1. No category

Matematik 2
Digitala övningar med
TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire™ CAS
Matematik 2 – digitala övningar med TI‐82 Stat, TI‐84 Plus och TI Nspire™ CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan använda antingen TI‐82 Stat, TI‐84 Plus eller programmet TI Nspire CAS inom viktiga avsnitt i kursen. Vi hoppas att detta kan öka begreppsförståelsen genom att man kan göra bilder av matematiken eller helt enkelt genom att göra snabba beräkningar. Nedan ser ni lite typiska uppgifter i Ma 2 som vi går igenom på de efterföljande sidorna. Spalten till vänster är för räknarna TI‐82 Stat och TI‐84 Plus. Spalten till höger är för dataprogrammet TI Nspire CAS. 1. 2. 3. 4. 5. Bestäm ekvationen för den räta linjen som har lutningen k=3 och som går genom punkten a) (0, 1) b) (1/3, ‐1/4) Vilken riktningskoefficient har den räta linjen som går genom punkterna (2,3) och (1,5). Vilka av följande punkter ligger på den räta linjen y=5‐2x a) (‐2, 9) b) (‐1, 3) c) (0, 3) d) (1, 3) e) (2, 1) Sid2 Sid3 Bestäm ekvationen för den räta linjen genom punkten (‐1,3) som är parallell med y = 2 x+ 1. Sid3 Sid4 Punkterna (‐1, 4) ; (3, 2) och (3, 7) är hörn i en triangel. a) Markera punkterna i ett koordinatsystem och rita triangeln. b) Bestäm ekvationerna för de linjer som sammanfaller med triangelns sidor. c) Var skär dessa tre linjer de båda koordinataxlarna. c) Bestäm arean av triangeln. Sid5 6. Lös ekvationssystemet nedan algebraiskt och kontrollera sedan med en grafisk metod. 2,4 x  4,8y  3,5

5,1x  4,2y  11,3
Sid8 7. 3x  y  z  2 
Lös följande ekvationssystem 2 x  3y  2z  7 5x  2y  3z  3

Sid9 8. Lös följande ekvation 0,25x  9 Sid9 9. Lös följande ekvation både exakt och med närmevärde: 3  log x  4  log2  2  log 3 Sid9 10. Vad är maximipunkten eller minimipunktens koordinater hos funktionen f (x)  5  (x  2)2 Sid10 och vad är f(3)? 11. Lös andragradsekvationen x2  7x  8 Sid10 12. Lös olikheten 4 x 2  9 x  x  3 Sid11 Lös rotekvationen x  1  x Sid12 Sid12 Sid13 13. 14. 15. 16. Randvinkelsatsen Yttervinkelsatsen Man registrerade 8 tider för två 100‐meterslöpare på en skola. Sid14 För löpare A 14,0 13,9 14,1 13,8 13,8 14,2 13,7 13,9 sekunder För löpare B: 14,0 16,4 13,1 12,9 16,5 13,7 12,9 15,8 sekunder Beräkna standardavvikelsen för de båda löparnas resultat. Ange fördelarna och nackdelarna med att låta löpare B representera skolan. 17. Vikten på en sorts bröd från ett bageri anses normalfördelad. Medelvikten är 486 g och standardavvikelsen 10 g. På förpackningen står att brödet väger cirka 500 g. Hur många procent av brödet anses väga mer än 500 g? © Texas Instruments 2014 1 Sid16 1. Bestäm
m ekvation
nen för de
en räta lin
njen som h
har lutningen k=3 o
och som går genom
m pu
unkten a)) (0, 1) b)) (1/3, ‐1/4
4) a) Ekvatione
a
en heter y=kk∙x + m. Vi sätter in p
V
punkten och
h k‐värdet o
och får en ekvation: e
1 = 3∙0+m g
1
ger att m=1.. Vi kontroller
V
rar med graafen a) Infoga Räkknare applikkationen V
Vi sätter in p
punkten och
h k‐värdet o
och får ekvationen 1
1 = 3∙0+m.
nfoga Grafaapplikationeen och kontrollera In
b) Vi sätter i
b
in punkten (1/3,1/4) i eekvationen: 1
1
 3   m vilket ger m‐värdet. 4
3
Jaa, ekvationeen går geno
om punkten
n (0, 1) och lu
utningen (k)) är 3. n punkten ((1/3, 1/4) i ekvationen
b
b) Vi sätter i
1
1
 3   m vilket ger m‐värdet. 4
3
V
Vi infogar Rä
äknare‐appllikationen. Vi infogar Grrafer och skkriver in ekvvationen V
saamt klickar på Verktyg,, Spåra, Spå
åra grafer.
Svar y=3x‐3//4 Svar y=3x‐3
S
3/4 © Texas Instrumentts 2014
2 2. V
Vilken rikttningskoe
efficient haar den rätta linjen som går ge
enom pun
nkterna (2
2, 3) och ((1, 5)? Svar k = ‐2
Svar: k= ‐2 S
3. Vilka av följand
de punkte
er ligger på den rätaa linjen y = 5 ‐ 2x? a) (‐2, 9)) b) (‐1, 3) c) (0, 3) d
d) (1, 3) e) (2, 1)) Här ser man att tre av p
H
punkterna liigger på linjen: (‐2, 9)), (1, 3) och (2, 1). In
nfoga applikkationen Grrafer och skkriv in 5‐2x.
Sätt därefterr ut alla pun
nkter genom
m Verktyg, G
Geometri, Pu
unkter o Lin
njer, Punkt. Skriver man
n seedan(‐2 entter 9 enter sså sätter man ut en p
punkt. I graf
en syns sed
dan vilka punkter som ligger på linjen. © Texas Instrumentts 2014
3 4. Bestäm ekvaationen fö
ör den rätta linjen genom pun
nkten (‐1, 3) som ärr parallell med y=2xx+1. ”Parallell me
”
ed” betyderr ju att k‐värdet måste vara 2. Ska l
v
injen gå genom (‐1, 3) kan man räkna ut m‐v
r
värdet. y=k∙x+m y
3=2∙(‐1)+m g
3
ger ju m‐värdet. In
nfoga applikkationen Rääknare. ”Parallell meed” betyderr ju att k‐värrdet måste vara 2. Ska liinjen gå gen
nom (‐1, 3) kan man rääkna ut m‐vvärdet. y=k∙x+m 3=2∙(‐1)+ m ger ju m‐väärdet. Eller med So
E
olvern: In
nfoga applikkationen grafer och skrriv in de b
båda räta lin
njernas ekvaationer y=2x+5 y=2x+1 Samt sätt ut en punkt ggenom Verktyg, G
Geometri, Sp
påra, Spåra grafer. Och
h skriv in ‐‐1 Enter. en heter allltså Den nya linj
D
y=2x+5 y
Vi kontroller
V
rar att den är parallell med y=2x+1 och går geno
o
om (‐1, 3). Det stämmer ju bra att y=2x+5 är p
D
parallell och går genom punkteen (‐1, 3). m
med y=2x+1 Det stämme
D
er ju bra. © Texas Instrumentts 2014
4 5. Punkterna (‐‐1, 4) ; (3, 2) och (3,, 7) är hörrn i en triaangel. a) Markera punktterna i ettt koordinaatsystem o
och rita trriangeln. b) Besstäm ekvaationerna för de linjjer som saammanfalller med ttriangelnss sidor. c) V
Var skär de
essa tre linjer de bååda koord
dinataxlarrna? d
d) Bestäm
m arean avv triangeln
n. Här kan man
H
n ladda ner applikation
nen Cabri Junior till räknaren och rita i den applikatione
en. r en variantt i graffönstret. Här komme
H
a) Infoga app
plikationen Grafer. G
Genom att v
välja Verktyg
g, Geometrii, Punkter o
o Liinjer, Punktt och sedan trycka (‐1 eenter 4 enter placerar man ut p
punkten (‐1,, 4). Sammaa saak med de ö
övriga två p
punkterna. O
Om man högerklickarr på punkten
n och väljerr K
Koordinater
kommer de
essa fram. b) Vill man h
b
ha linjer meellan punkteerna måste man ha dess
m
sas ekvation
ner. Riktningskoef‐ ficienten k b
beräknas occh sedan m‐‐värdet. b) Linjer drar man mellaan punktern
b
na genom att välja Verkktyg, Geom
metri, Punkteer o Linjer, Liinje. Högerkklickar man på linjernaa och väljer ekvationer fåår man desssas ekvationer. Vill m
man ha rutn
ät väljer maan Verktyg, Visa, R
Rutnät, Linje
erutnät. y=k∙x+m y=
y
=0.75∙x+m ggenom (3, 7
7) ger m. y=0,75x+4,7
y
75 är en av linjerna. © Texas Instrumentts 2014
5 k‐värdet blir
k
r ‐ 0,5 och m
m‐värdet 3,5
5 vilket ger en ekvation y =
e
= ‐ 0,5x + 3,5
5. Sista linjen ä
S
är ju x=3. dessa funktioner. Vi skriver in V
c) Skärningen med x‐axeln får man
n genom attt välja Verktyg
g, Geometrii, Punkter o Linjer, Skärningspunkt. Därefteer klickar m
man på linjen
n o
och på x‐axe
eln. H
Högerklickar
r man på pu
unkterna occh väljer K
Koordinater kommer dee fram. c) Skärning m
c
med x‐axeln
n erhålls genom att vällja Calc och Zer
C
ro. d) Arean av ttriangeln beeräknas som
m (7
7‐2)∙4/2 = 1
10. Man kan
n också låta program‐
m
met mäta ar
rean. geln Verktyyg, Geometrri, Former, R
Rita en trian
T
Triangel. Klic
cka på de trre punktern
na, högerklicka ssedan på triangeln och
h välj M
Mätning , Ar
rea och värd
det 10 kommer fram.
Med pil upp
M
p gör man på samma säätt för den . andra linjen
a
Skärningen f
S
för x=3 med
d x‐axeln blir ju (3, 0) d) Arean av d
triangeln är (7‐2)∙4/2=10
0 areaenhetter. © Texas Instrumentts 2014
6 6. Lös ekkvationssyystemet algebraisktt och konttrollera se
edan med en grafisk metod.
2, 4 x  4,8y  3,5

5,1x  4,2y  11,3
Man kan m
med matriseer lösa ekvationssyystemet på följande säätt: Alge
ebraisk lösn
ning: Infoga applikation
nen Räkn
nare. Sedan
n Algebra, LLös ekvation
nssystem. Skrivv i rutan in om hur många variableer du har och vad variablerna heter.. Sedan skrivver man in sina ekvation
ner innanför klammern
n och trycker på enteer. decimaltal b
blir svaret d
decimal‐ Skrivver man in d
tal. SSkriver man
n in bråk fårr man bråk i svaret. Grafisk lösn
ning går braa: Här skriverr man in y= (3,5‐2,4x)/4
4,8 och y=(11,3‐5,1
1x)/4,2. Graffisk lösningg: Infoga Gra
afer och skrriv in de två eekvationern
na y= (3,5‐2
2,4x)/4,8 occh y=(1
11,3‐5,1x)/4
4,2. Välj Verrktyg,Geomeetri, Punkkter o Linjerr, Skärningsspunkt och klicka sedaan på de tvåå linjerna fö
ör att få skärnings‐ punkten. 2,75 och y==‐ 0,644. Här ser man lössningen x=2
Här ser maan lösningen
n x=2,75 occh y= ‐ 0,644. n kan också skriva in lin
njerna skrivna på Man
allm
män form. Verkktyg,3Grafin
nmatning,2
2Ekvation,1LLinje, 3a∙xx+b∙y=c. Skriv nu bara in koefficien
nterna. © Texas Instrumentts 2014
7 7. Lös följan
nde ekvattionssyste
em
3 x  y  z  2 
 2 x  3y  2 z  7 5 x  2 y  3 z   3

In
nfoga applikkationen Rä
äknare. Sedan Algebra,, Lö
ös ekvation
nssystem. Skkriv i rutan iin om hur m
många varia
bler du har och vad variablerna heter. Sedan
n skriver maan in sina ekkvationer in
nnanför klam
mmern och
h trycker på enter. Man kan lös
M
sa ekv.systeemet med m
matriser. Vill man ha u
V
ungefärligt svar får man hålla Ctrl‐‐
knappen ned
dtryckt när man tryckeer på Enter.
Till TI84Plus
T
finns en grratisapplikattion som heeter PlySmlt2 . K
P
licka på APP
PS och välj P
PlySmlt2 me
ed Enter. Välj s
E
edan Simultaneous Eqn Solver. Därefter välj
D
jer man 3 eekvationer o
och 3 obekaanta genom att f
g
lytta sig dit med pilarna och trycka Enter. Däref
E
fter klickar m
man på NEX
XT, dvs. GRA
APH och fyller i k
o
koefficienterna. Klicka på SO
K
OLVE , dvs. G
GRAPH Klickar du på
K
å F<>D så fåår man lösn
ningen i bråkform. M
b
Main, Quit avslutar App
plikationen.
© Texas Instrumentts 2014
8 In
nfoga Räkna
are och därefter Algeb
bra, Lös. © Texas Instrumentts 2014
Vill man ha eett exakt svar måste m
V
man alltså skriva ¼ istället för 0.25
5.
9 8. Lös ekvvationen 0,25x  9
2  2  log3
9. Lös följande ekvvation båd
de exakt o
och med n
närmevärd
de: 3  log x  4  log2
Dessa räkna
D
are kan inte lösa exakt utan endast approximati
a
ivt. In
nfoga Räkna
are, därefteer Algebra, LLös. Lösning steg
L
g för steg: 3
log x  log 32  log24
3
2
10
1 log x  10log3
x3 
x3 
32
24
Ungefärligt ssvar får man
U
n genom håålla Ctrl‐
knappen nerre när man trycker på EEnter. log24
2 2  3  3
2 2 2 2 2 2
2
(2  3) 3
x
2 2
© Texass Instrumentts 2014
10 10. Vad är maxim
mipunkten
ns eller miinimipunkktens koorrdinater fö
ör funktio
onen f (x )  5  (x  2)2 och vvad är f(3))? In
nfoga Grafeer och skriv in f (x)  5  (x  2)2 .
M
Med hjälp av
v Verktyg, SSpåra, Spåra
a grafer kan
n m
man föra ma
arkören till maxpunkten och klickaa p
på den. Man kan natturligtvis ävven använda Spåra och
M
h skriva 3 för aatt komma ttill den söktta punkten i grafen.
Man kan nat
M
turligtvis ävven klicka p
på Trace och
h skriva 3 för a
s
att komma till den pun
nkten i grafeen. 11. Lös andragraadsekvatio
onen x 2  7 x  8 M
Man kan äve
en lösa det ggrafiskt. © Texass Instrumentts 2014
11 12.. Lös olikh
heten 4x 2  9 x  x  3 Dessa räkna
D
arna klarar eendast av attt lösa det grafiskt. g
Man kan äveen lösa det ggrafiskt. M
In
nfoga Grafeer. Klicka på = med Backspace. Då kan man skriva in olikheeterna. Välj Verktyg,, Geometri, Punkter o LLinjer, V
Skärningspunkt och kliccka på kurvo
orna så kommer de ffram. att lösningen är ‐1,5 << x < ‐0,5. H
Här ser man
Man söker ä
M
även skärnin
ngen på and
dra sidan genom att g
g
gissa på ett vvärde åt deet hållet. Här ser man
H
n att lösninggen är ‐1,5 << x < ‐0,5. © Texass Instrumentts 2014
12 13
3. Lös rote
ekvationen x  1  x O
Ovanlig lösn
ing. Det är jju gyllene snittet! © Texass Instrumentts 2014
13 14 Randvinkelsatsen
Det går inte att rita geometriska figurer med dessa räknare direkt. Men till TI84Plus kan man ladda ner en applikation, Cabri Jr, till räknaren. Man få gå till http://education.ti.com/sv/sverige/software/sea
rch/ti‐84‐plus‐family‐ti‐83‐plus‐family Där får man först ladda ner TI Connect Efter att man installerat TI Connect på sin dator kan man via detta program överföra Cabri Jr till räknaren som då är kopplad till datorn. Följande bild är gjort med Cabri Jr. Stegen är nästan de samma som hos TI Nspire CAS. Infoga Geometri. Välj därefter Verktyg, Former, Cirkel klicka på en punkt och ännu en punkt. Verktyg, Punkter o Linjer, Segment. Sätt ut de 4 vinkelbenen genom att klicka på ändpunk‐ terna. Verktyg, Mätning, Vinkel och klicka på tre punkter för att mäta vinklarna. Högerklicka på mätvärdena och välj Lagra. Skriv in namnet på vinkeln följt av Enter Högerklicka på bakgrunden och välj Text. Skriv mv. Högerklicka på ett nytt ställe och skriv rv. Högerklicka på texterna och välj Beräkna. Klicka sedan på det som efterfrågas. För mar‐ kören till rätt ställe och klicka där för att lämna svaret. Ta tag i ett vinkelbens ände och flytta omkring det och se vad som händer med värdena. © Texas Instruments 2014 14 15. Yttervinkelsatsen
Det går inte att rita geometriska figurer med dessa räknare direkt. Men till TI84Plus kan man ladda ner en applikation, Cabri Jr, till räknaren. Man få gå till http://education.ti.com/sv/sverige/software/sea
rch/ti‐84‐plus‐family‐ti‐83‐plus‐family Där får man först ladda ner TI Connect. Efter att man installerat TI Connect på sin dator kan man via den överföra Cabri Jr till räknaren som då ska vara ansluten till datorn. Följande bild är gjort med Cabri Jr. Stegen är nästan de samma som hos TI Nspire CAS. Infoga Geometriapplikationen. Välj sedan Verktyg, Punkter o Linje, Linje klicka på två ställen för att skapa linjen. Tringeln ritar du med Verktyg, Former, Triangel och klickar på två ställen på linjen och en gång utanför. Vinklarna mäter du med Verktyg, Mätning, Vinkel och klickar på tre ställen för att mäta vinkeln. Upprepa det för övriga vinklar. Högerklicka sedan på vinkel‐ värdet och välj Lagra. Därefter skriver du in vinkelns namn, t.ex. yv. Gör på samma sätt för v1 och v2. Högerklicka på bakgrunden och välj Text. Skriv in yv. Högerklicka en gång till på annat ställe och skriv in v1+v2. Högerklicka på texterna och välj Beräkna. Svara sedan på frågorna med ett klick på yv och sedan ett klick var du vill ha svaret. På samma sätt för v1 + v2. Ta tag i ett vinkelben och ändra formen och se vad som händer. Högerklickar man på triangeln kan man fylla den med färg. © Texas Instruments 2014 15 16
6. Man reggistrerade
e 8 tider fför två 100
0‐meterslöpare på en skola. För löparre A: 14,0 13,9 14,,1 13,8 13
3,8 14,2 13,7 13,9
9 sekunde
er För löparre B: 14,0 16,4 13,1 12,9 16
6,5 13,7 12,9 15,8
8 sekunde
er Beräkna standarrdavvikelssen för de båda löparnas resu
ultat. Ange fö
ördelarnaa och nackkdelarna m
med att lååta löpare B represe
entera sko
olan. Här för man
H
n in värdenaa i lista L1 In
nfoga applikkationen Lisstor o Kalkyylblad. För seedan in allaa värden och
h namnge kkolumnernaa m
med Alöp re
sp. Blöp. Välj Verktyg,, Statistik, SStatistikberä
V
äkningar, E
Envariabelst
tatistik. Vid frågan Anta
al listor välj 2 och vid nässta fråga så välj genom
m att klicka p
på översta p
pilen Alöp occh sedan un
nder väljer m
man Blöp. D
ärefter räkn
nas statistikken ut för b
båda listorna
a. Medel värde
M
et 13,9 och standardavvvikelsen 0,16 Här ser man att medelvvärdet är hö
H
ögre för B‐
lö
öparen, 14,4
4 mot 13,9,, men B‐löparens bästaa reesultat är 12.9 som uppnåddes två gånger. M
Men tittar vi
i på standarrdavvikelsen är den förr B
B‐löparen st
örre, 1,5 mot 0,16. Nackdelen B är att han
m
med löpare n springer ojämnare än
n A
A. © Texass Instrumentts 2014
16 Genom att ggöra lådagraam kan man
G
n lättare se spridningen av resultateen. In
nfoga Data & Statistik. Klicka mitt på x‐axeln o
och välj Alöp
p. Därefter V
Verktyg, Dia
agramtyp, Lå
ådagram. FFör att se bååda lådagrammen saamtidigt välj Verktyg, D
Diagramegeenskaper, ägg till x‐va
Lä
ariabel och vvälj Blöp. Här för man
H
n in värdenaa i lista L2. Här ser man ju tydligt att B‐löparen
H
n är mer o
ojämn i sin lö
öpning med
dan löpare A
A är myckett jäämn. Medelvärde
M
et 14,4 stand
dardavvikellsen 1,5. Löpare B ha
L
r bästa resu
ultatet, 12.9
9 två gånger men är ojäm
m
mnare. Störrre standardavvikelse.
Nedan visas
N
hur man gö
ör lådagram
m av deras data. d
Här ser man
H
n att lådagraammet ocksså visar att lö
öpare B är m
mer ojämn. © Texass Instrumentts 2014
17 17.
1 Vikten
n på en sorrts bröd frrån ett bag
geri ansess normalfö
ördelad. Medelvikte
M
en är 486 g
och stand
dardavvike
elsen 10 g.
g På förpa
ackningen står att brödet
b
väg
ger cirka 500 g. Hur
många
m
proccent av brrödet anse
es väga me
er än 500 g?
g
Arean unde
A
r kurvan No
ormpdf(x,48
86,10) är ju 1. Kurvan ser u
K
ut så här: Vill vi räkna V
ör ut sannolikkheten undeer kurvan fö
värden över
v
r 500 får vi aanvända No
ormcdf(undrre gräns , övre g
gräns, vänttevärde, sta
andardavv.)) Vi kan först V
se på kurvaan och arean under den
n. In
nfogar Graf. Därefter V
Verktyg, Gra
afinmatning
g, F
Funktion och
h skriv in normPdf(x,vväntevärde,sstandardavv.) M
Man hittar ä
även detta d
direkt genom
m ”boken”, K
Katalog, nor
rmpdf däreffter Enter såå klistras deet in
n. För att se ku
urvan bra väälj fönsterinställningar m
med Verktyg
g, Fönster/ZZooma, Fönsster‐ in
nställningarr och väljs vvärden enliggt nedan. Med Verktyg
M
g, Spåra, Sp
påra grafer kan man hitta max. För att se are
ean under kkurvan för vvärden sttörre än 500 gör sätterr man först in en linje x=500. V
Verktyg, Gra
afinmatning
g/Redigera, Ekvation, Liinje, x=c och skriv in 50
00 följt av EEnter. D
Därefter mä
ter man areean genom Verktyg, A
Analysera gr
rafer, 7Integ
gral. Först får man klicka på normalförd
delnings‐
kurvan och ssedan klickaar man på linjen x = 500
0 o
och till sist s
å klickar maan på x‐axeln så långt tiill höger maan kan. © Texass Instrumentts 2014
18 Vill man dire
V
ekt räkna utt uppgiften kan man ju
u använda no
a
rmcdf(undrre gräns,övrre gräns,väntev
g
värde, standardavv.). Man kan ju sse vilka värd
M
den man fårr på arean under kurvan genom attt ta tag i lin
njen x=500 o
och flytta till
l olika värdeen. Här ned
dan är värde
et p
på arean 0,5
5 när man flyttar linjen till x=486.
även gå bakklänges och
Man kan ju M
h kontrolleraa värdet med v
In
nvNorm(areean,väntevä
ärdet,stand
dardavv.) Men då får m
M
man först rääkna ut 1‐ 0
0,0807567.
Vill man direekt räkna utt uppgiften kan man V
använda norrmCdf(undrre gräns, övre gräns, väntevärde, standardavvv.) så får m
man fram 8.1
1 %
%. Man kan även gå bakklänges och
h kontrolleraa svvaret med IInvNorm. M
Men då får m
man ta 1‐0,0
081 för det är den arean man ska ange. © Texass Instrumentts 2014
19