1 Föreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap. 2.12-2.15) Komihåg 4: •Vinkelhastighetsvektorn " = #˙e z . • Skillnadsvektorn mellan två punkter i stel kropp kan bara vrida sig: r˙BA = " # rBA . •Sambandet mellan olika punkters hastigheter i en stel kropp: v A = v B +!" # rBA . A rör sig i cirkel kring B! ! Accelerationssamband i stel kropp ! Derivera med kroppsfix referenspunkt B: ˙BA a A = a B + "˙ # rBA + " # r{ = "#rBA = a B + "˙ # rBA + " # (" # rBA ) Resultatet är en sambandsformel för två kroppsfixa punkters (A och B) accelerationer. ! ! Obs: För plan rörelse är "˙ och " parallella, dvs ut eller in i planet. Bidraget "˙ # rBA är då i den ’relativa cirkelns’ tangentriktning. Bidraget " # (" # rBA ) är riktat i normalriktningen ! B! ! in mot ! ! 2 ! ! ! ! Övning: Uttryck för plan rörelse bidragen "˙ # rBA och " # (" # rBA ) i cylinderriktningarna e r och e" sett från B. Skiss: Låt " = #˙e z , "˙ = #˙˙e z , samt rBA = dBAe r . Detta ger: "˙ # rBA = $˙˙e z # dBAe r = dBA$˙˙e$ , samt ! " # (" # rBA ) = $˙e z # ($˙e z #!dBAe r )!= %dBA$˙ 2e r . 14243 !d BA$˙e $ ! ! Sammantaget: a A = a B " dBA#˙ 2e r + dBA#˙˙e# . Obs: Om referenspunkten är ett momentancentrum C med v C = 0 , gäller enligt tidigare formel v A = " # rCA , varför ! accelerationsformeln blir a A = a C + "˙ # rCA + " # v A snarare än a A = a B + "˙ # rBA + " # ( v A $ v B ) ! Rullning utan!glidning ! När ett hjul rullar plant utan att glida mot horisontellt underlag finns ett samband mellan dess vinkelhastighet och mittpunktens förflyttning. Momentant är kontaktpunkten i vila (eftersom den inte glider mot underlaget) och är alltså ett momentancentrum C. Med momentancentrum som referenspunkt beskrivs andra 3 punkters hastigheter med formeln: v A = " # rCA , och accelerationerna med: a A = a C + "˙ # rCA + " # v A . ! För mittpunkten B gäller att den rör sig parallellt med ! C på underlaget. kontaktpunktens läge under ! av C motsvarar båglängdens ökning för de Förflyttningen punkter på hjulet som haft kontakt med underlaget. För rak rörelse åt höger är hastighetsriktningen konstant: ˙ v B = "R#˙e X , och " är negativ. Detta uttryck kan deriveras för att få accelerationen: a B = "R#˙˙e X Exempel: Betrakta a) hastigheter och b) accelerationer i olika punkter på ett hjul som rullar med konstant vinkel! hastighet. ! Lösning: a) Hastigheterna i tre enkla punkter på hjulet visas i figuren. Vi har ett hastighets(momentan-)centrum i C. Pga olika avstånd från C ger vårt samband v A = 2v B . " A vA ! B ! ! vB ! C ! b) Accelerationerna i tre enkla punkter på hjulet visas i figuren. ! Vi har ett accelerationscentrum i B ( a = 0 ) B eftersom B (centrum) rör sig med konstant hastighet. OBS: ! Den enklaste punkten att analysera är B!!! ! 4 " aA aB = 0 aC ! ! Vi använder sedan sambandet i en stel kropp med konstant rotation: a B = a C + " # v B , där ju a B = 0 av samma skäl. ! Detta ! implicerar a C = "# $ v B = (0,# 2 R,0) . På samma sätt gäller för punkten A relativt C: a = a C + " # v A = " # (v{A $ v B ) = " # v B = $a C . !A ! 2v B ! Utväxling-kugghjul och remkoppling ! Betrakta två hjul som roterar kring fixa, parallella axlar. Om hjulen är i kontakt med varandra och kontaktpunkterna inte glider mot varandra, måste dessa ha samma hastighet. Man har då rA" A = rB" B . Samma relation gäller om hjulen separeras och i stället förbinds ! en rem. Vad är skillnaden? med 5 Rullning på krökt underlag*(Skissa) Betrakta en cylinderformad kropps rullning inuti ett större, vilande cylinderskal. Hastigheter: Vi inför vinkeln " som beskriver läget av den rullande cylinderns mittpunkt (även kontaktpunkt mot väggen). Vi inför också vinkeln ! " som anger absolut vridning av rullande cylindern. Masscentrums hastighet kan beskrivas från O som är i vila ! och ifrån C som är momentancentrum. ! ! ! De två alternativa uttrycken måste, bortsett från ! teckenkonventioner, överensstämma: vG = (R " r)#˙ = r$˙ . Detta ger en relation mellan två vinkelhastigheter som var för sig kan användas till att beskriva masscentrums rörelse! ! Inför sedan naturliga riktningar: e t = (cos",sin ",0) och e n = ("sin #,cos #,0) . Då blir masscentrums hastighet som vektor: (1) vG = (R " r)#˙ e t = r"˙e t . Den sista likheten följer också från analys av rörelsen sett ! från lilla cylinderns momentancentrum. Då är " = #$˙e z och rCG =!re n , som återigen ger v G = "#˙re z $ e n = r#˙e t . 123 "e t Masscentrums beskriver en cirkelrörelse! ! ! ! 6 Accelerationer**: Masscentrums acceleration kan fås genom att tidsdifferentiera ekvation (1): ˙ t = (R " r)#˙˙e t + (R " r)#˙ 2e n . a G = (R " r)#˙˙e t + (R " r)#˙ e{ #˙e n ˙ 2 ˙ r " r# Alternativt med "˙ = fås a G = r"˙˙e t + en . ! R#r R$r ( ) ! Med detta som referensacceleration i kroppen erhålls sedan andra punkters acceleration enligt sambandet !# (" # r ) . Med B = G och A = C ˙ # rBA + " a A = a! B +" BA (momentancentrum) erhålls: a C = a G + "˙ # rGC + " # (" # rGC ) = a " #˙˙e $ ("re ) " #˙e $ "!#˙e $ ("re !) = ! G z r"˙˙e t ! ! z [( z ) ] 2 % ( e n + r"˙˙e z $ e n # "˙e z $ 'r"˙ e z $ e n * 123 ' 123* R#r #e t #e t & ) r"˙ ( ) + 2 ( ) = #e n Är inte detta ett märkligt resultat?? ! ! n % ( $ r ' e n # r"˙ 2 e z $ 'e z $ e n * = r"˙ 2 &1+ )e n . 1 2 3 % R # r( ' * R#r #e t & ) 14243 r"˙ ! n 7 Tidsderivator relativt olika referenssystem Vi har tidigare nämnt det fixa inertialsystemet och ett kroppsfixt koordinatsystem. En godtycklig fix punkt i en stel kropp kan då beskrivas av vektorn: rA = rB + rBA , där rBA är kroppsfix och kan bara vrida sig, inte bli längre. ! ! ! För en rörlig punkt A på stela kroppen (en insekt som ! kryper omkring) gäller samma uppdelning som tidigare rA = rB + rBA , men vid tidsderivering fås istället: r˙BA = (x BA e˙ x + y BA e˙ y + zBA e˙ z ) + ( x˙ BA e x + y˙ BA e y + z˙BA e z ) ! = " # rBA + (r˙BA ) xyz . Beteckningen (r˙BA ) xyz ! betyder att koordinatsystemets ! riktningar ! i kroppen betraktas som fixa i tidsderiveringen. ! 8 Samband mellan absolut och relativ tidsderivata • En skillnadsvektor typ rBA (= rA " rB ) mellan två fysikaliska punkter är en riktig vektor, till skillnad från en enskild lägevektor (t.ex. rA ). En riktig vektor beror ej av origo som vanligtvis väljs (godtyckligt) för ett koordinat! system. • Varje annan riktig vektor V kan på samma sätt delas upp i både fixa!riktningar e XYZ och rörliga (kroppsfixa) riktningar e xyz . Gör man en tidsderivering i det första fallet (fix bas) får man den ! vanliga absoluta tidsderivatan. Gör man en tidsderivering i det andra fallet (rörlig bas) får man ! två bidrag: dels från koordinatändringar, dels från (rörliga) ! basvektorers vridning. • Båda resultaten av tidsderivering är giltiga och vi får för en godtycklig vektorstorhet likheten: ˙ = (V ˙ ) + " # V, V xyz ˙) där ( V ! xyz betyder tidsderivering relativt ’rörligt koordinatsystem’, och " # V är derivatans bidrag på ! ! grund av!att rörliga basvektorer roterar sett i inertialsystemet. ! OBS: Vektorstorheter för punkten A i bilden skulle kunnna vara: Hastighet, rörelsemängd, etc… .
© Copyright 2024