1. No category

Reglerteori, TSRT09
Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet
Torkel Glad
Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sammanfattning av Föreläsning 3
2(19)
Kovariansfunktion:
Ru (τ ) = Eu(t)u(t − τ )T
Spektrum:
Φu ( ω ) =
Z ∞
−∞
Ru (τ )e−iωτ dτ
Storleksmått (kovariansmatris):
1
Ru = Ru (0) =
2π
Z ∞
−∞
Φu (ω ) dω
Vitt brus:
Φu (ω ) = konstant
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.
3(19)
Spektralfaktorisering:
Varje spektrum kan tänkas genererat genom att vitt brus passerar ett
linjärt system.
y = Gu
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
⇒
Φy (ω ) = G(iω )Φu (ω )GT (−iω )
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.
4(19)
Vitt brus in på tillståndsform:
ẋ = Ax + Bv
v vitt brus med intensitet/spektraltäthet R.
Kovariansmatrisen Πx = Rx (0) ges av Lyapunovs ekvation:
AΠx + Πx AT + BRBT = 0
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.
5(19)
Kalmanfilter: Optimal observatör för
ẋ = Ax + Bu + Nv1 ,
y = Cx + v2
v1 , v2 okorrelerade vita brus med spektraltätheterna R1 , R2 .
Optimal observatörsförstärkning:
K = PCT R2−1
där P ges av den algebraiska Riccatiekvationen:
AP + PAT − PCT R2−1 CP + NR1 NT = 0
P är den resulterande kovariansen för skattningsfelet.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
När kan den algebraiska Riccatiekvationen lösas?
Om R2 > 0, R1 ≥ 0 och
1. paret A, C detekterbart (dvs den instabila delen av systemet
observerbar)
2. paret A, NR1 NT stabiliserbart (den instabila delen ”styrbar från
bruset”)
så finns en lösning P ≥ 0 till den algebraiska Riccatiekvationen så
att alla egenvärden till A − KC har realdelar < 0.
Villkor 1 är precis kravet på att över huvud taget kunna stabilisera
observatören.
Villkor 2 är ett mera matematiskt-tekniskt krav.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
6(19)
Kommentar till Kalmanfiltret
7(19)
Man kan visa att Kalmanfiltret är den observatör som minimerar
kovariansmatrisen P för skattningsfelet x̃. Se appendix 5.1.
Man kan visa att Kalmanfiltret minimerar medelkvadratfelet
bland alla linjära kausala filter.
Om bruset är gaussiskt (normalprocesser) är Kalmanfiltret
optimalt även jämfört med alla olinjära filter. Skattningen av x(t)
blir det betingade väntevärdet, givet alla mätningar fram till
tiden t.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sensorfusion
8(19)
Ofta måste man väga samman signaler från olika mätgivare
som har olika noggrannhet.
För navigationssystem i fartyg, flygplan, bilar,.... väger man
samman
• Lägesinformation: GPS, radiofyrar, optisk pejling,...
• Hastighetsinformation: dopplerradar, hjulrotationshastighet,
gyron (vinkelhastighet),...
• Accelerationsmätning: accelerometrar,....
• .......
En viktig poäng med denna sammanvägning är att en sensors
”dåliga sidor” kan hjälpas upp med en annan sensor som inte
har samma ”dåliga sidor”.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sensorfusion
8(19)
Principfall med två oberoende skattningar x̂1 och x̂2 av samma
tillståndsvektor x.
Kovariansmatriser för skattningarna: P1 och P2 .
Fusion av de båda skattningarna till en enda x̂
x̂ = P((P1 )−1 x̂1 + (P2 )−1 x̂2 )
P = ((P1 )−1 + (P2 )−1 )−1
Kalmanfiltret gör den optimala sammanvägningen:
”sensorfusion”.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Enkel sensorfusion: läge – hastighet
9(19)
w
x1, x2
Rörelse i en dimension: x1 läge, x2 hastighet.
Accelerationen varierar slumpvis kring noll: modelleras som vitt
brus, w.
Läges- och hastighetsmätning: y1 respektive y2 .
Läge och hastighet mäts med mätfel v1 respektive v2 .
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Enkel sensorfusion: läge – hastighet
9(19)
w
x1, x2
Modell:
ẋ =
0 1
0
x+
w
1
0 0
y = x+v
R1 = 1,
r 0
R2 = 1
0 r2
w, v okorrelerade
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Kalmanfilter: Bodediagram - Lägesskattning
10
10
2
lägesmätning till lägesskattning
hastighetsmätning till lägesskattning
10
10
5
0
10
10
10(19)
0
−2
−4
10
−2
10
0
10
2
10
−5
10
−2
10
0
10
2
Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r1 liten, r2 stor):
x̂1 ≈ y1 + 0 · y2
Dålig lägesmätning
& bra hastighetsmätning (r1 stor, r2 liten):
R
x̂1 ≈ 0 · y1 +
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
y2
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Kalmanfilter: Bodediagram - Lägesskattning
10
10
2
lägesmätning till lägesskattning
hastighetsmätning till lägesskattning
10
10
5
0
10
10
10(19)
0
−2
−4
10
−2
10
0
10
2
10
−5
10
−2
10
0
10
2
Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r1 liten, r2 stor):
x̂1 ≈ y1 + 0 · y2
Dålig lägesmätning
& bra hastighetsmätning (r1 stor, r2 liten):
R
x̂1 ≈ 0 · y1 +
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
y2
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Kalmanfilter: Bodediagram - Hastighetsskattning
10
10
5
lägesmätning till hastighetsskattning
hastighetsmätning till hastighetsskattning
0
10
0
10
10
10
−2
−5
−10
10
−2
10
0
10
2
10
−4
10
−2
10
0
10
2
Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r1 liten, r2 stor):
x̂2 ≈
d
dt y1
+ 0 · y2
Dålig lägesmätning & bra hastighetsmätning (r1 stor, r2 liten):
x̂2 ≈ 0 · y1 + y2
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
10(19)
Kalmanfilter: Bodediagram - Hastighetsskattning
10
10
5
lägesmätning till hastighetsskattning
hastighetsmätning till hastighetsskattning
0
10
0
10
10
10
−2
−5
−10
10
−2
10
0
10
2
10
−4
10
−2
10
0
10
2
Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r1 liten, r2 stor):
x̂2 ≈
d
dt y1
+ 0 · y2
Dålig lägesmätning & bra hastighetsmätning (r1 stor, r2 liten):
x̂2 ≈ 0 · y1 + y2
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
10(19)
Kalmanfilter: Bodediagram - Sammanfattning
2
lägesmätning till lägesskattning
hastighetsmätning till lägesskattning
5
10
10
0
10
0
10
−2
10
−4
10
−5
−2
10
5
0
10
2
10
10
lägesmätning till hastighetsskattning
10
−2
10
0
10
2
10
hastighetsmätning till hastighetsskattning
0
10
0
10
−2
10
−5
10
−10
10
−4
−2
10
0
10
2
10
10
−2
10
0
10
2
10
Alltså: Hög brusintensitet på en mätning ⇒ Filtret ”litar inte” så
mycket på den mätningen (relativt sett).
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
10(19)
DEL II: LINJÄR REGLERTEORI
11(19)
Föreläsning 4: Det slutna systemet
Föreläsning 5: Regulatorstrukturer
Föreläsning 6: LQ-reglering
Föreläsning 7: Att forma kretsförstärkningen
Föreläsning 11-12: Specifikationer och begränsningar
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
DEL II: LINJÄR REGLERTEORI
11(19)
Föreläsning 4: Det slutna systemet
Föreläsning 5: Regulatorstrukturer
Föreläsning 6: LQ-reglering
Föreläsning 7: Att forma kretsförstärkningen
Föreläsning 11-12: Specifikationer och begränsningar
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Det slutna systemet
12(19)
Det kanoniska blockschemat
Stabilitet för det slutna systemet
Känslighet
Robusthet
Önskemål
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Det slutna systemet: viktiga signaler
13(19)
u, styrsignalen
z, det vi vill styra
”Det kanoniska blockschemat”
w
wu
n
r, referenssignal,
det vi vill att z skall vara
y, utsignal, det vi mäter
Störningar
• wu , störning på
ingången
• w, störning på
utgången
• n, mätstörning
r
Fr
Σ
u
Σ
G
z
Σ
−Fy
Ofta är y = z + n
För linjära system har u formen u = Fr (s)r − Fy (s)y
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
y
Det slutna systemet: viktiga överföringsfunktioner 14(19)
Överföringsfunktioner:
Gc = (I + GFy )−1 GFr
S = (I + GFy )
r
−1
Su = (I + Fy G)−1
T = (I + GFy )
−1
w
wu
GFy
Fr
Σ
u
Σ
G
n
z
Σ
−Fy
Signalsamband:
z = Gc r + Sw − Tn + GSu wu
u = Su Fr r − Su Fy (w + n) + Su wu
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
y
Stabilitet för det slutna systemet
15(19)
Betrakta det slutna systemet som ett system med insignaler wu , w
och utsignaler u, y (för tillfället är alltså r = 0, n = 0).
y
GSu
S
wu
=
u
Su −Su Fy
w
(1)
Om G och Fy representeras av styr- och observerbara
tillståndsbeskrivningar går det att visa att det återkopplade systemet
i (1) också blir styr- och observerbart. Om man kontrollerar alla fyra
överföringsfunktionerna
GSu , S, Su , Su Fy
kommer man därför att hitta alla poler till systemet (och kan speciellt
kontrollera stabiliteten).
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Känslighet
16(19)
I praktiken känner man inte systemet exakt. Låt
z = Gc r = (I + GFy )−1 GFr r
för modellen G. Antag att sanna systemet är
G0 = ( I + ∆ G ) G
Då blir
z0 = (I + ∆z )z,
∆z = S0 ∆G ,
S0 = (I + G0 Fy )−1
Eftersom G0 ej känd måste S0 i praktiken approximeras av
S = (I + GFy )−1
Tolkning: S är förstärkningen från modellfel till signalfel.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Robusthet
17(19)
Hur stora modellfel ∆G kan man ha utan att stabiliteten i det slutna
systemet äventyras?
Om
k ∆G T k ∞ < 1
så är det slutna systemet fortfarande stabilt.
Detta är i sin tur uppfyllt om
|T (iω )| <
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
1
,
|∆G (iω )|
alla ω
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Önskemål
18(19)
I − Gc liten ⇒ Reglerstorheten ska följa referenssignalen.
S liten ⇒ Systemstörningar och modellfel ger liten inverkan på
reglerstorheten (utsignalen).
T liten ⇒ Mätstörningar ger liten inverkan på reglerstorheten
(utsignalen) och så att modellfel inte äventyrar stabiliteten.
Gru och Gwu små ⇒ Insignalen u ska vara måttlig.
Men notera att
S+T = I
Gc = GGru
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sensorfusion för platooning
19(19)
Tillgängliga mätningar:
Sensorer i bilen via CAN-bussen (t.ex. hastighet).
GPS.
Avstånd till fordonet framför via radar.
Andra bilars tillståndsskattning via Wifi.
Fusionera till en tillståndsskattning (hastighet, position, mm.) med
Kalmanfilter.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 4
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET