Tentamen i logik
729G06 Programmering och logik
2015-04-24
Poänggränser: På tentan kan du som mest få 25 poäng. Om du har fått≥ 12
poäng är du garanterad åtminstone godkänt betyg, ≥ 19 väl godkänt.
Tillåtna hjälpmedel: Inga. Tentan har ett regelblad bifogat, vilket får
användas.
Jour Anders Märak Leffler besöker salen efter 15.30.
Allmänna regler
• När du börjar på en ny uppgift (uppgift 1, uppgift 2, . . . ), börja på ett
nytt ark.
• Skriv på en sida av pappret.
• Sortera lösningarna i uppgiftsordning (1,2,. . . ) innan de lämnas in.
• Motivera dina svar ordentligt. Avsaknad av, eller otillräckliga, förklaringar
kan resultera i poängavdrag. Även felaktiga svar kan ge poäng om de är
korrekt motiverade.
• Se till att dina lösningar är läsbara.
• Lämna plats för kommentarer.
• Om ett uttryck inte är fullständigt parentetiserat (som A ∧ B ∨ C), följ de
vedertagna prioriteringsreglerna (A ∧ B ∨ C läses t ex (A ∧ B) ∨ C).
Bevissystem: Naturlig deduktion med de tio regler som finns bifogade
med denna tenta. När du skriver bevis i predikatlogik (och behöver använda
ett bevissystem), ska du använda detta.
Just detta tentamenstillfälle är det också acceptabelt att visa sina slutsatser med hjälp av resolution, Gentzen-system eller det Gentzen-lika system som
presenteras i TDDC36. Inget annat alternativt bevissystem, eller alternativ regeluppsättning, är tillåten.
Lycka till.
1
1. Visa vilka av följande formler som är tautologier, kontingenta och/eller
kontradiktioner (motsägelser). Använd sanningstabeller för att visa ditt
påstående1 . (3p)
a) (A∧B)∧¬A
b) C↔D
c) (G→H) → (¬H → ¬G)
2. Använd sanningstabeller för att visa vilka resonemang som är korrekta.
Om ett resonemang är korrekt, markera de rader som visar logisk konsekvens. Om ett resonemang är felaktigt, markera de rader som utgör
motbevis. Precis som i uppgift 1, får du också svara med tolkningar. (2p)
a) A ∨ ¬B, B ∧ C |= A
b) D → E, ¬D |= ¬E
3. Konstruera en tolkning som visar att
A, A→ B, B→(A∧C), D↔(A∨B),E → ¬D 6|= ¬C.
Du behöver inte motivera ditt svar. (1p)
4. Antag att G(x) betyder att x är en generation, U(x,y) betyder att y är
utvald i generation x, och B(x) betyda att x bekämpar mörkrets krafter.
Vilket eller vilka av alternativen nedan betyder ”I varje generation finns
det (exakt) en utvald. Hon ensam bekämpar mörkrets krafter.”?
a) ∀x∃y∀z G(x) → U (x, y) ∧ B(y) ∧ (B(z) ∨ U (x, z) → z = y)
b) ∀x∃y[G(x) ∧ U (x, y) ∧ B(y) ∧ ∀x(B(x) → x = y)]
c) G(x) ∧ B(y) ∧ ∀zU (x, z) → U (z, x)
d) ∀x∃y G(x) → U (x, y) ∧ ∀z(U (x, z) → y = z) ∧ ∀x(B(x) → x = y) ∧
B(y)
e) ∀z∀y ¬(z = y) → ¬B(z) ∧ ∀xG(x) ∧ U (x, y)
Markera korrekt/korrekta alternativ. Ingen motivering krävs.
Felaktig markering ger avdrag.2 . (2p)
5. Tänk dig att domänen består av alla naturliga tal (heltal större än eller
lika med noll), och låt S(x,y) betyda att x är större än eller lika med y (d
v s x ≥ y), och noll betyda siffran 0. Formalisera följande: (3p)
a) Oavsett vilket tal vi väljer, så finns det alltid ett naturligt tal som är
större.
b) Större-än-relationen är transitiv (om x ≥ y och y ≥ z så är x ≥ z).
c) Om vi väljer två olika naturliga tal, kommer åtminstone det ena att
vara strikt större än noll (med >, inte ≥).
Var god vänd!
1 Du
får använda väl valda tolkningar - av typen T(P)=s, T(Q)=f,. . . - om du så önskar.
ger som minst 0p. Felaktiga markeringar går alltså inte ut över andra uppgifter
2 Uppgiften
2
6. Skapa strukturer som gör formlerna i följande formelmängder sanna. (1p+2p)
a) { ∀xVessla(x) → ∀y Slug(y), ∃z Vessla(z) ,¬Slug(hugo)}
b) { ∀x[Vis(x) → Mäktig(x)], stenapa=songoku, ∀x (stenapa = x ∨ songoku = x),
¬Vis(stenapa), Mäktig(songoku) }
7. Visa följande: (2p+2p)
a) ∀x[P(x) → R(x, s(x))], s(0) = 1 |= ∃x[P(x) → R(x, 1)]
b) ¬∀xP (x) → ¬∃yQ(y), Q(a) |= ∀xP (x)
8. Formalisera resonemangen med hjälp av relationerna D(x,y) för ”x är delbart med y” (D(14,7) till exempel, för 14 är delbart med 7), J(x) för "x är
jämnt”, 1 för talet ett, 2 för talet två och så vidare. Om ett resonemang är
korrekt, visa det i lämpligt bevissystem. Om ett resonemang är felaktigt,
konstruera en struktur som är ett motbevis. (2p+2p)
a) Något är jämnt om och enbart om det är delbart med två. Fjorton är
delbart med två |= Fjorton är jämnt.
b) Något är jämnt om och enbart om det är delbart med två. Sju är jämnt.
|= Sju är delbart med två.
9. Naturlig deduktion med våra tio regler är ett sunt och fullständigt bevissystem. Vi skapar nu ett nytt system genom att till våra tio regler lägga
regeln existensuppgradering (∃U), som säger att vi kan ersätta en ∃-formel
med en likadan ∀-formel. utan att ändra på premisserna. Det vill säga
Xn
(m)
∃xΦ(x)
Xn
(n)
∀xΦ(x)
∃U m
Kommer vårt nya bevissystem att vara sunt/korrekt? Om svaret är nej,
ge ett motexempel som visar det. Om svaret är ja, beskriv kortfattat hur
du resonerar. Det måste framgå av ditt svar att du har förstått vad sundhet
(korrekthet) betyder i sammanhanget. (3p)
3
Denna sida lämnad tom, så att formelbladet får separat ark.
4
P (premissregel)
––––––––––––
{n} (n) Φ
T (tautologiregel)
C (konditionalisering)
Xk
(k) Φ
⋮
Xm
(m) Ψ
–––––––––––––––––––––
Xm−{k} (n) Φ → Ψ
X1
(n1) Φ1
⋮
Xk
(nk) Φk
–––––––––––––––––––
X1 ∪ ⋯ ∪ Xk (n) Ψ
Q (kvantifikatorregel)
om Φ1,…, Φk ⊨ Ψ enl. satslogik
⟨Ψ1,Ψ2⟩ eller ⟨Ψ2,Ψ1⟩ ∊
{⟨∀x Φ(x), ¬∃x ¬Φ(x)⟩, ⟨∀x ¬Φ(x), ¬∃x Φ(x)⟩,
⟨∃x Φ(x), ¬∀x ¬Φ(x)⟩, ⟨∃x ¬Φ(x), ¬∀x Φ(x)⟩}
∀I (introduktion av allkvantifikatorn)
∀E (elimination av allkvantifikatorn)
X (m) Φ(c)
––––––––––––––––––
X (n) ∀x Φ(x)
X (m) Ψ1
–––––––––––––
X (n)
Ψ2
X (m) ∀x Φ(x)
––––––––––––––––––
X (n) Φ(t)
c förekommer inte i Φ(x)
eller i premisserna X
t är en sluten term
∃I (introduktion av existenskvantifikatorn)
∃E (elimination av existenskvantifikatorn)
X (m) Φ(t)
––––––––––––––––––
X (n) ∃x Φ(x)
Xj
(j) ∃x Φ(x)
⋮
Xk
(k) Φ(c)
⋮
Xm
(m) Ψ
–––––––––––––––––––––––––
Xj ∪ Xm−{k} (n) Ψ
t är en sluten term
c förekommer inte i Ψ, Φ(x),
eller i premisserna till rad n
IdI (introduktion av identitet)
––––––––––––––––
{} (n) t = t
t är en sluten term
IdE (elimination av identitet)
Xk
(k) Φ
⋮
Xm
(m) t1 = t2
–––––––––––––––––––––
Xk ∪ Xm (n) Ψ
Ψ är resultatet av att byta ut förekomster
av t1 mot t2 eller av t2 mot t1 i Φ