Vektorer och kinematik
1
1.1
VEKTORER OCH KINEMATIK
Inledning
1–1
För atomen som helhet eller för molekyler
kan man däremot ibland med fördel använda
Newtons mekanik. På längdskalan har Newtons mekanik det enormt stora tillämpningsområdet från 10−9 m upp till universums
radie. På masskalan finns i ena änden en
molekyl med massan 10−25 kg och i den andra änden en galax med massan 1040 kg. Andra begränsningar följer ur relativitetsteorin
på hastighet och temperatur.
Mekaniken är, i högre grad än andra delar
av fysiken teorin för fenomen som vi kan iaktta direkt med våra sinnen. Detta är också
orsaken till att mekaniken utvecklades först
av alla naturvetenskapliga teorier. Den blev
sedan stilbildande med sina begrepp, både
för att förstå vardagens fysik och fenomen på
atomistisk och kosmisk skala. Mekanikens begrepp
Mekaniken är en gammal vetenskap. Ordet
mekanik kommer från grekiskans ord mekané
(µηχανη) som betyder apparat, maskin eller
ordagrant medel för att övervinna.
Under antiken utgjordes mekaniken av det
vi idag skulle kalla statiken, alltså läran om
krafter och deras verkan. Arkimedes studerade t ex hävstången, lutande planet, kilen,
skruven och hjulet.
Mekaniken är en del av fysiken, och
en av hörnstenarna för grundläggande och
tillämpad vetenskap.
Mekaniken tillämpas på materiella kroppars rörelse. Man trodde länge att det var
en övergripande teori, men på 1920-talet
• kraft
övertogs den rollen av kvantfysiken. Vad som
inträffade när kvantmekaniken utvecklades
• rörelsemängd - impuls (momentum)
var att man fann gränser för den klassiska
mekanikens eller Newtons mekaniks giltighet
• rörelsemängdsmoment (angular momennär det gäller bl a storleken på de materiella
tum)
kroppar den kan tillämpas på .
• energi
Den fundamentala konstanten i kvantfysiken, Plancks konstant h, har dimensionen spelar en framträdande roll i praktiskt taget
massa×längd×hastighet dvs ML2 T−1 . En varje område inom fysiken.
gräns för Newtons mekanik ges därför av
En naturvetenskaplig teori består av tre delar
MLV h = 6.626 × 10−34 kgm2 /s (Js)
• en mängd fenomen som man vill beskriva
I atomerna är det elektronerna som ger
• en matematisk modell
dessa deras egenskaper. Elektronernas massa
är ca 10−30 kg och deras hastighet är
• samt en avbildning mellan dessa
begränsad av 3 × 108 m/s, ljusets hastighet.
Om vi vill beskriva elektronerna inom atomen Matematiken används eftersom den låter oss
med rimlig noggrannhet måste längdskalan uttrycka komplicerade ideer. Fysikaliska samband får formen av lagar vilka ges av matemvara 10−12 m. Dvs
atiska relationer. Dessa lagar leder ofta till
8
−30
−12
MLV = 3 × 10 × 10
× 10
nya insikter. Samspelet mellan teori och ex2
−34
periment är också baserad på kvantitativa
= 3 × 10
kgm /s ≈ h
förutsägelser och mätningar.
När överensstämmelsen är mycket god t ex
Olikheten ovan är alltså inte uppfylld i detta
fall, och elektronen måste därför behandlas 1 på 106 känner vi oss övertygade att teorin
kvantmekaniskt.
är sann.
Vektorer och kinematik
1–2
vektor kallas dess belopp. Beloppet av vektorn
A skrivs
Inom fysiken skiljer vi mellan skalära och
|A| = A
vektoriella storheter. Till de förra räknas
Om längden på en vektor är ett kallas den
storheter som
en enhetsvektor, och betecknas med en ‘hatt’.
• volym
För en vektor A har vi
1.2
Vektorer
• täthet
Â = A/|A|
eller A = AÂ
• temperatur
1.2.1
vilka utmärks av ett mätetal vilket anger deras storlek.
Vektorer är storheter vilka både har storlek och riktning.
Vektor kommer från
det latinska ordet ‘dragare’ eller ‘to carry’.
Det enklaste exemplet på en vektor är en
förflyttning från en punkt i rummet till
en annan.
En förflyttning har storlek,
avståndet från P1 till P2 , och riktning.
Vektoralgebra
Om vi multiplicerar en vektor A med en
skalär b > 0 resulterar det i en ny vektor
C = bA
Vektorn C är parallell med A och dess längd
är b gånger större dvs
Ĉ = Â
och C = bA
P
Om vi multiplicerar en vektor med -1 får vi
d
en ny vektor med motsatt riktning till den ursprungliga, dvs om b < 0 ovan blir Ĉ motriktad Â.
P1
Eftersom en förflyttning representeras av
en vektor kan vi illustrera de flesta räknelagar
Vektorstorheter
är
storheter
som geometriskt. Addition definieras enligt nedan
likt förflyttningar har storlek och riktning t
ex
2
*B
C
• kraft
• rörelsemängd
C =A+B
A
• hastighet
På motsvarande sätt får vi subtraktion av
två vektorer som
• acceleration
För att beskriva en vektor måste vi ange
C = A − B eller C + B = A.
både dess längd och riktning. Vi antar att
en parallellförflyttning inte ändrar en vektor. Multiplikation av en vektor med en annan
vektor kan definieras på olika sätt.
B
C
1.2.2
B=C
Om två vektorer har samma längd och riktning är de lika. Längden eller storleken på en
Skalär produkt
I en skalär produkt kombinerar man två vektorer till en skalär. Skalärprodukten betecknas A · B och definieras som
A · B = |A||B| cos θ
Vektorer och kinematik
1–3
1.3
B
*
θ A
där θ är vinkeln mellan A och B . Om A · B =
0 så är |A| = 0 eller |B | = 0 eller θ = π/2 .
Vi ser också att
A · A = |A|2 cos(0) = |A|2
Skalärprodukten uppträder t ex vid beräkning av arbete. Om en kraft F förorsakar en
förflyttning d av en kropp, så är det arbete
W vilket kraften uträttar på kroppen
W =F ·d
1.2.3
Komponenter
Vektoroperationer är definierade utan referens till ett koordinatsystem, men för att
erhålla konkreta resultat måste vi välja ett
lämpligt koordinatsystem. Låt oss betrakta
ett två-dimensionellt system i xy-planet
y
Ay
6
A
Ax
-
x
Projektionen av A på axlarna kallas för A’s
komponenter, och är Ax och Ay respektive.
Vi kan specificera en vektor genom dess komponenter dvs
Vektorprodukt (Kryssprodukt)
A = (Ax , Ay )
Den andra typen av multiplikation av vektorer vilken uppträder i mekaniken är vek- eller i tre dimensioner
torprodukten. I detta fall kombineras två
A = (Ax , Ay , Az )
vektorer A och B till en tredje vektor C
C
6
@@θ
A@
R
Alla vektorekvationer kan skrivas som ekvationer för komponenter t ex
C = A×B
-
|C | = |A||B| sin θ
cA = (cAx , cAy )
och för addition
B
A + B = (Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz )
Eftersom C är en vektor måste vi specificera både storlek och riktning. Storleken
1.4 Basvektorer
definieras som
Basvektorer är ett system av ortogonala
|C | = |A||B| sin θ
(vinkelräta) enhetsvektorer, en för varje dimension. För en vektor har vi i två dimendär θ åter är vinkeln mellan A och B . Vi
sioner
ser att |C | = 0 om θ = 0 dvs om A och B
är parallella. Riktningen av C bestäms enligt
A = (Ax , Ay ) = (Ax , 0) + (0, Ay )
den s k skruvregeln, dvs C är riktad längs den
= Ax (1, 0) + Ay (0, 1) = Ax î + Ay ĵ
riktning en högergängad skruv vrider sig då
A vrides mot B . Från definitionen av vektor- En vektor kan alltså delas upp i komposanter
produkten följer att
längs koordinataxlarna. Här är
B × A = −A × B
⇒
A×A = 0
î = (1, 0) ;
ĵ = (0, 1)
Vektorer och kinematik
1–4
enhetsvektorer längs x- och y-axeln respek- P ges av de tre koordinaterna (x, y, z). En
tive. Varje vektor kan i allmänhet skrivas som förflyttning från en punkt P1 till en punkt P2
ges av vektorn
A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂
d = (x2 , y2 , z2 ) − (x1 , y1 , z1 ) =
där k̂ är enhetsvektorn längs z-axeln k̂ =
= (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
(0, 0, 1). Nu är î · ĵ = cos(π/2) = 0, î · k̂ = 0
etc, dvs vi får av detta skalärprodukten av vi ser att d bara beror på skillnaden i slut och
två vektorer
begynnelselägena.
Det är möjligt att beskriva läget av
A · B = (Ax î + Ay ĵ + Az k̂) · (Bx î +
punkten P med hjälp av en vektor från
+ By ĵ + Bz k̂) = Ax Bx + Ay By + Az Bz origo till P enligt figuren nedan, dvs
Med hjälp av basvektorer kan vi också
beräkna vektorprodukten. Vi har
î × ĵ
= k̂
ĵ × k̂
= î
k̂ × î
= ĵ
z
x
och î × î = 0 etc, dvs
r = (x, y, z) = xî + y ĵ + z k̂
A × B = (Axî + Ay ĵ + Az k̂) × (Bx î +
+ By ĵ + Bz k̂) = (Ay Bz − Az By )î +
+ (Az Bx − Ax Bz )ĵ + (Ax By − Ay Bx )k̂
där r är lägevektorn för punkten. Observera
att r beror på valet av koordinatsystem. För
två olika koordinatsystem har vi sambandet
r0 = r − R
Detta kan även skrivas som en determinant
î
A × B = Ax
Bx
6 P3(x(t), y(t), z(t))
r(t)
-y
ĵ
Ay
By
k̂ Az Bz där r0 = (x0 , y 0 , z 0 ), och R är vektorn från
origo för det oprimade till origo för det primade systemet. En förflyttning d påverkas
inte av valet av koordinatsystem ty
Några andra räkneregler för vektorer vilka
d = r2 − r 1 = (r02 + R) − (r01 + R) = r02 − r01
man enkelt kan härleda är
A · (B + C ) =
A × (B + C ) =
A·B+A·C
A×B+A×C
(A × B ) · C = A · (B × C ) = (C × A) · B
1.5
Lägevektor
1.6
Hastighet
och
(Kinematik)
acceleration
För att beskriva rörelsen av en partikel inför
vi ett koordinatsystem och en lägevektor r
från origo till partikeln enligt ovan, där
Anledningen till att vi inför vektorer är att
r(t) = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)k̂
dessa är medlen för att beskriva rörelselagar.
Med hjälp av vektorer kan vi beskriva
1.6.1 Rörelse i en dimension
läget och rörelsen för en partikel i det tredimensionella rummet.
Låt oss först betrakta rörelse i en dimension
För att beskriva läget av en punkt i rummet dvs
inför vi ett koordinatsystem. Läget av pukten
r(t) = x(t)î
Vektorer och kinematik
1–5
Medelhastigheten för rörelsen mellan två
Detta generaliseras lätt till tre dimensioner
tider t1 och t2 definieras som
så att
v=
x(t2 ) − x(t1 )
t2 − t1
Den instantana hastigheten v(t) är gränsvärdet av medelhastigheten när tidsintervallet t2 − t1 går mot noll
x(t + ∆t) − x(t)
∆t→0
∆t
v (t) =
(vx (t), vy (t), vz (t)) =
dr
= (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) =
dt
På liknande sätt definieras accelerationen a
som
v(t) = lim
a=
dvs
dv
dvy
dvz
d2 r
dvx
î +
ĵ +
k̂ = 2
=
dt
dt
dt
dt
dt
dx(t)
= ẋ(t)
dt
Härifrån skulle vi kunna bilda nya vektorer
och hastighetsvektorn blir i detta fall v (t) = genom att ta högre derivator av r , men vi
v(t)î . Med fart (speed) menar vi hastighetens skall se att r, v, och a räcker för att beskriva
rörelsen.
belopp
s = |v(t)|
v(t) =
På samma sätt får vi den instantana accelerationen
v(t + ∆t) − v(t)
dv(t)
a(t) = lim
=
= v̇(t)
∆t→0
∆t
dt
1.6.2
Rörelse i flera dimensioner
Betrakta en partikel vilken rör sig i ett plan.
Vi har då att
r(t) = x(t)î + y(t)ĵ
Förflyttningen mellan två tider t1 och t2 blir
då
∆r(t) = r (t2 ) − r(t1 )
= (x(t2 ) − x(t1 ))î + (y(t2 ) − y(t1 ))ĵ
För ett infinitesimalt tidsintervall får vi alltså
∆r(t) = r(t + ∆t) − r(t) =
= (x(t + ∆t) − x(t))î + (y(t + ∆t) − y(t))ĵ
= ∆x(t)î + ∆y(t)ĵ
Hastigheten för partikeln definieras som
∆r(t)
∆t→0 ∆t
∆x(t)
∆y(t)
= lim
î +
ĵ =
∆t→0
∆t
∆t
dx
dy
=
î +
ĵ = vx î + vy ĵ
dt
dt
v (t) =
lim
Det kan vara värt att påpeka att
detta är svåra begrepp, som varit
föremål för många skarpsinniga funderingar innan de fick sin nuvarande
form av bl a Newton.
Redan under medeltiden diskuterade man dessa begrepp. Skolastikerna
talade t ex om likformig hastighet
(=konstant hastighet). Men de var
också medvetna om att hastigheten
kunde ändras, och det vi kallar rörelse
med konstant acceleration kallade de för
likformigt olikformig hastighet. Skulle
de ha gått vidare till fallet rörelse med
varierande acceleration så skulle de väl
ha varit tvungna att införa begreppet
olikformigt olikformig hastighet. Trots
att vi idag talar om hastighet och acceleration som självklara begrepp, så
handlar det om begrepp som vunnits
genom mycken möda och skarpsinne hos
tidigare generationer.
På motsvarande sätt har vektorbegreppet vuxit fram. Medeltidens skolastiker hade t ex stora svårigheter
eftersom de inte kunde acceptera att
ett föremål, t ex en projektil, kan
samtidigt ha två hastighetskomponenter med en komponent vx längs x-axeln
och en komponent vy längs y-axeln
vilka adderas till en resultant v. Detta
menade skolastikerna skulle leda till att
projektilen slets i stycken.
Vektorer och kinematik
1.7
1–6
Integration av vektorer.
Vi utgår från cylindriska koordinater.
z-axeln i det cylindriska systemet samAntag att vi känner accelerationen för en parmanfaller med den i det cartesiska systikel. Vi kan då finna hastighet och läge
temet.
Läget i xy-planet beskrivs med
genom att formellt integrera a. Från definavståndet r från z-axeln och vinkeln θ
itionen av acceleration har vi
som r bildar med x-axeln.
Vi får att
dv (t)
= a(t)
dt
z
eller
Z
v (t) = v (t0 ) +
dvs
t
t0
Z
vx (t) = vx (t0 ) +
t
6
a(t0 )dt0
ax (t0 )dt0
x
@θ @r
r=
-y
p
x2 + y 2
θ = arctan xy
För rörelse i ett plan kan vi försumma
z-axeln,
och begränsa diskussionen till två
etc. Läget för en partikel finner vi genom en
dimensioner.
Koordinaterna kallas planandra integration där
polära koordinater.
För det cartesiska
Z t
systemet är de konstanta koordinatytorna
r(t) = r(t0 ) +
v (t0 )dt0
räta linjer vinkelräta mot varandra. Linjer
t0
med konstant θ är också räta linjer medan
Ett viktigt specialfall är exemplet med lik- r =konstant ger cirklar. Fortfarande skär de
formig eller konstant acceleration. För a = varandra under rät vinkel.
konstant och t0 = 0 får vi
Vi inför enhetsvektorer r̂ och θ̂ vilka pekar
Z t
i
växande
r-och
θ-riktningar
v (t) = v 0 +
a dt0 = v 0 + at
y
t0
0
där v 0 = v (t = 0). Detta ger för partikelns
läge
Z
r(t) = r0 +
0
t
r̂
@
I
r θ
1
[v 0 + at ]dt = r0 + v 0 t + at2
2
0
0
I en dimension har vi
x(t) = x0 + v0 t + at2 /2
1.8
6θ̂
Rörelse i planpolära koordinater.
-x
Vi noterar att r̂ och θ̂ varierar med r medan
î och ĵ är fixa riktningar.Vi kan uttrycka de
förra i de senare som
= cos θ î + sin θ ĵ
θ̂ = − sin θ î + cos θ ĵ
r̂
Rektangulära, eller cartesiska, koordinater är
vidare är
lämpliga för att beskriva rörelse längs en rät
r̂ · θ̂ = 0
linje. Rektangulära koordinater är emellertid
inte så lämpliga för att beskriva cirkelrörelse, I den cartesiska representationen har vi
och eftersom cirkelrörelse spelar en viktig roll
r (t) = x(t)î + y(t)ĵ =
inom fysiken är det lämpligt att introduc= r(t) cos θ(t)î + r(t) sin θ(t)ĵ =
era ett koordinatsystem anpassat för denna
rörelse.
= r(t)[cos θ(t)î + sin θ(t)ĵ ] =
Vektorer och kinematik
= r(t)r̂(t)
1.8.1
Derivator av en vektor
För en allmän vektor har vi sambandet
1–7
Detta resultat kan vi också få fram om vi
deriverar uttrycket för enhetsvektorn längs r
uttryckt i cartesiska koordinater
dr̂
dt
A(t) = A(t)Â(t)
Deriverar vi A m a p t får vi alltså
d cos θî + sin θĵ =
dt
= θ̇ − sin θî + cos θĵ = θ̇ θ̂
=
På motsvarande sätt får vi att
dθ̂
= θ̇r̂
dt
För hastigheten i planpolära koordinater får
För att beräkna tidsderivatan av enhetsvek- vi alltså
torn längs A kan vi observera att
d
v=
(rr̂) = ṙr̂ + r θ̇θ̂ = vr r̂ + vθ θ̂
dt
|∆Â| = |Â|∆θ = ∆θ
1.8.3 Acceleration i planpolära koordvs
dinater
dÂ dθ
= θ̇
=
dt Från derivatan av hastigheten får vi
dt
dA
dÂ
dA
Â + A
=
dt
dt
dt
och ändringen av enhetsvektorn är vinkelrät
mot vektorn själv. Alltså är
dA
= ȦÂ + Aθ̇Â⊥
dt
där Â⊥ är en enhetsvektor vinkelrät mot Â.
dv
d
= [ṙr̂ + r θ̇θ̂] =
dt
dt
˙
= r̈r̂ + ṙ r̂˙ + ṙθ̇ θ̂ + r θ̈θ̂ + r θ̇θ̂ =
a =
= r̈r̂ + 2ṙθ̇ θ̂ + r θ̈ θ̂ − r θ̇2 r̂ =
= (r̈ − r θ̇2 )r̂ + (2ṙθ̇ + r θ̈)θ̂
Termen r̈r̂ är en linjär acceleration i den
radiella
riktningen p g a ändringen i den
1.8.2 Hastighet i planpolära koordiradiella
hastigheten. r θ̈θ̂ är på liknande
nater
sätt en linjär acceleration i den tangenLåt oss betrakta hastigheten i planpolära ko- tiella riktningen p g a ändring i storleken
ordinater där vi har
av vinkelhastigheten. Termen −r θ̇2 r̂ är centripetalaccelerationen och 2ṙθ̇ θ̂ är Coriolisd
dr̂
v=
(rr̂) = ṙr̂ + r
accelerationen.
dt
dt
Uppg 1. En partikel rör sig längs en rät
Här representerar den första termen hastig- linje och dess acceleration a kan skrivas
hetens komponent längs r. För den andra
a = −cv 2
komponenten har vi som i det allmänna fallet
ovan
Bestäm sambandet mellan partikelns läge och
|∆r̂| = |r̂|∆θ = ∆θ
dess hastighet.
Uppg 2. Vid varje tidpunkt är sambandvs
dr̂ det
mellan en viss partikels acceleration,
= θ̇
dt hastighet och läge givet av
Riktningen för ∆r̂ är längs θ̂, dvs
dr̂
dt
= θ̇θ̂
a = −cv 2 (1 − d cos(αx))
Vid t = 0 befinner sig partikeln i origo och
har hastigheten v0 .
Vektorer och kinematik
1. Finn hastighetens beroende av läget
2. Låt d = 0. Finn hastighetens beroende
av läget och tiden samt lägets tidsberoende.
Uppg 3. En partikel rör sig på en cirkel så
att farten v avtar enligt formeln
v = v0 e−αt
där v0 och α är konstanter. Beräkna accelerationen uttryckt i komposanter längs r̂ och
θ̂.
Uppg 4. På en fix vertikal cirkel med radien R kan en liten ring A glida. I ringen är
fäst ett otänjbart snöre, som löper över ett
glatt stift och som i sin andra ända uppbär
en annan partikel B. Stiftet befinner sig vertikalt över cirkelns medelpunkt påavståndet
αR från denna. En radie till A bildar vinkeln
θ med lodlinjen. Beräkna hastighet och acceleration för B uttryckt i vinkeln θ och dess
derivator.
1–8