1. No category

Geometri
Mål
När eleverna har arbetat med det här kapitlet
ska de kunna
• mäta och räkna ut omkretsen på olika
geometriska figurer
• räkna ut arean av rektanglar, kvadrater och
trianglar
• använda de vanligaste enheterna för area:
cm2, dm2, m2
Grundkurs, sid. 66
Diagnos, sid. 78
Blå kurs, sid. 80
Röd kurs, sid. 86
Sammanfattning, sid. 92
Läxor: Läxa 9–11, sid. 144
Repetition: Repetition 3, sid. 154
Eleverna har tidigare arbetat med omkrets och area. En del elever har svårt att
hålla isär de båda begreppen. I grundkursen repeteras därför först omkrets och area
var för sig så att eleverna ska bli säkra på begreppen. I detta kapitel introduceras
enheten dm2 för area. Här behandlas nu även triangelns area. Den visas först som
hälften av den omskrivna rektangelns area. Sedan införs begreppen bas och höjd
samt formeln för triangelns area. Uträkningarna innehåller ibland decimaltal.
I en del uppgifter ska eleverna rita sina lösningar. Tipsa dem om att ta hjälp av linjer och rutor i sina räknehäften. Varje elev behöver en linjal med millimetergradering. Det kan vara bra att ha meterlinjal och måttband tillgängliga i klassrummet.
Den Blå kursen innehåller fler grundläggande uppgifter på att räkna ut omkrets
och area. Talen i uppgifterna är valda så att uträkningarna blir enkla. Eleverna kan
på så sätt fokusera på själva geometrin.
I den Röda kursen får eleverna arbeta vidare med omkrets och area, nu med lite
mer krävande uppgifter, t.ex. att räkna ut arean av sammansatta figurer. Romb och
parallellogram tas upp som nya begrepp och här behandlas också parallellogrammens area.
50
Geometri
Sid. 66–67
Ingressens övre del föreställer några mayapyramider. I kapitel 3 befinner vi oss till stor del i Mellanamerika hos mayafolket (se texten nedan). De
nedre bilderna visar en bollplan med målring.
Statyn föreställer en jaguar och är en del av ett
tempelaltare.
Svar till frågorna:
• Statyn
Kommer eleverna ihåg vad som menas med
area? Be dem förklara. Vilka enheter för area
kommer de ihåg? Skriv gärna upp de föreslagna
enheterna och be dem sedan föreslå föremål
som kan vara lämpliga att ange i respektive
enhet. Om eleverna förstår innebörden av area
inser de lätt svaret på frågan: 2 m.
• Bollplanen
Fråga 1 och 2: Ungefär 35 m bred och 95 m
lång. Under ritningen finns utmärkt en sträcka
som motsvarar 10 m. Låt eleverna uppskatta
bredden och längden med hjälp av sträckan.
Fråga 3: Ungefär 260 m. Be eleverna förklara
hur de räknar. Det blir förmodligen olika svar:
– genom att dubbla långsidorna för sig,
kortsidorna för sig och sedan addera
– genom att lägga ihop en långsida och en
kortsida och multiplicera resultatet med 2.
Lämplig fråga att ställa: Vad kallas det i matematiken när man räknar ut längden runt
omkring någonting?
Fråga 4: Mellan 5 och 6 meter. Jämför längden
av människan på bilden med templet.
Svaren till frågorna vid bollplanen blir naturligtvis inte exakta, men de bör vara rimliga och eleverna bör få motivera sina svar.
Kort om mayafolket:
I städernas centrum fanns förnämliga byggnadsverk, palats och pyramider. Pyramiderna var byggda
till gudarnas ära. Höga trappor ledde upp till toppen av pyramiderna där det oftast låg ett tempel.
Mayafolkets präster var duktiga astronomer. Från
stora observatorier studerade de himlakropparna.
Utifrån sina resultat utarbetade de en kalender.
Förmodligen var bollspelet inte bara en sport utan
det hade också en religiös innebörd. Mayafolket
hade utvecklat ett skriftspråk. För att skriva tal
använde man tre olika tecken, majskorn för talet 1,
pinne för talet 5 och snäcka för talet 0. De använde
ett slags positionssystem med talet 20 som bas.
Talen skrevs nerifrån och uppåt.
Vanligt folk bodde i enkla hyddor och livnärde sig
som bönder. Majs var den viktigaste grödan. Mayafolket var duktiga hantverkare, man vävde med
vackra mönster, flätade korgar, tillverkade jadesmycken och skålar av keramik.
Sid. 68–69
Uppslaget repeterar begreppet omkrets. I flera av
uppgifterna ska eleverna rita egna bilder. Tipsa dem
om att ta hjälp av räknehäftets linjer och rutor. Att
rita alla figurer med linjal är ett måste.
Uppgift 7 består i att rita en rektangel med given
omkrets. Om någon elev behöver hjälp kan man
tipsa om att dela upp halva omkretsen i en kortoch en långsida.
Måtten på en del av sidorna är inte utsatta i uppgift
10. Led in eleverna på att titta på motstående sida
för att få fram längden.
Geometri
51
Sid. 70–71
Begreppet area repeteras. Poängtera att en kvadratmeter och en kvadratcentimeter kan se ut på olika
sätt, men att deras område är lika stort som en
kvadrat med sidan en meter respektive en centimeter. Det är viktigt att eleverna förstår att en kvadratmeter eller kvadratcentimeter inte måste ha formen av en kvadrat.
Arbeta tillsammans. Till uppgiften behövs papper,
sax och tejp. Syftet med uppgiften är att eleverna
ska få en konkret uppfattning av storleken av en
kvadratdecimeter. Det är viktigt att förstå att en
kvadratdecimeter kan se ut på olika sätt, men att
området är lika stort som en kvadrat med sidan en
decimeter.
I uppgifterna 11–13 får eleverna bestämma arean
av några figurer med hjälp av rutnäten. Uppmärksamma eleverna på att man även kan mäta arean av
figurer som inte har raka sidor.
Som extrauppgift kan eleverna rita konturen av sin
hand på ett centimeterrutat papper och sedan uppskatta handens area. Är den mer eller mindre än en
kvadratdecimeter?
På sidan 71 introduceras enheten kvadratdecimeter,
dm2. Det kan vara lämpligt att eleverna gör ”Arbeta tillsammans” och arbetar praktiskt med kvadratdecimetern innan de gör de övriga uppgifterna på
sidan.
Arbetsblad 3:1
Sid. 72–73
På sidan 72 repeteras formeln för rektangelns area.
Uträkningarna innehåller här ibland decimaltal.
Poängtera att rektangelns båda sidor måste anges i
samma enhet. I uppgift 20 måste alltså antingen
längden eller bredden räknas om till en annan
enhet innan arean beräknas.
Triangelns area behandlas på sidan 73. När eleverna tittar på figurerna i rutan inser de säkert att tri-
angelns area är hälften av den omskrivna rektangelns area. Eleverna kan också konkret pröva detta.
De klipper ut en rektangel och ritar in en triangel
på samma sätt som triangel 2 i rutan. De klipper
sedan ut triangeln och prövar om de två små trianglarna täcker den stora.
Arbetsblad 3:2, 3:3
Sid. 74–75
På sidan 74 införs begreppen bas och höjd. Poängtera att höjden i en triangel går från ett hörn och
vinkelrätt mot sidan mitt emot, basen. I triangeln
kan man alltså tänka sig tre olika baser och höjder,
men vi fördjupar oss inte ännu i detta. I uppgifterna 26 och 27 ska eleverna rita trianglar med given
bas och höjd. Uppmärksamma dem på att höjden
kan ritas från valfri punkt från basen, men att den
måste vara vinkelrät mot basen.
52
Geometri
Formeln för triangelns area visas på sidan 75. Vi
har avsiktligt väntat med att ta upp formeln för att
eleverna ska kunna förstå vad de gör och inte bara
mekaniskt använda en formel. Till uppgifterna 32
och 33 kan eleverna få tipset att först tänka ut hur
stor area den omskrivna rektangel skulle ha.
Arbetsblad 3:4, 3:5
Sid. 76–77
I uppgifterna 34–37 upptäcker eleverna att figurer
med lika lång omkrets kan ha olika stora areor, och
figurer med lika stor area kan ha olika omkretsar. I
utmaningen på sidan 93 kan eleverna göra fler liknande upptäckter. Ett tips till elever som kört fast
på uppgift 38: Rita av figuren och fyll sedan ut torget med rektanglar som är lika stora som altaret.
Arbetsblad 3:6
Sid. 78–79
b) 115 m
sid. 80–81
2 a) 10 cm2
b) 5 cm2
sid. 82–85
▼
1 a) 36 m
Engelsk kluring
Vilket värde har varje figur?
triangel = 5
cirkel = 3
parallellogram = 2
rektangel = 7
Enklast är att börja med rad 3. Här tar cirklarna på var sida om likhetstecknet ut varandra
och parallellogrammen är lika med två kvadrater, dvs. 2. Fortsätt med rad 2, där man nu kan
få värdet på cirkeln.
▼
Facit till Kluringar
6 katter
Det tar 6 minuter för en katt att fånga en råtta.
För att fånga två råttor behöver katten
12 minuter. 6 katter fångar då tillsammans 12
råttor på 12 minuter.
▼
Facit till Diagnosen
Hattar till kräftskiva
Fritjof bör välja 2 stycken 20-kronorsförpackningar och 3 stycken 24-kronorsförpackningar.
Han betalar då 112 kr och får 26 hattar.
3 a) En ritad kvadrat med
sidan 4 cm. 16 cm2
b) En ritad rektangel med
måtten 5 cm x 1,5 cm.
7,5 cm2
4 a) m2
c) cm2
sid. 82–83
b) m
d) cm
sid. 80–83
5 a) 70 m
b) 250 m2
sid. 80–83
6 a) 5 cm2
b) 5 cm2
sid. 84–85
7 a) En ritad triangel med
basen 9 cm och höjden
4 cm
b) 18 cm2
8 3 cm
sid. 84–85
sid. 80–81
BLÅ KURS
Sid. 80–81
Uppslaget behandlar omkrets. I några av uppgifterna ska eleverna mäta eller rita figurer med givna
mått. Var uppmärksam på att eleverna använder
linjalen på ett riktigt sätt och mäter ifrån nollan.
Det kan förekomma att de mäter från ettan på lin-
jalen. Ge tipset att ta hjälp av rutor och linjer i räknehäftet. Uppgift 44 består i att rita rektanglar med
given omkrets. Det kan resultera i olika lösningsförslag. Låt gärna eleverna jämföra och diskutera
sina lösningar.
Geometri
53
Sid. 82–83
På uppslaget finns grundläggande uppgifter att
beräkna area. De elever som fortfarande har svårt
med begreppet area kan behöva ytterligare praktisk
träning. Det kan vara bra att låta dem använda en
areamall, dvs. en bit av ett genomskinligt overheadblad på vilket man kopierat centimeterrutning. Låt
eleverna uppskatta arean på småsaker i klassrummet
och sedan lägga areamallen över och mäta. Till lite
större föremål kan de använda några utklippta
kvadratdecimeter, täcka en del av föremålet med
dem och sedan försöka uppskatta hela arean.
Eventuellt kan de föra in sina resultat i en tabell.
Arbetsblad 3:1, 3:2
Sid. 84–85
Triangelns area. Innan eleverna gör uppgifterna i
boken kan de konkret få upptäcka att en triangel
alltid är en halv rektangel. Se kommentar till sidan
73. Låt eleverna arbeta med fler rektanglar av olika
storlek.
Arbetsblad 3:4, 3:5
RÖD KURS
Sid. 86–87
På uppslaget finns textuppgifter med tema om mayafolket. De innehåller blandade uppgifter på omkrets
och area. Några av uppgifterna på sidan 87 hör ihop
med ritningen. Eleverna måste mäta i ritningen för
att kunna lösa uppgifterna. En centimeter på ritningen är en meter i verkligheten.
Sid. 88–89
Här får eleverna arbeta med att beräkna arean av
områden som kan tänkas vara sammansatta av flera
geometriska figurer. Det är inte alltid så lätt att
genomskåda detta. I en del av uppgifterna finns
därför prickade hjälplinjer utsatta i figurerna. Uppmana gärna eleverna att rita av de övriga figurerna,
rita in hjälplinjer och sätta ut mått för att lättare
kunna räkna ut. Uppgift 74 b kan vara bra att ta
upp till diskussion. Här har eleverna kanske olika
54
Geometri
förslag till lösningar: hela den rödvita rektangeln
minus den vita triangeln eller summan av olika rektanglar och en triangel. Vilken lösning är enklast?
Även till uppgift 76 kan man tänka sig olika lösningar. Låt gärna eleverna jämföra sina lösningar
med en kompis och förklara hur de tänkt.
Arbetsblad 3:3, 3:7
Sid. 90–91
På sidan 90 presenteras begreppen parallellogram
och romb och på sidan 91 visas hur man beräknar
arean av en parallellogram. Låt gärna elever som
löst uppgift 82 få jämföra sina svar och förklara för
varandra hur de löst uppgiften.
Arbetsblad 3:8
UTMANING
Kvadratens och rektangelns omkrets är lika i samtliga uppgifter.
Vid jämförelse mellan kvadratens och rektangelns
areor gäller följande:
skillnad mellan
sidorna
skillnad mellan
areorna
4
1 · 1 = 12 = 1
2 · 2 = 22 = 4
3 · 3 = 32 = 9
4 · 4 = 42 = 16
y
y · y = y2
1
2
3
Om kvadratens sida är a är kvadratens area a2. Om
skillnaden mellan kvadratens sida och rektangelns
sidor är b så är rektangelns area
(a + b) (a – b) = a2 – b2.
Detta är det geometriska beviset för konjugatregeln. Vi talar naturligtvis inte med eleverna om
konjugatregeln och dess härledning nu, det kommer betydligt senare i matematikstudierna, men det
kan vara spännande för dem att redan nu konkret
upptäcka detta samband.
Geometri
55
Arbetsblad 3:1
Namn:
Omkrets och area 1
Hur stor omkrets och area har varje figur?
Omkrets _______ cm
Omkrets __________
Omkrets __________
Area __________ cm2
Area _____________
Area _____________
Para ihop de figurer som har lika stor area. Färglägg ett par rött, ett par blått och
ett par gult.
De röda areorna är vardera _______ cm2
De blåa areorna är vardera _______ cm2
De gula areorna är vardera _______ cm2
56
Geometri
© MatteDirekt Borgen 6A, Bonnier Utbildning AB och författarna
Arbetsblad 3:2
Namn:
Omkrets och area 2
Räkna ut rektangelns omkrets och area.
3m
4 dm
8m
9 dm
Omkrets _______________ m
Omkrets _____________
Area ________________ m2
Area ________________
Mät i figuren. Sätt ut måtten. Räkna ut rektanglarnas omkrets och area.
Omkrets ______________ cm
Omkrets _____________
Area ________________ cm2
Area ________________
Rita en rektangel med längden 10 cm och bredden 2,5 cm.
Räkna sedan ut rektangelns omkrets och area.
Omkrets _____________
© MatteDirekt Borgen 6A, Bonnier Utbildning AB och författarna
Area ________________
Geometri
57
Arbetsblad 3:3
Namn:
Svenssons bostad – omkrets och area
Här är en ritning över familjen Svenssons bostad och en tabell med några ifyllda
mått. Räkna ut de mått som fattas för varje rum och fyll i tabellen.
Hela lägenheten
Vardagsrum
Kök
Längd (m)
Bredd (m)
14
6,5
5
7,5
4
3,5
2
Badrum
Sovrum
4
Wilmas rum
Oscars rum
3
Omkrets (m)
Area (m2)
105
8
16
15
13
14
Med hjälp av måtten på övriga rum i bostaden kan du räkna ut hallens omkrets och area.
Hallens omkrets: _____________________________________________________________
Hallens area: ________________________________________________________________
58
Geometri
© MatteDirekt Borgen 6A, Bonnier Utbildning AB och författarna
Arbetsblad 3:4
Namn:
Trianglar
Räkna ut triangelns area.
8m
23 m
3,5 m
10 m
9m
6m
2
m
Area __________
Area __________
Area __________
Mät basen och höjden. Räkna ut triangelns area.
ba
s
bas
bas
cm
Bas __________
Bas __________
Bas __________
cm
Höjd __________
Höjd __________
Höjd __________
cm2
Area __________
Area __________
Area __________
© MatteDirekt Borgen 6A, Bonnier Utbildning AB och författarna
Geometri
59
Arbetsblad 3:5
Namn:
Area – rita och räkna
Rita två trianglar. Den första ska ha basen 6 cm och höjden 4 cm. Den andra ska
ha basen 8 cm höjden 3,5 cm. Räkna sedan ut arean av trianglarna.
Area _______________
Area _______________
Rita en rektangel som har
längden 7,5 cm. Omkretsen
ska vara 21 cm. Räkna ut
rektangelns bredd och area.
Bredd _______________
Area _______________
Rita en kvadrat, en rektangel och en triangel. Alla ska ha arean 9 cm2.
60
Geometri
© MatteDirekt Borgen 6A, Bonnier Utbildning AB och författarna
Arbetsblad 3:6
Namn:
Tangram
Det här är ett urgammalt
kinesiskt pussel. Det
uppfanns enligt legenden
av guden Tan för över
4 000 år sedan, när han
ville visa hur jorden
blev till.
Klipp ut bitarna.
B
F
A
E
D
G
C
1
Vilka två bitar har tillsammans lika stor area som biten D? ____________
2
Jämför arean av biten C med biten D. Vad finner du?
____________
3
Jämför arean av biten D med biten G. Vad finner du?
____________
Rita av de figurer du byggt i ditt räknehäfte.
4
Bygg en kvadrat av bitarna A, C, E och F.
5
Bygg en annan kvadrat av bitarna C, D, E, F och G.
6
Använd bitarna A, C, E och G och bygg en rektangel.
7
Bygg en ny rektangel av bitarna A, B, C, E och F
8
Försök att bygga en triangel av alla bitarna.
9
Använd alla bitarna och bygg en rektangel.
10
Hitta tre bitar som tillsammans har lika stor area som triangeln A.
(Det finns tre olika lösningar.)
© MatteDirekt Borgen 6A, Bonnier Utbildning AB och författarna
Geomeetri
61
Arbetsblad 3:7
Namn:
OBS! Måtten avser alltid
den del av figuren där
måtten är inskrivna.
Omkrets och area – kluringar
Räkna ut den gråa rektangelns area.
Omkrets 140 m
Omkrets 200 m
Area __________
▲
▲
100 m2
25 m
Räkna ut den gråa rektangelns omkrets.
Area 1 000 m2
200 m2
100 m2
Omkrets
__________
Omkrets 180 m
62
Geometri
© MatteDirekt Borgen 6A, Bonnier Utbildning AB och författarna
Arbetsblad 3:8
Namn:
Sammansatta figurer
Mät i figuren. Räkna sedan ut arean. Kom ihåg enheten.
Arean är ______________________
Arean är _____________________
Räkna ut figurens area.
9 cm
20 cm
▲
▲
4,5 cm
▲
10,5 cm
10 cm
▲
18 cm
12 cm
Arean är ______________________
▲
▲
4 cm
▲
▲
4 cm
▲
▲
4 cm
▲
▲
Arean är ______________________
14 cm
7 cm
12 cm
4 cm
▲
▲
▲
▲
24 cm
Arean är ______________________
© MatteDirekt Borgen 6A, Bonnier Utbildning AB och författarna
8 cm
Arean är ______________________
Geometri
63