Läraren och den matematiska kommunikationen
Läraren och den matematiska kommunikationen Hur lärare tolkar och arbetar med matematisk kommunikation i årskurs Fk-3 _______________________________________ The teacher and mathematical communication How teachers interpret and work with mathematical communication in grade Fk-3 Institutionen för humaniora och samhällsvetenskap Lärarprogrammet Avancerad nivå/30hp Handledare: Maria Fahlgren Examinator: Björn Bihl 2015-06-10 Löpnummer: Abstract The Swedish curriculum points out mathematical communication as one of the important abilities that students need to develop. Previous studies show that students have not been given the right conditions to develop this ability sufficiently. The purpose of this study is to investigate how some Swedish teachers interpret mathematical communication and how the work with this takes place in their classrooms. The investigation consists of qualitative interviews with six teachers in the grades of Fk-3. The interviews have been focused around the teacher's interpretation regarding mathematical communication, how this is reflected in their work in the classroom and also if they see any advantages or difficulties in working with mathematical communication with their pupils. The result of the study shows that the teachers are well aware of the importance of communication and they have a will and an intention to let the pupils communicate mathematically. Mathematical communication is emphasized mainly as important for the pupil's learning and understanding. A difficulty some of the teachers mention is that communication needs time and there is a risk that pupils possibility to develop communicative abilities are limited and do not get the focus the teacher actually think is needed. Keywords: mathematical communication, mathematics, teaching strategies, communication ability Sammanfattning Matematisk kommunikation framhålls som en viktig förmåga i våra styrdokument samtidigt som granskningar har visat att eleverna inte alltid har givits tillräckliga möjligheter att utveckla denna förmåga. Syftet med detta arbete är att, utifrån en fenomenologisk ansats, undersöka hur några lärare tolkar och arbetar med matematisk kommunikation i årskurserna Fk-3. För att uppnå detta har kvalitativa intervjuer genomförts med sex yrkesverksamma lärare som arbetar inom årskurserna Fk-3. Intervjuerna har berört lärarnas syn på matematisk kommunikation, hur detta tar sig i uttryck i deras klassrum, samt vilka möjligheter och svårigheter lärarna ser med att arbeta med matematisk kommunikation med eleverna. Resultatet visar att de intervjuade lärarna är väl medvetna om vikten av kommunikation inom matematik och att de har en vilja och avsikt att låta eleverna arbeta tillsammans inom matematiken. Den matematiska kommunikationen ses framförallt som viktig för elevernas förståelse och lärande. En svårighet några av lärarna upplever är att kommunikation kräver tid och några uttrycker att det, då det är många delar som ska hinnas med, finns en risk att elevernas möjlighet till kommunikation begränsas. Nyckelord: kommunikation, matematik, arbetssätt, kommunikationsförmåga Innehållsförteckning 1 Inledning..................................................................................................................................6 2 Bakgrund..................................................................................................................................7 2.1 Språk, lärande och kommunikation..................................................................................7 2.2 Förmåga till matematisk kommunikation.........................................................................8 2.2.1 Matematiskt kunnande från färdigheter till förmågor................................................8 2.2.2 Vägen fram till Lgr11 ...............................................................................................9 2.2.3 Kommunikationsförmågan i Lgr11............................................................................9 2.2.4 Kommunikation och resonemang............................................................................10 2.2.5 Det matematiska språket..........................................................................................10 2.3 Kommunikation i klassrummet.......................................................................................11 2.3.1 Kommunikation i olika arbetsformer och arbetssätt................................................11 2.3.2 Läroböcker ..............................................................................................................12 3 Syfte och problemformulering...............................................................................................13 3.1 Syfte................................................................................................................................13 3.2 Frågeställningar...............................................................................................................13 4 Metod.....................................................................................................................................14 4.1 Datainsamlingsmetod......................................................................................................14 4.2 Urval................................................................................................................................15 4.2.1 De intervjuade lärarna..............................................................................................15 4.3 Tillvägagångssätt............................................................................................................16 4.3.1 Kontakt och intervju.................................................................................................16 4.3.2 Transkribering..........................................................................................................16 4.3.3 Resultat- och databearbetning..................................................................................17 4.4 Tillförlitlighet .................................................................................................................18 4.5 Etiska överväganden.......................................................................................................18 4.5.1 Informationskravet...................................................................................................19 4.5.2 Samtyckeskravet......................................................................................................19 4.5.3 Konfidentialitetskravet.............................................................................................19 4.5.4 Nyttjandekravet........................................................................................................19 5 Resultat...................................................................................................................................20 5.1 Lärarna, läroplanen och matematisk kommunikation.....................................................20 5.1.1 Matematisk kommunikation....................................................................................20 5.1.2 Om läroplanen .........................................................................................................21 5.2 Arbetssätt i de olika klassrummen..................................................................................22 5.3 Möjligheter och svårigheter när det gäller att utveckla elevernas förmåga till matematisk kommunikation..................................................................................................23 5.3.1 Upplevda möjligheter ..............................................................................................23 5.3.2 Upplevda svårigheter...............................................................................................24 5.3.3 Om obegränsade möjligheter...................................................................................25 6 Diskussion..............................................................................................................................26 6.1 Resultatdiskussion...........................................................................................................26 6.1.1 Hur resonerar lärare kring matematisk kommunikation?........................................26 6.1.2 Hur beskriver lärare att arbetet kring matematisk kommunikation tar sig uttryck i deras klassrum?.................................................................................................................27 6.1.3 Ser lärarna några möjligheter eller svårigheter när det gäller att utveckla elevernas förmåga till matematisk kommunikation i Fk-3?..............................................................29 6.1.4 Bidrag till forskning och förslag till vidare forskning.............................................29 6.1.5 Betydelse för yrkesutövningen.................................................................................30 6.2 Metoddiskussion.............................................................................................................30 7 Källförteckning......................................................................................................................32 Bilagor.......................................................................................................................................34 1 Inledning Synen på vad det innebär att kunna matematik har förändrats de senaste decennierna och handlar idag framförallt om förmågor man bör behärska (Skolverket, 2003; Ryve, 2006; Niss och Höjgaard-Jensen; 2002). En av dessa förmågor handlar om kommunikation. Kommunikation i sig, är viktigt för lärandet (Dysthe, 1996; Säljö, 2000), men kommunikation inom matematik handlar också om matematisk kommunikation i sig. Skott, Jess, Hansen och Lundin (2010) menar att: matematisk kommunikation inte bara är ett medel för lärande utan ett inlärningsmål i sig. Syftet är med andra ord inte bara att eleverna ska lära sig matematiskt innehåll genom att kommunicera utan också att de ska lära sig att kommunicera matematiskt (s. 211) Denna syn framkommer i vår nuvarande läroplan Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Lgr11) (Skolverket, 2011b). Att se på matematik och kommunikation på detta sätt är inget nytt i och med denna läroplan. Däremot visar forskningen att den kommunikativa delen av matematikämnet är ett av de områden som har visat sig vara en svaghet i stora delar av skolväsendet (Helenius och Jahnke, 2011; SOU 2004:97) och som man därför valt att ytterligare förtydliga och konkretisera i och med Lgr11 (Skolverket 2011a). Att matematisk kommunikation framhålls som en viktig förmåga i våra styrdokument samtidigt som granskningar har visat att eleverna inte alltid har givits tillräckliga möjligheter att utveckla denna förmåga, gjorde att jag upplevde det intressant att undersöka hur några av dagens lärare resonerar kring matematisk kommunikation och hur detta tar sig uttryck i deras klassrum. 6 2 Bakgrund Skott, Jess, Hansen och Lundin (2010) menar att kommunikation inom matematik är ett medel för lärande samtidigt som det också är ett mål att eleverna ska lära sig att kommunicera matematiskt. I bakgrundsavsnittet kommer jag därför att lyfta fram kommunikationsaspekten i förhållande till lärande och till matematiken på olika sätt. Inledningsvis tar jag upp teoretiska perspektiv på språk, lärande och kommunikation. Därefter beskrivs hur synen på matematiskt kunnande har utvecklats och förändrats och hur detta bidragit till hur vår läroplan ser ut idag. Här beskrivs också förhållandet mellan matematisk kommunikation och matematiskt resonemang samt det matematiska språket. Den avslutade delen av bakgrundsavsnittet handlar om kommunikationen i förhållande till olika arbets- och undervisningsformer inom matematiken. 2.1 Språk, lärande och kommunikation Dysthe (1996) menar att den syn man har på kunskap kan kopplas till hur man ser på språkets funktion. Om man har en hierarkisk syn på kunskap, där kunskap innebär en allmänt accepterad sanning som ska vidareförmedlas till eleverna innebär detta att språket är det medium genom vilket kunskap förmedlas. Eleverna ses genom detta synsätt som tomma kärl som ska fyllas med kunskap och förmedling av denna kunskap är framförallt enkelriktad och monologisk. Detta är enligt Dysthe en mycket vanlig uppfattning och hon menar att mycket av vår traditionella skolpraxis bygger på detta. Om man däremot har en konstruktivistisk syn på kunskap innebär det att man ser kunskap som något som skapas eller konstrueras hos varje enskild individ. Dysthe (1996) menar att kunskapen ”vävs samman med det som individen vet och kan sedan tidigare och att kunskapen kommer att variera beroende på vem det är som lär sig” (s.46). Språkets relation till kunskap utifrån ett konstruktivistiskt perspektiv innebär att kunskap skapas genom språket. I undervisningssammanhang betyder detta att dialogen är viktig, både mellan ”eleven och andra individer samt mellan eleven och det stoff som ska läras in” (s.51). Dysthe uttrycker själv att hennes syn på lärande är konstruktivistisk men också interaktionistisk. Med detta menar hon att kunskaper inte är något oföränderligt som kan förmedlas från lärare till elev, utan att kunskap är något som var och en måste konstruera och att detta ske i ett samspel med andra. Säljö (2000) menar, i linje med Vygotskij och det sociokulturella perspektivet, att människor är kommunikativa och att vi lär i samspel med andra. Språk och kommunikation är viktiga beståndsdelar för lärandet eftersom vi använder det dels för att dela med oss av våra tankar och dels för att vi när vi kommunicerar klargör våra tankar för oss själva och skapar förståelse. Att se kommunikation som ett samspel och därmed också en tvåvägskommunikation ligger väl i linje med den förklaring som finns att läsa i kommentarmaterialet till kursplanen för matematik där det står att kommunikation innebär att ”utbyta (egen kursivering) information med andra om matematiska idéer” (Skolverket, 2011a, s.11). 7 2.2 Förmåga till matematisk kommunikation Följande avsnitt tar upp hur synen på matematiskt kunnande har förändrats under de senaste decennierna, från att ha fokuserat på färdigheter till att det idag framförallt handlar om förmågor man bör behärska (Skolverket, 2003; Ryve, 2006; Niss och Höjgaard-Jensen; 2002). Avsnitten kommer också att beröra att förmågan till matematisk kommunikation lyfts fram tydligare i Lgr11 än i föregående läroplaner och bakgrunden till detta förtydligande. Därefter kommer också förhållandet mellan matematisk kommunikation och matematiskt resonemang beskrivas samt det matematiska språket. 2.2.1 Matematiskt kunnande från färdigheter till förmågor Matematik och kunskaper i matematik kan ses ur olika perspektiv, menar Ryve (2006) som beskriver en uppdelning utifrån två olika aspekter. Dels kan det handla om att man ser matematikkunskaper som de olika delarna inom matematiken som eleverna ska lära sig förstå och behärska, till exempel ”formeln för triangelns area” eller ”att lösa en andragradsekvation” (s.7). Ett annat sätt att definiera och diskutera matematikkunskaper handlar om att urskilja olika kompetenser eller förmågor som eleverna bör behärska, t.ex. problemlösningsförmåga eller begreppsförståelse. Traditionellt sett har matematikämnet varit starkt inriktat på den förstnämnda utifrån Ryves uppdelning - att utveckla färdigheter som att utföra beräkningar, förenkla algebraiska uttryck och lösa ekvationer (Skolverket, 2003; Ryve, 2006). De senaste 20 åren har dock trenden varit att ”lyfta fram matematiken som en mänsklig aktivitet och att försöka beskriva vad detta betyder i termer av mål för elevers lärande” (Helenius och Jahnke, 2011, s. 4). Man uttrycker också att fokus har förskjutits mot ”kunnande kring t.ex. tillämpning, kommunikation och problemlösningsförmåga” (Skolverket, 2003, s.11). Den ämnessyn Skolverket beskriver stämmer in på Ryves andra perspektiv på matematikämnet. Detta sätt att se på matematiken syns i dagens läroplan som beskriver matematikämnet som en ”kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet som är nära kopplad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen” (Skolverket, 2011b, s.62). I den internationella forskningen har flera arbeten resulterat i olika ramverk där det matematiska kunnandet kategoriseras i form av kompetenser eller förmågor. Ett exempel återfinns i den danska rapporten Kompetencer og Matematiklæring (KOM) (Niss och Höjgaard-Jensen, 2002; Helenius, 2006, s.11) där åtta olika kompetenser tillsammans beskrivs utgöra den totala matematiska kompetensen. Dessa är tankegångskompetens, problemlösningskompetens, modelleringskompetens, resonemangskompetens, hjälpmedelskompetens, kommunikationskompetens, symbol- och formalismkompetens samt representationskompetens. Kommunikationskompetensen, som är den kompetens som är mest intressant för denna studie, innebär att kunna ”sätta sig in i och tolka matematikinnehållet i andras presentationer och att kunna uttrycka sig på olika sätt och olika nivåer om matematiska angelägenheter” (Helenius, 2006, s. 15). I den amerikanska rapporten Adding it up (Kilpatrick, Swafford och Findell, 2001; Ryve, 2006) delas den matematiska kompetensen upp i fem delkompetenser – begreppsförståelse, räknefärdighet, problemlösningsförmåga, matematiskt-logiskt resonemang samt en positiv inställning till matematik. Här finns inte kommunikation som en separat förmåga på samma sätt som hos Niss och Höjgaard-Jensen (2002), utan återfinns istället implicit i olika kompetencer. Exempelvis handlar matematisktlogiskt resonemang (adaptive reasoning) (Kilpatrick, Swafford och Findell, 2001) om att ha en förmåga att tänka logiskt. Förmågan inbegriper också att man ska kunna motivera och förklara inom matematiken, vilket kräver kommunikation av något slag. 8 Det finns alltså olika sätt att utifrån förmågor eller kompetenser strukturera och kategorisera det matematiska kunnandet och dessa ramverk har inspirerat och bidragit till hur våra kursplaner ser ut idag (Pettersson, 2011). I vår senaste läroplan (Lgr11) framträder detta bland annat i syftet genom formuleringen av de långsiktiga förmågorna. Det är också tydligt i kunskapskraven som numera uttrycker förmågor hos eleverna snarare än innehåll och färdigheter vilket var fallet i föregående kursplan. (Skolverket, 2011b, Skolverket, 2008) 2.2.2 Vägen fram till Lgr11 Hösten 2011 kom den nu gällande läroplanen (Lgr11) och därmed också en ny kursplan i matematik. I kommentarmaterialet till denna kursplan beskrivs de stora förändringarna i förhållande till föregående kursplan. Skolverket (2011a) förklarar här att synen på ämnet är densamma men att Lgr11 är mer konkret i sin utformning. Många lärare upplevde att de tidigare kursplanerna var otydliga och Skolinspektionens granskningar hade visat att ”eleverna endast hade små möjligheter att utveckla sina matematiska förmågor” (Helenius och Jahnke, 2011, s.4). Enligt en utredning gjord av SOU (Statens Offentliga Utredningar) uttrycker man att matematiken ”trots kursplanernas betoning på problemlösning, kommunikation och argumentation är /.../ skolans tystaste ämne” (SOU 2004:97, s. 89). Alltså fanns det ett behov att förändra, förtydliga och konkretisera. I den nya kursplanen vill man betona vikten av att eleverna ”ges möjlighet att använda matematiken i olika sammanhang, utveckla förmågan att lösa problem, använda logiska resonemang samt att kommunicera matematik (egen kursivering) med hjälp av olika uttrycksformer” (Skolverket, 2011a, s.6). Detta görs bland annat genom de långsiktiga förmågorna, vilka också har tydligt stöd i den matematikdidaktiska forskningen (Skolverket, 2011a). Bakgrunden till förändringarna återfinns bland annat i Skolverkets nationella utvärdering av undervisningen i matematik (Skolverket, 2004a), resultat från nationella ämnesprov samt resultat från internationella utvärderingar av svenska elevers kunskaper inom matematik, så som TIMSS och PISA, vilka bland annat visar på en alltför stor andel enskild räkning (Skolverket, 2011a). 2.2.3 Kommunikationsförmågan i Lgr11 I syftestexten för ämnet matematik uttrycks det bland annat att eleverna ska utveckla ”en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang” (Skolverket, 2011b, s.62). Kommunikationsaspekten är också tydlig i de långsiktiga förmågorna som uttrycker att eleverna ska utveckla sin förmåga att kunna ”använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.” (Skolverket, 2011b, s. 63). I kommentarmaterialet för matematikämnet (Skolverket, 2011a) uttrycks det att kommunikation innebär att ”utbyta information med andra om matematiska idéer och tankegångar, muntligt, skriftligt och med hjälp av olika uttrycksformer” (s. 11). Matematiska uttrycksformer för de tidigare årskurserna handlar om ”enkla beskrivningar av tillvägagångssätt med konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer” (s. 30). Även kunskapskraven för årskurs 3 (Skolverket, 2011b) visar på att eleverna behöver ha förmåga att kommunicera matematiskt, genom skrivningar som uttrycker att eleven förväntas kunna ”beskriva och samtala om tillvägagångssätt /.../ och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer”. I kunskapskraven framträder synen på det matematiska kunnandet som förmågor, snarare än innehåll (se även 2.2.1). 9 2.2.4 Kommunikation och resonemang Taflin, Gracie och Halldén (2014) menar att matematisk kommunikation ofta förväxlas med matematiskt resonemang. Matematisk kommunikation handlar enligt dem om att ”utbyta matematiska tankar och idéer” genom olika uttrycksformer, t.ex. muntligt, skriftligt, med bilder, gester mm. Matematiskt resonemang kan vara tysta tankar där förmågan till resonemang handlar om att kunna ”dra logiska slutsatser om matematiska idéer och samband” och att kunna ”föra fram dessa argument för att övertyga sig själv eller någon annan om att något är sant och giltigt” (Taflin, m.fl. 2014, s.2). Att skilja på kommunikation och resonemang är också något som man gör i det danska ramverket KOM (Niss och HöjgaardJensen, 2002), där man beskriver både en kommunikationskompetens och en resonemangskompetens. I ramverket Adding it up (Kilpatrick m.fl., 2001), lyfts å andra sidan den matematiskt-logiska kompetensen (adaptive reasoning) fram, vilken handlar om matematisk bevisföring, logiskt tänkande och matematiska resonemang, men tar däremot inte upp någon kompetens som handlar om den matematiska kommunikationen i sig. (Se även 2.2.1.) Skolverkets (2011a) kommentarmaterial visar på en syn där kommunikation och resonemang är sammankopplade och de uttrycker att ”två av de förmågor som finns i de långsiktiga målen i kursplanen handlar /.../ om att eleverna ska utveckla kommunikativa förmågor i matematik” (s. 11). Dessa två är förmågorna att ”föra och följa matematiska resonemang” samt att ”använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser ” (Skolverket, 2011b, s. 63). Skolverket uttrycker alltså snarare att resonemang är en aspekt av den kommunikativa förmågan. 2.2.5 Det matematiska språket Det matematiska språket skiljer sig från det vardagliga språket. Det skiljer sig så mycket att det till och med kan kallas ett eget språk (Myndigheten för skolutveckling, 2008). Med vardagligt språk kan man uttrycka att två äpplen och fem äpplen blir sju äpplen tillsammans. Att uttrycka samma sak med matematiskt språk skulle kunna göras genom att säga att summan av två och fem är sju. Matematiken innehåller dessutom ett symbolspråk genom vilket samma påstående skulle uttryckas 2+5=7. (Myndigheten för skolutveckling, 2008). Läroplanen pekar på att eleverna själva ska tillägna sig det matematiska språket. Detta uttrycks bland annat i de långsiktiga förmågorna, genom formuleringar som att eleverna ska ”föra /.../ matematiska resonemang”, ”använda matematikens uttrycksformer” och ”använda och analysera matematiska begrepp” (Skolverket, 2011b, s.63). 10 2.3 Kommunikation i klassrummet 2.3.1 Kommunikation i olika arbetsformer och arbetssätt För att kunna uttrycka och utveckla matematiska förmågor, som till exempel kommunikationsförmågan, krävs matematiska aktiviteter (Krutetskii, 1976). Pettersson (2011) menar att matematiska aktiviteter kan beskrivas och kategoriseras utifrån arbetsformer och arbetssätt: Detta kan exempelvis innebära hur lärare organiserar arbetet genom helklassundervisning, grupparbete, projektarbete eller enskilt arbete (arbetsform) men också som det sätt på vilket ämnesinnehållet behandlas genom föreläsning, diskussion, laborativt arbete eller undersökande aktiviteter (arbetssätt) (Pettersson, 2011, s. 62) Enligt Sahlström (1999) kan lektioner i de svenska klassrummen kategoriseras utifrån tre olika typer. Den ena typen har formen av en föreläsning, där det övervägande är läraren som talar. Den andra kategorin innebär att läraren startar upp med någon form av genomgång, som sedan följs av att eleverna arbetar, antingen självständigt eller i grupper om vanligtvis 23 personer. Den tredje varianten innehåller till övervägande del grupparbete. Den vanligaste varianten i Sahlströms (1999) analys från 1990-talet är den andra, vilken innehåller både lärarledd genomgång och enskilt arbete eller grupparbete. Lindblad och Sahlström (1999) har dock i sina undersökningar kommit fram till att matematiklektionerna är ett undantag från detta mönster och att en större andel av matematiklektionerna, än lektioner i allmänhet, innebär att eleverna sitter vid sina bänkar och arbetar. Detta stämmer väl överens med Skolverkets rapportering (2003, 2004a) där de påpekar att individuellt, enskilt arbete, där eleverna arbetar med ”i huvudsak samma innehåll men i olika takt och eventuellt av olika svårighetsgrad” (Skolverket, 2003, s.24) är det som dominerar matematikundervisningen i den svenska skolan. Skolverket (2003) påpekar också att deras utvärdering visar att ”Gemensamma samtal som utvecklar begreppsförståelse, matematiskt tänkande och olika strategival /.../ sällan förekommit” (s. 24). Denna övervikt av enskilt arbete tas tydligt avstånd från i SOU 2004:97, då de menar att det till och med kan vara skadligt för eleverna genom att deras ”lust för och vilja till att lära meningsfull matematik” (s.89-90) inte stimuleras. Här poängteras istället att ”Diskussioner och samtal i och om matematik skall vara en naturlig del av matematikundervisningen” (s. 90). Samma syn ser man i Skolverkets rapport Lusten att lära (2003), som bland annat tar upp kopplingen mellan möjlighet till kommunikation och elevernas motivation och lust att lära. I rapporten beskriver de undervisningssituationer där elever har givit uttryck för denna lust. Ett kännetecken har varit variation, både när det gäller innehåll och när det gäller arbetsformer. Det lyfts också fram att lärare och elever har ”reflekterat och samtalat om olika sätt att tänka kring och lösa /.../matematiska uppgifter” (s.14) Vidare har eleverna haft ”möjlighet att visa och beskriva sina lösningar och hur de kommit fram till dem för sina kamrater” (s.14). I sammanhanget bör det nämnas att tidigare nämnda Lindblad och Sahlströms studier har varit inriktade på grundskolans senare år och man därför inte direkt kan överföra resultaten på de lägre åldrar som föreliggande studie handlar om. Skolverkets rapport (2003) beskriver att dagens klassrum för de tidiga åren innehåller mycket stor andel fria arbetssätt, med lek, temaarbeten och språkstimulerande aktiviteter. Detta övergår med tiden till ett mer formaliserat lärande inom framförallt matematik. Det finns inget entydigt svar på när denna övergång sker, men enligt Skolverket har detta på många håll redan skett innan årskurs tre. I vissa fall har man sett det redan i förskoleklass (Skolverket, 2003). 11 I Löwings (2004) studier av ett antal klassrum, i årskurserna 4-9, var det vanligt att eleverna satt tillsammans i mindre grupper. Tanken med detta var att eleverna skulle kunna prata matematik med varandra och även hjälpa varandra och därmed avlasta läraren. Problemet var att eleverna i många fall arbetade individuellt, i sin egen takt, med exempelvis läroboken och eftersom de därmed inte var på samma ställe i boken, blev inte den förutsatta kommunikationen verklighet. Det hände även att eleverna arbetade tillsammans med olika uttalade grupparbeten. I samband med detta pekar Löwing (2004) på en rad olika faktorer som kan ses som svagheter eller risker när det gäller grupparbete. Bland annat visade hennes studie att det var viktigt för eleverna att klara uppgifterna så snabbt som möjligt och bli klara före andra grupper. Det saknades därför reflektion kring uppgiften och man säkerställde inte att alla i gruppen hade förstått. När läraren diskuterade med gruppen lämnade även hen alltid gruppen utan att kontrollera om de olika eleverna förstått uppgiften. Varken läraren eller gruppen tog således något ansvar för att respektive individ hade förstått. Artzt och Newman (1990) framhåller vikten av att det finns ett tydligt, gemensamt mål för arbetet i grupp, att eleverna lär sig att arbeta i grupp och att de blir medvetna om att de är ett team där alla i gruppen har ansvar för att var och en förstår och lär. Mouwitz (2013) menar att den rent monologiska undervisningen, i linje med Sahlströms förstnämnda kategori, var vanlig förr - en undervisning där läraren föreläste om ett bestämt innehåll och där eleverna försökte förstå detta så gott de kunde. Detta menar även Skolverket (2004a) där de i den nationella utvärderingen visar att det traditionella arbetssättet där läraren pratar och ställer frågor och eleverna framförallt lyssnar har minskat under åren 1992-2003. Som motreaktion på den ensidiga kommunikationen växte ett aktivare arbetssätt fram där tanken var att alla elever skulle undersöka och upptäcka lösningar på egen hand, eller i grupp, för att sedan presentera sina lösningar för klassen (Mouwitz, 2013). Detta arbetssätt kräver, menar Mouwitz, mycket erfarna och kunniga lärare för att inte diskussionsoch presentationsfasen ska framställa alla svar, t.o.m. de som är ofullständiga eller felaktiga, som likvärdiga. 2.3.2 Läroböcker Enligt Skolverket (2003) ges läroböcker av många, tidigt en central roll i matematik undervisningen och detta håller sedan i sig genom skolåren. I många fall innebär det att matematiklektionerna innehåller en stor del av enskilt arbete i form av räknande i boken och en mindre del av dialog och samtal kring matematiken. (Skolverket, 2003). Flera källor (ex. Skolverket, 2003, 2004b; Löwing, 2004; NCM 2001) uttrycker att läromedlen har en alltför styrande roll och en rapport från NCM (2001) uttrycker till och med att lärarnas beroende av läromedel är en av orsakerna till dagens matematikproblem. Skolverket (2003) påpekar att undervisning som domineras av läromedel leder till att eleverna blir fokuserade på kvantitet istället för kvalitet, möjligheterna till kommunikation blir begränsade och eleverna kommunicerar mer med sin matematikbok än med lärare och kamrater (NCM, 2001; Skolverket 2003). Under grundskolans senare år får eleverna högst 2 minuters lärarkontakt per lektion (Skolverket, 2003). (Motsvarande siffra för de lägre åldrarna återfinns inte i rapporten.) Riesbeck (2008) påpekar, i linje med detta, att läroböckerna i första hand handlar om enskilda uppgifter, vilket inte stimulerar till kommunikation. Trots att läro- och kursplanerna, från lgr80 och framåt har lyft den matematiska kommunikationen allt tydligare visar den nationella utvärderingen från 2003 på ett ökat läromedelsberoende (Skolverket, 2004b). Detta är också en av orsaker som ligger bakom att kommunikationen lyfts ytterligare i Lgr11 (Skolverket, 2011a). 12 3 Syfte och problemformulering Detta arbete inriktar sig på kommunikation och matematik för årskurserna Fk-3. I mitt litteratursökande har jag framförallt hittat studier, med lite olika inriktningar, som handlar om äldre åldrar än denna fokusgrupp (Lindblad och Sahlström, 1999; SOU 2004:97; Löwing, 2004) men även några som berör yngre åldrar (Emanuelsson, 2001). Här beskrivs att verkligheten består av en stor andel läroboksstyrda klassrum, där det enskilda arbetet dominerar (Skolverket, 2003; SOU 2004:97). Skolverket (2003) påpekar dock att matematikundervisningen under de första skolåren i allmänhet innebär ett friare arbetssätt, även om övergången till mer formaliserat lärande sker någon gång under de första åren, ibland så tidigt som i förskoleklass (Skolverket, 2003). Denna bakgrund, där studierna gjordes för mer än 10 år sedan, gör att jag finner det intressant att undersöka hur det ser ut i några svenska klassrum idag, några år efter implementeringen av Lgr11, som tydligare än föregående läroplaner lyfter fram kommunikationsförmågan inom matematiken. I min formulering av syfte och frågeställningar har jag valt att inta andra ordningens perspektiv (Marton, 1981), vilket innebär att jag utgår ifrån lärarens egen syn på matematisk kommunikation och hur läraren själv beskriver sin undervisning. 3.1 Syfte Då matematisk kommunikationsförmåga lyfts fram som en viktig förmåga i Lgr11 är mitt syfte att undersöka hur några lärare tolkar och beskriver att de arbetar med matematisk kommunikation i årskurserna Fk-3. 3.2 Frågeställningar Hur resonerar lärare kring matematisk kommunikation? Hur beskriver lärare att arbetet kring matematisk kommunikation tar sig uttryck i deras klassrum? Ser lärarna några möjligheter eller svårigheter när det gäller att utveckla elevernas förmåga till matematisk kommunikation i kommunikation i Fk-3? 13 4 Metod Denna studie har en fenomenologisk, tolkande ansats, vilket innebär en syn som bygger på förståelse och tolkning av människors beteende (Bryman, 2011, s.32). Kvale och Brinkman (2014) beskriver den fenomenologiska synen i kvalitativa studier som ”ett intresse av att förstå sociala fenomen utifrån aktörernas egna perspektiv och beskriva världen som den upplevs av dem enligt antagandet att den relevanta verkligheten är vad människor uppfattar att den är” (s. 42). Bryman (2011) menar vidare att det är samhällsforskarens uppgift att ”skaffa sig tillgång till människors idéer om ”sunt förnuft” och på grundval av det tolka deras handlingar och sociala värld utifrån deras perspektiv” (s.33). Då min studie har till syfte att undersöka lärares syn på matematik och kommunikation och hur lärare utifrån detta beskriver sitt arbete inom matematik anser jag att detta ligger väl i linje med det fenomenologiska synsättet. Det innebär också att jag har valt att inta andra ordningens perspektiv (Marton, 1981), vilket innebär att man utgår från människors upplevelser och erfarenheter av verkligheten. Avsikten är att se matematisk kommunikation ur ett antal lärares synvinkel och att tolka och relatera deras syn och arbetssätt till tidigare forskning och teori på området. 4.1 Datainsamlingsmetod För att undersöka mitt valda område har jag utgått från kvalitativa intervjuer av yrkesverksamma lärare. Kvalitativa intervjuer innebär att man studerar och ställer frågor kring ett område som man inte i förhand vet svaret på. Därför kan man inte i förväg formulera svarsalternativ och inte heller avgöra vad som är rätt eller fel svar på en fråga (Patel och Davidsson, 2003, s. 78). Syftet med kvalitativa intervjuer är också att den intervjuade ska ”ge så uttömmande svar som möjligt” (Johansson & Svedner, 2010, s. 31). Intervjuerna har genomförts i semi-strukturerat format, i enlighet med Brymans (2011, s. 206) beskrivning, vilket innebär att jag har haft en uppsättning frågor som utgångspunkt. Frågornas inbördes ordning har under intervjuerna i viss mån varierat beroende på hur den intervjuade svarat och jag har även ibland valt att ställa ytterligare kompletterande frågor för att klargöra eller få den intervjuade att vidareutveckla sina svar. Fördelen med kvalitativa, icke-strukturerade intervjuer är enligt Bryman (2011, s.413) att man kan låta intervjun röra sig i olika riktningar och låta den intervjuade i viss mån prägla samtalet och låta tyngdpunkten hamna på det område som hen tycker är relevant och viktigt. En nackdel med intervjuformatet är att det är tidskrävande när det gäller transkribering och analys (Bryman, 2011). Intervjufrågorna (bilaga A) inleds med generella frågor av faktakaraktär (Hartman, 2003), för att närmare få reda på den intervjuades bakgrund, så som hur länge hen arbetat som lärare, vilka årskurser hen arbetat med tidigare och arbetar med nu, samt vilken utbildningsbakgrund hen har. Därefter ställde jag frågan vad kommunikation inom matematik innebär för respondenten. Eftersom kommunikation kan ske på olika sätt och kan uttryckas med hjälp av olika uttrycksformer, så som muntligt och skriftligt, men också med hjälp av bilder, gester och konkret material (Taflin, Gracie och Halldén, 2014), så vill jag genom denna fråga få en bild av hur den intervjuade resonerar kring detta. En del av intervjun utgick ifrån olika citat från läroplanen (Bilaga B) kring matematik och kommunikation och tanken med dessa var att jag ville få fram hur den intervjuade läraren tolkar och resonerar kring dessa. Att tolka citaten var en öppen fråga och jag lämnade stor del till de intervjuade att tänka fritt. Som omnämnt i tidigare avsnitt (se 2.2.4) menar Taflin, Gracie och Halldén (2014) att matematisk kommunikation ofta förväxlas med matematiskt resonemang. Skolverket (2011a) uttrycker i kommentarmaterialet å andra sidan snarare att resonemang är en aspekt av den kommunikativa förmågan. Jag valde att enbart ha med citat från läroplanen som handlar om kommunikation och valde bort de som berör resonemangsförmågan. Detta av två orsaker. 14 Dels är det kommunikationen som står i huvudfokus för detta arbete, dels lämnar detta val det öppet för att eventuellt kunna se om lärarna lyfter resonemangsförmågan i sina tolkningar. Utvalda citat (bilaga B) hade jag utskrivna vid intervjun för att underlätta för den intervjuade och för mig som intervjuare att diskutera de olika skrivningarna. En annan stor del i intervjun handlade om hur läroplanens kommunikationsmål tar sig uttryck i klassrummet och hur läraren planerar och lägger upp sina lektioner för att nå upp till dessa mål. Intervjun innehöll också frågor om huruvida den intervjuade skulle arbetat annorlunda för att främja kommunikationen om det fanns möjlighet samt om hen upplevt några möjligheter eller svårigheter med att arbeta med matematisk kommunikation med sina elever. Frågan kring om lärarna skulle ha arbetat annorlunda om de hade haft obegränsade möjligheter är inte direkt kopplad till någon av frågeställningarna, men kan ge förutsättningar för att förstärka andra delar av intervjun och ge en vidare syn av hur lärarna tänker och resonerar. 4.2 Urval Kriterierna för de sex lärare som intervjuades i min studie var att de skulle vara förtrogna med minst Lpo94 och Lgr11. Genom att ha förtrogenhet med minst dessa två läroplaner har man varit den del av den process där den matematiska kommunikationen har lyfts fram och förtydligats. Vidare var det väsentligt att de arbetade inom årskurserna Fk-3. Urvalet var i viss mån ett bekvämlighetsurval då jag utgick ifrån att i första hand fråga lärare som jag på något sätt hade personlig anknytning till, genom vikariat, VFU-skolor etc. Bryman (2011) och Patel och Davidsson (2003) lyfter fram att det finns en risk att bekvämlighetsurval inte ger ett representativt urval och att det begränsar möjligheten att dra generella slutsatser. För att motverka denna nackdel med ett bekvämlighetsurvalet har jag dels haft tidigare nämnda urvalskriterier angående lärarnas erfarenheter i yrket. Jag har även strävat efter att fånga upp lärare på olika skolor och från två olika kommuner, för att ändå försöka nå en viss spridning av respondenter (Johansson och Svedner, 2010). Genom att få personer med olika erfarenhetsbakgrund på detta sätt ökar chansen till att nå olika uppfattningar och erfarenheter hos lärarna (Johansson och Svedner, 2010). En intervjuperson har även ”tillkommit” genom så kallad snöbollseffekt, vilket innebär att man använder sina första respondenter till att få kontakt med ytterligare respondenter (Bryman, 2011). 4.2.1 De intervjuade lärarna De intervjuade lärarna har, i enlighet med konfidentialitetskravet, fått fingerade namn – Sara, Sofia, Lena, Linnea, Emma och Karin. Alla är, genom utbildning och arbetserfarenhet, förtrogna med Lpo94 och Lgr11. De arbetar idag i olika årskurser, alltifrån förskoleklass till årskurs 3. En av dem jobbar även delvis i årskurs 5. Fyra av dem arbetar i samma kommun, men är fördelade på två olika skolor. De två övriga arbetar i en annan kommun, och där på var sin skola. 15 4.3 Tillvägagångssätt 4.3.1 Kontakt och intervju Jag tog den första kontakten med mina tänkta intervjupersoner genom telefonsamtal, mail eller personlig fråga. I detta sammanhang informerade jag om syftet med min undersökning och hur undersökningen, om de kunde tänka sig att medverka, skulle genomföras. Jag förtydligade också att deltagandet är helt frivilligt och att de när som helst skulle kunna avstå från intervjun och också avbryta sin medverkan under intervjuns gång. Den tillfrågade fick även tillgång till Forskningspersoninformation (bilaga C). Vi bestämde tid och plats för intervjun och den intervjuade fick påverka var intervjun skulle äga rum, för att det skulle vara i en så bekväm miljö som möjligt för den intervjuade. Alla intervjuer genomfördes på respektive skola, i klassrum, lärarrum eller grupprum, och intervjuernas tidsomfång varierade mellan 40 och 47 minuter. I samband med intervjun upprepades syftet med undersökningen och deltagandets frivillighet genom ett Forskningspersoninformation och samtyckesformulär (bilaga D), där den intervjuade läraren fick bekräfta sitt samtycke genom att skriva under. Johansson och Svedner (2010) menar att intervjuer bör spelas in och jag har valt att spela in dem digitalt med mobiltelefon. Inspelningen kompletterades med egna anteckningar under intervjun. Att anteckna ger möjlighet att tillsammans sammanfatta vad den intervjuade sagt och det stimulerar också till att man får mer utvecklade svar (Johansson och Svedner, 2010). Johansson och Svedner (2010) menar att ytterligare en fördel med att anteckna under intervjuns gång, är att detta även ger upphov till naturliga pauser då den intervjuade kan samla sina tankar och eventuellt även utveckla sina svar. Att sammanfatta det den intervjuade sagt är också ett sätt att påbörja analysen av materialet redan i intervjusituationen och ger både ett mer hanterligt material och också ett säkrare material, då den intervjuade hade möjlighet att lägga till eller opponera sig mot det jag lyfte fram (Kvale och Brinkman, 2014). 4.3.2 Transkribering Efter intervjuerna har jag transkriberat dessa till skriven text. Dessa skedde löpande allteftersom intervjuerna genomfördes, vilket har till fördel att intervjun är färsk i minnet och ger större möjlighet till att få ”ett levande förhållande till sitt material” (Patel och Davidsson, 2003). Utskrift av intervjuer är i sig en analytisk process och man måste bedöma om alla delar behöver skrivas ut, hur detaljerad man ska vara och hur man ska förhålla sig till det förhållandet mellan muntligt och skriftlig stil (Kvale och Brinkman, 2014). Eftersom jag även hade antecknat under intervjun, valde jag att inte transkribera de inledande frågorna kring den intervjuades utbildning och bakgrund. Här utgick jag ifrån mina anteckningar. Resterande intervju transkriberades och jag valde att skriva i största mån ordagrant. Då mitt fokus ligger på lärarnas egen uppfattning och vad de uttrycker i ord har jag valt att inte notera eventuella pauser eller emotionella uttryck, som skratt eller suckar, i någon större omfattning. Kvale och Brinkman (2014) menar att denna typ av uttryck kan ha betydelse i studier som fokuserar på språklig stil och social interaktion, men så är inte fallet i denna studie. 16 4.3.3 Resultat- och databearbetning Johansson och Svedner (2010) lyfter fram tre olika sätt att redovisa sitt resultat – gruppering efter uppfattningar, beskrivning av enskilda individer alternativt gruppering av individer. Då detta arbete handlar om att undersöka sex lärares tolkning och arbetssätt utifrån tre olika frågeställningar är det lämpligt att gruppera efter uppfattningar. I resultatredovisningen har jag utgått från arbetets frågeställningar och i anslutning till respektive frågeställning grupperat lärarna utifrån deras uppfattningar respektive arbetssätt. För att göra en tydligare beskrivning har jag också lyft fram olika lärare som exempel i min text. Jag har arbetat utifrån en tematisk analys enligt ”Framework, ett tillvägagångssätt som har utvecklats vid National Centre for Social Reseach i Storbritannien” (Bryman, 2011, s. 528). Framework är en ”matrisbaserad metod för att ordna och syntetisera data” (Ritchie m.fl. 2003, s.219 enl. Bryman, 2011), där man genom att noggrant och flera gånger gå igenom insamlad data, söker efter teman och subteman, och utifrån detta skapar olika matriser. I matrisen noterar man korta utdrag från datan och var i utskriften utdraget är hämtat (Ritchie m.fl. 2003, enl. Bryman, 2011). Här nedan visar jag ett exempel på en framework-matris. De framework-matriser jag gjorde i verkligheten var på papper, men utifrån samma princip. I min analys valde jag att låta sex huvuddelar från intervjumallen motsvara övergripande teman i analysen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. vad innebär matematisk kommunikation lärarnas syn på läroplanen hur de arbetar med kommunikation i klassrummet – arbetssätt, material mm möjligheter med matematisk kommunikation svårigheter med matematisk kommunikation hur skulle lärarna arbeta om de hade obegränsat med möjligheter Dessa delar kan också kopplas till mina frågeställningar, där 1-2 kan kopplas till min första frågeställning kring lärarnas syn och tolkning av matematisk kommunikation och nummer 3 till den andra frågeställningen kring lärarnas arbetssätt. Punkt 4-5 svarar mot min tredje frågeställning som handlar om vilka svårigheter respektive möjligheter lärarna ser när det gäller matematik och kommunikation. Den sjätte punkten är inte direkt kopplad till någon specifik frågeställning, men kan fördjupa förståelsen av lärarnas uppfattningar. Utifrån ovan nämnda teman fortsatte jag min analys och sökte efter subteman. 17 Rent praktiskt gick jag tillväga så att jag arbetade i ordbehandlingsprogram och klippte samman delar från de transkriberade intervjuerna som berörde respektive område/övergripande tema, till ett gemensamt dokument för att få en bättre överblick. Sedan läste jag materialet ytterligare och sökte efter subteman som visade viktiga delar i lärarnas beskrivningar. Subtemana var inte fastställda när analysen påbörjades utan framkom när jag upprepade gånger gick igenom intervjuerna. Jag valde subteman utifrån vad lärarna tog upp inom respektive huvudtema och hittade på detta sätt återkommande utsagor hos lärarna, men också unika svar som var väsentliga för temat. I de olika rutorna i matrisen noterade jag minnesord/förkortningar eller korta citat från intervjuerna samt varifrån det var hämtat, genom en tidsangivelse från intervjun. Matriserna och dess koppling till datan använde jag sedan som utgångspunkt när jag sammanställde resultatet i text. 4.4 Tillförlitlighet En kvalitativ studies kvalitet baseras på hela forskningsprocessen (Bryman, 2011; Patel & Davidsson, 2003) och begreppen validitet och reliabilitet har inte samma innebörd i kvalitativa studier som i kvantitativa studier. Bryman (2011) visar att det finns olika ståndpunkter när det gäller relationen till dessa två begrepp. Antingen får man anpassa begreppen till den kvalitativa forskningens förutsättningar eller så använder man sig av andra kriterier för att bedöma kvalitet i kvalitativa studier. Eftersom kvaliteten baseras på processens helhet är det därmed svårt att göra bedömningar i förhand. Johansson och Svedner (2010) förordar dock att man gör noteringar under processens gång, till exempel vid intervjuerna, för att sedan kunna diskutera detta i diskussionsavsnittet. Detta menar också Vetenskapsrådet (2011) som uttrycker att man behöver en ”noggrann felanalys eller åtminstone en diskussion av tänkbara felkällor och andra förhållanden som kan påverka resultatens hållbarhet” (s. 44). Därför kommer jag att återkomma till detta i mitt kommande metoddiskussionsavsnitt. 4.5 Etiska överväganden Vid all typ av forskning är det viktigt att göra olika forskningsetiska överväganden. Att skriva ett examensarbete klassificeras visserligen inte som forskning i laglig bemärkelse men det är ändå viktigt att man även i examensarbeten handlar enligt de normer och principer som forskningssamhället utgår ifrån (Arne Engström, föreläsning 27 november, 2014). Vetenskapsrådets (2002) lyfter individskyddskravet som en ”självklar utgångspunkt för forskningsetiska överväganden” (s.5). Individskyddskravet innebär att man, om man deltar i någon form av studie eller undersökning, måste skyddas mot ”otillbörlig insyn, i t.ex. sina livsförhållanden” samt inte heller ”utsättas för psykiskt eller fysisk skada, förödmjukelse eller kränkning” (s.5). Ett ställningstagande jag gjort i mina studier är att jag valde att enbart göra intervjuer och inte komplettera med observationer. Området jag undersöker handlar om kommunikation inom matematiken, vilket enligt forskning och rapporter från Skolverket lyfts fram som något som brister i den svenska skolan (Skolverket, 2004a; SOU 2004:97). Att använda sig av observationer hade i detta fall hade kunnat ge en känsla av att jag ville kontrollera huruvida läraren levde upp till det hen gav uttryck för i intervjun. Detta skulle kunna upplevas kränkande och obehagligt, vilket därmed ska undvikas. Enligt Vetenskapsrådet (2002) byggs skyddet av individen upp av fyra forskningsetiska huvudkrav, vilka jag nu kommer beskriva hur jag lever upp till i min undersökning. 18 4.5.1 Informationskravet Informationskravet handlar om att man som forskare ska ”informera de berörda om den aktuella forskningens syfte” (Vetenskapsrådet, 2002, s.7). Genom min första muntliga information samt utlämnande av Forskningspersoninformation (bilaga C), levde jag upp till detta krav. Samma information återkom också i samband med intervjun, i form av samtyckesformuläret (bilaga D). 4.5.2 Samtyckeskravet Samtyckeskravet innebär att deltagarna själva bestämmer över sitt deltagande och att de har rätt att avbryta sin medverkan när som helst (Vetenskapsrådet, 2002). De personer jag intervjuade fick information om deltagandets frivillighet muntligt samt via Forskningspersoninformation och samtyckesformulär (bilaga C och D). Genom sin underskrift bekräftade respondenterna sitt samtycke till deltagande i studien. 4.5.3 Konfidentialitetskravet I redovisningen av min undersökning har alla deltagare, i enlighet med konfidentialitetskravet (Vetenskapsrådet, 2002) avidentifierats och givits fingerade namn för att inte ska kunna identifieras av obehöriga. Jag som intervjuare är den enda som har tillgång till informationen kring vem som har gett uttryck för vilka uppgifter i undersökningen. 4.5.4 Nyttjandekravet Den information jag fick genom mina intervjuer kommer inte att användas för andra ändamål än för sammanställande av min undersökning. Detta löfte fanns med i informationsbladet vid mina intervjuer. Genom detta uppfylls nyttjandekravet, vilket innebär att de uppgifter och den information man får om enskilda personer endast användas för forskningsändamål (Vetenskapsrådet, 2002). 19 5 Resultat Studien är genomförd utifrån en fenomenologisk ansats (Bryman, 2011; Kvale och Brinkman, 2014), samt utifrån andra ordningen perspektiv (Marton, 1981). Resultatet visar därmed lärares syn på matematik och kommunikation och hur lärare beskriver att de arbetar med matematisk kommunikation i klassrummen. Resultatpresentationen är strukturerad utifrån mina tre frågeställningar. Den första underrubriken (5.1) är indelad i två delar, där den första beskriver lärarnas syn och tolkning generellt när det gäller matematisk kommunikation. Den andra delen beskriver hur lärarna resonerar kring läroplanens skrivningar om matematik och kommunikation. Därefter presenteras ett avsnitt (5.2) som handlar om hur lärarna beskriver att de arbetar i klassrummet med matematik och kommunikation. Resultatdelen avslutas med ett stycke (5.3) som berör vilka möjligheter och svårigheter lärarna ser när det gäller att utveckla elevernas förmåga till matematisk kommunikation. I detta avsnitt finns också en del där det beskrivs vad lärarna hade gjort för att ytterligare förbättra arbetet med elevernas kommunikationsförmåga om de hade obegränsade möjligheter. 5.1 Lärarna, läroplanen och matematisk kommunikation 5.1.1 Matematisk kommunikation Alla intervjuer inleddes, efter inledande frågor kring lärarnas bakgrund och utbildning, med frågeställningen vad kommunikation inom matematik innebar för dem. Alla lärare lyfte då framförallt den muntliga kommunikationen och att det handlar om ett samtal, en dialog, en tvåvägskommunikation och ett utbyte av information. Lena uttrycker att det handlar om att man ”kan förstå och göra sig förstådd i matematik, med hjälp av matematiken”. Fyra av lärarna tar även upp kommunikation i andra former och de uttrycker att ”kommunikation är inte bara ord” och att kommunikation kan vara ”både muntligt och skriftligt”. De nämner också andra uttrycksformer som till exempel bilder, ord, konkret material och det matematiska språket. Sofia vidgar begreppet uttrycksformer och beskriver hur hon även använder ljud och dramatiseringar inom matematiken för att synliggöra olika områden. Emma lyfter också i detta sammanhang det matematiska språket och att målet är att eleverna ”så småningom använder rätt begrepp” och att de utvecklar sin förmåga att ”att hantera det matematiska språket”. Även Karin, Sara och Sofia lyfter den matematiska terminologin, som till exempel addera och subtrahera, som något som de tydligt arbetar med, för att eleverna ska lära sig att använda dem. Sofia framhåller att ”ju tidigare de får möta dem (termerna) desto bättre. Förstår de inte första gången, så förstår dom det nästa gång”. Linnea och Lena nämner inte specifikt det matematiska språket och dess terminologi under våra intervjuer. Två av lärarna särskiljer kommunikation från resonemang och argumentation, där Emma framhåller att ”resonemang kan vara inre resonemang, men när jag kommunicerar måste jag också förklara för någon annan så att hen förstår”. Karin ser kommunikation som ett ganska lättsamt utbyte av information, medan resonemang och argumentation är svårare att handleda. Resonemang uttrycker hon innebär ”att man faktiskt kan sätta ord på varför man löser det som man gör och att kunna diskutera och ta till sig någon annans åsikt och kunna vidareutveckla den”. Övriga lärare särskiljer inte argumentation, resonemang och kommunikation på samma uttryckliga sätt, utan använder dessa begrepp i samma sammanhang som samtala, förklara, redogöra och jämföra och värdera. 20 5.1.2 Om läroplanen Tolkningen av de olika citaten från läroplanen (Bilaga B) var en öppen fråga där lärarna fick stort utrymme att tänka fritt. För att underlätta resultatbeskrivningen följer här aktuella citat: Ur syftet: Eleverna ska genom undervisningen också ges möjlighet att utveckla förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang. (Skolverket, 2011b, s.62) Långsiktiga förmågor: Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2011b, s.63) Kunskapskrav för slutet av åk 3: Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget. (Skolverket, 2011b, s. 67) Något som alla lärare stannar upp vid och talar kring är de vardagliga sammanhangen och vikten av att man kan koppla matematiken till vardagen. Genom att koppla matematiken till vardagen och till andra sammanhang än matematiklektionerna får man eleverna att förstå att ”de har nytta av den (matematiken), inte bara i matteboken”. Karin och Sara tar också upp att vikten till goda förmågor inom matematik i elevernas framtida liv. Sara talar om elevernas framtida medborgaransvar och hon framhåller att det är det långsiktiga mål hon ser i skolan – ”att eleverna ska kunna klara sig själva när de blir vuxna och klara sin vardag med alla de val och skyldigheter och rättigheter man har...”. Karin tar upp att matematisk kommunikation behövs i det framtida yrkeslivet. ”När man ska förklara någonting eller visa någonting, få fram sin forskning eller vad man nu håller på med, (i framtiden) så måste man ju kunna redovisa och visa hur man har kommit fram dit.” Alla lärare berör matematiska uttrycksformer, vilket omnämns i syfte, långsiktiga förmågor och i kunskapskraven. Samtliga nämner konkret material, och fyra av dem lyfter att rita bilder, beskriva med ord och att uttrycka sig med det matematiska språket och dess terminologi och symboler. Två av dem uttrycker att de låter eleverna uttrycka matematik på andra sätt och berättar i detta sammanhang till exempel om dramatiseringar där matematiken används, ex. leka affär, gå på bio eller att använda sig av ljud på olika sätt. Linnea nämner också att spela, bygga eller jobba med matematik utomhus på olika sätt. I samband med kunskapskraven visar lärarna sin syn att det framförallt handlar om muntligt kommunikation. De behöver kunna uttrycka sig muntligt, menar en av lärarna. Sara lyfter fram att det inte uttrycks i läroplanen att eleverna inte måste kommunicera muntligt i stor grupp. Hon menar att det för en del är tillräckligt utmanande att samtala och diskutera i par eller tillsammans med en lärare och att de genom detta ändå kan nå upp till kraven. Karin 21 är den som, i samband med kunskapskravet, lyfter fram att kommunikationen också måste få vara skriftlig, till exempel för dem som ”inte är så bekväma med att prata”. Hennes erfarenhet är att alla elever inte har förmågan att uttrycka sig muntligt utan att ”en del kan bara visa den ena delen (skriftliga) och /.../ då får det vara gott nog till att börja med”. ”Sedan får man försöka uppmuntra och utveckla den andra delen (muntliga)”. 5.2 Arbetssätt i de olika klassrummen Alla lärare i studien beskriver att de arbetar för att stimulera och utveckla elevernas kommunikativa förmåga, om än på något olika sätt. För att kunna nå syftet och kunskapskraven lyfter alla lärare fram att man behöver ha samtal och diskussion i klassen och alla uttrycker att de låter eleverna förklara hur de tänker och beskriva och redogöra för hur de löst olika uppgifter. De beskriver också att man tillsammans diskuterar olika problem och lösningar. Fem av dem lyfter fram problemlösning av olika slag, som ett arbetssätt där eleverna får möjlighet att träna sin kommunikativa förmåga. Den sjätte läraren använde inte begreppet problemlösning i intervjun, men talade om uppgifter med flera olika lösningar som givande för att skapa samtal och diskussion i klassrummet. Att använda sig av ”öppna frågor” på detta sätt, tar även två av de andra lärarna upp som givande för att stimulera elevernas förutsättningar att kommunicera. Sara och Karin lyfter att man, genom att visa olika lösningar eller metoder på tavlan, tillsammans kan jämföra och diskutera skillnader och likheter som en viktig del för att stimulera kommunikationsförmågan. I arbetet med problemlösning/uppgifter med flera olika lösningar uttrycker tre av lärarna att de arbetar utifrån strukturen EPA (Enskilt-Par-Alla), där eleverna först funderar individuellt, sedan tillsammans i par och därefter visar och diskuterar sina olika lösningar i helklass. Övriga lärare tar inte upp EPA, men uttrycker att problemlösningen görs tillsammans för att gynna kommunikationen. Två av dem låter eleverna först diskutera i par eller grupp, för att sedan fortsätta i helklass. En lärare genomför en del av sina matematiklektioner i halvklass och upplever att det lättare att få bra och givande samtal i den något mindre gruppen än i helklass. Därför förlägger hon de mer kommunikativa delarna inom matematiken till dessa lektioner. Hennes erfarenhet med den klass hon har nu, att det är svårt att få eleverna att arbeta i par eller mindre grupper, då de inte är fokuserade på uppgiften när de ska jobba mer självständigt (se även 5.3.2). Alla de intervjuade lärarna använder sig av ett läromedel, med tillhörande lärobok, som grundstomme för sin undervisning. Matematikboken används för rutinuppgifter och färdighetsträning. Två av lärarna har valt att ha flera olika böcker, där dessa har valts för att passa olika elever utifrån deras behov och förutsättningar. Sara lyfter också fördelen, förutom att eleverna får en anpassad lärobok, att man genom de olika böckerna får möjlighet att visa på de olika lösningar och arbetssätt som böckerna tar upp och kan jämföra olika lösningar. Fyra av lärarna tar upp att en lärobok ger en trygghet, där man får en struktur och en känsla av att man inte missar något. Lena påpekar att en matematikbok för med sig känslan att ”har vi gjort detta har de fått med sig det de ska”. Sofia lyfter också tryggheten som en lärobok medför då de är utarbetade utifrån Lgr11. Samtidigt framhåller alla lärare att deras upplevelse är att inget läromedel är fullständigt utan att måste kompletteras på olika sätt. Alla är också beredda att hoppa över eller stryka delar i boken för att istället arbeta på andra sätt. 22 På frågan om matteböckernas och läromedlens relation till kommunikationsförmågan är uppfattningen något skiftande men de flesta anser att en matematikbok i sig inte inbjuder till kommunikation. Saras erfarenhet, som är den som använder sig av flest olika matteböcker i sitt klassrum, är att en del nya böcker har många moment som handlar om att diskutera och analysera och att träna kommunikation i olika sammanhang. En del äldre böcker däremot har inte mycket av kommunikation, utan detta måste man tillföra själv som lärare. Tre av de andra lärarna är av liknande åsikt och menar att det beror mycket på vilken lärobok man använder och att en del har mer av kommunikation än andra. Alla lärarna har gemensamma genomgångar med hela klassen på sina matematiklektioner. Dessa inleder oftast lektionen, men Karin låter ibland eleverna börja arbeta och har genomgången i mitten eller i slutet av lektionen, beroende på när det ”passar bäst”. De gemensamma genomgångarna avlöses av att eleverna arbetar vidare på olika sätt. Det kan vara enskilt, i par eller i grupper. Förutom problemlösning och öppna uppgifter, som nämnts tidigare, kan det handla om praktiska övningar som att som att bygga tio-kamraterna eller att arbeta med klossar, pengar eller andra konkreta material. Eleverna kan också arbeta med olika spel eller praktiska övningar av olika slag. Det kan också handla om färdighetsträning i läroboken. I alla klassrum återfinns konkret material av olika slag som en viktig del. Emma menar att konkret material i sig inte per automatik stimulerar kommunikation, men att det kan användas för att göra det. Sofias erfarenhet är att det konkreta materialet också kan vara en hjälp när eleverna ska beskriva eller förklara något, då de kan använda det när orden inte räcker till. Karin erbjuder alltid konkret material, men upplever att de elever hon har nu, inte väljer att använda detta om de inte är instruerade att göra det. 5.3 Möjligheter och svårigheter när det gäller att utveckla elevernas förmåga till matematisk kommunikation 5.3.1 Upplevda möjligheter Alla lärare är positiva till och anser att det är viktigt att arbeta med kommunikation och matematik. Något som de alla lyfter fram är att kommunikationen är viktig för elevernas egen förståelse och lärande. Genom kommunikationen får eleverna tänka till och därigenom utveckla sina kunskaper. Sara menar att eleverna genom kommunikationen för större ”förståelse för sitt eget tänk”. Lärarna lyfter också att eleverna i samtal och diskussion vidgar och fördjupar sin egen förståelse. Tre av lärarna påtalar att de som lärare, genom elevernas matematiska kommunikation, får möjlighet att förstå eleverna och hur de tänker, och därigenom få en bild av vad man behöver arbeta vidare med. Sara menar att man genom detta kan få syn på missuppfattningar hos eleverna som behöver klargöras. Sofia talar också om att när en elev kan förklara för andra elever så blir detta ett kvitto, både för lärare och elev, på att eleven har förstått. Lena och Linnea lyfter fram att man genom att kommunicera kring hur man löst olika uppgifter och problem får se olika lösningar och sätt att tänka. Genom detta vidgas synen på matematiken och man kanske får upp ögonen för andra, effektivare sätt att tänka. Lena nämner också att elever, genom att beskriva och förklara olika matematiska begrepp och fenomen kan hjälpa andra elever genom att de beskriver på ett annat sätt än vad läraren gör. Två av lärarna lyfter också att eleverna i samband med att de presenterar sina olika lösningar har möjlighet att träna sig på att argumentera för sin sak. 23 5.3.2 Upplevda svårigheter När det kommer till vilka svårigheter lärarna ser med att arbeta med kommunikation och matematik är det flera olika aspekter som dyker upp. Tre av dem tar upp att kommunikation tar tid och att det kan kännas svårt att hinna med en bra undervisning som gynnar elevernas kommunikativa förmåga och samtidigt arbeta med alla andra moment inom matematiken också. Två av lärarna menar att det finns en risk att kommunikationen blir lidande när man som lärare känner sig stressad över alla moment som ska hinnas med. En av dem menar att kommunikationen kan komma i andra hand: ”det tror jag...att allt sånt där extra, som tar lite tid och som rör till det lite...nej, men vi får se till att vi har gjort de här sidorna /.../ räcker inte tiden till så är det nog så att det är oftast det (boken) som blir gjort först”. En annan uttrycker att ”ska man vara ärlig så. /.../kanske är kommunikationen som krymper mest”. Samtidigt lyfter hon fram att kommunikationen är ”en stor del i vad de ska utveckla, så egentligen ska det ju inte vara så”. Sofia uttrycker att det är svårt med kommunikation i helklass och att hon ser större möjlighet till bra samtal i halvklass eller i mindre grupper. Dock leder inte mindre grupper per automatik till bättre kommunikationsförhållanden, då det också beror på individerna i gruppen. Sofia beskriver att det även i den lilla gruppen kan finnas elever som av någon anledning behöver enskilt stöd, på grund av något som hänt (oplanerat). Då blir man som lärare ibland tvungen att avstå från den kommunikation man planerat, fokusera på den eleven och låta övriga elever arbeta i matematikboken. Lena och Emma tar också upp att det finns elever som behöver stöttning på olika sätt, både i samtalet och diskussionen. Detta behöver dock inte vara specifikt för matematik utan gäller grupparbete generellt. Sofias erfarenhet i den klass hon har nu är också att det, när eleverna ska arbeta i par eller mindre grupper, ”är så många som kommer bort i från det som de ska göra. Så lätt att halka in på något annat.”. Hon upplever att hon behöver ”vara den som leder” samtalet. Lärarna lyfter också svårigheter för specifika elever på olika sätt, så som att alla inte vågar uttrycka sig inför de andra eleverna. Sara lyfter fram att det för vissa kanske är en tillräcklig utmaning att samtala i par eller med en vuxen och på så sätt träna sin kommunikativa förmåga. Sofia menar också att det i den stora gruppen är några elever som ”alltid pratar”, medan andra är tystare och därmed inte tränar sin förmåga till muntlig kommunikation och inte heller får möjlighet att visa sin förmåga. Kunskapskraven är något som fyra av lärarna menar kan vara svårt att bedöma. Karin menar dock att hon genom sina erfarenheter har fått en god bild av vad hon förväntar sig av sina elever. Hon lyfter också de nationella proven som har haft tydliga bedömningskriterier och som också har stimulerat till givande diskussioner med kollegorna. Linnea kopplar också till de nationella proven och att de ger ett bra underlag för bedömning. En annan svårighet med bedömningen av kunskapskraven ligger i att det kan vara svårt att hinna med att se alla, vilket tre av dem tar upp. Linnea och Sara beskriver att de löser detta genom att bedöma ett moment och några elever i taget. Karin menar att kommunikationen också måste få vara skriftlig för att alla ska få möjlighet att visa vad de kan. Skriftlig kommunikation ger också andra möjligheter för läraren att hinna se alla elever. 24 5.3.3 Om obegränsade möjligheter I slutet av intervjun bad jag lärarna fundera kring om det fanns något de skulle vilja göra eller förändra för att ytterligare stimulera och förbättra arbetet med elevernas förmåga till matematisk kommunikation. De uppmanades att tänka fritt och inte begränsas av nuvarande resurser och förutsättningar. Något fem av lärarna tog upp berörde att arbeta med elever i mindre grupper. Sofia, som har erfarenhet av att diskussioner i halvklass-lektioner fungerar bättre än i helklass, hade gärna sett mer av detta. Två av de andra lärarna gick ytterligare ett steg och hade velat arbeta ostört i ännu mindre grupper längre stunder, medan någon annan lärare hade hand om resten av klassen. Karin uttrycker att hon skulle ”sitta med en grupp på 4-5 elever och få diskutera, få lyssna, få handleda, få förklara begreppen igen eller låta dem få förklara. /.../ Jag hade velat ha dem i den lilla gruppen så att de får förklara och visa för varandra.” Både hon och Linnea hänvisar till liknande uppgifter i de nationella proven och önskar att man kunde få till mer av detta i undervisningen. 25 6 Diskussion Diskussionsavsnittet inleds med en resultatdiskussion som utgår från mina tre frågeställningar. Dessa avlöses av tankar kring hur denna studie kan bidra till forskningen och undersökningens betydelse för yrkesutövningen. Därefter återfinns en metoddiskussion, där jag diskuterar mitt metodval och studiens tillförlitlighet och generaliserbarhet. 6.1 Resultatdiskussion 6.1.1 Hur resonerar lärare kring matematisk kommunikation? matematisk kommunikation inte bara är ett medel för lärande utan ett inlärningsmål i sig. Syftet är med andra ord inte bara att eleverna ska lära sig matematiskt innehåll genom att kommunicera utan också att de ska lära sig att kommunicera matematiskt (Skott, Jess, Hansen och Lundin, 2010, s. 211) Citatet ovan återgavs i inledningen och visar en syn på kommunikation inom matematik, både som ett medel för lärande, men också att den matematiska kommunikationen i sig är en viktig förmåga. Alla lärare i undersökningen ger en bild av att kommunikationen är viktig i deras klassrum. De talar framförallt om muntlig kommunikation i samspel med andra, men också att kommunikation kan vara skriftlig eller att man visar med konkreta material på andra sätt. Genomgående är att kommunikationen kräver ett samspel mellan varandra, vilket de visar genom att eleverna använder kommunikationen i par, mindre grupper eller i helklassdiskussioner. Detta ligger väl i linje med det sociokulturella perspektivet (Säljö, 2000), som förespråkar att lärande sker i ett samspel med andra. Lärarnas syn att kommunikationen är viktig för lärandet visar sig när de uttrycker fördelar och möjligheter med matematik och kommunikation, då de lyfter att kommunikationen är viktig för elevernas egen förståelse och lärande. Lärarna påtalar att eleverna i samtal och diskussion vidgar och fördjupar sin egen förståelse, vilket också kan kopplas till det konstruktivistiska synsättet, som lyfter fram språket som något som behövs för att kunskap ska skapas (Dysthe, 1996). När det gäller förmågan till matematisk kommunikation som ett inlärningsmål i sig (Skott, Jess, Hansen och Lundin, 2010), är det endast en av lärarna som uttryckligen lyfter att detta i ett mer långsiktigt perspektiv. Hon talar då om att kunna använda sig av det matematiska språket i ett framtida yrkesliv. Således tolkar jag det som att det är synen på kommunikation inom matematik som medel för lärande som är det som är tydligast hos samtliga lärare i studien, medan utgångspunkten att matematisk kommunikation i sig är en viktig förmåga inte är så framträdande. Samtidigt nämner fyra av dem den matematiska terminologin i andra sammanhang i intervjun, med exempel som subtrahera och addition, som ord som eleverna måste ta till sig och lära sig använda. Detta kan ses som en strävan att ge eleverna förutsättningar för att kommunicera med ett matematiskt språk, vilket ligger i linje med kursplanen (Myndigheten för skolutveckling, 2008; Skolverket, 2011b). Två av lärarna nämnde inte det matematiska språket och dess terminologi under intervjuerna, därmed inte sagt att de inte arbetar med detta med sina elever. Det kan också bero på hur jag som intervjuare ställer frågor och vilka områden vi berörde i intervjun. 26 När lärarna talar om läroplanen och de citat som handlar om matematik och kommunikation har de alla gemensamt att de lyfter fram vikten av att visa på kopplingen till vardagliga sammanhang. Genom detta vill man visa på nyttan med matematiken och motivera för eleverna varför matematiska kunskaper är viktiga. Att vardagliga sammanhang lyfts fram tydligare än de matematiska sammanhangen (som återfinns i samma mening i citatet från kursplanen (bilaga B)) tyder på att de vardagliga sammanhangen upplevs som viktiga för dessa lärare. I vardagliga sammanhang används troligtvis ett vardagligare språk och det matematiska språket och förmågan till matematisk kommunikation får därmed inte samma fokus, vilket också berörts i tidigare stycke. Som tidigare beskrivet menar lärarna att kommunikation kan vara både muntligt och skriftlig. De uttrycker också att kommunikation kan ske i andra former, som till exempel med hjälp av bilder eller konkret material. I samband med kunskapskraven kring matematik och kommunikation är det dock den muntliga kommunikationen som lärarna lyfter. Intervjun visar också att de ser svårigheter med bedömningen av detta. En svårighet är att det är svårt för en del elever att kommunicera och uttrycka sig i lite större grupper. Sara ser möjligheten att bedöma dessa elevers förmåga till kommunikation i par eller i samtal med en vuxen, då det inte står i kursplanen att eleverna måste kunna kommunicera i större grupp. Att det är framförallt den muntliga kommunikationen som lyfts i samband med kunskapskraven kan bero på formuleringen i kunskapskravet som uttrycker att eleverna ska ”beskriva och samtala” (Skolverket, 2011b, s. 67), vilket kan föra tankarna till framförallt muntliga aspekter. Karin hävdar också att man som elev även måste få visa sin förmåga skriftligt. Detta ligger i linje med det Skolverket (2011a) uttrycker i kommentarmaterialet till matematik, där det står att kommunikation innebär att ”utbyta information med andra /.../muntligt, skriftligt och med hjälp av olika uttrycksformer.” (s.11). Det är också denna syn på kommunikation som lärarna uttrycker i intervjun när det gäller kommunikation generellt. I bakgrundslitteraturen till detta arbete visade jag att man kan se på kopplingen mellan kommunikation och resonemang på olika sätt. Skolverket (2011a; 2011b) visar på en syn där resonemang är en aspekt av dem kommunikativa förmågan. Kilpatrick m.fl. (2001) lyfter inte heller fram kommunikationsförmågan som en separat förmåga. Taflin, Gracie och Halldén (2014) och Niss HöjgaardJensen (2002) däremot menar att kommunikation och resonemang är två skilda begrepp. Följaktligen kan man se på detta på olika sätt och detta avspeglar sig även hos de intervjuade lärarna. Fyra av dem talar om resonemang och kommunikation som sammanlänkade medan två av dem tydligt särskiljer dessa två. 6.1.2 Hur beskriver lärare att arbetet kring matematisk kommunikation tar sig uttryck i deras klassrum? Alla lärare uttrycker att kommunikation är viktigt och de lyfter att eleverna får förklara hur de tänker, beskriva olika lösningar och lösa problem tillsammans. Några använder sig av strukturerade arbetssätt som EPA, andra har andra liknande varianter där eleverna arbetar tillsammans på olika sätt, främst med problemlösning. Detta ligger i linje med Mouwitz (2013) som beskriver en ökning av, för eleverna aktiva arbetssätt där de får undersöka och upptäcka lösningar på egen hand och presentera för den större gruppen. Lärarnas beskrivning av sina klassrum visar också att eleverna samtalar i grupper på olika sätt. Löwing (2004) beskriver att några 27 svagheter med grupparbete kan vara att eleverna inte tar sig tid att reflektera kring uppgiften samt att de inte säkerställer att alla i gruppen har förstått. När lärarna får fundera kring vad de skulle vilja göra för att främja elevernas kommunikation ytterligare har två av dem en önskan om att kunna sitta ner och koncentrera sig på en grupp i taget och följa helheten i gruppens samtal och arbete. Detta hade kunnat motverka några av de risker Löwing nämner. Dock känner inte lärarna att detta är möjligt i det vardagliga arbetet då resten av klassen också behöver uppmärksamhet från läraren. Lindblad och Sahlström (1999) och Skolverket (2003) har i tidigare studier visat att det individuella, enskilda arbetet dominerar matematikundervisningen i skolan. Min studie visar att alla lärare använder sig av ett läromedel för bland annat färdighetsträning, vilket tyder på att det förekommer en del enskilt arbete i dessa klassrum. Huruvida det är så att det enskilda arbetet dominerar, vilket Skolverket (2003) framhåller i sin rapport, kan dock inte denna studie ge svar på. Fokus i denna studie är lärarnas perspektiv och utifrån deras uttalanden kan man se att de är medvetna om vikten av kommunikation inom matematik och att de har en vilja och avsikt att låta eleverna arbeta tillsammans inom matematiken. Skolverket (2003) ger också uttryck för att gemensamma samtal sällan förekommit, vilket inte tycks vara fallet i dessa sex lärares klassrum. Dessa lärare ger snarare uttryck för att ge möjlighet för eleverna att samtala om matematik och också diskutera olika sätt att lösa uppgifter, vilket är en av de faktorer som Skolverket (2003) lyfte fram som viktigt för eleverna motivation och lust att lära. Lindblad och Sahlström (1999) visade i sin studie, som visserligen var inriktad på äldre åldrar än denna studie, att matematiklektionerna i större omfattning än i andra ämnen, bestod av att eleverna arbetade individuellt vid sina bänkar. Att på samma sätt jämföra matematiklektionerna med lektioner i andra ämnen kan inte göras i denna studie. Däremot kan en jämförelse göras med Sahlströms (1999) studie, där han delar in lektionerna i de svenska klassrummen i tre olika kategorier. Den vanligaste typen då var att lektionerna innehöll en lärarledd genomgång och enskilt eller grupparbete. Detta stämmer överens med den bild lärarna beskriver i denna studie, där lektionerna innehåller både genomgång och arbete individuellt och/eller i mindre grupp. Skolverket (2003, 2004b); NCM (2001) och Löwing (2004) har i tidigare undersökningar och rapporter uttryckt farhågor att läromedlen har en alltför styrande roll i matematikundervisningen. Min undersökning visar att dessa lärare är medvetna om att läromedlen inte kan och inte heller är, enda källan till lärande och undervisning i deras klassrum. De beskriver också att de kompletterar läroböckerna på olika sätt. Några lärare använder sig av flera olika matteböcker för eleverna, vilket visar att de inte är bundna till ett specifikt läromedel. Detta kan ses som ett tecken på att de inte är läromedlen som styr undervisningen i dessa klassrum. Dock kan det uttalande en av lärarna gör kunna ligga i linje med Skolverket, NCM och Löwings farhågor, när hon uttrycker att kommunikationen blir lidande ibland för att de måste hinna med att räkna i böckerna. En annan lärare uttrycker att det, om undervisningsoch planeringstiden känns knapp, finns risk för att kommunikationen minskar i klassrummet. Dessa två uttalanden kan tyda på att läromedlet kanske har för stor påverkan på undervisningen, då det gör att kommunikationsförmågan inte får det fokus lärarna egentligen ser behov av. 28 6.1.3 Ser lärarna några möjligheter eller svårigheter när det gäller att utveckla elevernas förmåga till matematisk kommunikation i Fk-3? De stora fördelarna som lärarna lyfter kring kommunikation och matematik handlar om att kommunikationen är viktig för elevernas förståelse och lärande. De upplever att eleverna vidgar och fördjupar sin förståelse inom matematiken. Tre av dem påtalar också att de själva, genom att lyssna till hur eleverna uttrycker och förklarar hur de tänker, lär sig mycket om elevernas kunskaper och även missuppfattningar och brist på kunskaper, vilket de kan använda i sin fortsatta planering. Kommunikationens vinst för elevernas lärande har jag tidigare berört i den första delen av diskussionsavsnittet (se 6.1.1). De svårigheter som lärarna talar om handlar om tid och om eleverna som individer. Kommunikation kräver tid och två av lärarna uttrycker att det, då det är många delar som ska hinnas med, finns en risk att elevernas möjlighet till kommunikation påverkas negativt. De visar en medvetenhet om detta och en av dem uttrycker att det ”egentligen inte ska vara så”. I bakgrundslitteraturen beskrev jag hur synen på matematik förändrats de senaste decennierna, från fokus på färdigheter till fokus på förmågor, vilka syns i vår läroplan genom de långsiktiga förmågorna. Resultaten från min studie visar att de intervjuade lärarnas syn är att den kommunikativa förmågan inom matematik inte alltid får det utrymme i klassrummet som skulle behövas. En annan svårighet lärarna lyfter fram handlar om eleverna som individer. Dels är det inte alla som vågar yttra sig inför övriga i klassen. Detta är, som flera av dem uttrycker, något eleverna behöver träna på. Samtidigt lyfter Sara att det inte står i läroplanen att man måste kunna prata inför en större grupp elever, utan hon försöker få dessa elever att åtminstone prata i par eller med en vuxen, för att ändå kommunicera på olika sätt. Några av lärarna talar också om att kommunikation inte bara behöver vara muntlig, utan att man kan använda olika uttrycksformer, vilket gör att fler elever får chans att träna på sina förmågor även om de upplever den muntliga kommunikationen som svår. Utifrån detta skulle man kunna fundera på om en svårighet kanske ligger i att anpassa på lämpligt sätt utifrån varje elevs förutsättningar. En annan aspekt som berör individer och svårigheter kring kommunikation handlar om att man som lärare ibland måste lämna sin planering och av någon anledning fokusera på en eller ett par elever och därmed måste låta övriga arbeta enskilt, även om man hade för avsikt att ha en lektion med en stor del kommunikation. Detta är dock inte ett problem som är specifikt för matematiken. 6.1.4 Bidrag till forskning och förslag till vidare forskning Studier och rapporter har tidigare uttryckt ett stort läromedelsberoende bland lärare samt tysta matematikklassrum med stor andel enskilt individuellt arbete (Skolverket, 2003; SOU, 2004:97). Mitt bidrag till forskningen är att ge en bild av hur några av vårt lands lärare beskriver situationen i deras klassrum idag. Drygt 10 år har passerat sedan refererade rapporter publicerades, debatten har fortsatt och vi har fått en ny läroplan som ytterligare lyfter fram och förtydligar kommunikation som en viktig förmåga inom matematiken. Min undersökning är i så liten skala att det inte går att dra några generella slutsatser, men resultatet indikerar att lärarna är medvetna om vikten av kommunikation inom matematik och att det i de aktuella klassrummen arbetas kommunikativt på olika sätt, om än i olika omfattning. Detta innebär att 29 situationen kanske är en annan, jämfört med för 10 år sedan. För att kunna dra mer generella slutsatser, är det viktigt att göra en undersökning i större skala. Det är också viktigt att göra kompletterande observationer i klassrummen för att undersöka hur kommunikationen går till i praktiken och i vilken omfattning eleverna får möjlighet att utveckla sin kommunikativa förmåga. När det gäller olika läromedel uttrycker lärarna själva att det är stor skillnad mellan olika läromedel när det gäller elevernas möjlighet till kommunikation. Detta är inte belagt på något sätt i denna undersökning, utan baseras bara på lärarnas egna bedömningar och erfarenheter. Då kommunikation inom matematik är väsentligt och läromedel är en del av undervisningen i många klassrum, där detta också ett område som behöver utforskas närmare. 6.1.5 Betydelse för yrkesutövningen Min studie är visserligen i liten skala men berör den svenska skolan idag och är därmed av intresse för blivande lärare, yrkesverksamma lärare och andra med intresse för skola och undervisning inom matematik. Att ta del av hur andra resonerar och arbetar kan stimulera till eftertanke och inspiration på olika sätt. En aspekt att ta med sig är tankegången att matematisk kommunikation kan ses på två sätt. Skott, Jess, Hansen och Lundin (2010) uttrycker att eleverna inte bara ”ska lära sig matematiskt innehåll genom att kommunicera utan också att de ska lära sig att kommunicera matematiskt” (s.211). Min studie visar att synen på kommunikation inom matematik som medel för lärande är det som är tydligast hos samtliga lärare i studien. Utgångspunkten att matematisk kommunikation i sig är en viktig förmåga finns, men är inte så framträdande. Att fundera över hur man själv tänker kring detta kan ge nya funderingar inom området matematik och kommunikation. 6.2 Metoddiskussion I en fenomenologisk studie vill man förstå ”fenomen utifrån aktörernas egna perspektiv” (Kvale och Brinkman, 2014, s. 42). I detta arbete handlar det om en önskan att undersöka hur lärare ser på matematisk kommunikation och hur detta tar sig uttryck i deras klassrum. För att få tillgång till deras perspektiv är intervjuer en bra metod att använda, där lärarna har fått möjlighet att uttrycka sina åsikter, upplevelser och erfarenheter från sin vardag. Att intervjua i semi-strukturerat format passade sammanhanget bra. Vi följde frågestrukturen relativt väl, men jag kunde fylla på med följdfrågor för att ytterligare förstå vad respondenten menade. Att inte ha en strikt strukturerad frågemall gjorde också att vi i vissa intervjuer återkom till områden vi berört innan vilket också gav ett fylligare och bredare material. Under intervjun antecknade jag och sammanfattade emellanåt (Svedner och Johansson, 2010; Kvale och Brinkman, 2014) vad den intervjuade sagt kunde jag påbörja min analys redan i intervjusituationen och jag fick också bekräftat från respondenten om jag hade uppfattat henne rätt. Här kunde också den intervjuade fylla i om det var något vi missat att ta upp. I efterhand upplever jag att den del av intervjun som handlade om tolkningen av läroplanen var till viss del ospecifik och några av lärarna tyckte det var svårt att förstå vad jag var ute efter. Denna del var därmed den som var svårast att analysera och få fram några tydliga resultat ifrån. Orsaker till detta kan vara min oerfarenhet som intervjuare och att jag inte hade en tillräckligt tydlig plan för vad det var jag ville få fram genom mina frågor. Jag lät respondenterna tänka fritt, vilket resulterade i att materialet jag fick varierade mycket när det gäller vad lärarna tog upp och vad 30 samtalet kom att handla om. Genom mer tydligt strukturerade frågor kanske jag hade kunnat få ett mer ingående material som i sin tur givit ett mer djupgående resultat. Detta innebär att tillförlitligheten kan anses som något svag när det gäller lärarnas syn på läroplanen. Den andra frågeställningen handlar om på vilket sätt lärare och elever arbetar med kommunikation och matematik i klassrummet. Kanske finns det i detta fall en risk för det Johansson och Svedner (2010) kallar förväntningseffekt, vilket innebär att den intervjuade lyfter fram det som den som intervjuaren efterfrågar. I detta fall skulle det kunna innebära att materialet vid sammanställning skulle visa att kommunikationen har en viktigare roll i klassrummen, än vad som verkligen är fallet. Skulle studien haft för avsikt att visa i vilken omfattning lärarna arbetar med kommunikation skulle detta varit problematiskt. Det är dock inte fallet, utan avsikten är att utifrån andra ordningens perspektiv (Marton, 1981), visa lärarnas uppfattning och vad deras intentioner är. Därmed finns visserligen risken för förväntningseffekten kvar, men påverkar inte resultatet på samma sätt. Ett alternativ för min studie kunde varit att även göra observationer i klassrummen för att se hur lärarna arbetade med kommunikation där. Att på detta sätt komplettera intervjuerna är något som Johansson och Svedner (2010) förespråkar. Eftersom kommunikation inom matematiken är ett område som forskning och rapporter från Skolverket lyfter fram som något som brister i den svenska skolan (Helenius och Jahnke, 2011; SOU 2004:97), skulle det kunna vara känsligt att studera detta i klassrummen (se även 4.6). Jag har därför valt att fokusera på några lärares syn och arbetssätt och utgår då ifrån hur de själva uttrycker sig. Att komplettera intervjuerna med observationer hade också inneburit att jag inte skulle haft möjlighet att intervjua samma antal lärare, utan hade fått begränsa mig till ett mindre antal. Detta mindre antal hade kunnat ge ett mer djupgående material för just dessa lärare, vilket därmed skulle kunna ge en rikare tolkning av dessa (Patel och Davidsson, 2003). Att istället, vilket jag valde att göra, enbart använda intervjuer medförde istället möjligheten att göra fler intervjuer, få tillgång till fler lärares tolkning och därmed få ett något bredare underlag. Som tidigare nämnt är min studie, trots att jag valde enbart intervjuer, i liten skala och det finns inte möjlighet att dra några generella slutsatser för hur lärare resonerar och arbetar i den svenska skolan överlag. Även det faktum att jag i viss mån har använt mig av bekvämlighetsurval begränsar enligt Patel och Davidsson (2003) möjligheten till generella slutsatser. Johansson och Svedner (2010) menar visserligen att det, när man som i detta fall analyserar utifrån uppfattningar, inte handlar om antalet personer man intervjuat, utan uppfattningarna i sig och man får ställa sig frågan om ”de uppfattningar man funnit är generella, dvs. utgör samtliga de uppfattningar man skulle finna även om man intervjuade ett stort antal personer” (s.38). Jag kan dock inte med säkerhet påstå att det dessa lärare uttrycker speglar samtliga uppfattningar som finns hos lärare idag. Avslutningsvis vill jag lyfta fram att det är glädjande att lärarna, trots att flera av lärarna tog upp att de lever med en känsla av tidsbrist i sitt yrke, ändå kände att de kunde ta sig tid att ställa upp på en intervju. Detta är jag mycket tacksam för. Flera uttryckte också att det är intressant och nyttigt att få tänka till själv och reflektera över sig själv och sin undervisning, på det sätt som de gjorde när de blev intervjuade. 31 7 Källförteckning Artzt, A.F. och Newman, C.M. (1990). How to use cooperative learning in the mathematics class. Reston: National council of Teachers of Matematics. Bryman, A. (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. Stockholm: Libris Dysthe, O. (1996). Det flerstämmiga klassrummet (svensk upplaga). Lund: Studentlitteratur Emanuelsson, J. (2001). En fråga om frågor [Elektronisk version]. Doktorsavhandling, Göteborg: Göteborgs Universitet. Emanuelsson, J. och Sahlström, F. (2006). Same from the outside, different from the inside: Swedish mathematics classrooms from students' point of view. I Clarke, D; Keitel, C och Shimizu, Y (Red.) Mathematics classrooms in twelve countries. Rotterdam/Taipei: Sence Publishers Hartman, S. (2003). Skrivhandledning för examensarbeten och rapporter. Stockholm: Natur och Kultur Helenius, O. (2006). Kompetenser och matematik. Nämnaren 2006(3), s 11-15. Hämtad 201411-19 från http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/1115_06_3.pdf Helenius, O. och Jahnke, A. (2011). På kurs med nya planer. Nämnaren 2011(3), s. 3-8. Hämtad 2014-11-28 från http://nbas.ncm.gu.se/node/19101 Johansson, B. och Svedner, P.O. (2010). Examensarbete i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget Kilborn, W. (2007). Kommunikationens betydelse. Nämnaren 2007(1). Hämtad 2014-11-30 från http://nbas.ncm.gu.se/node/18703 Kilpatrick, J., Swafford, J. och Findell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics Hämtad 2014-11-18 från http://www.nap.edu/catalog/9822.html Krutetskii, V.A. (1976). The psychology of mathematical abilities in schoolchildren. Chicago: The University of Chicago Press. Kvale, S. och Brinkman, S. (2014). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur Lindblad, S. och Sahlström, F. (1999). Gamla mönster och nya gränser. Om ramfaktorer och klassrumsinteraktion. Pedagogisk forskning i Sverige, 4(1), 73-92. Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. En studie av kommunikationen lärare-elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Doktorsavhandling, Göteborg: Göteborgs Universitet Löwing, M. (2006). Matematikundervisningens dilemman. Hur lärare kan hantera lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur Löwing, M. (2014). Geometriundervisning med fokus på språkutveckling. Hämtad 2014-1202 från https://matematiklyftet.skolverket.se/matematik/content/conn/ContentServer/ uuid/dDocName:MLPROD011805?rendition=web Marton, F. (1981). Phenomenography – describing conceptions of the world around us. Instructional Science 10 (1981), 177-200 Mouwitz, L. (2013). Att leda och organisera matematiska diskussioner– fem utvecklingssteg. Hämtad 2014-12-02 från https://matematiklyftet.skolverket.se/matematik/content/conn/ContentServer/uuid/dDo cName:LI64RH5PRO009366?rendition=web Myndigheten för skolutveckling (2008). Mer än matematik – om språkliga dimensioner i matematikuppgifter. Hämtad 2014-11-28 http://www.skolverket.se/publikationer? id=1891 32 NCM (2001). Hög tid för matematik. NCM-rapport 2001:1. Göteborg: NCM. Hämtad 2014-12-23 från http://ncm.gu.se Niss, M. och Højgaard Jensen, T. (2002). Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Hämtad 2014-11-19 från http://pub.uvm.dk/2002/kom/hel.pdf Riesbeck, E. (2008). På tal om matematik [Elektronisk version]. Doktorsavhandling, Linköping: Linköpings Universitet Ryve, A. (2006). Vad är kunskap i matematik?. Nämnaren 2006 (2). Hämtad 2014-11-19 från http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/0709_06_2.pdf Olteanu, L. (2014). Kommunikation i algebraklassrummet. Hämtad 2014-12-02 från https://matematiklyftet.skolverket.se/matematik/content/conn/ContentServer/uuid/ dDocName:LI64RH5PRO018590?rendition=web Patel, R. och Davidsson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder. Lund: Studentlitteratur Pettersson, E. (2011). Studiesituationen för elever med särskilda matematiska förmågor [Elektronisk version]. Doktorsavhandling, Kalmar/Växjö: Linneuniversitetet Sahlström, F. (1999). Up the hill backwards. Doktorsavhandling, Uppsala: Uppsala universitet SOU 2004:97. Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens [Elektronisk version]. Stockholm: Utbildningsdepartementet. Hämtad 2014-12-26 från http://www.regeringen.se/sb/d/108/a/30348 Skolverket (2003). Nationella kvalitetsgranskningar 2001-2002 Lusten att lära - med fokus på matematik. Hämtad 2012-08-29 från www.skolverket.se/publikationer?id=1148 Skolverket (2004a). Nationella utvärderingen av grundskolan 2003. Sammanfattande huvudrapport. Hämtad 2014-12-11 från http://www.skolverket.se/publikationer? id=1369 Skolverket (2004b). Nationella utvärderingen av grundskolan 2003. Matematik årskurs 9. Hämtad 2014-12-10 från http://www.skolverket.se/publikationer?id=1419 Skolverket (2008). Kursplaner och betygskriterier 2000. Reviderad version 2008. Hämtad 2014-12-29 från http://www.skolverket.se/publikationer?id=745 Skolverket (2011a). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Hämtad 2012-10-11 från http://www.skolverket.se/publikationer?id=2608 Skolverket (2011b). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm: Skolverket. Skott, J., Jess, K., Hansen, H.C. och Lundin, S. (2010). Matematik för lärare, delta didaktik (svensk översättning). Malmö: Gleerups Säljö, R. (2000). Lärande i praktiken. Ett sociokulturellt perspektiv. Stockholm: Nordstedts Akademiska Förlag Taflin, E., Gracie, J., Halldén, M. mfl (2014). Kommunikation i matematik. Hämtad 2014-12-02 från https://matematiklyftet.skolverket.se/matematik/content/ conn/ContentServer/ uuid/dDocName:LI64RH5PRO019508?rendition=web Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. Hämtad 2014-11-05 från http://www.codex.vr.se/texts/HSFR.pdf Vetenskapsrådet (2011). God forskningssed. Stockholm: Vetenskapsrådet 33 Bilagor 34 Bilaga A Intervjumall Hur länge har du arbetat som pedagog/lärare? Vilka åldrar har du arbetat med? Vilken ålder/årskurs arbetar du med nu? Vilken utbildning har du? Vad är kommunikation inom matematik för dig? Vad anser du om kommunikationsmålen i Lgr 11? Utgå ifrån citaten från läroplanen (bilaga B) – hur tolkar du dessa formuleringar? Hur ser era matematiklektioner ut? Vad använder du för material? Arbetsformer? Något annat? Följdfrågor: Hur använder du XX (materialet, ex. läroböcker...)? Anser du att materialet inbjuder till kommunikation? Anser du att arbetsformerna inbjuder till kommunikation? På vilket sätt inbjuder de till kommunikation? Upplever du några möjligheter/fördelar/styrkor när det gäller att arbeta med kommunikation i klassrummet? Upplever du några hinder/svårigheter när det gäller att arbeta med kommunikation i klassrummet? Vad hade varit det optimala sättet att främja kommunikation enligt dig? Hade du gjort någonting annorlunda i din matematikundervisning rörande kommunikation om du hade haft obegränsat med resurser? Bilaga B Citat från läroplanen (Lgr 11) (underlag vid intervjun) Ur syftet: Eleverna ska genom undervisningen också ges möjlighet att utveckla förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang. (Skolverket, 2011, s.62) Långsiktiga förmågor: Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ger förutsättningar att utveckla sin förmåga att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2011, s.63) Kunskapskrav för slutet av åk 3: Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget. (Skolverket, 2011, s. 67) Bilaga C Forskningspersoninformation Jag läser till grundlärare Fk-3 vid Karlstad Universitet och arbetar nu med mitt avslutande examensarbete. Examensarbete har till syfte att undersöka hur lärare tolkar och arbetar med matematisk kommunikation i årskurserna Fk-3. Undersökningen kommer att baseras på ett antal intervjuer som utgår från läroplanens skrivningar kring kommunikation och matematik. Intervjuerna kommer också att beröra hur arbetet kring matematik och kommunikation tar sig uttryck i klassrummen. Att delta i studien genom intervjuerna (ett tillfälle, beräknad tidsåtgång 1-1,5h) är helt frivilligt och det går när som helst att avstå eller avbryta sin medverkan. Det eventuella insamlade materialet kommer i så fall inte att användas. Intervjumaterialet kommer endast att användas för mitt examensarbete och de intervjuades bidrag kommer att avidentifieras så att det, i det slutliga resultatet inte går att identifiera vilka som deltagit. Intervjuerna kommer att spelas in, för att sedan nedtecknas och användas för vidare analys. Resultatet kommer att presenteras och publiceras i mitt slutliga examensarbete i slutet av vårterminen 2015. Som deltagare kan man, om man så önskar, få det kompletta examensarbetet skickat till sig. Ansvariga för studien är jag, Cecilia Åhman, samt min handledare Maria Fahlgren. Kontaktuppgifter: Cecilia Åhman 070-586 65 42 [email protected] Maria Fahlgren 054-700 2059 [email protected] Bilaga D Forskningspersoninformation och samtyckesformulär Jag läser till grundlärare Fk-3 vid Karlstad Universitet och arbetar nu med mitt avslutande examensarbete. Examensarbete har till syfte att undersöka hur lärare tolkar och arbetar med matematisk kommunikation i årskurserna Fk-3. Undersökningen kommer att baseras på ett antal intervjuer som utgår från läroplanens skrivningar kring kommunikation och matematik. Intervjuerna kommer också att beröra hur arbetet kring matematik och kommunikation tar sig uttryck i klassrummen. Att delta i studien genom intervjuerna (ett tillfälle, beräknad tidsåtgång 1-1,5h) är helt frivilligt och det går när som helst att avstå eller avbryta sin medverkan. Det eventuella insamlade materialet kommer i så fall inte att användas. Intervjumaterialet kommer endast att användas för mitt examensarbete och de intervjuades bidrag kommer att avidentifieras så att det, i det slutliga resultatet inte går att identifiera vilka som deltagit. Intervjuerna kommer att spelas in, för att sedan nedtecknas och användas för vidare analys. Resultatet kommer att presenteras och publiceras i mitt slutliga examensarbete i slutet av vårterminen 2015. Som deltagare kan man, om man så önskar, få det kompletta examensarbetet skickat till sig. Ansvariga för studien är jag, Cecilia Åhman, samt min handledare Maria Fahlgren. Kontaktuppgifter: Cecilia Åhman 070-586 65 42 [email protected] Maria Fahlgren 054-700 2059 [email protected] ___________________________________________________________________________ Jag har muntligen informerats om studien och tagit del av bifogad skriftlig information. Jag är medveten om att mitt deltagande är frivilligt och att jag när som helst och utan närmare förklaring kan avbryta mitt deltagande. Jag lämnar härmed mitt samtycke till att delta i ovanstående undersökning: Datum: …………………………………………………………………………….. Deltagarens underskrift: …………………………………………………………..
© Copyright 2025