Frekvensanalys
Föreläsning 8
Frekvensanalys
• Frekvenssvar
Studera hur system reagerar på signaler i olika frekvensområden
Exempel:
• Bode- och Nyquistdiagram
• Laststörningar – mest låga frekvenser
• Stabilitet och stabilitetsmarginaler
• Mätbrus – höga frekvenser
Om systemet är linjärt så kan man studera svaret för varje frekvens
separat
• Sinus in [ sinus ut
• Kan t.ex. användas för att ta fram överföringsfunktioner
experimentellt (systemidentifiering)
Rekommenderad läsning: Process Control: 3.8, 4.5
Exempel: experiment på ögats pupill
Upprepade experiment för olika frekvenser:
Experimental data
Linear model
Gain
0.2
0.1
0.05
0.02
0.01
2
5
10
20
2
5
10
Frequency
20
Phase
0
−200
−400
[L. Stark, 1959]
Linjär modell G (s) =
0.17
e−0.2s
(1+0.08s)3
anpassad till data
1
Frekvenssvar
u(t)
y(t)
G (s)
u(t) = sin ω t,
Exempel: G (s) =
2
1
ω = 1:
t > −∞
y
0
u
−1
−2
0
5
10
15
20
15
20
15
20
t
y(t) = a sin(ω t + ϕ )
2
1
ω = 2:
a = p G (iω )p
2
s+1
ϕ = arg G (iω )
y
0
u
−1
−2
0
5
10
t
2
G (iω ) – frekvensfunktion
1
p G (iω )p – förstärkning (gain), amplitud, magnitud
arg G (iω ) – fasförskjutning (phase shift), fas
Räkneregler för komplexa tal
ω = 3:
y
0
u
−1
−2
0
p
Exempel: G (s) =
arg z = arctan
z1 p z1 p
=
z2 p z2 p
arg z1 z2 = arg z1 + arg z2 ,
y
x
(om x > 0)
arg
2
s+1
2
iω + 1
2
p G (iω )p = √
2
ω +1
G (iω ) =
x2 + y2
p z1 z2 p = p z1 pp z2 p,
10
t
z = x + iy
p zp =
5
z1
= arg z1 − arg z2
z2
arg G (iω ) = − arctan ω
ω
0
1
∞
p G (iω )p
arg G (iω )
1.41
−45○
1
0
0○
−90○
2
Bodediagram
Exempel: G (s) =
Rita p G (iω )p och arg G (iω ) som funktioner av ω
• Faskurvan arg G (iω ) ritas i log-lin-skala
(MATLAB-kommando: bode)
1
10
Magnitude (abs)
• Amplitudkurvan p G (iω )p ritas i log-log-skala
Bode Diagram
2
s+1
0
10
−1
10
−2
10
0
Phase (deg)
−15
−30
−45
−60
−75
−90
−2
10
Miniproblem
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Typsystem i formelsamlingen
Avläs i Bodediagrammet:
• Hur mycket förstärks och fasförskjuts insignaler med frekvensen
10 rad/s?
1
,
1 + sT
1 + sT
e−sL
reell pol, reellt nollställe
tidsfördröjning
• Hur mycket förstärks och fasförskjuts konstanta insignaler?
ω 02
s2 + 2ζ ω 0 s + ω 02
komplext polpar
(Ni behöver ej kunna rita Bodediagram för hand, s. 85–91 i Process
Control.)
3
G
G
G(s)=(1+sT),
20
G
G
1
1+sT
G(s)=e-sL
20
T=1
10
L=1
10
90
5
2
1
90
5
2
.
01
2
5
1
2
5
10
0
1
.
01
2
1
5
2
5
10
0.5
0.5
0.2
0.2
90
90
0.1
0.1
0.05
0.05
0.02
0.02
180
0.01
180
0.01
• En pol i s = − T1 böjer ner amplitudkurvan och sänker faskurvan
med 90○ vid ω = T1 ; omvänt för ett nollställe
G
• En tidsfördröjning sänker faskurvan exponentiellt men påverkar inte
amplitudkurvan
G
ω20
s2 + 2ζω0s + ω02
ω0=1
Nyquistdiagram
G(s)=
20
10
5
ζ
ζ
ζ
2
ζ
1
0
Radianer/s
Radianer/s
.
01
2
5
1
90
Rita kurvan G (iω ) i komplexa talplanet då ω går från 0 till ∞.
0.4
2
5
10
0.2
0
Radianer/s
0.5
0
ζ
arg G (iω )
ζ
0.2
−0.2
p G (iω )p
90
0.1
0.05
0.02
−0.4
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
−0.6
180
0.01
• Ett oscillativt system med liten dämpning ζ har en stor resonanstopp
vid egenfrekvensen ω 0 i amplitudkurvan
−0.8
−1
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(MATLAB-kommando: nyquist (ritar även spegelvända kurvan))
4
Exempel: G (s) =
2
s+1
Stabilitet för återkopplade system
u(t)
Nyquist Diagram
0.5
z(t)
0
Imaginary Axis
G0 (s)
−1
−0.5
Antag att öppna systemet G0 (s) är stabilt
−1
u(t) = sin ω t
−1.5
−0.5
y(t)
0
0.5
1
Real Axis
1.5
2
2.5
[
y(t) = p G0 (iω )p sin ω t + arg G0 (iω )
z(t) = p G0 (iω )p sin ω t + arg G0 (iω ) + π
Nyquists (förenklade) stabilitetssats
Om z(t) = u(t) så uppstår en stabil självsvängning i kretsen när
brytaren slås om. Detta händer om
p G0 (iω )p = 1
arg G0 (iω ) = −π
\
Nyquistkurvan för G0 (s) går genom punkten −1
u(t)
Σ
G0 (s)
y(t)
−1
Antag att öppna systemet G0 (s) saknar poler i höger halvplan.
Det slutna systemet är asympotiskt stabilt om man går utefter
kurvan G0 (iω ) från ω = 0 till ω = ∞ och finner att punkten −1
hamnar till vänster om kurvan.
5
Exempel
Harry Nyquist (1889–1976)
• Född i Nilsby, Värmland
• Karriär i USA
– Univ. of North Dakota
– Yale University
– AT&T Bell Laboratories
• Tre viktiga resultat:
– Nyquists stabilitetssats
– Johnson–Nyquist-bruset
– Nyquists samplingssats
a) stabilt, b) instabilt, c) stabilt, d) instabilt
Stabilitetsmarginaler
Amplitudmarginalen anger hur mycket förstärkningen kan öka utan
att slutna systemet blir instabilt:
• Låt ω 0 vara den minsta frekvens där arg G0 (iω 0 ) = −180○
• Amplitudmarginalen ges då av Am = 1/p G0 (iω 0 )p
(Typiska marginaler: Am = 2–6)
Fasmarginalen anger hur mycket fasen kan minska utan att slutna
systemet blir instabilt:
Amplitud- och fasmarginal i Nyquistdiagrammet
1
0.8
1/ Am
0.6
0.4
0.2
G0 (ω o )
0
ϕm
−0.2
−0.4
• Låt skärfrekvensen (cross-over frequency) ω c vara den minsta
frekvens där p G0 (iω c )p = 1
• Fasmarginalen ges då av ϕ m = 180○ + arg G0 (iω c )
(Typiska marginaler: ϕ m = 30○ –60○ )
−0.6
−0.8
G0 (ω c )
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
6
Exempel
Amplitud- och fasmarginal i Bodediagrammet
1
1
(s + 3.732)(s + 1)(s + 0.2679)
Förstärkning
10
G0 (s) =
ωc
0
10
1/ Am
0.04
−1
10
0.02
−2
−1
0
10
Imaginary Axis
10
10
−50
Fas
−100
−150
0
−0.02
ϕm
−0.04
ωo
−200
−250
−1
10
−0.1
0
10
Frekvens [rad/s]
−0.08
−0.06
−0.04 −0.02
Real Axis
0
0.02
Nästa föreläsning
Avläsning av amplitudmarginal:
1
= 0.042
Am
PID-reglering
\
Am = 24
• Frekvenstolkning
• Inställningsmetoder
Tolkning: Om man reglerar systemet med en P-regulator kan
förstärkningen vara max 24 utan att slutna systemet blir instabilt.
• Praktiska modifieringar
Rekommenderad läsning: Process Control: 5.1–5.7
7