Systemteknik/Processreglering F8
Frekvensanalys
◮
Frekvenssvar
◮
Bode- och Nyquistdiagram
◮
Stabilitet och stabilitetsmarginaler
Läsanvisning: Process Control: 7.1–7.5
Frekvensanalys
Studera hur system reagerar på signaler i olika frekvensområden
Exempel:
◮
Laststörningar – mest låga frekvenser
◮
Mätbrus – höga frekvenser
Om systemet är linjärt så kan man studera svaret för varje frekvens
separat
◮
◮
Sinus in [ sinus ut
Kan t.ex. användas för att ta fram överföringsfunktioner
experimentellt (systemidentifiering)
Frekvenssvar
u(t)
G (s)
y(t)
u(t) = sin ω t
y(t) = A sin(ω t + ϕ )
A = p G (iω )p
ϕ = arg G (iω )
◮
◮
◮
◮
ω : frekvens [rad/s]
G (iω ): frekvensfunktion
p G (iω )p: amplitud(funktion), förstärkning, magnitud
arg G (iω ): fas(funktion), fasförskjutning
Exempel: G (s) =
2
s+1
2
ω = 1 rad/s:
1
y
0
u
−1
−2
0
5
ω = 2 rad/s:
1
15
20
15
20
15
20
y
0
u
−1
−2
0
5
10
t
2
ω = 3 rad/s:
10
t
2
1
y
0
u
−1
−2
0
5
10
t
Räkneregler för komplexa tal
z = x + iy
p zp =
p
x2 + y2
z1 p z1 p
=
z2 p z2 p
p z1 z2 p = p z1 pp z2 p,
arg z = arctan
arg z1 z2 = arg z1 + arg z2 ,
y
x
(om x > 0)
arg
z1
= arg z1 − arg z2
z2
Exempel: G (s) =
2
s+1
2
iω + 1
2
p G (iω )p = √
ω2 + 1
G (iω ) =
arg G (iω ) = − arctan ω
ω
0
1
∞
p G (iω )p
√2
2
0
arg G (iω )
0○
−45○
−90○
Bodediagram
Rita p G (iω )p och arg G (iω ) som funktioner av ω
◮
◮
Amplitudkurvan p G (iω )p ritas i log-log-skala
Faskurvan arg G (iω ) ritas i log-lin-skala
(MATLAB-kommando: bode)
Exempel: G (s) =
2
s+1
Bode Diagram
1
Magnitude (abs)
10
0
10
−1
10
−2
10
0
Phase (deg)
−15
−30
−45
−60
−75
−90
−2
10
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Miniproblem
Avläs i Bodediagrammet:
◮
Hur mycket förstärks och fasförskjuts insignaler med
frekvensen 0.5 rad/s?
◮
Hur mycket förstärks och fasförskjuts insignaler med
frekvensen 5 rad/s?
Exempel: nivådynamik i tank
q
}h
Inflöde ∆ q(t) = sin 0.5t:
∆q
∆h
Linjäriserad modell:
∆ H (s) =
K1
∆ Q (s)
sT1 + 1
System konfigurerat så att
K 1 = 2, T1 = 1 [
2
∆ H (s) =
∆ Q (s)
s+1
Inflöde ∆ q(t) = sin 5t:
∆q
∆h
Att skissa/tolka Bodediagram
Antag G (s) = G1 (s) G2 (s) G3 (s) . . .
Då
log p G (iω )p = log p G1 (iω )p + log p G2 (iω )p + log p G3 (iω )p + . . .
arg G (iω ) = arg G1 (iω ) + arg G2 (iω ) + arg G3 (iω ) + . . .
◮
Bidragen från G1 , G2 , G3 , . . . adderas i både amplitud- och
fasdiagrammet
Typsystem i formelsamlingen
1
,
1 + sT
1 + sT
e−sL
ω 02
s2 + 2ζ ω 0 s + ω 02
reell pol, reellt nollställe
dödtid
komplext polpar
(Se s. 73–77 i Process Control för ännu fler exempel)
Bodediagram för reell pol eller reellt nollställe
G
G
G(s)=(1+sT),
1
1+sT
T=1
20
10
90
5
2
1
.
01
2
5
1
2
5
10
0
Radianer/s
0.5
0.2
90
0.1
0.05
0.02
180
0.01
◮
En pol i s = − T1 böjer ner amplitudkurvan och sänker faskurvan
med 90○ kring ω = T1 ; omvänt för ett nollställe
Bodediagram för dödtid
G
G
G(s)=e-sL
20
L=1
10
90
5
2
1
.
01
2
5
1
2
5
10
0
Radianer/s
0.5
0.2
90
0.1
0.05
0.02
180
0.01
◮
En dödtid sänker faskurvan exponentiellt men påverkar inte
amplitudkurvan
Bodediagram för komplexa poler
◮
Komplexa poler med liten dämpning ζ har en stor resonanstopp
vid egenfrekvensen ω 0 i amplitudkurvan
Nyquistdiagram
Rita kurvan G (iω ) i komplexa talplanet då ω går från 0 till ∞.
0.4
0.2
0
arg G (iω )
−0.2
p G (iω )p
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−0.4
−0.2
0
0.2
(MATLAB-kommando: nyquist)
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Exempel: G (s) =
2
s+1
Nyquist Diagram
0.5
Imaginary Axis
0
−0.5
−1
−1.5
−0.5
0
0.5
1
Real Axis
1.5
2
2.5
Stabilitet för återkopplade system
u(t)
z(t)
G0 (s)
y(t)
−1
Antag att öppna systemet G0 (s) = G c (s) G p(s) är stabilt
u(t) = sin ω t
[
y(t) = p G0 (iω )p sin ω t + arg G0 (iω )
z(t) = −p G0 (iω )p sin ω t + arg G0 (iω )
= p G0 (iω )p sin ω t + arg G0 (iω ) + 180○
Stabilitet för återkopplade system
Om u(t) = z(t) uppstår en stabil självsvängning i kretsen när
brytaren slås om
Detta händer om
p G0 (iω )p = 1
arg G0 (iω ) = −180○
\
Nyquistkurvan för G0 (s) går genom punkten −1
Nyquists stabilitetssats
u(t)
Σ
G0 (s)
y(t)
−1
Antag att öppna systemet G0 (s) saknar poler i höger halvplan.
Det slutna systemet är asympotiskt stabilt om punkten −1 ligger
till vänster om Nyquistkurvan när den traverseras från ω = 0 till
ω = ∞.
Exempel
a)
Im G
−1
−1
Re G
Im G
−1
Re G
Im G
c)
b)
d)
Re G
Im G
−1
a) as. stabilt, b) instabilt, c) as. stabilt, d) instabilt
Re G
Harry Nyquist (1889–1976)
◮
◮
Född i Nilsby, Värmland
Karriär i USA
◮
◮
◮
◮
Univ. of North Dakota
Yale University
AT&T Bell Laboratories
Tre viktiga resultat:
◮
◮
◮
Nyquists stabilitetssats
Johnson–Nyquist-bruset
Nyquists samplingssats
Amplitudmarginal
Amplitudmarginalen anger hur mycket förstärkningen kan öka utan
att slutna systemet blir instabilt:
◮
◮
Låt ω 0 vara den minsta frekvens där arg G0 (iω 0 ) = −180○
Amplitudmarginalen ges av Am = 1/p G0 (iω 0 )p
1
1
Am
0.8
0.6
0.4
0.2
G0 (ω o )
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Exempel (I1 uppgift 10)
Överföringsfunktion från insignal till koncentrationen i kammare 3:
G3 (s) =
1
(s + 3.732)(s + 1)(s + 0.2679)
Nyquistkurva:
0.04
Imaginary Axis
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04 −0.02
Real Axis
0
0.02
Exempel (I1 uppgift 10)
Avläsning av amplitudmarginal:
1
= 0.042
Am
\
Am = 24
Tolkning: Om man reglerar systemet med en P-regulator kan
förstärkningen vara max 24 utan att slutna systemet blir instabilt.
y
r
Σ
G3 (s)
K
−1
Fasmarginal
Fasmarginalen anger hur mycket fasen kan minska utan att slutna
systemet blir instabilt:
◮
◮
Låt ω c vara den minsta frekvens där p G0 (iω c )p = 1
Fasmarginalen ges av ϕ m = 180○ + arg G0 (iω c )
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
ϕm
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
G0 (ω c )
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Amplitud- och fasmarginal i Bodediagrammet
1
Förstärkning
10
ωc
0
10
1/ Am
−1
10
−2
10
−1
0
10
10
−50
Fas
−100
−150
−200
−250
−1
10
ϕm
ωo
0
10
Frekvens [rad/s]
Robusthet
För att få ett robust slutet system vill man typiskt ha
◮
◮
Am ∈ [2, 6]
ϕ m ∈ [45○ , 60○ ]
Ju större marginaler, desto mindre känslighet för modellfel och
parametervariationer