder sig också av 5.3 Om studierna 35 imitativa resonemang för att lösa uppgifterna med ett svagt resultat. Eleven överger vid flera tillfällen ett korrekt kreativt resonemang. Resultaten visar också att två elever uppvisar delvis annorlunda uppfattningar och även i större utsträckning använder kreativa matematiska resonemang, speciellt då de känner sig ha en komplett lösning inom räckhåll. En av dessa elever genomför korrekta kreativa matematiska resonemang medan den andra inte i något fall lyckas lösa uppgiften korrekt. De uppfattningar som indikerades av dessa två elever var mer blandade än hos den första eleven, då de visade såväl negativ som positiv inre motivation och såväl säkerhet som osäkerhet. Eleverna hade dessutom förväntningar på uppgifternas svårighetsnivå och att lösningen skulle harmoniera med denna nivå. Dessutom indikerades en uppfattning om att lösningsredovisningar enbart syftade till att tillfredsställa läraren och inte som ett verktyg i lösningsprocessen. Vad skillnaderna jämfört med tidigare forskning (Sumpter, 2013) kan bero på diskuteras. En hypotes är att elever med låg procedurell förmåga tvingas försöka lösa uppgifter med kreativa matematiska resonemang, och att urvalet av elever för denna studie till viss del uppfyllde detta kriterium. Situationen, där inget facit eller lärare heller finns till hands kan möjligen hindra eleverna från andra metoder. Anledningen till att eleverna använder kreativa resonemang kan givetvis också bero på att deras undervisning stimulerat till detta. Trots att uppgifterna, som tidigare noterats, verkar påverka elevernas resonemang, används alltså imitativa resonemang trots att något annat krävs, vilket indikerar att det krävs mer än arbete med icke-rutinuppgifter för att stötta eleverna i att skaffa sig en bred matematisk kompetens och i att använda kreativa matematiska resonemang. 36 Diskussion 6 Diskussion Ett huvudsyfte med studierna i denna avhandling har varit att skapa en större förståelse för vad som sker i skolan idag med avseende på matematiska resonemang, och hur elevers möjligheter att lära sig resonera matematiskt påverkas av faktorer såsom läromedel och deras egna uppfattningar. I diskussionen fungerar resultaten som en bas för det som sägs, med stöd av de i kappan tidigare presenterade teorierna kring möjligheter till lärande, matematisk kunskap, matematiska resonemang, sociomatematiska normer och elevers uppfattningar om matematik och matematiska resonemang. Dessutom knyts diskussionen till kompletterande, tidigare forskningsresultat. Forskning har tydligt visat på vikten av en syn på matematiken som mer än mekaniskt läroboksräknande. Elever måste få möjligheter att träna på sin förmåga att resonera matematiskt och att lösa matematiska problem (Hiebert, 2003). Bilden av undervisningen som Dewey (1929) målade upp och som presenterades i introduktionen, kan ännu idag användas. Stort fokus läggs vid att producera svar på uppgifter, snarare än att skaffa sig kunskap. Resultaten från studierna i denna avhandling visar inte på att möjligheterna till lärande, med avseende på en bredare matematisk kompetens erbjuds i skolan idag i en erforderlig omfattning. Två av de frågor jag i den fortsatta texten önskar diskutera är varför det till synes finns en snedvridning i undervisningen, och också möjliga sätt att påverka undervisningen i en positiv riktning. Brousseau (1997) säger att eleverna, såväl som lärarna måste anpassa sig till en miljö i vilken lärandet sker, och på ett plan håller jag med om detta. Lärare och elever måste tillsammans acceptera de förutsättningar under vilka de jobbar, men kan samtidigt påverka dessa förutsättningar. Hiebert och Wearne (1993) poängterar att två avgörande faktorer för att koppla samman ut- och inlärning är de rådande klassrumsnormerna och de uppgifter som används i undervisningen. I diskussionen av resultaten har jag valt att speciellt beakta klassrumsarbetet och mer specifikt relationen elever emellan och mellan lärare och elever för att skapa sociomatematiska normer, samt läroböckerna och dess uppgifter som tongivande i skapandet av sociomatematiska normer. 6.1 Klassrumsarbetet Resultaten av studie 2 visar att när elever jobbar med uppgifter i läroboken löser de främst de enklare uppgifterna i boken, som sällan innehåller krav på mer än imitativa resonemang. Eleverna använder inte heller mer än vid enstaka tillfällen kreativa matematiska resonemang. Inte heller i provsituationer använder sig gymnasieelever av kreativa matematiska resonemang i större utsträckning, utan använder sig istället av imitativa resonemang genom att egenskaper i uppgiften kopplas till tidigare inlärda algoritmer (Boesen et al., 2010). Då uppgiften tydligt skiljde sig från det eleverna tidigare mött i läroboken ökade sannolikheten att de använde ett kreativt matematiskt resonemang (Boesen et al., 2010). Elevernas arbetssätt har tidigare beskrivits av Rezat & Strässer (2012) som svarsfokuserat. Elevers målsättning då de arbetar med läroboksuppgifter är att lösa uppgiften snarare än att lära sig matematik. Liknande resultat har även presenterats avseende universitetsstudenter (Lithner, 2003). Sfard och Linchevski (1994) har i sin forskning sett elever som söker tryggare metoder baserade på algoritmer, istället för att utifrån situationen skapa den mest rationella lösningen. Detta Diskussion 37 avspeglar sig även i att eleverna i de i avhandlingen ingående studierna använder sig av imitativa resonemang utan framgång snarare än att lita på ett kreativt matematiskt resonemang, även då så bedömts krävas. Enligt Engelbrecht, Bergsten och Kågesten (2009) kan detta bero på att elever är vana med att kunna använda algoritmer och också tror sig ha en förväntan på sig att presentera en algoritmisk lösning, även om denna lösning visar sig mer omständig än en lösning baserad på ett kreativt matematiskt resonemang. De indikationer på uppfattningar kring matematik som elever visar upp i samband med lösning av uppgifter som kräver ett kreativt resonemang visar på likheter med de uppfattningar som tidigare presenterats i relation till elevers arbete med rutinuppgifter (Sumpter, 2013). Trots olikheter i kontext går en viss likstämmighet att urskilja i resultaten från flera tidigare studier på elevers uppfattningar kring problemlösning. Elever uppvisar en syn på matematiken som algoritmisk med stort fokus på att göra snarare än att förstå och med fokus på resultat snarare än processer och på begränsad reflektion och snabba hanteringar (McLeod, 1992; Schoenfeld, 1992). I studie 3 indikerades en förväntning på uppgifterna att kunna lösas med en välbekant algoritm. Denna uppfattning indikerades i samband med osäkerhet och till viss del en låg förväntning på sin egen förmåga, samt en negativ motivation. Detta leder också till att sättet som eleverna angriper uppgifter på, påverkas och att möjligheterna till att lära sig, till exempel att resonera på ett kreativt matematiskt sätt inte utnyttjas. Eleverna använde kreativa matematiska resonemang till viss del, men även imitativa resonemang. Fler kreativa matematiska resonemang användes för att slutföra uppgifterna då eleven kände sig ha en komplett lösning inom räckhåll. En förväntan på uppgifters svårighetsnivå indikerades också, och kan möjligen kopplas till elevernas resonemang på uppgiften. Kloosterman (2002) uttrycker att elever oftast har en tydlig bild av en uppgifts svårighetsnivå och att eleverna angriper uppgiften utifrån denna förväntan. En elev vars förväntan på en uppgift är att den ska vara enkel skulle till exempel, i kombination med en låg förväntan på sig själv kunna anse ett kreativt matematiskt resonemang som alltför komplicerat. Då en elev möter en uppgift som däremot har en förväntan på sig att vara svår, kan frustration skapas hos eleven vilket skulle kunna leda till att en trygghet söks genom användandet av välbekanta algoritmer. Ett liknande, algoritmiskt beteende kan också förstärkas av den uppfattning som av tidigare forskning påvisats hos elev, att uppgifter ska vara lösbara inom fem minuter (Schoenfeld, 1992). Resultaten från studie 3 troliggör att det krävs något mer än icke-rutinuppgifter för att bereda elever möjligheter att träna på kreativa matematiska resonemang. De uppfattningar elever har verkar inte i tillräcklig utsträckning bidra till att kreativa matematiska resonemang används. Liknande iakttagelser har gjorts av Ball och Bass (2003) som drar slutsatsen att en uppgifts utformning kan ha betydelse för elevens resonemang, men att utan en stöttande sociomatematisk norm riskerar möjligheterna att lära sig annat än imitativa resonemang att utebli. Dock kan inte en samstämmig bild målas upp av vilka behov elever har, utan behoven, såväl som uppfattningarna elever har om matematik och matematiska resonemang är högst individuella. Schoenfeld (1985) diskuterar 38 Diskussion vad som krävs för att bli en god problemlösare och inkluderar bland annat nödvändiga förkunskaper, problemlösningsstrategier och uppfattningar om matematik som inkluderar annat än imitativa resonemang. Att elevers uppfattningar är individuella, kompletterar det som påvisats om hur kontext påverkar uppfattningarna (Fransisco, 2013). Såväl sättet som elever jobbar tillsammans som de metoder som lärare använder för att hjälpa elever framåt i uppgiftslösningen verkar kunna hämma användningen av kreativa matematiska resonemang. Elever guidar ofta varandra genom lösningar med syfte att skapa en redovisning med ett svar för läraren eller för jämförelse med facit i boken. Sällan stimuleras ett kreativt matematiskt resonemang i dessa samarbeten. Inte heller då lärare guidar elever vid uppgiftslösning har det visat sig att kreativa matematiska resonemang stimuleras. Det har även visat sig att lärare på sina prov inte ställer krav på kreativa matematiska resonemang i en större utsträckning (Palm et al., 2011). Lampert (1990) går så långt som att säga att lärare använder boken för att tillgodose behovet av regler och algoritmer så att eleverna i klassrummet kan komma fram till korrekta svar på angivna matematiska uppgifter. Det skapas alltför lite utrymme för matematiska resonemang i undervisningen, och detta beror delvis på att undervisning i procedurer fortfarande tar stort utrymme (Boesen et al., 2014; Hiebert, 2003). Ett av hindren för en sådan utveckling av undervisningen kan vara att lärare inte har den tid som krävs för att sätta sig in i, och djupare förstå betydelsen av förmågorna som de kommuniceras av ämnesplanen (Boesen et al., 2014). Att utgå från ämnesplanen i sin undervisning blir då en subjektiv handling. Det har visat sig att lärarna anser sig betona även förmågor som resonemang och problemlösning i undervisningen, trots att de i själva verket inte gör det (Boesen et al., 2014). Lärares presentationer bygger av naturliga skäl oftast på uppgifter som är av rutinkaraktär för lärare, som i och med detta inte heller presenterar ett arbetssätt där reflektion och argumentation kring metodval ingår (Berqqvist & Lithner, 2012). Att lärare säger en sak och delvis driver en annan undervisning exemplifierades tidigare i avsnitt 3.5. Yackel och Hanna (2003) uttrycker behovet av sociomatematiska normer som mer tydligt inbegripa en bredare syn på matematiken, där inte procedurer och imitativa resonemang utgör det centrala. En utveckling av de sociomatematiska normerna och de uppfattningar som uppvisas i klassrummet kan påverkas av arbetssätten som används och de ageranden som värdesätts. Skemp (1976) betonar att de aktiviteter som matematikutbildningen erbjuder tydligt ska leda mot ett lärandemål. Distinktionen mellan att kunna och att göra behöver alltså suddas ut (Hiebert et al., 1996). Möjligheterna till lärande är det som ska styra undervisningens utformning. Dewey (1929) lyfte fram en metod för att just integrera aktiviteter med möjligheter till lärande genom att introducera granskande undersökning (reflective inquiry), vilket innebär att identifierade problem driver undervisningen framåt med hjälp av elevengagemang där slutmålet är någon form av slutsats angående problemet. Utforskandet sker med lärande som mål snarare än att skapa en produkt i form av en lösning Diskussion 39 (Hiebert et al., 1996). Arbetet bör således koncentreras på att stötta eleverna i att bygga upp en konceptuell förståelse, ett slags kunskapsnät eller en mental karta, snarare än att uppmuntra dem till att bli duktiga på att utföra rutinprocedurer (Hiebert & Carpenter, 1992). Kunskap skapas av eleven och inte av läraren, även om den senare sannolikt och förhoppningsvis har en viktig roll i att stötta eleven i utvecklingen. Arbetssättet kan stimulera till att ändamålsenliga algoritmer skapas av eleverna. Så istället för att använda algoritmer till att lösa matematiska problem, kan algoritmen bli ett av delmålen för eleven. I vissa fall krävs att algoritmer och fakta i större utsträckning automatiseras (Gravemeijer & van Galen, 2003), så som till exempel multiplikationstabellen eller ”tio-kamrater”. I andra fall är det däremot rimligt att undervisningen inte nödvändigtvis strävar mot en formell algoritm, utan snarare en användbar, men mindre formell algoritm (Gravemeijer & van Galen, 2003). Undervisningen har således såväl konceptuella som procedurella inslag. Cobb et al. (1993) lyfter fram granskande undersökning som ett gott exempel på undervisning som hjälper till att forma normer där möjligheter till lärande av mer än utantill-kunskap och imitation utvecklas. Genom att erbjuda elever utmaningar, snarare än uppgifter som testar deras nuvarande kunskaper, och genom att stötta dem i arbetet med dessa kan en lärare visa på alternativa normer för undervisningens utformning. Explicita insatser från just läraren i klassrummet för att utveckla de sociomatematiska normerna i en önskvärd riktning är avgörande (Yackel & Hanna, 2003). Hiebert et al. (1996) argumenterar för att förståelse skapas genom att undersökande arbetsmetoder används. Detta synliggörs i den sociala interaktionen som pågår i ett klassrum där förståelsen leder till ett utvecklat samtal där kunskapen delas och växer fram i ett samspel mellan eleverna och läraren. De aktiviteter som pågår i klassrummet medför att tankar och idéer utbyts, men innebär dessutom att strategier för att lösa matematiska problem formuleras och att eleverna kan bygga upp ett större och mer stabilt kunskapsnät samt att eleverna bildar sig nya uppfattningar om vad matematik är (Hiebert et al., 1996). Enligt Dweck (2007) finns det elever som anser att intelligens inte alls kan byggas upp, utan antingen finns eller inte, och att detta leder till att eleverna håller uppe skenet genom att lösa enklare rutinuppgifter utan utmaningar och utan att jobba för en djupare förståelse. Det blir då viktigt att belysa vikten av en helhetssyn på den matematiska kunskapen snarare än ett korrekt svar på en uppgift. Hiebert et al. (1996) föreslår ett antal punkter att beakta då undervisningen byggs upp. Den första punkten innebär att eleverna bör få möjlighet att utforska matematiken med hjälp av problem, snarare än att en lärare visar på lösningen till ett problem. Den andra handlar om att eleverna ska få möjlighet att göra problemen till sina egna, för att på så sätt också kunna knyta dem till sina förkunskaper och sitt unika kunskapsnät för att på bästa sätt komplettera nätet med den bonuseffekt problemlösning sagt erbjuda i form av kunskap. Detta innebär nödvändigtvis inte att det alltid är eleverna som ska formulera problemen, utan denna process kan initieras av såväl lärare som elever. Slutligen bör undervisningen syfta till att utveckla såväl den kognitiva kunskapen som elevernas uppfattningar om matematik. En undervisning 40 Diskussion baserad på öppna uppgifter med möjligheter till egen reflektion beskrivs av Boaler (1998) som framgångsrik. Boaler (1998) visar på skillnaden mellan två undervisningsmodeller och utfallet av dessa. Hon beskriver en situation där skolan med en traditionell, läroboksbaserad undervisning fostrade elever som ansåg att matematiken till största delen handlar om att komma ihåg. Eleverna jobbade mycket enskilt och i sin egen takt utifrån lärobokens beskrivningar av metoder och med individuellt stöd av läraren. Dessa elever presterade mindre bra med avseende på de nationella GCSE (General Certificate of Secondary Education)-prov som de allra flesta 16-åringar genomför i Storbritannien, och eleverna uttryckte en frustration över att inte kunna applicera sina algoritmer i de till synes nya situationer som proven krävde. På den andra skolan å andra sidan fick eleverna möjlighet att jobba med större, öppna uppgifter eller projekt, där eleverna uppmuntrades att resonera sig fram till egna lösningar och reflektera över sina metoder. På detta sätt mötte eleverna ett behov av matematiken och använde då läraren som en resurs i sitt arbete med projektet. Eleverna på denna skola ansåg att matematik handlade om att kunna vara flexibel och använda sig av olika metoder beroende på situationen och på att tänka och reflektera. Just detta ansåg de också vara grunden till de relativt sett goda provresultat de presterade. De tyckte inte att de nya situationer som uppgifterna på provet presenterade innebar lika stora problem som eleverna på den första skolan gjorde. Tidigare forskning har betonat vikten av en aktiv insats av såväl elever som lärare för att öka möjligheterna till lärande i interaktionen dem emellan (Webb & Mastergeorge, 2003). Till exempel bör lärare erbjuda elever möjligheter att själva skapa en lösningsmetod till uppgiften, och elever bör ha som mål att alltid förstå och utifrån detta också ställa precisa frågor. Hiebert & Wearne (1993) har tidigare visat att det är fruktbart att stimulera eleverna till att finna alternativa lösningar till de matematiska problem de ställs inför, snarare än att lösa flera olika problem på ett likartat sätt. Denna stimulans kan komma från läraren i form av frågor som syftar till att få eleverna att beskriva och förklara sina lösningar. Stein, Engle, Smith och Hughes (2008) preciserar de krav som bör ställas på lärare för att optimera ett undersökande arbetssätt. Lärarna måste vara aktiva parallellt med eleverna och observera vad eleverna åstadkommer och förbereda en gemensam diskussion med utgångspunkt i de elevlösningar som framkommit. Läraren bör också kunna hjälpa eleverna att med hjälp av olika lösningar till en uppgift utöka eller förtäta deras kunskapsnät. Det krävs även ett större engagemang och en bättre organisation kring på vilket sätt som elever samarbetar (Fuchs et al., 1997). Då elever jobbar i grupp finns en risk att elever med stöd av sina kompisar löser uppgiften utan större förståelse, men inte inser detta. Det är således väsentligt att hjälpa eleverna att själva reflektera över sin förståelse (Webb & Mastergeorge, 2003). Genom att betona vikten av ett gemensamt ansvar för lösningen till gruppuppgifter förmedlar även läraren vilken syn på matematik han har. Cobb et al., (1993) ger exempel på hur detta kan ske genom att läraren genom frågor inkluderar samtliga Diskussion 41 gruppmedlemmar. Läraren i exemplet inleder också en metadiskussion kring hur grupperna bör sträva efter att samtliga i gruppen förstår den gemensamma lösningen. En liknande metadiskussion kring skriftliga redovisningar som ett stöd för en tanke process snarare än som en produkt för läraren är en tänkbar väg mot utvecklade sociomatematiska normer. Den medvetenhet som krävs för att lärare ska kunna utveckla sin undervisning i denna riktning behöver byggas upp på skolorna, exempelvis genom riktade fortbildningsinsatser, men inte minst också genom ett kontinuerligt arbete, där alla kollegor på skolan medverkar i en gemensam insats. Lärare bör få stöd med att tolka och jobba med styrdokumenten (Boesen et al., 2014). Det stöd som behövs kan vara tid eller kunskap eller rent av ett ökat intresse för att jobba med utvecklingsarbete i skolan. Här kan en skolledning spela en central roll genom att visa på incitament i form av till exempel en positiv kunskapsutveckling och genom att ge möjligheter till att diskutera de goda exempel från forskningen, som finns. Även lärarutbildningen har en viktig roll i att med blivande lärare diskutera vad som krävs för att bygga upp en bred matematisk kompetens hos eleverna. 6.2 Läromedlen och läromedelsanvändningen Som tidigare påpekats influeras elevers uppfattningar om matematik såväl som de sociomatematiska normer som råder i klassrummet i hög utsträckning av de aktiviteter som genomförs och då även av bland annat läroboken (Lampert, 1990; Schmidt et al., 2001). En följd av detta blir att också möjligheterna till lärande påverkas av hur läroboken är utformad och hur den används. För att utveckla våra elevers utbildning krävs utökade möjligheter till lärande och detta innebär bland annat uppbyggnaden av sociomatematiska normer som tar stöd i att matematik är mer än procedurer och utantill-inlärning (Schoenfeld, 2012). Utvecklade läromedel kan hjälpa till att förändra undervisningen i önskad riktning (HerbalEisenmann, 2007). Arbetet med att skapa sociomatematiska normer som inkluderar ett större perspektiv på matematiken får då ett slagkraftigt argument med hjälp av boken. Resultaten av analysen av läromedel visar att andelen uppgifter som kräver ett kreativt matematiskt resonemang är liknande i de tolv ländernas böcker. En hypotetisk förklaring till denna relativa likhet är den djupt rotade matematiska tradition som är global och som påverkar läromedlen i mycket hög grad. Förutsatt att de analyserade böckerna är representativa för respektive land indikerar resultaten att läromedlens utformning inte är den enda bidragande faktorn till de resultat som påvisats i till exempel TIMSS- och PISA (Programme for International Student Assessment)-studierna. Sociomatematiska normer är som i tidigare avsnitt diskuterats avhängigt av en mängd faktorer, varav läroboken är en. I genomsnitt ungefär var tionde uppgift i de analyserade läromedlen krävde ett kreativt matematiskt resonemang. En iakttagelse som bör beaktas I sammanhanget är också att de flesta uppgifter som enligt kategoriseringen bedömts kräva ett kreativt matematiskt resonemang, har lösningar som också till viss del består av algoritmhantering. I uppgifter som däremot kan lösas genom imitativa resonemang saknas helt de kreativa matematiska resonemangen. Om även denna aspekt beaktas kan resultaten beskrivas som att i det närmaste 100 % av uppgifterna erbjuder 42 Diskussion möjligheter att träna på algoritmer och mer procedurella kunskaper, medan ungefär 10-20 % av uppgifterna erbjuder möjligheter att träna på kreativa matematiska resonemang. Beaktas bör även att uppgifter som kräver kreativa matematiska resonemang återfinns avsevärt mindre frekvent i den grupp av uppgifter eleverna först stöter på inom varje nytt avsnitt. Då resultaten av elevernas arbete med läroboksuppgifter visar att eleverna i den svenska gymnasieskolan främst jobbar med de första, enklare uppgifterna i boken är det intressant att poängtera att andelen uppgifter som kräver ett kreativt matematiskt resonemang i denna grupp är ungefär 5 % enligt analysen. I flera av de analyserade läromedlen finns det fler uppgifter än vad som kan anses rimligt för eleverna att jobba med, vilket antyder att ett uppgiftsurval görs, antingen av den enskilda eleven och/eller av läraren. Att flera läromedel utifrån sin egen beteckning på uppgifterna särskiljer på till exempel resonemangs- eller problemlösningsuppgifter och färdighetsuppgifter, och där de senare i samtliga fall i boken föregår de tidigare, indikerar en syn på progression där just färdighetsträning är det initiala i lärprocessen, och där några men inte nödvändigtvis alla elever når resonemangsuppgifterna. Att uppgifter av undersökande karaktär särskiljs och potentiellt riskerar att uteslutas för vissa elever påvisar möjligen ytterligare en aspekt att beakta då läromedel utformas. Den aktuella läromedelsstudien, likväl som andra (Lithner, 2004) indikerar att läromedel använda i svensk undervisning inte med självklarhet fungerar som ett stöd i utvecklingen av sociomatematiska normer där större utrymme ges åt en konceptuell kunskap, vilket dock inte utesluter att sådana läromedel kan finnas. Inte heller analysen av de internationella läromedlen ger fog för att säga att de kan fungera som ett gott stöd i utvecklingen av sådana sociomatematiska normer. Detta indikeras även av tidigare forskning på läromedel. Till exempel anser Fan och Zhu (2007) att läromedel från såväl Singapore som Kina och USA uppvisar brister i sättet de presenterar problemlösning på. Vincent och Stacey (2008) drar slutsatsen att flera av de australiensiska läromedel de analyserat inkluderar en alltför stor andel uppgifter av enkel procedur- och repetitionskaraktär. Herbal-Eisenmann (2007) presenterar en liknande bild avseende läromedel från USA som inte lyckas förmedla en bild av en matematik som innefattar kreativa matematiska resonemang. Schmidt et al. (2001) definierar en mer komplex uppgift som en uppgift som kräver problemlösnings- och resonemangsförmåga för att lösa. Resultaten från studien visar att flertalet av de 34 ländernas läromedel innehöll färre än 15 % komplexa uppgifter. Ett resultat i linje med den för avhandlingen genomförda läromedelsanalysen. Värdet av dessa resultat kan också förstärkas av Henningsen och Stein (1997) som sett att uppgifter som kräver ett eget tänkande från eleven för att lösas, är de uppgifter som oftast av lärare och elever behandlas på ett sätt så att de konceptuella kraven avtar. Liknande resultat har också påvisats av den analys av klassrumsarbete som gjordes i samband med TIMSS 1999, där många av de uppgifter som bedömdes stimulera till att skapa en konceptuell förståelse löstes på procedurella sätt (Hiebert Diskussion 43 et al., 2003). Detta kan tolkas som att möjligheterna att lära sig annat än imitativa resonemang avtar ytterligare. Faktorer som visat sig avgörande för att behålla de möjligheter till lärande som uppgiften sannolikt avsett är bland annat elevens förförståelse och den tid som avsätts för uppgiften (Henningsen & Stein, 1997). Dessutom har som tidigare poängterats lärarens stöd stor betydelse, och det är viktigt att stödet består av att skapa en förståelse och att med hjälp av uppgiften stärka elevens kunskapsnät, snarare än att fokusera på att presentera en lämplig algoritm (Henningsen & Stein, 1997). Stacey och Vincent (2009) utvecklar resonemanget kring australiensiska läromedel där presentationerna kan betraktas som en manual för hur de efterföljande uppgifterna ska lösas. Lithner och Palm (2010) drar slutsatsen att lärare förväntar sig att läromedel ska fungera som en manual till hur uppgifter löses. I en svensk kontext beror detta enligt Lithner och Palm delvis på hur lektionstiden till stor del används, där individuellt arbete med uppgifter prioriteras. Just uppgifterna utgör en stor del av ett läromedel i matematik och influerar sannolikt elevers och lärares uppfattning om ämnet. Så omfattningen av uppgifter med möjligheter till lärande av olika typer av förmågor, och olika typer av krav är viktigt. Schoenfeld (1992) uttrycket en oro för den ackumulerade effekt de tusentals uppgifter elever löser under sin skolgång, och som förväntas kunna lösas på någon enstaka minut, och med fördel genom memorerade algoritmer. Elevernas uppfattning om matematik måste utvecklas så att exempelvis kreativa matematiska resonemang blir en mer naturlig del av ämnet för dem. Läromedlen behöver inkludera mer material med syfte att erbjuda möjligheter till lärande av en bred matematisk kompetens, på samtliga svårighetsnivåer, och på ett lättillgängligt sätt. Då eleverna sällan tar stöd av läroboken, vare sig i ett imitativt eller kreativt matematiskt resonemang är det rimligt att tycka att dessutom läromedelsförlagen bör beakta på vilket sätt de strukturerar och presenterar innehållet. Utifrån en syn på undervisningen där ett undersökande arbetssätt används föreslår Stein och Lane (1996) att uppgifter som möjliggör olika typer av lösningar och olika typer av representationsformer samt ställer krav på eleverna att också förklara sitt arbete används. Dessa typer av uppgifter beskriver Stein och Lane (1996) som en god grund för ett klassrumsarbete som syftar till att skapa möjligheter för eleverna att lära sig mer än utantillkunskaper så som till exempel att resonera kreativt matematiskt. Det är rimligt att anta att denna typ av uppgifter också kan presenteras av en lärobok. Andelen uppgifter som kan lösas med imitativa resonemang bör då kunna minska, för som Hiebert (2003) påtalar krävs inte lika mycket övning för att minnas och kunna använda en procedur om man också förstår hur och varför den fungerar. Lösningen ligger dock inte enbart i utvecklade läromedel, utan utifrån lärobokens utformning och vilka kunskapskrav som ställs på eleverna blir det viktigt att använda läroboken medvetet och reflekterande, så att de lärandemål som definierats också kan uppnås. För att detta ska bli 44 Diskussion verklighet måste reella möjligheter för lärare att hantera även denna del av sitt arbete på ett tillfredställande sätt. Trots den betydelse läroboken har i matematikundervisningen visar det faktum att den också används på vitt skilda sätt (Rezat och Strässer, 2014) att också möjligheterna till lärande kan variera högst påtagligt. De styrdokument som reglerar utbildningen i Sverige och många andra länder i världen baseras på en syn att matematisk kunskap består av mer än procedurer. På en systemnivå visar alltså en avsedd läroplan vad som forskningen betonat som avgörande för att bättre rusta våra elever med en bred matematisk kompetens. Fan och Zhu (2007) har dock funnit tydliga skillnader mellan vad styrdokument och läromedel i såväl Singapore, Kina som USA tar upp. Liknande resultat presenteras avseende den svenska skolan av Jablonka och Johansson (2010). Detta ställer krav på att läromedlen väljs ut och används med omsorg. I en undersökning gjord av den lärarfackliga tidskriften Skolvärlden där 1500 svenska lärare deltog (Stridsman, 2014, nov) framkom att 79 % av de tillfrågade upplevde att de inte hade tillräckligt med tid för att kvalitetsgranska, värdera och välja läromedel. Tidigare fanns i Sverige en central granskning av läromedel som i alla fall till viss del bemötte problemet med tidsbrist hos lärarna. Dock tror jag att genom möjligheten att välja läromedel skapas en verklig möjlighet för lärarna att också utforma sin undervisning utifrån sina egna förutsättningar och visioner. Men för att lärarna ska kunna göra medvetna val baserade på dessa förutsättningar och visioner och dessutom på de styrdokument som ligger till grund för undervisningen tror jag att såväl tid som kunskap krävs. Lärare måste få en möjlighet att under ordnade fortbildningsformer eller under sin utbildning träna sig i att använda undervisningsmaterial på ett medvetet sätt så att möjligheter till lärande ges för de förmågor som enligt forskningen och även styrdokumenten ligger till grund för en bred matematisk kompetens. Detta kan till exempel innebära diskussioner kring och medvetandegörande av vikten av urval av läromedel och hur dessa används. Med tillgång till läromedel som inkluderar en bredare syn på matematiken och som bereder möjligheter till lärande av såväl procedurell som konceptuell kunskap skapas en större potential för ökade möjligheter till lärande, i en urvalsprocess. Men likväl kan det innebära en träning i att bygga upp undervisningen på fler källor, där läroboken kan vara en central del, och där återigen en bred matematisk kompetens får utgöra målet för undervisningen. 6.3 Sammanfattningsvis Utifrån den förda diskussionen ovan önskar jag ytterligare poängtera några av de möjliga implikationer på undervisningen i matematik som framkommit i och med arbetet med de tre studierna som ingår i denna avhandling. Det behövs ett stöd för lärare att tolka styrdokument och att jobba med sin undervisning med en bred matematisk kompetens som mål. Lärarna bör i ökad utsträckning basera undervisningen på problem där eleverna själva får utforska matematiken, och att stötta eleverna i en process, snarare än att presentera färdiga algoritmer. Uppfattningen om matematik hos eleverna är en annan väsentlig faktor att beakta, och metadiskussioner om matematiken i klassrummet kan främja utvecklingen av Diskussion 45 sociomatematiska normer som på ett bra sätt stöttar det mål som tidigare presenterats som en bred matematisk kompetens. Även utvecklade läromedel som skapar bättre förutsättningar för lärare att med hjälp av läroboken skapa goda möjligheter för denna typ av lärande är värdefullt. Denna utveckling bör bestå i andra typer av aktiviteter som mer tydligt betonar vikten av en konceptuell förståelse. I linje med detta kan även andelen proceduruppgifter sannolikt minskas. Eleverna använder sällan läroboken annat än som uppgiftsbank med ett medföljande facit. Då läromedel utformas bör beaktas hur det är önskvärt att eleverna använder böckerna som stöd i en lärprocess. I och med den indelning av uppgifter som läroboksförfattarna gör förenklas möjligheterna att göra urval där en viss typ av uppgifter helt utesluts. Detta indikerar att det bör noga beaktas vilket epitet som sätts på uppgifterna i en lärobok och också uppgifternas inbördes ordningsföljd. 6.4 Fortsatt forskning Utifrån diskussionen ovan kan flera frågor formuleras vars svar skulle vara en hjälp på vägen mot en utvecklad syn på matematiken. Väsentligt i mycket av detta är hur skolan kan stimulera till lärandet av en bred matematisk kompetens, där till exempel kreativa matematiska resonemang har en central roll. Mycket av utvecklingsarbetet i klassrummet är lärarens ansvar. Frågor att beakta i detta sammanhang är då: Vilka begränsningar lärare känner då en mer konceptuell undervisning ska iscensättas? På vilket sätt stöttas lärarna bäst då undervisningen ska utvecklas? Vilka parametrar blir avgörande då eleverna jobbar i grupp med uppgifter med avseende att lösa problem och lära sig resonera matematiskt? I och med läromedlens centrala roll i matematikklassrummet kan de sociomatematiska normerna och det sätt på vilket undervisningen bedrivs påverkas med hjälp av dessa. Frågor att beakta då utvecklade läromedel efterfrågas är: Vilka uppgifter fungerar i en läromedelskontext med en kontinuitet och en ackumulerad effekt i lärandet, och hur ser läroboken i övrigt ut i relation till uppgifterna? Hur ska en lärarhandledning parallellt med ett läromedel hantera detta? För att ytterligare nyansera elevers möjligheter till lärande är det viktigt att beakta såväl läroboken och hur den används i undervisningen, som annat undervisningsmaterial och dess användning. En fråga relaterad till detta ämne och som bör beaktas är: På vilket sätt används annat undervisningsmaterial och vilka möjligheter till lärande erbjuder de i förhållande till hur de används? 46 Diskussion Samtliga de studier som ingår i denna avhandling har undersökt möjligheterna till lärande i gymnasieskolan. En bild av matematikundervisningen i den kontexten har presenterats, men vad som sker i de tidigare åldrarna har inte beaktats. Den undervisning som bedrivs på gymnasiet bygger på det som sker på grundskolan. Så för att utveckla matematikundervisningen krävs att vi frågar oss hur undervisningen ser ut även i grundskolan: Vilka uppfattningar om matematik och matematiska resonemang har elever i grundskolan, och vilka resonemang använder eleverna i grundskolan i relation till dessa uppfattningar? Vilka möjligheter till lärande med avseende på matematiska resonemang erbjuder grundskoleläromedel i matematik, beaktandes hur de används? Referenser 47 Referenser Ball, D. L., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. I J. Kilpatrick, W. G. Martin & D. Schifter, (Red.), A research companion to the principles and standards for school mathematics (s. 27-44). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Bauersfeld, H. (1980). Hidden dimensions in the so-called reality of a mathematics classroom. Educational Studies in Mathematics, 11(1), 23-41. Bergqvist, T. & Lithner, J. (2012). Mathematical reasoning in teachers' presentations. Journal of Mathematical Behavior, 31(2), 252-269. Bergqvist, T., Lithner, J., & Sumpter, L. (2008). Upper secondary students' task reasoning. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 39(1), 112. Boaler, J. (1998). Open and closed mathematics: Student experiences understandings. Journal for Research in Mathematics Education, 29(1), 41-62. and Boesen, J., Helenius, O., Bergqvist, E., Bergqvist, T., Lithner, J., Palm, T. & Palmberg, B. (2014). Developing mathematical competence: From the intended to the enacted curriculum. The Journal of Mathematical Behaviour, 33(1), 72-87. Boesen, J., Lithner, J., & Palm, T. (2010). The relation between types of assessment tasks and the mathematical reasoning students use. Educational Studies in Mathematics, 75(1), 89105. Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Burstein, L. (1993). Studying learning, growth, and instruction cross-nationally: Lessons learned about why and why not engage in cross-national studies. I L. Burstein (Red.) The IEA Study of Mathematics III: Student Growth and Classroom Processes, xxvii-xlix. New York: Pergamon Press. Cobb, P. (1994). Where is the mind? constructivist and sociocultural perspectives on mathematical development. Educational Researcher, 23(7), 13-20. Cobb, P., Wood, T., & Yackel, E. (1993). Discourse, mathematical thinking, and classroom practice. I E. A. Forman, N. Minick & C. A. Stone (Red.), Contexts for learning: Sociocultural dynamics in children's development. (s. 91-119). New York, NY: Oxford University Press. Dewey, J. (1929). The quest for certainty. Oxford, England: Minton, Balch. Doyle, W. (1983). Academic work. Review of Educational Research, 53(2), 159-199. Dweck, C. S. (2007). Boosting achievement with messages that motivate. Education Canada, 47(2), 6-10. 48 Referenser Engelbrecht, J., Bergsten, C., & Kågesten, O. (2009). Undergraduate students' preference for procedural to conceptual solutions to mathematical problems. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 40(7), 927-940. Fan, L., & Zhu, Y. (2007). Representation of problem-solving procedures: A comparative look at China, Singapore, and US mathematics textbooks. Educational Studies in Mathematics, 66(1), 61-75. Floden, R. E. (2002). The measurement of opportunity to learn. I A. C. Porter & A. Gamoran (Red.), Methodological advances in cross-national surveys of educational achievement (s. 231-266). Washington, DC: National Academy Press. Francisco, J. (2013). The mathematical beliefs and behavior of high school students: Insights from a longitudinal study. The Journal of Mathematical Behavior, 32(3), 481-493. Fuchs, L. S., Fuchs, D., Hamlett, C. L., Phillips, N. B., Karns, K., & Dutka, S. (1997). Enhancing students' helping behavior during peer-mediated instruction with conceptual mathematical explanations. The Elementary School Journal, 97, 223–249. Furinghetti, F., & Morselli, F. (2009). Every unsuccessful problem solver is unsuccessful in his or her own way: Affective and cognitive factors in proving. Educational Studies in Mathematics, 70(1), 71-90. Gravemeijer, K. & van Galen, F. (2003). Facts and algorithms as products of students’ own mathematical activity. I J. Kilpatrick, W. G. Martin & D. Schifter, (Red.), A research companion to the principles and standards for school mathematics (s. 114-122). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Greer, B., Verschaffel, L., & de Corte, E. (2002). 'The answer is really 4.5': Beliefs about word problems. I G. C. Leder, E. Pehkonen & G. Törner (Red.), Beliefs : A hidden variable in mathematics education? (s. 271-292). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Henningsen, M., & Stein, M. K. (1997). Mathematical tasks and student cognition: Classroom-based factors that support and inhibit high-level mathematical thinking and reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 28(5), 524-549. Herbel-Eisenmann, B. (2007). From intended curriculum to written curriculum: Examining the "voice" of a mathematics textbook. Journal for Research in Mathematics Education, 38(4), 344-369. Hiebert, J. (2003). What research says about the NCTM standards. I J. Kilpatrick, W. G. Martin & D. Schifter, (Red.), A research companion to the principles and standards for school mathematics (s. 5-23) Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Hiebert, J., & Carpenter, T. P. (1992). Learning and teaching with understanding. I D. A. Grouws (Red.), Handbook for research on mathematical teaching and learning (s. 6597). New York, NY: Macmillan. Referenser 49 Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K., Human, P., Murray, H., … Wearne, D. (1996). Problem solving as a basis for reform in curriculum and instruction: The case of mathematics. Educational Researcher, 25(4), 12-21. Hiebert, J., Gallimore, R., Garnier, H., Givvin, K. B., Hollingsworth, H., Jacobs, J., … Stigler, J. (2003).Teaching mathematics in seven countries: Results from the TIMSS 1999 video study. Washington, DC: U.S. Government Printing Office. Hiebert, J., & Grouws, D. (2007). The effects of classroom mathematics teaching on students learning. I F. K. Lester (Red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning : A project of the national council of teachers of mathematics (s. 371-404). Charlotte, NC: National Council of Teachers of Mathematics; Information Age Publishing. Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. I J. Hiebert (Red.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (s. 1-27). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Hiebert, J., & Wearne, D. (1993). Instructional tasks, classroom discourse, and students' learning in second-grade arithmetic. American Educational Research Journal. 2(30), 393-425. Jablonka, E., & Johansson, M. (2010). Using texts and tasks: Swedish studies on mathematics textbooks. I B. Sriraman (Red.), The first sourcebook on nordic research in mathematics education : Norway, Sweden, Iceland, Denmark, and contributions from Finland (s. 363372). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Jonsson, B., Norqvist, M., Lithner, J., & Liljekvist, Y. (2014). Learning mathematics through algorithmic and creative reasoning. Journal of mathematical behavior, 36, 20-32. Kloosterman, P. (2002). Beliefs about mathematics and mathematics learning in the secondary school: Measurement and implications for motivation. I G. C. Leder, E. Pehkonen & G. Törner (Red.), Beliefs: A hidden variable in mathematics education? (s. 247-269). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the answer: Mathematical knowing and teaching. American Educational Research Journal, 27(1), 29-63. Lithner, J. (2003). Students' mathematical reasoning in university textbook exercises. Educational Studies in Mathematics, 52(1), 29-55. Lithner, J. (2004). Mathematical reasoning in calculus textbook exercises. Journal of Mathematical Behavior, 23(4), 405-427. Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational Studies in Mathematics, 67(3), 255-276. Lithner, J., & Palm, T. (2010).Learning difficulties and mathematical reasoning. In B. Sriraman (Ed.), The first sourcebook on nordic research in mathematics education : 50 Referenser Norway, Sweden, Iceland, Denmark, and contributions from Finland (pp. 283-298). Charlotte, NC: Information Age Publishing. McLeod, D. B. (1992). Research on affect in mathematics education: A reconceptualization. In D. A. Grouws (Red.), Handbook for research on mathematical teaching and learning (s. 575-596). New York, NY, England: Macmillan. Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Foy, P., Arora, A. (2012). TIMSS 2011 International Results in Mathematics. Chestnut Hill, MA: Boston College, TIMSS and PIRLS International Study Center. Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Foy, P., Olson, J. F., Preuschoff, C., Erberber, E., … Galia, J. (2008). TIMSS 2007 International Mathematics Report – Findings from IEA’s trends in international Mathematics and Science Study at the fourth and eighth grades. Chestnut Hill, MA: Boston College, TIMSS and PIRLS International Study Center. Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Ruddock, G. J., O'Sullivan, C. Y. & Preuschoff, C. (2009). TIMSS 2011 assessment frameworks. Chestnut Hill, MA: Boston College, TIMSS and PIRLS International Study Center. Niss, M. (2003). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM project. Third Mediterranean Conference on Mathematics Education Athens, Greece. 115–124. Op’t Eynde P., B., de Corte, E. & Verschaffel, L., (2002). Framing students’ mathematicsrelated beliefs. I G. C. Leder, E. Pehkonen & G. Törner (Red.), Beliefs : A hidden variable in mathematics education? (s. 13-37). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. OECD (2014). PISA 2012 results in Focus. What 15-year-olds know and what they can do with what they know. Paris: OECD Publishing. Palm, T., Boesen, J., & Lithner, J. (2011). Mathematical reasoning requirements in Swedish upper secondary level assessments. Mathematical Thinking and Learning: An International Journal, 13(3), 221-246. Rezat, S. (2012). Interactions of teachers’ and students’ use of mathematics textbooks. I G. Gueudet, B. Pepin & L. Trouche (Red.), From text to 'lived' resources (s. 231-245). Dordrecht: Springer Science+Business Media B.V. Rezat, S., & Strässer, R. (2012). From the didactical triangle to the socio-didactical tetrahedron: Artifacts as fundamental constituents of the didactical situation. Zdm – The International Journal of Mathematics Education, 44(5), 641-651. Rezat, S., & Strässer, R. (2014). Mathematics Textbooks and How They Are Used. In P. Andrews & T. Rowland. London (Eds.) Master Class in Mathematics Education. International Perspectives on Teaching and Learning. (pp. 51-62).New York: Bloomsbury. Sanaghan T., Pennel J., Munro C., Ford C., Dalton J. & Walker E. (2007). Scottish Secondary Mathematics R3. Essex: Heinemann Referenser 51 Schmidt, W. (2012). Measuring content through textbooks: The cumulative effect of middleschool tracking. I G. Gueudet, B. Pepin & L. Trouche (Red.), From text to 'lived' resources (s. 143-160). Dordrecht: Springer Science+Business Media B.V. Schmidt, W. H., McKnight, C. C., Houang, R. T., Wang, H., Wiley, D. E., Cogan, L. S. & Wolfe, R. G. (2001). Why schools matter: A cross-national comparison of curriculum and learning. The jossey-bass education series Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando: Academic Press. Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. I D. A. Grouws (Ed.), Handbook for research on mathematical teaching and learning (s. 334-370). New York, NY England: Macmillan Publishing Co, Inc. Schoenfeld, A. H. (2012). Problematizing the didactic triangle. Zdm – The International Journal of Mathematics Education, 44(5), 587-599. Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 1-36. Sfard, A., & Linchevski, L. (1994). The gains and the pitfalls of reification: The case of algebra. Educational Studies in Mathematics, 26(2-3), 191-228. Shield, M., & Dole, S. (2013). Assessing the potential of mathematics textbooks to promote deep learning. Educational Studies in Mathematics, 82 (2), 183-199 Skemp, R.R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics teaching, 77, 20-26. Skolverket. (2003). Lusten att lära - med fokus på matematik. No. 221. Stockholm: Fritz. Skolverket (2011a). Läroplan, examensmål gymnasieskola 2011. Stockholm: Fritzes. och gymnasiegemensamma ämnen för Skolverket. (2011b). Ämnesplan - matematik. alla kommentarer. Stockholm: Skolverket. Hämtad (16/1-2015) http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-ochkurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=MAT&lang=svhttp ://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-ochkurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=MAT&lang=sv Skolverket. (2012). Upper secondary school 2011. Stockholm: Fritzes. Stacey, K., & Vincent, J. (2009). Modes of reasoning in explanations in australian eighthgrade mathematics textbooks. Educational Studies in Mathematics, (3), 271. Stridsman, S. (2014, nov). Läromedelslotteriet. Skolvärlden, 9, s. 29-34. 52 Referenser Stein, M. K., Engle, R. A., Smith, M. S., & Hughes, E. K. (2008). Orchestrating productive mathematical discussions: Five practices for helping teachers move beyond show and tell. Mathematical Thinking and Learning: An International Journal, 10(4), 313-340. Stein, M. K., & Lane, S. (1996). Instructional tasks and the development of student capacity to think and reason: An analysis of the relationship between teaching and learning in a reform mathematics project. Educational Research & Evaluation, 2(1), 50. Stein, M. K., Remillard, J., & Smith, M. S. (2007). How curriculum influences student learning. I F. K. Lester (Red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning : A project of the national council of teachers of mathematics (s. 319-369). Charlotte, NC: National Council of Teachers of Mathematics; Information Age Publishing. Sumpter, L. (2013).Themes and interplay of beliefs in mathematical reasoning. International Journal of Science and Mathematics Education, 11(5), 1115-1135. Törnroos, J. (2005). Mathematics textbooks, opportunity to achievement. Studies in Educational Evaluation, 31(4), 315-327. learn and student Valverde G. A., Bianchi L. J., Wolfe R. G., Schmidt W. H. och Houang R. T. (2002). According to the book: Using TIMSS to investigate the translation of policy into practice through the world of textbooks. Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Vetenskapsrådet. (2011). God forskningssed. (No. 1:2011). Stockholm: Vetenskapsrådet. Vincent, J., & Stacey, K. (2008). Do mathematics textbooks cultivate shallow teaching? applying the TIMSS video study criteria to australian eighth-grade mathematics textbooks. Mathematics Education Research Journal, 20(1), 82-107. Vygotsky, L. S., (1978). Mind in society : The development of higher psychological processes. Cambridge, MA.: Harvard University Press. Wai Keung, C. (2013). Discovering Mathematics 1A. Singapore: Star publishing Pte Ltd Webb, N. M., & Mastergeorge, A. (2003). Chapter 4: Promoting effective helping behavior in peer-directed groups. International Journal of Educational Research, 39 (1-2), 73-97. Yackel, E., & Cobb, P. (1996).Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27(4), 458-77. Yackel, E., Hanna, G. (2003). Reasoning and proof. I J. Kilpatrick, W. G. Martin & D. Schifter, (Red.), A research companion to the principles and standards for school mathematics (s. 227-236). Reston, VA, USA: National Council of Teachers of Mathematics. Yackel, E., & Rasmussen, C. (2002). Beliefs and norms in the mathematics classroom. I G. C. Leder, E. Pehkonen & G. Törner (Red.), Beliefs : A hidden variable in mathematics education? (s. 313-330). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. DEL 2 - STUDIERNA Reasoning requirements in school mathematics textbooks: an analysis of books from 12 countries Jonas Jäder, Johan Lithner, Johan Sidenvall Abstract A selection of upper secondary school textbooks from twelve countries in five continents is used in this paper as an indicator of the opportunities to learn mathematics through different forms of reasoning. Education that allows for more than rote learning is important. One aspect that is fundamental to the development of conceptual understanding as well as problem solving ability is the opportunity to learn how to construct mathematically well-founded reasoning. This study compared textbook tasks to the information provided previously in the book, determining if it is possible and reasonable to mimic available solution templates, or if a solution has to be constructed. The results show that the average proportion of tasks where it is possible to mimic available templates is 75% in all books, but that this proportion varies widely depending on the textbook authors own labeling of the tasks. Approximately 15% of the tasks can be solved mainly by mimicking provided templates but require some minor modification, and the remaining 10% of the tasks require that the main parts of the solution are constructed without the guidance of a template. The twelve countries perform differently in international tests such as Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS), and Programme for International Student Assessment (PISA). Nevertheless, we see similarities in the textbooks which indicate that the textbook is not the only factor to students’ opportunities to learn. The results further indicate that the opportunities to learn also depend on the task selection made from within the textbook, and that the textbooks might provide limited opportunities for students to create their own solutions to tasks and rely on the competence of mathematical reasoning. One implication of these results may be that textbook designers, teachers and students need to pay greater attention to the learning goals in relation to textbook tasks. Keywords: Mathematics Textbooks, Mathematics Tasks, Mathematical reasoning, Opportunities to learn, Upper secondary school 1 Introduction and purpose A shift toward a richer view of what doing mathematics is, has appeared in several countries included in this study since the 1990s (Boesen et al., 2014). For example, curricula and national standards in Australia, Canada, India, Ireland, Scotland, Singapore, South Africa, Sweden and the USA now stress the importance of competencies such as problem solving, reasoning and the ability to connect concepts to each other (Boesen et al., 2014; Davis, Smith, Roy, & Bilgic, 2014; Henderson, 2012; Ministry of Education, Ontario, 2005; Department: Education, Republic of South Africa, 2008). Due to the immense complexity of mathematics education (Niss, 2007), and the long tradition of mathematics as a school subject, the impact of curriculum reforms may not be clearly visible in all aspects of education. Several factors influence what opportunities to learn students have. One of these factors is the textbook (e.g. Schmidt et al., 2001; Schmidt, 2012). This article presents a study where a selection of upper secondary textbooks from twelve countries in five continents are analyzed. The textbooks are used as indicators of what opportunities to reason mathematically are provided to the students. A basic assumption is that how students use mathematical reasoning when solving textbook tasks will affect their learning process and thus their development of mathematical competence. At least in some countries it seems 2 J. Jäder et al. that students are mainly provided with opportunities to learn mathematics by rote (Hiebert, 2003; Lithner, 2008; Boesen et al., 2014). Of particular focus in this study is whether this is reflected in common textbooks from the twelve countries, or if development of basic competencies such as conceptual understanding, problem solving and mathematical reasoning ability is enhanced. 2 2.1 Background The textbook (and its tasks) creating opportunities to learn There is a large body of evidence supporting that “students learn what they are given opportunities to learn” (Hiebert, 2003, p. 10). Opportunities to learn (OTLs) can be used as a measure of “whether or not... students have had the opportunity to study a particular topic or learn how to solve a particular type of problem presented by a test” (Husen, 1967, pp. 162-163, cited in Burstein, 1993, p. xxxiii). In relation to the framework used in the Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS), a factor such as the textbook may be regarded as a potentially implemented curriculum (Mullis, Martin, Ruddock, O'Sullivan & Preuschoff, 2009). The textbook can provide one of many images of the students’ opportunities to learn. Rezat and Strässer (2012) argue for the textbook becoming part of a didactical tetrahedron, shaping didactical situations together with the teacher, students and the specifics of the subject mathematics. How the textbook is used varies a lot, but it is clear that the textbook is one of the main influencing factors on the teaching of mathematics (Rezat & Strässer, 2014). The results from TIMSS 2011 show that more than half the students in year eight in countries such as Australia, Finland, Singapore, Sweden, South Africa (year 9), 2 of 3 provinces included in Canada are taught in an environment where the textbook is the foundation of the education. In the USA the proportion was 48%, and in some countries as high as above 90 % (Mullis, Martin, Foy & Arora, 2012). What is considered important and part of mathematics education is reflected by the textbook (e.g. Vincent & Stacey, 2008; Johansson, 2006; Schmidt, 2012; Schmidt et al., 2001). A relationship between the textbook, viewed as a potentially implemented curriculum and the attained curriculum, meaning the learning outcome, has been shown in several different contexts (Schmidt, 2012). Shield and Dole (2012) suggests to consider a textbook analysis as a first level analysis, and one way of getting an idea of the OTL that are available to students. The OTLs are created by the textbook in combination with other factors such as, time spent on the subject, a student’s motivation, and teacher competence. All these factors are likely to affect the OTL for students. Consequently, a textbook analysis may help us understand how policy documents such as national curricula are manifested in the classroom by textbooks (McDonnell, 1995). Schmidt et al. (2001) has also shown that there is a clear relationship between textbooks and classroom instruction. From the activities that students are presented in the classroom and their experiences, the idea of what qualifies as mathematical knowledge is made legitimate. Major components of many textbooks are the tasks or exercises constructed for students to solve. What the students encounter through the tasks will be of importance in forming their view of mathematics. Doyle (1983) states that, “tasks influence learners by directing their attention to particular aspects of content and by specifying ways of processing information” (p. 161), while Stein, Remillard and Smith (2007) argue that, “the tasks with which students engage determine what they learn about mathematics” (p. 346). They go on to conclude that Reasoning requirements in school mathematics textbooks 3 different tasks provide different OTLs and that the cumulative effect of this explains to the students what mathematics is and how one does it. A task may signal whether a student should engage their understanding or just produce an answer (Gresalfi, 2009). Empirical hints about solutions and step-by-step procedures to memorize, integrate students into the norm of skill-based task solving without a serious emphasis on understanding (Schoenfeld, 2012). Consequently, this will eventually lead to a view of mathematics as merely focused on finding the appropriate algorithm to solve a problem. A lot of textbook authors label the tasks in the book with regard to different criteria. For example there are sets of tasks labeled “Activity”, “Reflection”, and “Investigate”, where an inquiry based way of working is expected. Labels such as ”Discuss”, “Reflection”, “Discuss the concept”, “To think about” and “Write in your journal” ask for some kind of reflection. Among the tasks immediately following the textbooks presentation of new material, different sets of tasks are also present. Sometimes this division is explicitly said to be in relation to the level of difficulty, while in other books being based on a specific skill. The first set of tasks that students meet is for example called ” Basic”, “Fluency”, ”Skill practice” ”Practice” and “General”. Among the later sets we notice “Understanding”, “Reasoning”, “Apply”, “Extend”, “Maths at work”, “Brainworks”, “Challenge” and “Problem solving”. This labeling of tasks and the task selection done by students and teachers, springing from this labeling may influence the opportunities to learn for students. In a Swedish context it appears to be important since students mainly work with the first, easier tasks within each section (Sidenvall, Lithner & Jäder, in press). 2.2 Reasoning and mathematical competence Hiebert & Grouws discuss the types of knowledge, conceptual and procedural, and acknowledge the importance of both and the fact that they interact with each other. One of the main problems with learning difficulties in mathematics is that rote learning and mathematically superficial reasoning become the very foundation of mathematics for many students (Hiebert, 2003). Nevertheless, to learn mathematics also implies mastering competencies such as mathematical reasoning, problem solving and conceptual understanding (NCTM, 2000; Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001; Niss, 2003). To develop such competencies, students need an education that is explicitly focused on each one of them (Hiebert, 2003, Niss, 1999). Boaler (1998) argues that mathematics teaching needs to take an approach that emphasizes a deeper understanding of the subject and pays less attention to computation, rules and procedures. Logical reasoning is a valuable asset when learning mathematics (Nunes et al., 2007). Ball and Bass (2003) claims that, “the notion of mathematical understanding is meaningless without a serious emphasis on reasoning” (p. 28). This is also expressed by Thompson (1996) who states that he is not able to separate a discussion on learning from one on reasoning. 3 3.1 Research framework Types of reasoning The framework used in this study (Lithner, 2008) allows for a distinction between procedural and conceptual knowledge, in regard to the kind of knowledge required to solve tasks. The framework provides an analytical tool making it possible to distinguish the reasoning used or required. We acknowledge that there are other frameworks related to reasoning (e.g. Stacey & Vincent (2009); Stylianides (2009); Thompson, Senk & Johnson 4 J. Jäder et al. (2012). Some of these focus on proofs or distinctions between different skills related to the conceptual field. Still others are theoretical frameworks rather than aimed at providing an analytical tool. In this article, reasoning is defined as “the line of thought adopted to produce assertions and reach conclusions” (Lithner, 2008, p. 257). The reasoning does not have to be correct, as long as it can be supported by some kind of explicit or implicit arguments that make sense to the reasoner. Reasoning can be seen as the trace of a student’s thinking process which is “guided and limited by the student competencies and is formed in a sociocultural milieu” (Lithner, 2008, p. 257).The empirical studies behind the framework (Lithner, 2000, 2003, 2004; Bergqvist, Lithner & Sumpter, 2008) developed by Lithner (2008) led to definitions of two main types of reasoning. Creative mathematically founded reasoning (CMR) is defined by three conditions: novelty, plausibility and mathematical foundation. This means that a reasoning sequence that is new to the reasoner is created, the strategy choice, as well as the strategy implementation is purposeful, and arguments are based on intrinsic mathematical properties. In contrast, imitative reasoning is often suitable in routine tasks, where the strategy choice is finding an answer or algorithm that seems appropriate for the situation, and the strategy implementation consists only of writing down a recalled answer or applying the available algorithm. In this case, superficial characteristics of the task guide the reasoner in his/her strategy choice. Guided algorithmic reasoning (GAR) is a specific type of imitative reasoning that is defined by two conditions: 1) The strategy choice concerns identifying surface similarities between the task and a solution template in the form of an example, definition, theorem, rule or some other situation in a text source and, 2) The algorithm is implemented without verificative argumentation (Lithner, 2008). In this study, an algorithm is defined as, “a finite sequence of executable instructions which allows one to find a definite result for a given class of problems” (Brousseau, 1997, p. 129). An algorithm can always be determined in advance. A certain step in the chain of instructions cannot depend on any unforeseen circumstances earlier in the sequence of instructions, nor “on the finding of new information, on any new decisions, any interpretation, and therefore on any meaning that one could attribute to them” (Brousseau, 1997, p. 129). Included in this definition are not only calculations, but also all pre-specified procedures that might be necessary for reaching a conclusion. This implies that the algorithm includes everything that is conceptually difficult (Lithner, 2008). 3.2 Textbook task analysis The term “task” is in this paper used to refer to a textbook exercise or a part thereof that is intended to support the student’s learning (Halldén, Scheja & Haglund, 2008). This also implies that all tasks included in the textbook are considered to be solvable by the students. The way in which a textbook makes different kinds of strategies in solving tasks possible cannot be determined solely by the task itself. When working on textbook tasks it may be possible for the student to connect the task to examples or other situations in the textbook by using surface properties of the task. This provides the student with a template for how to solve the task, which may now be done in a routine way without considerations of mathematical meaning (Brousseau, 1997). This approach may prove “successful” as long as the surface properties lead to the appropriate strategy and the purpose is only to solve the task. However, this strategy leads to rote learning (Hiebert, 2003), and if the purpose is to develop broad mathematical competence, other types of reasoning are required (Lithner, 2008). To be able to deploy GAR, a student must have access to a template presenting an algorithm or fact necessary to solve the task. In the context of solving tasks in the textbook this situation could be found anywhere Reasoning requirements in school mathematics textbooks 5 in the textbook, preceding the task. For example, this could be in a solved example or in a theory paragraph, but also in a previous task. The information given by the textbook in that specific instance is denoted GARinformation. The comparison needs to take into account the algorithm itself, and also includes the supplementary GAR-information in terms of the contextual features important to reinforce the algorithm. For example, an algorithm might be understood when used in a certain setting, but when parameters are changed, there needs to be a transfer of the understanding that is conceptually demanding. The more the initial parameters resemble the ones in the task at hand, the less cognitively demanding the transfer (Palm, Boesen & Lithner, 2011). Additionally, if the parameters are altered they might make the transfer of understanding more demanding. Nevertheless, when possible, solvers often proceed without understanding the task by linking to previously used procedures (Silver, 1986). Both the contextual and the mathematical features of a task are important to consider when performing a task analysis (Li, 2000). Such linkage has been demonstrated by Hegarty, Mayer and Monk (1995), who state that unsuccessful problem solvers use a direct-translation strategy. This means that certain features of the task formulation are used to form a basis for selecting a strategy. In the context of textbook tasks the strategy could be finding a corresponding solved example.GAR is possible for the student if the method of solution is found in the GAR-information, and this information is possible to relate to the task by surface properties only. If it is possible to use an available algorithm to solve a task, but minor modifications are needed, the task is considered to require Local CMR. This means that the main part of the solution can be carried out using GAR but a smaller part has to be constructed by CMR.A textbook task that is possible to solve by GAR will be denoted as a GAR-task, a task that is not possible to solve by GAR but can be solved by Local CMR is denoted as a Local CMR-task, and a task that to a large extent requires CMR is denoted as a Global CMR-task. Since only correct solutions are included in the classification and since completely random guesses are not included, the categories can be seen as mutually disjointed (Lithner, 2008). GAR-tasks: Can be solved by Local CMR-tasks: Can be solved Global CMR-tasks: The an algorithm (or answer) that is with minor modifications by an algorithm (or answer) needed to available in the textbook algorithm (or answer) available in solve the task is not found in the textbook. the textbook. In connection to each task categorized, the textbooks own labeling of the tasks, in terms of for example, difficult level, a specific skill or way of approaching the problem, was also recorded. 4 Research questions By analyzing the textbook tasks in relation to what is presented in the textbook, the intention is to discover what opportunities to learn to reason mathematically are provided by the textbook. It is important to convey to the students the message that mathematics is built on a foundation of reasoning rather than on mere arbitrary rules (Stacey & Vincent, 2009). The proportion of tasks requiring students to go beyond using well-defined and preknown algorithms is an indication of the expectations set on students. Stacey and Vincent (2009) argue that even though a textbook presentation includes reasoning, the requirement set up by the subsequent tasks is likely to mediate a focus on rules rather than reasoning. Li (2000) argues that task analysis may give us other information 6 J. Jäder et al. on what is expected from students than does a content analysis. Few earlier studies on textbooks have focused on the tasks (Li, 2000). The study responds to the following research question: What is the proportion of Global CMR-, Local CMR- and GAR-tasks in chapters on algebra and geometry in mathematics textbooks used in upper secondary school in twelve different countries? We will discuss the results of the question above in relation to students’ opportunities to learn to reason mathematically. This discussion will also relate to how the textbook chooses to organize their tasks in subgroups according to, for example difficult level, a specific skill or way of approaching the problem. 5 5.1 Method Selection of countries and textbooks The selection of countries was based on a wish to include countries from different parts of the world, but also affected by pragmatic constraints. Firstly, since the analysis is rather time-consuming it was judged that more than 10-15 countries would be difficult to manage. Secondly, the ambition was to analyze commonly used textbooks and in order to avoid the need for making translations (which is a methodological difficulty) the selection was limited to countries where English or Swedish is a common language in secondary school. Thirdly, since there, to our knowledge have been very few studies on textbooks from more than 2-3 countries that could guide the selection procedure, it is in this study rather explorative. This lead to the decision to prioritize a geographical distribution including samples from the five continents, since one of the underlying explorative questions is if textbooks are different in different parts of the world. We also see that among these countries there is a variation in achievement in international tests such as TIMSS (Mullis et al., 2012), and Programme for International Student Assessment (PISA) (OECD, 2014). Consultations with mathematics educators, teachers, school administrators and researchers in the field of mathematical education formed the basis for ascertaining which textbooks were commonly used. A questionnaire was sent to contact persons (mathematics teachers and/or mathematics education researchers) in thirteen countries where Swedish or English is the dominant (or at least a common) language used in secondary education. These countries were: Australia, Canada, England, Finland, Ireland, India, Nepal, Scotland, Singapore, South Africa, Sweden, Tanzania and the USA. All countries, but England, where no answer to the questionnaire was received, are included in the study. A question asking what were the most commonly used textbooks, or textbook series within each country at the specified level of education was posed. Textbook series were selected in accordance with the answers to this question, and can be seen as providing a sample of commonly used textbooks, representative of each country. To analyze the OTLs, the study of specific mathematics topics is valuable (Schmidt et al., 2001). Therefore, a decision was made to focus the analysis on two specified mathematical topics. The mathematical content of the textbooks was labeled in accordance with the TIMSS content framework on its most detailed level (forty-four mathematics topics such as decimal fractions, measurement, 2-D geometry, proportionality concepts, equations and formulas, and uncertainty and probability) to find common topics in textbooks (Mullis et al., 2008). Algebra and geometry are two core mathematical topics included as part of mathematical education internationally. Within these two topics, more specific areas were chosen according to the demands stated above. These were “equations and formulas” and “perimeter, area and volume”. The specified topic areas were components of all Reasoning requirements in school mathematics textbooks 7 textbooks or textbook series, but at different age levels. Nevertheless all chapters analyzed were part of secondary school education covering similar material and deemed comparable. 5.2 Data analysis The earlier presented framework serves as a backbone to the deployed analytical method. The basic methodological assumption is that if students are provided with information in the textbook that makes it possible to solve a task by guided algorithmic reasoning (GAR), then students will mainly apply GAR and seldom use creative mathematically founded reasoning (CMR) (even though it is possible to solve every task by CMR). This assumption is in line with both theoretical analyses (Brousseau, 1997), and empirical studies on how students reason when working individually with textbook and test tasks (Lithner, 2003; Boesen, Lithner & Palm, 2010). Surveys of empirical studies (e.g. Hiebert, 2003) of how students use mathematically superficial thinking when tasks solving templates are provided also support this assumption. Students may use guidance from text resources such as the textbook, as indicated in the above-mentioned studies, or if more easily accessible, the guidance from peers or teachers (Sidenvall et al., in press). Whether it is more likely for the student to use text guided AR or some kind of person guided AR is not within the scope of this study. 5.2.1 Classification procedure The analysis was based on a method proposed by Lithner (2004) developed during analysis of university mathematics textbook tasks and later refined by Palm et al. (2011) upon analysis of mathematics test tasks. The overall idea behind the procedure is to determine if it is possible and reasonable that students can solve the task by using GAR, or whether CMR is required. GAR is judged to be sufficient for solving a task if it is reasonable that the students can find GAR-information in the textbook. It is assumed that there are two situations in which finding the GAR-information is possible. The first situation is if the solution algorithm is positioned close to the task. If a task can be solved by using an algorithm that has appeared earlier in the same textbook section, it is reasonable to suggest it likely that the student tries this algorithm to solve the task. A section of a book is defined as a well delimited space within a chapter, with its own (sub-)title in the contents section, and often spans 1-10 pages. When the GAR-information is not found within the same section, but rather earlier in the chapter, a strengthened link between the two is needed. This is made possible if task characteristics are similar to the GARinformation. A set of task characteristics that are important for students’ possibilities of detecting the relatedness between a task and corresponding GAR-information are suggested by Palm et al. (2011) and will be used in this study. For relatedness between a task and GAR-information to become clear, one or more of these characteristics need to link the two together. Task characteristics considered to be important are: the assignment, what data is presented and in what way, the context in which the task is embedded, certain keywords, phrases or symbols, response format and non-mathematical pictures, hints to solutions, and other extra information useful to relate a task to GAR-information. Sometimes two or more pieces of GAR-information can be combined into a task solution. If finding a suitable combination of GAR-information requires CMR, the task is classified as requiring CMR. If not it is classified as a GAR task. It is assumed that information that serves as a basis to what is presented by the textbook has been covered earlier in the students’ education, and is considered pre-knowledge. The task analysis procedure comprised the following steps (see below for specifications of the steps and also the section Examples of Classifications for examples of data analyses following the procedure): 8 J. Jäder et al. Task analysis 1. Identification of possible algorithms that can be used to solve the task. 2. Description of the task by means of contextual features of possible importance to the appearance of the algorithm. Search for GAR-information 3. A search for solved examples, presented rules, theorems, facts and tasks prior in the same section, with GAR-information being the same or similar to that of the task. 4a. If no GAR-information is found in the same section as the task, a new search within previous sections is conducted. 4b. Description of the task characteristics (presented below) and a comparison with the found GARinformation. Conclusion 5. Conclusion and arguments for categorization of a task as being either of the GCMR, LCMR or GAR type, depending on possible similarities between the task and the GAR-information. Also included in this argumentation is the accessibility of the GAR-information and/or similarities in task characteristics. 1. Algorithm(s) features- Task Schematic representation of the analysis procedure with possible categorizations. 2. Contextual features- Task 3. GAR-information – Same section Yes No 4a. GAR-information – Yes Previous section(s) 4b. Characteristics – Task & GAR-information No Yes No 5. Conclusion - 5. Conclusion – GCMR LCMR/GAR Fig. 1 The task classification procedure Reasoning requirements in school mathematics textbooks 9 Initially the analysis and classification of tasks was discussed with two fellow researchers conversant with the framework and the method of analysis. This in turn strengthened the reliability of the method where interrater agreement was reached in more than 98% of the analyzed tasks. The analysis of textbooks included tasks in two separate chapters on algebra and geometry respectively. This resulted in a proportion of GAR-, LCMR- and GCMR-tasks in each chapter of each book. Some of the textbooks were intended to be used together with a (home-) workbook, practice book or similar. These extended learning opportunities were also considered. A survey of these books revealed that they were comparable to each of the textbooks regarding the focus of this study. These extra resources were therefore not included in the final analysis since they were judged not to significantly change the outcome of the analysis and since they were only present for some of the textbooks. 5.2.2 Classification categories Guided algorithmic reasoning (GAR) classification For a task to be classified as GAR two conditions need to be fulfilled. First, a solved example, presented rule, theorem or some other solution template that can be applied to solve the task has to exist. Second, it is necessary that this solution algorithm can be easily identified, either by being positioned previously within the same section as the task or in terms of the task characteristics presented above. Local creative mathematically founded reasoning (LCMR) classification If the demands regarding characteristics of GAR above are essentially fulfilled, but the algorithm or answer needs minor modifications by CMR, the task is classified as LCMR. Global creative mathematically founded reasoning (GCMR) classification If the algorithm needed to solve the task has not appeared in the textbook before or if such an algorithm exists but it is not reasonable that the student can connect it to the task without applying CMR, the task is classified as GCMR. The textbook, being an artifact produced for a specified target group, and used to promote learning, is assumed to include no tasks that are not solvable using GAR or CMR. Therefore, if neither the GAR nor the LCMR criteria are fulfilled, the categorization is GCMR. 5.3 Examples of task categorization The five steps of the classification procedure were applied to all tasks included in the analysis. As presented in the flow chart above, not all steps are necessary at all tasks. The task exemplifies a typical GAR-task, in the context of the Tanzanian textbook (Secondary Basic Mathematics, Book 1, Tanzania, task 7.5-2). On the previous page of the textbook, and within the same section, a solved example is provided, using the same algorithm needed to solve the task. The context is mathematical in the textbooks example as well as the task. The considerations done during the process of categorization is exemplified by the following six authentic examples. (For a complete list of all the textbooks analyzed please see appendix 1.) 5.3.1 GAR-categorization (Geometry, USA, task 1.7-40, problem solving) The task is “The giant Amazon water lily has a lily pad that is shaped like a circle. Find the circumference and area of a lily pad with a diameter of 60 inches. Round your answer to the nearest tenth.” Step 1: Possible solution: Calculate the radius by dividing the diameter in half. Use the formula calculate the circumference and the formula to to calculate the area of the circular pad. Round the answer. Step 2: Contextual features: A lily pad surface shaped as a circle. 10 J. Jäder et al. Step 3: GAR-information: In example 2, the area and circumference of a cloth patch is calculated, given a figure of the patch with the diameter shown. The answers are also rounded to the nearest tenth. Step 4: Not necessary since GAR-information is already identified. Step 5: Conclusion: Since the assignment is to calculate the circumference and area the context is not likely to hinder the students from seeing the similarity between the task and the solved example. The algorithm used in the example can be used to solve the task. 5.3.2 LCMR-categorization (Speedy Maths, Book 10, Nepal, task 5.1-4d, Creative) The task is “If the perimeter of an equilateral triangle is 12cm, find its area.” Step 1: Possible solution: Use the fact that the triangle is equilateral to find the length of the sides by dividing the perimeter by three. Calculate the height of the triangle by using Pythagoras’ theorem, and finally use the formula to calculate the A area of the triangle. Step 2: Contextual features: Mathematical context Step 3: GAR-information: In a previous task (5.1-4a), the area of an equilateral triangle for which the sides are known is asked for. Step 4: Not necessary since GAR-information is already identified. Step 5: Conclusion: To be able to calculate the area one needs to find the height and base of the triangle. The height is found by using Pythagoras’ theorem in both the task and the previous task. Nevertheless, the task starts at an earlier point than that, in that the base (i.e. the length of the sides) has to be calculated. To realize the need to find the side length and to also implement this is considered to require CMR. In turn, this reasoningis considered constituting only a minor part of the total of the solution, which makes the categorization LCMR. 5.3.3 GCMR-categorization (Matematik 5000 1b, Sweden, task 3324, a-task) The task is to “With words, describe the relation between a and b”. The table below is included in the text. a b 1 6 2 7 4 9 Step 1: Possible solution: Compare the values of a and b in each row. A reasonable approach is to search for elementary arithmetic relations, and to find the relation saying that b is 5 more than a. In this case, this can be done by performing the subtractions 6-1, 7-2 and 9-4 and seeing that the result is always going to be 5. Step 2: Contextual features: Mathematical context Step 3: GAR-information: No GAR-information reasonable to use for solving the task is found within the same section as the task. Step 4a: GAR-information: No GAR-information reasonable to use for solving the task is found in other sections. Step 4b: Describe the task and the GAR-information in terms of characteristics: Not applicable. Step 5: Conclusion: To solve the task means to find the correct relation, considering all three rows. Since there is no algorithm available to do this, the task is categorized as requiring GCMR. Reasoning requirements in school mathematics textbooks 6 11 Results and analysis The data collected in this study has been analyzed using descriptive statistics. In the sections below, relative proportion diagrams present the results in relation to each of the research questions posed. Since the aim of the study is not to present exact values corresponding to the questions, but rather expose similarities and differences as well as give an indication of the general proportion of each of the task types, the provided diagrams are suggested to be more meaningful visual communication of these data than tabulated values. Information on what books have been analyzed can be found in appendix 1. Tasks covering the two mathematical topics “equations and formulas” and “perimeter, area and volume” have been analyzed in textbook series from twelve different countries. In some textbook series this comprised two different textbooks or years, but the content in all cases belonged to upper secondary school. 100% 80% 60% 40% 20% 0% GCMR LCMR GAR Fig. 2 The proportion of tasks belonging to each of the categories in the textbooks from 12 countries (%). Number of tasks analyzed shown within parenthesis. In the diagram above (see figure 2), a pattern is made visible throughout all twelve countries. GAR-tasks highly dominate the textbooks and on average made up for 79 % of the tasks. The range of the proportion of GAR-tasks was 65 % to 94 %. The lowest proportion was found in India, which also had the lowest number of tasks included in the sections relevant to the selection for this study. Scotland had the highest proportion of GARtasks, and also the highest number of tasks within the specified sections of algebra and geometry. Table. 1 The proportion of tasks belonging to each of the categories in the textbooks algebra and geometry sections respectively (%). Number of tasks analyzed shown within parenthesis. A: Algebra, G: Geometry. AUS CAN FIN IND IRL NPL A (361) G (78) A (235) G (53) A (216) G (87) A (111) G (75) A (419) G (129) A (193) G (68) GAR 94 74 75 75 75 62 68 59 86 82 82 74 LCMR 4 14 12 11 16 17 25 25 10 11 14 19 GCMR 3 12 13 13 9 21 6 16 5 7 4 7 SCO SGP ZAF SWE TZA USA Avg. A (851) G (114) A (327) G (243) A (260) G (107) A (649) G (105) A (398) G (88) A (478) G (86) A (4498) G (1233) GAR 96 85 74 74 82 69 74 65 84 63 81 65 81 71 LCMR 3 12 10 16 10 22 15 15 11 24 10 16 12 17 GCMR 1 3 16 9 8 8 11 20 5 14 9 19 8 12 12 J. Jäder et al. The most salient result from table 1, as well as figure 2, is that the proportion of the different kinds of tasks is similar in textbooks from all twelve countries included in this study. GAR-tasks dominate all textbooks, making up an average of 81% of the tasks in the algebra sections and 71% in the geometry sections (with a standard deviation of 8% in both cases). The average proportions of Global CMR-tasks were 8% and 12% respectively for the algebra and geometry sections, with standard deviations of 4% and 6%. The proportion of GAR-tasks in the algebra sections ranged from 68% to 96%, with nine of the twelve countries having proportions between 74% and 86%. The corresponding values for the geometry sections ranged between 59% and 85% with ten countries between 59% and 75%. Some of the books label the tasks according to for example different levels of difficulty, specific skills or the way the task might be approached. The proportion of GAR-, LCMR- and GCMR-tasks in each of these tasks groups labeled by the textbook authors are presented in table 2 below. IND IRL NPL SCO GCMR 1 65 15 19 77 9 14 40 0 90 58 31 0 0 8 21 38 60 10 30 21 31 37 20 43 92 72 45 65 3 17 0 25 5 11 55 10 86 10 4 76 7 18 82 81 80 18 19 13 0 0 7 94 4 1 SGP ZAF SWE TZA USA GCMR FIN 5 LCMR CAN 94 Task label Level 1/ Basic practice (124) Level 2/ Further practice (103) Level 3/ Math works (91) Brainworks (13) Try it (60) Class activity/ Discuss/ Write in your journal (93) Review (88) Unlabeled (276) Review, check your skills (67) Review, extend your skills (24) a-tasks (355, incl. 32 review tasks) b-tasks (204, incl. 29 review tasks) c-tasks (47, incl. 12 review tasks) Unlabeled (61, incl. 33 review tasks) Activity (experiment, explore, discuss) (87) Unlabeled (486) Practice/Skill practice (191) Apply (108) Challenge (26) Problem solving (21) Activity/Solve it (30) Review (83) Other (105) GAR AUS LCMR Task label Fluency (371, incl. 69 review tasks) Understanding (26) Reasoning/Problem solving (35, incl. 11 review tasks) Reflection (5) Unlabeled (2) Practice the concept (120) Apply the concept (57) Extend the concept (13) Investigate/ Discuss the concept (35) Review (63) Unlabeled (297) To think about (11) Unlabeled (186) Unlabeled (503, incl. 142 review tasks) Activity (45) (found in separate book) General (33) Creative (57) Unlabeled (171) Unlabeled (965, incl. 118 review tasks) GAR Table. 2 The proportion of tasks belonging to each of the, by the textbook authors labeled task sets (%). Number of tasks analyzed shown within parenthesis. 81 74 57 38 93 15 18 15 0 5 4 8 27 62 2 70 10 20 76 78 88 50 11 15 6 17 10 7 6 33 85 10 6 63 22 16 34 34 32 80 11 8 60 16 24 80 86 69 42 67 73 88 79 14 9 15 23 10 10 4 12 7 4 17 35 24 17 8 9 A detailed consideration of the proportions of Global and Local CMR tasks within each of these different sets reveals that the proportions are significantly lower among the easier tasks, and also among exercise sets described as “Basic”, “Fluency”, (Skill-) “Practice” and “General”. The results also show that the proportion of Global CMR-tasks in several books is higher in activity/reflection sets. The review sets seem to reflect what is presented by the exercise sets in each chapter, which is in line with results from Schmidt (2012). Reasoning requirements in school mathematics textbooks 7 7.1 13 Discussion There is more to the opportunities to learn than the textbook. The presented results indicate similarities among textbooks from twelve countries. Tasks that are solvable by using Guided Algorithmic Reasoning, GAR, is the most common type of tasks in all textbooks studied. The range of the proportion of GAR-tasks is from 65 % to 94 %, and the average proportion is 79 %. The results indicate that the proportions of different kinds of tasks regarding the reasoning requirements are, in our view, surprisingly similar in the textbooks from all twelve countries considering that there is a wide geographical diversity between them, as well as a range of results in terms of TIMSS- (Mullis, 2012) and PISA- (OECD, 2014) results. The achievements by students from some of these twelve countries are at the high rank, while others are below average. Provided that the textbooks analyzed are representative to each of the countries, these results may indicate that the textbook is not the only factor to students’ opportunities to learn. 7.2 The opportunities to learn to reason mathematically provided by the textbook Procedural as well as conceptual knowledge is important to build a broad mathematical competence (Hiebert, 2003). To gain these kinds of knowledge students need opportunities to learn. The aim of this study is not to examine if the proportion of CMR-tasks is sufficient or not. What can be said is that research (Hiebert, 2003; Niss, 1999; Tall et al., 2001) and national curricula in several countries (e.g. Ministry of Education, Singapore, 2006; NCTM, 2000; Swedish National Agency for Education, 2011; Ministry of Education, Ontario, 2005; Department: Education, Republic of South Africa, 2008) have stressed the importance of broadening the views of mathematics to include more than algorithmic reasoning and proceduralized work. About three out of four of all tasks categorized were GAR-tasks. Approximately every tenth task requires Global Creative Mathematical Reasoning, GCMR. It is also observed that most tasks classified as requiring CMR also include the application of algorithmic sub-procedures, but tasks classified as GAR include no CMR. Hence, another way to express the result is that essentially 100% of the tasks provide the opportunity to practice algorithms, and 10-20% of the tasks provide the opportunity to practice CMR. The results further describe a skewness in the sense that the proportion of Global and Local CMR-tasks within each of the textbooks is significantly lower among the first set of tasks (“Basic”, “Fluency”, (Skill-) “Practice” and “General”) that students meet in each section of the textbook. The task in 5.3.3 indicates that it is possible to design tasks that require students to use CMR, without at the same time requiring them to use other competencies at a higher level of difficulty. It seems that at least some of the textbooks include more tasks than what is reasonable for the average student to work through. This in turn implies that a selection has to be made, either by the individual student and/or by the teacher. Consider an example of a Swedish student struggling with mathematics. The textbook supports a situation where students choose one of three strands, referring to three levels of difficulty, and three sets of tasks. There are indications that the student in his or her attempt to work with tasks, focuses mainly on the easier tasks (Sidenvall et al., in press). In this case, the proportion of Global and Local CMR-tasks that the student is faced with decreases from 22% to 13% (when working with the analyzed algebra chapter). A similar situation where the selection of tasks may prove important can be highlighted by an example in a Singaporean textbook context. Considering an algebra chapter, the students may encounter 27 Global CMR-tasks out of 172 tasks in total. A teacher, maybe due to lack of time, decides to exclude all the tasks included under the headings “Class Activity” 14 J. Jäder et al. and the “Write in your Journal” heading. In addition, the struggling student may exclude the level containing the most difficult tasks and end up with 6 Global CMR-tasks out of the 118 tasks left in the chapter. These results indicate that the selection of tasks may have significant effects on the opportunities to learn students get. The tasks within the textbook is one of the main influences on the teaching of mathematics, and the way the textbook is used, in regard to for example the selection of tasks, varies greatly (Rezat & Strässer, 2014). This indicates that different opportunities to learn appear in different settings, and that it is important to consider the task selection done. In presenting the results of this study, we in no way claim that reasoning is all there is to mathematics. However, the results serve as an indication of the support the textbook provides concerning the opportunities to learn to reason mathematically. Considering the proportion of CMR-tasks and how these are distributed within the textbook it appears that there might be limited opportunities for students to use creative mathematical reasoning. To be able to say something more in-depth about students’ opportunities to learn would require a consideration not only of what tasks are presented in the textbook, but also, an exploration of how the textbook is used. A textbook analysis should be seen in the light of how it is used (Valverde, Bianchi, Wolfe, Schmidt & Houang, 2002), and how the tasks within the textbook are used to creates different opportunities to reason mathematically (Ball & Bass, 2003). In the TIMSS 1999 video study, problem statements were compared to actual mathematical processes used when solving the problem. Results of this study show that many of the tasks that were defined as being a “making connection” problem, were in fact solved by simply giving a result or by using a procedure (Hiebert et al., 2003). Other studies indicate that tasks which focus on developing students’ capacity to think and to use more creative types of mathematical reasoning seem to be the tasks that teachers and students have the most difficulty in implementing as intended (Stein et al., 2007). This indicates that students’ opportunities to learn to use creative mathematical reasoning may, at least, be not greater than what is found by this textbook study. In fact there seems to be an unused potential in textbooks concerning these opportunities. To unlock this potential it may be fruitful for teachers and students to reflect on the usage of the textbook in relation to the learning goals. This could translate into teachers helping students carry out the tasks as intended, keeping the requirement for using creative mathematical reasoning. In addition, deliberate task selection may be essential to what opportunities to reason mathematically are given to the students by the textbook. In the light of the textbook as a potential model for teaching, these results also emphasize that textbook writers and publishers need to include a broader view of mathematics (Newton & Newton, 2007). The inclusion of task sets such as “Problem solving” or “Activity” does not change this situation if the tasks within the sets can still be solved following available templates. An example of such a task is evident in section 5.3.1, which is labeled as a “Problem solving” task, but is possible to solve by GAR. The framework and method presented in this study provide teachers and researchers as well as textbook authors and designers with an additional tool with which they can examine mathematics textbooks more closely. 7.3 Future studies How the textbook is used is an important factor to consider when discussing opportunities to learn. In this regard, textbook usage by both students and teachers is essential. As stated by Ball (2003), “no curriculum teaches itself”, which means that teachers and students need to create opportunities to learn with the aid of the Reasoning requirements in school mathematics textbooks 15 textbook. Therefore, it would be valuable to investigate how students reason while solving textbook tasks with different reasoning requirements in the twelve countries included in this study. The framework and method used in this study are not able to capture the complete picture of the textbook and its constitutive tasks. According to Stein and Lane (1996) the likelihood of a task keeping its intended requirements has to do with certain characteristics, such as clear demands and possibilities for students to connect more than one representational model or more than one solution strategy to the task. Another such characteristic is what kind of expectations are placed on the students by the wording of the assignment. These could, for example, be to explain, solve, calculate, motivate or reason (Davis et al., 2014). To be able to say something about this matter another kind of analysis would be necessary. To analyze the tasks in the textbooks with respect to the task characteristics formulated by Stein and Lane (1996) would also provide a deeper understanding of the opportunities to learn to reason mathematically provided by the textbook. References Ball, D. L. (2003, February 6). Mathematics in the 21st century: What mathematical knowledge is needed for teaching mathematics? Paper presented at the Secretary’s Summit on Mathematics, U.S. Department of Education, Washington, DC. Ball, D. L., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. In J. Kilpatrick, W. Martin G. & D. Schifter (Eds.), A research companion to the principles and standards for school mathematics (pp. 27-44) Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Bergqvist, T., Lithner, J., & Sumpter, L. (2008). Upper secondary students' task reasoning. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 39(1), 1-12. Boaler, J. (1998). Open and closed mathematics: Student experiences and understandings. Journal for Research in Mathematics Education, 29(1), 41-62. Boesen, J., Helenius, O., Bergqvist, E., Bergqvist, T., Lithner, J., Palm, T. & Palmberg, B. (2014). Developing mathematical competence: From the intended to the enacted curriculum. Journal of Mathematical Behavior, 33(1), 72-87. Boesen, J., Lithner, J., & Palm, T. (2010). The relation between types of assessment tasks and the mathematical reasoning students use. Educational Studies in Mathematics,75(1), 89-105. Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Burstein, L. (1993). Studying learning, growth, and instruction cross-nationally: Lessons learned about why and why not engage in crossnational studies. In L. Burstein (Ed.) The IEA Study of Mathematics III: Student Growth and Classroom Processes, xxvii-xlix. New York: Pergamon Press. Davis, J. D., Smith, D. O., Roy, A. R., & Bilgic, Y. K.(2014). Reasoning-and-proving in algebra: The case of two reform-oriented U.S. textbooks. International Journal of Educational Research, 64, 92-106. Department: Education, Republic of South Africa. (2008). National Curriculum Statement, Grades 10-12 (General), Learning Programme Guidelines, Mathematical Literacy, January 2008. Retrieved from http://www.education.gov.za/ Doyle, W. (1983). Academic work. Review of Educational Research, 53(2), 159-199. Gresalfi, M. S. (2009). Taking up opportunities to learn: Constructing dispositions in mathematics classrooms. Journal of the Learning Sciences,18(3), 327-369. Halldén, O., Scheja, M., & Haglund, L. (2008). The contextuality of knowledge: An intentional approach to meaning making and conceptual change. In S. Vosniadou (Ed.), International handbook of research on conceptual change (pp. 509-532). New York: Routledge. Hegarty, M., Mayer, R., & Monk, C. (1995).Comprehension oh arithmetic word-problems - a comparison of successful and unsuccessful problem solvers. Journal of Educational Psychology, 87(1), 18-32. Henderson, S. (2012). Why the journey to mathematical excellence may be long in Scotland's primary schools. Scottish Educational Review, 44(1), 46-56. Hiebert, J. (2003). What research says about the NCTM standards. In J. Kilpatrick, G. Martin & D. Schifter (Eds.), A research companion to the principles and standards for school mathematics (pp. 5-23) Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Hiebert, J., Gallimore, R., Garnier, H., Givvin, K. B., Hollingsworth, H., Jacobs, J., … Stigler, J. (2003). Teaching mathematics in seven countries: Results from the TIMSS 1999 video study. Washington, DC: U.S. Government Printing Office. Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks - A classroom and curricular perspective. (Doctoral dissertation, Luleå University of Technology, Department of Mathematics, Sweden, 23) Retrieved from http://pure.ltu.se/portal/sv/ Kilpatrick, J., Swafford, J.,&Findell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. National Academy Press, Washington, DC. Li, Y. (2000). A comparison of problems that follow selected content presentations in American and Chinese mathematics textbooks. Journal for Research in Mathematics Education, 31(2), 234-41. Lithner, J. (2000). Mathematical reasoning in task solving. Educational Studies in Mathematics, 41(2), 165-90. Lithner, J. (2003). Students' mathematical reasoning in university textbook exercises. Educational Studies in Mathematics, 52(1), 29-55. Lithner, J. (2004). Mathematical reasoning in calculus textbook exercises. Journal of Mathematical Behavior, 23(4), 405-427. Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational Studies in Mathematics, 67(3), 255-276. McDonnell, L. M. (1995). Opportunity to learn as a research concept and a policy instrument. Educational Evaluation and Policy Analysis, (3), 305. Ministry of Education, Singapore (2006). Secondary Mathematics Syllabuses.Singapore: Ministry of Education, Curriculum Planning and Development Division. Ministry of Education, Ontario. (2005). The Ontario Curriculum, Grades 9 and 10. Mathematics. Available fromhttp://www.edu.gov.on.ca Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Foy, P., Olson, J. F., Preuschoff, C., Erberber, E., … Galia, J. (2008) TIMSS 2007 International Mathematics Report – Findings from IEA’s trends in international Mathematics and Science Study at the fourth and eighth grades. International 16 J. Jäder et al. Association for the Evaluation of Educational Achievement. Chestnut Hill, MA: Boston College, TIMSS & PIRLS International Study Center. Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Ruddock, G. J., O'Sullivan, C. Y. & Preuschoff, C. (2009). TIMSS 2011 assessment frameworks. International Association for the Evaluation of Educational Achievement. Chestnut Hill, MA: Boston College, TIMSS & PIRLS International Study Center. Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Foy, P., Arora, A. (2012) TIMSS 2011 International Results in Mathematics. International Association for the Evaluation of Educational Achievement. Chestnut Hill, MA: Boston College, TIMSS & PIRLS International Study Center. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). Principles and standards for school mathematics, Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Newton, D. P., & Newton, L. D. (2007). Could elementary mathematics textbooks help give attention to reasons in the classroom? Educational Studies in Mathematics, 64(1), 69-84. Niss, M. (1999). Aspects of the nature and state of research in mathematics education. Educational Studies in Mathematics, 40(1), 1-24. Niss, M. (2003). The mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM project. Denmark: IMFUFA, Roskilde University. Niss, M. (2007). Reflections on the state of and trends in research on mathematics teaching and learning - from here to utopia. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 1293-1312) Greenwich, Connecticut: Information Age Publishing Inc. Nunes, T., Bryant, P., Evans, D., Bell, D., Gardner, S., Gardner, A., Carraher, J. (2007). The contribution of logical reasoning to the learning of mathematics in primary school. British Journal of Developmental Psychology, 25(1), 147-166. OECD (2014). PISA 2012 results in Focus. What 15-year-olds know and what they can do with what they know. Paris: OECD Publishing. Palm, T., Boesen, J., & Lithner, J. (2011). Mathematical reasoning requirements in Swedish upper secondary level assessments. Mathematical Thinking and Learning: An International Journal, 13(3), 221-246. Rezat, S., & Strässer, R. (2012). From the didactical triangle to the socio-didactical tetrahedron: Artifacts as fundamental constituents of the didactical situation. Zdm – The International Journal of Mathematics Education, 44(5), 641-651. Rezat, S., & Strässer, R. (2014). Mathematics Textbooks and How They Are Used. In P. Andrews & T. Rowland. London (Eds.) Master Class in Mathematics Education. International Perspectives on Teaching and Learning. (pp. 51-62).New York: Bloomsbury. Schmidt, W. (2012). Measuring content through textbooks: The cumulative effect of middle-school tracking. In G. Gueudet, B. Pepin & L. Trouche (Eds.), From text to 'lived' resources: Mathematics curriculum materials and teacher development (pp. 143-160). Dordrecht: Springer Science & Business Media B.V. Schmidt, W. H., McKnight, C. C., Houang, R. T., Wang, H., Wiley, D. E., Cogan, L. S., Wolfe, R., G. (2001). Why schools matter: A crossnational comparison of curriculum and learning. The Jossey-Bass education series. San Francisco: Jossey-Bass. Schoenfeld, A. H. (2012). Problematizing the didactic triangle. Zdm – The International Journal of Mathematics Education, 44(5), 587-599. Shield, M., & Dole, S. (2013). Assessing the potential of mathematics textbooks to promote deep learning. Educational Studies in Mathematics 82, 183-198. Sidenvall, J., Lithner, J., & Jäder, J. (in press). Students’ reasoning in mathematics textbooks task-solving. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. Silver, E. A. (1986). Using conceptual and procedural knowledge: A focus on relationships. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 181-198). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Stacey, K., & Vincent, J. (2009). Modes of reasoning in explanations in Australian eighth-grade mathematics textbooks. Educational Studies in Mathematics, (3), 271-288. Stein, M. K., & Lane, S. (1996). Instructional tasks and the development of student capacity to think and reason: An analysis of the relationship between teaching and learning in a reform mathematics project. Educational Research & Evaluation, 2(1), 50-80. Stein, M. K., Remillard, J., & Smith, M. S. (2007). How curriculum influences student learning. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning, (pp. 319-369). Charlotte, NC: National Council of Teachers of Mathematics; Information Age Publishing. Stylianides, G. J. (2014). Textbook analyses on reasoning-and-proving: Significance and methodological challenges. International Journal of Educational Research, 64, 63-70. Swedish National Agency for Education (2011). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnasieskola 2011. English translation of title: Curriculum, exam goals and core subjects in upper secondary school 2011, Stockholm: Fritzes. Tall, D., Gray, E., Ali, M. B., Crowley, L., DeMarois, P., McGowen, M., …Yusof, Y. (2001).Symbols and the bifurcation between procedural and conceptual thinking. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 1(1), 81-104. Thompson, P. W. (1996). Imagery and the development of mathematical reasoning. In L. P. Steffe, B. Greer, Nesher P., P. Cobb & Goldin G. (Eds.), Theories of learning mathematics (pp. 267-283). NJ: Erlbaum: Hillsdale. Thompson, D.R., Senk, S.L., & Johnson, G.J. (2012), Opportunities to learn reasoning and proof in high school mathematics textbooks, Journal for Research in Mathematics Education, 43, 253-295. Valverde, G. A., Bianchi, L. J., Wolfe, R. G., Schmidt, W. H.& Houang, R. T. (2002). According to the book: Using TIMSS to investigate the translation of policy into practice through the world of textbooks, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Vincent, J., & Stacey, K. (2008). Do mathematics textbooks cultivate shallow teaching? Applying theTIMSS video study criteria to Australian eighth-grade mathematics textbooks. Mathematics Education Research Journal, 20(1), 82-107. Reasoning requirements in school mathematics textbooks 17 APPENDIX 1 Australia: Math Quest 10 for the Australian Curriculum (John Wiley & Sons Australia, Ltd, 2012) Canada: Foundations of Mathematics 10 (McGraw-Hill Ryerson, 2007) Finland: Kort Matematik 1-Uttryck och ekvationer, 2-Geometri (Aalto et al., Schildts & Söderström, 2004, 2007) India: Mathematics Textbook for Class VII, X (National Council of Educational Research and Training, 2005-2007). Ireland: Active Maths 3. Book 1, 2 and Activity Book (Keating, M.; Mulvany, D.; O’Loughlin, J., Folens Publishers, 2011-2012). Nepal: Perfect Mathematics, class 8 (N B Khatakho, VidyarthiPrakashan (P.) Ltd., 2013) and United’s Speedy Maths, book 10 (Hukum Pd. Dahal, United Nepal Publication Pvt. Ltd., 2013). Scotland: Scottish Secondary Mathematics R3 (Senaghan et al., Heineman, 2007) Singapore: Discovering Mathematics 1A, 1B, 3A, 3B (Star Publishing Pte Ltd, 2012-2013) South Africa: Classroom Mathematics Grade 10 (Heinemann Publishers (Pty) Ltd, 2011) Sweden: Matematik 5000 1b (Alfredsson et al., Natur & Kultur, 2011). Tanzania: Secondary Basic Mathematics. Book 1, 2, 4 (Tanzania Institute of Education, Educational Books Publishers Ltd., 2009). USA: Algebra 1 (Prentice Hall, Pearson, 2011) and Geometry (Larson, Boswell, Kanold, Stiff, McDougal Littell, 2007). The homeworkbooks/extra books etc were: Australia: Math Quest 10 for the Australian Curriculum - Homework book (John Wiley & Sons Australia, Ltd, 2012) Canada: Foundations of Mathematics 10 - Student Workbook 10 (McGraw-Hill Ryerson, 2007) Finland: Kort Matematik 9-Repetition (Aalto et al., Schildts & Söderström, 2004, 2007) India: Mathematics Exemplar Problems, class X (National Council of Educational Research and Training, 2008). Nepal: Compulsory Mathematics Practice Book – Class 8 (D R Simkhada, Readmore, 2013) Singapore: Discovering Mathematics Workbook 1, Workbook 3 (Star Publishing Pte Ltd, 2012-2013) South Africa: Classroom Mathematics Grade 10, Learners book and Practice book (Heinemann Publishers (Pty) Ltd, 2011) International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2014 http://dx.doi.org/10.1080/0020739X.2014.992986 Students’ reasoning in mathematics textbook task-solving Johan Sidenvalla∗ , Johan Lithnerb and Jonas Jädera a Department of Social and Welfare Studies, Linköping University, Sweden; b Umeå Mathematics Education Research Centre, Umeå University, Sweden Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 (Received 21 July 2014) This study reports on an analysis of students’ textbook task-solving in Swedish upper secondary school. The relation between types of mathematical reasoning required, used, and the rate of correct task solutions were studied. Rote learning and superficial reasoning were common, and 80% of all attempted tasks were correctly solved using such imitative strategies. In the few cases where mathematically founded reasoning was used, all tasks were correctly solved. The study suggests that student collaboration and dialogue does not automatically lead to mathematically founded reasoning and deeper learning. In particular, in the often common case where the student simply copies a solution from another student without receiving or asking for mathematical justification, it may even be a disadvantage for learning to collaborate. The results also show that textbooks’ worked examples and theory sections are not used as an aid by the student in task-solving. Keywords: mathematical reasoning; task-solving; mathematics textbook; upper secondary school 1. Introduction Reasoning is a fundamental aspect of mathematics.[1–3] Research has shown that there is too much emphasis on rote learning and superficial reasoning in mathematical education.[4] According to Hiebert [4] ‘One of the most reliable findings from research on teaching and learning is that students learn what they are given opportunities to learn’ (p.10). To learn both procedures and mathematically founded reasoning students must practise how to solve both routine and non-routine tasks.[5] The textbook is an important source for giving students an opportunity to learn.[6] This study does not primarily examine the textbook itself as an opportunity to learn, nor does it focus on what is actually being learned. The study focuses on students’ solving textbook tasks related to their reasoning; examining how the type of reasoning affects the ability to solve textbook tasks. Rote learning is related to students’ tendency to use sometimes inefficient and mathematically superficial imitative strategies rather than creating their own solutions through reasoning.[7–10] Tasks are a cornerstone of students’ work with mathematics and according to Doyle [11] ‘influence students by directing their attention to particular aspects of content and specifying ways of processing information’ (p. 161). The overall purpose of this study is to examine to what extent students create their own solutions through mathematically founded reasoning to solve textbook tasks, and to relate the students’ reasoning with their ability in completing the tasks. ∗ Corresponding author. Email: [email protected] C 2014 Taylor & Francis 2 J. Sidenvall et al. This paper has the structure as follows. In the Background the importance of the textbook and its tasks are shown upon, followed by a background of the reasoning competence. In the Research framework section the research framework is presented. The Methods section includes description of both data collection and data analysis. Results are presented in the Results section. The paper ends with a Discussion of the results. Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 2. Background 2.1. The textbook and textbook tasks Textbooks have been shown to have a great impact on classroom work and to form the backbone of mathematical teaching both in Sweden [12–14] and internationally.[6,15–18] The textbook tasks that students engage in largely determine what they learn about mathematics and how they learn it.[19] By studying data from the Third International Mathematics and Science Study, Valverde et al. [18] found that a majority of the textbooks for 9- and 13-year-olds and students in the final year of secondary school mainly focused on practising routine skills. A low proportion of the textbooks’ content aimed at investigation, problem-solving or making mathematical generalizations. An international textbook task analysis [20] showed that around 75% of the tasks in a common Swedish secondary school mathematics textbook were solvable by mimicking previously presented algorithmic templates. Twenty-five per cent of the tasks required at least some mathematically founded reasoning to be solved. The study also showed that a majority of the tasks requiring mathematically founded reasoning were classified by the textbook authors as more difficult tasks. 2.2. Reasoning Ball and Bass [21] state that ‘mathematical reasoning is no less than a basic skill’ (p.28). In the following, a broad definition of reasoning is applied. This means that reasoning can be found in all levels of mathematical understanding. In the literature ‘reasoning’ is often defined as a skill of high deductive-logical quality.[22] This is not the case in this study; our overall assumption is that mathematically founded reasoning can be found and used at all levels of difficulty in solving mathematical tasks. This is also in line with national curricula and research concerning what competences should be developed.[1,2,4,23] The definition of reasoning used here is: ‘reasoning is the line of thought adopted to produce assertions and reach conclusions in task-solving. It is not necessarily based on formal logic, thus not restricted to proof, and may even be incorrect as long as there are some kind of sensible (to the reasoner) reasons backing it’.[24,p.257] Empirical studies [7,10,25–29] using this wider definition of reasoning lead to a division into imitative reasoning and creative mathematically founded reasoning (CMR). To use imitative reasoning is to solve tasks by methods that are known or provided by someone else (e.g. a teacher or a textbook). To use CMR is to use a new, mathematically founded and intrinsic line of argument (see Research framework section).[24] When opportunities to learn CMR are given it will also lead to opportunities to develop other related important mathematical competences: problem-solving and conceptual understanding.[24] Such competences are not developed by imitative reasoning alone.[4,5,24] A framework of analysis will be used to categorize the reasoning used by students to solve a task, and whether or not they succeed. Another framework of analysis will be used International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 3 to categorize the anticipated reasoning required for a task according to the level of the mathematical course. Both frameworks use the theoretical framework by Lithner.[24] Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 3. Aim and research questions The aim of the study is to examine how the type of reasoning affects the possibilities to solve textbook tasks in a Swedish upper secondary school context. In order to do this we will (1) categorize what kind of reasoning is required in order to solve the tasks, (2) categorize the students’ reasoning, and (3) analyse how (1), (2) and students’ correct task solution rate are related. The aim of the study is specified in the following research questions: • What is the relationship between the reasoning required and the reasoning used when solving textbook tasks? • What is the relationship between the reasoning used and the rate of correct solutions when solving textbook tasks? 4. Research framework This study is based on a research framework formulated by Lithner [24] in which reasoning in task-solving is seen as a product of a student’s thinking process. Reasoning is seen as data in empirical studies, which can be documented through text, graphical representation, video recordings, etc., and these data are seen as traces of the students’ thoughts.[10] The thinking processes are dependent on the students’ mathematical competences. In turn, these competences are formed by the sociocultural milieu.[24] The task-solving process according to the framework comprises the following four steps: (1) A task is met. (2) A strategy choice is made, where ‘strategy’ ranges from local procedures to general approaches, and ‘choice’ is seen in a wide sense (choose, recall, construct, discover, guess, etc.). The strategy choice can be supported by predicative argumentation: Why will the strategy solve this task? (3) The strategy is implemented, which can be supported by verificative argumentation: Why did the strategy solve the task? (4) A conclusion is obtained. The characterization of reasoning types is based on analyses of the explicit or implicit arguments in the strategy choice and implementation. The two main reasoning types, imitative and CMR, are defined below. 4.1. CMR Imitative reasoning is often suitable for solving routine tasks. The six different types of imitative reasoning are as follows. Memorized reasoning is characterized by the strategy of recalling a complete answer (e.g. a proof) and the implementation of this choice consists of merely writing it down. Many school tasks normally require calculations where it is more appropriate to recall an algorithm rather than the answer. This provides a basis for the other main type of imitative reasoning, algorithmic reasoning (AR). In this regard, ‘An algorithm is a finite sequence of executable instructions which allows one to find a definite result for a given Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 4 J. Sidenvall et al. class of problems’.[30,p.129] The nth transition does not depend on any circumstance unforeseen in the (n − 1)th transition; nor on finding new information, any new decision, any interpretation, and thus on any meaning that one could attribute to them. Thus, an algorithm can be determined in advance. AR is characterized by a strategy of searching for or recalling a certain algorithm that is thought to be suitable and then implementing this algorithm in task-solving.[24] ‘The remaining parts of the strategy implementation are trivial for the reasoner, only a careless mistake can prevent a correct answer from being reached. How to identify a suitable algorithm is fundamental, and the rest is relatively straightforward’.[29,p.225] AR can be further divided into five subgroups in which an algorithm is obtained: familiar AR,delimiting AR, and three types of guided AR (peerguided AR, teacher-guided AR andtext-guided AR).[7,24] The different AR types are as follows. Familiar AR is connected to a strategy of searching for familiar (perhaps superficial) clues or leads that in turn trigger a strategy choice of which algorithm to choose. A student might use familiar AR when solving an equation where the student knows the corresponding algorithms. Delimited AR may be employed when a student cannot connect a familiar algorithm to the task. Instead, an algorithm is chosen from a set that is delimited by the student through the algorithms’ surface relations to the task. If the implementation does not lead to a reasonable conclusion (to the reasoner) the reasoning sequence is simply terminated and another algorithm may be chosen from the set. An example from Bergqvist et al. [7] illustrates a student’s use of delimited AR: in Sally’s attempt to solve ‘Find the largest and smallest values of the function y = 7 + 3x − x 2 on the interval [1, 5]’. She differentiates y, solves y (x) = 0, (x = 1, 5) and evaluates y (1, 5) = 9, 25. She hesitates: ‘I think that I should have got two values, and I don’t know why I didn’t, what have I done wrong’. She abandons this method without reflection since it did not produce an expected answer. Instead she moves on to two different methods using a graphic calculator. These subsequent attempts are also abandoned since they do not produce an expected answer. Sally finally makes the incorrect strategy choice to solve 7 + 3x − x 2 = 0 and obtains two values, x1 ≈ 4, 54 and x2 ≈ −4, 54, which she regards as a correct solution even though this does not solve the task. Peer-guided AR occurs when the reasoner is guided through the task by a peer who describes the solution procedure. The strategy choice is to follow the peer’s guidance and the implementation is in simply executing the algorithm without verificative argumentation. Teacher-guided AR is similar to peer-guided AR with the difference that the teacher serves as a guide. Text-guided AR is used when, during his/her strategy choice, a student identifies surface similarities between the task and an example, definition, theorem, rule, or some other situation in a text source. The algorithm is implemented without verificative argumentation. 4.2. Creative mathematically founded reasoning In imitative reasoning the task-solver applies a recalled or externally provided solution method. In CMR the solver constructs a solution method. The empirical studies forming the basis of the reasoning framework [24] have identified three central aspects distinguishing CMR from imitative reasoning: • Novelty. A new (to the reasoner) reasoning sequence is created, or a forgotten one is re-created. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology Table 1. Types of reasoning defined in the reasoning framework of Lithner.[24] Creative mathematically founded reasoning Global Local Imitative reasoning Algorithmic reasoning, AR Memorized reasoning Familiar AR Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 5 Delimited AR Peerguided AR Teacherguided AR Textguided AR • Plausibility. There are arguments supporting the strategy choice and/or strategy implementation motivating why the conclusions are true or plausible. • Mathematical foundation. The arguments are anchored in the intrinsic mathematical properties of the components involved in the reasoning. Imitative reasoning contains no CMR. Local CMR always contains considerable parts of imitative reasoning (e.g. recalling facts and using algorithmic subprocedures) and minor parts of CMR. Global CMR may contain large parts of imitative reasoning but always contains significant parts of CMR. Table 1 shows schematically CMR and imitative reasoning with their subcategories. 4.3. Textbook task analysis An analysis of textbook task is performed considering what type of reasoning is required in order to solve the task. The essence of the method is that the reasoning required of the task depends on the previous information in the textbook. Empirical studies [20,26,27] have used this method to categorize the reasoning requirements of a task. If a task can be solved by using algorithmic templates previously presented in the textbook’s theory section, a worked example, or in previous tasks, it is categorized as only requiring text-guided AR to be solved. If the task has no algorithmic templates and CMR is needed for the overall solution strategy then the task is categorized as requiring global CMR. If minor changes have to be made in the presented algorithmic templates to solve a task, the task is categorized as requiring local CMR to be solved. 5. Methods 5.1. Method of data collection Data were collected from two Swedish upper secondary schools of about average size. Upper secondary school is not a compulsory part of the Swedish school system, but 98% of students from the compulsory lower secondary school continue to upper secondary school. The overall data collection method adopted in this study is based on Långström and Lithner’s [28] methods, which enables collection of data during normal classroom work. Data were collected from two classes from the least mathematically intense programme, one class from the intermediately intense programme and two classes from the most mathematically intense programme. This was done to cater for the case that students participating in different tracks might have different mathematical competences. All students attended Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 6 J. Sidenvall et al. the first year of upper secondary school, equivalent to the 10th year of schooling. The teachers were professionally trained and had at least 10 years of teaching experience. The lessons (50–60 minutes) were alike in structure and execution. A typical lesson commenced with a teacher’s presentation (10–25 minutes) followed by student work with textbook tasks (30–45 minutes). The teacher did direct the students to a specific section of the book. It was to a large extent up to the students to decide what tasks and at what level of difficulty to do in the directed section. The teacher moved around the classroom helping students in their task-solving. Following the teachers’ presentations, the video recordings began. Two cameras were placed in the classroom. During the first minutes of the students’ work with textbook tasks, two groups of students were chosen for the data collection. A camera and microphone were placed in close vicinity to each group. The criteria used when choosing groups of students were that they seemed to be mathematically active and that a mathematical dialogue was in progress. The students’ notebooks and textbooks were also a part of the data. Field notes were taken throughout the lessons. The work from seven groups of students from four classes was analysed. Six groups consisted of 2 students and one group consisted of 3 students, giving a total of 15 students. A class from the least mathematically intense track was excluded from the analysis due to the lack of mathematical task-solving observed in the groups. 5.2. Method of data analysis 5.2.1. Reasoning analysis procedure (reasoning used) The analysis procedure was based on previous empirical studies.[10,26,28] In applying the framework to analyse what reasoning a student used when solving a task, the first step was to structure the data by studying video-recordings, transcripts, students’ notebooks and field notes. To conduct a more fine-grained analysis, the second step was to identify subtasks in the students’ task-solving, and subdivide the subtasks using the four-step reasoning sequence. Following this, any observed predicative and verificative arguments were identified in each subtask situation. The reasoning sequence was then classified according to the reasoning types of the framework. Finally, each subtask solution attempt was classified as correct or incorrect, unless the incorrectness is only due to a careless mistake and the solution is otherwise correct. In order to categorize the reasoning of a solution for a whole task, an analysis of the subtasks was made to investigate which of the subtasks had the decisive reasoning sequence. The decisive reasoning sequence was then considered as representative of the overall reasoning for the whole task. The overall solution attempt was also classified as correct or incorrect. 5.2.1.1. Example of data and analysis of familiar AR. Data: Adam solves the task below (Figure 1) straightforwardly by identifying the algorithm connected to a familiar clue or lead, here as a geometrical figure where the centre angle is given and the boundary angle is sought. ‘It was like this, I think that it [angle v] is half [of 190◦ angle]. Isn’t that right?’ ‘Calculate angle v’ [31,p.159] (Figure 1). Analysis: Since Adam states: ‘I think that it [angle v] is half [of 190◦ angle]’ it is clear that he knows the inscribed angle theorem and thus an algorithmic solution method. If he had not already been familiar with the theorem he would have to construct it during the task-solving session, which is very difficult. This would take much longer time than what he used and there would be some traces of this construction in the data, for example Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 International Journal of Mathematical Education in Science and Technology Figure 1. 7 Figure for task solved using familiar AR. drawings and probably also some explicit arguments justifying the construction. Therefore the reasoning is categorized as familiar AR. 5.2.1.2. Example of data and analysis of delimited AR. Data: Molly is trying to solve the task ‘What are the zeroes of the function y = x 2 − 6x + 5?’.[32,p.108] Molly chooses a suitable method, does the following calculations, but makes the careless mistake of adding and subtracting 4 instead of 2 in the final step: y = x 2 − 6x + 5, y = 0, 0 = x 2 − 6x + 5, x = 3 ± √ 9 − 5, x1 = 7, x2 = −1 (1) Molly then compares her result with the answer in the answer section. She sees that she has produced an incorrect answer. Molly then tries, without any further reflection, an algorithm that the teacher has presented on the blackboard to calculate a function’s value. This algorithm can be used to check if given x-values are zeros of the function or not, but it is not suitable for finding such values (i.e. to solve the task). However, she uses the algorithm presented by the teacher in the hope that it might solve the task. She arrives at the following result: y1 (7) = 12, y2 (−1) = −18 (2) There is no indication of the student’s reflection that the calculated x-values should give y = 0 and not the two function values as in (2) if they were solutions to the task. Molly’s Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 8 J. Sidenvall et al. Figure 2. Figure for task solved using text-guided AR. calculation (2), which she sees as an answer to the task, she is confused and she seems to lose track of what she is doing when the answer does not match the answer in the answer section. She states: ‘Well, this did not go so well’ and abandons the task. Analysis: The first calculation (1) is categorized as familiar AR since Molly chooses a known algorithm, although she makes a computational error. Her second calculation (2) is categorized as delimited AR. The reason for this classification is that instead of analysing the outcome of the chosen algorithm (1) she merely abandoned it without reflection and continued trying to solve the task by using a new algorithm (2) that yields two numbers as an answer. She hopes that this algorithm might solve the task. When the first algorithm does not provide her with an answer that is the same as in the answer section, the second algorithm is selected on the basis that it is considered somehow connected to finding function values, but Molly does not understand how or why. The strategy implementation is then carried out by following the algorithm. No verificative argumentation is required. 5.2.1.3. Example of data and analysis of text-guided AR. Data: The task below is solved by David by searching in the textbook for a suitable algorithm. The bisector theorem is found and used to solve the task. ‘CD is a bisector. Determine AD’ [33,p.160] (Figure 2). Analysis: The strategy choice concerns identifying surface similarities between the task and the theorem. In this case the figure beside the theorem is similar to the figure in the task. The algorithm is implemented without verificative argumentation. 5.2.1.4. Example of data and analysis of peer-guided AR. Data: Simon is trying to solve task (d) below. When Jesper buys a TV for 15000 crowns he is offered to a yearly payment plan over five years instead of paying cash. Every year a fifth of the debt is paid off. The interest rate is 5.75%. (a) How much must Jesper pay to the bank the first year? (b) How much must Jesper pay to the bank the second year? (c) How much more will the TV cost if it is paid through the payment plan compared to paying in cash. Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 International Journal of Mathematical Education in Science and Technology Figure 3. 9 Figure for task solved using teacher-guided AR. (d) How much more expensive (in percentage) is the TV when it is paid off in instalments? [34,p.107] Simon seems to know that he must compare the cash price with the sum of the cash price plus interest, but does not know how to make the comparison himself. He then turns to his peer and asks: ‘Or should I take the new [value] divided by the old [value]?’ The peer then responds with: ‘The new by the old. That divided by that [pointing in Simon’s notebook]’. Simon then writes the correct computation without asking for an explanation as to why this algorithm leads to the correct answer. Analysis: The strategy choice that is problematic for Simon was already made by a peer. The strategy implementation followed the guidance and execution of the remaining routine transformations. 5.2.1.5. Example of data and analysis of teacher-guided AR. Data: Adam is trying to solve the task ‘Determine angle AOB in [Figure 3]’.[33,p.159] Adam asks the teacher for help. The teacher reads the inscribed angle theorem to Adam and states that the centre angle is always double the angle on the circumference. Adam completes the task. Analysis: The strategy choice is to ask the teacher, which leads to a strategy implementation guided by the teacher. No predicative or verificative arguments are visible. 5.2.1.6. Example of data and analysis of (local) CMR. Data: Lars is working on the task ‘Determine x’ [31,p.265] (Figure 4) with his peer John. Lars and John have the following dialogue: 10 Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 Figure 4. Lars John Lars John Lars John Lars John Lars John Lars John Lars John Lars John Lars J. Sidenvall et al. Figure for task solved using CMR. 5. . . 3x, 5, 1 [x] Yeah, I was wondering. If you like add all the x:es and divide by 180. I don’t know. Eeh, what. . . Or, how should I solve it? You have to determine x. That means that you have to determine each angle. Yeah. Yeah. That was what I meant. But look, maybe it’s 5 times x [pointing at 5x in the figure] and that [pointing at 3x in the figure] is 3 times x. Yes, but. . . That [pointing at x in the figure] is x, maybe. Something like that, maybe. The only thing we know. . . Yeah? . . . is that the triangle is 180. Yes, that is what I meant. Yeah, ehh. And then, all there is, is a . . . What if, all you have to do is like add all the x:es? Then that is 8x [pointing at 3x and 5x in the figure], and with that [pointing at x in the figure] it becomes 9x. And then you divide that by 180. The answer you get, you multiply by 3. And that should be [angle with the 5x]. . . there you take times 5. And there [angle with the 5x] you only take x itself. The task is then correctly solved. Analysis: First, it is evident that Lars constructs, at least partially, a novel reasoning sequence; the sum of the angles is 9x, and then division of 180 with 9. Second, his arguments for his strategy choice to add 5x, 3x and x are implicit and not explicitly communicated. His interpretation of 5x meaning 5 times the size of the angle x is strengthened as verification that the sum of the angles add up to 180◦ . Lars finds his solution graphically plausible; the angles seem to be as large as calculated. As a whole, this makes his reasoning sequence plausible. Finally the arguments used are: the sum of the angles of a triangle is 180◦ , and the properties of a variable [x] provide a relation between the angles. Even though Lars is unsure, the arguments used are grounded in mathematical intrinsic properties. The component of the reasoning sequence that Lars is to construct – thereby using CMR – is representing the relationship between the angles by using a variable. If considering each International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 11 Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 step in the solution individually, adding the angles and dividing by the number of x’s, the solution can be considered as comprising of known algorithms at a year 10 mathematics level. This reasoning sequence is categorized as local CMR because Lars uses CMR to solve the task, although the solving process contains large portions of AR. If larger part of a solution would consist of CMR, it could have potentially been categorized as global CMR. 5.2.2. Task analysis procedure (reasoning required) The task analysis procedure adopted to categorize the reasoning required to solve a task is based on establishing whether text-guided AR is possible or if CMR is required. The method was introduced by Lithner [24] and Palm et al. [29] and has been further developed by Jäder et al.[20] The first step is to identify possible algorithms that could solve the task. Second, a search for solved examples, presented rules, theorems, facts, and tasks for textguided AR information that is the same or similar to that of the task is conducted. Finally, a categorization of the task as global CMR, local CMR or text-guided AR depending on possible similarities between the task and the text-guided AR information is made. 5.2.2.1. Example of data and analysis. Data: The task example (see ‘Example of data and analysis of peer-guided AR’, task (a)) is about a TV that is bought via a payment plan. Analysis: (1) Possible algorithms are identified for the tasks; e.g. the algorithm for = 3000, 1.0575 × 3000 = 3172.5. (2) On the page before solving the task could be 15,000 5 the page where the task appears a worked example containing the same type of task question, information is available and showing the same algorithms that are needed to solve the task with the TV. The only difference is that the worked example is in the context of buying a car instead of a TV. (3) The task is categorized as only requiring text-guided AR because of the close similarities with the worked example. 5.2.3. Validity The data analysis, categorization of the reasoning used and the reasoning required were done by two coders to establish interrater reliability. The two coders both categorized all the textbook tasks; the required reasoning. They reached an agreement on 37 of the 39 tasks (95%). The categorization of the reasoning used was first done by one coder. The categorizations that were considered borderline-categorizations (5/122) by the first coder were coded by a second coder. In four of these five cases the two coders had done the same categorization. The discrepancies in the categorization of both used and required reasoning were resolved through discussion. 6. Results The textbook task-solving performed by seven groups of students was analysed. Overall, the students worked on 86 textbook tasks that were divided into 122 subtasks, 106 of these subtasks contained sufficient data in the form of oral communication to be analysed. The textbook tasks were labelled according to how difficult the textbook authors considered the tasks to be. All the textbooks pitched the tasks at three levels of difficulty. Data showed that students rarely attempted the more difficult tasks. Eighty-four per cent of the encountered tasks belonged to the easiest level of difficulty. Sixteen per cent of the attempted tasks belonged to the intermediate difficulty. No attempts were made to solve 12 J. Sidenvall et al. Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 the most difficult tasks. Since the students mainly worked on the least difficult tasks this indicates that the cognitive demand of the tasks attempted can be assumed not to be at the highest level. In addition none of the students worked on tasks belonging to activity sections (headings containing e.g. ‘Activity’, or ‘Explore’). 6.1. The relation between reasoning used and reasoning required Altogether, 15 students attempted 86 tasks, made up of 39 unique tasks. As displayed in Table 2, the analysis of the textbook tasks showed that 84% (72/86) of the tasks only required text-guided AR using algorithmic templates (e.g. solved examples) presented in the textbook. These tasks are referred to as guided AR tasks below. Thirteen per cent (11/86) required local CMR and 5% (4/86) required global CMR. The most frequent types of reasoning used were familiar AR, 43% (37/86) and peer-guided AR, 29% (25/86). Local CMR was used in 7% (6/86) of the tasks, while global CMR was used in only one (1/86) of the tasks. Using AR on CMR tasks occurred on seven occasions. When this occurred, the solution attempts were not always correct. But when guided by another student (i.e. peer-guided AR) who used CMR to solve the task in advance the task was correctly solved. Tasks that did not require CMR to be solved were primarily carried out using AR. The least common type (14/86) of tasks were those that required CMR in order to be solved. These tasks seemed to elicit the use of CMR, since they were all attempted through the use of CMR by at least one student in each group. The tasks were solved on six occasions by global CMR or local CMR and five were solved by peer-guided AR. A typical way to solve a CMR task in pairs is represented by the dialogue shown previously between Lars and John upon solving a task (see Section 5.2.1.6). Lars solved the task by using local CMR, while John was guided by Lars. Thus, John’s reasoning about the CMR task was categorized as being peer-guided AR. One possible reason why CMR tasks were solved using CMR was that the students had no access to AR. It is not self-evident that a CMR task always results in the use of CMR. In the attempt to solve two CMR tasks, familiar AR was used without being able to solve the task correctly. Another possible reason why the students in all groups solved these CMR tasks was that these tasks were not among the most complex ones and were conceptually relatively simple. Guided AR tasks were almost always solved via AR strategies. Familiar AR was the most frequent reasoning type adopted to solve guided AR tasks. This can be considered Table 2. tasks. Frequency of occurrences of reasoning required and reasoning used in solving textbook Reasoning used CMR Reasoning required GCMR LCMR GAR Total AR Global Local FAR DAR PeerGAR TeacherGAR TextGAR Not cat. able Total 1 0 0 1 0 5 2 7 2 0 35 37 0 0 2 2 1 4 20 25 0 0 8 8 0 0 2 2 0 1 3 4 4 10 72 86 International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 13 Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 an expected result since the students had worked with the used algorithms previously in their textbook and/or the teacher had presented the method for the students. One reason for using familiar AR was that the student would recognize the task type and could then link the task to a known algorithm using a clue or a lead strategy. An example of this is where Adam solved a task via the inscribed angle theorem (see Section 5.2.1.1.). 6.2. The relation between reasoning used and rate of correct solutions Eighty-two per cent of the tasks were correctly solved. When using global CMR or local CMR, 100% of the tasks were solved correctly, while 80% of the tasks were solved correctly when using AR. Table 3 shows that all tasks solved through global CMR, local CMR and text-guided AR yielded a correct solution. However, these three reasoning types rarely occurred. To further explore the relationship between reasoning used and the rate of correct task solutions a more fine-grained analysis was carried out by examining the relation between the subtask reasoning used and the rate of correct solutions when solving a subtask. Seventy-two per cent (76/106) of the subtasks were correctly solved. The most common way of trying to solve a task was via AR, which was used in 92% (98/106) of the subtask solution attempts. Memorized reasoning was only used once (1/106). No further analysis was carried out concerning memorized reasoning because it rarely occurred. The most frequent reasoning type was familiar AR, which was observed in 44% (47/106) of all the task-solving attempts. Peer-guided AR was the second most common type of reasoning and accounted for around a quarter (27/106) of the solution attempts. Teacher-guided AR was the third most common reasoning type and emerged in 11% of the task-solving attempts (12/106). Table 4 shows the proportion of correct solutions for each of the reasoning types used. One possible explanation why tasks were correctly solved when using CMR (100%, 7/106) could be that the limited depth of the task made the CMR part very minor. Another possible explanation why tasks were correctly solved when using CMR was that the student engaged himself or herself in some sort of struggle.[35] By ‘struggle’, Hiebert and Grouws [35] mean ‘that students expend effort to make sense of mathematics, to figure something out that is not immediately apparent’ (p.387). This struggle might be exemplified in Lars’s task solution presented above (see Section 5.2.1.6.). Lars could not use peer-guided AR since his peer, John, was seeking help from Lars. Lars also did not use the answer section, the textbook or the teacher’s assistance to reach a solution. Rather it was by solving a task that was conceptually within reach and with mathematical ideas that were understandable but not yet well formed [36] that led to the use of CMR and a correct solution. Since the students in the study rarely used CMR, especially global CMR, it was difficult to hypothesize further reasons for using CMR. The use of familiar AR that leads to correct solutions was connected to if the student could identify what algorithm to use by searching for familiar clues or leads in the task Table 3. Students’ correctly solved tasks using different types of reasoning. GCMR LCMR FAR DAR PeerTeacherTextguided AR guided AR guided AR Other AR∗ 100% (1/1) 100% (7/7) 81% (30/37) 0% (0/2) 92% (23/25) 63% (5/8) 100% (2/2) 50% (2/4) ∗ Categorized as AR strategy but analysis has not been able to clarify what type of AR. Local ∗ In 68% (32/47) FAR DAR 0% (0/3) 0% (0/3) 70% (69/99) FDAR∗ three cases it was not possible to distinguish if the reasoning used was familiar AR or delimited AR. 100% (1/1) Memorized reasoning Imitative reasoning 90% (26/29) Peer-GAR AR For each reasoning type the entries display the proportion of a correct solution for a subtask. 100% (1/1) 100% (6/6) 100% (7/7) Global CMR Table 4. Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 46% (6/13) Teacher-GAR 67% (2/3) Text-GAR 72% (76/106) Total 14 J. Sidenvall et al. Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 15 that in turn triggered a strategy choice on which algorithm to choose. When Adam solved a task by using the inscribed angle theorem (Section 5.2.1.1.), he identified and used a familiar algorithm, in a straightforward manner and without verificative arguments. Besides checking the answer with the answer section, explicit verifications were rare in the cases where the students believed that they had identified and used the correct algorithm (i.e. using familiar AR). When the strategy choice was based on surface properties it sometimes led to an incorrect algorithm choice, which naturally resulted in an incorrect answer. This superficial way of solving tasks was the main reason for incorrect solutions when using familiar AR. The reason why almost all subtasks that were approached using peer-guided AR were correctly solved was that the peers guiding the students had in most cases already correctly solved the task themselves. Usually whole solutions, otherwise essential parts of a solution were presented to the student under guidance. This is illustrated by Simon’s solution of how much more it costs to pay for the TV via instalments (Section 5.2.1.1.). In the majority of such cases, the student receiving the information did not ask for explanations, nor did the peer giving the guidance provide any explanations. One may note that this can be paralleled to the didactical contract, introduced by Brousseau [30], between a teacher and her student. The didactical contract is an (mainly implicit) agreement between the teacher and the student determining their respective roles in the mathematics classroom. The students of this study are acting as if there was an (implicit) agreement that the guide does not have to provide any justifications for the choices and claims, and that the guided student does not ask for such justifications. In some peer-guided AR the students carried out a simple but not mathematically complete verification of the answer. The verifications that did take place often concluded that the answer seemed reasonable in relation to the task context. Text-guided AR was seldom used (3/106). It was successful in two cases where the students could connect the task to a presented theorem in the textbook via surface similarities. Text-guided AR might be more common among students who do not work together in task-solving.[10] None of the instances where a student requested help from a teacher led to CMR by the student. Instead teacher assistance often resulted in the use of teacher-guided AR by the student. Teacher-guided AR was one of the reasoning types that led to least correct solutions. Seven of the 13 subtasks that used teacher-guided AR were incorrectly solved. One identified reason was that the teacher did not provide adequate assistance for the students to make progress during their task-solving. For example, the teacher thought that the student needed help to complete one algorithm, while the student actually needed help with a different algorithm or probably with understanding a concept. The reason for generating correct solutions when using teacher-guided AR was that the teacher led the student through the task. When a student tried to solve a task by using delimited AR, this, by definition, involved using the surface properties of the task. To try to solve a task using delimited AR the student may have used a number of algorithms at hand that are delimited by the specific situation. However, it would be more or less a matter of chance that the student would have used the correct algorithm. This was why delimited AR frequently led to incorrect solutions. No task in the study was correctly solved using delimited AR. 6.3. Use of the textbook Even when algorithmic templates (e.g. solved examples) were available students hardly used the worked examples of the textbook in their task-solving. Most interesting were the 16 J. Sidenvall et al. Year 1 Remaining Yearly To pay to loan interest the bank 30 000 2 3 Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 Figure 5. Figure for task solved using answer section. incorrect solutions where students did not turn to the textbook to seek assistance. Twentynine of 106 subtasks were incorrectly solved. In almost all of these cases (23/29) there was a corresponding solved example that had an algorithm that could have been applied to solve the task (i.e. text-guided AR information was readily available, but not used). Students focused clearly on finding an algorithmic method to produce an answer, rather than on understanding the task and solution method. This was emphasized in the frequent use of textbooks’ answer sections, which played a paramount role in students’ task-solving. The answers in the answer section were used as a hint to progress in solving the task, or as a means of verifying an answer. The answers to a task often assisted a student to make task progress using an AR strategy. Ann worked on the following task: ‘A loan of 30,000 crowns will be amortized with three equally large amounts over three years. The interest rate is 5.20%. Complete the table’. See Figure 5. Ann first attempted to complete the column ‘Remaining loan’, but could then progress no further. Her strategy to complete the column was to consult the answer section and view the completed table. Reading the table in the answer section led her to an algorithm of subtracting 10,000 crowns for every year. A similar process was used for completing the remaining columns; not knowing how to proceed, she consulted the answer section which led to an algorithm and a solution. 6.4. Summary of main results The students in this study did not attempt to solve more complex or difficult tasks in the textbook. The relation between the reasoning required and the reasoning used was that AR was almost always used when students attempt text-guided AR tasks. CMR was seldom used. One important relationship between used reasoning and the rate of correct solutions was that peer-guided AR often led to a correct solution since the peer doing the guiding had often already completed the task. All the tasks that were attempted with CMR were correctly solved. This was also the case with the use of text-guided AR, even though this use was very rare. Students often turned to peer-guided AR when solving a task. When peer-guided AR was used there was little focus on obtaining and providing explanations as to why a certain solution and answer were correct. None of the occasions where the teacher assisted a student with a task led to CMR by the student. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 17 Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 7. Discussion This study shows that there was a discrepancy between what students actually do during their task-solving and mathematical competence of reasoning that is stated as important by research and the Swedish national curricula.[1,2,23] The results of this study suggest that students engage in CMR to a very limited extent or not at all while solving textbook tasks. 7.1. Worked tasks Students mainly worked with the least difficult tasks. Following the work by Jäder et al.,[20] if students were to work on more challenging tasks and more on tasks in activity sections, or if there was a larger proportion of CMR tasks among the less difficult tasks, the students would be given more opportunities to learn CMR. Since CMR is a competence that all students are acquired to develop to inhabit a broad mathematical competence, it is essential for textbooks to include more CMR tasks designed at a less difficult level. 7.2. Guided AR as a hindrance in developing CMR In solution attempts in which students failed to solve the task on their own, students often turned to peer-guided AR or to teacher-guided AR to solve it. These strategies often led to a correct solution. But they can be seen as missed opportunities to learn CMR. This was particularly clear in the case where students solved tasks that required CMR with peerguided AR. Schoenfeld [37] states that social interaction is central to individual learning. The present study shows that social interaction is not sufficient on its own. Furthermore the study’s results indicate that when students work informally together and receive help from each other, it might lead to decreased opportunities to learn CMR. The reason for these decreased opportunities could be attributed to the fact that tasks that are only solvable using CMR are instead solved by using peer-guided AR. Research by Fuchs et al. [38] shows that students working together must be concisely organized, otherwise the explanations the students receive from each other tend to be algorithmic rather than of a conceptual nature. The results from the present study suggest that working together during task-solving has to be organized in such a manner that opportunities to learn CMR are provided. Previous research on cooperative learning has established a clear connection between the use of elaborated explanation, elaborated help-seeking and learning.[39–42] Empirical studies by Webb and Mastergeorge [42] suggest that a student seeking help must (1) ask precise questions, (2) be persistent in asking until she/he understands the explanation, and (3) apply the explanation given to the task at hand. The help-giver must give an opportunity for the help-seeker to solve the task herself or himself. On none of the occasions where a teacher helped a student did the teacher’s assistance lead to the use of CMR in solving the task. Therefore, the way in which the teacher helps a student in his or her task-solving is of great importance to how well the student learns to use task-solving as a means to develop CMR. In this regard, Stein et al. [19] acknowledge that a teacher using wrong help-giving strategies will lead to a decline in task depth and usefulness as an opportunity to learn. This manner of help-giving might instead fuel the use of an algorithmic manner in solving tasks. Working on a task appropriately can keep the intended goals of the task, rather than trivializing them. According to Stein et al., the teacher has a central role in maintaining tasks at a high level of cognitive demand. This can be accomplished by (1) scaffolding the student’s thinking, (2) modelling high level 18 J. Sidenvall et al. Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 thinking, (3) pursuing explanations, (4) selecting tasks that build on prior knowledge, (5) drawing on frequently conceptual connections, and (6) providing sufficient time to explore the task and the mathematics connected to it. 7.3. The textbook and the opportunities to develop CMR The data suggest that the textbook theory and worked examples are hardly used by students when solving textbook tasks. This might be seen as surprising, especially since almost all of the tasks that were incorrectly solved had an algorithmic template presented in the textbook. In Lithner’s [10] study, which examined university students’ reasoning when solving textbook tasks, the use of the textbooks’ theory sections and worked examples were used frequently. A reason that the results of the present study do not harmonize with the results from Lithner [10] might be the different categories of students, and that the students worked alone as well as had no access to teacher- or peer-guided AR in Lithner’s [10] study. Johansson’s [43] study on Swedish lower secondary school classes indicates that textbook tasks are central in the teacher’s interaction when helping students during their tasksolving. Haggarty and Pepin [44] have reported differences in how common mathematics textbooks are composed and how they are used by lower secondary school classes in French, German and British classrooms. The study revealed that French textbooks communicated mathematics that was comprehensive and presented in situations and contexts that were cognitively challenging. Students in France were encouraged by their teachers to use the book as a resource in their learning. Despite Lithner’s,[10] Johansson’s [43] and Haggarty and Pepin’s studies little research has studied students’ use of textbooks.[16,45] The present study has not aimed primarily at studying students’ use of the textbook per se, but aspects of the findings could contribute some insights into how the textbook is used in a certain context. Herein it is pointed out that there might be a need for a critical view on how a textbook should be composed and used by teachers and students in order to assist students as much as possible in their mathematics learning. The students’ task-solving in the present study was answer oriented and the answer section was frequently consulted. This has also previously been established in a Swedish context.[12,13] Data from the present study provide evidence that the textbooks’ answer sections were used as an integral part of students’ task-solving. It was common that the answer in the answer section was used as a means of finding an algorithm that can lead to a correct answer. The results from this study suggest that the way the answer section is used by the students does not scaffold the development of CMR. 7.4. Further research The findings of this study demonstrate that students get few opportunities to learn CMR. Further research on how this situation can be improved is required. Since students hardly utilize the theory or worked example sections of current textbooks, one avenue would be to investigate how a textbook should communicate, be most meaningfully structured, and used for promoting students’ acquisition of CMR. The study has also shown that the answer sections within textbooks have an impact on task-solving. Hence, it would be of importance to examine how the answer section should be constructed and used to assist students’ development of CMR. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 19 Disclosure statement No potential conflict of interest was reported by the authors. Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 References [1] National Council of Teachers of Mathematics. Principles and standards for school mathematics. Reston (VA): The Council Teachers of Mathematics; 2000. [2] Niss M. Mathematical competencies and the learning of mathematics: the Danish KOM project. Third Mediterranean Conference on Mathematics Education; 2003 January 3–5; Athens, Greece. p. 115–124. [3] Ross KA. Doing and proving: the place of algorithms and proofs in school mathematics. Am Math Mon. 1998;105(3):252–255. [4] Hiebert J. What research says about the NCTM standards. In: Kilpatrick J, Martin WG, Schifter D, editors. A research companion to principles and standards for school mathematics. Reston (VA): National Council of Teachers of Mathematics; 2003. p. 5–23. [5] Schoenfeld AH. Mathematical problem solving. Orlando (FL): Academic Press; 1985. [6] Schmidt WH, McKnight CC, Houang RT, Wang H, Wiley DE, Wolfe RG. Why schools matter: a cross-national comparison of curriculum and learning. San Francisco (CA): Jossey-Bass; 2001. [7] Bergqvist T, Lithner J, Sumpter L. Upper secondary students’ task reasoning. Int J Math Educ Sci Technol. 2008;39(1):1–12. [8] Lithner J. Mathematical reasoning and familiar procedures. Int J Math Educ Sci Technol. 2000;31(1):83–95. [9] Lithner J. Mathematical reasoning in task solving. Educ Stud Math. 2000;41(2):165–190. [10] Lithner J. Students’ mathematical reasoning in university textbook exercises. Educ Stud Math. 2003;52(1):29–55. [11] Doyle W. Academic work. Rev Educ Res. 1983;53(2):159–199. [12] Swedish National Agency for Education (Skolverket). Lusten att lära–Med fokus på matematik: Nationella kvalitetsgranskningar 2001–2002 [The desire to learn with a focus on mathematics: national quality audits 2001–2002] (No. 221). Stockholm: Swedish National Agency for Education; 2003. Swedish. [13] Swedish Schools Inspectorate (Skolinspektionen). Undervisningen i matematik i gymnasieskolan [Mathematics education in upper secondary school] (No. 2010:13). Stockholm: Swedish Schools Inspectorate; 2010. Swedish. [14] Johansson M. Teaching mathematics with textbooks: a classroom and curricular perspective [doctoral dissertation thesis]. Luleå: Luleå University of Technology; 2006. [15] Kajander A, Lovric M. Mathematics textbooks and their potential role in supporting misconceptions. Int J Math Educ Sci Technol. 2009;40(2):173–181. [16] Love E, Pimm D. ‘This is so’: a text on texts. In: Bishop AJ, editor. International handbook of mathematics education. P. 1. Dordrecht: Kluwer; 1996. p. 371–409. [17] Törnroos J. Mathematics textbooks, opportunity to learn and student achievement. Stud Educ Eval. 2005;31(4):315–327. [18] Valverde GA, Bianchi LJ, Wolfe RG, Schmidt WH, Houang RT. In: Valverde GA, editor. According to the book: using TIMSS to investigate the translation of policy into practice through the world of textbooks. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers; 2002. [19] Stein M, Remillard JT, Smith M. How curriculum influences student learning. In: Lester FK, editor. Second handbook of research on mathematics teaching and learning: a project of the National Council of Teachers of Mathematics. Charlotte (NC): Information Age Publishing; 2007. p. 319–369. [20] Jäder J, Lithner J, Sidenvall J. An international comparison of reasoning requirements in mathematics textbooks. Forthcoming 2014. [21] Ball D, Bass H. Making mathematics reasonable in school. In: Kilpatrick J, Martin WG, Schifter D, editors. A research companion to principles and standards for school mathematics. Reston (VA): National Council of Teachers of Mathematics; 2003. p. 27–44. [22] Silver E. Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing. ZDM. 1997;29(3):75–80. Downloaded by [80.86.65.108] at 06:24 03 February 2015 20 J. Sidenvall et al. [23] Swedish National Agency for Education (Skolverket). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnasieskola 2011 [Curriculum, exam goals and core subjects in upper secondary school 2011]. Stockholm: Fritzes; 2011. Swedish. [24] Lithner J. A research framework for creative and imitative reasoning. Educ Stud Math. 2008;67(3):255–276. [25] Bergqvist T., Lithner J. Mathematical reasoning in teachers’ presentations. J Math Behav. 2012;31(2):252–269. [26] Boesen J, Lithner J, Palm T. The relation between types of assessment tasks and the mathematical reasoning students use. Educ Stud Math. 2010;75(1):89–105. [27] Lithner J. Mathematical reasoning in calculus textbook exercises. J Math Behav. 2004;23(4): 405–427. [28] Långström P, Lithner J. Svenska gymnasieelevers matematiska resonemang och hjälpprocesser i klassrumsmiljö [Swedish upper secondary students’ mathematical reasoning and aid processes in a classroom environment]. Matematikelevers strategier för fel- och hjälpsökning [Mathematics students’ strategies for error and help seeking] [licentiate thesis]. Umeå: Umeå University; 2008. p. 51–102. Swedish. [29] Palm T, Boesen J, Lithner J. Mathematical reasoning requirements in Swedish upper secondary level assessments. Math Thinking Learn. 2011;13(3):221–246. [30] Brousseau G, Balacheff N. Theory of didactical situations in mathematics [electronic resource], 1970-1990. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers; 1997. [31] Szabo A. Matematik origo. 1b [Mathematics origo. 1b]. 2nd ed. Stockholm: Bonnier Utbildning; 2011. Swedish. [32] Alfredsson L. Matematik 5000. kurs 2c blå, lärobok [Mathematics 5000. Course 2c blue, textbook]. 1st ed. Stockholm: Natur & Kultur; 2011. Swedish. [33] Szabo A. Matematik origo. 2c [Mathematics origo. 2c]. 2nd ed. Stockholm: Sanoma Utbildning; 2012. Swedish. [34] Alfredsson L, Erixon P, Heikne H. Matematik 5000. kurs 1a gul, lärobok [Mathematics 5000. Course 1a yellow, textbook]. 1st ed. Stockholm: Natur & Kultur; 2011. Swedish. [35] Hiebert J, Grouws DA. The effects of classroom mathematics teaching on students’ learning. In: Lester FK, editor. Second handbook of research on mathematics teaching and learning: a project of the National Council of Teachers of Mathematics. Charlotte (NC): Information Age Publishing; 2007. p. 371–404. [36] Hiebert J, Carpenter TP, Fennema E, Fuson K, Human P, Murray H, Oliver A, Wearne D. Problem solving as a basis for reform in curriculum and instruction: the case of mathematics. Educ Res. 1996;25(4):12–21. [37] Schoenfeld AH. Ideas in the air: speculations on small group learning, environmental and cultural influences on cognition, and epistemology. Int J Educ Res. 1989;13(1):71–88. [38] Fuchs LS, Fuchs D, Hamlett CL, Phillips NB, Karns K, Dutka S. Enhancing students’ helping behavior during peer-mediated instruction with conceptual mathematical explanations. Elem School J. 1997;97(3):223–249. [39] Hiebert J, Wearne D. Instructional tasks, classroom discourse, and students’ learning in secondgrade arithmetic. Am Educ Res J. 1993;30(2):393–425. [40] Webb NM. Peer interaction and learning in small groups. Int J Educ Res. 1989;13(1):21–39. [41] Webb NM. Task-related verbal interaction and mathematics learning in small groups. J Res Math Educ. 1991;22(5):366–389. [42] Webb NM, Mastergeorge A. Chapter 4: promoting effective helping behavior in peer-directed groups. Int J Educ Res. 2003;39:73–97. [43] Johansson M. Mathematical meaning making and textbook tasks. Learn Math. 2007;45(1):45– 51. [44] Haggarty L, Pepin B. An investigation of mathematics textbooks and their use in English, French, and German classrooms: who gets an opportunity to learn what? Br Educ Res J. 2002;28(4):567–590. [45] Rezat S. Interactions of teachers’ and students’ use of mathematics textbooks. In: Gueudet G, Pipin B, Trouche L, editors. From text to ‘lived’ resources: mathematics curriculum materials and teacher development [electronic resource]. New York (NY): Springer; 2012. p. 231–245. Students’ mathematical reasoning and beliefs in non-routine task solving Jonas Jäder, Johan Sidenvall, Lovisa Sumpter Abstract: Beliefs and problem solving are connected and have been studied in different contexts. One of the common results of previous research is that students tend to prefer algorithmic approaches to mathematical tasks. This study explores Swedish upper secondary school students‟ beliefs and reasoning when solving non-routine tasks. The results regarding the beliefs indicated by the students were found deductively and include expectations, motivational beliefs, and security. Similar beliefs were found when contrasting our results and previous results on students solving routine tasks. A variety of approaches to the tasks in terms of the reasoning used were found. Even though the tasks were designed to demand more than imitation of algorithms, students used this method and failed to solve the task. Our study could imply that there is more to create a problem solving learning environment than just to give students non-routine tasks. Keywords: beliefs, mathematical reasoning, non-routine tasks, problem solving, upper secondary school 1 Introduction There is a fairly good picture of the relation between affect and problem solving and the conditions for being a successful problem solver. A student who has confidence and control is more likely to continue and ultimately succeed when solving problems (Hannula, 2006). Previous research has identified beliefs that influence students‟ problem solving. For example, beliefs can be restraining when solving tasks as some students hold believes that tasks should be solved in an algorithmic manner and do not expect to understand, but only to memorize, and also that a task should be solved in five minutes or less (Schoenfeld, 1992). 1 But beliefs can also assist a student to be persistent instead of giving up when working on a task (Carlson, 1999). In this way beliefs play a part in problem solving. According to the Swedish Schools Inspectorate (2010), Swedish students to a large extent are engaged in an education that emphasizes rote learning and procedural knowledge. To receive an education in line with the curriculum and develop, e.g. problem solving and reasoning competencies, students must be given more comprehensive, better developed and more systematic opportunities to engage in activities than they receive from working on textbook tasks that heavily rely on procedures (Swedish Schools Inspectorate, 2010). Aspects such as curriculum and the character of the task (e.g. routine or non-routine) may influence the beliefs (Liu, 2010). This implies that beliefs may be highly contextualized and results depend on the tasks you give to the students. In a study of Swedish upper secondary school students‟ beliefs and reasoning when solving routine task, the results involved three themes of beliefs: safety, expectations, and motivation (Sumpter, 2013). These beliefs seemed to interplay and connect to imitative mathematical reasoning. Other research has also pointed out the connection between reasoning and affect; it has been shown that an imitative approach is less stressful and secure (Sfard & Lincheviski, 1994), and that combinations of beliefs shape the way a student develops solutions to tasks (Furinghetti & Morselli, 2009). During the past three decades, extensive research has been performed on students‟ beliefs. Yet more research is needed at a pre-college level, since most of the research performed is in a college context (Francisco, 2013). In this present study, we explore upper secondary school students‟ beliefs and reasoning when solving non-routine tasks. The research questions posed are: (1) What are the beliefs indicated in upper secondary task solving? (2) What types of reasoning are displayed by students when solving non-routine tasks? and, (3) What is the relation between the beliefs indicated and the student‟s reasoning when students solve nonroutine tasks? 2 2 Theoretical background This paper has two main concepts: beliefs and mathematical reasoning. We will here give a short background to these concepts in the context of students‟ task solving, and more specifically the solving of non-routine tasks. These two concepts will later be discussed in relation to each other and the results. 2.1 Beliefs Depending on the research question, different aspects of the concept beliefs need to be emphasized. In this paper, we build upon the results from Sumpter (2013) and therefore the same definition will be used. Beliefs are defined as “an individual‟s understandings that shape the ways that the individual conceptualizes and engages in mathematical behaviour generating and appearing as thoughts in mind” (Sumpter, 2013, p.1118). All beliefs are attributed (Speer, 2005), and we are aware of the impact methods and researchers play when we report data and draw our conclusions. Another issue to recognize is that it is not possible to establish causality between specific beliefs and actions (Callejo & Vila, 2009). Still the notion of beliefs works as a model that can produce attributions and thereby help with predicting and explaining behaviour. Following this, we use the notion of Beliefs Indications (BI) introduced by Sumpter (2013). BI is defined as a “theoretical concept and part of a model aimed to describe a specific phenomenon, i.e. the type of arguments given by students when solving school tasks in a lab setting” (Sumpter, 2013, p. 1116). This means that we talk about beliefs as being indicated and attributed. In relation to a greater classroom context, an individual‟s beliefs can be thought of as an understanding of the classroom norm, which is collectively negotiated among the classroom participants (Yackel & Rasmussen, 2002). Beliefs are then contextually bound (Fransisco, 2013), and the context sets the rules operating together with other affective factors. Research has shown that students adjust their solutions to perceived picture of solutions strategies (to 3 specific problems) and that lack of confidence combined with previous lack of success could make them stop working (Lerch, 2004). Hence, in mathematical task solving there are other factors involved than just cognitive ones. The three themes of beliefs shown by Sumpter (2013), expectations, motivation and security, can be further divided into sub-categories. An expectation has been seen as being either personal e.g. I can only solve tasks by memorizing an algorithm (Schoenfeld, 1992), or subject oriented e.g. doing mathematics is to memorize (facts, theorems) and reproduce (Furinghetti & Morselli, 2009). There could also be combination of these two types of expectations. For instance, it has been reported that a majority of students believe it more valuable to memorize than to think in mathematics classrooms (Boaler, Wiliam, & Brown, 2002), which could be both a personal expectation and an expectation on mathematics education. The motivational beliefs indicated in Sumpter (2013) were either sprung from intrinsic or extrinsic motivation (Ryan & Deci, 2000). As to security, this may be seen as an emotional belief saying something about a student‟s view of his or her own degree of security in relation to a specific task solving situation. Mercer (2010) argues that emotions may both establish and strengthen beliefs. The different beliefs interplay to create an “internal dynamic of the belief systems that characterizes how students‟ beliefs influence learning and problem solving” (Op‟t Eynde, De Corte, & Verschaffel, 2002, p. 33). Beliefs don‟t just interplay with each other, but also interact with other affective notions such as emotions and attitudes (Hannula; 2006). 2.2 Reasoning In the literature „reasoning‟ is often defined as a skill of high deductive-logical quality (Lithner, 2008). At the same time Ball and Bass (2003) state that „mathematical reasoning is no more than a basic skill‟ (p. 28). The latter implies that reasoning can be found in all levels of mathematical understanding. The overall assumption in this study is that mathematical 4 reasoning can be used at all levels of difficulty in solving non-routine tasks. This is also in line with research concerning mathematical competences (c.f. Niss, 2003). In order to study students‟ reasoning we need a framework with a clear definition, that focus on different types of reasoning, which we can categorize, but also allow us to structure the data. Therefore, we use a framework developed by Lithner (2008). A broad definition of reasoning is applied: “reasoning is the line of thought adopted to produce assertions and reach conclusions in task-solving. It is not necessarily based on formal logic, thus not restricted to proof, and may even be incorrect as long as there are some kind of sensible (to the reasoner) reasons backing it.” (Lithner, 2008, p. 257). This definition provides flexibility when studying different types of reasoning since it does not have to be based on formal logic, and it even allows reasoning to be incorrect. Reasoning is a sequence, a product, which starts with a task and ends with a conclusion. We use the four step reasoning sequence proposed by Lithner (2008): (1) A (sub-)task is met, which is denoted task situation. (2) A strategy choice is made where „choice‟ is seen in a wide sense (choose, recall, construct, discover, guess, etc.); (3) The strategy is implemented, and (4) A conclusion is obtained. The characterization of reasoning types is based on analyses of the explicit or implicit arguments for strategy choice and implementation. Empirical studies have shown it possible to extract these arguments from students when solving tasks both in pairs (Schoenfeld, 1985; Sidenvall, Lithner & Jäder, in press) and individually (Boesen, Lithner & Palm, 2010). It has also shown successful to use interviews to further strengthen the analysis (Bergqvist, Lithner & Sumpter, 2008; Boesen et al, 2010). There are two main categories of reasoning: Imitative reasoning (IR) and Creative mathematical founded reasoning (CMR) (Lithner, 2008). In IR the task solver applies a recalled or externally provided solution method. In CMR the solver constructs a solution method. There are three central aspects distinguishing CMR from IR (Lithner, 2008): (1) A new reasoning sequence is created, or a forgotten one is re-created; (2) 5 There are arguments supporting the strategy choice and/or strategy implementation motivating why the conclusions are true or plausible; and, (3) The arguments are anchored in intrinsic mathematical properties of the components involved in the reasoning. IR contains no CMR, but CMR may contain parts of IR. For example to solve a task a student might need to use the formula for calculating the area of a circle, which is an example of IR, while the rest of the task solving requires the student to create a, to him novel solution, using CMR. The aim of the study is to study students‟ reasoning in non-routine task-solving, and our interest is focused on whether a student uses CMR or not when solving a non-routine task. In the framework (Lithner, 2008) both IR and CMR contain subgroups to further specify the reasoning used. These subcategories become secondary in light of the aim of the study and will therefore not be operationalized. 2.3 Non-routine tasks The reasoning used by students is likely to be dependent on the type of task they meet. Also, the beliefs indicated by students are likely to alter depending on the type of task (Hoyles, 1992). In relation to the two types of reasoning mentioned above we would like to distinguish two types of tasks. Routine tasks are tasks that a student has met before, maybe on several occasions, and have a ready algorithm to solve, while non-routine tasks to the student means that he or she has to create a to him or her new solution method to solve the task. So, characterizing tasks as being routine or non-routine also means considering the students and their previous experiences. There is evidence to the statement that students tend to use imitative reasoning when faced with routine tasks (Boesen et al, 2010). It also seems that a wider range of reasoning is used when students work on non-routine tasks (Boesen et al, 2010). 6 3 Methods Data was collected by video recording task solving sessions and stimulated recall interviews, both of which were fully transcribed. The students‟ written solutions were also part of the data. The students participating in this study worked in pairs in a lab situation (c.f. Bergqvist et al, 2008; Schoenfeld, 1985). The students were encouraged to talk to each other while solving the tasks and this enabled us to extract their arguments from the communication. Apart from the encouragement to talk out loud and the possibility to use the textbook and the calculator, no further instructions or time constraints were given to the students. They were placed in an adjacent room during an ordinary class session with a video camera and microphone set up. Eight students from year one of the upper secondary school, equivalent to year ten of schooling were selected from two programs with different intensity of mathematics, the Building and Construction Programme and the Social Science Programme. Two teachers were asked to select two pairs of students each that usually work together in their task solving and are likely to communicate verbally with each other. More than 50 % of the students taking this course either fail or receive the lowest passing grade. Therefore the teachers were also asked to select students that were expected to barely pass the course. Post-interviews were used to clarify issues concerning the task solving sessions. Semistructured, stimulated recall interviews were conducted individually since both the reasoning used and the beliefs indicted were analysed separately rather than in pairs. This is made possible since the method is based on the students‟ individual arguments and not their collective mathematical reasoning. In total the data consisted of: (I) four task solving sessions with a total length of 1 hour and 40 minutes (varying between 17 - 32 minutes/session), (II) eight interviews with a total length of 3 hours and 20 minutes (varying between 12- 34 minutes/interview), and (III) written solutions to all tasks from all eight students. 7 To answer the research questions posed, we needed to identify and select tasks of a nonroutine character that were in line with the course curriculum for the designated students. We choose four tasks from national tests specific to the course the students were taking. Using the method of Boesen et al. (2010), we compared the tasks of the national test with the textbooks used by the students to conclude that the tasks were of non-routine character. A further aim was to provide a progression of difficulty as to meet each of the students at an appropriate level. Therefore tasks at different levels of difficulty were chosen. Dìaz-Obando, Plasencia-Cruz and Solano-Alvarado (2003) show that the approach that students take to problem solving depends on his or her capacity, which could be linked to the level of difficulty on specific tasks. A motivational factor that has been proven important is the level of difficulty, where too easy or too hard tasks may bore or frustrate the students (Kloosterman, 2002). For the study, one easy (task 1), two intermediate (tasks 2 and 3) and one difficult task (task 4) were used. All four tasks are presented in Appendix 1. The analysis procedure for reasoning was based on Lithner‟s (2008) framework. In applying the framework to analyse student‟s reasoning and to conduct a more fine grained analysis, we identified subtasks in the students‟ task-solving, and subdivided the subtasks using the four-step reasoning sequence. Following this, any observed predictive and verifying arguments were identified in each subtask situation. These arguments were used to identify the student‟s strategy choice and strategy implementation, and also on what basis these choices and implementations were made. The reasoning sequence was then classified according to the reasoning types in focus of this study, IR or CMR. When studying affective issues in mathematics education the issue of subjectivity is present; in relation to their study, Furinghetti and Morselli (2009) states that they are “aware of the fact that our methodological choice may introduce elements of questionability and subjectivity in our work” (p. 78). In a likewise manner we acknowledge our method to be 8 partly subjective. Therefore it is necessary to show how the analysis was carried out by referring to detailed examples of data for the reader to follow. Following the categorization of the reasoning used by the eight students we identified three students that all showed different behaviours in regard to the reasoning used. These three students also provided us with rich data in terms of verbal communication in the task solving sessions and the interviews. To analyse students‟ beliefs, we used a thematic analysis of the video-recordings, transcripts and students‟ written solutions was conducted with equal attention to these data items (Braun & Clark, 2006), where we focused on Beliefs Indications (BI) (Sumpter, 2013). BI:s could be explicit meta-cognitive statements in the transcripts of the task-solving session, the transcripts of the interview, or in the students‟ task-solving notes. They could also have an emotional element such as a sigh or a gesture connected to emotions or an explicit mention of a feeling (e.g. “I do not understand this”). BI:s can also be implicit and hidden in the students‟ behaviour (Sumpter, 2013). Passages when the BI was not clear were left out. The BI:s were then interpreted in a wider context to be able to work deductively considering the three themes attributed by Sumpter (2013). The three themes of belief indications, security, motivation and expectation were used as a basis for consideration. Two of the authors analysed the data by discussing it in relation to the framework for categorizing reasoning and to what beliefs were indicated by the students‟ statements, explicitly or implicitly. The discussions were in all cases ended with an agreement on both the reasoning used and what beliefs were indicated. There was also a possibility to discuss issues with the third author. In this way, there were two separate analysis procedures: one for the reasoning used, and one for the beliefs indicated. The next step in the analysis was to recognize what beliefs were indicated concurrently as a specific type of reasoning was used. In some cases this connection was between an indication of beliefs and a change of reasoning or a pattern of reasoning 9 sequences. The generated data might have been different if the data had been collected in another setting, e.g. with single students and using a think aloud protocol. We are also aware that the lab-setting might have had an impact on the generated data and the results and conclusion only concern this particular setting. 4 Results The results indicate that students expressed beliefs of security, motivation and expectation. We have been able to further distinguish between different kinds of expectations belonging to the subject oriented category. The motivational beliefs have been further divided into positive and negative. This applies to security as well, which we have been able to see as both security and insecurity. In our presentation of the results we will show how beliefs connect to the reasoning used. We will do this by first exemplifying the work of three students (Leila, Karl and Eric) on one of the four tasks, task 2. The reason for exemplifying data using task 2, in line with Kloosterman (2002), is that this task appeared to be a task where all these three students met their challenge. By this we mean that the task was neither too easy nor too hard. The task solving session and the interview rendered a lot of data concerning the chosen task. The task that we use to exemplify the students‟ work is the following: “Which of the following expressions correspond to the perimeter of the figure? . Motivate your answer.” (Swedish National Agency for Education, 2010, p. 3, authors‟ translation) Fig. 1 Figure to task 2 (Swedish National Agency for Education, 2010, p. 3). 10 The data have been translated from Swedish. […] stands for omitted passages not relevant to the solving process. 4.1 Leila, reasoning Leila worked in pair with Anna. Leila‟s work on the task resulted in three reasoning sequences. Part 1 Leila Anna Leila Anna Leila Leila Anna Leila Anna [Reads the question]. Seriously, I don‟t know how to do this stuff. […] What? Is this whole line ? [Pointing at the most left vertical line.] Yes. And all of this, is ? [Pointing along the bottom of the figure.] Yes. Isn‟t it 2, or, eh, plus ? Then it is... [...] If you, [gesturing in the figure] just move these [indentations], kind of, then it will be, the you just take… Yes.. No, I don‟t get it. [pause] But it, if you, even if you squeeze it together, it should be plus ? […] Yeah. […] It should be that one [pointing at the expression ]. Leila Mmh. […] Leila But then you could write, eeh: it is becomes equal length. Anna Yeah. since if you squeeze it together the sides Task situation 1: Which of the following expressions correspond to the perimeter of the figure and why? Strategy choice 1: Leila argues that the indentations do not add any length to the perimeter of the figure. Therefore it can be considered to be a rectangle and the algorithm of a rectangle perimeter can therefore be used. Strategy implementation 1: Leila adds the side lengths of the rectangle , (without considering that the indentations add to the perimeter). Conclusion 1: Leila‟s answers is algebraic expression. 11 , but hesitates in her motivation of the chosen Leila’s reasoning: Leila does not consider necessary properties of the figure, the indentations, in her strategy choice. Instead she uses the algorithm for computing the perimeter of a rectangle. This algorithm was considered to be familiar to Leila. The reasoning used in the first sequence was therefore categorized as IR. Leila‟s conclusion from the first reasoning sequence results in a new reasoning sequence, since Leila hesitates when she is to motivate her choice of expression. Part 2 Leila Or? [pause] It can‟t plus , can it? [pause] Or, yeah, if you add these, [pointing at the vertical lines in the indentations] maybe. Look, this one and then you add it.. Anna Uhm. Leila ... and then you add it to this one. Anna But what? Leila Look. [pointing at the figure] Anna Yes. Leila This, [pointing above the left indentation] thing..., or, there is something missing ... Anna here, Yes. Leila ... then you can, kind of take this [pointing at the larger indentation] and this one [pointing at the smaller indentation] or, not. [Pause] I don‟t get it. Task situation 2: Which of the following expressions correspond to the perimeter of the figure and why? Strategy choice 2: Leila considers the indentations as important for the computation of the perimeter. She also finds a way to integrate this necessary property into her solution. The argument supporting her following implementation is that the smaller vertical line of an indentation is the missing part of a vertical line of the larger indentation. The sum of these two vertical lines would be the same as the length of . Strategy implementation 2: Leila adds one of the vertical sides of the larger indentation to one of the sides of the smaller one making up another . She repeats this for the other side of 12 the indentations which leads to Leila seeing four a‟s in the figure. Conclusion 2: Leila‟s answer is . Before Leila writes a motivation for the choice of algebraic expression she states “I don‟t get it.” Leila’s reasoning: Leila creates a to her a novel solution. She gives an argument for her strategy choice (adding the vertical sides of the indentations) based on necessary intrinsic mathematical properties. Her reasoning sequence is therefore categorized as CMR. Nevertheless, Leila abandons the correct solution and the answer, which results in a third and final reasoning sequence. Part 3 Leila Anna Leila Anna Leila Should we write ? Mmh. Because you, if you squeeze together the, block..., or, yeah, the figure, then, it is... It will be... Mmh. [Writes down the solution] Task situation 3: Which of the following expressions correspond to the perimeter of the figure and why? Strategy choice 3: Leila reconsiders her interpretation of the relevance of the indentations. She, once again omits the indentations by “squeezing” the figure. “Because you, if you squeeze the blocks..., or yeah, the figure [...] then the figure becomes a rectangle.” Strategy implementation 3: Adds the vertical sides ( interpreted as being of length equivalent to Conclusion 3: ( ). with the motivation that squeezing the figure, a rectangle is formed and the sides of the rectangle are not equally long. 13 ) and the horizontal sides, Leila’s reasoning: Leila returns to her incorrect answer and omits an important intrinsic property of the figure; the indentations in her strategy choice. This reasoning sequence is therefore categorized as imitative reasoning. 4.2 Leila, beliefs indicated There are several beliefs indicated in the data of Leila working on this task. The subsequent interview also clarified several of these belief indications. There are three main beliefs indicated in the data on Leila. Firstly, Leila expresses that she does not “know how to do this”, when meeting the task. This also reoccurs several times throughout the three reasoning sequences. This could be an indication of an intrinsic motivational belief, but also a personal expectation on herself: she does not expect herself solve the task. The fact that she expresses that she does not understand may motivate her to handle the situation in a certain way. In the interview motivating her choices, she on two occasions states an insecurity regarding her own thinking: “I‟m not sure if it is right, but [...]”. In the interview Leila also says that: “I am unsure when I have to think differently, therefore I choose the simplest way.” This statement indicates that there is an expectation on the task to be solvable in a way where the amount of thinking is reasonable according to Leila. The simplest way here, according to Leila is to consider the figure as a rectangle (without the indentations). 4.3 Leila, reasoning and beliefs indicated The above presented example is signifying for Leila as it shows her use of IR. Leila uses IR solving all four tasks. In the interview Leila expresses that the first task, to her, is of routine character. She also delivers a correct solution to this task. Of the other three tasks, one more was solved with a correct result, using IR via peer guidance, and the two others were incorrect. Leila indicates similar intrinsic motivational beliefs when working on all four tasks, expressing that she does not understand. On two occasions she also indicates an insecurity 14 regarding her own ability. In the interview she states: “Because, I would have probably done something wrong. You know, not knowing how to really think and just skipped something […] it had become more complicated”. As shown in the example above, she also indicates an expectation on herself not to be able to solve the task. In the interview, Leila states that she “can only solve tasks with normal shapes, and not with indentations [...] it becomes too complicated. [...] You have to think differently, [...] but then I used what seemed easiest.” These three beliefs seem to interplay in a way that supports each other. The three beliefs support each other so that, for example, the personal expectation of only being able to solve tasks with familiar geometrical figures may strengthen her intrinsic motivation of not understanding the task and also her insecurity of the task being of an unfamiliar character, and also of her own solution. 4.4 Karl, reasoning Karl‟s work, in pair with Ian, resulted in one reasoning sequence. Karl I thought that it should be [...] If we were to just do like this [showing in the figure]. Then we will get… Ian Yeah …. Karl ... then we will have and . And then we pull these [indentations] together, put them opposite each other, then we will get, 1, 2 ... Ian 4, 5. Karl We [have], 1, 2, 3, 4at least got four a‟s. And two b‟s, It should be and . Ian What? I don‟t get what you are getting at! Karl If we were to move this, [points at the smaller indentation], and put it here instead. Instead of here. Then it would be, 1, 2, 3, 4, four lengths. Karl I‟ll just… ehh Ian You can‟t write a solution to this, can you? Karl No, we‟ve been talking so much, anyway Task situation: Which of the following expressions correspond to the perimeter of the figure and why? 15 Strategy choice: Karl immediately sees that the vertical sides in the indentations can be expressed by variable „a‟. “We pull these [the vertical sides in the indentations] together, put them opposite each other. Then we get 1, 2, […] 4 a‟s.” Strategy implementation: Conclusion: . Did not give a written motivation to the choice of algebraic expression Karl’s reasoning: Karl constructs a novel solution method to solve the task. The assumption that the method is novel is strengthened by Karl‟s statement in the interview where he says that he has not seen this type of task before. The arguments that the length „a‟ can be found also as parts of the indentations are made plausible by his pointing in the figure. Karl anchors the properties of the indentations and the different forms of representation of the variables and intrinsically. Therefore the reasoning sequence is categorized as CMR. 4.5 Karl, beliefs indicated Karl indicates motivational beliefs in two different ways solving the second task. First, he expresses that he does not understand, but later in the interview formulating that he nevertheless thought that the solution was ok even though he was not certain. Altogether he shows insecurity about whether the results were correct or not. 4.6 Karl, reasoning and beliefs indicated Karl uses CMR to solve all tasks except the last and most difficult one. The last task is also the only task where Karl‟ solution and answer is incorrect. Summarizing Karl‟s beliefs indications on all tasks, he shows greater confidence than Leila but also both security and insecurity. On the first task he indicates, in a similar way to the task in the example above, a negative intrinsic motivational belief saying that he does not understand. In the interview he stresses a different motivational belief, saying that “[the solution] just came to me”. Karl here has a clear picture of the complete solution and uses CMR to solve the task. Karl also indicates an extrinsic motivational belief regarding the written computation of a solution on 16 paper. He finds it necessary to present a solution to us, in a similar manner as to his class teacher, but also finds it hard to written these written computations. In one task solution (task 3), Karl indicates a belief of expectation that the task should be solvable by using an algorithm when he in a response to Ian, who says ”But I don‟t remember how to do this”, replies ”Neither do I.”. This is also the only task where Karl actually uses IR in his attempt to solve a task. The other subject oriented expectation that is indicated on two occasions in Karl‟s task solving, is that he expects tasks to be of a certain level of difficulty. He states in the interview “I understood that it was too simple”, and by this he signals that he had an expectation on how complicated the solution should be to meet the level of the tasks. On the other occasion, concerning the fourth and final task, Karl is puzzled when he says “It‟s probably a trick question that is actually really simple to answer”. Here he expresses an expectation that it should be a difficult question but his simple IR solution does not fit his expectation of complexity of the task. The relation between the beliefs held and the reasoning used in the case of Karl is a relation between a mix of negative and positive intrinsic motivation and the relative security he shows regarding his ability to create novel solutions and to use intrinsic mathematical properties and his use of CMR. 4.7 Eric, reasoning Eric‟s work, in pair with Axel, with task 2 resulted in one reasoning sequence. Eric Eric Eric Axel Eric Axel 17 We can make our own ruler, [using] a piece of paper. […] Two [squares on the paper] is one centimetre. [Eric and Axel measures in the figure using the piece of squared paper.] […] Let‟s guess that this [pointing at the larger of the indentations and referring back to a measurement of the figures height as 3,5cm] is maybe two to three centimetres. [Eric and Axel continue to measure in the figure.] […] Yes, listen, listen, listen. This side is as long as one . This [pointing at the lower part of the figure] is . Mmh. Mh. Plus one , if you compare with that one [the figures upper part]. This is just one , and this is one and one . [lower part of the figure]. But, look, this is what they show, this side [the figures left side] is a. Then, it just that side [the figures right hand side] ... Eric Axel Eric Axel Eric Axel Eric Axel Eric Eric Axel Eric Eric Axel Eric Eric Eric Axel Eric Mmh. ... and that side [the figures right hand side] that is . [inaudible] 3.5 centimetres longer here [bottom part of the figure]. That is why I use instead. [pointing at the bottom right horizontal line] Do you understand what I mean? No But that side [bottom] is 12.5, that [upper] 9.5 Mmh. [counting on his fingers] It differs three, almost an a. But, that ... I know, but I know what that side [left] is, what I mean is that the they [bottom] are just as long as that [upper], but one more of those [left side, ]. […] Yeah. Or you could write three a‟s, not three of those. […] and one b. But that doesn‟t work [sees that there is no such algebraic expression. It is , exactly, and . , ? Mmh. Because it‟s still [bottom], [upper], plus , 1, 2, 3. [...] Can I copy your notes, I haven‟t written anything, because I‟ve just been trying to work it out. But I didn‟t have the time to write anything. Mh. But they have it recorded. […] That is about a half less. I doesn‟t matter if we round off a bit. […] Damn, I don‟t know how to explain on paper, it sounds better when you just talk. […] Tell me what you‟re writing. I wrote that “ is longer than the other ”. Because that is the way it is! Task situation: Which of the following expressions correspond to the perimeter of the figure and why? Strategy choice: Eric considers the perimeter of the figure to be affected by the indentations. He chooses to measure all the sub-lengths of the figure. The argument used is that some sublength measured in centimetres can be transformed into variable a. Strategy implementation: Eric measures all sub-lengths. The lengths are rounded off to fit the, by Eric measured length of a. Eric adds all sides: left side cm , upper side (including small indentation) . have different lengths. 18 cm , right side , lower side (including indentation) . An implicit argument is used that variable could Conclusion: ended up being . Motivation: “One and is an longer than the other . That was why it .” Eric’s reasoning: Eric in this reasoning sequence uses a type of reasoning that has the character of CMR. He does not at any point refer to an algorithm or other familiar solution method, but constructs a, to him, new solution method. He argues for his solution together with his peer, basing the arguments on intrinsic properties of the task such as the indentations and what these do to the perimeter of the figure. He also realizes that the answer must consist of only „a‟ and „b‟ terms, meaning that the measured sub-lengths must be represented in terms of the two variables. What is lacking in his reasoning is a correct handling of variables. Nonetheless, this reasoning is categorized as being CMR. 4.8 Eric, beliefs indicated Eric indicates several beliefs in working on the example-task. He indicates a security in the regard to his solution to the task, at the same time as he shows insecurity in regard to how he came about this solution. His insecurity is apparent in the interview: “I don‟t know how we thought, we got that answer anyway”. This may interplay with another expressed BI, an extrinsic motivational belief saying that there should be a written solution to the task. This latter BI is stated when Eric argues for not including a written computation because he finds it difficult. Eric also shows a general frustration about the hassle to present a written solution of the task. 4.9 Eric, reasoning and beliefs indicated The reasoning used by Eric on the four tasks have the character of CMR in that he approaches the tasks by creating novel reasoning sequences and hence also solutions. These solutions are vaguely based on mathematical arguments. He expresses a confidence in these arguments based on the relevant mathematical properties. It can be Eric‟s mathematical ability that hinders him from always grounding the arguments in the intrinsic mathematical 19 properties, but nevertheless he reasons in a way that is reasonable and plausible to him, in this context. Therefore the reasoning used by Eric on all task but the first task is categorized as being CMR. The first task is to him, just like it was to Leila, of routine character as stated by Eric in the interview. He reaches a correct answer on solely one task, the third one. During the work on all four tasks, Eric expresses a positive intrinsic motivational belief when he says in the interview that the task solving process feels rather good and that he thought the solution to be correct (e.g. commenting one of the task solutions: “It felt right at that moment.”). Working on the last, and most difficult task he also shows another intrinsic motivational belief expressing that guessing is a valid method to approach a task. In the interview he states: “well, it‟s a little difficult, but I try to guess, it feels rather ok”. Eric indicates differentiated beliefs of security. Statements such as “I know that the answer is correct” and “I don‟t know what our thought were, but we finished it anyway” and “we were really unsure” all indicate different levels of security or insecurity. The use of CMR with an incorrect result is in Eric‟s task solving connected to mostly positive intrinsic motivational beliefs and security, but also to insecurity and different beliefs relating to the written computations and to the belief that also guessing is valid. 4.10 Summary In the results we have presented three belief systems connected to three different ways of approaching non-routine tasks, see Table 1. Table 1. Beliefs indicated and reasoning used by Leila, Karl and Eric. Studen Belief Indication (BI) Reasoning Leila Insecurity -Low personal expectations IR, abandoning CMR (correct t - Negative Intrinsic motivation 20 solution) Subject Expectation Karl Negative and positive intrinsic CMR (correct solution) motivation Security and insecurity Extrinsic motivation Karl Subject expectation IR Eric Positive intrinsic motivation CMR (incorrect solution) Security and Insecurity Extrinsic motivation From Table 1, we can see that the difference in the way the students approach the non-routine problems, and also which BI:s are connected to their approach. 5 Discussion Even though beliefs are contextually bound (Francisco, 2013), several studies indicate similarities between different countries (Dìaz-Obando et al., 2003; Furenghetti & Morselli, 2009). Students expect mathematical tasks in school to be solvable by memorized algorithms. Broadening the picture from just memorized to IR, using Lithner‟s (2008) framework, Swedish upper secondary school students indicated beliefs about mathematics as being of an imitative character, where CMR is not necessary to solve school tasks (Sumpter, 2013). It has also been reported that a majority of students believe it is more valuable to memorize than to think in mathematics classrooms (Boaler, Wiliam, & Brown, 2000). What we have seen in this study is that results from previous research are also valid when students work on non- 21 routine tasks. Leila in many ways exemplifies several of the above mentioned beliefs. Yet, this present study also shows that there are other kinds of beliefs represented among the upper secondary school students in Sweden compared to previous research (c.f. Sumpter, 2013). Two of students in our study indicate beliefs that CMR is indeed a valid method of approach, at least when a complete solution is within reach. These results seem to be an addition to the present picture of students‟ beliefs about problem solving and mathematical reasoning. However, these results also somewhat contrast previous research that has shown that students tend to focus on familiar algorithms when engaged in problem solving (Carlson, 1999). IR is very fruitful when you want to solve a lot of mathematical task of routine character quickly and (most likely) with a correct answer, but it is not so helpful when facing mathematical problems (Lithner, 2008). We can only speculate why the students in the present study use CMR to the extent shown in the results. The task design might trigger the use of CMR, or it may be that the selected students are weak procedurally. These students, all expecting to barely pass the course are likely to have limited procedural as well as conceptual knowledge. Having this limitation leaves you with two options, either try to fit a well known algorithm to the task solution or try to create a new solution. In this lab situation the might also be a greater incitement for these students to actually present a solution than in an ordinary classroom situation. Another result of the present study is that students have indicated a belief of expectation regarding the level of difficulty of the tasks, a subject expectation. This expectation could be connected to an understanding of what type or reasoning should be used, e.g. Leila expressed that one of her solutions to task 2 was too complicated while on the fourth and last task several students indicated a belief that their solution was not complex enough. Kloosterman (2002) also argues that students seem to want to have a clear picture of tasks‟ level of difficulty, and also how the students act in relation to this expectations. A possible 22 explanation to why the students in this present study turned to IR when facing more difficult tasks could be the level of difficulty following Kloosterman (2002). Another possible explanation could be that if students do not see CMR as an option (Sumpter, 2013), then it is difficult to evaluate and control your own reasoning (Schoenfeld, 1992) and thereby judge the „correct‟ level of difficulty or simply see if the solution is correct. Boaler (1998) describes the same phenomena: students have expectations on the expected difficulty level of tasks. All three students indicate beliefs of insecurity and just as in Mercer (2010) the emotions supports beliefs (in either direction). Here it is illustrated by Leila who shows a negative intrinsic motivation and low personal expectations interplaying with insecurity. Leila‟s interplay of beliefs may strengthen the connection to her use of IR, a behaviour that is in line with previous research (c.f. Lerch, 2004). Related to this Leila, with a low personal expectation, is the one using IR on all tasks. Callejo and Vila (2009) describes a similar situation as a student being “focused on recurrence, without getting into the overall analysis of the situation” (p. 116). Karl shows a mix of positive and negative intrinsic motivation while Eric indicates more positive intrinsic motivation. The motivational belief is what distinguishes the three students from each other, rather than the insecurity. Motivational beliefs can be viewed as the engine, the driving force, of the mathematical work (Hannula, 2006). Without it, it can be hard to sustain the reasoning. The successful students in Carlson‟s (1999) study showed high levels of patience, trusting their own thinking even though it didn‟t go smoothly. In this present study, both Karl and Eric use CMR without abandoning it. However, they did not indicate a belief of expectation that a task should be solved using a known algorithm, i.e. using IR. The BI:s connected to CMR are to a large extent the same for Karl and Eric. Eric‟s indicate beliefs of positive intrinsic motivation and of security that seems to overrule insecurity. Eric may lack the conceptual knowledge that is necessary to be able anchor his solutions in intrinsic 23 mathematical properties. Another possible explanation to his incorrect solutions may be his seemingly unreflective manner. This behaviour is similar to what Callejo and Vila (2009) categorizes as being naive, impulsive or unthinking and is characterized for example by quick answer without justifications. Unlike Eric, Karl indicates both a negative and a positive intrinsic motivation. In this particular episode, Karl has a more reflective approach to the task solving than Eric. It appears that students‟ cognition and beliefs are intertwined following the results from previous research (Furenghetti & Morselli, 2009). The reasons for a student to use IR on non-routine tasks could be that the student holds expectations on the subject, or more specifically, does not know that CMR is an option. Another reason could be that the student argues CMR not being an option (c.f. Sumpter, 2013), which can be paralleled to Sfard and Lincheviski‟s (1994) findings that an imitative approach is less stressful and secure. Here it is illustrated by Leila when saying “I am unsure when I have to think differently, therefore I choose the simplest way.” To conclude, we see that students when working on non-routine tasks use a variety of approaches including both CMR and IR. Compared to previous studies on students‟ beliefs when solving routine tasks, this indicates that the task influences the way students reason (c.f. Liu, 2010). Nevertheless, contrasting with previous research we see that similar themes of beliefs are indicated in this partly new setting. Furthermore, even though the tasks are designed to demand CMR, students still use IR (without success). This implies that there is more to supporting a broader view of mathematics and the use of CMR than just giving nonroutine tasks to students. 24 References Ball, D., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. In J. Kilpatrick, W. G. Martin & D. Schifter (Eds.), A research companion to principles and standards for school mathematics (pp. 27-44). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Bergqvist, T., Lithner, J., & Sumpter, L. (2008). Upper secondary students' task reasoning. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 39(1), 112. Boaler, J. (1998). Open and closed mathematics: Student experiences and understandings. Journal for Research in Mathematics Education, 29(1), 41-62. Boaler, J., Wiliam, D., & Brown, M. (2000). Students' experiences of ability grouping disaffection, polarisation and the construction of failure. British Educational Research Journal, 26(5), 631-648. Boesen, J., Lithner, J., & Palm, T. (2010). The relation between types of assessment tasks and the mathematical reasoning students use. Educational Studies in Mathematics, 75(1), 89105. Braun, V., & Clarke, V. (2006). Using thematic analysis in psychology. Qualitative Research in Psychology, 3, 77-101. Dìaz-Obando, E., Plasencia-Cruz, I., & Solano-Alvarado, A. (2003). The impact of beliefs in student's learning: An investigation with students of two different contexts. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 34(2), 161. Callejo, M.,& Vila, A. (2009).Approach to mathematical problem-solving and students‟ belief systems. Educational Studies in Mathematics, 72, 111-126. 25 Carlson, M. (1999). The mathematical behavior of six successful mathematics graduate students: influences leading to mathematical success. Educational Studies in Mathematics, 40(3), 237-258. Francisco, J. (2013). The mathematical beliefs and behavior of high school students: Insights from a longitudinal study. The Journal of Mathematical Behavior, 32(3), 481-493. Furinghetti, F.,& Morselli, F. (2009). Every unsuccessful problem solver is unsuccessful in his or her own way: affective and cognitive factors in proving. Educational Studies in Mathematics, 70, 71-90. Hannula, M. (2006). Affect in mathematical thinking and learning: Towards integration of emotion, motivation and cognition. In J. Maasz & W. Schloeglmann (Eds.), New Mathematics Education Research and Practice (pp. 209-232). Rotterdam: Sense Publishers. Hoyles, C. (1992). Mathematics teaching and mathematics teachers: A meta-case study. For the Learning of Mathematics, 12(3), 32–44. Kloosterman, P. (2002). Beliefs about mathematics and mathematics learning in the secondary school: Measurement and implications for motivation. In G. C. Leder, E. Pehkonen& G. Törner (Eds.), Beliefs: A hidden variable in mathematics education?(pp. 247-269). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Lerch, C. (2004). Control decisions and personal beliefs: their effect on solving mathematical problems. The Journal of Mathematical Behavior, 23, 361-372. Lithner, J. (2003). Students' mathematical reasoning in university textbook exercises. Educational Studies in Mathematics, 52(1), 29-55. Liu, P-H. (2010). Are beliefs believable? An investigation of college students‟ epistemological beliefs and behavior in mathematics. The Journal of Mathematical Behavior, 29 (2), 86-98. 26 Mercer, J. (2010). Emotional beliefs. International Organization, 64(1), 1-31. Niss, M. (2003). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM project. Third Mediterranean Conference on Mathematics Education. Athens, Greece. 115–124. Op 'T Eynde, P., De Corte, E., & Verschaffel, L. (2002). Beliefs a hidden variable in mathematics education? In G.C. Leder, E. Pehkonen & G. Törner (Eds.), Beliefs: A hidden variable in mathematics education? (pp. 13-37) Dordrecht: Kluwer Academic, 2002. Ryan, R., & Deci, E. (2000). Intrinsic and extrinsic motivations: Classic definitions and new directions. Contemporary Educational Psychology, 25(1), 54-67. Schoenfeld, A. (1985). Mathematical Problem Solving. Orlando, FL: Academic Press. Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition and sense-making in mathematics. In D. Grouws (Ed.), Handbook of Research in Mathematics Teaching and Learning (pp.334-370). New York: Macmillan Publishing Company. Sfard, A., & Linchevski, L. (1994). The gains and the pitfalls of reification - the case of algebra. Educational Studies in Mathematics, 26(2-3), 191-228. Sidenvall, J., Lithner, J. & Jäder, J. (in press). International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. Speer, N. (2005). Issues of methods and theory in the study of mathematics teachers' professed and attributed beliefs. Educational Studies in Mathematics, 58(3), 361-391. Sumpter, L. (2013).Themes and interplay of beliefs in mathematical reasoning. International Journal of Science and Mathematics Education, 11(5), 1115-1135. Swedish National Agency for Education [Skolverket] (2010). National test in mathematics Course A, Spring 2010, Part I short answers [Nationellt kursprov i matematik, kurs A, 27 våren 2010, Del I kortsvar]. Retrieved from http://www.su.se/polopoly_fs/1.155928. 1384787016!/menu/standard/file/VT2010_Del1Kortsvar.pdf. Swedish. Swedish Schools Inspectorate [Skolinspektionen]. (2010). Undervisningen i matematik i gymnasieskolan [Mathematics education in upper secondary school] (No. 2010:13). Stockholm: Swedish Schools Inspectorate. Swedish. Yackel, E., & Rasmussen, C. (2002). Beliefs and norms in the mathematics classroom. In G.C. Leder, E. Pehkonen, & G. Törner (Eds.), Beliefs: A hidden variable in mathematics education? (pp. 313-330). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 28 Appendix 1 1. “When using 6 kg of apples Astrid gets 2.8 l of apple juice. How many litres of apple juice will she get using 15 kg of apples, of the same sort?” (Swedish National Agency for Education, 2005a, p. 2, authors‟ translation) 2. “Which of the following expressions correspond to the perimeter of the figure? a+b 2a + 2b 3a + 2b 3a + 3b 4a + 2b Motivate your answer.” (Swedish National Agency for Education, 2010, p. 3) 3. “The average age of five employees at a sporting goods store was 24 years. A woman of age 36 years was hired as shop manager. What will be the new average age of the employees at the sporting goods store?” (Swedish National Agency for Education, 2005b, p. 2, authors‟ translation) 4. “A circular one person American pizza has a diameter of 21 cm. What should the diameter be for the pizza to be a two person pizza?” (Swedish National Agency for Education, 1996, p. 5, authors‟ translation). 29 References Swedish National Agency for Education [Skolverket] (1996). National test in mathematics Course A, Spring 1996 [Nationellt kursprov i matematik, kurs A, våren 1996]. Retrieved from http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/A-kursprov-vt96.pdf. Swedish. Swedish National Agency for Education [Skolverket] (2005). National test in mathematics Course A Spring 2005 Part I [Nationellt kursprov i matematik, kurs A, våren 2005 Del I]. Retrieved from http://www.su.se/polopoly_fs/1.155924.1384786957!/menu/standard/file/ VT2005_del_I.pdf. Swedish. Swedish National Agency for Education [Skolverket] (2005). National test in mathematics Course A Spring 2005 Part II [Nationellt kursprov i matematik, kurs A, våren 2005 Del II]. Retrieved from http://www.su.se/polopoly_fs/1.155926.1384786979!/menu/standard/file/ VT2005_del_II.pdf. Swedish. Swedish National Agency for Education [Skolverket] (2010). National test in mathematics Course A, Spring 2010, Part I short answers [Nationellt kursprov i matematik, kurs A, våren 2010, Del I kortsvar]. Retrieved from http://www.su.se/polopoly_fs/1.155928. 1384787016!/menu/standard/file/VT2010_Del1Kortsvar.pdf. Swedish. 30
© Copyright 2024