1. No category

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, vt 2015
För att man ska bli godkänd på kursen krävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer
är godkända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatoriska. Enligt kursplanen ska inlämningsuppgifterna
och datorövningar vara godkända innan den skriftliga tentamen. En vecka före varje omtentamenstillfälle
tar vi emot missade inlämningsuppgifter. I dessa fall ska samtliga uppgifter lämnas in. Det kan därför vara
klokt att spara det man hunnit göra med inlämningsuppgifterna under kursens gång.
När alla obligatoriska inlämningsuppgifter är godkända och datorövningarna fullgjorda förs detta in i
Ladok (under rubriken: Datorlaborationer – av historiska skäl). Slutbetyg på kursen förs in när såväl den
skriftliga tentamen som de obligatoriska momenten är avklarade. Resultatet på den skriftliga tentamen
avgör slutbetyget.
I år gör vi ett litet experiment, och kommer inte speciellt att examinera laborationerna. Det är dock
nödvändigt att göra dem, för att kunna lösa vissa av inlämningsuppgifterna.
Varför har vi inlämningsuppgifter?
Kursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge:
• förmåga att läsa och bedöma de matematiska resultaten i andras arbeten,
• färdighet i egen problemlösning,
• träning i att för andra redovisa matematiska överläggningar,
• träning i att använda matematiska datorprogram.
Detta är svårt att göra enbart under lektioner och ännu svårare att testa vid en femtimmarstentamen.
Därför har vi inlämningsuppgifter. Eftersom uppgifterna inte enbart är till för att träna problemlösning
läggs en hel del vikt även vid presentationen.
Sikta på att att skriva lösningarna på ett sådant sätt att att du själv och dina kurskamrater skall kunna
läsa och förstå dem även efter några månader (innan kursen blivit helt bortglömd).
Rättning av uppgifterna
Dina inlämningsuppgifter rättas av någon av lärarna som är inblandade i kursen. Eventuellt får vi hjälp av
ytterligare någon.
Se information på kurshemsidan för vem du ska lämna in dina lösningar till.
Vi använder skalan G/U vid rättningen. Om du får U på någon uppgift, måste du lämna in en komplettering av denna. Se till att bli helt godkänd på den första omgången inlämningsuppgifter innan det är
dags för den andra omgången!
Vi rättar inlämningsuppgifterna ganska hårt – hårdare än vi brukar rätta tentor. Det ger dig en möjlighet att träna på att presentera goda lösningar, och inte bara nätt och jämt acceptabla sådana.
Se det inte som ett misslyckande om du inte blir godkänd i första försöket (det brukar bara vara ett
fåtal som blir det). Se det i stället som en möjlighet att få personlig feedback som gör att dina lösningar
blir bättre!
Några regler för utförandet
• Arbetet får gärna göras i samarbete. Ange i så fall med vem. Om ni samarbetar två och två, så vill
vi att ni lämnar in en enda gemensam lösning. Märk försättsbladet tydligt med bådas namn och
personnummer.
1
• Om du kör fast eller är osäker så använd alla tillgängliga hjälpmedel, läroboken, övningssamlingen, dina lärare, kamrater, . . . för att komma vidare. (Det betyder dock inte att det är tillåtet
att någon annan förser dig med en fullständig lösning! Det är heller inte tillåtet att fråga efter
fullständiga lösningar på onlineforum. Om du ändå ställer frågor om inlämningsuppgifter, var
noga med att ange att det handlar om obligatoriska och examinerande uppgifter.)
• Redogörelserna ska vara prydligt handskrivna. Riv bort eventuella fransar från marginalerna.
• Inled redogörelsen med ett försättsblad. Du kan ladda hem ett förtryck sådant på kurshemsidan.
• Sortera uppgifterna i nummerordning.
• Redogörelserna skall vara läsbart uppställda och utskrivna.
• Se till att svara på alla frågor som som ställs i uppgiften! Det händer ofta att man får U på någon
uppgift, just för att man inte besvarat frågorna.
• Alla räkningar skall vara inskrivna.
• Räkningarna kan vara utförda för hand. Använd gärna Maple eller Matlab för att kontrollera dina
beräkningar och på så sätt undvika onödiga slarvfel.
• Förklara de beteckningar som du inför.
• Förklara de olika stegen och ge logiska motiveringar till dem. Skriv text, helst fullständiga meningar, och namnge om möjligt de resultat du använder (geometrisk summa, teleskopserie, Cauchy–
Riemanns ekvationer . . . ).
• Börja om möjligt med en kort presentation av det problem du löser och sluta om det passar med
en sammanfattning av resultaten. Du behöver förstås inte göra det överdrivet detaljerat utan får
förutsätta att läsaren har problemtexten tillgänglig.
• Rita figurer varje gång det kan förbättra förståelsen!
• Alla körningar i Matlab eller Maple redovisas genom att en körjournal bifogas - om inget annat sägs
i uppgiften. Kommentera resultaten av datorräkningarna, försök att förklara eventuella överraskningar!
Checklista för bedömning av inlämningsuppgifter
Ni skall också själva pröva att bedöma lösningar, för att träna flera av kursmålen ovan. Det kan då vara
bra att ha en liten checklista:
• Går lösningen att läsa?
• Förklarar författaren sina beteckningar?
• Är räkningarna ordentligt uppställda i logisk ordning?
• Talar författaren om vilka (inte självklara) formler och satser som används?
• Svarar författaren på den fråga som ställs i uppgiften?
• Är framställningen språkligt korrekt?
• Är resultatet rimligt (använd sunt förnuft)?
• Är resultatet riktigt?
2
Inlämningsuppgift 1, Funktionsteori, vt 2015
Inlämning: Lösningarna ska lämnas in senast kl 15 måndagen den 9 februari 2015 i speciella fack på
våning 3 i Mattehuset. Kontrollera att du har skrivit namn, personnummer och kursprogram på dina
lösningar.
Hämtning: De rättade uppgifterna kan hämtas i ett fack invid inlämningsfacket. Uppgifterna bör vara
rättade senast en vecka efter deadline. Om du har någon deluppgift, som är U-märkt, rekommenderas du
att omgående rätta den och därefter lämna in den för ny bedömning. Alla deluppgifterna ska alltså vara
godkända för att inlämningsuppgiften i sin helhet ska betraktas som godkänd.
1.1 Bestäm den reella konstanten a så att
v(x, y) = x 3 + ax y2 − 3x 2 y + y3
blir imaginärdelen av en holomorf funktion f sådan att f (0) = 1. Uttryck också f (z) som en funktion
av z, där z = x + i y.
Utnyttja det du lärt dig på laboration 1: använd Maple för att kontrollera att du räknat rätt. Lämna in
resultatet av dina Maplekörningar.
1.2 Bestäm alla lösningar till ekvationen sin z = 2i. Vilka lösningar hittar Maple? Om du bara får fram en
lösning så skriv i Maple: _EnvAllSolutions:=true: Lös sedan ekvationen igen och använd evalc på
lösningen. Kommandot convert(..., expln) kan också vara användbart. Fick Maple samma lösning som du fick vid handräkning? Tolka alla ”konstiga” symboler som eventuellt finns med i Maples
svar. Glöm inte att lämna in en utskrift av dina Mapleräkningar. Glöm heller inte att i heter I i Maple.
1.3 Med följande Matlab-kommandon:
t = 0:pi/100:pi/2;
r = 0.5:0.1:1;
x = r' * cos(t);
y = r' * sin(t);
z = x + i*y;
w = log(z.^12);
surfc(x, y, imag(w))
y
x
0.5
1
ritas grafen till funktionen w = Im(log(z 12 )) om definitionsområdet är den fjärdedels cirkelring, som
är avbildad ovan. Matlabgrafen tycks göra tre språng. Vad är värdet på t i respektive språng? Motivera
ditt svar matematiskt och jämför dessutom med den figur, som du får fram med Matlab. Försök att
vara så tydlig (och korrekt) som möjligt!
Tänk på att Matlab använder logaritmfunktionens principalgren. (Vad blir z 12 om z = re it ?) Glöm inte
att lämna in resultatet av Matlab-körningen.
1.4 Låt Log betyda logaritmfunktionens principalgren. Ge konkreta exempel på tal z1 och z2 sådana att
z1
z1
Log z1 , Log z2 och Log är definierade men där Log ≠ Log z1 − Log z2 .
z2
z2
1.5 Beräkna kurvintegralerna
a)
∫
∣z∣=3
sin z
dz
3
(z − 30)(z 2 + 10)
där kurvan γ i b) är ellipsen x 2 + 4y 2 = 100 (där z = x + i y).
3
b)
∫
γ
ez
dz,
z2 + 4
1.6 Lös rekursionsekvationen
{
x n+2 − 8x n+1 + 16x n = 9n + 3, n = 0, 1, 2, . . .
x0 = 0, x1 = 0.
1.7 Lös rekursionsekvationen
{
x n − 10x n−1 + 50x n−2 = 0, n = 2, 3, . . .
x0 = 0, x1 = 10.
Skriv svaret på reell form (dvs. inga ”i:n” i svaret). Använd formeln för x n som du har beräknat för
hand och bestäm x32 dels med Matlab, dels med Maple. Det är alltså inte meningen att du ska lösa
ekvationen med hjälp av datorprogrammen.
Eftersom det inte är säkert att de båda programmen kommer fram till samma svar är det bra om du
beskriver hur du har gjort då du använt programmen. Lämna också in en utskrift av vad du gjort med
Maple respektive Matlab. Försök att förklara eventuella skillnader.
4
Inlämningsuppgift 2, Funktionsteori, vt 2015
Inlämning: Lösningarna ska lämnas in senast kl 17 onsdagen den 25 februari 2015 i speciella fack på
våning 3 i Mattehuset. Kontrollera att du har skrivit namn och kursprogram på dina lösningar.
Hämtning: De rättade uppgifterna kan hämtas i ett fack invid inlämningsfacket. Uppgifterna bör vara
rättade senast en vecka efter deadlinen. Om du har någon deluppgift som är U-märkt rekommenderas du
att omgående rätta den och därefter lämna in den för ny bedömning. Alla deluppgifterna ska alltså vara
godkända för att inlämningsuppgiften i sin helhet ska betraktas som godkänd.
2.1 Vilka av serierna
a)
5
k=0 k + 1
e)
∑e
b)
3
2
k=0 (k + 1)
f)
∑
∞
∑
∞
∞
−ik
k=0
c)
∞
(−1)k
∑ √
k
k=1
d)
∑
g)
∑
(−1)k
k=1 arctan k
h)
∑
∞
∑
k=1
1
k 1+1/k
k3
k
k=1 3
∞
∞
(−1)k sin k
k2 + 1
k=1
∞
1
kan du i
2
k=1 k
Maple skriva sum(1/k^2,k=1..infinity);. Avgör utan att använda Maple vilka av serierna som är
konvergenta respektive divergenta. Ge noggranna och fullständiga motiveringar. Detta är den uppgift
som brukar orsaka flest U:n. Vi rättar den stenhårt för att ni verkligen ska träna på att ge ordentliga
motiveringar.
∞
känner Maple igen och kan ange en summa eller ∞? För att t ex summera serien ∑
Varning: Om man med Maple försöker beräkna ett närmevärde för en divergent serie kan man få
k
vilseledande resultat. Exempelvis är serien ∑∞
k=0 (−1) givetvis divergent men i Maple ger kommandot
evalf(sum((-1)^k,k=0..infinity));
ändå värdet 0.5000000000. Testa både med och utan evalf när du kör Maple.
2.2 Skriv i Matlab
K = 1:100;
t = -10:0.05:10;
cnoll = 3*pi/4;
akoeff = 1/pi * ((-1).^K - 1) ./ (K.^2);
bkoeff = 1./K;
ymin = -0.5;
ymax = 4;
Använd Matlab-funktionen visaserie.m från laboration 2 för åskådliggöra delsummorna till Fourierserien
3π ∞ (−1)k − 1
1
+∑
cos kt + sin kt
2
4 k=1 πk
k
Använd Matlabillustrationen som underlag för att gissa vilken sträckvis linjär funktion som Fourierserieutvecklas. Visa att du har gissat rätt genom att räkna ut för hand Fourierkoefficienterna för den
funktion du gissar på.
5
2.3 Den 2π-periodiska funktionen f är jämn och uppfyller
f (t) = {
0
π
då 0 < t < π − 2
då π − 2 < t < π.
∞
Funktionens trigonometriska Fourierserie är 2 + 2 ∑(−1)k
k=1
sin 2k
cos kt. (Det behöver du inte konk
trollera.)
a) Bestäm seriens summa S(t) dels då t = 0, dels då t = 2 − π. Motivera noggrant!
b) Bestäm seriesummorna
sin 2k
k
k=1
∞
sin2 2k
.
k2
k=1
∞
∑
och
∑
(Använd Parseval för att beräkna den andra seriesumman.)
c) Konvergerar den trigonometriska Fourierserien likformigt på intervallet 0 < t < 2π ? Motivera
noggrant!
2.4 Det är känt (bl a från Maclaurinutvecklingar ) att
(−1)k−1 k
x ,
k
k=1
∞
ln(1 + x) = ∑
då
−1< x ≤1
(1)
(−1)k−1
. Uppskatta felets absolutbelopp då ln 2 approximeras med
k
k=1
∞
a) Då x = 1 ger det att ln 2 = ∑
(−1)k−1
.
k
k=1
10
partialsumman ∑
b) Observera att ln
serien för
1+x
= ln(1 + x) − ln(1 − x). Utnyttja serien i (1) att för att bestämma Maclaurin1−x
f (x) = ln
1+x
.
1−x
c) Bestäm ett värde på x, sådant att f (x) = ln 2. Uppskatta felet då ln 2 uppskattas med den 10:e
partialsumman för serien i b) (med motsvarande värde på x).
d) Kontrollera dina uppskattningar genom att låta Maple beräkna det verkliga felet:
evalf(sum(..., k=11..infinity));
(där ... byts ut mot lämpligt uttryck). Gör detta både för resultatet i a) och c). Vilket tal är större?
Din uppskattning eller det verkliga felet? Är det som förväntat?
6