1. No category

YF kapittel 8 Rom
Løsninger til oppgavene i læreboka
Oppgave 809
a
Vi skal gå ett hakk mot venstre, og deler derfor med 10.
=
40 dL (40
=
:10) L 4 L
b
Vi skal gå to hakk mot venstre, og deler derfor med 10 ⋅ 10 =
100 .
=
300 cL (300
=
:100) L 3 L
c
Vi skal gå ett hakk mot venstre, og deler derfor med 10.
=
3,5 dL (3,5
=
:10) L 0,35 L
d
Vi skal gå tre hakk mot venstre, og deler derfor med 10 ⋅ 10 ⋅ 10 =
1000 .
=
2500 mL (2500
=
:1000) L 2,5 L
Oppgave 810
a
Vi skal gå ett hakk mot høyre, og ganger derfor med 10.
2,5 L =
2,5 ⋅ 10 dL =
25 dL
b
Vi skal gå to hakk mot venstre, og deler derfor med 10 ⋅ 10 =
100 .
=
400 mL (400
=
:100) dL 4 dL
c
Vi skal gå ett hakk mot høyre, og ganger derfor med 10.
0,5 L =
0,5 ⋅10 dL =
5 dL
d Vi skal gå to hakk mot venstre, og deler derfor med 10 ⋅ 10 =
100 .
=
650 mL (650
=
:100) dL 6,5 dL
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 1 av 27
Oppgave 811
Medisinflaska inneholder 2 dL. Vi gjør om dette til milliliter.
Vi skal gå to hakk mot høyre, og ganger derfor med 10 ⋅ 10 =
100 .
2 dL =
2 ⋅ 100 mL =
200 mL
Hver dag bruker Sveinung 5 ⋅ 5 mL =
25 mL medisin.
200
=8
25
Medisinflaska rekker til 8 dager.
Oppgave 812
a
Gjestene skal til sammen ha 25 ⋅ 2 dL =
50 dL brus. Vi gjør om til liter.
Vi skal gå ett hakk mot venstre, og deler derfor med 10.
=
50 dL (50
=
:10) L 5 L
Lise og Jens må kjøpe inn minst 5 L brus. Hver flaske inneholder 1,5 L.
5
= 3,33
1,5
Lise og Jens må kjøpe inn minst 4 flasker med brus.
b
6 L.
Gjestene skal ha 5 L brus. De 4 flaskene inneholder til sammen 4 ⋅ 1,5 L =
6 L−5 L =
1L
Det blir 1 L brus til overs.
Oppgave 813
a
Vi skal gå ett hakk mot høyre, og ganger derfor med 1000.
2,5 m3 =
2,5 ⋅1000 dm3 =
2500 dm3
b
Vi skal gå ett hakk mot venstre, og deler derfor med 1000.
=
4000 cm3 (4000
=
:1000) dm3 4 dm3
c
Vi skal gå ett hakk mot høyre, og ganger derfor med 1000.
0, 6 m3 =
0, 6 ⋅1000 dm3 =
600 dm3
d
Vi skal gå ett hakk mot venstre, og deler derfor med 1000.
=
12 000 cm3 (12
=
000 :1000) dm3 12 dm3
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 2 av 27
Oppgave 814
a
Vi skal gå ett hakk mot høyre, og ganger derfor med 1000.
35 dm3 =
35 ⋅ 1000 cm3 =
35 000 cm3
b
Vi skal gå to hakk mot høyre, og ganger derfor med 1000 ⋅ 1000 =
1 000 000 .
0, 085 m3 =
0, 085 ⋅ 1 000 000 cm3 =
85 000 cm3
c
Vi skal gå ett hakk mot venstre, og deler derfor med 1000.
=
2000 mm3 (2000
=
:1000) cm3 2 cm3
d
Vi skal gå ett hakk mot høyre, og ganger derfor med 1000.
3, 25 dm3 =
3, 25 ⋅ 1000 cm3 =
3250 cm3
Oppgave 815
a
Massetetthet =
masse
volum
m 4,8
=
= 0, 60
V 8, 0
Tettheten av grankubben er 0, 60 kg/dm3 .
ρ=
b
Grankubben har lavere tetthet enn vann. Den vil derfor flyte.
Oppgave 816
m
V
m
2, 6 =
9, 6
m ⋅ 9, 6
2, 6 ⋅ 9, 6 =
9, 6
24,96 = m
Hver helle har en masse på 25 kg.
ρ=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 3 av 27
Oppgave 817
Ringen har en masse på 12 g = 0, 012 kg . Volumet
er 1,1 cm3 (1,1:1000)
=
=
dm3 0, 0011 dm3 .
m 0, 012
ρ= =
= 10,9
V 0, 0011
Tettheten av ringen er ca. 11 kg/dm3 . Dette er ganske nær tettheten av sølv.
Det er derfor rimelig å tro at ringen er laget av sølv.
Oppgave 818
a
0,5 dm3 = 0,5 L
b
=
500 cm3 (500
=
:1000) dm3 0,5 dm3
0,5 dm3 = 0,5 L
500 cm3 = 0,5 L
c
0, 050 m3 =
0, 050 ⋅1000 dm3 =
50 dm3
50 dm3 = 50 L
0, 050 m3 = 50 L
d
=
7500 cm3 (7500
=
:1000) dm3 7,5 dm3
7,5 dm3 = 7,5 L
7500 cm3 = 7,5 L
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 4 av 27
Oppgave 819
a
1 m3 =
1 ⋅ 1000 dm3 =
1000 dm3 =
1000 L
3
1 m melk er det samme som 1000 L melk.
b
=
1,5 L 1,5
=
dm3 (1,5 :1000)
=
m3 0, 0015 m3
Melkekartongene er på 1,5 dm3 , som er det samme som 0, 0015 m3 .
Oppgave 820
a
Vi gjør om alle volumene til liter.
500
cm3 (500 :1000)
dm3 0,5
dm3 0,5 L
=
=
=
4 dL (4
:10) L 0, 4 L
=
=
0, 2 m3 =
0, 2 ⋅ 1000 dm3 =
200 dm3 =
200 L
1,8 dm3 = 1,8 L
Sortert etter stigende rekkefølge får vi
4 dL 500 cm3 1,8 dm3 3 L 0, 2 m3
Det største volumet er altså 0, 2 m3 .
b
Det minste volumet er 4 dL.
Oppgave 821
a
3 dL =
3 ⋅ 10 cL =
30 cL
Altså er 3 dL < 40 cL .
b
0, 6 cL =
0, 6 ⋅10 mL =
6 mL
Altså er 0, 6 cL < 8 mL .
c
2L=
2 ⋅ 1000 mL =
2000 mL
Altså er 2 L = 2000 mL .
d
90 dL =
90 ⋅ 100 mL =
9000 mL
Altså er 90 dL > 8000 mL .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 5 av 27
Oppgave 822
a
Vi skal gå ett hakk mot høyre, og ganger derfor med 10.
1, 2 L =
1, 2 ⋅ 10 dL =
12 dL
b
Vi skal gå ett hakk mot venstre, og deler derfor med 10.
=
35 cL (35
=
:10) dL 3,5 dL
c
Vi skal gå to hakk mot venstre, og deler derfor med 10 ⋅ 10 =
100 .
=
400 mL (400
=
:100) dL 4 dL
Oppgave 823
Vi gjør om 1 liter til desiliter.
1L=
1 ⋅ 10 dL =
10 dL
10
= 6, 7
1,5
Vi får 6 fulle glass av 1 liter melk (og litt melk til overs).
Oppgave 824
a
0, 45 L =0, 45 ⋅ 10 dL =4,5 dL
b
0,5 dL =
0,5 ⋅10 cL =
5 cL
c
=
35 dL (35
=
:10) L 3,5 L
Oppgave 825
Vi gjør om alle volumene til liter og legger sammen.
=
6 dL (6
=
:10) L 0, 6 L
=
400 mL (400
=
:1000) L 0, 4 L
1,3 L + 6 dL + 400 mL = 1,3 L + 0, 6 L + 0, 4 L = 2,3 L
Et voksent menneske skiller ut til sammen 2,3 L vann hvert døgn.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 6 av 27
Oppgave 826
a
På fem minutter drypper det 2 dL. Hvert minutt drypper det derfor (2 : 5) dL = 0, 4 dL .
På én time blir dette 60 ⋅ 0, 4 dL =24 dL =(24 :10) L =2, 4 L .
b
24 ⋅ 2, 4 L =
57, 6 L
På ett døgn drypper det ca. 58 L fra krana.
Oppgave 8021
a
5 cm3 = 5 mL
b 300 dm3 (300
=
=
:1000) m3 0,3 m3
Altså er 300 dm3 < 3 m3 .
c
2 dm3 = 2 L
d =
200 L 200
=
dm3 (200 :1000)
=
m3 0, 2 m3
Altså er 200 L < 1 m3 .
Oppgave 8022
0, 000 05 m3 =0, 000 05 ⋅1000 dm3 =0, 05 dm3
0, 05 dm3 = 0, 05 L
0, 05 L =0, 05 ⋅10 dL =0,5 dL
0, 000 05 m3 = 0,5 dL
Oppgave 8023
3L=
3 ⋅ 10 dL =
30 dL
2 dL + 3 L = 2 dL + 30 dL = 32 dL
32
= 21,3
1,5
Safta rekker til 21 hele glass.
Oppgave 8024
Vi kan legge sammen de tre volumene 3,5 liter, 2 dL og 1,8 dm3 . Vi gjør om til liter.
=
2 dL (2
=
:10) L 0, 2 L
1,8 dm3 = 1,8 L
Summen blir dermed 3,5 liter + 2 dL + 1,8 dm3 = 3,5 L + 0, 2 L + 1,8 L = 5,5 L .
(Det er også mulig å legge sammen de to arealene 2,5 dm 2 og 0,1 mål.)
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 7 av 27
Oppgave 8025
1 m3 =
1 ⋅ 1000 dm3 =
1000 dm3 =
1000 L
Det renner ut 1 L vann på ett minutt. Altså renner det ut 1000 L på 1000 minutter.
1000
= 16, 67 timer.
1000 minutter er det samme som
60
16 timer er det samme som 16 ⋅ 60 =
960 minutter.
1000 − 960 =
40
1000 minutter er altså det samme som 16 timer og 40 minutter.
Det renner ut 1 m3 vann fra krana på 16 timer og 40 minutter.
Oppgave 8026
2, 642 US gallons = 10 L
2, 642
10
US gallons =
L
2, 642
2, 642
1 US gallon = 3,8 L
Oppgave 827
a
Vi gjør om alle lengdene til desimeter.
1, 2 m = 12 dm
60 cm = 6, 0 dm
V = l ⋅ b ⋅ h = 12 ⋅ 6, 0 ⋅ 8, 0 = 576
Volumet av prismet er 576 dm3 .
b
576 dm3 = 576 L
Volumet av prismet er 576 L.
Oppgave 828
V = l ⋅ b ⋅ h = 55 ⋅ 40 ⋅ 23 = 50 600
=
50 =
600 cm3 (50 600 :1000)
dm3 50, 6 dm3 ≈ 51 dm3
Volumet av håndbagasjen er 51 dm3 .
Oppgave 829
a
b V = l ⋅ b ⋅ h = 20 ⋅ 25 ⋅ 18 = 9000
=
9000 cm3 (9000
=
:1000) dm3 9, 0 dm3
Volumet av kjølebagen er 9, 0 dm3 .
c
9, 0 dm3 = 9, 0 L
Kjølebagen rommer 9,0 L.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 8 av 27
Oppgave 830
Grunnflaten i prismet er en rettvinklet trekant med grunnlinje 10 cm og høyde 7 cm.
10 ⋅ 7
=
G =
cm 2 35 cm 2 .
Arealet av grunnflaten er dermed
2
Volumet av prismet er V = G ⋅ h = 35 ⋅ 5 cm3 = 175 cm3 .
Oppgave 831
a
b
Topp og bunn: 2 ⋅ 8, 0 ⋅ 5, 0 = 80
+ Foran og bak: 2 ⋅ 8, 0 ⋅ 10 = 160
+ To sideflater: 2 ⋅ 5, 0 ⋅10 = 100
= Sum
340
=
340 cm 2 (340
=
:100) dm 2 3, 4 dm 2
Overflaten av esken er 3, 4 dm 2 .
Oppgave 832
Topp og bunn: 2 ⋅ 9,5 ⋅ 6,5 = 123,5
+ Foran og bak: 2 ⋅ 9,5 ⋅ 6,5 = 123,5
+ To sideflater: 2 ⋅ 6,5 ⋅ 6,5 = 84,5
= Sum
331,5
331,5
=
cm 2 (331,5 :100)
=
dm 2 3,315 dm 2 ≈ 3,3 dm 2
Overflaten av osten er 3,3 dm 2 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 9 av 27
Oppgave 833
a
Grunnflaten er en rettvinklet trekant. Vi bruker derfor pytagorassetningen.
=
x 2 7, 02 + 102
x 2 = 149
x = 149
x = 12, 2
Lengden av den ukjente siden er 12 cm.
b
10 ⋅ 7, 0
2
12, 2 ⋅ 5, 0
7, 0 ⋅ 5, 0
10 ⋅ 5, 0
Topp og bunn: 2 ⋅
+ Foran:
+ Sideflate 1:
+ Sideflate 2:
= Sum
= 70
= 61
= 35
= 50
216
Overflaten av prismet er 216 cm 2 .
Oppgave 834
V = l ⋅ b ⋅ h = 4, 0 ⋅ 3,5 ⋅ 2,5 = 35
Volumet av rommet er 35 m3 .
Oppgave 835
a
b
Topp og bunn: 2 ⋅ 1, 20 ⋅ 0,80 = 1,92
+ Foran og bak: 2 ⋅ 1, 20 ⋅ 0, 60 = 1,44
+ To sideflater: 2 ⋅ 0,80 ⋅ 0, 60 = 0,96
= Sum
4,32
Overflaten av kassa er 4,3 m 2 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 10 av 27
Oppgave 836
Volumet av hele kassa: V = l ⋅ b ⋅ h = 1, 2 ⋅ 0,50 ⋅ 0,80 m3 = 0, 48 m3
0, 48 m3
=
0, 24 m3 =
0, 24 ⋅ 1000 dm3 =
240 dm3 =
240 L
Volumet av sanden:
2
Hver sekk har et volum på 15 L.
240
= 16
15
Lars kan selge 16 sekker med sand.
Oppgave 837
Grunnflaten i prismet er en rettvinklet trekant med grunnlinje 20 cm og
20 ⋅ 15
cm 2 150 cm 2 .
høyde 15 cm. Arealet av grunnflaten er =
dermed G =
2
V = G ⋅ h = 150 ⋅ 40 = 6000
=
6000 cm3 (6000
=
:1000) dm3 6, 0 dm3
Volumet av prismet er 6, 0 dm3 .
Vi finner lengden av den ukjente siden fra pytagorassetningen.
x 2 202 + 152
=
x 2 = 625
x = 625
x = 25
Lengden av den ukjente siden er 25 cm.
Vi finner overflaten:
20 ⋅ 15
2
25 ⋅ 40
15 ⋅ 40
20 ⋅ 40
Topp og bunn: 2 ⋅
+ Foran:
+ Sideflate 1:
+ Sideflate 2:
= Sum
= 300
= 1000
= 600
= 800
2700
=
2700 cm 2 (2700
=
:100) dm 2 27 dm 2
Overflaten av prismet er 27 dm 2 .
Oppgave 838
Lakklaget danner et firkantet prisme med lengde 5,6 m, bredde 4,4 m og høyde
=
0, 05 mm (0,
=
05 :1000) m 0, 000 05 m .
V = l ⋅ b ⋅ h = 5, 6 ⋅ 4, 4 ⋅ 0, 000 05 = 0, 001 232
0, 001 232 m3 =0, 001 232 ⋅1000 dm3 =
1, 232 dm3 =
1, 232 L ≈ 1, 2 L
Vi trenger 1,2 L lakk.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 11 av 27
Oppgave 8034
Muren er et prisme der grunnflaten er trapeset som er vist på figuren. Trapeset har sider 200 mm
550 mm og høyde 800 mm. Arealet er
og (200 + 350) mm =
(a + b) ⋅ h (200 + 550) ⋅ 800
=
A =
= 300 000
2
2
=
300 000 mm 2 (300
=
000 :1 000 000) m 2 0,30 m 2
Muren har grunnflate G = 0,30 m 2 og "høyde" h = 20 m .
V = G ⋅ h = 0,30 ⋅ 20 = 6, 0
Det vil gå med 6, 0 m3 betong for å lage muren.
Oppgave 8035
a
Vi begynner med å finne arealet av endeflatene. Siden trekanten er
likesidet, deler høyden grunnlinja i to like store deler. Vi setter
høyden i trekanten lik h og bruker pytagorassetningen.
2
h 2 + 2, 02
4, 0=
= h2 + 4
16
h2
16 − 4 =
12 = h 2
12 = h
3, 464 = h
4, 0 ⋅ 3, 464
cm 2 = 6,928 cm 2 .
2
2
Sjokoladen er et prisme med grunnflate 6,928 cm og høyde 8,0 cm.
V= 6,928 ⋅ 8, 0= 55
Høyden i trekanten er 3,464 cm. Arealet er dermed
Volumet av sjokoladen er 55 cm3 .
b
Hver av de to endeflatene har areal 6,928 cm 2 .
Arealet av hver av de tre like store sideflatene er 8, 0 ⋅ 4, 0 cm 2 =
32 cm 2 .
2 ⋅ 6,928 +=
3 ⋅ 32 109,856 ≈ 110
Det går med 110 cm 2 papp til innpakningen av sjokoladen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 12 av 27
Oppgave 8036
Tenk at lengden av grunnflaten er x cm. Da er bredden av grunnflaten x 2 .
x
3
Høyden av prismet er 3x . Volumet av prismet er dermed V = x ⋅ ⋅ 3 x = x 3 .
2
2
3
Volumet skal være 48 L = 48 000 cm3 . Det gir likningen x3 = 48 000 .
2
3 3
x = 48 000
2
2 ⋅ 3 3 2 ⋅ 48 000
x =
3⋅ 2
3
3
x = 32 000
x = 3 32 000
x = 32
Lengden av grunnflaten er 32 cm.
Oppgave 839
a
b
d 2, 4 m
=
= 1, 2 m
2
2
Radien i grunnflaten er 1,2 m.
r=
V = πr 2 h = π ⋅ 1, 22 ⋅ 3, 0 = 14
14 m3 =
14 ⋅ 1000 dm3 =
14 000 dm3 =
14 000 L
3
Volumet av vanntanken er 14 m , altså ca. 14 000 L.
Oppgave 840
d 12 cm
=
= 6, 0 cm .
2
2
Volumet av den store boksen: V = πr 2 h = π ⋅ 6, 02 ⋅ 25 = 2827
Volumet av den lille boksen: V = πr 2 h = π ⋅ 6, 02 ⋅ 15 = 1696
Radien i boksene er r=
2827 cm3 − 1696 cm3 = 1131 cm3 = (1131:1000) dm3 = 1,131 dm3 ≈ 1,1 dm3
Forskjellen i volumet av de to boksene er 1,1 dm3 .
Oppgave 841
a
Radien av fiskebolleboksen er 5,0 cm. Bredden av
sideflaten er dermed 2πr = 2π ⋅ 5, 0 cm = 31, 42 cm .
b
31, 42 ⋅ 11
= 345, 6 ≈ 346
Arealet av sideflaten er 346 cm 2 .
c
Arealet av bunn- og toppflaten: πr 2 = π ⋅ 5, 02 = 78,5
2 ⋅ 78,5 + 345, 6 = 502, 6 ≈ 503
Overflaten av fiskebolleboksen er 503 cm 2 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 13 av 27
Oppgave 842
d 20 cm
=
= 10 cm
2
2
V = πr 2 h = π ⋅ 102 ⋅ 6, 0 = 1885
1885
=
cm3 (1885 :1000)
=
dm3 1,885 dm3 ≈ 1,9 dm3
Volumet av kakeforma er 1,9 dm3 .
r=
Oppgave 843
a
=
d 800
=
mm (800 :100)
=
dm 8 dm
Diameter:
d 8 dm
= 4 dm
Radius: r= =
2
2
=
h 1000
=
mm (1000 :100)
=
dm 10 dm
Høyde:
b
O = 2πr 2 + 2πrh = 2π ⋅ 42 + 2π ⋅ 4 ⋅ 10 = 352
Overflaten av vanntønna er 352 dm 2 .
c
Volumet av hele tønna: V = πr 2 h = π ⋅ 42 ⋅ 10 = 502, 7
502, 7 dm3
= 251
=
dm3 251 L
2
Tønna inneholder 251 L vann når den er halvfull.
Oppgave 844
d 20 cm
=
= 10 cm
2
2
V = πr 2 h = π ⋅ 102 ⋅ 5 = 1571
=
=
=
1571
cm3 (1571:1000)
dm3 1,571
dm3 1,571 L ≈ 1, 6 L
Vannkanna inneholder 1,6 L vann, altså mindre enn 2 L.
r=
Oppgave 845
a
12 cm .
Høyden av sylinderen er 2 ⋅ 6, 0 cm =
V = πr 2 h = π ⋅ 6, 02 ⋅12 = 1357 ≈ 1400
Volumet av sylinderen er ca. 1400 cm3 .
b 1400 cm3 (1400
=
=
:1000) dm3 1, 4 dm3
Volumet av sylinderen er 1, 4 dm3 .
c
2πrh = 2π ⋅ 6, 0 ⋅ 12 = 452
Arealet av sylinderflaten er 452 cm 2 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 14 av 27
Oppgave 846
a
Radien i kruset er 3,0 cm.
V = πr 2 h = π ⋅ 3, 02 ⋅ 10 = 283 ≈ 280
Volumet av kruset er ca. 280 cm3 .
b 280 cm3 (280
=
=
:1000) dm3 0, 28 dm3
0, 28 dm3 = 0, 28 L
0, 28 L =0, 28 ⋅ 10 dL =2,8 dL
280 cm3 = 2,8 dL
Kruset rommer 2,8 dL.
Oppgave 847
a
b
d 1, 2 m
=
= 0, 60 m
2
2
Radien i søylen er 0,60 m.
Bredden av sylinderflaten er 2πr = 2π ⋅ 0, 60 m = 3,8 m .
Lengden av reklameplakaten er mindre enn bredden av sylinderflaten, og høyden av plakaten
er mindre enn høyden av søylen. Det er derfor plass til reklameplakaten på søylen.
r=
Oppgave 848
a
b
d 50 cm
=
= 25 cm
2
2
V = πr 2 h = π ⋅ 252 ⋅ 10 = 19 635
19
=
635 cm3 (19 635 :1000)
=
dm3 19, 635 dm3 ≈ 19, 6 dm3
Volumet av lokket er 19, 6 dm3 .
r=
m = ρ ⋅ V = 2, 0 ⋅ 19, 635 = 39
Massen av lokket er 39 kg.
Oppgave 8042
a
b
d 5m
=
= 2,5 m= 25 dm . Dybden er 120 cm = 12 dm .
2
2
V = πr 2 h = π ⋅ 252 ⋅ 12 = 23 562 ≈ 23 600
23 600 dm3 = 23 600 L
Bassenget rommer ca. 23 600 L.
Radien i bassenget er r=
23 562
= 295
80
295
=
timer 4,9 timer
60
Det tar 4,9 timer å fylle bassenget.
295=
minutter
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 15 av 27
Oppgave 8043
Volumet av sylinderen er 50 dm3 =
50 ⋅1000 cm3 =
50 000 cm3 .
V = πr 2 h
50 000 = π ⋅ 202 ⋅ h
50 000 π ⋅ 202 ⋅ h
=
π ⋅ 202
π ⋅ 202
40 = h
Høyden i sylinderen er 40 cm.
Oppgave 8044
Metallplata kan formes til en sylinder med høyde 15 cm eller høyde 30 cm.
30 cm
= 4, 77 cm og volumet π ⋅ 4, 77 2 ⋅ 15 cm3 =1072 cm3 .
I det første tilfellet er radien
2π
15 cm
= 2,39 cm og volumet π ⋅ 2,392 ⋅ 30 cm3 = 538 cm3 .
I det andre tilfellet er radien
2π
Det er altså sylinderen med høyde 15 cm som vil få det største volumet.
Oppgave 8045
Tenk at sylinderen har radius r m. Høyden av sylinderen er 2,0 m.
Arealet av sylinderflaten er gitt ved 2πrh . Dette arealet skal være lik 10 m 2 .
Det gir likningen 2πr ⋅ 2, 0 =10 .
2πr ⋅ 2, 0 =10
2πr ⋅ 2, 0
10
=
2π ⋅ 2, 0 2π ⋅ 2, 0
r = 0,80
Radien i sylinderen er 0,80 m. Diameteren av søylen er dermed 2 ⋅ 0,80 m =
1, 6 m .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 16 av 27
Oppgave 8046
Vannet vi fyller på danner en sylinder med høyde 20 cm = 2, 0 dm og volum 400 L = 400 dm3 .
V = πr 2 h
400 = π ⋅ r 2 ⋅ 2, 0
400
π ⋅ r 2 ⋅ 2, 0
=
π ⋅ 2, 0
π ⋅ 2, 0
63, 66 = r 2
63, 66 = r
8, 0 = r
1, 6 m .
Radien i sylinderen er 8, 0 dm = 0,80 m . Diameteren i tanken er dermed 2 ⋅ 0,80 m =
Oppgave 8047
Tenk at radien er r dm. Høyden er da h = 2r . Volumet av sylinderen er 339 L = 339 dm3 .
Det gir likningen πr 2 ⋅ 2r =
339 .
2
πr ⋅ 2r =
339
2πr 3 =
339
2πr 3 339
=
2π
2π
3
r = 53,95
r = 3 53,95
r = 3, 78
Radien i sylinderen er 3, 78 dm = 37,8 cm .
Oppgave 8048
a
Høyden i sylinderen er lik radien. Altså er h = r .
Volumet av sylinderen er dermed V =πr 2 h =πr 2 ⋅ r =πr 3 .
b
O = 2πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πr ⋅ r = 2πr 2 + 2πr 2 = 4πr 2
c
Volumet er 0, 20 cm3 . Det gir likningen πr 3 =
0, 20 .
πr 3 =
0, 20
πr 3 0, 20
=
π
π
3
r = 0, 06366
r = 3 0, 06366
r = 0,399
Radien er 0,399 cm = 3,99 mm . Diameteren er dermed 2 ⋅ 3,99 mm =
8, 0 mm .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 17 av 27
Oppgave 8049
Radien i tunellen er r=
d 10 m
=
= 5, 0 m .
2
2
1 2
πr .
2
"Høyden" i den halve sylinderen er 80 m. Volumet av tunellen er dermed
1 2
1
V = G ⋅ h=
πr h=
π ⋅ 5, 02 ⋅ 80= 3142 ≈ 3100
2
2
Volumet av tunellen er ca. 3100 m3 .
"Grunnflaten" i tunellen er en halvsirkel med areal G=
Oppgave 849
Vi regner først ut arealet av grunnflaten.
G = l ⋅ b = 0,80 ⋅ 0, 60 = 0, 48
Arealet av grunnflaten er 0, 48 m 2 .
G ⋅ h 0, 48 ⋅ 1,5
=
V =
= 0, 24
3
3
Volumet av pyramiden er 0, 24 m3 .
Oppgave 850
2
2
Arealet av grunnflaten er G= s=
2302 m=
52 900 m 2 .
G ⋅ h 52 900 ⋅ 147
=
V =
= 2 592 100 ≈ 2 590 000
3
3
Volumet av Keopspyramiden er ca. 2 590 000 m3 .
Oppgave 851
a
l ⋅ b 6, 0 ⋅ 9, 0
=
= 27
2
2
Arealet av grunnflaten er 27 cm 2 .
=
G
G ⋅ h 27 ⋅ 8, 0
=
= 72
3
3
Volumet av pyramiden er 72 cm3 .
V
b =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 18 av 27
Oppgave 852
a
Vi bruker pytagorassetningen.
a =202 + 6, 02 cm =436 cm =
20,9 cm ≈ 21 cm
Høyden i sideflaten er 21 cm.
b
2
2
G= s=
12=
144
2
144
=
cm 1, 44 dm 2 ≈ 1, 4 dm 2
Arealet av grunnflaten er 1, 4 dm 2 .
c
Arealet av fire sideflater: 4 ⋅
12 ⋅ 20,9
cm 2 =
501, 6 cm 2
2
144 cm 2 + 501, 6 cm 2 = 645, 6 cm 2 = 6, 456 dm 2 ≈ 6,5 dm 2
Overflaten av pyramiden er 6,5 dm 2 .
Oppgave 853
πr 2 h π ⋅ 5, 02 ⋅ 12
=
= 314
3
3
=
314 cm3 0,314 dm3 ≈ 0,31 dm3
Volumet av kjegla er 0,31 dm3 .
V
a =
b
O = πr 2 + πrs = π ⋅ 5, 02 + π ⋅ 5, 0 ⋅ 13 = 283
=
283 cm 2 2,83 dm 2 ≈ 2,8 dm 2
Overflaten av kjegla er 2,8 dm 2 .
Oppgave 854
d 7, 0 cm
=
= 3,5 cm
2
2
πr 2 h π ⋅ 3,52 ⋅ 13, 0
=
V
=
= 167 ≈ 170
3
3
170
=
cm3 0,17
=
dm3 0,17 L
r=
Kjeksen rommer ca. 170 cm3 is, som er det samme som 0,17 L.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 19 av 27
Oppgave 855
πr 2 h π ⋅ 8, 02 ⋅ 18, 0
=
= 1206 ≈ 1200
3
3
=
1200 cm3 (1200
=
:1000) dm3 1, 2 dm3
V
a =
Volumet av kjegla er ca. 1200 cm3 , som er det samme som 1, 2 dm3 .
b
Vi bruker pytagorassetningen.
s = 18, 02 + 8, 02 cm = 388 cm =19, 7 cm
Lengden av sidekanten er 19,7 cm.
c
O = πr 2 + πrs = π ⋅ 8, 02 + π ⋅ 8, 0 ⋅19, 7 = 696
=
696 cm 2 6,96 dm 2 ≈ 7, 0 dm 2
Overflaten av kjegla er 7, 0 dm 2 .
Oppgave 856
4πr 3 4π ⋅ 1, 03
=
= 4, 2
3
3
Volumet av klinkekula er 4, 2 cm3 .
=
V
O = 4πr 2 = 4π ⋅ 1, 02 = 13
Overflaten av klinkekula er 13 cm 2 .
Oppgave 857
d 22 cm
=
= 11 cm .
2
2
4πr 3 4π ⋅ 113
=
V =
= 5575
3
3
3
=
5575 cm 5,575 dm3 ≈ 5, 6 dm3
Volumet av fotballen er 5, 6 dm3 .
Radien er r=
Oppgave 858
Radien i tanken er 1,2 m.
4πr 3 4π ⋅ 1, 23
=
V =
= 7, 2
3
3
7, 2 m3 =
7, 2 ⋅ 1000 dm3 =
7200 dm3 =
7200 L
Volumet av tanken er 7, 2 m3 . Tanken tar altså ca. 7200 L.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 20 av 27
Oppgave 859
πr 2 h π ⋅ 122 ⋅ 30
=
= 4524
3
3
=
4524 cm3 (4524 :1000)
=
dm3 4,524 dm3 ≈ 4,5 dm3
V
a =
Volumet av kjegla er 4,5 dm3 .
b
c
πr 2 h
. Volumet av sylinderen er gitt ved Vsylinder = πr 2 h .
3
Volumet av sylinderen er altså 3 ganger så stort som volumet av kjegla.
Vi må derfor helle vann fra kjegla til sylinderen 3 ganger for å fylle sylinderen.
Vi bruker pytagorassetningen.
Volumet av kjegla er gitt ved Vkjegle =
s = r 2 + h 2 = 122 + 302 cm =
Sidekanten i kjegla er 32 cm.
d
1044 cm = 32,3 cm ≈ 32 cm
O = πr 2 + πrs = π ⋅ 122 + π ⋅ 12 ⋅ 32,3 = 1670
1670
=
cm 2 (1670 :100)
=
dm 2 16, 7 dm 2 ≈ 17 dm 2
Overflaten av kjegla er 17 dm 2 .
Oppgave 860
πr 2 h π ⋅ 5, 02 ⋅ 8, 0
=
= 209
3
3
=
209 cm3 0, 209 dm3 ≈ 0, 21 dm3
Volumet av kjegla er 0, 21 dm3 .
V
a =
b
0, 21 dm3 = 0, 21 L
Kjegla rommer 0,21 L.
Oppgave 861
a
d 10 cm
=
= 5, 0 cm
2
2
4πr 3 4π ⋅ 5, 03
=
V =
= 524
3
3
=
524 cm3 0,524 dm3 ≈ 0,52 dm3
r=
Volumet av kula er 0,52 dm3 .
b
0,524 dm3
dm3 0,=
262 L 2, 62 dL ≈ 2, 6 dL
= 0, 262
=
2
Øsa rommer 2,6 dL.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 21 av 27
Oppgave 862
g ⋅ h 40 ⋅ 20
=
= 400
2
2
400 cm 2 = 4, 0 dm 2
Arealet av grunnflaten er 4, 0 dm 2 .
A
a =
G ⋅ h 400 ⋅ 30
=
= 4000
3
3
4000 cm3 = 4, 0 dm3
Volumet av pyramiden er 4, 0 dm3 .
V
b =
Oppgave 863
a
b
d 24 cm
=
= 12 cm
2
2
4πr 3 4π ⋅ 123
=
V =
= 7238
3
3
=
7238 cm3 7, 238 dm3 ≈ 7, 2 dm3
Volumet av basketballen er 7, 2 dm3 .
r=
Den minste sylinderformede esken som har plass til baskenballen,
må ha samme radius som basketballen. Høyden av sylinderen er lik
diameteren av basketballen. Volumet er dermed
V = πr 2 h = π ⋅ 122 ⋅ 24 = 10 857
10
=
857 cm3 10,857 dm3 ≈ 11 dm3
Det minste volumet esken kan ha er 11 dm3 .
Oppgave 864
a
Arealet av grunnflaten er G =
2, 0 ⋅ 6, 0 m 2 =
12 m 2 .
G ⋅ h 12 ⋅ 5, 0
=
V =
= 20
3
3
Volumet av pyramiden er 20 m3 .
b
Høyden i den ene sideflaten er oppgitt.
Vi bruker pytagorassetningen for å regne ut høyden i den andre sideflaten.
a = 5, 02 + 1, 02 m = 26 m =5,1 m
2, 0 ⋅ 6, 0 = 12,0
2, 0 ⋅ 5,8
+ Arealet av to sideflater: 2 ⋅
= 11,6
2
6, 0 ⋅ 5,1
+ Arealet av to sideflater: 2 ⋅
= 30,6
2
= Overflaten av pyramiden
54,2
Arealet av grunnflaten:
Overflaten av pyramiden er 54 m 2 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 22 av 27
Oppgave 865
a
b
d 4, 0 m
=
= 2, 0 m
2
2
πr 2 h π ⋅ 2, 02 ⋅ 2, 0
=
V =
= 8, 4
3
3
Volumet av grushaugen er 8, 4 m3 .
r=
Gruslaget skal ha form som et rett prisme med lengde 120 m, bredde 3,0 m og høyde
3, 0 cm = 0, 030 m . Volumet av gruslaget blir da
V = l ⋅ b ⋅ h = 120 ⋅ 3, 0 ⋅ 0, 030 = 10,8
Familien Olsen trenger 10,8 m3 grus for å gruse veien. De har altså kjøpt inn for lite grus.
Oppgave 8059
Volumet av kula skal være 100 L = 100 dm3 .
4πr 3
V=
3
4πr 3
100 =
3
100 ⋅ 3 4πr 3 ⋅ 3
=
4π
3 ⋅ 4π
23,87 = r 3
3
23,87 = r
2,9 = r
Radien i vanntanken må minst være 2,9 dm = 29 cm .
Oppgave 8060
Radien i halvkula er 3,5 cm.
1 4πr 3 2πr 3 2π ⋅ 3,53
V =⋅
= =
=
90
2 3
3
3
Volumet av kokosbollen er 90 cm3 .
Overflaten av kokosbollen består av en sirkel og en halvkule med radius 3,5 cm.
1
O=
πr 2 + ⋅ 4πr 2 =
πr 2 + 2πr 2 =π
3 r 2 =π
3 ⋅ 3,52 =
115
2
115
cm 2 1,15 dm 2 ≈ 1, 2 dm 2
=
Overflaten av kokosbollen er 1, 2 dm 2 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 23 av 27
Oppgave 8061
a
2
2
202 cm=
400 cm 2 .
Arealet av grunnflaten er G= s=
G ⋅ h 400 ⋅ 30
=
V =
= 4000
3
3
4000 cm3 = 4, 0 dm3
Volumet av pyramiden er 4, 0 dm3 .
b
c
Vi bruker pytagorassetningen.
x =302 + 102 cm =1000 cm =
31, 6 cm ≈ 32 cm
Høyden av sideflatene er 32 cm.
Målestokken 1 : 5 betyr at 1 cm på tegningen tilsvarer 5 cm i virkeligheten.
Pyramiden er altså forminsket på tegningen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 24 av 27
d
202 = 400
20 ⋅ 31, 6
+ Arealet av fire sideflater: 4 ⋅
= 1264
2
= Overflaten av pyramiden
1664
Arealet av grunnflaten:
1664
=
cm 2 16, 64 dm 2 ≈ 17 dm 2
Overflaten av pyramiden er 17 dm 2 .
Oppgave 8062
a
Buelengden i sideflaten er 30 cm. Dette er lik omkretsen
av den sirkelformede grunnflaten. Altså er 2πr =30 cm .
Radien i kjeglen er dermed
30 cm
=
r = 4, 77 cm
2π
Lengden av sidekanten er 20 cm. Vi finner dermed høyden
i kjeglen fra pytagorassetningen.
h = s 2 − r 2 = 202 − 4, 77 2 cm =
Høyden i korga er 19 cm.
377, 25 cm = 19, 42 cm ≈ 19 cm
πr 2 h π ⋅ 4, 77 2 ⋅19, 42
=
= 463
3
3
=
463 cm3 0, 463 dm3 ≈ 0, 46 dm3
V
b =
Volumet av korga er 0, 46 dm3 .
Oppgave 8063
a
30 cm .
Beholderen har radius 3,0 cm og "høyde" 5 ⋅ 6, 0 cm =
V = πr 2 h = π ⋅ 3, 02 ⋅ 30 = 848
=
848 cm3 0,848 dm3 ≈ 0,85 dm3
Volumet av beholderen er 0,85 dm3 .
b
4πr 3 4π ⋅ 3, 03
=
=
cm3 113 cm3
3
3
3
Volumet av fem tennisballer: 5 ⋅ 113 cm =
565 cm3
283 cm3
Volumet av tomrommet: 848 cm3 − 565 cm3 =
283
= 0,33
= 33 %
848
33 % av beholderens volum er tomrom.
=
V
Volumet av én tennisball:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 25 av 27
Oppgave 8064
Vi regner ut volumet delt på prisen for de to kulene. Dette forteller oss nemlig hvor mye marsipan
vi får for hver krone vi betaler.
Store kuler:
d 2, 0 cm
r= =
= 1, 0 cm
2
2
4πr 3 4π ⋅ 1, 03
=
V =
= 4, 2
3
3
4, 2 cm3
= 2,1 cm3 /kr
Volum per krone:
2 kr
Små kuler:
d 1,5 cm
= 0, 75 cm
r= =
2
2
4πr 3 4π ⋅ 0, 753
=
V =
= 1,8
3
3
1,8 cm3
= 1,8 cm3 /kr
Volum per krone:
1 kr
Vi får mest marsipan for pengene ved å kjøpe store kuler.
Oppgave 8065
Vi bruker pytagorassetningen for å regne ut høyden i sideflatene.
a=
3, 02 + 42 m =
25 m = 5 m
b=
3, 02 + 62 m =
45 m = 6, 71 m
12 ⋅ 5
= 60,0
2
8 ⋅ 6, 71
+ Arealet av to sideflater: 2 ⋅
= 53,7
2
= Overflaten av taket
113,7
Arealet av to sideflater:
2⋅
Overflaten av taket er ca. 110 m 2 .
Oppgave 866
Glasset er satt sammen av en sylinder og en kjegle, begge med radius 35 mm.
Volumet av sylinderen: πr 2 h = π ⋅ 352 ⋅ 50 = 192 423
πr 2 h π ⋅ 352 ⋅ 20
=
+ Volumet av kjegla:
= 25 656
3
3
= Volumet av glasset:
218 079
218 079 mm3 =
(218 079 :1 000 000) dm3 ≈ 0, 22 dm3 =
0, 22 L =
2, 2 dL
Glasset rommer 2,2 dL.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 26 av 27
Oppgave 867
a
b
15 cm
= 7,5 cm .
2
9, 0 cm .
Den indre diameteren er 15 cm − 2 ⋅ 3, 0 cm =
9, 0 cm
= 4,5 cm .
Den indre radien er dermed
2
"Høyden" av det sylinderformede røret er 1, 2 m = 120 cm .
Den ytre radien er
πr 2 h = π ⋅ 7,52 ⋅120 = 21 206
2
2
− Volumet av det indre tomrommet: πr h = π ⋅ 4,5 ⋅120 = 7 634
= Volumet av betongen:
13 572
Volumet av det ytre røret:
13
=
572 cm3 13,572 dm3 ≈ 14 dm3
Volumet av betongen er 14 dm3 .
Oppgave 868
a
b
d 1, 4 m
=
= 0, 70 m= 70 cm
2
2
Radien i sylinderen er 70 cm.
Vi bruker pytagorassetningen.
2
h 2 + 0, 702
1, 2=
r=
= h 2 + 0, 49
1, 44
h2
1, 44 − 0, 49 =
0,95 = h 2
0,95 = h
0,9747 = h
=
h 0,9747
=
m 97, 47 cm ≈ 97 cm
Høyden av kjegla er 97 cm.
c
πr 2 h = π ⋅ 0, 702 ⋅ 2, 2 = 3,39
Volumet av sylinderen:
+ Volumet av kjegla:
= Volumet av tanken:
πr 2 h π ⋅ 0, 702 ⋅ 0,9747
=
= 0,50
3
3
3,89
Volumet av tanken er 3,9 m3 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 27 av 27