Plate Buckling - introduction (Swedish)
Skivbuckling Före buckling Fritt upplagd skiva på fyra kanter Vid buckling Lund University / Roberto Crocetti/ Axiellt belastad sträva (bredd = b, tjocklek = t) Pcr 2 EI a2 1 (1 2 ) Lund University / Roberto Crocetti/ Axiellt belastad sträva (bredd = b, tjocklek = t) Pcr 2 EI a2 1 (1 2 ) Lund University / Roberto Crocetti/ b t3 I 12 Axiellt belastad sträva (bredd = b, tjocklek = t) Pcr 2 EI a2 1 (1 2 ) 0,3 Lund University / Roberto Crocetti/ Vad är termen 1 1 2 1,1 • För en vanlig pelare (liten bredd b i förhållande till längden l) så är töjningen i tvärled ungefär samma vid upplagen och vid mitthöjd • För en skiva så är töjningen i tvärled förhindrad vid upplagen och mer eller mindre fri i skivans mitthöjd • Just tack vare denna låsta töjningen i tvärled vid skivans upplagen får vi ett något högre värde på den kritiska bucklingslasten (ca 10% större) Lund University / Roberto Crocetti/ Kritisk bucklingsspänning cr Pcr 2 EI Pcr cr bt a2 1 (1 2 ) 2 E a 12 1 2 t Lund University / Roberto Crocetti/ 2 b t3 I 12 t 0,9 E a 2 Den kritiska spänningen beror av längden! Från sträva till skiva… • Hittills har diskussionen endast berört strävor • En sträva (eller pelare) är upplagd bara på sina två belastade ändar • En skiva är upplagd på tre eller fyra sidor • Detta faktum (upplag längs tre eller flera sidor) gör att den styrande parametern för skivbuckling blir bredden b istället för längden a! Lund University / Roberto Crocetti/ Låt oss skaffa en bakgrund till uttrycket för skivbuckling. Det gör vi genom att studera en platta! • Skiva: belastas enbart i sitt plan • Platta: belastas vinkelrätt mot sitt plan Lund University / Roberto Crocetti/ Samband mellan utböjning w och belastning q 4w 4w 4w D 4 2 2 2 4 q y x y x Där D är böjstyvheten ”EI” för en ”strimla” med bredd b=1 1 E 1 t 3 E t3 D 2 1 12 12 1 2 Lund University / Roberto Crocetti/ Skiva vid buckling (utböjt jämviktsläge) w 2 w 2w w q x t x t 2 x t 2 x x x x Lund University / Roberto Crocetti/ Differentialekvation för en skiva belastad med normalkraft vid utböjt jämviktsläge 4w 4w 4w 2w D 4 2 2 2 4 cr t 2 x y y x x Lund University / Roberto Crocetti/ Generellt uttryck på lösningen w A sin m x n y sin a b m: antal halvsinusvågor i x-led y n: antal halvsinusvågor i y-led x w Lund University / Roberto Crocetti/ Insättning av uttrycket för w i differentialekvationen för skivan ger 2 2 m n m 4 D 2 2 cr t 2 a b a 2 2 2 a D m n cr 2 2 2 m t a b 2 Lund University / Roberto Crocetti/ 2 2 2 2 Lägsta värdet för cr erhålls för n = 1 (d.v.s. bara en halvsinusvåg i tvärled cr k E 2 b 12 1 2 t 2 t k 0,9 E b a m mb k mb m a 2 Lund University / Roberto Crocetti/ 2 2 Lägsta värdet för cr erhålls för n = 1 (d.v.s. bara en halvsinusvåg i tvärled cr k E 2 b 12 1 2 t 2 t k 0,9 E b Notera att den kritiska lasten är oberoende av plåtens längd! Lund University / Roberto Crocetti/ 2 Bucklingskoefficient för en skiva fritt upplagd längs alla sina ränder m t cr k 0,9 E k b m 2 kmin=4,0 En buckla Lund University / Roberto Crocetti/ Två bucklor 2 Exempel a=3b b a 3 b b a=1b a 1 b Obs! Den kritiska bucklingsspänningen är lika för ovanstående skivor (då k=4,0 i bägge fall; dessutom är b/t samma för båda skivor) Lund University / Roberto Crocetti/ K-värde vid olika randvillkor k >>6,97 för små = a/b. Lund University / Roberto Crocetti/ k ≈ 6,97 för > 3,0 Exempel: livbuckling hos en rörprofil fläns Fast inspända sidor liv 6,97 ~ 4.0 Fritt upplagda sidor Buckling i livet! Lund University / Roberto Crocetti/ K-värde vid olika randvillkor Lund University / Roberto Crocetti/ K-värde vid N + M Liv av I-balk vid ren böjning Lund University / Roberto Crocetti/ Skjuvbuckling cr k 2 E d 12 1 t k 5,34 2 2 Lund University / Roberto Crocetti/ k 4 4 2 a d 5,34 2 a d a d 1 a d 1 Sammanfattningsvis… Ren böjning Ren skjuvning Rent tryckning Lund University / Roberto Crocetti/ Efterkritisk bärförmåga • Skivor besitter en efterkritisk bärförmåga, vilket möjliggör en ytterligare lastkapacitet efter att buckling har uppstått Lund University / Roberto Crocetti/ Efterkritisk bärförmåga ”Dragen strimla” ”tryckt strimla” ”membranverkan” Lund University / Roberto Crocetti/ 2-D modell Efterkritisk bärförmåga (skiva utan initialimperfektioner) Efterkritisk bärförmåga w Lund University / Roberto Crocetti/ Fackverksanalogi 1. När bucklan uppstår så förlorar den centrala delen av skivan merparten av sin styvhet 2. Lasten tvingas ”länka” sig förbi bucklan via de styvare partierna vid sidan om bucklan 3. På så sätt bildas membran (drag) krafter som ”bromsar” utböjningen av skivan 4. Membranverkan är mest effektiv ju närmare ränderna man kommer Lund University / Roberto Crocetti/ Förenklad metod för att uppskatta den efterkritiska bärförmågan (effektiva bredden beff) beff max x ( y ) dy beff x ( y ) dy max Förenklad spänningsfördelning Verklig spänningsfördelning Lund University / Roberto Crocetti/ Skivan i efterkritiskt området Men hur räknar man den effektiva bredden beff? Lund University / Roberto Crocetti/ von Kármán hypotes (1932) • Skivans bärförmåga beräknas utifrån antagandet att den kritiska bucklingsspänningen inte kan vara större än den maximala spänningen vid de styva ränderna. I andra ord cr kan - som högst - bli lika med sträckgränsen fy. cr f y k 2 E beff 12 1 t 2 fy 2 beff k Lund University / Roberto Crocetti/ 2 12 1 2 E t fy Fritt upplagd platta på alla ränder (k=4,0 Poissons tal 0,3) beff 4 1,9 12 1 0,3 E t fy Pmax f y beff t 1,9 E f y t 2 Lund University / Roberto Crocetti/ 2 2 E fy Observation 1: den effektiva bredden är inte beroende av skivans bredd (om a/b≥1) beff 1,9 E t fy Detta beror på att ju bredare skiva desto bredare buckla – och därmed samma effektiva bredd. Lund University / Roberto Crocetti/ Observation 2: den kritiska spänningslasten minskar med ökande plåtbredd, däremot förblir den maximala bärförmågan konstant cr k 2 E b 12 1 2 t 2 Pmax f y beff t 1,9 E f y t 2 Smalare plåt Bredare plåt Lund University / Roberto Crocetti/ Beroende av b Oberoende av b Budskap: • Välj inte i onödan en för bred plåt då det är att slösa med material, eftersom den effektiva bredden är konstant oavsett plåtbredd! Lund University / Roberto Crocetti/ Hittills har diskussionen har enbart berört teorin för ideala plåtar, d v s plåtar utan närvaro av varken initiella imperfektioner eller egenspänningar. Men vad händer i verkliga plåtar: Egenspänningar Lund University / Roberto Crocetti/ Initiella imperfektioner Effekt av egenspänningar och imperfektioner • Tryckegenspänningar i den centrala delen av plåten gör att man uppnår den kritiska bucklingsspänningen tidigare än enligt den klassiska teorin Lund University / Roberto Crocetti/ Effekt av egenspänningar och imperfektioner • Tryckegenspänningar i den centrala delen av plåten gör att man uppnår den kritiska bucklingsspänningen tidigare än enligt den klassiska teorin • Däremot påverkar egenspänningar inte avsevärt plåtens maximala bärförmåga, speciellt om plåten är mycket slank. Detta beror på att egenspänningarna är självbalanserade Lund University / Roberto Crocetti/ Effekt av egenspänningar och imperfektioner • Tryckegenspänningar i den centrala delen av plåten gör att man uppnår den kritiska bucklingsspänningen tidigare än enligt den klassiska teorin • Däremot påverkar egenspänningar inte avsevärt plåtens maximala bärförmåga, speciellt om plåten är mycket slank. Detta beror på att egenspänningarna är självbalanserade • De initiella imperfektionerna gör att plåten börjar böja ut redan för laster som är mindre än den teoretiska bucklingslasten. Utböjningar ökar snabbare när man närmar sig Pcr Lund University / Roberto Crocetti/ Bärförmåga: ideal plåt kontra verklig plåt a b Kurva ”a” :”ideal plåt” Kurva ”b”: verklig plåt Lund University / Roberto Crocetti/ Efterkritisk bärförmåga OBS: wo ≈ (0,2- 1) t Effektiv bredd enligt EC3 beff b Reduktionsfaktorn beror av plåtens bucklingsspänning cr och materialet sträckgräns fy p fy cr Lund University / Roberto Crocetti/ p 0,22 2p von Kármán kontra EC3 Fritt uppalgd plåt på fyra ränder med fy = 360 MPa, t = 10 mm, k = 4,0 a/b ≥ 1,0 Lund University / Roberto Crocetti/
© Copyright 2024