Skivbuckling
Före buckling
Fritt upplagd
skiva på fyra
kanter
Vid buckling
Lund University / Roberto Crocetti/
Axiellt belastad sträva (bredd = b, tjocklek = t)
Pcr 
2 EI
a2
1

(1   2 )
Lund University / Roberto Crocetti/
Axiellt belastad sträva (bredd = b, tjocklek = t)
Pcr 
2 EI
a2
1

(1   2 )
Lund University / Roberto Crocetti/
b  t3
I
12
Axiellt belastad sträva (bredd = b, tjocklek = t)
Pcr 
2 EI
a2
1

(1   2 )
  0,3
Lund University / Roberto Crocetti/
Vad är termen
1
1 2
 1,1
• För en vanlig pelare (liten bredd b i förhållande till längden
l) så är töjningen i tvärled ungefär samma vid upplagen
och vid mitthöjd
• För en skiva så är töjningen i tvärled förhindrad vid
upplagen och mer eller mindre fri i skivans mitthöjd
• Just tack vare denna låsta töjningen i tvärled vid skivans
upplagen får vi ett något högre värde på den kritiska
bucklingslasten (ca 10% större)
Lund University / Roberto Crocetti/
Kritisk bucklingsspänning cr
Pcr 
2 EI
Pcr

 cr 
bt
a2
1

(1   2 )
2 E


a
12  1   2   
t
Lund University / Roberto Crocetti/
2
b  t3
I
12
t
 0,9  E   
a
2
Den kritiska
spänningen beror av
längden!
Från sträva till skiva…
• Hittills har diskussionen endast berört strävor
• En sträva (eller pelare) är upplagd bara på sina två
belastade ändar
• En skiva är upplagd på tre eller fyra sidor
• Detta faktum (upplag längs tre eller flera sidor) gör att den
styrande parametern för skivbuckling blir bredden b istället
för längden a!
Lund University / Roberto Crocetti/
Låt oss skaffa en bakgrund
till uttrycket för skivbuckling.
Det gör vi genom att studera
en platta!
• Skiva: belastas enbart i sitt plan
• Platta: belastas vinkelrätt mot sitt plan
Lund University / Roberto Crocetti/
Samband mellan utböjning w och belastning q
 4w
4w 
4w
D   4  2  2 2  4   q
y 
x y
 x
Där D är böjstyvheten ”EI” för en ”strimla” med bredd b=1
1
E 1  t 3
E  t3
D


2
1    12 12  1   2 
Lund University / Roberto Crocetti/
Skiva vid buckling (utböjt jämviktsläge)
 w  2 w 
 2w 
 w 
q x t   x t 
 2    x  t   2 
 x 
 x x 
 x 
Lund University / Roberto Crocetti/
Differentialekvation för en skiva belastad
med normalkraft vid utböjt jämviktsläge
 4w
4w
4w 
 2w 
D   4  2  2 2  4    cr  t   2 
x y
y 
 x 
 x
Lund University / Roberto Crocetti/
Generellt uttryck på lösningen
w  A  sin
m   x
n   y
 sin
a
b
m: antal halvsinusvågor i x-led
y
n: antal halvsinusvågor i y-led
x
w
Lund University / Roberto Crocetti/
Insättning av uttrycket för w i
differentialekvationen för skivan ger
2
2


m
n
m


 4  D   2  2    cr  t 
2
a
b
a


2
2
2
a  D   m n 
 cr 
 2  2
2
m t  a
b 
2
Lund University / Roberto Crocetti/
2
2
2
2
Lägsta värdet för cr erhålls för n = 1 (d.v.s.
bara en halvsinusvåg i tvärled
 cr  k 
 E
2
b
12  1   2    
t
2
t
 k  0,9  E   
b
a  m  
 mb
k 

   
mb   m 
 a
2
Lund University / Roberto Crocetti/
2
2
Lägsta värdet för cr erhålls för n = 1 (d.v.s.
bara en halvsinusvåg i tvärled
 cr  k 
 E
2
b
12  1   2    
t
2
t
 k  0,9  E   
b
Notera att den kritiska
lasten är oberoende av
plåtens längd!
Lund University / Roberto Crocetti/
2
Bucklingskoefficient för en skiva fritt upplagd längs
alla sina ränder
m  
t
 cr  k  0,9  E    k    
b
 m
2
kmin=4,0
En buckla
Lund University / Roberto Crocetti/
Två bucklor
2
Exempel
a=3b
b
a
  3
b
b
a=1b

a
1
b
Obs!
Den kritiska bucklingsspänningen är lika för ovanstående skivor
(då k=4,0 i bägge fall; dessutom är b/t samma för båda skivor)
Lund University / Roberto Crocetti/
K-värde vid olika randvillkor
k >>6,97 för små = a/b.
Lund University / Roberto Crocetti/
k ≈ 6,97 för > 3,0
Exempel: livbuckling hos en rörprofil
fläns
Fast inspända sidor
liv
6,97
~ 4.0
Fritt upplagda sidor
Buckling i
livet!
Lund University / Roberto Crocetti/
K-värde vid olika randvillkor
Lund University / Roberto Crocetti/
K-värde vid N + M
Liv av I-balk vid ren böjning
Lund University / Roberto Crocetti/
Skjuvbuckling
 cr  k 
2 E
d 
12  1      
t
k  5,34 
2
2
Lund University / Roberto Crocetti/
k  4 
4
2
a
 
d 
5,34
2
a
 
d 
a 
 d  1
a 
 d  1
Sammanfattningsvis…
Ren böjning
Ren skjuvning
Rent tryckning
Lund University / Roberto Crocetti/
Efterkritisk bärförmåga
• Skivor besitter en efterkritisk
bärförmåga, vilket möjliggör en
ytterligare lastkapacitet efter att
buckling har uppstått
Lund University / Roberto Crocetti/
Efterkritisk bärförmåga
”Dragen strimla”
”tryckt
strimla”
”membranverkan”
Lund University / Roberto Crocetti/
2-D modell
Efterkritisk bärförmåga (skiva utan
initialimperfektioner)
Efterkritisk
bärförmåga
w
Lund University / Roberto Crocetti/
Fackverksanalogi
1. När bucklan uppstår så förlorar den centrala delen av skivan
merparten av sin styvhet
2. Lasten tvingas ”länka” sig förbi bucklan via de styvare partierna
vid sidan om bucklan
3. På så sätt bildas membran (drag) krafter som ”bromsar”
utböjningen av skivan
4. Membranverkan är mest effektiv ju närmare ränderna man
kommer
Lund University / Roberto Crocetti/
Förenklad metod för att uppskatta den
efterkritiska bärförmågan (effektiva
bredden beff)
beff   max    x ( y )  dy  beff



x
( y )  dy
 max
Förenklad spänningsfördelning
Verklig spänningsfördelning
Lund University / Roberto Crocetti/
Skivan i
efterkritiskt
området
Men hur räknar man den
effektiva bredden beff?
Lund University / Roberto Crocetti/
von Kármán hypotes (1932)
• Skivans bärförmåga beräknas utifrån antagandet att den kritiska
bucklingsspänningen inte kan vara större än den maximala
spänningen vid de styva ränderna. I andra ord cr kan - som
högst - bli lika med sträckgränsen fy.
 cr  f y
k
2 E
 beff 
12  1      
 t 
2
 fy
2
beff  k 
Lund University / Roberto Crocetti/
2
12  1  
2


E
t
fy
Fritt upplagd platta på alla ränder (k=4,0
Poissons tal 0,3)
beff  4 
 1,9 
12  1  0,3
E
t
fy
Pmax  f y  beff  t  1,9  E  f y  t 2
Lund University / Roberto Crocetti/
2
2


E

fy
Observation 1: den effektiva bredden är
inte beroende av skivans bredd (om a/b≥1)
beff  1,9 
E
t
fy
Detta beror på att ju bredare skiva desto bredare
buckla – och därmed samma effektiva bredd.
Lund University / Roberto Crocetti/
Observation 2: den kritiska spänningslasten minskar
med ökande plåtbredd, däremot förblir den maximala
bärförmågan konstant
 cr  k 
2 E
b
12  1   2    
t
2
Pmax  f y  beff  t  1,9  E  f y  t 2
Smalare plåt
Bredare plåt
Lund University / Roberto Crocetti/
Beroende av b
Oberoende av b
Budskap:
• Välj inte i onödan en för bred plåt då det är att slösa med
material, eftersom den effektiva bredden är konstant oavsett
plåtbredd!
Lund University / Roberto Crocetti/
Hittills har diskussionen har enbart berört
teorin för ideala plåtar, d v s plåtar utan
närvaro av varken initiella imperfektioner
eller egenspänningar. Men vad händer i
verkliga plåtar:
Egenspänningar
Lund University / Roberto Crocetti/
Initiella imperfektioner
Effekt av egenspänningar och imperfektioner
• Tryckegenspänningar i den centrala delen av plåten gör att
man uppnår den kritiska bucklingsspänningen tidigare än enligt
den klassiska teorin
Lund University / Roberto Crocetti/
Effekt av egenspänningar och imperfektioner
• Tryckegenspänningar i den centrala delen av plåten gör att
man uppnår den kritiska bucklingsspänningen tidigare än enligt
den klassiska teorin
• Däremot påverkar egenspänningar inte avsevärt plåtens
maximala bärförmåga, speciellt om plåten är mycket slank.
Detta beror på att egenspänningarna är självbalanserade
Lund University / Roberto Crocetti/
Effekt av egenspänningar och imperfektioner
• Tryckegenspänningar i den centrala delen av plåten gör att
man uppnår den kritiska bucklingsspänningen tidigare än enligt
den klassiska teorin
• Däremot påverkar egenspänningar inte avsevärt plåtens
maximala bärförmåga, speciellt om plåten är mycket slank.
Detta beror på att egenspänningarna är självbalanserade
• De initiella imperfektionerna gör att plåten börjar böja ut redan
för laster som är mindre än den teoretiska bucklingslasten.
Utböjningar ökar snabbare när man närmar sig Pcr
Lund University / Roberto Crocetti/
Bärförmåga: ideal plåt kontra verklig plåt
a
b
Kurva ”a” :”ideal plåt”
Kurva ”b”: verklig plåt
Lund University / Roberto Crocetti/
Efterkritisk
bärförmåga
OBS: wo ≈ (0,2- 1) t
Effektiv bredd enligt EC3
beff    b
Reduktionsfaktorn  beror av plåtens bucklingsspänning cr och
materialet sträckgräns fy
p 
fy
 cr
Lund University / Roberto Crocetti/



p
 0,22
2p

von Kármán kontra EC3
Fritt uppalgd plåt på fyra ränder med fy = 360 MPa, t = 10 mm, k = 4,0
a/b ≥ 1,0
Lund University / Roberto Crocetti/