1. No category

I våras var det 14:e året som Kängurutävlingen
gick av stapeln i Sverige och på Kängurusidan
på NCM:s webbplats finns det numera verkligen många problem att ladda ner och arbeta
med i undervisningen. Det arbetet kan ske på
många olika sätt, med eller utan svarsalternativ. Några förslag:
1. låt eleverna arbeta i grupp med något
eller några problem som anknyter till det
kursinnehåll som är aktuellt
2. välj ut ett problem som introduktion till ett
nytt moment
3. välj ut problem som repetition av ett
moment eller undervisningsområde
4. välj ut några problem och utveckla dem så
att de passar det matematiska innehåll som
är aktuellt.
Jag har valt några problem utifrån årets
omgång som kan vara intressanta att ta upp i
undervisningen. Jag börjar med det första problemet på Ecolier, som fick en oväntat låg lösningsfrekvens, knappt 40 % av eleverna i åk 3
och 4 klarade det.
Lisa ska sätta in siffran 3 någonstans i talet
2014 så att hon får ett femsiffrigt tal. Det
femsiffriga talet ska bli så litet som möjligt.
Var ska hon sätta siffran 3?
A: före 2014
Sex tal står skrivna på korten här nedan.
Vilket är det minsta tal man kan bilda
genom att lägga korten efter varandra?
A: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
B: 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9
C: 3 0 9 7 5 6 8 2 4 1
D: 2 3 0 9 4 1 5 6 8 7
E: 2 3 0 9 4 1 5 6 7 8
41
309
5
B: mellan 2 och 0
C: mellan 0 och 1 D: mellan 1 och 4
E: efter 2014
Svårigheten i detta problem är nog att ett tal ”så
litet som möjligt” efterfrågas. Därför kan det
vara en fördel att ta bort svarsalternativen och
uppmana eleverna att skriva ner alla de möjliga talen och sortera dem i storleksordning. Då
får de även svar på en annan fråga, ”så stort som
möjligt”. Problemet har stor potential och kan
användas t ex för att diskutera positionssystemet. Det går lätt att förändra uppgiften genom
att ta en annan siffra än 3 och be eleverna placera ut den eller välja en annan längd t ex ett treeller femsiffrigt tal. Det har funnits liknande
problem tidigare och ett som eleverna hade svårigheter med är uppgift 14 från Ecolier 2006.
7
68
2
Nämnaren nr 4 • 2014
55
Från årets Benjamin väljer jag ut ett geometriproblem, uppgift 5. Dessa problem fortsätter
att ha låg lösningsfrekvens trots det stora utbud
av geometriproblem som har förekommit
under årens lopp. Problem fram till och med
2008 finns också samlade i boken Geometri och
rumsuppfattning – med Känguruproblem.
Figuren ovan är uppbyggd av lika stora
kvadrater. Figurens omkrets är 42 cm.
Vilken area har hela figuren?
En kvadrat har omkretsen 48 cm. Vi delar
den i två rektanglar och gör en lång
rektangel.
Vilken omkrets har den långa rektangeln?
A: 24 cm
B: 30 cm
C: 48 cm
D: 60 cm
E: 72 cm
För det här problemet är lösningsfrekvensen
för åk 5: 24 %, åk 6: 31 % och åk 7: 34 %. I problemet finns många begrepp att resonera om.
Omkrets, kvadrat och rektangel kan vara bra
att be eleverna förklara med egna ord. Vad händer med omkrets respektive area när kvadraten
blir en rektangel? Svarsalternativen är kanske
vilseledande. Eleverna ser 48 cm i texten och
även bland alternativen. De tänker area istället
för omkrets.
I Benjamin 2012 finns två problem, nr 12 och
14, som kan vara användbara till en fortsättning
på temat omkrets och area.
A: 128 cm2
B: 72 cm2
C: 24 cm2
D: 9 cm2
E: 8 cm2
För en ytterligare utmaning på ovanstående
tema kan Cadet 2011 bidra med uppgift 22.
Ett kvadratiskt papper klipps isär till sex
rektanglar. Om vi beräknar omkretsen på
varje sådan rektangel och sedan adderar
dessa blir summan 120 cm.
Hur stor är arean av kvadraten?
A: 48 cm 2
B: 64 cm 2
C: 110,25 cm 2
D: 144 cm 2
E: 256 cm 2
Årets Cadet får bidra med ett problem som
innehåller två viktiga begrepp: procent och
medelvärde. Problemet kommer först som nr
18, men lösningsfrekvensen är markant lägre än
de omgivande problemen, 11 % för åk 8, 15 % för
åk 9, 13 % för Ma1.
Båda figurerna är uppbyggda av samma
fem delar. Rektangelns sidor är 5 cm och
10 cm. De andra delarna är kvartscirklar i
två olika storlekar.
Hur stor är skillnaden mellan figurernas
omkrets?
A: 2,5 cm
B: 5 cm
C: 10 cm
D: 20 cm
E: 30 cm
56
Nämnaren nr 4 • 2014
Medelvärdet av två positiva heltal är 30 %
mindre än det ena talet.
Hur många procent större än det andra
talet är medelvärdet?
A: 75 %
B: 70 %
C: 30 %
D: 25 %
E: 20 %
Problemet lämpar sig för gruppdiskussion. Gå
runt och lyssna hur eleverna resonerar. Vilka
lösningsmetoder använder de? Frågan är om
svarsalternativen spelar stor roll i det svaga
resultatet. Väljer eleverna 30 % utan att tänka
efter vad frågan är? När det gäller begreppet
procent är det här kanske en frågeställning som
eleverna inte är bekanta med. Vill man fortsätta med procent och/eller medelvärde kan
följande problemen vara till hjälp. Det är nr 12
från Junior 2013.
Om, på ett prov, varje pojke i en klass skulle
få 3 poäng mer än han fick, skulle klassens medelpoäng höjas med 1,2 poäng.
Hur många procent av klassens elever är
flickor?
A: 20 %
B: 30 %
C: 40 %
D: 60 %
E: omöjligt att bestämma
Från årets Junior väljer jag det första problemet,
vilket har mer anknytning till grundskolans
kursplaner än gymnasiets ämnesplaner. Det
visar att det går att hitta lämpliga problem från
andra tävlingsklasser än den som dina elever
deltar i. Begreppen som det här problemet bygger på bör eleverna ha med sig när de kommer
till gymnasiet. Trots det är lösningsfrekvensen
relativt låg. För Ma2: 45 %, Ma3: 50 % samt Ma4
och Ma5: 58 %.
Även det problemet, se nedan, är lämpligt
för gruppdiskussioner. Det är intressant att
höra hur eleverna resonerar när de jämför längderna, för det behövs inga beräkningar utan
istället jämförelse av de sträckor som inte är
Bilden visar tre kurvor med längderna a, b
respektive c.
gemensamma. Vilken form har dessa sträckor
och vad kan eleverna säga om dessa längder i
förhållande till varandra? Istället för att fråga
efter vilket påstående som är korrekt kan man
be eleverna bestämma de olika kurvornas längder. En fortsättning på temat kan vara att jämföra längder på halvcirkelbågar som i följande
problem, nr 10 från Student 2007.
D
A
E
Sträckan AE har delats in i fyra lika delar
och man har ritat halvcirklar med AE, AD
och DE som diametrar. På så vis har man
två vägar från A till E: en övre bestående av
en halvcirkel och en nedre bestående av
två halvcirklar. Hur förhåller sig längden av
den övre vägen till längden av den nedre
vägen?
A) 1 : 2
B) 2 : 3
C) 2 : 1
D) 3 : 2
E) 1 : 1
Det finns alltså många intressanta problem att
använda i undervisningen. Botanisera bland
problemen och skapa intresseväckande och
givande lektioner.
Susanne Gennow
Vilket av följande påståenden är korrekt?
A: a < b < c
B: a < c < b
C: b < a < c
D: b < c < a
E: c < b < a
a
b
c
Nämnaren nr 4 • 2014
57