1. No category

Matematik 3b, repetition 28 och 30 september 2015 [email protected] Kan du det här? o
o
o
o
o
o
o
o
o
Vad betyder begreppet polynom Begreppen diskret funktion och kontinuerlig funktion Avgöra hur många lösningar en ekvation har. / Hur många nollställen en polynomfunktion har. Använda nollproduktmetoden för att kunna lösa ekvationer ”av högre grad” Avgöra för vilka värden på x ett uttryck inte är definierat Förenkla rationella uttryck genom att först faktorisera täljare och/eller nämnare Använda faktorsatsen, för att ”gå från nollställe till funktion” Hantera polynom (exempelvis förenkla) Använda miniräknare för att rita upp grafer och med hjälp av den ”lösa ekvationer”, hitta nollställen, se om en funktion inte är definierad i en viss punkt. Centrala innehållet • Begreppen polynom och rationella uttryck samt generalisering av aritmetikens lagar till hantering av dessa begrepp. • Algebraiska och grafiska metoder för att lösa polynomekvationer av högre grad. • Orientering kring kontinuerlig och diskret funktion • Egenskaper hos polynomfunktioner av högre grad. • Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. • Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. • Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria Matematik 3b, repetition 28 och 30 september 2015 [email protected] Vad betyder begreppet polynom Ett polynom är en summa av termer av typen 𝒂 ∙ 𝒙𝒏 , där x är en variabel,
exponenten n ett naturligt tal och a en konstant. Varje polynom kan skrivas
𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏!𝟏 𝒙𝒏!𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟑 𝒙𝟑 + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎 ,
Vi säger att polynomet är av grad n. Detta är den matematiska definitionen. Vi
kan översätta det lite förenklat till att säga att ett polynom kan skrivas som ”ett tal gånger x upphöjt i ett naturligt tal + ett tal gånger x upphöjt i ett naturligt tal +…” Not. Ett naturlig tal är ett positivt heltal samt talet 0, alltså 0, 1, 2 ,3 ,4 ,5…
Ex Vilka/vilket av följande alternativ är ett polynom A. 𝑥 !,! + 3𝑥 𝑥+2
B. !
𝑥 − 7𝑥
3
C. + 𝑥 ! 𝑥
D. 𝑥 ! + 2𝑥 + 7 Lösning: A är inget polynom eftersom en av exponenterna är 1,5 (inget naturligt tal). B är inget polynom, det är ett rationellt uttryck (ett polynom delat med ett polynom). C är inget polynom 3/𝑥 kan skrivas om till 3𝑥 !! , men −1 är inget naturlig tal. D är ett polynom eftersom det kan skrivas som ovan ”ett tal gånger x upphöjt i ett naturligt tal + ett tal gånger x upphöjt i ett naturligt tal +…”. Ex 1 Avgör vilket/vilka av följande alternativ som är ett polynom A. 𝑥 ! + 2𝑥 − 𝑥 !! 4
B. + 5𝑥 ! 𝑥
C. 3𝑥 ! + 4𝑥 − 7 7
D. !
𝑥 + 3𝑥
Se sid 8 Matematik 3b, repetition 28 och 30 september 2015 [email protected] Begreppen diskret funktion och kontinuerlig funktion Ett förenklat sätt att beskriva en kontinuerlig funktion är att säga att det är en funktion som går att rita utan att lyfta pennan från papperet. Det är en funktion som är sammanhängande. De flesta av de funktioner vi tittat på så här långt är kontinuerliga. Exempelvis är alla polynomfunktioner kontinuerliga. Ett exempel på en diskret funktion är en funktion vars definitionsmängd är heltalen (eller delmängder av heltalen). Ett mer konkret exempel på en diskret funktion kan vara 𝒇 𝒙 = 𝟐𝟗𝟗𝒙, där x är antalet dagar du hyr en bil där man bara hyr heldagar. Eftersom x bara kan vara heltal blir det en diskret funktion. Ex I en affär kostar äpplen 5 kr/kg (ja, det är rea…). Funktionen 𝑦 = 5𝑥 beskriver priset y kr för äpplen som väger x kg. Detta är en kontinuerlig funktion, definitionsmängden är 𝑥 ≥ 0. Se funktionen i bilden till vänster. Priset som funktion av vikten
Priset som funktion av antalet
Diskret funktion
Kontinuerlig funktion
I en annan affär kostar äpplen 5 kr/st. Funktionen 𝑦 = 5𝑥 beskriver priset y kr för x st äpplen där x är ett naturligt tal. Se funktionen i bilden till höger. Ex 2 A-­‐D beskriver några situationer som alla kan beskrivas med en funktion. Vilket/vilka av alternativen beskrivs bäst med en kontinuerlig respektive diskret funktion? A. Vattenvolymen i ett badkar beror av hur länge kranen står på. B. En cylinders volym beror av dess radie. C. Kostnaden för lösgodis beror av vikten. D. Intäkten beror av hur många chokladpraliner som säljs. Se sid 13 Matematik 3b, repetition 28 och 30 september 2015 [email protected] Avgöra hur många lösningar en ekvation har/ Hur många nollställen en polynomfunktion har En polynomekvation av grad n har n rötter. En andragradsfunktion har två, en eller inget nollställe. En tredjegradsfunktion kan ha som mest tre nollställen. En polynomfunktion av grad n har som högst n nollställen. Hur kan vi då veta exakt hur många nollställen funktionen har? Ja, grafiskt så kan vi ju rita upp funktionen och hitta nollställena till densamma. Algebraiskt måste vi sätta funktionsvärdet till 0 och lösa den ekvations som uppkommer. Från Ma1 och Ma2 har vi metoder för att lösa första-­‐ och andragradsfunktioner. För ekvationer av högre grad måste vi i dagsläget använda nedanstående metod. Använda nollproduktmetoden för att kunna lösa ekvationer ”av högre grad” Vi har inte någon generell metod för att lösa ekvationer av ex grad 3, 4 och 5. Däremot har vi ett knep för att kunna lösa vissa av dessa ekvationer och det är att ”se till” att högerledet är noll och att sedan faktorisera vänsterledet. Därefter kan vi tillämpa nollproduktmetoden. Ett annat knep är substitutionsmetoden (se sid 23). Kom ihåg att du inte har löst en ekvation klart förrän du kommit fram till 𝒙 = _________. Ex Lös ekvationen 𝑥 ! + 2𝑥 ! = 0 Lösning 𝑥 ! + 2𝑥 ! = 0 𝑥 ! 𝑥 + 2 = 0 Enligt nollproduktmetoden är antingen 𝑥 ! = 0 eller 𝑥 + 2 = 0 𝑥! = 𝑥! = 0 𝑥! = −2 Ex 3 Lös ekvationerna a) 𝑥 ! − 4𝑥 = 0 b) 𝑥 ! − 16𝑥 ! = 0 c) 𝑥 ! + 4𝑥 ! − 12𝑥 = 0 d) 𝑥 ! = −4𝑥 ! Se sid 22-­‐23 Matematik 3b, repetition 28 och 30 september 2015 [email protected] Förenkla rationella uttryck genom att först faktorisera täljare och/eller nämnare? Rationella uttryck är ”ett polynom delat på ett polynom”. Exempelvis är 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟕
𝒙+𝟓
ett rationellt uttryck. Vi kan addera och subtrahera två rationella uttryck med varandra. Det är då viktigt att se till att de olika uttrycken har samma nämnare. Då vi multiplicerar två rationella uttryck med varandra så multiplicerar vi täljarna för sig och nämnarna för sig. Vi kan också förkorta rationella uttryck. För att kunna göra det behöver vi oftast faktorisera yttrycken först. Faktorer som är lika i både täljare och nämnare kan vi sedan ”förkorta bort”. 4𝑥
𝐄𝐱 Förenkla följande rationella uttryck 8
Lösning 4𝑥 4𝑥 4 𝑥
=
= 8
8/4
2
Här har vi förkortat med 4 eftersom faktorn 4 finns i både täljare och nämnare 18𝑥 !
𝐄𝐱 Förenkla följande rationella uttryck 24𝑥 !
Lösning 18𝑥 ! 18𝑥 ! 6𝑥 !
3
=
= ! !
!
!
24𝑥
24𝑥 /6𝑥
4𝑥
Här har vi förkortat med 6x ! eftersom faktorn 6x ! finns i både täljare och nämnare. Om vi inte ser att det är 6x ! vi ska förkorta med så kan man börja med att förkorta med 2 och sen med 3 och sedan x ! , det går lika bra även om det tar lite längre tid. I dessa två exempel har vi inte behövt faktorisera vare sig täljare eller nämnare på grund av de redan från början bestod av faktorer. Om täljare eller nämnare inte bara består av faktorer måste vi som sagt faktorisera. 2𝑥 ! − 6𝑥 !
𝐄𝐱 Förenkla följande rationella uttryck 4𝑥
Lösning 2𝑥 ! − 6𝑥 ! 2𝑥 ! (𝑥 − 3) 2𝑥 ! (𝑥 − 3)/2𝑥 ! 𝑥 − 3
=
=
=
4𝑥 !
4𝑥 !
4𝑥 ! /2𝑥 !
2𝑥
Först bryter vi ut 2𝑥 ! eftersom 2𝑥 ! finns i båda termerna. På så sätt består nu täljaren av faktorer och vi kan förkorta, i detta fall med just 2𝑥 ! . Se sid 24 – 37 Matematik 3b, repetition 28 och 30 september 2015 [email protected] När vi faktoriserar ett uttryck kan vi göra det på olika sätt 1. Bryta ut (som exemplet ovan) 2. Använda ”omvända” konjugat-­‐ eller kvadreringsregeln 3. Hitta nollställen Ex 4 Förenkla uttrycken så långt som möjligt. 12𝑥 !
4𝑥 ! − 20𝑥 + 25
a) k) 15𝑥 !
15 − 6𝑥
𝑎𝑏 6𝑏
l) ∙ 6𝑥 ! − 12𝑥 !
2 𝑎
b) !
6𝑥
𝑎𝑏 6𝑏
m) 4𝑥 ! − 12𝑥 !
2 𝑎
c) 6𝑥 !
𝑎! − 1
6
n) ∙
𝑥 𝑥 𝑥
3
4𝑎 + 4
d) + − 2 3 12
2 2 − 4𝑎
e) 2
𝑎
𝑎
Ex 5 Lös ekvationerna 𝑥 𝑥
a) − = 24 !
!
6𝑥 − 12𝑥
2 8
f) 3𝑥 !
𝑥−1 𝑥−2
b) +
= 3 !
2𝑥
2
3
g) 6𝑥 − 3𝑥 !
𝑥!
1
c) +2=
!
!
7𝑥 + 21𝑥
𝑥−1
𝑥−1
h) 7𝑥 !
2𝑥 ! − 18
i) 3−𝑥
𝑥 ! + 8𝑥 + 16
j) 2𝑥 + 8
Matematik 3b, repetition 28 och 30 september 2015 [email protected] Avgöra för vilka värden på x ett uttryck inte är definierat Då vi arbetar med rationella uttryck är det viktigt att komma ihåg att ”vi får inte dela på noll” alltså ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är noll. Ex För vilka värden på x är uttrycket 45𝑥 + 3𝑥 !
(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)
inte definierat? Lösning Uttrycket är inte definierat då nämnaren är 0, dvs då 𝑥 + 5 𝑥 − 2 = 0. Vi löser därför ekvationen 𝑥 + 5 𝑥 − 2 = 0 𝑥 + 5 = 0 eller 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −5 eller 𝑥 = 2 Alltså är uttrycket inte definierat då 𝑥 = −5 eller då 𝑥 = 2. Ex För vilka värden på x är uttrycket 7
5
+
𝑥 − 5 𝑥(𝑥 − 5)
inte definierat? Lösning Vi börjar med att utföra additionen, då måste vi ju ha gemensam nämnare. 7
5
7𝑥
5
7𝑥 + 5
+
=
+
=
𝑥 − 5 𝑥(𝑥 − 5) 𝑥(𝑥 − 5) 𝑥(𝑥 − 5) 𝑥(𝑥 − 5)
Uttrycket är inte definierat då nämnaren är 0, dvs då 𝑥 𝑥 − 5 = 0. Vi löser därför ekvationen 𝑥 𝑥 − 5 = 0 𝑥 = 0 eller 𝑥 − 5 = 0 𝑥 = 0 eller 𝑥 = 5 Alltså är uttrycket inte definierat då 𝑥 = 0 eller då 𝑥 = 5. Ex 6 För vilket/vilka värden på x är uttrycket inte definierat 2𝑥
a) 12𝑥 − 24
4𝑥 − 𝑥 !
b) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
2
3 + 4𝑥
c) +
𝑥 𝑥(𝑥 + 4)
Se sid 25 Matematik 3b, repetition 28 och 30 september 2015 [email protected] Använda faktorsatsen, för att ”gå från nollställe till funktion” Hantera polynom Ett polynom är exempelvis 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟏. Vi vill ofta att de ska skrivas på just detta sätt och inte på det här sättet 1+ 𝒙 𝒙𝟐 + 𝟐 .Vi behöver därför kunna förenkla polynom och ett tips är att skriva ”den högsta x-­‐termen först” Ex Förenkla 𝑥 ! + 𝑥 4𝑥 − 12 = 𝑥 ! + 4𝑥 ! − 12𝑥 𝑥 ! − 2𝑥 𝑥 + 4𝑥 ! = 𝑥 ! − 2𝑥 ! − 8𝑥 ! = −8𝑥 ! − 𝑥 ! Kom ihåg att vi kan hitta nollställen till en funktion 𝒚 = (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟒) genom att lösa ekvationerna 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 𝐨𝐜𝐡 𝒙 + 𝟒 = 𝟎. Vi kan alltså ganska snabbt se att funktionen har nollställen då 𝒙 = 𝟐 och då 𝒙 = −𝟒. På motsvarande sätt (fast omvänt) kan vi genom att titta på en grafs nollställen (och ibland även ytterligare en punkt) bestämma funktionen. Vi vet att en funktion kan skrivas som 𝒚 = 𝒌 𝒙 − 𝒆𝒏𝒂 𝒏𝒐𝒍𝒍𝒔𝒕ä𝒍𝒍𝒆𝒕 𝒙 − 𝒂𝒏𝒅𝒓𝒂 𝒏𝒐𝒍𝒍𝒔𝒕ä𝒍𝒍𝒆𝒕 𝒙 − 𝒕𝒓𝒆𝒅𝒋𝒆 𝒏𝒐𝒍𝒍𝒔𝒕ä𝒍𝒍𝒆𝒕 𝒐𝒔𝒗 där k är en konstant. Ex Grafen visar funktionen 𝑦 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏). Bestäm a och b. Lösning Vi vet att om vi löser 𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑏 = 0, så får vi lösningarna 𝑥! = −1 och 𝑥! = 3. Detta måste innebära att de två parentserna bör vara (𝑥 + 1) och (𝑥 − 3) alltså är a och b −1 respektive 3 eftersom 𝑥 − (−1) 𝑥 − 3 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3). Ex 7 Förenkla a) 3𝑥3 + 𝑥2 4𝑥 − 𝑥 b) 7𝑥 ! − 2𝑥 3𝑥 + 4𝑥 ! c) 4𝑦 ! − 2𝑦 𝑦 − 3 d) 𝑎 + 2 𝑎 − 2 − 𝑎(𝑎 + 5) e) 2 𝑥 + ℎ ! − 𝑥 − ℎ ! Ex 8 Grafen till höger visar funktionen 𝑦 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏). Bestäm a och b. Ex 9 Skriv en andragradsekvation som har rötterna −2 och 12 Ex 10 Skriv polynomet i faktorform a) 𝑝 𝑥 = 𝑥 ! − 16𝑥 + 60 b) 𝑝 𝑥 = −10𝑥 ! + 50𝑥 − 60 Se sid 49-­‐51 Matematik 3b, repetition 28 och 30 september 2015 [email protected] Fler övningar som du kan träna på Blandade övningar sid 66 – 69 Steg 1 Steg 2 Diagnos, sid 65 4, 5, 6, 7, 8, 9 4, 5, 6, 7, 8, 9 Blandade övningar 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8ab, 9, Steg1 + 12, 13, 16, sid 66 – 67 10, 11 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24 Blandade övningar 29, 30, 32, 33, 35 Steg 1 + 36, 37, 38, sid 68 – 69 42, 43 Titta även på • De anteckningar ni fått till varje lektion • Sammanfattning på sid 62 – 63 • Kan du det här? 1 sid 64 • Sant eller falskt sid 61 Steg3 4, 5, 6, 7, 8, 9 Steg 1+ Steg 2 + 25, 26, 27 Steg 1+ Steg 2 + 40, 41, 42, 43 Matematik 3b, repetition 28 och 30 september 2015 EGNA ANTECKNINGAR [email protected]