1. No category

Stagningsstyvhetens
inverkan på stabilitet för
träpelare
- och hur det påverkar vid
dimensionering
JJoakim
oakim Rubinsson
Avdelningen för Konstruktionsteknik
Lunds Tekniska Högskola
Lund
Lunds Universitet,
Universit , 2015
Rapport TVBK - 524
5244
Avdelningen för Konstruktionsteknik
Lunds Tekniska Högskola
Box 118
221 00 LUND
Division of Structural Engineering
Faculty of Engineering, LTH
P.O. Box 118
S-221 00 LUND
Sweden
Stagningsstyvhetens inverkan på stabilitet för träpelare
och hur det påverkar vid dimensionering
Bracing stiffness and it’s effect on stability for timber columns
and how it impacts on design
Joakim Rubinsson
2015
Rapport TVBK-5244
ISSN 0349-4969
ISRN: LUTVDG/TVBK-15/5244(96)
Examensarbete
Handledare: Roberto Crocetti
Examinator: Eva Frühwald Hansson
Maj 2015
i
Abstract
Columns under vertical point loads will need a brace in order not to bend out in a mode of
column buckling. To stabilize the column, a sufficient brace stiffness needs to be given, both
to avoid column instability and to reduce the horizontal force which occurs in the brace.
Column buckling is usually determined by Eulers buckling formula
=
. This is the
value when buckling occurs regardless if the brace stiffness will be increased. However, if the
stiffness is too low, the support will be unresistent and the column gets unstable at a lower
load according to
= , where
is the brace stiffness. The force developed in the brace
is determined as = ∆ where ∆ is the support deformation.
When a column with a pinned joint at the top and at the foot is under axial load and the load
gets closer to the maximum load for bracing, i.e. the load given by Eulers buckling formula,
the brace stiffness is decisive for the size of deformation ∆at the support. If the brace stiffness
is low, close to what is necessary to reach Eulers buckling load, it will cause a big
deformation at the support. This will also result in a big force according to = ∆. To
prevent this big force, the stiffness shall be increased to relieve the support.
Columns with imperfections as initial out-of-straightness and initial deflection, will not affect
Eulers buckling load but can make huge impact on the brace force. This knowledge must be
considered and a good reason to keep the stiffness at least twice the ideal bracing stiffness.
Stability theory of braced columns was investigated in laboratory tests. The timber columns
used in the tests were supported with varying stiffness and initial deflections. The results from
the tests showed that the buckling forces and increasing brace forces caused by initial
deflection correlate well with the theory.
A collapse of a riding stable is investigated in the report, where the impacts from the actual
brace stiffness at the supports are considered. It is shown that the correct stiffness makes
difference for the stability of structures.
ii
Förord
Examensarbetet har utförts vid Lunds Tekniska Högskola på avdelningen för
konstruktionsteknik. Kursen ingår som ett avslutande moment på civilingenjörsutbildningen
Väg- och vattenbyggnad.
Jag vill tacka alla som har hjälpt mig under min utbildning. Lärare, vänner och familj.
Speciellt tack till Roberto Crocetti som varit min handledare under examensarbetet och Emilia
Wetterberg som hjälpte mig med laborationerna. Vill också tacka Rikard Nagy och David
Persson för deras hjälp och stöd under examensarbetet.
Lund maj 2015
Joakim Rubinsson
iii
Sammanfattning
Pelare som utsätts för tryck kan behöva stabiliseras för att inte böja ut oönskat mycket i
sidled. För att stabilisera pelaren måste fjäderstyvheten i det stabiliserande stödet vara
tillräckligt stort. Detta för att undvika instabilitetsbrott men också för att fjäderkraften i stödet
inte ska bli för stor.
För en pelare med en led i toppen och i botten beräknas vanligen Eulers knäckningslast
=
.
är ett värde då pelaren blir instabil och knäckning sker, oberoende av om stödens
styvhet ökas. Men då styvheten är låg i pelarens toppstöd kommer pelartoppen att vara
eftergivlig och instabilitet i pelaren sker vid en lägre last enligt
= , där
är
fjäderstyvheten. Fjäderkraften beräknas enligt = ∆ där ∆ är stödets utböjning.
När en pelare med led i toppen och i botten belastas och lasten närmar sig den ideala
knäckningslasten, det vill säga den last som ger Eulers knäckningslast, kommer styvheten i
toppstödet avgöra hur stor utböjningen∆ blir. Om styvheten precis motsvarar vad som krävs
för att klara den ideala knäckningslasten kommer detta ge en väldigt stor utböjning, vilket
enligt = ∆ ger en oerhört stor kraft i stödet. För att minska kraften i stödet bör därför
styvheten ökas för att avlasta stödet.
Imperfektioner som snedställning och initiell krokighet påverkar inte knäckningslasten men
kan ge stor inverkan på fjäderkraften som uppkommer i stödet. Detta gör att styvheten
kommer att behöva vara ännu större för att ge godtagbara krafter i stödet.
Vid de labbförsök som gjordes undersöktes pelare med och utan snedställning med varierande
stagningsstyvheter. Försöksresultaten visar att teorin överensstämmer bra med verkligheten.
Krafterna i stagen ökade också med ökad snedställning, vilket stämmer enligt teorin.
I rapporten undersöks ett ras av ett ridhus med fokus på hur stagningarnas styvhet inverkar på
stabiliteten. Det visar sig att konstruktionen inte skulle klara de snölaster som uppkom vid
rastillfället. Resultatet visar att det spelar stor roll att anslutningar beräknas med rätt styvheter
med hänsyn till stabiliteten i konstruktioner.
iv
Innehållsförteckning
1 Introduktion ............................................................................................................................. 1
1.1 Bakgrund .......................................................................................................................... 1
1.2 Syfte .................................................................................................................................. 1
1.3 Metod ................................................................................................................................ 1
1.4 Avgränsningar .................................................................................................................. 2
2 Stabilitetsteori.......................................................................................................................... 3
2.1 Vanliga begrepp ................................................................................................................ 3
2.2 Eulers knäckningslast ....................................................................................................... 4
2.3 Fjäderstyvhetens inverkan i pelarstöd .............................................................................. 5
2.3.1 Ledat infäst pelare ...................................................................................................... 5
2.4 Inverkan av ett eller flera mittstöd .................................................................................... 7
2.4.1 Ledad pelare med ett mittstöd .................................................................................... 7
2.4.2 Ledad pelare med två mittstöd ................................................................................... 8
2.4.3 Pelare med 3 eller fler mittstöd .................................................................................. 8
2.5 Fast inspänd pelare ......................................................................................................... 10
2.6 Inverkan av snedställning ............................................................................................... 11
2.6.1 Pelare med snedställning.......................................................................................... 11
2.6.2 Minskning av fjäderkraft.......................................................................................... 13
2.7 Inverkan av initialkrokighet............................................................................................ 14
2.7.1 Pelare med initialkrokighet ...................................................................................... 14
2.8 Inverkan av lastexcentricitet ........................................................................................... 15
2.9 Ramar.............................................................................................................................. 16
2.10 Styvhet hos anslutningar ............................................................................................... 19
2.10.1 Styvhet för en balk ................................................................................................. 19
2.10.2 Styvhet hos ett spikförband .................................................................................... 19
3 Laboration ............................................................................................................................. 21
3.1 Syfte ................................................................................................................................ 21
3.2 Provningsuppställningar ................................................................................................. 21
3.3 Parametrar och egenskaper ............................................................................................. 23
3.3.1 Fjäderstyvhet ............................................................................................................ 23
3.3.2 E-modul.................................................................................................................... 24
3.3.3 Densitet .................................................................................................................... 25
v
3.4 Teoretisk analys av provningsuppställningarna ............................................................. 25
3.4.1 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 22x95 ...................................................... 25
3.4.2 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 45x140 .................................................... 28
3.4.3 Jämförande beräkning - tryckt pelare enligt BKR gentemot Eulerknäckning ......... 29
3.5 Provningsresultat ............................................................................................................ 32
3.5.1 Tvärsnitt 22x95 ........................................................................................................ 33
3.5.1.2 Fjäderkraft för uppställning 1 .............................................................................. 35
3.5.2 Tvärsnitt 45x140 ...................................................................................................... 45
3.6 Stabilitetslaster................................................................................................................ 49
3.6.1 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 1 .......................................................................... 49
3.6.2 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 2 .......................................................................... 49
3.6.3 Tvärsnitt 45x140 vid uppställning 1 ........................................................................ 50
3.7 Diskussion och slutsatser från provningarna .................................................................. 52
3.7.1 Felkällor ................................................................................................................... 52
3.7.2 Fjäderkrafter ............................................................................................................. 52
3.7.3 Eulers knäckningslast............................................................................................... 53
4 Studieobjekt: Uddevalla ridhus ............................................................................................. 55
4.1 Beskrivning av systemet ............................................................................................. 55
4.2.2 Geometri .................................................................................................................. 58
4.2.3 Randvillkor ram ....................................................................................................... 58
4.3 Antaganden ..................................................................................................................... 58
4.4 Modeller.......................................................................................................................... 62
4.5 Val av element ................................................................................................................ 62
4.6 Laster .............................................................................................................................. 63
4.7 Analys Ram .................................................................................................................... 64
4.7.1 Stabilitetsanalys ....................................................................................................... 64
4.7.2 Normberäkningar ..................................................................................................... 67
4.8 Hanbalkens inverkan ...................................................................................................... 67
4.8.1 Stabilitetsanalys utan hanbalk .................................................................................. 67
4.8.2 Normberäkningar ..................................................................................................... 68
4.9 Takåsar............................................................................................................................ 69
4.9.1 Stabilitetsanalys takåsar ........................................................................................... 71
4.9.2 Normberäkningar ..................................................................................................... 72
vi
4.10 Vindkryss ...................................................................................................................... 72
4.10.1 Stabilitetsanalys med last från vindkryss ............................................................... 75
4.10.2 Normberäkningar ................................................................................................... 75
4.11 Diskussion och slutsatser från takrasutredningen ......................................................... 76
5 Diskussion och slutsatser ...................................................................................................... 77
6 Förslag till fortsatt arbete ...................................................................................................... 79
7 Referenser.............................................................................................................................. 81
8 Bilagor ................................................................................................................................... 83
8.1 Bilaga 1 ........................................................................................................................... 83
8.2 Bilaga 2 ........................................................................................................................... 92
vii
1 Introduktion
1.1 Bakgrund
1958 skrev George Winter sin uppsats ”Lateral bracing of columns and beams” [13]. Där
visade Winter att stabiliserande stöd inte enbart behöver ha tillräcklig bärförmåga för att staga
en pelare, de behöver också ha tillräcklig styvhet. Detta har senare utvecklats i regler för
dimensionering och har främst blivit fördjupat i Joseph. A Yuras publikationer om stabilitet,
ex ”bracing for stability” [3]. De publikationer som gjorts i ämnet har oftast handlat om
stålkonstruktioner och har inte varit lika omfattande när det kommer till träkonstruktioner.
Pelare som utsätts för tryck kommer att behöva stabiliseras för att inte böja ut oönskat mycket
i sidled. Knäckning av pelare beräknas vanligtvis med Eulers knäckningslast. Vid Eulers
knäckningslast blir pelaren instabil och knäcker oberoende av om stödens styvhet ökas. Men
då styvheten är för låg i toppstödet kommer pelartoppen att vara eftergivlig och pelaren blir
instabil vid en lägre last, enligt Yura [3]. Även fjäderkraften i stöden kommer att variera
beroende på fjäderstyvheten, men fjäderkraften beror även av imperfektioner så som pelarens
snedställning och krokighet.
Vid dimensionering av konstruktioner är det sällan den korrekta styvheten i stöden används i
beräkningarna. Det är därför av intresse att få en uppskattning av hur stor inverkan detta har
på stabiliteten och om det gör en utmärkande skillnad för en hel struktur.
1.2 Syfte
Syftet med examensarbetet är att besvara hur stagningar och deras styvhet inverkar på
tryckbelastade pelares stabilitet. Hur inverkar imperfektioner så som snedställning och
initialkrokighet på pelarnas knäckningslaster och stagningarnas fjäderkrafter?
Hur väl stämmer teorin för tryckbelastade pelares knäckningslaster och fjäderkrafter med
verkligheten? Vad ska man tänka på för att få ett så riktigt resultat som möjligt när man
jämför teori med praktiska provningar?
När man dimensionerar bärverk för stabilitet antar man ofta att infästningar och stöd antingen
är fullt ledade eller fast inspända. Hur påverkas en konstruktions stabilitet om infästningarnas
korrekta styvheter används vid dimensioneringen?
1.3 Metod
Stabiliteten kommer att undersökas analytiskt i kapitel 2 där påverkan av imperfektioner och
styvheten i stöden beaktas. Detta för att ge en förståelse för knäckningslaster innan och då
Eulers knäckningslast är uppnådd. Pelarna kommer att modelleras i ett finita elementprogram
med balkelement som stabiliseras av fjädrar.
FEM-programmet som används i examensarbetet har utvecklats av företaget Structural
Design Software in Europe AB (Strusoft). Programmet är uppbyggt av 3D Plate, 3D Structure,
Plane Strain, Plate, Pre Design, Reinforcement och Wall. 3D Structure används till avancerad
finita element analys och dimensionering av betong-, stål- och träkonstruktioner. Programmet
1
innehåller CAD-verktyg som gör det enkelt att använda de förinställda elementen så som
plattor, väggar, pelare och balkar. Det gör det möjligt att analysera enstaka element eller hela
konstruktioner. Det går bland annat att lösa statiska analyser och globala stabilitetsproblem,
vilket kommer att vara användbart till detta examensarbete.
Det kommer att göras försök med tryckbelastade träpelare som stabiliseras av stöd i form av
tryckfjädrar med varierande styvhet för att avgöra hur väl teorin stämmer överens med
verkligheten.
I examensarbetet kommer en utredning göras av ett takras från vintern 2009/2010 med fokus
på hur anslutningarnas styvhet inverkar på stabiliteten i konstruktionen.
1.4 Avgränsningar
De beräkningar som redovisas i analysen kommer att göras med hänsyn till stabilitet och
därför kommer andra hållfasthetsberäkningar vara mindre ingående i rapporten.
De delar av byggnaden som undersöks för takraset är de komponenter som ingår i ramarna,
deras stabiliserande anslutningar sätts in som fjädrar med beräknad styvhet. Det ger en bättre
bild av hur anslutningarnas styvheter inverkar på varje ram, eftersom de då enklare kan
jämföras med samma ram med fullt ledade eller fast inspända anslutningar. Det som främst
kontrolleras är om instabilitetsbrott är en trolig orsak till ras.
I examensarbetet kommer enbart stabilitet för pelare av trä att utredas, det vill säga att pelare
av andra material inte kommer att undersökas, även om teorin är anpassningsbar på dem.
2
2 Stabilitetsteori
Detta kapitel kommer att behandla pelare som är utsatta för tryckande normalkraft. Normalt
kommer ett belastat element att deformeras i belastningsriktningen, men vid instabilitetsbrott
kommer elementet istället att deformeras vinkelrätt belastningen. Detta beror på olika
jämviktslägen som uppstår på grund av små avvikelser i form av krokighet. Då en stagad
pelare belastas så kommer instabiliteten att vara beroende av lastens storlek och placering,
pelarens styvhet och pelarens stagning.
Ett standardtvärsnitt kommer att väljas för samtliga exempel i teorikapitlet, se tabell 1.
Tabell 1 - Standardtvärsnitt som tillämpas i teorikapitlet
Standardtvärsnitt
Längd
Hållfasthetsklass
E-modul
Tröghetsmoment
6meter
C24
11GPa
2.85 ∙ 10 m
2.1 Vanliga begrepp
Knäckning
En pelare som belastas med tryck kommer att utsättas för tryckspänningar till dess att pelaren
blir instabil och får en kraftig böjdeformation ut i sidled genom så kallad knäckning.
Imperfektioner i pelaren och initiala imperfektioner i uppställningen gör att pelaren kommer
att ge horisontella krafter på stöden och börjar sakta böjdeformeras innan den knäcker. En
teoretiskt helt rak pelare kommer bara att deformeras i sin längdriktning. Den kommer varken
att ge några horisontella krafter eller böjdeformeras innan den knäcker.
Fjäderstyvhet ( / )
Fjäderstyvheten för ett element är ett mått på den kraft som behövs för att det skall
deformeras en viss längd. Exempelvis en tryckfjäder som trycks ihop en bestämd sträcka ∆
vid en specifik kraft enligt
= .
∆
Fjäderkraft ( )
För exempelvis en stagad pelartopp uppkommer en fjäderkraft i stödet när det motarbetar
deformation i stödet. Detta för att begränsa pelartoppens utböjning vid stödet och erhålla
önskad kapacitet för pelaren. Fjäderkraften beror på vilken fjäderstyvhet som finns i stödet till
pelartoppen samt dess utböjning. Med en jämviktsekvation kan detta förklaras då utböjningen
∆ multiplicerat med styvheten är ekvivalent med fjäderkraften, = ∙ ∆. För att begränsa
deformationen i stödet krävs alltså en tillräckligt hög fjäderstyvhet för att motarbeta kraften.
Eulers knäckningslast ( )
Vid knäckning beaktas ofta Eulers knäckningslast, vilket är ett maximalt värde på
tryckbelastningen som kan påföras ett element innan det knäcks, oberoende av om
fjäderstyvheten i de stabiliserande stöden ökas.
3
2.2 Eulers knäckningslast
Vanligtvis förenklas stagningen i en pelare till antingen inspänd eller ledad, med oändlig
styvhet i de transversella riktningarna. De grundläggande knäckningsfall enligt Euler som
uppstår för ett centriskt tryckbelastat element beskrivs generellt enligt ekvation 2.1.
Där
=
(
∙
)
( . )
beskriver elementets styvhet
l beskriver knäcklängden
Det finns fyra renodlade knäckningsfall enligt figur 1.
Figur 1 – Eulers knäckningsfall
Knäckningsfallen kan härledas enligt Timoschenko [4], vilket visas i bilaga 2.
Dessa fyra knäckfall gäller då styvheten i stöden är större än den ideala styvheten, vilken
beskrivs i ekvation 2.3 och figur 4.
4
2.3 Fjäderstyvhetens
Fjäderstyvhetens inverkan i pelarstöd
Nedan följer exempel på hur knäckningslaster uppkommer då styvheten varieras i stöden.
stöden
2.3
3.1
.1 Ledat iinfäst
nfäst pelare
Pelaren är ledat infäst i topp
toppen
en och i botten. Om styvheten varieras i toppstödet mellan 0 och
∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har nnågot
ågot stöd i toppen och fallet där
stödet i toppen bara kan röra sig i vertikalled,
vertikalled, det vill säga ∆=
= 0,
0, se figur 2..
∆
l
→
l
Figur 2 - Extremfall för pelarens utböjningsform vid variation av styvhet i toppstödet
toppstödet
nings
ningslast
För fallet med en ledad pelare i toppen och i botten gäller Eulers knäck
knäcknings
last
=
∙
.
gden och stödet med styvheten . För en
I figur 3 representeras samma pelare med län
längden
godtycklig styvhet
styvhetvarierar
varierar momentjämvikten enligt jämviktsekvationen 2.2. I figur 4 visas
förhållandet mellan kritisk last och fjäderstyvhet när pelaren i figur 3 belastas.
belastas. Den
Den linjära
stigningen fram till Euler
Eulerss knäckningslast visar hur
varierar ekvivalent med den kritiska
lasten fram till det som är Eulers knäck
knäcknings
ningslast.
ningslast.
(2..2)
∆=
∆ ∆
∆ är utböjningen i stödet vid påförd belastning
∆
l
Figur 3 - Uppställning för jämvikt i tryckbelastad pelare
5
Värdet på den styvhet som precis motsvarar Eulers knäckningslast kallas ideal styvhet
vårt fall ligger den ideala styvhetennära 15 kN/m, se figur 4.
Kritisk last Pcr (kN)
=
.I
(2.3)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
Fjäderstyvhet i stödet K (kN/m)
Figur 4 - Knäckningslast för en ledad pelare enligt tabell 1 med en varierande styvhet i toppstödet
6
2.4 Inverkan av ett eller flera mittstöd
Följande visar hur styvheten i pelarstöden inverkar på pelare som har stöd med varierande
styvhet på mitten och fullt stagade leder i toppen och i botten. Stöden i exemplen kommer att
vara jämt fördelade över pelarens längd.
2.4.1 Ledad pelare med ett mittstöd
Detta fall börjar med att pelaren har en led i mitten utan någon styvhet och ser därför precis ut
som den ledade pelaren i exemplet i avsnitt 2.3 med utknäckning i en halv sinuskurva se figur
5a. Då styvheten ökar i mittstödet kommer knäckningsmoden tillslut att motsvara fallet där
pelaren knäcker ut runt mittstödet i en hel sinuskurva se figur 5b. Det kommer se ut som två
pelare utan mittstöd ovanpå varandra och kommer behöva knäckas ut i en utböjningsform som
motsvarar halva pelaren för att nå Eulers knäckningslast, vilket ger värdet
a)
∆
→
b)
=
∙
( )
.
/2
/2
Figur 5 - Extremfall för utböjningsform för en ledad pelare med varierande styvhet i mittstödet
Med en momentjämviktsekvation kan den ideala styvheten i mittstödet beräknas enligt
Winter [13], se figur 6. Winter antar en led på pelarens mitt, vilket ger en enklare beräkning
som är mycket nära verkliga fallet då pelaren böjer ut i en hel sinuskurva.
Då pelaren belastas med Eulers knäckningslast antas att pelaren böjer ut sträckan ∆ vid
mittleden. Ett moment kring mittleden ger då förhållandet enligt ekvation 2.4 och den ideala
styvheten enligt ekvation 2.5.
/2
∆
/2
∆=
/2
/2
/2
∙
2 2
=
4∙
=
∆
∙ (2.4)
2 2
(2.5)
Figur 6 - Uppställning av jämvikt för en ledad pelare med ett mittstöd
7
2.4.2 Ledad pelare med två mittstöd
Pelaren har två mittstöd som ger tre fält med samma längd, se figur 7b. Pelaren kommer
enbart kunna röra sig vertikalt i toppen. Mittstöden kommer at ha samma styvhet som ökar
lika mycket då knäckningslasten utreds för pelaren. Utan styvhet i mittstöden kommer
utböjningsmoden motsvara den ledade pelaren i avsnitt 2.3.1, alltså knäckningslasten
∙
=
, se figur 7a. Då styvheten är tillräckligt stor så att Eulers knäckningslast uppnås,
vilket motsvarar fallet i figur 7b, kommer utböjning ske i tre halvsinuskurvor. För att pelaren
ska knäcka ut i denna utböjningsmod måste lasten motsvara en last som knäcker en ledad
pelare med en tredjedels längd . Detta ger Eulers knäckningslast
jämviktsekvation ges den ideala styvheten
∆
l
=
∙
→
.
a)
=
∙
( )
och m.h.a en
/3
/3
/3
b)
Figur 7 - Extremfall av utböjningsform för en ledad pelare med varierande styvhet i två mittstöd
2.4.3 Pelare med 3 eller fler mittstöd
∆
→
l
/4
/4
∆
/4
/4
→
/5
/5
/5
/5
/5
Figur 8 - Extremfall för utböjningsform för varierande styvhet i tre och fyra mittstöd
Pelarna är ledade i toppen och i botten med tre eller fler mittstöd med samma styvhet och
centrumavstånd mellan stöden. Deras utböjningsmoder varierar mellan extremfallen för
8
knäckning, då ingen styvhet finns i stöden och då styvheten är tillräckligt stor
stor för
för att
att pelaren
pelaren
ska böjas mellan varje stöd, se figur 8.
8. Då styvheten är tillräckligt stor kommer pelaren böja
ut i ett antal halva sinuskurvor. P
Påå samma
samma sätt som i tidigare exempel ger detta Euler
Eulerss
knäckningslaster
knäckningslaster för pelare med tre och fyra mittstöd till
=
och
=
.. För att
bestämma ideal styvhet i stöd för pelare med fler mittstöd än tre har Timoschenko
Timoschenko [4]
[4]
beräknat vär
värdena
dena i tabell 22, enligt ekvation 2.6.
=
∙
(2..6)
Tabell 2 - Ideal styvhet i stöd för pelare med flera mittstöd då spannen är lika långa enligt
Timoschenko [4]
Antal mittstöd
3
4
5
6
8
10
0
13.65
18.12
22.39
26.62
34.88
43.14
Kritiska lasten Pcr (kN)
2500
2000
1 mittstöd
Pe=343.99 kN
1500
1000
2 mittstöd
Pe=773.98 kN
500
3 mittstöd
Pe=1375.96 kN
0
400
850
1250
1700
2150
2600
3050
3450
3900
4350
4800
5250
5700
6150
6550
0
4 mittstöd
Pe=2149.93 kN
Fjäderstyvheten i stöden K (kN/m)
Figur 9 - Knäckningslaster
Knäckningslaster för pelare enligt tabell 1 med flera mittstöd
I figur 9 visas knäckningslasterna för pelarna med olika antal mittstöd, vilka har beskrivits i
detta kapitel. Diagrammet visar förhållandet
förhållande mellan knäckningslast
knäckningslast och styvhet. Förhållandet
kommer att variera linjärt mellan de olika utböjningsformer
utböjningsformer som pelarna kan böja ut i.
i. För
För en
pelare med 4 mittstöd kommer 5 olika utböjningsformer att uppkomma då styvheten varieras
mellan 0 och ∞,, se utböjningsformerna i figur 99.. Detta visar att antalet utböjningsformer för
de tryckbelastade pelarna kommer att vara de
desamma
samma som antalet halva sinuskurvor som
pelaren böjer ut i.
9
2.5 Fast inspänd pelare
l
∆
l
→
a)
b)
Figur 10 - Extremfall för utböjningsform för en fast inspänd pelare
pelare med varierande styvhet i
topps
toppstöd
tödet
Pelaren kommer att ha en fast inspänning i botten och ett ledat stöd i toppen med varierande
styvhet
styvhet.. Diagrammet
Di grammet i figur 11 visar knäckningslast
knäckningslasten
en beroende av styvhet
styvheten
en i toppstödet.
Figur
igur 10a visar hur knäckning ser ut för en fast inspänd pelare utan något stöd i toppen
toppen.. Figur
Figur
10b visar knäckning för en fast inspänd pelare med en led i toppen som kan röra sig fritt i
vertikalled, men förhindrad att röra sig horisontellt i toppen.
180
Kritisk last Pcr (kN)
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Fjäderstyvhet K (kN/m)
Figur 11 - Knäcknings
Knäckningslast
ningslast för en fast inspänd pelare enligt tabell 1 med varierande styvhet i
toppstödet
FEM-design
I FEM
design belastades en fast inspänd pelare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett
Oavsett hur
hur
mycket stödets fjäderstyvhet ökades kunde inte en ideal styvhet fastställas till Eulers
knäckningslast. I figur 11 visas hur den fast inspända pelaren i figur 10 sakta går mot en
oändligt stor styvhet för att nå upp till Eulers knäckningslast.
knäckningslast. Enligt Eulers knäckningslast för
knäckfall borde värdet bli
detta knäckfall
=
∙
175.9
= 175
( 699 )
(0.
10
Värdet stämmer bra då kurvan går mot en platå, men den ideala styvheten kommer att nås
först när den är oändligt stor, se Yura [3].
2.6 Inverkan av snedställning
Då en pelare belastas med en tryckande normalkraft kommer pelaren teoretiskt tryckas ihop i
sin längdriktning till dess att knäckningslasten är uppnådd och den böjs då ut genom
knäckning. Detta är inte ett verkligt fall då pelare alltid har en viss imperfektion så som
snedställning. Nedan visas hur snedställning inverkar på pelaren och dess stöd.
2.6.1 Pelare med snedställning
∆∆
Figur 12 - Utböjningsform för pelare med snedställning ∆
Figur 12 visar samma exempel som i avsnitt 2.3.1 med skillnaden att det är en snedställning
∆0 i toppen, vilket ger upphov till fjäderkraften . Salmon och Johnson [14] visar med hjälp
av momentjämvikt enligt ekvation 2.7 vilken styvhet som krävs i toppstödet för en snedställd
pelare, se ekvation 2.8
Där
∆ =
(∆ − ∆ )(2.7)
∆ är den initiella snedställningen
∆ är utböjningen som uppkommer vid last
∆ =∆+∆
Den ideala styvheten är som bekant
=
Med hjälp av ovanstående ekvationer beräknas den teoretiskt tillräckliga styvheten enligt
ekvation 2.8
=
11
(1 +
∆
)(2.8)
∆
Likaså
=
(∆ + ∆ )(2.9)
Fjäderkraften kommer att variera beroende på hur styvt upplaget är, på grund av den ökande
kraften som behövs för att undvika en för stor utböjning. I figur 13 visas hur fjäderkraften i
toppstödet förhåller sig till lasten då styvheten hålls konstant som den ideala fjäderstyvheten.
Detta visar att fjäderkraften kommer att öka mot oändligheten då lasten närmar sig den
kritiska lasten. Utböjningen varierar ekvivalent med fjäderkraften enligt∆=
, se figur 14,
Fjäderkraft i stöd F (kN)
vilket visar orealistiskt stora utböjningar då lasten närmar sig knäckningslasten.
Knäckningslasten i figur 15 är densamma som för en pelare utan snedställning.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
L/100
L/200
L/300
5
25
45
65
85
Last P (kN)
Figur 13 - Fjäderkrafter i stöd för en ledad pelare enligt tabell 1 med olika snedställningar L=6 meter
1200
Utböjning (mm)
1000
L/100
800
L/200
600
L/300
400
200
0
0
20
40
60
Last P (kN)
80
100
Kritisk last Pcr (kN)
Figur 14 - Utböjning i stöd för en ledad pelare enligt tabell 1 med olika snedställningar L=6 meter
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
Fjäderstyvhet i stöd K (kN/m)
Figur 15 - Knäckningslast för en ledat snedställd pelare enligt tabell 1
12
2.6.2 Minskning av fjäderkraft
För att inte fjäderkraften ska bli för stor i ett stöd är det viktigt att ha i beaktande att den ideala
fjäderstyvheten ger en fjäderkraft som går mot oändligheten vid Eulers knäckningslast. Därför
bör fjäderstyvheten väljas större än den som motsvarar ideal fjäderstyvhet (Yura [3]). Ett
rimligt antagande enligt Yura [3] är att öka den ideala styvheten till det dubbla värdet.
I figur 16 visas fjäderkraften i toppstödet för pelaren i figur 12. Pelaren belastas upp till Eulers
knäckningslast då toppstödet har ideal styvhet och då den ideala styvheten har det dubbla
värdet.
18
Fjäderkraft i stöd F (kN)
16
14
12
10
8
K=30
6
K=15
4
2
0
5
25
45
65
85
Last P (kN)
Figur 16 - L/100=6 cm snedställd ledad pelare enligt tabell 1 med ideal styvhet 15 kN/m i stöd.
Fjäderkraften hålls nere med antagandet att dubblera fjäderstyvheten till 30 kN/m.
13
2.7 Inverkan av initialkrokighet
En vanlig imperfektion för pelare är att pelaren är något krökt när den monteras. Detta
inverkar på pelarens beteende, då den vill deformeras mer vid belastning.
2.7.1 Pelare med initialkrokighet
∆
Figur 17 - Utböjningsform för en initialkrokig pelare
En pelare med initialkrokighet enligt figur 17 kommer vid en tryckande normalkraft att få
samma Euler knäckninglast som den raka ledade pelaren i avsnitt 2.3.1. Skillnaden som
uppkommer är fjäderkraften i stöden och att utböjningen i pelarens mitt ökar.
Till skillnad från pelaren med initial snedställning i avsnitt 2.6 kommer krafterna i toppstödet
bli mycket mindre då lasten närmar sig Eulers knäckningslast. Den intitialkrokiga pelaren böjs
ut på mitten utan att några större horisontella krafter verkar i toppstödet. I figur 18 visas
fjäderkrafterna efter analys i FEM-design för pelaren i figur 17. Fjäderkrafterna är mycket
små innan pelaren når Eulers knäckningslast. Analysen av pelare med krokighet =L/100
kunde inte visas i diagrammet eftersom den får en omedelbart för stor utböjning och pelaren
kollapsar direkt vid belastning.
För en krokighet på L/200 är fjäderkraften 1 kN då knäckningslasten uppnås vilket ger en
utböjning i toppstödet på 1/15 meter då styvheten är 15 kN/m. Enligt figur 19 är utböjningen i
mitten 2.5 meter vid samma last, vilket är orimligt mycket för en 6 meter lång pelare.
Utböjningen ökar snabbt nära Eulers knäckningslast och pelaren kommer därför att kollapsa
av den stora utböjningen.
1.2
Fjäderkaft (kN)
1
0.8
0.6
L/200
0.4
L/300
0.2
0
-0.2
0
20
40
60
80
100
Last P (kN)
Figur 18 - Fjäderkraft vid ideal styvhet i toppstödet för ledat infästa pelare enligt tabell 1 med
olika initiella krokigheter, L=6 meter
14
3000
Utböjning (mm)
2500
2000
L/200
1500
L/300
1000
500
0
0
20
40
60
Last P (kN)
80
100
Figur 19 - Utböjning i mitten vid ideal styvhet för ledat infästa pelare enligt tabell 1 med olika
initiella krokigheter, L=6 meter
2.8 Inverkan av lastexcentricitet
1
r
r
∆
1−1
Figur 20 - Utböjningsform för en excentriskt belastad pelare
När en pelare belastas excentriskt enligt figur 20 kommer detta att ge upphov till ett moment i
pelaren. Momentet vill skapa en utböjning av pelaren gentemot en centriskt belastad pelare,
som teoretiskt enbart trycks ihop i sin längdriktning. Excentrisk belastning påverkar inte
knäckningslasten men gör stor skillnad för utböjningen enligt figur 21. Den ger upphov till
fjäderkraft i pelarens upplag, se figur 22. Likt den initiellt krokiga pelaren blir fjäderkraften
inte så stor, men den kommer att öka markant när lasten närmar sig Eulers knäckningslast.
15
Utböjning (mm)
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
1
i kant
r
1/4r från kant
r
1/2r från kant
3/4r från kant
1-1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
Last P (kN)
Figur 21 - Utböjning i pelarens mitt för en ledad pelare enligt tabell 1 med excentrisk last, där r
representerar avståndet till tvärsnittets mitt när den ideala styvheten används i toppstödet
Fjäderkraft F (kN)
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
1
i kant
r
1/4r från
kant
1/2r från
kant
3/4r från
kant
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
r
1-1
Last P (kN)
Figur 22 - Fjäderkraft för en ledat infäst pelare enligt tabell 1 med excentrisk last, där r
representerar avståndet till tvärsnittets mitt när den ideala styvheten används i toppstödet
Lasterna är förhållandevis låga i stödet trots den stora utböjning som momentet ger upphov
till i pelaren. På samma sätt som för en initialkrokig pelare kommer kraften inte verka i
horisontalled utan istället vridas kring stöden och böja ut pelaren i mitten.
2.9 Ramar
Eulers knäckningslast kan överföras på ett system med pelare och balkar då komponenterna är
beroende av varandra för att stabilisera systemet. Nedan visas ett enklare exempel på hur
lasten kan beräknas, för vilken ett system blir instabilt och knäcker.
Ramen består av två pelare som sammankopplas med en balk mellan pelarnas toppar. De två
nedre pelarstöden är fullt ledade, medan balken är ihopkopplad med pelarna med
momentstyva kopplingar, se figur 23.
16
EIbalk
EI
EI
x
y
Figur 23 – Utböjningsform för tryckbelastade pelare i ram
Den kritiska lasten för ramen kan beräknas med hjälp av differentialekvationer i balkteoretisk
beräkning enligt Timoschenko [4].
=−
(2.10)
För att uppfylla kraven för pelarens nedre infästning används ekvationen
=
(2.11)
För att vinklarna i övre sammankopplingen av pelarna till balken ska vara desamma och då
pelarna belastas med samma last i toppen blir kraven i pelartopp
(
)
Detta ger enligt pelarens nedre infästning
Om balken antas helt stel
Så blir det kritiska värdet
=
( )
6
=
6
= ∞ och vi ställer upp
cos
(2.12)
(2.13)
=0→
= (2.14)
2
=
(2.15)
4
Detta ger alltså samma värde på Eulers knäckningslast som en pelare med momentstyv
infästning i botten och utan stöd i toppen. Detta beror på att ramen får samma egenskaper
17
eftersom balken kan ses som pelarnas momentstyva infästningar. Pelarna får alltså ett
vridmoment runt deras topp medan de är fria att rotera i botten.
I verkliga ramar är det svårt att uppnå momentstyva hörn. I figur 24 visas ett diagram för
ramen då den vid belastning har en rotationsstyvhet med värdet
och med antagandet att
balken är helt styv. Kritisk last för ramen då pelarna är samma som standardtvärsnittet är
21.5
enligt ekvation 2.15. Den ideala rotationsstyvheten går mot ett platåvärde, men då
= 30
/
är den kritiska lasten 20.5 , alltså 1 från Eulers knäckningslast.
Kritisk last Pcr (kN)
25
20
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
120
Rotationsstyvhet Kr (kNm/deg)
Figur 24 – Kritisk last för ram med två pelare enligt tabell 1 och en stel balk, rotationsstyvhet
i ramhörn
18
2.10 Styvhet hos anslutningar
Tidigare i avsnitt 2 beaktades upplagens styvhet för att beräkna pelares knäckningslaster. Det
är också av intresse att beräkna andra komponenters styvheter för att veta deras egenskap att
deformeras. Nedan följer exempel på hur styvheten beräknas för ett enskilt element och dess
anslutningar, samt hur de samverkar då de är sammankopplade.
2.10.1 Styvhet för en balk
En balk som belastas av tryckande normalkraft kommer att behöva en viss styvhet för att vara
stabil i samma riktning. Denna stångstyvhet beräknas enligt ekvation 2.16, Gustafsson [2]
=
Exempel 1:
(2.16)
Beräkna fjäderstyvheten för en takås med följande egenskaper
E=11 GPa
A=45x195mm
L=6m
Enligt formeln beräknas fjäderstyvheten för takåsen till
=
11 ∙ 10 ∙ 0.045 ∙ 0.195
= 16087.5
6
/
2.10.2 Styvhet hos ett spikförband
Styvheten för ett spikförband kan beräknas enligt Traekonstruktioner Förbindelser [5]
Där
=
∙ (2.17)
n är antalet spikar
F är bärförmåga vid tvärkraft per spik
u är deformationen i förbandet
Exempel 2:
Beräkna fjäderstyvheten för ett åsbeslag som är fäst i en takås med 6 ankarspik på var sida.
Spikarnas dimension är 4.0x60mm och de har en skjuvkapacitet med karakteristiskt värde på
2 kN.
19
Infästningens styvhet är främst beroende av spikarnas beteende. Styvheten kan då beräknas
enligt
=
∙
Vid glidning uppskattas den verkande tvärkraften till 40 % av maximal last, vilket är en rimlig
uppskattning (Per-Johan Gustavsson Byggnadsmekanik LTH)
Deformationen
vid
0.6mm
= 0.4 avläses ur diagram i Traekonstruktioner Förbindelser [5] till
=
Exempel 3:
∙
= 12 ∙
0.4 ∙ 2
= 16000
0.0006
/
Beräkna styvheten för en sammankoppling av takåsen i exempel 1 mellan två styva takbalkar
med infästningar enligt exempel 2.
För att beräkna den totala styvheten av sammankopplingen kan en inversberäkning användas
enligt
1
,
=
1
+
är styvheten för takåsens infästningar
1
+
1
(2.18)
är takåsens styvhet
Om takåsen och infästningen från exemplen ovan används så kan det totala styvhetsbidraget
från takåsen och dess infästningar mellan takbalkarna i transversell riktning beräknas till
=
= 16000kN/m
= 16087.5kN/m
→
= 5343.02 kN/m
Den totala styvheten för en balk och dess infästningar är alltså mycket lägre än styvheterna för
balken och infästningarna var för sig. Detta är bra att ha i åtanke då deformationen ofta är ett
resultat av flera sammankopplade element.
20
3 Laboration
3.1 Syfte
Syftet med provningarna är att undersöka hur fjäderstyvheten i pelares stöd inverkar på
stabiliteten, hur detta påverkar utböjningsmoden och hur fjäderkraften varierar vid de olika
styvheterna. Provningarna kommer att ta hänsyn till hur imperfektion av snedställning
inverkar på stagen, då främst hur detta inverkar på stagkrafterna.
En utvärdering kommer att göras för hur utböjningsformer och knäckningslaster vid
provningarna stämmer överens med teorin för en tryckbelastad pelare. Provningarna kommer
att genomföras för två provuppställningar. Den ena då pelarna är ledade i botten och stagade
med tryckfjädrar i toppen. Den andra då pelarna är ledade i toppen och botten, samt stagade
med tryckfjädrar på mitten, se figur 25.
3.2 Provningsuppställningar
Provningarna kommer att utföras med två olika typer av provkroppar, med egenskaper enligt
tabell 3. Provningarna kommer att utföras på tre pelare av varje provkroppstyp.
Provkropparnas initialkrokighet kontrolleras okulärt innan provning för att säkerhetsställa att
den ger så lite inverkan på provningarna som möjligt.
Tabell 3 - Egenskaper för provkroppar
Provkroppstyp
Tvärsnitt
Längd
Hållfasthetsklass
E-modul
Tröghetsmoment
Antal provkroppar
1
22x95
2 meter
C24
11 GPa
8.43 ∙ 10 m
3 (provkropp 1-3)
2
45x140
2 meter
C24
11 GPa
1.063 ∙ 10 m
3 provkropp (4-6)
Provningarna innefattar två uppställningar enligt figur 25. Provkroppstyp 2 kommer att ha ett
för grovt tvärsnitt för att kunna användas i uppställning 2 och används således bara i
uppställning 1.
Uppställning 1
∗
∗
Uppställning 2
∆
∗
∗
∆
= Lasten
= Fjäderstyvhetistödet
∗
∆= Snedställningen
*Visar mätpunkternas placering
Figur 25 – Uppställning 1 och uppställning 2 för provningarna
21
Tre olika snedställningar används för uppställningarna:
1. Utan snedställning
2. Snedställning i topp L/100=2 cm
3. Snedställning i topp L/50=4cm
I figurerna 26-28 visas den praktiska uppställningen av provkropparnas stagning och
mätutrustning.
Figur 26 - Stagning i ovankant med tryckfjädrar och mätceller för utböjning
Figur 27 - Mätcell för utböjning på mitten och led i botten
22
Figur 28 - Tryckfjädrar med olika styvheter och mätceller för utböjning
3.3 Parametrar och egenskaper
3.3.1 Fjäderstyvhet
Vid provningarna används tryckfjädrar från Sodermann Industrifjedre A/S för att representera
de olika fjäderstyvheterna i stagningarna. Valen av dessa grundade sig i att fjäderstyvheten
skulle vara nära den ideala styvheten, för att sedan uppmäta vad som sker vid ökning
respektive minskning av styvhet. Dessvärre krävs mycket låga styvheter vid uppställning 1 för
det slankare tvärsnittet, vilket gör att fjädrarna med så låg styvhet inte kan placeras med
tillförlitlig stabilitet till provkropparna. Det är därför inte möjligt att använda sig av ideala
fjäderstyvheter i de provningarna.
De beställda tryckfjädrarna testades för att vara säker på vilken styvhet som används vid
provningarna, se tabell 4. Detta testades genom att trycka fjädrarna med en ökande last och
mäta hoptryckningen.
Tabell 4 - Styvheter i tryckfjädrar
Beställd styvhet (kN/m)
6
10
20
40
Uppmätt styvhet (kN/m)
8.67
12.3
23.63
41.05
23
3.3.2 E-modul
E-modulen uppmättes för pelarna genom att lägga upp dem som balkar med två ledade stöd
för att sedan belasta med en punktlast i mitten enligt figur 29.
Figur 29 - Uppställning för mätning av elasticitetsmodul
Nedböjningen uppmättes med ökande belastning och E-modulen kunde sedan beräknas med
är nedböjningen
=
=
48
(3.1)
ℎ
12
= 1.76
I tabell 5-6 visas medelvärdet för de beräknade E-modulerna.
Tabell 5 - Elasticitetsmoduler för 22x95 pelare
Provkropp
1
2
3
E-modul (MPa)
8217.639413
8193.275513
10015.187456
E-modulerna ligger alltså något under det karakteristiska värdet på 11 GPa och får ett
medelvärde på E=8.81 GPa
Tabell 6 - Elacticitetsmoduler för 45x140 pelare
Provkropp
4
5
6
E-modul (MPa)
6546.250094
7450.753474
8467.881058
E-modulerna ligger alltså något under det karakteristiska värdet på 11 GPa och får ett
medelvärde på E=7.49 GPa
E-moduler uppmätta på det här sättet kommer inte att ge ett helt korrekt värde. Detta eftersom
stöden kommer vara eftergivliga och ge en glidning vid upplagen. Det riktiga värdet kommer
förmodligen ligga närmare 11GPa som är det förväntade värdet för de inköpta träpelarna. I
provningsresultaten kommer därför både de teoretiska och de uppmätta värdena att visas.
24
3.3.3 Densitet
Pelarna vägdes och densiteten för respektive pelare beräknades till värdena som redovisas i
tabell 7-8.
Tabell 7 - Densitet för 22x95 pelare
Densitet (kg/m3)
508.61
458.13
419.62
Provkropp
1
2
3
Detta ger ett medelvärde för provkropparna med tvärsnitt 22x95 till 462.12 kg/m3.
Tabell 8 - Densitet för 45x140 pelare
Densitet (kg/m3)
614.37
536.11
609.52
Provkropp
4
5
6
Detta ger ett medelvärde för provkropparna med tvärsnitt 45x140 till 586.67 kg/m3.
3.4 Teoretisk analys av provningsuppställningarna
3.4.1 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 22x95
Eulers knäckningslast samt ideal styvhet beräknas med teoretisk E-modul för uppställning 1:
=
= 11
=
0.095 ∙ 0.022
= 8.43 ∙ 10
12
(3.2)
= 2.288
=
= 1.144
/
För uppställning 2 blir Eulers knäckningslast och ideal styvhet
=
=
4
2
= 9.15
(3.3)
= 18.30
25
/
De uppmätta E-modulerna med ett medelvärde på E=8.81 GPa ändrar Eulers knäckningslast
samt den ideala styvheten för uppställning 1 och uppställning 2:
Uppställning 1
∙ 8.81 ∙ 10 ∙ 8.43 ∙ 10
2
=
=
Uppställning 2
= 0.916
/
∙ 8.81 ∙ 10 ∙ 8.43 ∙ 10
=
=
4
2
2
= 14.66
= 1.83
= 7.33
/
I figur 30 visas teoretiska diagram över förväntade värden på Eulers knäckningslast för
tvärsnitt 22x95. Tabell 9 visar vilka fjäderkrafter som förväntas uppkomma i fjädrarna då
pelarna belastas med Eulers knäckningslast.
E=11 GPa
E=11 GPa
E=8.81 GPa
2
Kritisk last (kN)
Kritisk last (kN)
2.5
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
E=8.81 GPa
0
1.5
10
20
30
Fjäderstyvhet i stöd (kN/m) för uppställning 2
Fjäderstyvhet i stöd (kN/m) för uppställning 1
Figur 30 – Teoretiska knäckningslaster för pelare 22x95 som används vid provning
26
Tabell 9 – Teoretiska fjäderkrafter för uppställning 1, pelare 22x95 vid Eulers knäckningslast
Fjäderstyvhet
(kN/m)
Emodul
(GPa)
8.67
12.3
23.63
8.67
12.3
23.63
11
11
11
8.81
8.81
8.81
Fjäderkraft
vid 2cm
snedställd
(N)
26
25
24
21
20
19
Utböjning Fjäderkraft Utböjning
(mm) vid
vid 4cm
(mm) vid
2cm
snedställning
4cm
snedställd
(N)
snedställd
3.0
52
6.5
2.0
50
4.1
1.0
48
2.0
2.4
41
4.7
1.6
40
3.3
0.8
38
1.6
Last
(kN)
2.288
2.288
2.288
1.83
1.83
1.83
Enligt teorin blir det väldigt små krafter i toppstödet för provkropparna med de
fjäderstyvheter som ska användas vid provningarna.
Den teoretiska fjäderkraften för uppställning 2 vid Eulers knäckningslast beräknas enligt
Galambos och Surovec [15] i ekvation 3.4. För att det ska uppkomma kraft i mittstödet måste
en initial utböjning ∆ antas. I figur 31 visas fjäderkrafterna i mittstödet vid olika
fjäderstyvheter då Eulers knäckningslast belastar pelaren.
=∆
1−
(3.4)
∆ Är initial utböjning vid mittstödet. Den antas enligt Galambos och Surovec [15] till
L/1000 = 0.002
Är den ideala styvheten i mittstödet
Är den aktuella styvheten i mittstödet
1
0.9
Fjäderkraft (kN)
0.8
0.7
0.6
0.5
Ki=18.3
0.4
Ki=14.66
0.3
0.2
0.1
0
10
20
30
Fjäderstyvhet K (kN/m)
40
Figur 31 - Fjäderkraft i stöd för uppställning 2, pelare 22x95 vid Eulers knäckningslast,
beräknat enligt ekvation 3.4
27
Tabell 10 visar förväntade värden på fjäderkraften i mittstödet när pelarna belastas med Eulers
knäckningslast.
Tabell 10 – Teoretiska fjäderkrafter för uppställning 2, pelare 22x95 vid Eulers knäckningslast
Fjäderstyvhet
(kN/m)
E-modul
(GPa)
Fjäderkraft
(N)
8.67
12.3
23.63
41.05
8.67
12.3
23.63
41.05
11
11
11
11
7.49
7.49
7.49
7.49
*
*
162
66
*
*
77
46
Utböjning
(mm)
6.9
1.6
3.3
1.1
Last (kN)
9.15
9.15
9.15
9.15
7.33
7.33
7.33
7.33
*Pelaren knäcker innan Eulers knäckningslast. Fjäderkraften går mot oändligheten
vid kritisk last enligt avsnitt 2.6.
3.4.2 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 45x140
Eulers knäckningslast samt ideal styvhet beräknas med teoretisk E-modul för uppställning 1:
=
= 11
=
0.14 ∙ 0.045
= 1.063 ∙ 10
12
=
∙ 11 ∙ 10 ∙ 1.063 ∙ 10
2
=
= 14.43
/
= 28.85
De uppmätta E-modulerna med ett medelvärde på E=7.49 GPa ändrar Eulers knäckningslast
samt den ideala styvheten för uppställning 1:
=
∙ 7.49 ∙ 10 ∙ 1.063 ∙ 10
2
=
= 9.83
28
/
= 19.65
Tabell 11 visar vilka fjäderkrafter som förväntas uppkomma i fjädrarna då 45x140 pelarna
belastas med Eulers knäckningslast.
Tabell 11 - Fjäderkrafter för uppställning 1, pelare 45x140 vid Eulers knäckningslast
Fjäderstyvhet
(kN/m)
Emodul
(GPa)
8.67
12.3
23.63
41.05
8.67
12.3
23.63
41.05
11
11
11
11
7.49
7.49
7.49
7.49
Fjäderkraft
vid 2cm
snedställd
(N)
*
*
742
445
*
974
336
258
Utböjning Fjäderkraft Utböjning
(mm) vid
vid 4cm
(mm) vid
2cm
snedställning
4cm
snedställd
(N)
snedställd
*
*
31.4
1484
62.8
10.8
890
21.7
*
79
1949
158
14
673
28
6.5
516
13
Last
(kN)
28.85
28.85
28.85
28.85
19.65
19.65
19.65
19.65
*Pelaren knäcker innan Eulers knäckningslast. Fjäderkraften går mot oändligheten vid
kritisk last enligt avsnitt 2.6.
3.4.3 Jämförande beräkning - tryckt pelare enligt BKR gentemot Eulerknäckning
Detta avsnitt beskriver en relation mellan Eulers knäckningslast och den karakteristiska
bärförmågan för en axiellt tryckbelastad slank pelare enligt beräkningar med Boverkets
konstruktionsregler, BKR 99 [1]. Syftet är att ta reda på hur stor skillnaden blir i resultat och
hur den påverkas av tvärsnittets storlek.
Pelaren som först kontrolleras för tryck parallellt med fiberriktningen har samma egenskaper
som provkroppstyp 2 som kommer att användas vid laborationerna:
Uppställning 1
= 21
ä
ä
= 45 140
= 2meter
Enligt BKR beräknas en pelares kapacitet för en tryckkraft enligt nedanstående ekvation där:
:
:
:
:
ä
ℎ
ä
ö ä
ℎä
ö ä
29
ℎ
=
∙
∙
enligt BKR 99 [1](3.5)
√12 ∙
= =
= 153.96 →
→
= 0,12
(3.6)
= 15.876
Om kapaciteten istället beräknas med hänsyn till Eulers knäckningslast enligt tidigare avsnitt
så blir värdet: =
= 28.85
Teoretiskt betyder detta att brottet inte kommer att uppkomma vid Eulers knäckningslast utan
pelaren går till brott innan detta sker.
Hur slank behöver då pelaren vara för att hållfasthetsvärdena enligt
tryckbelastningsberäkningarna ovan ska vara mindre eller nära Eulers knäckningslast? För att
ta reda på detta ställs ett förhållande upp mellan dimensioneringsreglerna i BKR och Eulers
knäckningslast.
: Den kritiska lasten med karakteristisk bärförmåga enligt BKR
: Eulers knäckningslast
∙
∙
∙ℎ∙
∙
=
=
(3.7)
=
(3.8)
∙ℎ∙
12
(3.9)
Vid beräkning då enbart tvärsnittets bredd b varieras med b=15, 22, 28 mm så blir
förhållandet mellan den karakteristiska bärförmågan och Eulers knäckningslast:
För uppställning 1 med förhållandet
b=15mm
b=22mm
b=28mm
→ 97.1%
→ 95.9%
→ 94.88%
30
Samma beräkning görs för uppställning 2 med förhållandet
b=15mm
b=22mm
b=28mm
→ 94.5%
→ 91.9%
→ 89.4%
Tvärsnittet för provkroppstyp 1 som valts till 22x95 kommer förmodligen gå till brott innan
Eulers knäckningslast uppkommer, men är så pass nära att en stor utböjning kommer att
uppstå innan brott.
De kritiska lasterna för tvärsnittet 22x95 beräknas till:
Uppställning 1
Karakteristisk bärförmåga enligt BKR:
Eulers knäckningslast:
= 2.2
= 2.288
Uppställning 2
Karakteristisk bärförmåga enligt BKR:
Eulers knäckningslast:
= 8.4
= 9.15
Teoretiskt krävs alltså ett mycket slankt tvärsnitt för att en 2 meter hög pelare ska kunna
belastas till ett knäckningsfall enligt Euler. Dimensioneringsformeln som används för tryck
tar hänsyn till slankheten av pelaren och beaktar knäckning. Förhållandet visar att det slanka
tvärsnittet vid laborationen är tillräckligt nära ett rent fall enligt Euler och kommer troligtvis
ge ett tydligt beteende av knäckning.
31
3.5 Provningsresultat
I följande avsnitt visas provningsresultaten som punkter i diagram med logaritmiska
trendlinjer. Dessa innefattar 3 provningar till varje trendlinje, och en trendlinje per
fjäderstyvhet. För provningsresultat per pelare, se kapitel 8 bilaga 1.
Pelarna belastades med en tryckande punktlast i toppen och värdena för utböjningen vid
mätcellerna registrerades tillsammans med belastningen som mätvärden i ett Excel-dokument.
I provningsresultaten kommer flertalet laster upp i ett högre värde än teoretisk knäckningslast.
Det är inte praktiskt möjligt vid teoretiskt förutsatta förhållanden. Det finns många faktorer
som kan ha stor inverkan på resultatet, exempelvis felaktig E-modul, geometri och
upplagsförhållanden vilket beskrivs nedan.
Geometri
Eulers knäckningslast för en tryckt pelare beror till stor del av geometrin genom
tröghetsmomentet
=
enligt
=
∙ ∙
. Om bredden på tvärsnittet är någon
millimeter större så ökar värdet på den teoretiska knäckningslasten exponentiellt. Om verkliga
bredden är 23 mm istället för 22 mm så ökar knäckningslasten med 14 %.
Upplagsförhållanden
Upplagsförhållandena för knäckning är en viktig faktor vilket nämndes i avsnitt 2.2. Om ena
upplaget inte är helt ledat, utan istället kan uppta ett visst moment kommer knäckningslasten
istället bli någonstans mellan
=
=
och
( . )
. Upplagsförhållandena för den övre
leden i provningarna, se figur 26, kan påverka den teoretiska knäckningslängden.
E-modul
Den uppmätta densiteten i tabell 7 och tabell 8 tyder på en högre E-modul än de som använts
vid beräkning av den teoretiska knäckningslasten. Detta tyder på att pelarnas kapacitet är
högre än vad som beräknats fram. Figur 32 visar ett teoretiskt förhållande mellan E-modul
och densitet (0.5 – fraktilen).
16
E-modul (GPa)
14
12
10
Trendlinje
8
6
4
300
350
400
450
Densitet ρmed (kg/m3 )
500
550
Figur 32 – Samband på förhållandet E-modul/densitet enligt SS-EN 338
32
3.5.1 Tvärsnitt 22x95
3.5.1.1 Utböjning för uppställning 1
I provningarna har tre fjäderstyvheter använts, alla tre över den ideala styvheten (0.916-1.144
kN/m) eftersom en ideal tryckfjäder hade varit för instabil i sig för att kunna ge ett tillförlitligt
resultat.
Figur 33 visar att fjädrarna inte böjer ut så mycket innan en högsta last uppnås. Vissa
provningar har kommit upp i mycket hög last för att sedan snabbt böja ut samtidigt som lasten
sjunker. Detta beror på att pelaren har varit mycket rak vid pålastningen. När sedan en
tillräcklig deformation har uppstått i pelaren har stödet plötsligt böjts ut och då inte kunnat
klara av de höga laster som uppstått, detta främst vid den lägsta styvheten.
4
K=8.67
3.5
K=12.3
3
K=23.63
P (kN)
2.5
2
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
1.5
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
1
Trendlinje K=8.67
0.5
Trendlinje K=12.3
0
0
2
4
6
8
10
12
Utböjning (mm)
14
Trendlinje K=23.63
Figur 33 - Resultat från provning utböjning av pelartopp utan snedställning, 3 provningar
För en pelare med 2 cm snedställning i toppen visar kurvorna i figur 34 att fjädrarna med de
lägre styvheterna böjer ut direkt och oacceptabelt mycket vid låga laster för att sakta öka mot
den högsta lasten. Vid jämförelse med pelaren utan snedställning så gör snedställningen att
pelarna inte riktigt kommer upp i samma last när provningen avbrutits. Avbrotten berodde
oftast på att pelaren deformerats så mycket att stöden kollapsade.
33
4
K=8.67
3.5
K=12.3
3
K=23.63
P (kN)
2.5
2
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 Gpa)
1.5
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
1
Trendlinje K=8.67
0.5
0
Trendlinje K=12.3
0
2
4
6
8
10
12
14
Utböjning (mm)
Trendlinje K=23.63
Figur 34 - Resultat från provning, utböjning av pelartopp med 2 cm snedställning, 3 provningar
Vid snedställningen 4 cm i toppen enligt figur 35 uppstår ett liknande förlopp som vid 2 cm
snedställning, men det uppkommer en än större utböjning vid lägre last. De maximala lasterna
då provningarna avbröts är väldigt lika för de två snedställda pelarna.
4
K=8.67
3.5
K=12.3
3
K=23.63
P (kN)
2.5
2
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
1.5
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
1
Trendlinje K=8.67
0.5
0
Trendlinje K=12.3
0
2
4
6
8
10
12
Utböjning (mm)
14
Trendlinje K=23.63
Figur 35 - Resultat från provning, utböjning av pelartopp med 4 cm snedställning, 3 provningar
34
Vid belastning av pelare med uppställning 1 så kommer utböjningen bli densamma oavsett
vilken fjäderstyvhet stödet har, se figur 36.
Figur 36 - Utböjningsform för uppställning 1
3.5.1.2 Fjäderkraft för uppställning 1
Fjäderkrafterna beror av fjäderstyvheten och utböjningen vid belastning enligt
=
∙∆
I figur 37 visas hur fjäderkraften beror av styvheten då pelaren saknar snedställning. Vid en
lägre styvhet ökar fjäderkraften fortare vid en lägre last än för fjädrar med en högre styvhet.
Det betyder att vid samma last blir utböjningen så mycket större i stödet då lägre styvheter
används att fjäderkraften = ∙ ∆ ger ett större värde än då styvheten är högre.
4
K=8.67
3.5
K=12.3
3
K=23.63
P (kN)
2.5
2
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
1.5
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
1
Trendlinje K=8.67
0.5
0
Trendlinje K=12.3
0
50
100
Trendlinje K=23.63
Kraft (N)
Figur 37 - Fjäderkraft från provning, pelare utan snedställning, 3 provningar
35
Fjäderkraften för en 2 cm snedställd pelare visas i figur 38. Fjäderkraften börjar öka tidigare
än för en pelare utan snedställning.
4
K=8.67
3.5
K=12.3
3
K=23.63
P (kN)
2.5
2
Teoretisk Knäckninglast
(E=11 GPa)
1.5
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
1
Trendlinje K=8.67
0.5
Trendlinje K=12.3
0
0
50
100
Trendlinje K=23.63
Kraft (N)
Figur 38 - Fjäderkraft från provning, pelare med 2 cm snedställning, 3 provningar
Vid en 4 centimeter snedställning blir lutningen vid pålastning än brantare mot en stor
fjäderkraft, se figur 39. Kraften ökar snabbt och är vid samma belastning mer påfrestande på
stöden, jämfört med uppställningarna i figur 37-38. För alla provningar blir kraften större då
styvheten är lägre, eftersom utböjningen blir mycket större.
4
K=8.67
3.5
K=12.3
3
K=23.63
P (kN)
2.5
2
Teoretisk Knäckningslast
(E=11GPa)
1.5
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
1
Trendlinje K=8.67
0.5
Trendlinje K=12.3
0
0
50
100
Trendlinje K=23.63
Kraft (N)
Figur 39 - Fjäderkraft från provning, pelare med 4 cm snedställning, 3 provningar
36
3.5.1.3 Utböjning för uppställning 2
För provningarna för uppställning 2 har fyra styvheter används där flera ligger nära den ideala
styvheten (14.66-18.3 kN/m). Två styvheter är lägre än den ideala styvheten och två är högre
än den ideala styvheten.
När stagningen sitter på mitten bildar utböjningsformerna en halv eller en hel sinuskurva då
styvheten ligger under respektive över den ideala styvheten. Detta gör att utböjningen i
fjädrarna inte kommer att bli så stora då utböjningsformen utgörs av en hel sinuskurva. Då
pelaren böjs ut på mitten som en halv sinuskurva kommer stöden inte att kunna stabilisera
pelaren vid lika höga laster, eftersom den låga styvheten gör att stöden kollapsar på grund av
för stor deformation. Utböjningarna när pelarna saknar snedställning visas i figur 40. Tabell
12 visar vilka utböjningsformer som uppstod för respektive pelare och fjäderstyvhet vid
provningarna.
12
K=8.67
K=12.3
10
K=23.63
P (kN)
8
K=41.05
6
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(8.81 GPa)
Trendlinje K=8.67
4
2
Trendlinje K=12.3
0
Trendlinje K=23.63
0
3
6
9
12
15
18
Trendlinje K=41.05
Utböjning (mm)
Figur 40 - Resultat från provning, utböjning av pelarmitt utan snedställning, 3 provningar
Tabell 12 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer då de saknar initiell
snedställning. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva
Styvhet
kN/m
8.67
12.3
23.63
41.05
P1
Utan
Halv
Halv
Hel
Hel
P2
Utan
Halv
Halv
Hel
Hel
P3
Utan
Halv
Halv
Hel
Hel
Vid en snedställning på 2 cm i toppen av pelaren så går det inte att utgöra några större
skillnader mot en helt vertikal pelare, se figur 41. Bara styvheten K=12.3 kN/m visar en klar
skillnad, då pelaren inte böjer ut mycket med 2 cm snedställning, medan den böjer ut mycket
utan snedställning enligt figur 40. Styvheten är på gränsen till att vara ideal och små ändringar
i uppställningen gör skillnad för utböjningsmoden vid maximal last. För utböjningsformen för
pelare med 2 cm snedställning se tabell 13.
37
12
K=8.67
10
K=12.3
K=23.63
P (kN)
8
K=41.05
6
Teoretisk Knäckningslast
(E=11GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
Trendlinje K=8.67
4
2
Trendlinje K=12.3
0
0
3
6
9
12
15
18
Trendlinje K=23.63
Trendlinje K=41.05
Utböjning (mm)
Figur 41 - Resultat från provning, utböjning av pelarmitt med 2 cm snedställning i topp,
3 provningar
Tabell 13 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer då de har en initiell
snedställning på 2 cm i toppen. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva
Styvhet
kN/m
8.67
12.3
23.63
41.05
P1
2cm
Halv
Halv
Halv
Hel
P2
2cm
Halv
Hel
Hel
Hel
P3
2cm
Halv
Halv
Hel
Hel
Vid en snedställning på 4 cm uppkommer inte heller några direkta skillnader mer än att
utböjningen blir något större vid en lägre last, se figur 42. Vid denna snedställning blev
utböjningsmoden för K=12.3 kN/m återigen en halvsinuskurva, se tabell 14. Samtidigt
uppstod färre hela sinuskurvor för de andra styvheterna. Detta är svårt att förklara, men
troligen kan snedställningen ge en ofördelaktig deformation för ett sådant beteende. Samtidigt
kan små förändringar i uppställningarna ge stora skillnader för resultatet och kan bero på
tillfälliga avvikelser. Sammantaget är ändå pelarna med de två styvare fjädrarna mer benägna
att böja ut i en hel sinuskurva enligt teorin för styvheter över den ideala styvheten vid Eulers
knäckningslast.
38
P (kN)
14
K=8.67
12
K=12.3
10
K=23.63
8
K=41.05
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
Trendlinje K=8.67
6
4
2
Trendlinje K=12.3
0
0
3
6
9
12
15
Utböjning (mm)
18
Trendlinje K=23.63
Trendlinje K=41.05
Figur 42 - Resultat från provning, utböjning i pelarmitt med 4 cm snedställning i topp,
3 provningar
Tabell 14 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer då de har en initiell
snedställning på 4 cm i toppen. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva
Styvhet
kN/m
8.67
12.3
23.63
41.05
P1
4cm
Halv
Halv
Halv
Halv
P2
4cm
Halv
Halv
Hel
Hel
P3
4cm
Halv
Halv
Halv
Hel
För pelare med uppställning 2 kommer utböjningsformen antingen vara en hel sinuskurva
eller en halv sinuskurva enligt figur 36, beroende av fjäderstyvheten enligt avsnitt 2.4.
Utböjningsformen då pelaren böjer ut i en hel sinuskurva visas i figur 43.
39
Figur 43 - Utböjningsform för uppställning 2
I figur 44 och i figur 45 kan utböjningsformen utläsas för provkropp 3 med stagning på
mitten. Diagrammen visar utböjningen vid lägesgivarna över respektive under fjädern och
visar hur pelaren böjer ut vid dessa punkter.
Lägesgivaren för utböjningarna i undre delen av pelarna gav något hackiga värden, men
eftersom de endast var till för att visa utböjningsformerna behövde detta inte tas någon hänsyn
till.
Figur 44 visar att pelaren för de låga styvheterna går mot en halv sinuskurva då båda
lägesgivarna går åt samma håll, men en styvhet på 23.63 kN/m ger utböjning åt var sitt håll
för provkropp 3 utan snedställning, det vill säga en hel sinuskurva. Liksom tabell 12-14 har
visat så uppkommer den ideala utböjningsformen av en hel sinuskurva då fjäderstyvheten är
någonstans mellan 12.3 kN/m och 23.63 kN/m.
40
12
K=8.67 ö
10
K=8.67 u
K=12.3 ö
P (kN)
8
K=12.3 u
6
K=23.63 ö
4
K=23.63 u
K=41.05 ö
2
K=41.05 u
0
-5
0
-2
5
10
15
Utböjning (mm)
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
Figur 44 – Utböjningsform vid provning uppställning 2 utan snedställning för provkropp 3
Resultatet för provkropp 3 med en snedställning på 2 cm visar samma utböjningsform för de
respektive styvheterna enligt figur 45. I vissa provningar var det svårt för pelaren att böja ut i
en hel sinuskurva. Det krävdes då en större last för att detta skulle ske. Eftersom samma
pelare var tänkt att användas för flera mätningar skulle inte tryckhållfastheten överskridas och
detta testades således bara en gång för varje pelare.
41
12
K=8.67 ö
10
K=8.67 u
P (kN)
8
K=12.3 ö
K=12.3 u
6
K=23.63 ö
4
K=23.63 u
K=41.05 ö
2
K=41.05 u
0
-5
0
-2
5
10
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
15
Utböjning (mm)
Figur 45 – Utböjningsform vid provning uppställning 2 med 2cm snedställning för provkropp 3
I tabell 15-16 visas en sammanfattning av utböjningsformerna från provningarna med
uppställning 2.
Tabell 15 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer vid olika initiella
snedställningar. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva
Styvhet
kN/m
8.67
12.3
23.63
41.05
P1
Utan
Halv
Halv
Hel
Hel
P1
2cm
Halv
Halv
Halv
Hel
P1
4cm
Halv
Halv
Halv
Halv
P2
Utan
Halv
Halv
Hel
Hel
P2
2cm
Halv
Hel
Hel
Hel
P2
4cm
Halv
Halv
Hel
Hel
P3
Utan
Halv
Halv
Hel
Hel
P3
2cm
Halv
Halv
Hel
Hel
P3
4cm
Halv
Halv
Halv
Hel
Tabell 16 - Sammanställning av utböjningsformerna för samtliga provkroppar. Hel=Hel
sinuskurva Halv=Halv sinuskurva
8.67
12.3
23.63
41.05
Utan
3 Halv
3 Halv
3 Hel
3 Hel
2cm
3 Halv
1 Hel, 2 Halv
2 Hel, 1 Halv
3 Hel
4cm
3 Halv
3 Halv
1 Hel, 2 Halv
2 Hel, 1 Halv
Sammanställningarna visar att pelarna har lättare att böja ut i en hel sinuskurva då pelarna
saknar snedställning. Detta kan bero på att snedställningen ger en mer koncentrerad last till
toppstödet och pelaren böjer således mest ut i övre delen av pelaren.
42
3.5.1.4 Fjäderkraft för uppställning 2
Vid uppställningen med ett mittstöd kommer det på liknande sätt som för pelare utan mittstöd
bli högre krafter vid lägre styvheter. Skillnaden är att det blir ganska små fjäderkrafter på
mittstödet då pelarna böjer ut i en hel sinuskurva. Fjäderkraften i mittstödet då pelaren saknar
snedställning visas i figur 46.
12
K=8.67
10
K=12.3
K=23.63
P (kN)
8
K=41.05
6
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
Trendlinje K=8.67
4
2
Trendlinje K=12.3
0
0
50
100
150
Kraft (N)
Trendlinje K=23.63
Trendlinje K=41.05
Figur 46 - Fjäderkraft från provning, pelare med mittstöd utan snedställning, 3 provningar
I figur 47 visas fjäderkraften för pelare med 2 cm snedställning. På samma sätt som för en
pelare utan snedställning blir krafterna mindre då pelaren böjer ut i en hel sinuskurva. Det är
bara pelaren med den lägsta styvheten som ligger klart under den ideala styvheten och böjer
lätt ut och ger en hög fjäderkraft i mittstödet. Fjädern med 12.3 kN/m var strax under den
ideala styvheten och brytpunkterna visar att några serier har haft en låg fjäderkraft och böjt ut
i en hel sinuskurva.
K=8.67
12
K=12.3
10
K=23.63
P (kN)
8
K=41.05
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
Trendlinje K=8.67
6
4
2
Trendlinje K=12.3
0
Trendlinje K=23.63
0
50
100
150
Trendlinje K=41.05
Kraft (N)
Figur 47 - Fjäderkraft från provning, pelare med mittstöd och 2 cm snedställning, 3 provningar
I fallet då pelarna hade 4 cm snedställning hade pelaren svårt att böja ut i en hel sinuskurva
vid de högre styvheterna och skulle förmodligen behövt belastas mer innan ett sådant
43
beteende, se figur 48. Lasten skulle i så fall minskats i fjädrarna eller åtminstone rätats ut mot
en konstant kraft. Sådana beteenden uppkom med jämna mellanrum i försöken och kan ha
berott på att det uppstod en verkande kraft i fjädrarna från början. Detta ger pelaren en viss
initiell krokighet och den har därför lättare att börja böja ut i mitten.
12
K=8.67
10
K=12.3
K=23.63
P (kN)
8
K=41.05
6
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
Trendlinje K=8.67
4
2
Trendlinje K=12.3
0
0
50
100
150
Kraft (N)
Trendlinje K=23.63
Trendlinje K=41.05
Figur 48 - Fjäderkraft från provning pelare med 4 cm snedställning, 3 provningar
44
3.5.2 Tvärsnitt 45x140
3.5.2.1 Utböjning för uppställning 1
Utböjningen vid en last lägre än Eulers knäckningslast går att utläsa i diagrammen nedan. Den
lägsta styvheten ligger under den ideala styvheten medan de andra tre ligger över. Samtliga
provningar sker med uppställning 1.
En pelare utan snedställning visar att utböjningen ökar med lägre fjäderstyvhet i toppstödet, se
figur 49. Lasterna är inte i närheten av knäckningslasten då den teoretiska E-modulen för
pelarna används, de är dock nära knäckningslasten då den uppmätta E-modulen används.
Några av provningarna böjde knappt ut alls, vilket enbart märktes för pelare utan
snedställning.
30
K=8.67
25
K=12.3
K=23.63
20
P (kN)
K=41.05
15
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(E=7.49 GPa)
10
Trendlinje K=8.67
5
Trendlinje K=12.3
0
Trendlinje K=23.63
0
3
6
9
12
15
Trendlinje K=41.05
Utböjning (mm)
Figur 49- Resultat från provning, pelare utan snedställning, 3 provningar
Vid en snedställning på 2 cm enligt figur 50 böjer pelaren ut mer vid samma last än
provkropparna utan snedställning. Skillnaderna mellan de olika styvheterna i toppstödet ger
en klarare uppdelning av kurvorna, där en lägre styvhet ger en större utböjning.
45
30
K=8.67
25
K=12.3
K=23.63
20
P (kN)
K=41.05
15
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(E=7.49 GPa)
10
Trendlinje K=8.67
5
Trendlinje K=12.3
Trendlinje K=23.63
0
0
3
6
9
12
15
Trendlinje K=41.05
Utböjning (mm)
Figur 50 - Resultat från provning, pelare med 2 cm snedställning i topp, 3 provningar
Provkropparna i figur 51 med 4 cm snedställning i toppen kom att böja ut mer än de utan
snedställning. Det krävdes ändå en något högre last att böja ut mer än en 2 cm snedställd
pelare. Resultaten är ändå väldigt lika när brytpunkterna kontrolleras. Detta visar att små
skillnader ger ett större utslag för trendlinjerna eftersom antalet provningar var så pass
begränsade.
K=8.67
30
K=12.3
25
K=23.63
K=41.05
P (kN)
20
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
15
Teoretisk Knäckningslast
(E=7.49 GPa)
10
Trendlinje K=8.67
Trendlinje K=12.3
5
Trendlinje K=23.63
0
0
3
6
9
12
15
Trendlinje K=41.05
Utböjning (mm)
Figur 51 - Resultat från provning pelare med 4 cm snedställning i topp, 3 provningar
46
3.5.2.2 Fjäderkraft för uppställning 1
Fjäderkrafterna för provkropparna utan snedställning har samma beteende vid samma last
oavsett styvhet se figur 52. Teoretiskt ska stöden få en högre kraft då lasten närmar sig
knäckningslasten. Provningslasterna är inte nära den teoretiska knäckningslasten, utan
systemet fungerar troligtvis som en styv pelare som lutar sig mot en fjäder och kommer ge
samma kraft i fjädern oavsett styvhet.
30
K=8.67
25
K=12.3
K=23.63
20
P (kN)
K=41.05
15
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(E=7.49 GPa)
10
Trendlinje K=8.67
5
Trendlinje K=12.3
Trendlinje K=23.63
0
0
50
100
150
200
Trendlinje K=41.05
Kraft (N)
Figur 52 - Fjäderkraft från provning pelare utan snedställning, 3 provningar
Resultaten från de två snedställningarna ger samma resultat som pelaren utan snedställning,
då alla styvheter ger nästan identiska kurvor för fjäderkraften oavsett vilken styvhet som
används. Se figur 53-54.
47
30
K=8.67
25
K=12.3
K=23.63
20
P (kN)
K=41.05
15
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
Teoretisk Knäckningslast
(E=7.49 GPa)
10
Trendlinje K=8.67
5
Trendlinje K=12.3
Trendlinje K=23.63
0
0
50
100
150
200
Trendlinje K=41.05
Kraft (N)
Figur 53 - Fjäderkraft från provning pelare med 2 cm snedställning, 3 provningar
30
K=8.67
28
26
K=12.3
24
22
K=23.63
20
K=41.05
P (kN)
18
16
Teoretisk Knäckningslast
(E=11 GPa)
14
12
Teoretisk Knäckningslast (7.49
GPa)
10
Trendlinje K=8.67
8
6
Trendlinje K=12.3
4
2
Trendlinje K=23.63
0
0
50
100
150
200
Trendlinje K=41.05
Kraft (N)
Figur 54 - Fjäderkraft från provning pelare med 4 cm snedställning, 3 provningar
48
3.6 Stabilitetslaster
Diagrammen nedan grundar sig på provningsresultaten vid en kritisk utböjning på L/50, det
vill säga 4 cm (vilket motsvara en oacceptabelt stor utböjning vid dimensionering av bärverk).
Detta jämförs med den teoretiska knäckningslasten för de olika provningsuppställningarna.
3.6.1 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 1
För att stödet ska böja ut 4 cm i toppstödet måste lasten överstiga den teoretiska
knäckningslasten då styvheten är över 10 kN/m, se figur 55.
4
Provdata
3.5
3
Teoretisk
Knäckningslast
(E=11 GPa)
P (kN)
2.5
2
1.5
Trendlinje
Knäckningslast
1
0.5
0
0
10
20
30
Fjäderstyvhet (kN/m)
Teoretisk
Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
Figur 55 - Knäckningslaster från provning, vid 4 cm utböjning i toppstöd
För att pelaren ska böja ut 4 cm i mitten vid en varierande stagning i toppen så är lasten under
den teoretiska knäckningslasten, se figur 56. Det betyder att pelaren inte klarar av att belastas
till Eulers knäckningslast.
3
Provdata
2.5
P (kN)
2
Teoretisk
Knäckningslast
(E=11 GPa)
1.5
1
Trendlinje
Knäckningslast
0.5
0
0
10
20
Fjäderstyvhet (kN/m)
30
Teoretisk
Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
Figur 56 – Knäckningslaster från provning, 4 cm utböjning i mitten av pelaren
3.6.2 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 2
Figur 57 visar provningarna då ett stöd är placerat på mitten. Mätvärdena har valts antingen
då pelaren böjt ut vid stödet i mitten, eller då pelaren böjer ut mellan toppstödet och
mittstödet, beroende på var utböjningen på 4 cm sker först. Detta har gett en knäckningslast
som stämmer bra överens med det teoretiska lastvärdet.
49
14
Provdata
12
P (kN)
10
Teoretisk
Knäckningslast
(E=11 GPa)
8
6
Trendlinje
Knäckningslast
4
2
Teoretisk
Knäckningslast
(E=8.81 GPa)
0
0
10
20
30
40
50
Fjäderstyvhet (kN/m)
Figur 57 – Knäckningslaster från provning vid 4 cm utböjning då pelaren har ett stöd på mitten
3.6.3 Tvärsnitt 45x140 vid uppställning 1
Knäckningslasten för pelaren med avseende på deformationen i toppstödet visar att pelaren
belastas långt under den teoretiska knäckningslasten då stödet deformeras 4 cm, se figur 58.
Provdata
35
30
Teoretisk
Knäckningslast
(E=11 GPa)
P (kN)
25
20
Trendlinje
Knäckningslast
15
10
5
0
0
10
20
30
40
50
Teoretisk
Knäckningslast
(E=7.49 GPa)
Fjäderstyvhet (kN/m)
Figur 58 – Knäckningslaster från provning, 4 cm utböjning i toppstöd
Provningsresultatet för det grövre tvärsnittet visar att den teoretiska knäckningslasten ligger
bra mycket över vad provkropparna klarade att belastas med. Lasten då pelaren deformeras 4
cm i mitten ligger under hälften av den teoretiska knäckningslasten enligt figur 59.
50
Provdata
35
30
Teoretisk
Knäckningslast
(E=11 GPa)
P (kN)
25
20
15
Trendlinje
Knäckningslast
10
5
0
0
10
20
30
40
Fjäderstyvhet (kN/m)
50
Teoretisk
Knäckningslast
(E=7.49 GPa)
Figur 59 - Knäckningslaster från provning, 4 cm utböjning i mitten av pelaren
51
3.7 Diskussion och slutsatser från provningarna
Provningarna som sammanställs i figur 56-57 visar resultat som stämmer bra med teorin, men
det finns även resultat som är avvikande, figur 55, 58-59. Detta är väntat då testerna är gjorda
med få provkroppar och materialegenskaper dem sinsemellan kan skilja sig mycket.
Diagrammen för provningarna av det slanka tvärsnittet visar att flera laster kommer upp i
högre värden än Eulers knäckningslast, det ska inte vara möjligt. För det grövre tvärsnittet
ligger lasterna bra mycket under Eulers teoretiska knäckningslast, vilket är väntat.
Provningarna för det slanka tvärsnittet visar att pelarna med de lägre fjäderstyvheterna böjer
ut mer då fjäderstyvheten är lägre och det går snabbare mot en stor kraft i stagningen då
pelaren närmar sig knäckningslasten. Lasterna då provkropparna går till brott stämmer också
bra med teoretiska värden.
Resultatet av provningarna bekräftar att teorin är applicerbar på verkligheten enligt
diskussionen och slutsatserna i 3.7.2 och 3.7.3. Resultatet visar också på avvikelser gentemot
teorin som kan bero på flera felkällor vilka beskrivs i 3.7.1.
3.7.1 Felkällor
Det finns många felkällor vid denna typ av laborationer då instabilitetsfenomen är väldigt
känsliga för stödens placering och lastens excentricitet.
Det visade sig svårt att placera mätcellerna på det ställe där pelarna knäcker ut som mest,
vilket ger en viss avvikelse i resultatet mellan de olika mätserierna. Det hade varit optimalt att
ha fler mätceller utefter pelaren för att få en korrekt bild av utböjningen och hur stor den
maximala deformationen blir.
Kolven som belastar som en led i ovankant kan ge en viss stabilisering av pelarens ovankant,
se avsnitt 3.5. Detta påverkar främst resultatet för tvärsnitt 22x95 då det slankare tvärsnittet
lätt blir lite inspänt i toppen, vilket inte har lika stor inverkan på det mindre slanka tvärsnittet
45x140 (Roberto Crocetti Konstruktionsteknik LTH).
Den uppmätta E-modulen visar att pelarnas egenskaper varierar, även individuella
imperfektioner i träet som kan vara svårt att upptäcka okulärt kan vara en bidragande orsak till
variationen i resultatet.
Felkällorna som tagits fram för rapportens provningsuppställningar är mycket viktiga att
undvika för att få korrekta resultat som kan jämföras med de teoretiska värdena. Detta är bra
att tänka på vid liknande provningar som utförs i forskningssyfte.
3.7.2 Fjäderkrafter
Tvärsnitt 22x45 med stöd i topp:
Styvheterna i tryckfjädrarna låg över den ideala styvheten och skillnaden i kraft var ytterst
liten vid dessa provningar då pelaren var helt vertikal. När pelarna var snedställda vid
provningarna visade det sig att utböjningen och lasten som verkar i stödet sker tidigare för den
lägsta styvheten och pelarkonstruktionen klarar därmed inte lika höga laster vid en lägre
styvhet. Fjäderkrafterna som uppkommer vid knäckningslasten är under 10 procent av den
52
påförda lasten, men är ändå över den teoretiska fjäderkraften. Då pelarna är belastade med
Eulers knäckningslast är den uppmätta fjäderkraften mycket nära den teoretiska enligt
tabell 10.
Tvärsnitt 22x45 med stöd i mitt:
Här visade sig tydligt ett beteende av att krafterna blir lägre i fjädrarna för de högre
styvheterna. De två lägsta styvheterna ligger nära den ideala styvheten och kommer vid stöd
på mitten att bli mer belastade eftersom de inte är tillräckligt styva för att pelaren ska böja ut i
en hel sinuskurva. Kraften är i storleksordningen enligt de teoretiska värdena i tabell 11.
Tvärsnitt 45x140 med stöd i topp:
Resultatet visar inte så klara skillnader som vid det mindre tvärsnittet. Det ser ut som att
kraften i fjädern med lägre styvhet blir lägre. Detta beror på att denna inte kan tryckas ihop
mer än någon centimeter vilket ger en högsta kraft på 100 N och kommer därför snabbt att
tryckas ihop och nå stödets maxlast. Krafterna går annars i samma linje. Lasterna kommer
inte upp i Eulerknäckningslasten, vilket enligt teorin är då den stora skillnaden i fjäderkrafter
uppstår.
Allmänt:
Rapportens provningsresultat för fjäderkrafterna visar att teorin är väl applicerbar på
verkligheten vad gäller styvhetens inverkan då belastningen närmar sig Eulers knäckningslast.
När pelaren närmar sig knäckningslasten så ökar fjäderkraften markant. Det visade sig också
att vid en lägre styvhet så uppkom den stora ökningen i fjäderkraft vid en lägre tryckkraft,
vilket är riktigt enligt teorin. Fjädrarna kunde inte heller tryckas ihop så mycket, då de minsta
fjädrarna var väldigt slanka, detta gav ett lågt maxvärde innan de blev helt hoptryckta och
därmed helt styva. Det syns också tydligt i diagrammen att vid ett stöd på mitten, så verkar
små krafter på mittstödet när den ideala styvheten överskrids och pelaren böjer ut i en hel
sinuskurva. Kraften kommer istället föras över till det övre och det undre stödet medan det
blir jämvikt vid mittstödet.
Resultatet i provningarna visar att en verkligt rak pelare kommer att få fjäderkraft i toppstödet
eftersom en helt rak pelare inte är realistisk, speciellt inte för ett anisotropt material som trä.
Teorin om att en rak pelare inte får någon fjäderkraft i toppstödet bör därför inte användas vid
beräkning, istället ska en initiell snedställning alltid beaktas.
Provningarna visar att pelare som inte är slanka nog att belastas till en utböjningsform enligt
Euler inte kommer att få en ökad fjäderkraft då toppstödets styvhet är låg, fjäderkraften blir
densamma oavsett vilken styvhet som används då pelaren belastas.
3.7.3 Eulers knäckningslast
Resultatet stämmer bra med teorin i flera fall, men det är också anmärkningsvärt att lasten vid
flera provningar ligger över Eulers knäckningslast. Det är inte rimligt, men kan förklaras av
flera möjliga felfaktorer för provningsuppställningar av denna typ som tagits fram i rapporten
enligt avsnitt 3.5. Den teoretiska ideala styvheten för den slanka pelaren med mittstöd
stämmer bra i provningsresultatet, utböjningsformen av en hel sinuskurva kunde tydligt
53
påvisas vid styvheter högre än den ideala styvheten. Det betyder att teorin är väl
tillämpningsbar på verkligheten när styvheten i pelarens stabiliserande stöd ska beräknas.
Deformation som i rapporten används som krav vid knäckningslast i avsnitt 3.6 ser ut att vara
ett bra riktvärde för det slankare tvärsnittet där det verkar stämma bra med den teoretiska
knäckningslasten.
Lasterna vid provningarna för det grövre tvärsnittet ligger långt under det teoretiska värdet på
Eulers knäckningslast. Detta gäller för samtliga styvheter. Provningarnas maxlast för det
grövre tvärsnittet stämmer dock bra med beräkningen som gjordes i avsnitt 3.4.3, då det
karakteristiska värdet på maxlasten beräknades till 15.9 kN. Det visar att rapportens
provningar stämmer bra med teorin och bekräftar att felkällorna gör mindre inverkan på ett
grövre tvärsnitt. Det något lägre värdet på maximal last vid de lägre styvheterna betyder att
pelaren kommer att vara instabil innan den belastas med sitt maxvärde, vilket är riktigt enligt
teorin.
I denna studie begränsas värdet för utböjningen till L/50 för att kunna använda något
riktmärke för knäckningslasten. Om utböjningen hade begränsats till ett annat värde så hade
det givetvis påverkat resultatet för uppskattad knäckningslast. Det anses ändå att vid denna
utböjning kunde inte pelarna belastas mycket mer då utböjningen hade ökat mer utan att en
betydande lastökning hade uppstått.
54
4 Studieobjekt:
Studieobjekt: Uddevalla ridhus
I februari 2010 rasade delar av ridhuset i Uddevalla till följd av den stora snölast
snölast som verkade
under denna period. Det började med att norra halvan rasade in medan två ramar
ramar rasade
rasade in
in
några veckor senare efter ett nytt snöfall. Två ramar stod kvar då rivningsarbetet påbörjades.
påbörjades.
4.1
.1 Beskrivning av systemet
Uddevalla rid
ridhus
hus är en limträk
limträkonstruktion
onstruktion med måtten 25x43m och en noc
nockhöjd
khöjd på 9.3m
9. m och
uppbyggnad enligt figur 60
60.. Stommen har
ha ett bärande system av ramar med spännvidd på
24.5m, bestående av inspända pelare och treledsramar med dragband. Ramarna
Ramarna har
har ett
ett
centrumavstånd på 6m. Taket är uppbyggt av trapetsprofilerad stålplåt liggandes på åsar av
fingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggar samt vindstag i gavlarna
stomstabiliserar byggnaden
byggnaden.. Vindkryssen i taket ligger i ett plan under knutpunkterna mellan
åsar och takbalkarna,
takbalkarna, vilket leder ti
till
ll excentriciteter och försämrar konstruktionen ur
stabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt
väggplåt och
och är
är fästa
fästa på
på
väggreglar.
Figur 60 - Uddevalla ridhus, stomme i 3d
55
I tabell 17 visas dimension och material på samtliga bärande element.
Tabell 17 – Bärande element
ELEMENT
Pelare långsida
Pelare hörn
Pelare gavlar
Pelare gavlar mitt
Takbalkar
Takbalkar gavlar
Takåsar
Väggreglar
Dragband
Hanbalk
Dragstag gavlar
MATERIAL
L40
L40
L40
L40
L40
L40
K24
K24
Ks600s (sträckgräns 590 MPa)
K24
Hålband
STORLEK (mm)
215x450
115x225
115x315
140x315
115x675
66x360
45x195
45x170
D=25
165x180
60x2.0
Enligt SP Trätek [9] har vid okulära besiktningar kunnat konstateras flera brister i
konstruktionen.
Efter raset stod ett närliggande ridhus kvar med intakt snötäcke och med hjälp av det kunde
snömängden på taket uppskattas vid rastillfället, vilket var betydligt tjockare på den västra
sidan av taket än på den östra. Vid granskning av rasmassorna ansågs åsar, väggreglar och
detaljer i takpartiet vara mycket enkelt utförda. När rasmassorna undersöktes, kunde en viss
förskjutning i horisontalled uppvisas i de östra pelartopparna och att de då hade fallit utåt.
Klossbrott uppmärksammades i dessa pelares infästning till grunden.
Dragstagens muttrar på östra sidan var inte korrekt åtskruvade. Likaså var de dåligt
påskruvade i väster, dessutom hade brickor i ett dragstag inte monterats alls. Detta har
undersökts och visat sig vara en stor anledning till brott.
Hanbalken var inte korrekt utförd enligt ritningarna, ett mothållande block saknades på
balken. Dessa satt ändå kvar i rätt position efter raset och ska förmodligen inte vara en
bakomliggande orsak till brott.
De ramar som rasade ingick alla i vindkryssen, detta kan bero på att urtag hade gjorts för
infästning av vindkryssen och nära 50 procent av tvärsnittet hade tagits bort. Sprickor hade då
skett i nivå med dessa urtag.
Utredningen som görs i denna rapport kommer att undersöka konstruktionens stabilitet och
hur konstruktionen skulle klara sig vid en korrekt uppbyggnad efter tillhörande ritningar.
Figur 61 visar bilder på konstruktionen efter raset och figur 62 visar anslutningar vid nock och
pelar-balk.
56
Figur 61 – Bilder efter raset
Figur 62 – Till vänster: Taknock, hanbalk och åsar. Till höger Upplag och infästning av
takstolar och dragband
57
4.2.2 Geometri
I figur 63 visas geometrin för en ram genom ridhuset, med tillhörande koordinatsystem.
Z
Y
X
Figur 63 - Geometri
4.2.3 Randvillkor ram
Åsarnas infästningar till takbalkarna kan inte uppta något moment, men ger en viss låsning
vinkelrätt takbalkarna. Infästningen mellan takbalk och pelare kommer vara förhindrad att
röra sig transversellt men antas ledad i samtliga riktningar. Hanbalken och taknocken
modelleras med ledad infästning. Tabell 18 visar lokala riktningar för samtliga infästningar
enligt figur 63.
Tabell 18- Randvillkor
Infästning
Mx
My
Takås-takbalk
Väggreglarpelare
Takbalk-pelare
Taknock
Hanbalktakbalk
Pelare-grund
Styv
* Beräknad styvhet enligt kapitel 4.3
Mz
-
x
-
y
Varierar*
Varierar*
z
-
-
Styv
Styv
Styv
Styv
Styv
Styv
Styv
Styv
Styv
Styv
Styv
Styv
Styv
4.3 Antaganden
En modell med och utan pelare undersöktes för att få en uppfattning om hur pelarna spelar in i
konstruktionen. Med detta konstaterades att resultaten påverkas av pelarnas eftergivlighet och
valet blev därför en modell med pelare. Därför var hänsyn till väggreglarnas och takåsarnas
styvheter viktiga för modellen.
58
För att modellen skulle få en mer korrekt sidostagning behöver takåsarnas och väggreglarnas
styvhetsbidrag beräknas för deras normalkraftsriktning. Hela konstruktionen i sig ger också
ett bidrag som måste beaktas vid den totala stagningen. Den totala stagningen beräknas enligt
ekvation 4.1.
1
,är styvheten i takåsens infästning
1
=
1
+
(4.1)
är styvhetsbidraget från hela konstruktionen
Takåsar
Takåsarna har traditionella takåsinfästningar mot var sida av takbalken med 6 ankarspikar
60x4.0 i takås och 6 ankarspikar i takbalk. Takåsarnas styvhetsbidrag beräknas ur ekvation
4.2.
=
(4.2)
är antalet spikar som verkar vid normalkraft i takåsen
är den verkade tvärkraften vid instabilitet och uppskattas till 40 % av maximal last
är glidningen vid F och avläses ur diagram i Traekonstruktioner Forbindelser [5] till 0.6mm
= 150
Väggreglar
= 12
.
∙ 1.25 = 1.98
0.4 ∙ 1980
= 15840
0.6
/
Samma beräkning gäller för väggreglarna som är infästa med två vinkeljärn med 4
ankarspikar i regeln och 6 ankarspikar i pelaren. De nedersta reglarna är dock infästa med 6
spikar i regeln och pelaren vardera.
Nedersta väggregeln
0.4 ∙ 1980
= 15840
0.6
/
0.4 ∙ 1980
= 10560
0.6
/
= 12
Övriga väggreglar är infästa med 4 ankarspikar på var sida om regeln vilket ger styvheten:
Övriga väggreglar
Konstruktionens bidrag
=8
59
För att få hela konstruktionens bidrag så har en balkmodell med alla stabiliserande element
uppförts
uppförts, se figur 64.
6 Beräknade styvheter för takåsarnas och väggregl
väggreglarnas
arnas infästningar är
inkluderade i modellen.
Figur 64 - 3D modell för beräkning av konstruktionens stabiliserande bidrag
Ramen som ska analyseras i en 2D modell har reducerats i modellen ovan. 1N Horisontella
laster förs på takåsarna där anslutningen till ramen ska finnas. Utböjningarna
Utböjningarna ii dessa
dessa punkter
punkter
ger sedan konst
konstruk
ruktionens
tionens styvhetsbidrag. Figur 665 visar numrering för väggreglar
vä greglar och
takåsar, detta speglas med samma värden på andra halvan av ramen.
6
7
8
9
10
11
12 13
14 15
5
4
3
2
1
Figur 65 - Numrering av takåsar och väggreglar
60
Tabell 19 - Konstruktionens styvhetsbidrag till takåsar och väggreglar
Väggregel/Takås
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Utböjning (mm)
0.000204
0.00103
0.00170
0.00219
0.00255
0.00897
0.0116
0.0134
0.0137
0.0127
0.0111
0.00975
0.00889
0.00885
0.00976
Kkonstr (N/mm)
4902.0
970.9
588.2
456.6
392.2
111.5
86.2
74.6
73.0
78.7
90.1
102.6
112.5
113.0
102.5
Med eftergivligheten i takåsarna så blir de totala styvheterna enligt tabell 19, med numrering
enligt figur 65.
Beräkning av total styvhet sker enligt exempel för regel 1:
1
→
=
. /
=
1
1
+
15840 4902
I tabell 20 visas den totala styvheten för takåsarna och väggreglarna med numrering enligt
figur 65.
Tabell 20 - Total styvhet i beräkningsmodellens väggreglar och takåsar
Väggregel/Takås
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Utböjning (mm)
0.000204
0.00103
0.00170
0.00219
0.00255
0.00897
0.0116
0.0134
0.0137
0.0127
0.0111
0.00975
0.00889
0.00885
0.00976
61
Ktot (N/mm)
3743.5
914.8
567.1
433.8
382.7
110.7
85.7
74.3
72.7
78.3
89.6
101.9
111.7
112.2
101.8
För stabilitet mot last på långsidan kommer takåsar och väggreglar inte ge något nämnvärt
bidrag. Denna styvhet kommer därför främst komma från pelarnas inspända infästningar till
grunden.
4.4 Modeller
Modellerna som används vid beräkningen är uppställda i Fem-Design 9.0. I analysen har ett
antal uppställningar undersökts. Både balkelement och skalelement har används då dessa ger
olika resultat vid en stabilitetsanalys. Skalelementen är bättre när det kommer till fenomen så
som vippning av konstruktionen, då excentriciteter och lokala spänningar är lättare att utreda.
Balkelementen är bättre att använda då krafter skall undersökas för att analysera
normberäkningar.
4.5 Val av element
Vid val av balkelement i modellen gjordes en kontroll när värdena konvergerar. Resultat vid
en stabilitetsanalys visade att 25 element var fullt tillräckligt för samtliga delar i
konstruktionen förutom dragbandet som sattes till 1 element. Att sätta dragbandet till 1
element är rimligt då detta enbart skall belastas med dragkraft. Värdet på stabilitetslasten, då
modellen blir instabil vid en stabilitetsanalys i FEM-design, ändras inte så mycket med fler än
1 element, men det varierar mer när fler än 30 element används. Att det ger samma resultat
med 1 element beror på att balkar respektive pelare automatiskt delades in i 1 element mellan
varje takås eller väggregel och de blev således redan uppdelade i flera element.
Vid kontroll av skalelementsmodellen gjordes på samma sätt en stabilitetsanalys och
undersökning när denna konvergerade. Detta visar att en indelning med element mindre än 13
cm ger ett mindre varierande värde på stabilitetslasten. Vid kontroll av andra
utböjningsformer så blir dessa mer konstanta ju finare indelning som anges. Valet blir 5 cm
för att vara säker på att indelningen är tillräckligt fin och för att denna storlek ger ett värde
som anses vara mer på säkra sidan. Se tabell 21 för skillnader mellan olika element vid en
jämnt utbredd last. I figur 66 visas indelningen av element för skalmodellen och
balkmodellen.
Figur 66 - Elementindelning. Till vänster: skalmodell. Till höger: Balkmodell
62
Tabell 21 – Val av antal element för balkmodell samt för skalmodell
Antal balkelement
Per balkdel
Stabilitetslast
kN/m
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
5.600
5.605
5.605
5.605
5.610
5.600
5.618
5.634
5.673
5.736
5.276
5.301
5.242
Storlek på
skalelement
cm
20
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
Stabilitetslast
kN/m
3.496
3.556
4.071
3.942
4.206
3.948
3.994
3.976
3.954
3.990
3.814
3.920
3.922
4.6 Laster
De lastkombinationer som kommer att undersökas är en jämnt utbredd snölast och en ojämn
snölast, båda tillsammans med en vindlast och byggnadens egentyngd.
Snölast
Då mätningar gjordes på plats vid rasplatsen har det konstaterats att snölasten var betydligt
större på läsidan och har uppskattats till förhållandet 1:2 mellan lovart och lä, vilket kommer
att användas vid den ojämna lasten.
Snölasten vid raset har uppskattats på plats enligt SP Trätek [9] till 0.7-0.8 kN/m2 på
lovartsidan och 1.4-1.5 kN/m2 på läsidan med det större värdet vid nocken. Detta ger en last
på ramen med 6 meter spännvidd till 4.2-4.8 kN/m på lovartsidan och 8.5-9 kN/m på läsidan.
Lasterna kommer att antas belasta som en utbredd last över takbalken då takåsarna ligger med
ett så pass tätt avstånd.
Vindlast
Vindlasten har antagits då detta inte var noterat vid rastillfället. Detta har enligt Eurocodes
svenska standard [6] en referenshastighet på 25 m/s och med terrängtyp II givit en
karakteristisk vindlast till 0.81 kN/ m2. Detta ger en karakteristisk vindlast:
På långsidan
,
På kortsidan till
,ä
,
= 0.81 ∙ 0.8 = 0.648
/
= 0.81 ∙ −0.5 = −0.405
/
= 0.81 ∙ 0.8 = 0.648
/
63
,ä
= 0.81 ∙ −0.5 = −0.405
/
,
= 0.648 ∙ 6 = 3.888
/
Detta ger en last på pelarna i x-led till
,
= 0.405 ∙ 6 = 2.43
/
Eftersom ramen är 25 meter bred med uppdelning av vind på 8 ramar så ges lasten per pelare i
y-led till
=
,
,
=
0.648 ∙ 25
= 1.013
2∙8
0.405 ∙ 25
= 0.633
2∙8
/
/
Eftersom det inte går att avgöra vilka vindlaster som var rådande vid raset, så kommer
vindlasterna att hållas konstanta i modellen med ett karakteristiskt värde. Detta för att ha ett
värde som motsvarar mer riktiga förhållanden, då inga säkerhetsfaktorer tillsätts. I
beräkningarna kommer undersökas huruvida vindlasten ger positiv eller negativ inverkan på
konstruktionen.
4.7 Analys Ram
En stabilitetsanalys kommer att göras i beräkningsmodellen för att kontrollera för vilka laster
konstruktionen blir instabil. Dessutom kommer en vidare analys genomföras för att
kontrollera flera troliga brottorsaker. En extra kontroll kommer att göras för hanbalken och
takåsarna för att undersöka hur dessa komponenter inverkar på konstruktionen och hur de
klarar lasterna.
4.7.1 Stabilitetsanalys
Skalelement
En stabilitetsanalys av skalmodellen utfördes i beräkningsmodellen för att visa när
konstruktionen blir instabil. Detta gjordes för två lastuppställningar, en med jämnt fördelad
last över hela takbalken och en med ojämnt fördelad last över takbalken. Ojämnt fördelad last
innebär i detta fall att ena halvan av takstolen hade dubbelt så mycket last som den andra
sidan, så som visade sig råda vid raset. De laster som konstruktionen klarade visas i tabell 22.
Utböjningsformen går att se i figur 68, där visas att takbalken böjer ut i underkant.
Tabell 22 - Laster då konstruktionen blir instabil för skalmodellen
Lastuppställning
Jämn last
Ojämn last
Last (kN/m)
3.92
2.58 resp. 5.16
Vid kontroll utan vindlast så är skillnaden i resultatet försumbar.
64
Om takåsar och väggreglar istället sätts helt styva i horisontalled så kommer konstruktionen
klara en större last enligt tabell 23.
Tabell 23 - Laster då konstruktionen blir instabil när styvheterna i väggreglar och takåsar är
oändligt stora för skalmodellen
Lastuppställning
Jämn last
Ojämn last
Last (kN/m)
6.1
4.25 resp. 8.5
Figur 67 visar spänningarna i ena balken utsatt för den ojämnt fördelade lasten, strax innan
stabilitetsbrott. Det blir både drag- och tryckspänningar i båda sidorna av balken, vilket visar
på en obalans med en vippande rörelse av balken.
Figur 67 - Övre två bilderna visar ena sidans spänningar (MPa), de två nedre visar den andra
sidan
65
Figur 68 – Utböjningsmoder för skalmodellen (övre bilden) och balkmodellen (nedre bilden)
Balkelement
En modell med balkelement uppfördes med samma lastförutsättningar som skalmodellen.
Resultatet i tabell 24 visar på viss skillnad i stabilitetslasterna vid stabilitetsanalysen av
konstruktionen med balkelement gentemot skalelement. Utböjningsmoden för skalelement
respektive balkelement går att se i figur 68, där utböjningen visas från två vinklar.
Balkelementet visar att takbalken böjer ut i underkant på samma sätt som skalmodellen. I
balkmodellen måste excentriciteter mellan balk och pelare gentemot påförd last och balk
modelleras med enskilda element med hjälp av verktyget ”fictitious bar”, eftersom balk,
pelare och last annars kopplas till samma noder. Elementen syns i figur 68 som kopplingar
mellan överkant och underkant takbalk.
Tabell 24 - Laster då konstruktionen blir instabil för balkmodellen
Lastuppställning
Jämn last
Ojämn last
Last (kN/m)
5.60
3.7 resp. 7.4
Lasten gäller utan vindlast, då det gav ett något värre fall men skillnaden är försumbar.
66
Om takåsar och väggreglar istället sätts helt styva så ger resultatet stort utslag även för
balkmodellen, se tabell 25.
Tabell 25 - Laster då konstruktionen blir instabil när styvheterna i väggreglar och takåsar är
oändligt stora för balkmodellen
Lastuppställning
Jämn last
Ojämn last
Last (kN/m)
7.05
4.75 resp. 9.5
Balkmodellen får samma utböjningsform som i figur 68, men lasterna som krävs för en
instabil struktur är större.
Av analysen kan alltså tydligt visas att åsarnas och reglarnas styvhet spelar märkbart in på
konstruktionens stabilitet.
4.7.2 Normberäkningar
Beräkning görs för modellen med rätt styvheter och en belastning med egentyngd, uppskattad
osymmetrisk snölast vid raset och beräknad vindlast. Vid kontroll i FEM-Design utan
säkerhetsfaktorer så klarar sig konstruktionen. Hanbalken för knäckning har en
utnyttjandegrad på 61 %. Den mest belastade takbalken har utnyttjandegraden 97 % för
vippning, vilket är ett mycket högt värde, speciellt med hänsyn till dimensionering eftersom
inga säkerhetsfaktorer har använts. Vid normberäkningarna ger vindlasten ett visst positivt
bidrag till konstruktionen och värdena gäller då vid värsta fallet, utan vindlast. Med vindlast
blir värdena istället 109 % för hanbalken och 83 % för balkarna.
4.8 Hanbalkens inverkan
En jämförelse mellan konstruktionen med respektive utan hanbalk har gjorts.
Uppställningarna som har undersökts är desamma med den enda skillnaden att hanbalken har
tagits bort.
4.8.1 Stabilitetsanalys utan hanbalk
Skalelement
Utböjningsmoden med skalelement blir densamma som med hanbalk, att takbalken böjs ut i
underkant, se figur 70. Om man jämför med tabell 22 är instabilitetslasten väsentligt lägre
utan hanbalk enligt tabell 26.
Tabell 26 - Laster då konstruktionen blir instabil för skalmodellen utan hanbalk
Lastuppställning
Jämn last
Ojämn last
Last (kN/m)
2.81
1.85 resp. 3.7
67
Balkelement
Vid en stabilitetsanalys av konstruktionen utan hanbalk blir instabilitetslasten lägre även för
balkmodellen enligt tabell 27, jämför med tabell 24. I figur 70 visas hur takbalkarna böjs ut i
underkant.
Tabell 27 - Laster då konstruktionen blir instabil för balkmodellen utan hanbalk
Lastuppställning
Jämn last
Ojämn last
Last (kN/m)
5.25
3.45 resp. 6.9
Figur 70 - Utböjningsmod utan hanbalk för skalmodellen (övre bilden) och balkmodellen (nedre
bilden)
4.8.2 Normberäkningar
Beräkning görs för modellen med rätt styvheter och en belastning med egentyngd, uppskattad
osymmetrisk snölast vid raset och beräknad vindlast. Då hanbalken inte avlastar takbalkarna
kommer den värst utnyttjade takbalken inte att klara sig, den kommer att utnyttjas 106 % för
knäckning, men även 99 % för vippning och 95 % för kombinerad böjning och tyck.
Kraft och spänning med och utan hanbalk
Den ojämnt fördelade stabilitetslasten för balkmodellen utan hanbalk används för att se vilka
krafter som uppkommer i konstruktionen vid samma last, se tabell 28.
68
Tabell 28 – Resultat vid normberäkningar för balkmodell med respektive utan hanbalk
Kraft/Spänning
Normalkraft takbalk
Normalkraft pelare
Normalkraft dragband
Normalkraft hanbalk
Moment takbalk
Moment pelare
Moment hanbalk
Tvärkraft takbalk
Tvärkraft pelare
Tvärkraft hanbalk
Normalspänning takbalk
Normalspänning pelare
Normalspänning dragband
Normalspänning hanbalk
Med hanbalk
-192 kN
-92 kN
170 kN
168 kN
145 kNm
18 kNm
0 kN
35 kN
14 kNm
0.3 kN
-19 MPa
-4 MPa
1.6 GPa
-6 MPa
Utan hanbalk
-150 kN
-92 kN
128 kN
193 kNm
25 kNm
0
46 kN
15 kN
-24 MPa
-5 MPa
1.5 GPa
-
Resultatet visar att hanbalken är en viktig komponent när det kommer till stabilitet av
konstruktionen. Den avlastar även spänningarna i takbalkarna när momentet och tvärkraften
minskas i balken. Den ger dock en större normalkraft i balken och dragbandet, samt en lokal
kraft vid hanbalkens infästning.
4.9 Takåsar
Takåsarna har undersökts för sig då dessa inte är med i den ram som analyserats ovan mer än i
form av ett stabiliserande stöd. Uppställningen ses i figur 71, den visar en takås med upplag
på tre takbalkar. Fingerskarvar finns på var sida om stödet i mitten och på insidan om
ytterstöden.
Figur 71 – Skalmodell (till vänster) och balkmodell(till höger) för takås
69
Leder
Takåsarna är skarvade med 6 spikar,
spikar deras
eras placering kan ses i figur 722.
Y
Z
X
Figur 72
7 - Skarvning av takåsar
De streckade linjerna visar origo i figuren och tyngdpunkt mellan spikarna kan beräknas
beräknas till
till
=
60 + 20 − 60 − 20 + 40 + 0
= 6.67
6 67
6
=
10 ∙ 4 − 10 ∙ 2
=3
3.33
33
6
Styvheten i lederna
100x3.4
Spikarna
pikarna har dimensionerna 100x3.
4 mm vilket ger en infästning med styvheter i transversella
riktningar till
= 150
=6
.
25 = 1
1.2
∙ 1.25
2
0.4
4 ∙ 1200
= 4800
4800
0..6
/
För att få ut rotationsstyvheten runt zz-axeln
axeln används enligt Gustafsson [12]
[12]
∙
=
70
(4..3)
där
är spikarnas individuella styvhet i transversell riktning
är spikarnas individuella hävarm till tyngdpunkten
= 4800(67.0 + 27.49 + 14. 91 + 53.75 + 35.9 + 14.9 ) ∙ 10
= 47.36
/
Detta är något förenklat då inverkan av vinkeländringen inte tas till hänsyn, men denna anses
försumbar.
Randvillkor
Takåsen ligger parallellt med x-led. Styvheten i takåsarnas upplag tas ur tidigare beräkningar
till 15840 kN/m i transversella riktningar. Takplåtens infästning antas ge full transversell
stagning i ovankant. Randvillkoren för takåsarna sammanfattas i tabell 29.
Tabell 29- Randvillkor takåsar
Infästning
Fingerskarv
Takås-takplåt
Takås-takbalk
Mx
styv
-
My
styv
-
Mz
47.36
-
x
4800
styv
15840
y
4800
Styv
15840
z
4800
styv
15840
4.9.1 Stabilitetsanalys takåsar
Takåsarnas båda modeller belastas med en jämnt utbredd last. Vid en stabilitetsanalys så
klarar takåsarna i balkmodellen en maximal last på 15.2 kN/m. Skalelementmodellen klarar
en maximal last på 12.1 kN/m. Utböjningsmoderna för modellerna går att se i figur 73.
Lasten då takåsarna blir instabila är relativt hög för en takås. Nedan visas resultat från
normberäkningarna i FEM-design för att kontrollera takåsarnas bärförmåga vid raset.
Figur 73 - Utböjningsmoder för takåsar (skalelement till vänster, balkelement till höger)
71
4.9.2 Normberäkningar
Den verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta fallet med c/c 1.5 m och snölast på
1.5 kN/m 1.5
5 ∙ 1.5
5 = 2..25
25 / . Vid en kontroll i FEM
FEM--design
design med balkelement så blir
utnyttjandegraden utan säkerhetsfaktorer 186 % för kombinerad böjning och drag och 162 %
för vippning.
Maximala tryck
tryck-- och dragspänningar undersöks i skalmodellen vid 2..25
25
visas att spänningarna överskrider materialets egenskaper för C24 virke.
/
last. I figur 74
Figur 74 – Tryck
Tryck- och dragspänningar (MPa) i takåsar vid 2.25 kN/m last
Detta betyder att takåsarna inte klarar belastn
belastningen
ingen som var rådande vid raset, men det blir
inget instabilitetsbrott utan istället ett materialbrott i takåsarna.
4.10
10 Vindkryss
Vindk
Vindkryssen
ryssen är excentriskt placerade enligt figur 775 och ger upphov till stora spänningar i
takbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en
en balkmodell
balkmodell för
för
hela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället.
rastillfället. De
De kkrafter
krafter som
uppstår förs sedan in i tidigare skalskal respektive balkmodell för att undersöka den inverkan
som uppstår vid lasten från vindkryssen.
vindkryssen
Figur 75
5 - Placering av vindkryss
Vindlast
Vindlasten ger en last på pelarna på långsidan till
,
,
888
= 0.648
0 648 ∙ 6 = 3.888
888
43
= 0.405
0 405 ∙ 6 = 2.43
72
/
/
För pelarna på kortsidan blir vindlasten
,
= 0.648 ∙ 6.235 = 4.040
/
= 0.405 ∙ 6.235 = 2.525
,
/
De yttersta pelarna belastas med halva värdet.
Snölast
Snölasten vid raset har uppskattats på plats till 0.7-0.8 kN/m2 på lovartsidan och 1.4-1.5
kN/m2 på läsidan med det större värdet vid nocken.
Detta ger en last på takåsarna på lovartsidan till
Och på läsidan till
Kraft i vindkryss
,
,
, ä
,ä
= 0.7 ∙ 1.5 = 1.05
= 0.8 ∙ 1.5 = 1.2
= 1.4 ∙ 1.5 = 2.1
= 1.5 ∙ 1.5 = 2.25
/
/
/
/
Vid insättning av lasterna i en balkmodell, se figur 76, så fås de största lasterna i takets
vindkryss till 6.6 kN närmast nocken och 12 kN i krysset mot kanten. Eftersom vinden med
största sannolikhet inte verkade med sådan kraft vid kollaps så kontrolleras även byggnaden
utan vindlast. Draget blir då istället 0.43 kN respektive 0 kN. Vindkryssen kommer att
representeras av punktlaster som verkar i vindkryssens riktning.
73
Figur 76 - Modell för framtagning av laster i vindkryss
74
4.10.1 Stabilitetsanalys med last från vindkryss
Skalelement
Kontroll vid drag i vindkryssen görs med laster från drag i vindkryssen enligt 4.9.1 och
snölasten vid rastillfället. Tabell 30 visar att detta ger en lägre stabilitetslast när
konstruktionen blir instabil än med vindlast mot väggarna enligt tabell 22.
Tabell 30 - Laster då konstruktionen blir instabil för skalmodellen med last från vindkryss
Lastuppställning
Jämn last
Ojämn last
Last (kN/m)
3.6
2.5 resp. 5
Balkelement
För balkmodellen är det också ett något värre fall för stabiliteten då vindlasten bara antas tas
upp i vindstagen enligt tabell 31, än om den verkar som utbredda laster mot väggarna enligt
tabell 24.
Tabell 31 - Laster då konstruktionen blir instabil för balkmodellen med last från vindkryss
Lastuppställning
Jämn last
Ojämn last
Last (kN/m)
5.1
3.35 resp. 7.5
4.10.2 Normberäkningar
För normberäkningar i modellen med rätt styvheter och en belastning med egentyngd,
uppskattad osymmetrisk snölast vid raset, utan vindlast och utan säkerhetsfaktorer med kraft i
stagen mellan 6.6-12kN respektive 0-0.43kN så blir utnyttjandegraden 91-94 % för takbalken
vid vippning. Hanbalken är värst utnyttjad på 97-109 %. Det värsta fallet inträffar då minst
vindlast verkar.
75
4.11 Diskussion och slutsatser från takrasutredningen
Resultaten från analysen i FEM-design visar på flera svaga komponenter i konstruktionen.
Resultatet varierar för stabilitetsanalysen beroende på om balkelement eller skalelement
används. Skalmodellen som antas ge en mer realistisk bild av instabilitetsfenomenen pga.
lokala spänningar visar att konstruktionen var klart för svag för den rådande snölasten. Även
balkmodellen visade att den rådande snölasten var för stor vid en stabilitetsanalys. De rådande
snölasterna ligger i den storleksordning som det ska dimensioneras för i Uddevalla enligt en
enkel överslagsberäkning
= 1.5 ∙ 0.8 ∙ 6 = 7.2
/
Det visade sig att styvheten i takåsarnas och väggreglarnas infästningar gör stor skillnad för
konstruktionen. Med antagandet att dessa är helt styva skulle takbalkarna klara sig med de
laster som verkade på konstruktionen vid raset.
Skulle takbalkarna analyseras enligt första ordningens teori så skulle dessa vara på gränsen att
klara belastning för böjning, men de skulle inte gå till brott. Deformationerna är stora, med
nedböjning i balken på omkring 200 mm och en viss tvärriktad utböjning i underkant.
Vid analys av andra ordningens effekter kommer balken att börja böja ut mer i veka
riktningen. Balken böjer ut i underkant då balken är stagad i ovankant. Detta ser ut att stämma
med brottet på de bilder som har tagits av raset.
Takåsarna är alldeles för klena för den rådande lasten och kommer att vippa eller överskrida
böjkapaciteten.
Vindlasten är svår att uppskatta vid raset, men för hela konstruktionens stabilitet har den
ingen större inverkan. I både balkmodellen och skalmodellen har vindlasten en liten negativ
inverkan då vindkryssen verkar på konstruktionen, eftersom lasterna ger en excentrisk
belastning i modellen.
Vid tidigare utredningar upptäcktes även att några dragstag var felaktigt infästa i
konstruktionen, vilket enligt SP Träteks rapport [9] gjorde konstruktionen mycket klenare och
skulle vara en anledning till ras.
Utredningen av raset visar på att felet ligger i både felaktig dimensionering och i felaktigt
uppförande av ridhuset.
76
5 Diskussion och slutsatser
Då pelare utsätts för en tryckande normalkraft kommer de stabiliserande stöden ha en stor
inverkan på pelarens stabilitet. Upplagsförhållandena kommer att ge olika knäckningslaster
enligt Euler, beroende på om pelarna är ledat eller inspänt infästa. Dessa knäckningslaster är
de maximala lasterna som en pelare kan utsättas för innan den knäcker. En låg fjäderstyvhet i
de stabiliserande stöden kan dock göra att pelaren blir instabil vid en lägre last. En initialt
snedställd pelare kommer vid tryckbelastning att ge upphov till horisontella krafter som
kommer att tas upp i de stabiliserande stöden. Stöden får en mycket stor fjäderkraft då
fjäderstyvheten är i närheten av den ideala styvheten och lasten närmar sig Eulers
knäckningslast. Detta betyder att den ideala styvheten är ett alldeles för lågt värde att välja vid
dimensionering av pelares stabiliserande stöd, styvheten ska istället vara minst det dubbla
värdet av den ideala styvheten.
Initialkrokiga pelare och excentriskt belastade pelare får en stor utböjning i mitten av pelaren,
men stöden får inte lika stor fjäderkraft som en snedställd pelare eftersom pelarna istället
roterar kring de ledade stöden. Pelare ska därför vid dimensionering antas vara initiellt
krokiga för att kunna begränsa den deformation som uppstår i pelaren. Detta eftersom en helt
rak pelare bara finns i teorin men i verkligheten kommer den alltid ha en viss imperfektion.
Det kan även förvärras på arbetsplatsen eftersom monteringen inte kan antas bli exakt efter
ritning, vilket alltid kräver byggtoleranser där exempelvis snedställning och excentrisk last
kan uppkomma.
I provningarna som gjordes på träpelare kan det tydligt visas att de teoretiska fallen är
applicerbara i verkligheten. Då styvheten är nära den ideala så kommer pelare med mittstöd
att få en utböjningsform av en hel sinuskurva då lasten närmar sig Eulers knäckningslast.
Detta gäller för slanka pelare eftersom grövre tvärsnitt kommer att gå till brott av andra
orsaker än de instabilitetsbrott som beskrivs i denna rapport. Då pelarna är slanka kommer
fjäderkrafterna bli större då den initiala snedställningen ökas, fjäderkraften blir även större då
fjäderstyvheten är lägre eller nära den ideala fjäderstyvheten vilket stämmer med teorin. Det
är intressant att se att fjäderkraften blir densamma för ett grövre tvärsnitt oavsett vilken
fjäderstyvhet som används. Detta beror på att lasten inte är nära Eulers knäckningslast och
pelaren kommer inte att få det beteende som uppstår vid ren Eulerknäckning.
Utifrån provningarna kunde även konstateras att upplagsförhållandena är svåra att arrangera i
praktiken. Det visade sig att Eulers knäckningslast överskreds vid flera provningar av det
slanka tvärsnittet. Det är inte praktiskt möjligt vid teoretiskt förutsatta förhållanden, men
slanka tvärsnitt får lätt en liten inspänning vid upplagen, vilket ökar knäckningslasten. De
praktiskt korrelerade E-modulerna utifrån densiteten visar på en högre E-modul än vad
träpelarna var beställda för, vilket också ökar knäckningslasten utifrån formeln för Eulers
knäckningslast. Vid dimensionering av bärverk brukar man anta ledade infästningar, vilket är
på säkra sidan enligt Eulers knäckningsfall, där pelare med ledade infästningar klarar mindre
last än pelare med inspänning. Det uppstår dock ett visst moment i infästningen som man
måste anta vid en sådan uppställning. Att E-modulen är högre än vad som föreskrivs är också
på säkra sidan, detta är för allas bästa, både för leverantören som måste uppfylla kraven på
77
sina produkter och för konstruktören som måste lita på att tillräcklig bärförmåga tillgodoses i
ekonomiskt pressade projekt.
Takraset som utreds i rapporten visar hur en hel konstruktion påverkas av infästningarnas och
anslutningarnas styvheter med hänsyn till stabilitet. Detta är något som sällan tas i beaktande
vid dimensionering, infästningarna sätts antingen till fullt ledade eller fullt inspända med
oändlig styvhet. I stabilitetsanalyserna som görs av den raserade byggnaden jämförs
stabilitetslasten då konstruktionens anslutningar har oändligt styvhet och då styvheterna är
framräknade, vilket visar att beräknade styvheter ger en märkbar försämring av
konstruktionens stabilitet. Vid utredningen visade det sig att konstruktionen inte var
tillräckligt stabil även då infästningarna hade oändlig styvhet.
Sammanfattningsvis kan man konstatera att stagningars fjäderstyvheter är en viktig
komponent för stabilitet samt för de krafter som uppstår i stagen. Främst gäller det för slanka
element med risk för knäckning eller vippning. Det är därför viktigt att ha i åtanke att de
riktiga fjäderstyvheterna kan ge ett värre fall av instabilitet än då infästningar och anslutningar
beräknas med oändlig fjäderstyvhet. När en konstruktion anses ha risk för stabilitetsbrott bör
därför de stabiliserande elementen modelleras eller beräknas med rätt fjäderstyvheter i
infästningarna och anslutningarna.
78
6 Förslag till fortsatt arbete
Bestäm hur Eulers knäckningslast verkar på en inspänd pelare. Stämmer teorin med praktiska
försök?
Hur stämmer knäckningslaster och utböjningsformer för pelare med flera mittstöd?
Kontrollera hur anslutningars fjäderstyvhet påverkar en hel konstruktion, rotationsstyvheter
etc. Stämmer praktiska försök med teorin?
79
80
7 Referenser
[1]
Boverket. Regelsamling för konstruktion, Boverkets konstruktionsregler, BKR.
2003.
[2]
Per Johan Gustafsson. Kurspärm
Structural Mechanics. 2008.
[3]
Joseph A. Yura, and Todd A. Helwig. Bracing for stability. Structural Stability
Research Council. 1995.
[4]
Stephen P.Timoschenko and James M.Gere. Theory of elastic stability. Second
ed, Dover ed. Mineola, N.Y. Dover Publications. 2009[1961].
[5]
H. J. Larsen and H. Riberholt. Traekontruktioner , Förbindelser. SBI-Anvisning
194 – Statens Byggeforskningsinstitut. 1999.
[6]
Tord Isaksson and Annika Mårtensson. Byggkonstruktion: regel- och
formelsamling: baserad på Eurokod. 2. uppl. Lund: Student literature. 2010.
[7]
Tord Isaksson, Annika Mårtensson and Sven Thelandersson. Byggkonstruktion.
Lund: Student literature. 2005.
[8]
StruSoft. FEM-Design User Manual.Structural Design Software in Europe AB.
2010.
[9]
Mats Axelsson. Raserat Ridhus i Nöthult, Uddevalla Kommun. SP Trätek. 2010.
[10]
Martinssons Limträ. Konstruktionsritningar Nöthult 1:14 Bäve, Ridhus
Uddevalla. 1992
[11]
Hans Carlsson. Sidostagning av slanka Takbärverk. Chalmers University of
Technology, Division of Steel and Timber Structures. 1987.
[12]
Per Johan Gustafsson. A Structural joint and support finite element. Lund
University. Division of Structural Mechanics. 2006.
[13]
George Winter. Lateral bracing of columns and beams. ASCE Journal.
Structural Division. 1958.
[14]
Charles G. Salmon, John E. Johnson. Steel Structures design and behavior 4th
edition (avsnitt 9.13, Lateral Bracing Design). Harper Collins College
Publishers. 1996.
81
Balkteori. Lund University. Division of
[15]
Theodore V. Galambos, Andrea E. Surovek. Structural stability of steel:
concepts and applications for structural engineers. John Wiley & Sons, Inc.
2008.
82
8 Bilagor
8.1 Bilaga 1
Labbdata för tvärsnitt 22x95
L/x=Initial snedställningen av pelartoppen: L=2meter, x=0, 50, 100
P1, P2, P3=Provkropp 1-3
Fjäder i topp, L/0 P1
3.5
3
P (kN)
2.5
2
K=8.67
1.5
K=12.3
1
K=23.63
0.5
0
-5
-0.5 0
5
10
Utböjning (mm)
15
20
Fjäder i topp, L/0 P2
3
2.5
P (kN)
2
1.5
K=8.67
1
K=12.3
K=23.63
0.5
0
-2
0
2
4
6
8
10
Utböjning (mm)
FJäder i topp, L/0 P3
4
3.5
3
P (kN)
2.5
2
K=8.67
1.5
K=12.3
1
K=23.63
0.5
0
-2 -0.5 0
2
4
6
Utböjning (mm)
83
8
10
Fjäder i topp, L/100 P1
3.5
3
2.5
P (kN)
2
K=8.67
1.5
K=12.3
1
K=23.63
0.5
0
-0.5 0
5
10
Utböjning (mm)
15
Fjäder i topp, L/100 P2
2.5
P (kN)
2
1.5
K=8.67
1
K=12.3
0.5
K=23.63
0
-5
0
5
10
15
Utböjning (mm)
Fjäder i topp, L/100 P3
3.5
3
P (kN)
2.5
2
K=8.67
1.5
K=12.3
1
K=23.63
0.5
0
-5
0
5
10
Utböjning (mm)
84
15
Fjäder i topp, L/50 P1
3.5
3
P (kN)
2.5
2
K=8.67
1.5
K=12.3
1
K=23.63
0.5
-5
0
-0.5 0
5
Utböjning (mm)
10
15
Fjäder i topp, L/50 P2
3
2.5
P (kN)
2
1.5
K=8.67
1
K=12.3
K=23.63
0.5
0
-5
0
5
10
15
Utböjning (mm)
Fjäder i topp, L/50 P3
3.5
3
P (kN)
2.5
2
K=8.67
1.5
K=12.3
1
K=23.63
0.5
0
-5
0
5
10
15
Utböjning (mm)
85
20
Fjäder på mitt, L/0 P1
10
P (kN)
8
6
K=8.67
4
K=12.3
K=23.63
2
K=41.05
0
-5
-2
0
5
10
15
20
Utböjning (mm)
Fjäder på mitt, L/0 P2
10
P (kN)
8
6
K=8.67
4
K=12.3
K=23.63
2
K=41.05
0
-5
-2
0
5
10
15
Utböjning (mm)
Fjäder på mitt, L/0 P3
12
10
P (kN)
8
K=8.67
6
K=12.3
4
K=23.63
2
K=41.05
0
-5
-2
0
5
10
15
Utböjning (mm)
86
20
Fjäder på mitt, L/100 P1
12
10
P (kN)
8
K=8.67
6
K=12.3
4
K=23.63
2
K=41.05
0
-5
-2
0
5
10
15
20
Utböjning (mm)
Fjäder på mitt, L/100 P2
10
P (kN)
8
6
K=8.67
4
K=12.3
K=23.63
2
K=41.05
0
-5
-2
0
5
10
15
20
Utböjning (mm)
Fjäder på mitt, L/100 P3
12
10
P (kN)
8
K=8.67
6
K=12.3
4
K=23.63
2
K=41.05
0
-5
-2
0
5
10
Utböjning (mm)
87
15
Fjäder på mitt, L/50 P1
10
P (kN)
8
6
K=8.67
4
K=12.3
K=23.63
2
K=41.05
0
-2
0
5
10
15
20
Utböjning (mm)
FJäder på mitt, L/50 P2
10
P (kN)
8
6
K=8.67
4
K=12.3
K=23.63
2
K=41.05
0
-5
0
5
10
15
20
Utböjning (mm)
Fjäder på mitt, L/50 P3
14
12
P (kN)
10
8
K=8.67
6
K=12.3
4
K=23.63
2
K=41.05
0
-10
-2 0
10
Utböjning (mm)
88
20
30
Labbdata för tvärsnitt 45x140
L/x=Initial snedställningen av pelartoppen: L=2meter, x=0, 50, 100
P4, P5, P6=Provkropp 4-6
Fjäder i topp, L/0 P4
20
P (kN)
15
K=8.67
10
K=12.3
K=23.63
5
K=41.05
0
-5
0
5
10
15
Utböjning (mm)
Fjäder i topp, L/0 P5
25
P (kN)
20
15
K=8.67
10
K=12.3
K=23.63
5
K=41.05
0
-2
0
2
4
6
8
10
Utböjning (mm)
Fjäder i topp, L/0 P6
25
P (kN)
20
15
K=8.67
10
K=12.3
K=23.63
5
K=41.05
0
-1
0
1
2
Utböjning (mm)
89
3
Fjäder i topp, L/100 P4
P (kN)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-10
K=8.67
K=12.3
K=23.63
K=41.05
0
10
20
30
Utböjning (mm)
Fjäder i topp, L/100 P5
20
P (kN)
15
K=8.67
10
K=12.3
K=23.63
5
K=41.05
0
-5
0
5
10
15
Utböjning (mm)
Fjäder i topp, L/100 P6
20
P (kN)
15
K=8.67
10
K=12.3
K=23.63
5
K=41.05
0
-5
0
5
10
15
Utböjning (mm)
90
20
Fjäder i topp, L/50 P4
20
P (kN)
15
K=8.67
10
K=12.3
K=23.63
5
K=41.05
0
-10
0
10
20
30
Utböjning (mm)
Fjäder i topp, L/50 P5
20
P (kN)
15
K=8.67
10
K=12.3
K=23.63
5
K=41.05
0
-5
0
5
10
15
Utböjning (mm)
Fjäder i topp, L/50 P6
25
P (kN)
20
15
K=8.67
10
K=12.3
K=23.63
5
K=41.05
0
-5
0
5
10
Utböjning (mm)
15
91
8.2 Bilaga 2
=
För
=−
En förenkling används
När
=0
=
+
Ansats
Randvillkor
= ( − )
=
cos
=
+
=
sin
=0
=−
=0
Alltså när
= (1 − cos
När
=
Detta betyder att cos
uppfyllas
+
)
=
cos
=0
= 0 om det ska vara någon utböjning i toppen och kravet ska
= (2 − 1)
= 1,2,3 …
2
Valet av antalet utböjningskurvor på pelaren representeras av . Det lägsta värdet för den
kritiska lasten uppkommer för en kurva, vilket motsvarar knäckfallet då = 1.
92
=
För
∙
=
=
2
(2 )
=−
Randvillkor
=
=−
= 0 å = 0 ℎ =
" = 0 å = 0 ℎ =
Ansats
=
Kontroll av ansats
"=
=
= 0 ö = 0 ℎ =
= 0 ö = 0 ℎ =
För att beräkna knäckningslasten måste ≠ 0 å = /2
Detta ger lasten
=
För
=
= .
Utböjningen som ges vid knäckfallet ger upphov till en horisontell last i den ledade änden då
den måste motverka momentet som uppstår i den fast inspända änden.
Differentialekvationen
Randvillkor
+
93
=0
När
När
=0
=
Lösningen till differentialekvationen då =
=0
=
=0
=
Ger den generella lösningen
Randvillkoren uppfylls då
=
cos
+
sin
+
=0
+
=0
+
cos
+
+
=0
+
sin
=0
För att det ska kunna bli en utböjning på pelaren kan inte
en icke trivial lösning som uppfyller kraven.
=
=
=
= 0. Detta kräver
Genom att byta ut B mot A med hjälp av de tre översta kraven blir den fjärde ekvationen.
Alltså
Lösningen där kurvan för tan
värde
−
sin
+
tan
cos
=0
=
och den linjära ekvationen
= 4.493
Vilket ger den lägsta kritiska lasten till
=
= 4.493
94
=
uppfylls vid ett lägsta
För
=
= .
∙
(0.699 )
Den generella lösningen används även till detta knäckningsfall
=
Randvillkor
När
= 0 och
cos
+
sin
=
=0
+
+
=0
Dessa villkor ger följande ekvationer för att få fram konstanterna till den generella lösningen
cos
−
+
sin
+
=0
sin
+
+
+
=0
cos
+
=0
+
=0
För att finna en icketrivial lösning måste determinanten av dessa vara lika med noll.
1
0
cos
− sin
00 1
1 0
=0
sin 1
cos 1 0
2(cos
− 1) +
Detta ger ekvationen
sin
och cos
kan skrivas om till
sin
cos
= 2 sin
En lösning till ekvationen är
2
2
2
cos
2
95
=0
cos
= 1 − 2 sin
Då kan ekvationen skrivas om som
sin
sin
− sin
2
2
2
=0
sin
2
=0
Vilket ger
=2
=
=
→
∙
(0.5 )
96