1. No category

Linköpings universitet
Matematiska institutionen
Martin Bengtsson
Kurskod: 973G10
Provkod: STN1
Lösningar
973G10/STN1
Matematik 1, 15 hp
del 1, Aritmetik och funktionslära, 6,5 hp
2015-04-23, kl. 08-13
1. (a) Mellan talen i följden 19, 22, 28, 37, . . . skiljer det 3, 6, 9 Om vi låter
mönstret fortsätta blir nästa två tal 37 + 12 = 49 och 49 + 15 = 64
Svar: 49 och 64.
(b) Om vi beräknar:
a5
405
=
= −3
a4
−135
a3
45
=
= −3
a2
−15
a4
−135
=
= −3
a3
45
a2
−15
=
= −3
a1
5
så ser vi att kvoten (r) i den geometriska följden är = −3. Tillsammans
med att första termen a1 = 5 kan vi ange det n:te talet i föjlden:
Svar: an = 5 · (−3)n−1
2. (a) 24035 = 2·53 +4·52 +0·51 +3·50 = 2·125+4·25+3·1 = 250+100+3 = 353
Svar: 353
(b) I basen 3 finns ental (30 ), tretal (31 ), niotal (32 ), tjugosjutal (33 ), osv.
25 är mindre än 27, antalet tjugosjutal är därför 0.
Antalet niotal i 25 är 2. Kvar är 25 − 2 · 9 = 7.
Antalet tretal i 7 är 2. Kvar är 7 − 2 · 3 = 1.
Antalet ental i 1 är 1. Kvar är 1 − 1 · 1 = 0.
Svar: 25 = 2213
(c) 4236 − 2456 = 1346
Svar: 1346
3. (a) Vi söker snittet mellan två mängder, dvs de element som finns i båda
mängderna.
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} ∩ {2, 5, 8, 11, 14} = {5, 11}
Svar: {5, 11}
(b) Om A är mängden av alla gula hattar, B är mängden av alla hattar
med tofs så är n(A) = 31, n(B) = 25 och n(A ∪ B) = 50. Vilket ger
att antalet element i mängden av alla gula hattar med tofs n(A ∩ B) =
n(A) + n(B) − n(A ∪ B) = 31 + 25 − 50 = 6.
Svar: 6 gula hattar har tofs.
(c) Att A är en äkta delmängd till B innebär
att samtliga element i A också finns i B
(samt att det finns element i B som inte
finns i A).
Då måste unionen av A och B (A ∪ B) ge
samma mängd som B.
B
A
Svar: A ∪ B = B
4. (a) −32 − 5 · (9 − 13) = 9 − 5 · ( -22 ) = 9 + 110 = 119
Första likheten är felaktig av två orsaker.
För det första är −32 = −3 · 3 = −9 (och inte 9) och för det andra är
9 − 13 = −4 (och inte −22).
Andra och tredje likheterna är däremot korrekta.
(b) En produkt av heltal där ett av talen är jämnt kommer alltid bli ett
jämnt tal. Om x är ett heltal blir därmed produkten x(x − 1) jämn, ty
antingen så är x eller x − 1 ett jämnt tal. Men om x(x − 1) är ett jämnt
tal kan det inte vara lika med 32155 som är ett udda tal. Alltså måste
ekvationen x(x − 1) = 32155 sakna heltalslösningar. VSV
5. (a) Kontrollera om 157 är delbart med primtalen upp till 11. (112 = 121
men 132 = 169 > 157)
Ej delbart med 2, ty udda entalssiffra.
Ej delbart med 3, ty siffersumman 1 + 5 + 7 = 13 är ej delbar med 3.
Ej delbart med 5, ty entalssiffran är inte 0 eller 5.
157
140 17
17
Ej delbart med 7, ty divisionen
=
+
= 20 +
ger inte ett
7
7
7
7
heltal som kvot.
157
110 47
47
Ej delbart med 11, ty divisionen
=
+
= 10 +
ger inte
11
11
11
11
ett heltal som kvot.
Svar: 157 är ett primtal.
(b) Största talet som delar 54 och 294 ges av SGD(54, 294) 54 = 2 · 3 · 3 · 3
294 = 2 · 147 = 2 · 3 · 49 = 2 · 3 · 7 · 7
SGD(54, 294) = 2 · 3 = 6
Svar: 6
(c) 14 = 2 · 7
21 = 3 · 7
M GM (14, 21) = 2 · 3 · 7 = 42
Svar: 42
6. (a) Om varje bokstav får användas hur många gånger som helst blir antalet
”ord” enligt multiplikationsprincipen:
5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 55 .
Svar: Antalet olika ”ord” är 55 = 3125.
(b) Om varje bokstav bara får användas en gång blir antalet ”ord” enligt
multiplikationsprincipen:
5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
Svar: Antalet olika ”ord” är 120.
(c) Från b-uppgiften fås totala antalet ”ord” om ingen bokstav får väljas
mer än en gång till 120 st. Av dessa innehåller 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
”ord” EN (tänk EN som en bokstav och bestäm antalet ”ord” med 4
bokstäver).
Antalet ”ord” av ovanstående 120 som inte innehåller EN blir därmed
120 − 24 = 96
Svar: 96
7. (a) f (x) = −(x − 1)2 + 1, −2 ≤ x ≤ 3 är en andragradsfunktion med negativ koefficient framför x2 -termen och har därför ett största värde. Att
det är x − 1 som kvadreras betyder att vår graf kommer vara förskjuten
1 steg åt höger jämfört med funktionen g(x) = −x2 och den avslutande
termen +1 förskjuter hela grafen ett steg uppåt.
Med hjälp av utseendet på y = −x2 och förskjutningarna nämnda ovan
kan vi skissa f (x).
För att lättare kunna rita ett korrekt utseende är det en hjälp att utöver
ovanstående också beräkna några enkla värden på f (x), t.ex.
f (−2) = −(−2 − 1)2 + 1 = −8, f (−1) = −(−1 − 1)2 + 1 = −3,
f (0) = −(0 − 1)2 + 1 = 0, f (1) = −(1 − 1)2 + 1 = 1,
f (2) = −(2 − 1)2 + 1 = 0, f (3) = −(3 − 1)2 + 1 = −3
(b) Sätt in och kontrollera i BÅDA ekvationerna i ekvationssystemet.
Första ekvationen:
5
1
= 5 + 2 = 7, HL = 7 vilket ger att V L = HL
VL = 2· −4· −
2
2
och ekvationen är uppfylld för angivna x och y.
Andra ekvationen: 5
1
15 17
2
V L = −3 · − 17 · −
=− +
= = 1, HL = 1 vilket ger att
2
2
2
2
2
V L = HL och ekvationen är uppfylld för angivna x och y.
x = 5/2 och y = −1/2 löser båda ekvationerna och därmed också
hela ekvationssystemet.
Svar: Ja, (se ovan)