1. No category

Linköpings universitet
Matematiska institutionen
Daniel Carlsson
Lösningar till tentamen
972G10 Matematik 1, 13 hp
delmoment STN2 Geometri 4,5 hp
2015-03-16
1.
B
a) ∧AM B = 60◦ ty supplementvinkel till
∧BM C som är 120◦ . Triangeln ABM är
likbent då AM och BM är radier i cirkeln.
Likbenta trianglar har lika basvinklar, så
vinklarna vid A och B i triangeln är lika
stora. VST180◦ i 4ABM ger då:
60°
A
60°
120°
60°
C
M
180◦ − 60◦
120◦
=
= 60◦ .
2
2
Alla vinklar i triangeln ABM är alltså 60◦ .
∧A = ∧B =
b) Triangeln ABM är liksidig då alla vinklar
är lika stora. Den liksidiga triangeln har
tre symmetrilinjer som går genom respektive hörn och genom mittpunkten på respektive sida som figuren visar. Spegling
i dessa linjer ger triangeln själv som bild.
Om triangeln roteras ett tredjedels varv
blir bilden identisk med den ursprungliga,
så triangeln har också rotationssymmetri
360◦
med vinkeln
= 120◦ .
3
B
A
M
Svar: a) Samtliga vinklar i triangeln ABM är 60◦ .
b) Triangeln har tre symmetrilinjer enligt ovan samt rotationssymmetri
med 120◦ .
2.
C
a) VST180◦ i triangeln ABC ger:
x + 2x + 3x = 180◦ ⇔ 6x = 180◦ ⇔
180◦
x=
= 30◦ .
6
Vilket ger ∧A = 30◦ , ∧B = 60◦ och
∧C = 90◦ .
3x
h
A
x
2x
b) Arean hos triangeln ABC är 12 cm2 och kan beräknas som basen AB
gånger höjden h delat med två. Med AB = 8 får vi:
AB · h
8·h
= 12 ⇔
= 12 ⇔ 4h = 12 ⇔ h = 3.
2
2
Höjden mot sidan AB är alltså 3 cm.
Svar: a) I 4ABC är ∧A = 30◦ , ∧B = 60◦ och ∧C = 90◦ .
b) Höjden mot sidan AB är 3 cm.
B
3. Radien, höjden och sidlängden i konen bildar
en rätvinklig triangel. Pythagoras sats ger då:
r2 + 122 = 132 ⇔ r2 + 144 = 169 ⇔
Konens volym är då:
V =
πr2 h
3
=
π·
52
3
· 12
s = 13
h = 12
r2 = 25 ger r = 5 (då r > 0).
r
= π · 25 · 4 = 100π.
Volymen hos konen är alltså 100π dm3 . (Ca 314 liter.)
Omkretsen hos bottenytan är omkretsen hos en cirkel med radie 5, d v s
O = 2rπ = 2 · 5 · π = 10π. Omkretsen är alltså 10π dm. (Ca 31 dm).
Svar: Konens volym är 100π dm3 och bottenytans omkrets är 10π dm.
D
4. Vertikalvinklar är lika vid C och ∧E = ∧A,
ty alternatvinklar vid parallella linjer. Då två
par vinklar är lika så har vi att204ABC ∼
y
4EDC. Likformigheten ger:
AB
AC
AB
20
=
⇔
=
⇔
11
DE
CE
16
8
A
20 · 16
AB =
= 20 · 2 = 40.
8
Gölens bredd AB är alltså 40 m.
C
!
w
v
"
12
z
B
x
d
2d
D
Svar: Gölens bredd är 40 m.
u
60°
v
C
E
B
A
5. Låt ∧A vara en given vinkel.
Sätt passaren i A och markera en båge över vinkelbenen. Skärningspunkterna kallas B respektive C. Markera nu med oförändrad passarinställning en båge från B respektive en
från C. Dessa bågars skärning mellan vinkelC
benen kallas D. Strålen från
A genom D är
bisektris till A.
24
10
C
D
A
B
h
A
A
Bevis: Av konstruktionen följer
att
AB = AC och BD = CD. Då följer att
∼
4ADB = 4ADC enligt
kongruensfallet
SSS, ty BAD gemensam. I kongruA
D
enta trianglar är motsvarande sidor och vinklar lika. Särskilt gäller då att
−−→
∧BAD = ∧CAD och alltså är AD bisektris till vinkeln A.
1
2
Svar: Se ovan
6. En romb är en fyrhörning där alla sidor är
lika långa. Då diagonalerna delar varandra
rätvinkligt och mitt itu har vi egenskaperna
som visas i figuren intill och därmed:
4ABM ∼
= 4BCM ∼
= 4CDM ∼
= 4DAM
enligt SVS där den räta vinkeln vid M är
mellanliggande.
M
var god vänd
I kongruenta trianglar är motsvarande sidor och vinklar lika stora så den
tredje sidan i dessa trianglar är också lika, d v s AB = BC = CD = DA.
Alltså är fyrhörningen ABCD en romb.
Vi tittar nu på den andra frågan i uppgiften.
Arean av romben ABCD är 24 cm2 och kan
uttryckas som basen AB gånger höjden h från
E vinkelrät mot AB:s förlängning. Men parallellomgramen ABEC har samma bas AB
och samma höjd h, så arean av parallellogramen är alltså lika med arean av romben,
d v s 24 cm2 .
M
h
Svar: Med kongruens visar vi ovan att ABCD är en romb.
Parallellogramen ABEC har arean 24 cm2 .
7. Om vi drar in sträckan CB så bildas randvinklar till bågarna AB och CD.
30◦
∧ACB =
= 15◦ enligt randvinkelsat2
sen, ty randvinkel till bågen AB som har
medelpunktsvinkel 30◦ . På samma sätt
96◦
har vi att ∧CBD =
= 48◦ enligt
2
randvinkelsatsen, ty randvinkel till bågen
CD som har medelpunktsvinkeln 96◦ .
Vinkeln som är 48◦ (∧CBD) är yttervinkel till triangeln CBE. Kalla den sökta
vinkeln vid E för v. Yttervinkelsatsen ger
då:
15◦ + v = 48◦ ⇔ v = 48◦ − 15◦ = 33◦ .
Svar: Vinkeln AEB = 33◦ .
E
v
A
B
15°
C
48°
M
D