1. No category

Källor till magnetfält
Emma Björk
Magnetfältets källor
• B-fält från en laddad partikel i rörelse
• B-fält från ledarsegment med längd dl
• B-fält från lång rak ledare fås genom integrering
• Kraft mellan två strömförande ledare
• B-fält från strömslinga
• Magnetiska material
• Begreppet magnetiskt flöde ΦB
Magnetfält från punktladdning i rörelse
µ 0 q v sin φ
B=
4π
r2
=
4
̅× ̂
Endast laddningar i
rörelse ger B-fält!
Jämför med E-fältet:
1
=
̂
4
Magnetfält från ledarelement med ström I
dQ = nqAdl
µ 0 dQ vd sin φ
dB =
=
2
4π
r
µ 0 n q Adlvd sin φ
=
4π
r2
n q Avd = I
µ 0 Idl sin φ
dB =
2
4π
r
Ofysikaliskt fall! Strömmen kommer ur intet och försvinner lika fort!
Är dock bra startpunkt för integrering.
Biot Savarts lag
=
4
̅× ̂
Integrera detta för att få fram magnetfältet för en godtycklig
ledare:
=
4
̅× ̂
Magnetfält från rak ledare
• Ledaren har , längd 2a och ström I
• Genom att addera bidragen från varje
litet ledarelement erhålles B-fältet från
den raka ledaren.
B=
µ0
4π
Idl sin φ
∫ r2
r = x2 + y2
x
sin φ = sin(π − φ ) =
µ0 I
B=
4π
=
∫
xdy
a
−a
(x
2
+ y2
x2 + y2
)
3
= ...
2
µ0 I
2a
riktning enl. figur.
2
2
4π x x + a
Fig. 28.5
Magnetfält från oändligt lång rak ledare
Oändligt lång rak ledare med ström I
µ0 I
2a
B=
4π x x 2 + a 2
a >> x
B=
µ0 I
2πx
Fig. 28.6
Högerhandsregel 3: Tummen i strömmens riktning,
fingrarna pekar i magnetfältets riktning
Kraft mellan två parallella ledare
• Två parallella ledare med ström I och I’
Fig. 28.9
• Den ena ledare alstrar ett B-fält som den andra påverkas av, och vice
µ0 I
versa.
B=
2π r
µ0 I I ′L
F = BI ′L =
2π r
F µ0 I I ′
Per enhetsläng d får vi : =
L
2π r
Definitionen av Ampere
Ampere är en grundenhet i SI-systemet, och definieras med
hjälp av kraften mellan två strömförande ledare enligt:
En Ampere är den konstanta ström som, om den går i var
och en av två parallella ledare med oändlig längd och på en
meters avstånd från varandra i tom rymd får varje ledare att
utsättas för en kraft av exakt 2×10-7 Newton per meter längd.
Magnetfält från strömslinga
Fig. 28.11
Bx =
(
µ 0 Ia 2
)
3
=
(
µ0 µ
)
2 x +a
2π x + a
I centrum av spole med N varv :
Bx =
2
Nµ 0 I
2a
2
2
2
2
3
2
Ideal lång solenoidspole
n varv/m
Toroidspole
N varv.
r
Inne i den av lindningar omslutna
Fig. 28.22-24
I centrum av solenoidspolen :
B = µ 0 nI
Utanför spolen : B ≈ 0
volymen i en toroidspole på
avstånd r från centrum :
µ NI
B= 0
2π r
Utanför spolen : B ≈ 0
Tabell i ert formelblad
Magnetiska material
• Att vissa material är magnetiska kan
förstås om vi gör en (förenklad) modell
av en atom som en + laddad kärna med
– laddade elektroner som snurrar runt
kärnan. Detta kan ge upphov till en
cirkulerande ström, dvs. en liten
magnetisk dipol.
• En sådan slinga har ett magnetiskt
dipolmoment µ = IA.
Om nettoströmmen
= 0 är materialet
diamagnetiskt
Om nettoströmmen
≠ 0 är materialet
paramagnetiskt
eller
ferromagnetiskt
I ett paramagnetsikt ämne är de små ”strömslingorna” normalt
slumpmässigt orienterade, så vi får ingen nettomagnetism.
Om vi lägger på ett B-fält utsätts de för ett vridmoment enligt:
τ = µ ×B
Detta vridmoment orienterar atomerna så att vi får ett nettomoment
per volymsenhet som vi kallar M.
Resulterande fält
M =
µ tot
Pålagt fält
V
B = B0 + µ 0 M
B = B0 K m
Magnetisk succeptibilitet
B0 K m = B0 + µ 0 M
B0 ( K m − 1) = µ 0 M
Χm=Km-1
Ersätt µ0 med
µ = Kmµ0 i tidigare
formler om vi inte
har vakuum.
Förväxla ej detta µ
med µ =IA!!!
Ferromagnetism
• I ferromagnetiska ämnen finns domäner där dipolerna är riktade åt samma
håll. Om ett yttre fält läggs på växer de domäner till som är orienterade
längs fältet vilket ger mycket höga värden på Km, 1000-10.000
(paramagnetiska ämnen har Km = 0.2 -60).
• Ofta kvarstår en viss orientering sedan det yttre fältet stängts av vilket ger
en permanentmagnet.
Hos ferromagneter är relationen mellan det
pålagda och det resulterande fältet olinjär och
har stark hysteres.
Elektriska fallet (kap 24)
Magnetiska fallet
E0
E=
K
B = B0 K m
Km är den relativa
permeabiliteten
K är den relativa
dielektricitetskonstanten (eng.
dielectric constant).
Paramagntism: Km >1
K alltid > 1
Diamagnetism Km < 1
Dvs. om vi har ett medium
minskar alltid E-fältet jämfört
med i vakuum.
Dvs. i två av fallen ökar Bfältet jämfört med i vakuum
Byt ε0 mot ε i formlerna och
räkna som vanligt!
Ferromagnetism Km >> 1
Byt µ0 mot µ i formlerna och
räkna som vanligt! (förväxla ej
detta µ med magnetiskt
dipolmoment µ=IA)
B
Magnetiskt flöde
• En magnet ger upphov till ett magnetiskt fält som ges av en
vektor
, , . Vi kallar detta ett vektorfält. (Exakt
samma resonemang kan användas om de elektriska E-fältet.
• Jämför med hastighetsfördelningen ̅
strömmande vätska.
, ,
i en
Vattenflöde med konstant hastighet v
• Vattenflödet [m3/s] genom A är
cos !
• Beräkna ytan med vektorn ̅, där beloppet är arean av ytan
och riktningen r vinkelrät mot ytan (observera att vi kan
välja två riktningar).
• Vattenflödet kan då anges som skalärprodukten ̅ · ̅
Tillämpa samma resonemang som för vattenflöde på vektorfältet
, , och kalla flödet av detta fält ΦB
Φ# = · ̅
Om ytorna är släta och fältet homogent (dvs. samma storlek och
riktning i varje punkt) erhålls flödet enkelt som en skalärprodukt.
Figuren från kap. 22 visar flödet av det elektriska fältet. Exakt samma
resonemang gäller för B-fältet. Byt bara E mot B ovan.