Dimensionering för moment
Betong
Böjmomentbelastning
x
Mmax
Lund University / Structural Engineering
Böjmomentbelastning stål och trä
σ
TP
max
M
σ
Mz

 ymax 
Iz
Mz





x ,max
Iz
Wz

Wz 

ymax

 x ,max 
Lund University / Structural Engineering
max
Bärförmåga:
M R  f y W
Betong
- Låg draghållfasthet
- Hög tryckhållfasthet
Lund University / Structural Engineering
Momentbelastad betongkonstruktion
Antag betongkvalitet C25  Tryckhållfasthet: fck = 25 MPa
Draghållfasthet: fctk = 1,8 MPa
Bärförmåga, tryckt kant:
0,35  0,52
M R  f ck W  25 10 
 365kNm
6
6
500
M
Bärförmåga, dragen kant:
0,35  0,52
M R  f ctk W  1,8 10 
 26,3kNm
6
6
350
Motsvarar momentet av egentyngd för en 7,0 m lång fritt upplagd balk
Lund University / Structural Engineering
Armering
Armeringen placeras i dragzonen – tar upp alla dragkrafter (efter att
betongen spruckit)
Lund University / Structural Engineering
Armering - täckskikt
Betongen fungerar som korrosionsskydd
för armeringen
Minsta täckande betongskikt:
c = cmin + Δcdev
Där
cmin = max
Stångdiametern, mm
10 mm
och
Δcdev = 10 mm
Lund University / Structural Engineering
Betongbalkens brottmoder
Lund University / Structural Engineering
Verkningssätt hos betongbalk
Böjbrott – Segt
Normalarmerad
Dragbrott i armering
Stora deformationer – Tydliga sprickor
Lund University / Structural Engineering
Verkningssätt hos betongbalk
Böjbrott – Sprött
Överarmerad
klicka
Tryckbrott i betongen
Små deformationer – Inga synliga sprickor
Lund University / Structural Engineering
Momentbelastade armerade betongtvärsnitt
1. Plana tvärsnitt förblir plana
2. Draghållfasthet (fct) för betong kan försummas
efter uppsprickning
3. Spännings-töjningskurvan för stål och betong är linjär
4. Små deformationer
Stadium II
Fs
Lund University / Structural Engineering
Stadium III
Armerat betongtvärsnitt
Tre olika fall beroende på armeringsmängden:
1. Normalarmerad – armeringen flyter innan betongen krossas i
tryckzonen, inträffar vid liten armeringsmängd.
2. Överarmerad – betongen krossas innan armeringen flyter
3. Balanserad armering – anger övergången mellan 1 och 2
Stålets arbetskurva:
σs
3
fyd
1
2
εs
εsy
Lund University / Structural Engineering
Armerat betongtvärsnitt
Normalarmerat
Överarmerat
σs
fst
fyd
εs
εsy
Lund University / Structural Engineering
Armerat betongtvärsnitt
Beräkningsmodell:
α och β beräknas ur arbetskurvans geometri:
Vid dimensionering:
α = 0.8
β = 0.4
OBS! β = 0.5α
Lund University / Structural Engineering
Enkelarmerat tvärsnitt
f cc fcc = fcd
 cu
b
M Sd
Fc
x
0.8x
d
As
b
s
Fs
b
Två problemställningar vid dimensionering:
• Bestämma armeringsmängd (samt balktvärsnitt) för givet
dimensionerande moment
• Bestämma momentkapacitet för given balk
Lund University / Structural Engineering
Fs
Enkelarmerat tvärsnitt
f cc
 cu
b
M Sd
fcc = fcd
Fc
x
0.8x
d
As
b
s
b
Lund University / Structural Engineering
Fs
Fs
Enkelarmerat tvärsnitt
f cc
 cu
fcc = fcd
b
M Sd
Fc
x
d
As
s
b
Fs
Fs
b
Kraft i armering:
Kraft i betong:
𝐹𝑐 = 𝑓𝑐𝑑 ∙ 0.8𝑥 ∙ 𝑏
Kraftjämvikt:
𝐹𝑐 − 𝐹𝑠 = 0 → 𝑓𝑐𝑑 ∙ 0.8𝑥 ∙ 𝑏 − 𝜎𝑠 ∙ 𝐴𝑠 = 0
Momentjämvikt, kring Fs:
𝑀𝑆𝑑 = 𝑓𝑐𝑑 ∙ 0.8𝑥 ∙ 𝑏 𝑑 − 0.4𝑥
Töjningsdiagram, likformiga trianglar
 cu
x

0.8x
s
dx
Lund University / Structural Engineering
Om S Sy  S = fyd
Om S< Sy 
S = S ES
Dimensionslösa mått
• Geometrisk armeringsandel
𝜌=
𝐴𝑠
𝑏𝑑
• Mekanisk armeringsandel
𝜔 = 0,8
• Relativt moment
𝑥
𝜎𝑠
=𝜌
𝑑
𝑓𝑐𝑑
𝑀
𝑚= 2
= 𝜔 1 − 0,5𝜔
𝑏𝑑 𝑓𝑐𝑑
Lund University / Structural Engineering
Dimensionslösa mått
cu
Gränsvärden
xbal
d
xbal 
dEs cu
Es cu  f yd
 bal  0.8
s (MPa)
s
bal  0.8
fyd
s töjning
sy
f cd
Es cu
f yd Es cu  f yd
Es cu
Es cu  f yd
Dimensionslösa mått
𝑥 < 𝑥𝑏𝑎𝑙 normalarmerad balk
Gränsvärden
xbal 
dEs cu
Es cu  f yd
 bal  0.8
f cd
Es cu
f yd Es cu  f yd
bal  0.8
Es cu
Es cu  f yd
𝜌 < 𝜌𝑏𝑎𝑙 normalarmerad balk
𝜔 < 𝜔𝑏𝑎𝑙 normalarmerad balk
dvs S Sy  S = fyd
𝑥 > 𝑥𝑏𝑎𝑙 överarmerad balk
𝜌 > 𝜌𝑏𝑎𝑙 överarmerad balk
𝜔 > 𝜔𝑏𝑎𝑙 överarmerad balk
dvs S< Sy 
S = S ES
Förenklad metod med inre hävarm
z = 0,9d
M = Fs·z = As·fyd·0,9d
As = M/(fyd·0,9d)
Bra vid överslagsberäkning för att kolla sitt resultat och
för att få fram ungefärliga dimensioner
OBS! Ersätter inte det tidigare, ej OK med bara denna
uträkning
Exempel
Betong C20
fcd = 13.3 MPa
Armering B500B fyd = 435 MPa
Esd = 200 GPa
1. Bestäm dimensionerande värde på moment M
2. Bestäm d för M = 151 kNm med As = 4f16,
material och balkbredd samma som i 1.
3. Bestäm As då M = 250 kNm, material, b och d samma som i 1.
Lund University / Structural Engineering