Endimensionell analys (FMAA005) Anders Källén Föreläsning 9 Innehåll: Binomialsatsen och lite kombinatorik Vad borde ( x + y)4 vara lika med (se Pascals triangel)? Kapitel 4.2 Kombinatoriskt resonemang: 1. 2. 3. 4. Kombinatorik: med och utan återläggning Pascals triangel Binomialsatsen Faktorsatsen revisited ( x + y)n = ( x + y)( x + y) . . . ( x + y). Efter dagens föreläsning måste du - Kunna beräkna på hur många sätt man kan plocka ut delmängder ur en given mängd både när man bryr sig om ordningen och när man inte gör det - Kunna definiera binomialkoefficienten och förklara Pascals triangel och varför den är sann - Kunna formulera och bevisa binomialteoremet När vi multiplicerar ihop får vi termer på formen x n−k yk där k = 0, 1, . . . , n. Hur många? Det handlar om att välja y från k av paranteserna och x från resten, vilket går på (nk) olika sätt. Vi har bevisat Binomialsatsen: n n n−k k ( x + y)n = ∑ x y . k k =0 Exempel Vad blir koefficienten framför x18 i utvecklingen av 2 ( x2 + )15 ? Enligt binomialsatsen har vi att uttrycket är x 15 ∑ Kombinatorik: med och utan återläggning Kombinatoriken behandlar frågor av typen på hur många sätt kan man... - På hur många sätt kan vi ordna n olika element? Annorlunda uttryckt: om vi har en mängd { a1 , a2 , . . . , an } av olika element, på hur många sätt kan vi lägga ut dem i sviter typ a1 a2 . . . an , a2 a1 . . . an , . . .? Svar: n! = 1 · 2 . . . (n − 1)n. - På hur många sätt kan vi ur en mängd om n element plocka ut k stycken, om ordningen spelar roll? Svar: n(n − 1) . . . (n − k + 1) = n! (n − k)! - På hur många sätt kan vi ur en mängd om n element plocka ut en delmängd om k element (ordningen spelar alltså ingen roll)? Svar: n n! . = k!(n − k )! k k =0 15 15 2 15 k 30−3k ( x2 )n−k ( )k = ∑ 2 x . k x k k =0 För att få termen x18 ska vi välja k så att 30 − 3k = 18, alltså k = 4. Koefficienten är då 15 4 2 = 21840. 4 Exempel längre fram behöver vi veta att e x /x kan bli hur stor som helst, om bara x är tillräckligt stor. För att se det ska vi först se att om x är tillräckligt stor gäller att e x > x. Bevis. Till x > 2 tag heltalet n som uppfyller n ≤ x < n + 1. Då gäller e x ≥ e n > 2n = (1 + 1 ) n = n 1 n n = 1 + n > x. > ∑ k k k =0 k =0 ∑ 2 Notera att mitt i resonemangent har vi visat formeln n n ∑ k = 2n . k =0 Kallas binomialkoefficienter. Pascals triangel Två grundläggande formler för binomialkoefficienterna är n n = (att välja ut k är det samma som att lämna kvar n−k k n −k) n n−1 n−1 = + (dela upp mängderna i de som innek k k−1 håller an och de som inte gör det). När vi nu vet att e x > x vet vi också att e x/2 > x/2 och därför att √ √ e x/2 / x > x/2. Ur det följer att ex e x/2 x = ( √ )2 > . x 4 x Dessa räkneregler innebär att man snabbt kan beräkna binomialkoefficienter för små n genom Pascals triangel: Detta ska användas i F11. Faktorsatsen revisited Om vi i den geometriska summan 1 + a + a 2 + . . . + a n −1 = 1 1 1 1 1 2 4 o sätter a = x/α får vi att 1 3 1 3 6 s an − 1 a−1 x n − αn = ( x − α)( x n−1 + αx n−2 + . . . + αn−1 ) = ( x − α)q( x ), 1 4 v 1 där q( x ) är ett polynom av grad n − 1. Detta ger oss ett alternativt bevis för faktorsatsen som följer. Låt Binomialsatsen p ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + . . . a 1 x + a 0 Vi vet att ( x + y)1 = x + y, ( x + y)2 = x2 + 2xy + y2 , 3 3 2 2 3 ( x + y) = x + 3x y + 3xy + y . vara ett givet polynom och låt α vara ett godtyckligt tal. Då gäller att p( x ) − p(α) = n n n n k =0 k =0 k =0 k =0 ∑ ak x k − ∑ ak αk = ∑ ak ( x k − αk ) = ∑ ak ( x − α)qk ( x ) och alltså n p ( x ) = ( x − α ) Q ( x ) + p ( α ), Q( x ) = ∑ a k q k ( x ), k =0 där Q( x ) är ett polynom av grad n − 1 (eftersom qk ( x ) är av grad k − 1). Det följer att (vilket är faktorsatsen) p(α) = 0 ⇔ ( x − α ) | p ( x ). Att fundera på till nästa gång 1. Bevisa formeln n n ∑ k = 2n . k =0 genom att använda ett kombinatoriskt resonemang. 2. Visa att n n n n n n n + + +...+ = + +...+ . 0 2 4 n 1 3 n−1
© Copyright 2024