Prognosmodeller - Linköping University
Planering av Räddningssystem Fö 5: Prognosmodeller Tobias Andersson Granberg Blåljuslogistik Diskussionsuppgift + Designa ett räddningssystem för området. Diskutera behov, och hur dessa kan förutsägas. Prata med grannen eller bilda små grupper. + 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 2 Blåljuslogistik Källor • Delar av materialet till denna föreläsning är hämtat från: – Magnusson, E., Ambulanslogistik prognostisering av ambulansuppdrag, Examensarbete, LITH-ITN-KTS—07/009--SE – Edlund, Högberg, Leonardz: Beslutsmodeller – redskap för ekonomisk argumentation – Jaldell: Förväntat antal bränder – Andersson Granberg, T. & Gustafsson, A. (2010) Lokalisering av räddningstjänstresurser i Östergötland. CARER Rapport 2010:3, Linköping University Electronic Press, Sweden. 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 3 Blåljuslogistik Prognoser • ”Prognosis” (gr) betyder förutsägelse • En prognos kan vara – Värdet på en variabel vid en viss tidpunkt – Tidpunkten för en händelse – Resultatet av en händelse • Syfte – Organisera och analysera befintlig kunskap så att osäkerheten i en beslutssituation minskar • Resurser – Reduktionen i osäkerhet är vanligen proportionell mot kostnaden för prognosen – Förlust pga osäkerhet måste vägas mot kostnaden för prognosen 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 4 Blåljuslogistik Prognosmodeller • Kvalitativa modeller – Bygger på åsikter och bedömningar (från experter) – Långsiktiga prognoser – Historisk data saknas 4 February, 2015 • Kvantitativa modeller – Matematiska – Historisk data används – Extrapolering av historiska värden – Kausala modeller – Tidsseriemodeller TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 5 Blåljuslogistik Efterfrågemodell • Man skiljer ibland på efterfrågemodell och prognosmetod – Efterfrågemodellen är en beskrivning av den process som genererar efterfrågan – Efterfrågemodellen skattas av historisk data – Prognosmetoden baseras på efterfrågemodellen • Innan man väljer prognosmetod bör man ha skaffat sig en god uppfattning om hur efterfrågan historiskt sett ut 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 6 Blåljuslogistik Metodik • Visualisering/analys av historisk data -> efterfrågemodell • Val av prognosmetod baserat på efterfrågemodellen • Validering av prognosmodellen 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 7 Blåljuslogistik Analys av historisk data • Plotta data – Tex i Excel, Matlab, etc • Aggregera på olika tidsintervall för att hitta olika effekter – Antal händelser per månad – Antal händelser per dag – Antal händelser per timme • Bestäm vilka faktorer som ska ingå i prognosen 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 8 Blåljuslogistik Antal uppdrag per dag 140 Summa av Antal 120 100 80 Totalt Linjär (Totalt) 60 40 20 0 Datum Källa: Magnusson, 2007 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 9 Blåljuslogistik Antal uppdrag per månad 2500 Summa av Antal 2000 1500 Totalt 1000 500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Månad Källa: Magnusson, 2007 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 10 Blåljuslogistik Antal uppdrag per veckodag 3600 Summa av Antal 3500 3400 3300 3200 3100 Totalt 3000 2900 2800 2700 2600 Måndag Tisdag Onsdag Torsdag Fredag Lördag Söndag Veckodag Källa: Magnusson, 2007 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 11 Blåljuslogistik 250 Summa av Antal 200 Veckodag Måndag Tisdag Onsdag Torsdag Fredag Lördag Söndag 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Timme Källa: Magnusson, 2007 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 12 Blåljuslogistik Metodik • Visualisering/analys av historisk data -> efterfrågemodell • Val av prognosmetod baserat på efterfrågemodellen • Validering av prognosmodellen 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 13 Blåljuslogistik Faktorer vid prognosmodellval • Tidshorisont – – – – Kortsiktiga (max 1 år) Medellånga (5-10 år) Långsiktiga (20 år och framåt) Långa tidshorisont ger större osäkerhet och mindre nytta av historiska data • Datamönster – – – – – – – T (Trend) K (Konjunktur) S (Säsong) ε (Slumpterm) Impulser (tillfälliga effekter) Nivåförändringar Trendbrott 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 14 Blåljuslogistik Faktorer vid prognosmodellval • Detaljnivå • Kostnad – Komplexitet i modellen ger ökad kostnad • Noggrannhet – Förmåga att generera prognoser som ligger nära det riktiga värdet • Tillgång på data – Kan vara svårt speciellt för kausala modeller • Användarvänlig 4 February, 2015 – Samma variabel kan prognostiseras på olika detaljnivå – Efterfrågan • • • • Årsefterfrågan Per försäljningskanal Per månad Nedbrutet på komponentnivå – Delprognoserna bör summera till totalprognosen TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 15 Blåljuslogistik Kvantitativa prognosmetoder • Naiva modeller • Utjämningsmodeller • Komponentuppdelningsmodeller • Regressionsmodeller 4 February, 2015 • yt = prognosvariablens riktiga värde period t • y*t+k = prognos för y i period t+k • xt = förklarande variabel • e t = y t – y *t = prognosfelet TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 16 Blåljuslogistik Naiva modeller • Enklast: y*t+1 = yt • Säsong: y*t+1 = yt-11 • Trend: y*t+1 = yt + Tt (alt Ttyt) • Används ofta för att jämföra mot mer avancerade modeller 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 17 Blåljuslogistik Utjämningsmodeller • Slumpmässig variation gör att naiva modeller fungerar dåligt • Utjämningsmodeller jämnar ut prognosen till en jämnare nivå t 1 * • Glidande medeltal: yt + k = ∑ yi N i =t − N +1 • N väljs så att prognosfelet minimeras 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 18 Blåljuslogistik Glidande medeltal exempel 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 19 Blåljuslogistik 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 20 Blåljuslogistik Exponentiell utjämning • Glidande medeltal ger alla observationer samma vikt, och kastar observationer äldre än N perioder bak i tiden • Exponentiell utjämning ger nya observationer större vikt, och behåller all information sedan start • Enkel exponentiell utjämning (för nivåserier) • Dubbel exponentiell utjämning (vid trend) • Winters metod för exponentiell utjämning (vid trend och säsong) 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 21 Blåljuslogistik Enkel exponentiell utjämning • y*t+k = αyt + (1-α)y*t –0<α<1 • α bestäms genom försök • Vad gör man om det kommer kraftigt avvikande observationer? 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 22 Blåljuslogistik Enkel exp utj exempel y*t+k = αyt + (1-α)y*t 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 23 Blåljuslogistik 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 24 Blåljuslogistik Dubbel exponentiell utjämning • y*t+k = at + btk – a är nivån tid tiden t, b är trenden vid tiden t – Både a och b kan uppdateras när nya observationer görs • • • • y’t = αyt + (1-α)y’t-1 y’’t = αy’t + (1-α)y’’t-1 at = 2y’t – y’’t bt = α/(1- α) (y’t-y’’t) 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 25 Blåljuslogistik Dubbel ex utj exempel 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 26 Blåljuslogistik 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 27 Blåljuslogistik Winters exponentiella utjämning • y*t+k = (y’t + btk) St-L+k 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 28 Blåljuslogistik Komponentuppdelningsmodeller • I traditionell tidsserieanalys finns fyra komponenter: Trend, Konjunktur, Säsong och Slump • Om tidsserien kan delas upp i dessa komponenter kan slutsatser dras om deras betydelse • yt = TtStεt – – – – – – 1. skatta trendkomponeneten 2. eliminera trendkomponeneten 3. skatta säsongskomponenten 4. säsongsrensa 5. kontroll att enbart slumptermen återstår 6. prognos 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 29 Blåljuslogistik Regressionsmodeller • Regressionsanalys – Grafiska och analytiska metoder för att bestämma samband mellan en beroende variabel och en (enkel regression) eller flera (multipel regression) förklarande variabler • y = α + β1x1 + β2x2 + … + βkxk + ε • Ingående parametrar skattas genom minimering av prognosfelen (minsta-kvadrat-metoden (MKM)) • Vid enkel regression med tiden som förklarande variabel blir det en tidsseriemodell, annars en kausal modell • Som mått på sambandets styrka används andelen förklarad variation r2 (vid enkel regression) eller förklaringsgraden R2. • Höga värden på R2 ger ett starkt statistiskt samband (behöver dock inte vara kausalt) 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 30 Blåljuslogistik Minsta-kvadrat-metoden • Linjär modell, enkel regression • yt = a + bxt • Minimera summan av kvadratfelen: – Min sum_t (yt – (a + bxt))2 – Mätvärden för ett antal yt och xt existerar – Hur får vi a och b? 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 31 Blåljuslogistik Regressionsanalys exempel År 1 2 3 4 5 6 7 Försäljning [st] 168 163 166 157 139 139 [129] Pris [kr/st] 56 64 64 77 80 79 [81] 1. Grafisk analys 2. Val av modell – – yt = α + βxt + εt yt = α + βt + εt 3. Skattning av modell yt = 237.7 – 1.177 :xt : r2 = 0.79 yt = 177.9 – 6.457 t : r2 = 0.84 – Räkna fram α och β genom MKM, eller använd Excel 4. Tolkning av resultat 5. Prognos 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 32 Blåljuslogistik Metodik • Visualisering/analys av historisk data -> efterfrågemodell • Val av prognosmetod baserat på efterfrågemodellen • Validering av prognosmodellen 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 33 Blåljuslogistik Utvärdering av prognoser • Prognosfel • Prognosfel beror på – Slumpmässiga • Medelvärdet nära noll – Systematiska • Medelvärde skiljt från noll • Noggrannhet: överensstämmelse mot korrekt värde • Precision: graden av variation 4 February, 2015 – Mätfel – Slumpmässig variation – Felaktig prognosmodell – Ändrade förutsättningar TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 34 Blåljuslogistik Mått på prognosfel • Medelkvadratfelet: MSE = sum(e2)/ n – Bestraffar stora avvikelser hårt • Medelfelet: ME = sum(e)/n – Bör vara nära noll om inte systematiskt fel • Medelabsolutfelet: MAE = sum(|e|)/n – Bestraffar inte stora avvikelser lika hårt som MSE 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 35 Blåljuslogistik Valideringsmetodik • Om tillräckligt med data finns – Dela upp data i två mängder • En kalibreringsmängd • En valideringsmängd • Kalibreringsmängden kan vara större än valideringsmängden – Analysera först hela mängden för att välja rätt modell – Kalibrera (bestäm värden på parametrar i modellen) modellen, enbart baserat på kalibreringsmängdens data – Validera modellen med valideringsmängdens data – Om en systemförändring skett (tex en ny väg har tillkommit) fungerar inte detta 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 36 Blåljuslogistik Valideringsmetoder • Beräkna prognos, jämför mot faktiskt utfall • Beräkna medelfel, medelabsolutfel, etc • Kontrollera grafer, kartor, etc visuellt för att kolla så att prognosen ser vettig ut • Låt experter bedöma prognosen • Hitta förklaringar för eventuella avvikelser • Känslighetsanalys – Hur mycket varierar prognosen om indata varieras? – Hur påverkas beslut som ska baseras på prognosen, beroende på hur prognosen ser ut? • Hur vet man om den är valid? – Går inte att säga i det enskilda fallet – Den behöver inte stämma perfekt, så länge den kan anses användbar – I slutändan måste en subjektiv bedömning göras, i bästa fall av flera systemexperter som är ense 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 37 Blåljuslogistik Metodik • Visualisering/analys av historisk data -> efterfrågemodell • Val av prognosmetod baserat på efterfrågemodellen • Validering av prognosmodellen 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 38 Blåljuslogistik Prognostisering av bränder • Modell för förväntat antal bränder i bostad för Sverige indelat i 1 km-rutor • Fem steg: 1. Antag att antalet bränder kan förklaras av ett antal förklaringsvariabler, bla byggnadstyper, befolkning, socioekonomiska förhållanden (156 variabler) 2. Reducera antalet förklarande variabler mha faktoranalys 3. Hitta statistiska samband mellan den beroende variabeln och de oberoende (förklarande) variablerna mha regressionsanalys 4. Beräkna ett förväntat värde för den beroende variabeln mha modellen 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 39 Blåljuslogistik Variabler i prognosen • Vilka förklaringsvariabler borde vara med? – – – – – – – – – – – – Antal av olika byggnadstyper Byggnadsålder Befolkningsantal och åldersstruktur Tätort vs landsbygd Antal sysselsatta i olika branscher Utländsk bakgrund Familjetyp Utbildningsnivå Arbetslöshet Inkomstnivå Ohälsa Turism • Hur hittar man data? 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 40 Blåljuslogistik Variabeldata • Oberoende variabler – Statistiska centralbyrån (SCB) – Fastighetsregistret • Beroende variabel – Insatsstatistik (tex från MSB - http://ida.msb.se) • 1998-2006 • Koordinatsatt och fördelad på 1km-rutor – Bortfall • Ej koordinatsatta • Ej elektroniska insatsrapporter • Inte speciellt stort Missar fritidshus! – Rensning • 536 247 st rutor totalt i Sverige • 16 073 hade en brand i bostad • Ta bort alla rutor där det inte bor någon -> 114 826 rutor 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 41 Blåljuslogistik Reduktion av antal förklaringsvariabler • Variabler som är starkt korrelerade med andra kan tas bort • Faktoranalys gjordes med proceduren Varclus i programmet SAS (Statistical Analysis System) • Bostadsbyggnadsvariabler: 23 var -> 4 – Antal lägenheter, antal rad-par-kedjehus, antal friliggande småhus, antal bostadsrätter • Befolknings- och familjedata: 52 var -> 3 – Total befolkning, befolkning i åldern 0-19 år, antal födda utanför Norden • Arbetslöshets-, utb-, inkomst- och ohälsodata: 81 var -> 4: – Antal ohälsodagar, antal eftergymnasialt utbildade, antal arbetslösa, antal grundskole- och gymnasieutbildade 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 42 Blåljuslogistik Regressionsanalys • Linjär OLS-modell (ordinary least squares) • Kvadrerad totalbefolkning ger bättre modell! Varför? Variabel Parameterestimat Antal lägenheter 0.00527 Antal småhus 0.00839 Antal bostadsrätter -0.00362 Total befolkning i kvadrat 0.000111 Antal födda utanför Norden 0.0160 Antal eftergymnasialt utb -0.00195 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 43 Blåljuslogistik Beräkning av prognos • För varje 1km-ruta beräknas ett förväntat värde • Determinationskoefficienten R2 = 0.87 • Observera att modellen baseras på nationell data – Lokala variationer förekommer 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 44 Blåljuslogistik Validering av brandprognos för Östergötland 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 45 Blåljuslogistik Validering av brandprognos för Östergötland 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 46 Blåljuslogistik Validering av brandprognos för Östergötland 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 47 Blåljuslogistik Validering av brandprognos för Östergötland 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 48 Blåljuslogistik Validering av brandprognos för Östergötland • Medelabsolutfelet är ca 0,5 olyckor per område och år, • Medelutfallet (historiskt) per område och år är ca 1,2 • Prognostiserat antal brand i bostad är i snitt ca 1,2 olyckor per område och år • Korrelationen mellan historiska och prognostiserade värden beräknas till 0,62, vilket tyder på att det finns ett positivt samband mellan prognosen och det historiska utfallet, om dock något svagt. • Författarnas slutsats blir att prognosmodellerna är tillräckligt bra för det avsedda syftet. Detta på grund av den positiva korrelation som kan påvisas med historisk data, men också på grund av avsaknaden av bättre alternativ. 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 49 Blåljuslogistik Prognostisering av ambulansuppdrag • Kombination av olika metoder • Data – Koordinatsatta uppdrag av olika prio – Dag och nattbefolkning • Problem: data för små områden blir osäkert • Lösning: gör först en prognos för ett större område och dela sedan upp den på mindre – Gör en prognos för hela länet som förutsäger antal uppdrag per timme – Fördela uppdragen geografiskt efter befolkningen – Svagheter? 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 50 Blåljuslogistik Prognos för ambulansuppdrag i ett län • Identifiera ev trender, säsonger, etc. 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 51 Blåljuslogistik p1+p2 120 100 80 Måndag Tisdag Onsdag Torsdag Fredag Lördag Söndag 60 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 timme 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 52 Blåljuslogistik Prognos för ambulansuppdrag i ett län • • • • Identifiera ev trender, säsonger, etc. Bestäm metod Tillämpa metod Tex: yt = prognos för antal Prio 1 uppdrag tidsindex t – i är en viss timme en viss dag i veckan, tex 11-12 en tisdag • Det totala antalet uppdrag måste fördelas 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 53 Blåljuslogistik Geografisk fördelning av Prio 1 uppdrag • • • • Låt di = dagbefolkning i zon i Låt ni = nattbefolkning i zon i Låt P = total befolkning i länet Låt u1it = förväntat antal Prio 1 uppdrag i zon i tid t. • Antag att dag är 7-18, natt 18-7 • Om t ligger under dag u1it = di * yt / P • Om t ligger under natt u1it = ni * yt / P 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 54 Blåljuslogistik Uppgift 4 • Skapa minst tre olika prognoser för relevanta händelser i länet • Vilka händelser är relevanta? • Vilken data behövs? • Vilken prognosmodell ska användas? 4 February, 2015 TNSL13 – Tobias Andersson Granberg 55
© Copyright 2024