1. No category

1
ARBEIDSHEFTE
I
MATEMATIKK
Temahefte nr. 1
Hvordan du regner med hele tall
Detaljerte forklaringer
Av Prof. Tallmøl
mattegrisenforlag.com
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
2
Opplysning: De naturlige tallene (telletallene) er gitt nedenfor.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
Ved addisjon av naturlige tall spiller rekkefølgen ingen rolle.
Formel:
a + b = b + a (kommutativ lov)
Eksempel:
4+9=9+4
Oppgave: Skriv inn riktig tall i boksen under.
2+5=5+
Fasit: 2
Opplysning: Addisjon kan betraktes som en fortsatt opptelling.
Eksempel: 4 + 3 tilsvarer opptellingen
4+1=5
5+1=6
6+1=7
Altså 4 + 3 = 7
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
3
Oppgave: Skriv inn riktig tall i boksene under.
7+
=8
+8=9
9 + 1 =
Fasit: 1, 1, 10
Opplysning: En addisjons oppgave består av addender og sum.
Formel:
Eksempel:
addend + addend = sum
9 + 3 + 8 (tre addender) = 20 (sum)
Oppgave: Hvor mange addender har vi i eksempelet under. Hva er summen? Skriv inn riktig
tall i boksene under.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = sum
Skriv inn antall addender
Skriv inn summen
Fasit: 5 addender, summen er 15
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
4
Opplysning: Hvis vi skal summere flere enn to addender så spiller det heller ingen rolle i
hvilken rekkefølge man adderer tallene. Eventuelle parenteser kan utelates. Man kan også
sette parentesene som man vil.
Formel:
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b +c (assosiativ lov)
Eksempel:
3 + 7 + 9 kan skrives som (3 + 7) + 9 = 19 eller 3 + (7 + 9) = 19
Oppgave: Skriv riktig tall inn i de tomme boksene under.
4 + 12 + 5 = (
+
)+5=4+(
+
)=
Fasit: 4, 12, 12, 5, 21
Opplysning: Subtraksjon kan betraktes som en fortsatt nedtelling.
Eksempel: 7 – 3 tilsvarer nedtellingen
7–1=6
6–1=5
5–1=4
Altså 7 – 3 = 4
Oppgave: Skriv riktig tall inn i de tomme boksene under.
-1=2
2–1=
1-
=0
Fasit: 3, 1, 1
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
5
Opplysning: De hele tallene består av de negative hele tallene, null og de naturlige
tallene.
Z = { … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 … }
Forandrer man fortegnet til et helt tall, så får man det tilsvarende mottallet.
Kotelett: Bokstaven Z står for Zahlen, som er det tyske ordet for tall.
Formel:
Tallet a blir ved fortegns skifte mottallet (- a)
Tallet (- a) blir ved fortegns skifte mottallet a
Eksempel:
5 og –5 er mottall
- 2 og 2 er mottall
Opplysning: Piler (vektorer) kan stå for tall. Vektorer som er like lange, men med motsatt
retning kan stå for motsatte tall.
Eksempel: Tallene – 2 og + 2 kan fremstilles ved hjelp av vektorene nedenfor. Legg merke til
at vektorene er like lange (begge lik to enheter), men som peker i motsatt retning.
Negativ retning
-2
-1
0
Vektoren - 2
1
2
Positiv retning
Vektoren + 2
To vektorer
som peker
motsatt
retning
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
6
Grøtsleiv: Vektorer kan flyttes på, så lenge de ikke forandrer retning eller snus. De to
vektorene ovenfor og de to under betyr fortsatt det samme. De er kun parallellforskjøvet, ikke
snudd eller endret retning på.
To
vektorer
som peker
motsatt
retning
Vektoren + 2
Vektoren - 2
Sviske: Vi kan tenke oss at du først går 2 skritt mot høyre (representert av vektoren + 2), så
snur du og går to skritt mot venstre (representert av vektoren - 2). Da har du kommet tilbake
til utgangspunktet som vi kaller null (vi sier også at summen av vektorene er lik null).
Banal sviske: Du kan selvfølgelig også starte med å gå to skritt mot venstre og så to skritt
tilbake igjen til null (utgangangspunktet).
Rosin: Mot venstre kalles negativ retning. Mot høyre kalles positiv retning.
Oppgave: Hvilke to tall er mottall i eksempelet under?
-7 + 5 + 7 = 5
Skriv inn mottallene
Fasit: Mottallene er –7 og 7.
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
7
Opplysning: Summen av to mottall er lik null.
Formel:
(-a) + a = 0 eller vi har at a + (-a) = 0
Eksempel:
- 99 + 99 = 0
Oppgave: Finn mottallene i eksempelet under. Finn også summen ved å nulle ut mottallene
uten å bruke kalkulator. Skriv summen inn i boksen nederst.
- 548 + 2 + 6 + 4 + 548 + 1 – 2 = sum
Skriv inn mottallene
Skriv inn summen
Fasit: Mottallene er (-548 og 548) og (2 og -2). Summen er 11.
Opplysning: Mange feil som blir gjort ved regning med hele tall har med fortegnene å
gjøre. For å unngå det kan man sette tallet ( for eks. - 5 eller 5 er tall) i parentes der det er
hensiktsmessig. Dette gjelder spesielt de negative tallene som er lumske.
Eksempel: (- 5) + (- 3) eller (-7) + (+ 6) eller (+ 1) + (+ 2) eller (- a) + (- b) eller (+ a) + (- b)
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
8
Oppgave: Hvilket tall bør helst stå i parentes?
+ -9 =-9

Skriv inn riktig tall i parentesen

 9
Fasit: Tallet -9 (til venstre for likhetstegnet) noe som gir (-9) der. Dvs. vi får da + (-9) = -9
Opplysning: Tallverdien til et tall er den positive delen av tallet (du fjerner
minusfortegnet). Tallverdien til et positivt tall er selvfølgelig tallet selv.
Tallverdien til tallet (- a) =  a  a
Formel:
Eksempel:
 35  35


 16

( forutsatt at a er positiv )
 16
Oppgave: Sett inn riktig tall i boksene under.

= 14
78 
 98 
Fasit: 14 (eller – 14), 78, 98
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
9
Opplysning: Hvis begge tallene er positive kan de legges de sammen på vanlig måte:
Eksempel:
(+ 9) + (+ 8) = 17
Vektoren + 9
Vektoren + 8
Summen av vektorene er vektoren + 17
Grynt: Summen av lengdene til de to pilene (vektorene) er + 17. Positive tall kan tenkes som
piler mot høyre.
Oppgave: Skriv summen i boksen under.
(+ 49) + (+ 51) =
Fasit: 100
Opplysning: Hvis begge tallene/vektorene er negative, legger man tallene/vektorene
sammen ved å legge de etter hverandre mot venstre.
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
10
Eksempel:
(- 7) + (- 5) = - (7 + 5) = - 12
-5
-7
-12
Grønnsak: Summen av lengdene til de to pilene (vektorene) er -12. Negative tall kan tenkes
som piler mot venstre.
Pust og pes: Du tenker deg at du går 7 skritt mot venstre (representert ved vektoren – 7), og så
går du ytterligere 5 skritt mot venstre (representert ved vektoren – 5). Da er du 12 skritt til
venstre fra utgangspunktet (representert ved vektoren – 12).
Oppgave: Skriv summen i boksen under (prøv å finne summen uten kalkulator).
(- 21) + (- 9) =
Fasit: -30
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
11
Opplysning: Hvis tallene har ulike fortegn, så vil summen bli negativ hvis det negative
tallet (vektoren mot venstre) har størst tallverdi (lengde).
Eksempel:
(8)  5   3
summen av vektorene -8 og +5 er lik -3
-8
+5
-3
Summen
er vektoren
-3
Kongle: Du tenker deg at du går 8 skritt mot venstre (representert ved vektoren – 8), og så
snur du og går 5 skritt mot høyre (representert ved vektoren + 5). Da vil du fortsatt være tre
skritt til venstre (representert ved vektoren – 3) fra utgangspunktet (ofte kalt for null).
Frosk: En sum kan fremkomme både ved å legge sammen negative og positive tall.
Oppgave: Skriv summen i boksen under (prøv å finne summen uten kalkulator).
Bevertips: Tegn en vektor (pil) med lengde -18 mot venstre og fra pilspissen starter du en ny
vektor mot høyre med lengde 11 (pilspissen skal peke mot høyre). Differensen blir en vektor
mot venstre (svaret).
(- 18) + (+ 11) =
Fasit: - 7
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
12
Opplysning: En parentes med pluss foran kan fjernes uten å måtte forandre fortegn inni.
En parentes med minus foran kan fjernes hvis fortegnet inni forandres.
Formel:




a
a


 a
 a
Opplysning: En parentes med minus foran kan fjernes hvis fortegnet inni forandres.
Formel:






a
a
 a
 a
Banan: Her er plusstegnet brukt for å markere at to minuser gir pluss.
Plusstegnet er ikke alltid nødvendig. Vi har at + a = a eller for eks. at +7 = 7. Plusstegnet
brukes vanligvis som bindeledd mellom to tall (for eks. (– 9) + 1 = - 8).
Eksempel:




7
3


 7
 3


4

 4


2

 4
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
13
Oppgave: Skriv inn riktig fortegn i de 4 første boksene under. Skriv inn summen i den siste
boksen (prøv å finne summen uten kalkulator).
- (- 4) + (- 9) – (+ 5) + (+ 7) =
4
9
5
7=
Fasit: +, -, -, +, -3.
Opplysning: Multiplikasjon er en forkortet skrivemåte for like addender. Da skriver du
opp addenden kun en gang etterfulgt av et multiplikasjonstegn og tallet som angir antall
addender.
Formel:
a + a + a + a + a + …+ a (n addender) = a  n ,
Eksempel :
For n = 3 får vi a + a + a (3 addender) = a  3
2  2  2  2 (4 addender )  2  4  8
Oppgave: Skriv inn addenden i den første boksen, riktig antall addender inn i den andre og
summen i den siste(prøv å finne summen uten kalkulator).
33333 


Fasit: 3, 5, 15
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
14
Opplysning: En multiplikasjon består av to eller flere faktorer og et produkt.
Eksempel:

ganger
8
faktor
3
faktor

er lik
24
produkt
Oppgave: Skriv inn ordet faktor og produkt i riktig boks under.
Skriv også inn ordet addend og ordet sum i riktig boks.

9

4
2
6


18
10
Fasit: ni og to er faktorer. Atten er produktet. Fire og seks er addender. Ti er summen.
Opplysning: Faktorenes rekkefølge ved multiplikasjon er likegyldig. Og parenteser kan
brukes eller utelates hvis faktorene er positive. Negative tall bør settes i parentes.
Formel:
a b  ba
( faktorenes rekkeføl ge er likegyldig , kommutativ regel )
a  b  c  (a  b)  c  a  (b  c) (assosiativ regel )
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
15
Eksempel:
Faktorenes rekkefølge er likegyldig:
3  a  4  b  4  3  a  b  12ab
Assosiativ regel:
2  3  (4) 

2  3  (4)  2 

3  (4)

 24
Oppgave: Skriv inn riktig tall/bokstav i boksene under.
a  99  b  99  

Fasit: første boks a, andre boks b (eller omvendt).
Legger meg flat: Det er vanlig å ha bokstaver i alfabetisk rekkefølge.
Opplysning: Ved multiplikasjon gjelder at like fortegn gir pluss og ulike gir minus.
Formel:
( a )  (b)   ab
(a)  (b)   ab
( a )  (b)  (ab)
(a)  (b)  (ab)
Eksempel:
(2)  (3)  2  3  6
(4)  (5)  4  5  20
(7)  (4)  (7  4)  28
(3)  (2)  (3  2)  6
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
16
Opplysning: Ved multiplikasjon gjelder at odde antall (oddetall) negative fortegn gir
minus. Et partall med minuser gir pluss.
Eksempel:
3 minuser (oddetall) gir minus:
(2)  (2)  (2)  (2)  (2)  (2  2  2  2  2)  32
4 minuser (partall) gir pluss:
(2)  (2)  (2)  (2)  (2)  2  2  2  2  2  32
Oppgave: Hvor mange minuser er det i hvert produkt under? Skriv inn riktig fortegn i
boksene etter likhetstegnet..
Skriv inn antall
minuser
(3)  (4)  (2)  (3) 
72
Skriv inn antall
minuser
(2)  (2)  (3)  (2) 
24
Fasit: + 72, - 24.
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
17
Opplysning: Multiplikasjon (ganging) utføres før pluss og minus.
Eksempel:
Riktig: Vi ganger sammen (multipiserer) 2 og 3 først og får 6 i andre ledd.
300  2  3  3  300  6  3  300  3  303 ( RIKTIG!)
PURR!
Feil: Vi tar faktoren 3 og trekker leddet 3 i fra (minus).
300  2  3  3  300  2  (3  3)  300  2  0  300  0  300 ( FEIL!)
BRØL!
Feil: Til leddet 300 plusser vi faktoren 2.
300  2  3  3  (300  2)  3  3  302  3  3  906  3  903 ( FEIL!)
HYL!
Oppgave: Skriv inn riktig tall i boksene under.
70  10  6  1 



Fasit: 70, - 60, 1, 11
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
18
Opplysning: Parenteser regnes ut først. Begynn med de innerste.
Eksempel:
Innerste parentes er (5 – 3):
2  [(5  3)  4  7]  2  [2  4  7]  2  (8  7)  2  15  30
Oppgave: Skriv inn riktig tall i boksene under.
2  [(3  4)  (2)  3]  2  [
 3] 
Fasit: 2, 10
Opplysning: Ved divisjon gjelder at like fortegn gir pluss og ulike gir minus.
Formel:
(  a ) : ( b )   ( a : b )
(a ) : (b)  (a : b)
( a ) : (b)  (a : b)
(  a ) : ( b)  ( a : b)
Lyspære: Deletegn kan erstattes av brøkstrek. Dvs. : erstattes med / eller
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.
19
Eksempel:
(+ 9) : (+ 3) = + (9 : 3) = + 3
=3
(+ 24) : (- 4) = - (24 : 4) = - 6
(- 15) : (+ 5) = - (15 : 5) = -3
(- 21) : (- 7) = + (21 : 7) = +3
=3
Oppgave: Skriv inn riktig tall i boksene under.
[(- 4) : (- 2)] : [(+ 6) : ( - 3)] =
:
=
Fasit: 2, - 2, - 1
KOPIERING IKKE UTEN TILLATELSE. COPYRIGHT © MATTEGRISENFORLAG.COM.