Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Matematisk modellering
Genomgång 1
Pelle
Matematikcentrum
Lunds universitet
3 november 2015
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
1 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Mål
Dagens program
I
Vad handlar kursen om, mål, kurskrav, syfte
I
Matematisk modellering
Beräkning och simulering
I
I
I
Matlab
Rapportskrivning
I
I
Struktur
Latex
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
2 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Mål
Projekt
I
3 projekt i stigande omfattning
I
Projektarbetet sker i fasta grupper om 4-5 personer
I
Varje grupp har en handledare
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
3 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Mål
Projektredovisning
I
Varje projekt avslutas med skriftlig rapport.
I
De två sista projekten ska också redovisas muntligt.
I
En annan grupps muntliga och skriftliga presentation ska också
granska och kommenteras.
I
Sista tisdagen 15 december 2015 kl 10-15 gemensam redovisning i E:C.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
4 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Mål
Gruppindelning
I
Fasta grupper 4-5 pers bestäms av Pelle .
I
Meddelas idag kl 13.15 i MH 230.
I
Då får gruppen också träffa sin handledare.
I
Registrering!
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
5 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Mål
Projektredovisning
I
Varje projekt avslutas med skriftlig rapport.
I
De två sista projekten ska också redovisas muntligt.
I
En annan grupps muntliga och skriftliga presentation ska också
granska och kommenteras.
I
Sista tisdagen 15 december 2015 kl 10-15 gemensam redovisning i E:C.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
6 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Mål
Kursmoment
I
Matematisk modellering
I
Simulering och beräkning (matlab)
I
Rapportskrivning lite om struktur och hur (latex)
I
Muntlig presentation
I
Granskning av rapport
I
Granskning av muntligt presentation
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
7 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Matematisk modellering
Matematisk modellering
I
Ni kommer i era arbetsliv många gånger få uppgifter som är vagt eller
kanske felaktigt formulerade.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
8 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Matematisk modellering
Modelleringsprocessen
I
Från verkligt problem till modellproblem
I
I
Observationer
Val av viktiga storheter och samband
I
Analys av modellproblem
I
Eventuell simulering/numerisk beräkning
I
Tolkning av analysresultat, kritik av modellen.
I
Eventuell modifiering av modellen
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
9 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Exempel
Matematisk Modellering
Problem:
Betet i en hage har visat sig räcka 3 dagar till 6 kor och 7 dagar till 3 kor.
Hur länge räcker betet till en ko?
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
10 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Exempel
Varning
I
En modell fångar bara några aspekter
I
Sparsmakad
I
Om naturen skiljer sig från kartan, lita på naturen!
I
Tänk på vilket område modellen är giltig
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
11 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Exempel
Förenkla
I
Våga förenkla
I
Tänk på vilken inverkan olika variabler har
I
Kvantifiera grovt olika variablers inverkan
I
Försumma de faktorer som har betydligt mindre inverkan än andra
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
12 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Planetbanor
Om man antar att jorden roterar så ligger stjärnorna stilla medan solen,
månen och planeterna merkurius, mars, venus, jupiter och saturnus flyttar
sej.
På medeltiden ansåg man att jorden låg i mitten och de andra kretsade i
banor kring jorden.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
13 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Problematiska planetrörelser
Svårt att förklara till exempel mars vandringar.
Aldebaran
Bildserie av Mars på himlen 2007-2008, kring en opposition. (Ur
Pelle nr. 12, 2009.) ”Oxens öga”, Aldebaran,
Matematisk
modellering
Sterne und Weltraum
har
3 november 2015
14 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Nicolaus Copernicus (1473-1543)
Föreslog 1543 att solen låg i mitten och att jorden och planeterna hade
cirkulära banor kring solen (fästa på kristallklot).
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
15 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
De fem rymdfigurerna ovan var kända som de perfekta eller platonska kropparna.
Alla begränsas av ett antal plana, liksidiga ytor, trianglar, kvadrater och femhörningar, men det märkliga är att man kan bevisa att de fem kropparna är de enda
som kan byggas upp på det sättet. Av liksidiga femhörningar behövs t.ex. tolv för
att de ska kunna bilda en sluten yta, färre räcker inte och med fler går det inte
heller. (Troligen kommer vårt ord ”dussin” av ”dode”.) Johannes Kepler (1571-1630)
Kepler var övertygad om en harmoni i universum, där matematik och geometri
Tyckte
det skulle vara tjusigt om planeternas banor låg på klot inskrivna i
bildade grunden – helt i Platons anda - och vad var då naturligare än att de sex då
kända planeternas banor byggdes upp av de här figurerna.
platoniska
kroppar.
Mars sfär
Jupiters sfär
Saturnus sfär
Keplers världsmodell.
I modellen hade var och en av planeterna en sfär, sex sfärer således, med platons-
ka kroppar inskrivna
i denna ordning:
Beskrev
modellen
1596 i boken Det kosmografiska mysteriet.
Saturnus sfär
Kub
Jupiters sfär
Pelle
Tetraeder
Jordens sfär
Ikosaeder
Venus sfär
Oktaeder
Matematisk modellering
3 november 2015
16 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Tycho Brahe (1546-1601)
Satt på Ven och mätte planeters positioner med större noggrannhet än
tidigare. Försökte få mätdata att stämma med jorden i mitten men det gick
inget vidare.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
17 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Kepler igen
När Brahe dog fick Kepler överta Brahes mätdata som han försökte få och
stämma med sin världsbild. Gick inget bra det heller.
Bättre gick det när han modifierade sin modell. Nya modellen
sammanfattas i tre lagar som publicerades 1609 och 1619.
Pelle
(Ur Sterne und Weltraum nr. 12, 2009.)
Matematisk modellering
3 november 2015
18 / 38
Inledning
Modellering
Astronomia Nova.
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
ronomia Nova innehåller det vi nu kallar Keplers första och andra lag. Den
ta säger att planeterna rör sig i ellipsbanor med solen i den ena brännpunkten
den andra är den om ythastighetens konstans. Enligt den andra lagen sveper
en mellan
planeten och solen
vektor)
likai areor
lika tider. Om
1. Planetbanorna
är (radius
ellipser
medöver
solen
ena på
brännpunkten.
n t22.
-t1 iYthastigheten
figuren nedan är lika
med
t
-t
så
är
de
båda
areorna
A
4 3
1 och A2 lika.
är konstant.
Keplers lagar
Radius vektor
(Bilden tagen ur Sterne und Weltraum.)
3. Samband mellan omloppstid T och medelavstånd R till solen.
st fram emot 1605 kom Kepler på idén med ellipsbanor och hade innan
dess
T 88 225 365 687 4392 10753 T 2
nd annat tänkt sig ovala, alltså äggformade banor. Utdraget nedan ur Keplers
= 0,04
R 58 nedan
108visat150
228 av Mars
778 positioner
1430 i förhållande
R3
fattande räkningar
omräkning
till
den – dem somPelle
Brahe hade mätt upp – till lägena
i
förhållande
till
solen.
Matematisk modellering
3 november 2015
19 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Isaac Newton (1642-1727)
Publicerade 1689 tre böcker Principia med Newtons rörelselagar och
gravitiationslagen vilka han visade medförde Keplers lagar.
AXIOMATA
SIVE
LEGES MOTUS
Lex. I.
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in
directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.
Projectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia aeris retardantur & vi gravitatis impelluntur deorsum. Trochus, cujus partes cohærendo
perpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis, non cessat rotari nisi quatenus
ab aere retardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum corpora motus
suos & progressivos & circulares in spatiis minus resistentibus factos conservant
diutius.
Lex. II.
Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.
Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum generabit, sive simul & semel, sive gradatim & successive impressa suerit. Et hic motus
quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice determinatur, si corpus
antea movebatur, motui ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur,
vel obliquo oblique adjicitur, & cum eo secundum utriusq; determinationem
componitur.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
20 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Philosophiæ naturalis principia mathematica
Exempel på sats och bevis.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
21 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Modern version
Andra lagen i modern version
F=
d(mv )
dt
eller om massan inte är tidsberoende
F = ma = m
Pelle
dv
d 2x
=m 2.
dt
dt
Matematisk modellering
3 november 2015
22 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Gravitationslagen
Hooke, Newton, andra (1660)
F =G
eller
F =G
mM
2
|x|
där x = x1 (t), x2 (t), x3 (t) .
Pelle
· (−
mM
r2
x
x
) = −GmM 3
|x|
|x|
Matematisk modellering
3 november 2015
23 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Diffekvation
Rörelselagen tillsammans med gravitationslagen ger detta att en planets
acceleration ges av
d 2x
x
= −GM 3
2
dt
|x|
eller kortare
x 00 = −GM
x
|x|3
.
Differentialekvation som bestämmer planetens rörelse.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
24 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Från linjär algebra
Bilda
L = x × x0
vektor som beror på tiden. Derivera
L0 = x 0 × x 0 + x × x 00 = 0 −
GM
|x|3
x × x = 0.
L (rörelsemängdmomentet) beror inte alls på tiden!
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
25 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Planetbanor
Konsekvenser
Eftersom
L = x × x0
hela tiden har samma riktning rör sej planeten x hela tiden i ett plan
vinkelrätt mot L.
Areatolkning av L ger Kepler andra lag.
De andra lagarna följer av en lite nogrannare analys av diffekvationen.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
26 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Disposition
Rapporten - disposition
I
I
Inledande del (Titel, sammandrag)
Huvuddel
I
I
I
I
I
I
Inledning Ge bakgrund till problemet, litteraturöversikt
Problemformulering/Modellering Från verkligt problem till
modellproblem
Analys Analys av modellproblem
Resultat Tolkning av analysresultat. Användning av modellen och
analysen.
Slutsatser Kritik av egna modellen. Förslag på förbättring.
Referererande del litteratur, ev bilagor
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
27 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Disposition
Rapporten
I
Sammanfattning - 10 gånger fler som läser sammanfattning än
rapporten.
I
I
I
I
Fristående från rapporten.
Alla delar i rapporten med.
Enbart text.
Titel - 10 gånger fler som läser titel än sammanfattning.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
28 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Fördelar
Latex
I
Finns gratis till de flesta datorer och operativsystem.
I
Låter författaren koncentrera på innehåll och inte på design
I
Hanterar matematiska formler bra.
I
Man skriver i en ren textfil som sedan kompileras till annat format,
t ex pdf. Text och slutfil lätt flyttbara.
I
Lätt att göra innehållsförteckningar, sakregister mm.
I
Utbyggbart - lätt lägga till moduler som gör att man kan skriva
presentationer, noter . . .
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
29 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Nackdelar
Latex
I
Ser inte direkt vad man skriver.
I
Felrapporteringen svårtolkad.
I
Bökigt att få in bilder.
I
Svårt att avvika från givna ramar.
I
Lite gammalmodigt.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
30 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Exempel
Latex - ett exempel
\ documentclass [ a4 paper ]{ a r t i c l e }
\ u s e p a c k a g e [ T1 ] { f o n t e n c }
\ usepackage [ u t f 8]{ inputenc }
\ u s e p a c k a g e { mathptmx }
\ usepackage [ swedish ]{ babel }
\ t i t l e { M o d e l l e r i n g av b e t e t i hagen }
\ author { P e l l e Pettersson }
\ d a t e {3 november 2015}
\ b e g i n { document }
\ maketitle
\ section { Introduktion }
I B l e k i n g e s s k ä r g å r d b o r k o s s a n Maj−Ros . . .
\ section { Betesmodellering }
\ section { Resultat }
\ section { Slutsatser }
\ end { document }
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
31 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Exempel
Latex - ett exempel
I
Lägg i fil bete. tex
I
Kör pdflatex bete
I
Poff
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
32 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Exempel
Latex - ett exempel
Modellering av betet i hagen
Pelle Pettersson
3 november 2015
Introduktion
I Blekinges skärgård bor kossan Maj-Ros . . .
Betesmodellering
Resultat
Slutsatser
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
33 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Exempel
Latex - komma igång
I
I
En mall lämplig till projektrapporter ligger på kursens hemsida
Utförligare än exemplet innehåller exempel hur man
I
I
I
lägger in bilder
skriver tabeller
plocka hem och prova
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
34 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Fördelar
Matlab
I
Inte gratis men Lunds universitet har licens som ger alla rätt att ladda
hem matlab (www.ddg.lth.se) (men Octave som är ungefär
matlabkompatibel finns gratis tillgänglig).
I
Är bra på numerisk hantering av matematiska problem
I
Är en interaktiv miljö för beräkningar och visualisering
I
Är ett programmeringsspråk
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
35 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Modellering
Sammanfattning - modellering
I
Förenkla (så att ni kommer igång)
I
Förtydliga (antagande, variabler, samband)
I
Analysera
I
Återkoppla till verkligheten
I
Sammanställ i rapport
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
36 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Latex
Sammanfattning - Latex
I
Hämta en mall och skriv
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
37 / 38
Inledning
Modellering
Modelleringsexempel
Rapportskrivning
Latex
Matlab
Sammanfattning
Avslutning
Att tänka på
Till nästa gång
I
Läs igenom och fundera på första projektet.
I
Första projektpasset med gruppindelning idag kl 13.15 i MH 230.
I
Nästa föreläsning tisdag 10/11 kl 8.15 i MH 309 A.
I
Inspirationsföreläsning om trafikmodellering med Alexandros Sopasakis
I
Projektuppgift 2 delas ut.
Pelle
Matematisk modellering
3 november 2015
38 / 38