1. No category

Jan Otto Jahnsen
Lennart Skoogh
Rolf Venheim
Kåre Byremo
Bengt Nilsson
Harald Båsland
Håkan Johansson
REGNEREISEN
Lærerveiledning 6+
Aschehoug
Læremidlet er en del av læreverket Regnereisen 1-7. Verket dekker målene
og hovedmomentene i læreplanen for matematikk 1.-7. klasse av 1997.
Ó H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2001
1. utgave / 1. opplag 2001
Det må ikke kopieres fra denne bok i strid med åndsverkloven eller i strid med
avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til
åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og
inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.
Forfattere av elevboka:
Rolf Venheim - Høgskolen i Agder
Jan Otto Jahnsen - Krossen skole i Kristiansand
Kåre Byremo - Krossen skole i Kristiansand
Harald Båsland - Krossen skole i Kristiansand
Konsulenter og andre bidragsytere i oppstartsfasen:
Jarl Formo - Sørlandet kompetansesenter
Olav Lunde - Sørlandet kompetansesenter
Kjartan Müller - Universitetets Senter for Informasjonsteknologi
Konsulenter underveis i arbeidet med manus:
Bjørn Møst - Rosenholm skole i Oslo
Inger Næsheim - Rosenholm skole i Oslo
Elever ved Krossen skole i Kristiansand
Elever ved Rosenholm skole i Oslo
Elektronisk utvikling: never.no
Læremidlet er utviklet med støtte fra Læringssenteret.
Redaktør: Tor Kjærstad, [email protected]
ISBN 82-03-30814-7
Regnereisen 5-7 er en bearbeiding av Lennart Skoogh, Bengt Nilsson,
Håkan Johansson: Räkneresan
Ó Lennart Skoogh, Bengt Nilsson, Håkan Johansson og
Almquist & Wiksell Läromedel AB, Stockholm
INNHOLD
FORORD 4
ELEKTRONISK MATEMATIKKBOK 5
Kapittel 1
SEKSER'N 7
Kapittel 2
MANGE GANGER 10
Kapittel 3
MÅLE OG HOLDE MÅL 15
Kapittel 4
NÅ SKAL VI DELE 18
Kapittel 5
REGN MED PENGER 21
Kapittel 6
FORMER OG FIGURER 24
Kapittel 7
TENK PÅ TALL 28
Kapittel 8
DESIMALER 31
Kapittel 9
BRUK BRØK 35
Kapittel 10
FORMER OG MØNSTER 37
Kapittel 11
DET MESTE KAN DELES 41
Kapittel 12
VI RUNDER AV 45
FORORD
Regnereisen 6+
· er et læremiddel for elever som trenger et tilpasset opplegg i matematikk
· har de samme emnene som ordinære Regnereisen 6, med enklere tekst og fokus
på grunnleggende oppgaver
· kan brukes som et selvstendig læremiddel
· kan også brukes som supplement til ordinære Regnereisen eller andre verk.
Regnereisen 6+ finnes
· som bok
· i elektronisk utgave, på både cd og internett.
På cd og internett møter elevene en rekke hjelpefunksjoner:
· opplesing av all tekst
· forstørring av tekst
· tips til å løse oppgaver
· integrerte regneark
· ordbok der matematiske ordforklaringene er samlet alfabetisk
· utskrift av oppgaver, med eller uten elevens besvarelse
Regnereisen 6+ inneholder ikke mye ferdighetstrening. Ved behov kan eleven
arbeide videre med slike oppgaver. De fins for eksempel i ordinære
Regnereisen Oppgavebok 6A og 6B.
Regnereisen Lærerperm 6 inneholder mye didaktisk veiledningsstoff som også er
relevant for 6+. Her er også et stort tilfang av kopioriginaler med oppgaver, spill og
andre aktiviteter.
FORORD - side 4
ELEKTRONISK MATEMATIKKBOK
Den elektroniske boka tar utgangspunkt i boka slik den foreligger på papir.
Presentasjonen av oppgavene er tilpasset det elektroniske mediet.
Elevene kan du få
· hjelp til å forstå oppgavene
· tips til hvordan de kan tenke
· hjelp til å løse noen av oppgavene
Her er en oversikt over hva elevene kan gjøre:
ELEKTRONISK MATEMATIKKBOK – side 5
Litt om enkelte funksjoner i den elektroniske boka:
Gå til innholdsfortegnelse og
informasjon om Regnereisen 6+.
Gå til forrige oppgave.
Gå til neste oppgave.
Velg større eller mindre skrift.
Elevene har to muligheter:
1 Skriv inn svarene på skjermen. Skriv så ut oppgaver med svar.
2 Skriv ut oppgavene. Skriv så inn svarene med penn eller blyant.
Alle matematiske ord og uttrykk i boka er samlet alfabetisk.
Klikk på et ord, så gis en forklaring.
Gå til bestemt oppgave i dette kapitlet.
Klikk på ordet for å se hva det betyr.
Noen ganger gir slangen informasjon eller hjelp.
Andre ganger kan den gi nyttige tips til hvordan elevene kan tenke.
På enkelte oppgaver kan elevene benytte et regneark for å løse
oppgaven.
I selve veiledningsdelen i denne lærerveiledningen er det en del steder henvist til
funksjoner og aktiviteter eleven kan utføre i den elektroniske boka. Dette er markert
med grå bakgrunn, som her.
ELEKTRONISK MATEMATIKKBOK – side 6
KAPITTEL 1
SEKSER'N
L97
MATEMATIKK I DAGLIGLIVET
Gjøre beregninger fra dagliglivet
Arbeide med størrelser og enheter
TALL
Arbeide mer med hoderegning og andre regnemetoder
Regne videre med lommeregner
Innhold og hensikt
·
·
·
·
Flersifrede tall, plassverdi (posisjonssystemet)
Addisjon
Subtraksjon
Avrunding
I Regnereisen 6+ følger vi skuta Sekser'n på jordomseiling. I starten av kapittel
1 illustreres avreisen og første etappe på seilasen. Ellers i kapitlet møter vi
mannskapet i forskjellige aktiviteter rundt forberedelsene til turen.
I dette kapitlet skal vi repetere posisjonssystemet: Sifrene får sin verdi i
flersifrede tall etter hvor de er plassert i forhold de andre sifrene i tallet.
Posisjonssystemet kalles derfor også plassverdisystemet. Elevene skal få
mange konkrete erfaringer på forskjellen mellom tall som 30, 300, 3 000 og så
videre. Ved skriving av tall med mer enn tre siffer grupperes sifrene: Vi lager
et lite mellomrom mellom tre og tre siffer. Det gjør tallene bedre leselige.
Vi ser litt på hva det koster å sette i stand og utruste Sekser'n. I denne
sammenhengen blir det mange realistiske addisjoner og subtraksjoner av
flersifrede tall. Elevene kan bruke sine tabellkunnskaper og regne i hodet. De
kan regne på papiret og ikke minst med lommeregner. I forbindelse med dette
er overslag aktuelt.
KAPITTEL 1 – side 7
Elevene får også arbeide med avrunding av tall. De øver spesielt på avrunding
av ørebeløp til nærmeste femtiøre.
For denne elevgruppen er det mye viktigere at de får gode, realistiske
talloppfatninger og at de knytter skolematematikken sammen med
hverdagserfaringer, enn at de trener mye på oppstilling og utregning. La
lommeregneren være tilgjengelig hele tiden, og la elevene i størst mulig grad
selv vurdere om de vil bruke den. Men oppmuntre dem likevel stadig til å
vurdere tallene og svarene, og ofte prøve seg på hoderegning. Videre kan det
mange ganger være riktig å la dem få regne med avrundede tall, kanskje også
når oppgavene i boka ikke direkte legger opp til det.
Vi lar også elevene arbeide noe med tall med to desimaler, knyttet til penger.
Hensikten med arbeidet i dette kapitlet er først og fremst å få kjennskap til og realistiske oppfatninger av - tall av forskjellige størrelser. I denne
sammenhengen gjelder det også å repetere og befeste forståelsen av flersifrede
tall. Elevene skal arbeide med addisjon og subtraksjon både som hoderegning
ved små og enkle tall, og ellers bruke oppstilt regning og lommeregner.
Noen forslag og vink
Sidene 6-7 Sekser'n
I innledningen bør vi knytte forbindelse med geografidelen i samfunnsfaget.
E-bok: Her er verdenskartet med hele reiseruta og navn på stoppesteder.
Sidene 8-10 Reparasjon
Tallet 50 000 står sentralt på side 8. Vi oppfordrer til aktiviteter som gir realistiske
oppfatninger av dette tallet - og til aktiviteter som utfordrer elevene til å vurdere
priser og verdier: gjette og sjekke.
På side 9 fins hele fem- og ti-tusentall. Det er også her et mål at elevene skal få
opplevelser av hvor store tall dette er. Samtidig vil vi at de skal oppdage at dette
regneteknisk er det samme som å regne med hele femmere og tiere. Legger elevene
merke til det?
På side 10 kan vi blant annet snakke med elevene om disse antallene arbeidstimer
i forhold til hele arbeidsuker i full jobb (cirka 40 timer per uke), og om hvor lang tid
det ville ta å utføre 400 arbeidstimer avhengig av hvor mange timer en har til
rådighet daglig. Samtidig penser oppgave 8 inn på lønninger og kostnader i
arbeidslivet. Spesielt: Det som det koster å ha en mekaniker i arbeid, er ikke det
samme som det mekanikeren tjener. Vet elevene hvorfor?
KAPITTEL 1 – side 8
Side 11 Pengene i kapteinens safe
Her bør elevene ha (leke-)penger til disposisjon, slik at de kan se dette helt konkret.
Tallenes plassverdi står naturligvis i fokus her.
Sidene 12-13 På båtloftet
For å konkretisere kan det være en nyttig aktivitet for noen elever å tegne
gjenstandene i prislista (de finner dem i bildet på side 12), og sette prislapper på.
Snakk sammen om hvordan vi kan tenke i oppgave 19. Se slangens merknad.
Ellers er det for mange elever svært aktuell å prøve hoderegning på disse sidene.
Men prøv å få dem til å skrive hva de regner ut.
Side 14 På restaurant
Hele siden kan med fordel erstattes av at elevene får tak i en meny eller prisliste fra
et spisested og lager oppgaver til seg selv eller andre.
E-bok: Elevene kan benytte et ferdig regneark med menyen og prisene til å
eksperimentere og komponere egne måltider. Mulige oppgaver:
- Du har 200 kr. Hva kan du bestille?
- Dere er tre gjester som skal spise for under 700 kr. Hva kan dere bestille?
Side 15 Avrunding
Få elevene til å ta med seg noen kassalapper til skolen når de skal arbeide med
dette.
I oppgave 27 vil et overslag, hvor vi runder av prisene til nærmeste hele krone, i
mange tilfeller gi nøyaktig den summe vi må betale. Elevene kan sikkert forklare
hvorfor butikkene ofte har slike priser, nær opp mot for eksempel en hel tier.
E-bok: Her er et ferdig regneark som elevene kan eksperimentere med og lage egne
oppgaver ut fra prislista.
KAPITTEL 1 – side 9
KAPITTEL 2
MANGE GANGER
L97
MATEMATIKK I DAGLIGLIVET
Gjøre beregninger fra dagliglivet
Vinne erfaringer med myntenheter
TALL
Arbeide mer med hoderegning og andre regnemetoder, spesielt for
multiplikasjon
Gjøre erfaringer med multiplikasjon med desimaltall
Regne videre med lommeregner
Undersøke og utforske tallmønstre, f eks ved hjelp av lommeregner og
datamaskin, oppdage og beskrive egenskaper
Innhold og hensikt
· Multiplikasjon, spesielt
- med 10, 100 og med 1 000
- med andre store tall
- med desimaltall
· Overslag og avrunding
· Engelsk og spansk mynt
I dagliglivet er vi ofte avhengige av å kunne multiplisere raskt og sikkert med 10,
100 og 1 000 i hodet. Multiplikasjon med 10, 100, 1 000 og så videre bygger på at
tallsystemet vårt er et posisjonssystem med 10 som grunntall.
Posisjons- eller plassverdisystem betyr at hvert enkelt siffer i et flersifret tall får
verdi avhengig av plassen det inntar i forhold til de andre sifrene. Er det hele tall,
står enersifferet helt ytterst til høyre. Er det desimaltall, står enersifferet rett til
venstre for desimaltegnet. Og flytter vi oss en plass mot venstre, er i alle tilfeller
sifferet ti ganger så mye verd som om det hadde stått på foregående plass. To
plasser må da bety ti ganger ti, det vil si hundre, ganger så stor verdi. Og videre
på den samme måten.
KAPITTEL 2 – side 10
Det andre temaet i kapittel 2 er multiplikasjon av to- og tresifrede tall. For å
multiplisere flersifrede tall på papiret trengs sikre tabellkunnskaper. Elevene bør
få anledning til å repetere dette. Tabellkunnskapene utnyttes også direkte i
multiplikasjoner av typen 5 × 800, 60 × 30, 40 × 900 og liknende. Elever som ikke
makter å bli sikre i multiplikasjonstabellene, bør heller få bruke energien på å
finne ut om multiplikasjon i det hele tatt er aktuell regneart i den enkelte
situasjonen, og så kan de foreta selve utregningen med lommeregner.
Vi fortsetter arbeidet med overslag og hoderegning. Da er det aktuelt å se
nærmere på hvordan vi kan runde av tall på en gunstig måte.
I slutten av kapitlet er det en liten sekvens som dreier seg om fremmed mynt:
engelsk og spansk. I denne omgangen er hensikten mer å bli kjent med
myntenhetene, ikke å legge vekt på beregninger og omregninger mellom
myntenheter.
Det er hensikten at elevene etter å ha arbeidet med kapittel 2 skal
- kunne multiplisere med 10, 100 og 1 000
- kjenne til hvordan gangetabellen kan brukes ved hoderegning i høyere
tallområder i slike eksempler som 5 × 800, 60 × 30, 40 × 900
Videre er det bra om de fleste
- har fått litt forberedelse i å multiplisere desimaltall
Noen forslag og vink
Sidene 16–17 Mange ganger
Illustrasjonen og den lille teksten på side 16 antyder at det kan være på sin plass å
øve litt på gangetabellene. Dette får elevene også gjøre gjennom de første
oppgavene, men det kan gjerne øves noe muntlig i tillegg. Men ikke legg mye
prestisje i fullkommen utenatlæring - vurder den enkelte elevens muligheter. Til og
med 4-gangen viser seg å være vanskelig for enkelte.
For noen elever kan det være både morsomt og nyttig å lære spesielle teknikker for
å mestre multiplikasjonstabellene. Vi har selvsagt de mulighetene som ligger i
tallenes egenskaper: fordobling/halvering (ved 2-, 4- og 8-gangen, 3- og 6-gangen,
10- og 5-gangen), tanken om én mer (fra 2- til 3-gangen, fra 5- til 6-gangen) og én
mindre (fra 10- til 9-gangen). Videre kan det være aktuelt å lære mer spesielle
teknikker, for eksempel å utnytte fingrene ved 9-gangen. La oss se på 8 × 9:
Hold fram begge hendene med alle fingre utstrakt.
Tell fra venstre.
Bøy 8. finger.
Fingrene til venstre for den bøyde viser antall tiere i svaret, her 7.
Fingrene til høyre for den bøyde viser antall enere i svaret, her 2.
KAPITTEL 2 – side 11
I forbindelse med dette bør vi ta litt muntlig trening.
Oppgave 3 peker egentlig på divisjon som omvendt multiplikasjon. Oppgave 4 er
litt mer åpen. Her må elevene få anledning til å prøve og feile. I a kan løsninger
være 6 kniver og 2 gafler, i b er det flere muligheter, for eksempel 2 kniver, 1 skje,
1 gaffel og 1 teskje, eller 1 kniv, 4 skjeer og 1 gaffel.
E-bok: I oppgave 4 kan elevene eksperimentere med et regneark for å finne ut hva
de kan kjøpe for en gitt sum.
Side 18 Å multiplisere med 10
Det kan være fristende å la elevene pugge regler som at å multiplisere med ti er å
"legge til en null". Men det kan skape problemer i forbindelse med arbeid med
desimaltall. Det går ikke å legge til en null når vi skal regne ut 10 × 14,3.
Tilsvarende gjelder for å lære å "flytte komma" i slike oppgaver. Vi prøver heller
å få elevene til å arbeide seg fram til å se sammenhengene og formulere disse
huskereglene selv.
Det bør ikke være behov for å bruke lommeregner eller skriftlige oppstillinger
til å utføre slike multiplikasjoner. Men lommeregneren kan gi elevene en god
illustrasjon av hva som skjer: Sifrene flytter mot venstre og nuller skjøtes på når
det er hele tall, desimaltegnet flytter på seg når vi multipliserer desimaltall.
10-kronersmarked er for tiden svært mye brukt forskjellige steder i Norge, og de
fleste elevene vil ha et forhold til det.
Oppgave 8 spør etter "et godt tilbud". Elever har ulike oppfatninger av priser, og
"et godt tilbud" hjelper oss til å se hva slags begreper de har.
Side 19 Å multiplisere med 100
Dette er en naturlig oppfølging etter 10-kronersmarked. Det fins både lagerutsalg og
butikker med 100 kroners varer. Men når det gjelder plagg til 100 kroner i vanlige
klesbutikker kan utvalget være tynt. La elevene komme med forslag.
Side 20 Å multiplisere med 1 000
Tusen: Få elever har et aktivt forhold til tusenlapper. I spillene Monopol og
Millionær har tusenlappene en naturlig plass. Bruk tid på å snakke om spillet. Spill i
klassen, for eksempel etter ei tyngre arbeidsøkt.
Det er etter hvert ikke så sjelden at folk er millionærer, i den forstand at de har en
formue (i deres eiendom pluss "alt annet") på minst en million kroner. En million
kroner, det er tusen tusenlapper, tusen ganger tusen.
Ordet monopol betyr også noe annet enn å være navn på et spill. Vet elevene hva
det betyr?
Sidene 21–22 Multiplikasjon av andre store tall
Det sentrale her er å innse at multiplikasjon med et antall hele tiere eller hundrere
kan gjøres (ofte som hoderegning) ved å utnytte den vanlige gangetabellen.
KAPITTEL 2 – side 12
Side 23 Mer multiplikasjon
Vi prøver å få fram realistiske sammenhenger. La elevene komme med bidrag ut fra
sine kunnskaper og erfaringer. Mange elever har vært i utlandet og opplevd at
foreldrene kjøper norske aviser.
E-bok: I oppgave 23a kan elevene se alle pengene som betales de tre månedene en illustrasjon med tre seddelbunker à 4 500 kr.
Side 24 Vi multipliserer desimaltall
Vi anbefaler at elevene får bruke lommeregner til detaljutregningene. Men ved
samtale er det lurt å antyde for dem at de bør øve seg på å anslå omtrent hvor mye
det blir. På de neste sidene kommer vi inn på overslag i forbindelse med større tall.
Takstene for bruk av mobiltelefon endrer seg stadig, og prisene er i virkeligheten
svært varierende avhengig av type abonnement, om du ringer til en annen
mobiltelefon innenfor samme selskap eller til en annen operatør, om du ringer til en
fast telefon og tidspunkt du ringer. Kanskje elevene vet en hel del om dette, eller
kan finne ut. Det kan være en fin utfordring å utveksle erfaringer, lage oppstillinger
og oversikter, kanskje også å lage oppgaver til hverandre.
E-bok: Et regneark hjelper elevene med å sette opp en oversikt over hva det koster
å ha og bruke mobiltelefonen i en måned. Variablene nevnt i forrige avsnitt er tatt
med.
Sidene 25–26 Overslag
Snakk med elevene om de forholdsvis høye prisene på sambandsutstyr. Kanskje de
kan komme med forslag til hvorfor mannskapet på jordomseiling trenger utstyr av
god kvalitet?
Side 27 Engelske penger
Hensikten her er å bli kjent med engelsk mynt (og på neste side spansk), med tegnet
£ for pund, og danne seg et begrep om størrelsesordenen til verdien av et engelsk
pund. Men vi venter med å arbeide mer bevisst med omregning mellom fremmed og
norsk mynt.
E-bok: Noen elever vil kunne ha glede av å regne om til norsk mynt. Her er noen
lenker til internettadresser der de kan finne dagens kurs. Dessuten er det lenker til
såkalte valutakalkulatorer som vil omregne direkte inntastet beløp fra og til ønsket
valuta.
KAPITTEL 2 – side 13
Side 28 Sekser'n drar videre
Her kan det også være aktuelt å gå inn på verdenskartet og se hvor Sekser'n er i
forhold til hele reisen de har lagt ut på.
Kanskje noen har vært i Spania, for eksempel på Kanariøyene, og er kjent med
pesetas? Igjen er det tenkt mer på å bli kjent med at det fins forskjellige
myntenheter for hvert land, og at de har varierende verdi i forhold til hverandre.
Noen land har blitt enige om å lage en felles mynt som heter EURO. Vet elevene
noe om denne? Kan det være aktuelt å diskutere hvorfor det er vanskelig å få de
forskjellige landene til gå over til å bruke bare denne nye myntenheten?
Mange foretrekker å ha med en del penger i norske sedler på utenlandsturer. Men
de fleste går mer og mer over til å bruke plastkort, som vi på veldig mange steder
kan bruke til å få ut penger. Kjenner elevene forskjellen mellom rene kontokort,
kredittkort og de som er kombinasjoner av begge deler?
KAPITTEL 2 – side 14
KAPITTEL 3
MÅLE OG HOLDE
MÅL
L97
MATEMATIKK I DAGLIGLIVET
Gjøre beregninger fra dagliglivet
Arbeide med størrelser og enheter, mål og måling
GEOMETRI
Øve på å bruke standardenheter for lengde
Innhold og hensikt
· Mål og vekt, enheter:
- lengde, avstand
- volum
- vekt
- tid
- temperatur
· Priser
I dette kapitlet arbeider elevene med mål og enheter, som lengde, masse og
volum. Dette gir praktiske eksempler på og anvendelser av viktige egenskaper
ved tallsystemet vårt, egenskaper som har stått sentralt i kapitlene 1 og 2. Vi tar
videre med noe repetisjon av tid og tidsmåling. Tidsenhetene følger ikke
titallsystemet. Det gjør det vanskeligere med omregninger mellom enhetene
sekund, minutt og time, for ikke å si døgn og år. Slike omregninger bør neppe
fokuseres mye i denne sammenhengen. I tillegg opererer vi i dagliglivet også med
andre tidsperioder, som uke og måned.
Mange elever har overraskende få praktiske erfaringer med de vanlige enhetene,
for eksempel for mål og vekt. Vi bør derfor la elevene få oppgaver som skal gi
slike erfaringer: arbeide med mål og størrelser som vi bruker mye i dagliglivet.
Når de tar og kjenner på, eller kanskje kutter til, en pinne av passende lengde, får
de forståelse for hva en halv meter er. Elevene skal bli vant til å vurdere størrelser
og hva som er rimelige mål. Dette er også et bidrag til språktreningen: å lære ord
og uttrykk og å venne seg til å bruke dem riktig.
KAPITTEL 3 – side 15
Selv om vi lar historien finne sted i tilknytning til Sekser'n og dermed livet
ombord på og omkring ei skute, er det viktig å "komme hjem" til egen hverdag
med matematiske problemer og situasjoner.
Hensikten med dette kapitlet er altså å befeste kunnskapene om begrepene lengde,
masse, volum og tid, og å trene på bruken av enhetene. Vi ønsker spesielt at
elevene skal få erfaringer i hverdagslige oppgaver og situasjoner.
Noen forslag og vink
Side 29 Hvor høye er de i virkeligheten?
Bildet er tegnet i perspektiv. Max er i virkeligheten den største av de tre, men
hvis vi måler på bildet, er han minst. Altså: Det som er lenger borte, må tegnes
mindre selv om det egentlig er større. "Pappa, når du reiser med fly, blir du liten
da?" spurte en fireåring en gang sin far som reiste med fly av og til.
Ellers er hensikten med denne siden og oppgavene 1-3 å gi et praktisk
utgangspunkt og en bakgrunn for samtale om arbeidet i kapitlet. Har elevene
realistiske oppfatninger om hvor høye de voksne er? En episode fra virkeligheten:
Berit, 10 år, hadde en stor storebror. "Han er sikkert fire meter", mente Inger,
venninnen til Berit.
Aktuelle ekstra temaer og oppgaver: Hvor høyt er det høyeste mennesket i
verden? Vet du hvor lang (hvorfor ikke høy?) du var da du ble født? Har noen av
dere dyr hjemme, for eksempel hund? Hva mener vi med høyden til en hund?
Opp til skulderhøyde. Kanskje noen kjenner målene til forskjellige raser?
Sidene 30–32 Mål og måleredskaper
Snakk sammen om forskjellige måleredskaper og om når vi bruker dem. La elevene
få prøve redskapene. De kan få i lekse å finne ut hvilke måleredskaper som fins
hjemme hos seg. Oppgavene 1-8 kan gjerne gjennomføres muntlig, for eksempel i
par eller grupper. Oppgave 9 kan bli en spennende opplevelse.
E-bok: En illustrasjon av fire termometre som viser temperaturen fire forskjellige
steder i verden. Dessuten lenker til internettadresser der elevene kan studere vær og
temperatur forskjellige steder i verden.
Oppgavene på side 32 er helt praktiske, men kan likevel være ganske utfordrende
for mange. Begrepet proporsjonalitet er egentlig ganske dypt. Det aller beste ville
her være om elevene kunne gjennomføre dette i praksis: virkelig lage suppe (på
skolekjøkkenet, eller sammen med foreldrene som "felles" lekse?) til forskjellige
antall personer, slik at de både fikk prøve ut matematikken i dette, og så fikk de
samtidig oppleve nytten av noe mer krevende beregninger.
KAPITTEL 3 – side 16
Side 33 Las Palmas
Snakk sammen om kartet, om hva som er hva. Spesielt bør vi omtale dette med
avstander og målestokk ut fra skalaen nederst til høyre. Legg merke til enhetene og
avstanden mellom strekene. En spesiell ting: Sekser'n er ikke tegnet i samme
målestokk. Det røde omrisset av båten er bare laget for å vise tydelig hvor den
befinner seg. Alle avstandsmål ellers i dette kartet må oppfattes som svært
omtrentlige. Det vil også være tilfelle for svarene på oppgavene.
Side 34 Tid
Igjen er dette viktig: Elevene må få konkrete erfaringer. La dem virkelig gå en
kilometer, og ta tiden. Da får de en god opplevelse både av en kilometer og av hvor
lang tid det tar – og de får litt frisk luft. Forutsetningen er at vi har en kilometer
"klar". La dem få gjette: Hvor langt tror dere en kilometer i den og den retningen
er? OBS: De fleste bruker nok mer enn 10 minutter på én kilometer. Max går altså
fort.
Ellers bør også alle de andre oppgavene her knyttes til elevenes eget
hjemmemiljø, og til deres egne erfaringer.
Side 35 Penger og poteter
Kanskje elevene kan (få i lekse å) finne ut dagens pris på poteter i nærmeste butikk?
Og så kan de gjøre beregninger ut fra det?
Snakk også sammen om priser og innkjøp i praksis. Det er ikke alltid lurt å kjøpe
veldig mye av noe, selv om kiloprisen kanskje blir lavere da. Det har med
oppbevaring å gjøre. Billigere typer (poteter) har kanskje dårligere kvalitet? Og
prisene kan gå ned, for eksempel ut over våren.
Side 36 Lange hopp
Her er det hensikten å bli godt kjent med enhetene meter, desimeter og centimeter,
og forholdet mellom disse.
Til hoppekonkurransen kan elevene kanskje lage (søyle-)diagram som viser
resultatene. En mulighet er å utnytte regneark på datamaskinen. En annen
innfallsvinkel er å finne fram til resultater fra konkurranseidretten, kanskje studere
utviklingen av rekorder.
E-bok: Elevene kan se et søylediagram med resultatene.
Side 36 Mye vann
Desiliter og liter – det er akkurat samme forhold som mellom desimeter og meter. I
dag er også centiliter en mer brukt enhet enn før på forskjellige emballasjer.
Mange vet ikke hvor mye 1 000 liter er. Det er ei kasse som er akkurat én meter
hver vei. En fin erfaring er å skaffe seg (lage?) ei slik kasse. Se hvor mange elever
som får plass inne i den. For øvrig: 1 000 liter vann veier 1 000 kg, og det er det
samme som ett tonn. Det er så mye som vekta av en middels stor personbil.
KAPITTEL 3 – side 17
KAPITTEL 4
NÅ SKAL VI DELE
L97
TALL
Arbeide mer med hoderegning og med oppstilte regnemetoder, spesielt
divisjon
Regne videre med lommeregner
Undersøke tall og utforske tallmønstre, for eksempel ved hjelp av
lommeregner og datamaskin
Innhold og hensikt
· Tiere og hundrere
· Multiplikasjon og divisjon, spesielt med 10 og 100
· Divisjon med litt større tall
Divisjon henger nøye sammen med å dele, nemlig å dele likt. Mange elever strever
veldig med divisjon. I skolen har det vært tradisjon å legge stor vekt på å bygge opp
en systematisk trinn-for-trinn-divisjon av flersifrede tall, en divisjonsalgoritme. For
de elevkategoriene vi her sikter mot, skal vi redusere dette arbeidet til et minimum.
I stedet vil vi gi dem en reell sjanse til å få ordentlig tak i selve grunnlaget. På dette
stadiet gjør de som regel selve utregningene med lommeregner, hvis de ikke kan
gjennomføre dem som hoderegning.
Elevene skal få erfaringer med de to hovedtypene av delingssituasjoner, det som
fører til henholdsvis delings- og målingsdivisjon. Begge deler kan utføres som
gjentatt subtraksjon. Vi møter også divisjoner med rest: Det blir noe til overs.
Det er viktig at elevene opplever sammenhengen mellom multiplikasjon og
divisjon, at det i mange tilfeller er to sider av samme idé.
Vi legger vekt på divisjon med de dekadiske enhetene, spesielt 10 og 100, og
hvordan dette er en del av tallsystemet vårt som et posisjonssystemet. Vi kan kalle
det posisjonsdivisjon. Vi utnytter også i praksis dette ved divisjon med 20, 200 og
liknende. Vi gjør dette til dels helt konkret, blant annet ved hjelp av enheter for
lengdemål.
KAPITTEL 4 – side 18
Arbeidet i kapittel 4 har som hovedhensikt å gi elevene gode erfaringer med
begrepet divisjon. Det betyr å skape god forståelse for sammenhengen med
multiplikasjon som den motsatte operasjonen. Og elevene kan utnytte divisjon som
gjentatt subtraksjon. Dessuten er det hensikten at elevene skal beherske divisjoner
med 10 og 100.
Noen forslag og vink
Side 38 Nå skal vi dele
Siden er delt i to. Det gjenspeiler de to situasjonstypene som fører til henholdsvis
målingsdivisjon ("hvor mange rekker det til?") og delingsdivisjon ("hvor mange til
hver?"). Ikke legg vekt på å lære elevene uttrykkene målingsdivisjon og
delingsdivisjon. Det som er hensikten, er at de skal kjenne seg igjen i situasjonene –
nemlig at vi måler ut mange ganger eller at vi deler likt – og kople dem til divisjon.
Snakk sammen ut fra bildet. Øverst: Hva om hver bare fikk én fisk, eller kanskje en
halv? Nederst: Hvor mange pølser må vi regne med, for eksempel hvis hver spiser
tre pølser. Hvor mange kunne det rekke til hvis hver spiste to pølser? Kanskje noen
av gjestene heller vil ha pølse? Mulige fordelinger?
Sidene 39–41 Vi skal dele likt
La elevene ha kort (eller annet de kan dele) til disposisjon, slik at de kan gjøre dette
helt konkret. Det er ikke sikkert alle er kjent med de fire kortfargene spar, ruter,
kløver og hjerter. La elevene få mulighet til å telle (oppgave 3) og dele ut (oppgave
4). Her er det delingsdivisjon.
E-bok: I forbindelse med oppgave 4 finnes et regneark som elevene kan bruke for å
se om de deler ut riktig antall kort. Elevene kan også legge inn flere eller færre
deltakere.
Ved arbeidet med oppgavene på side 40 bør elevene ha tilstrekkelig med
konkretiseringsmateriell tilgjengelig, her hyssing. Nå får de erfaringer med
målingsdivisjon. En delingsdivisjonsoppgave i denne konteksten kunne vært: Fire
personer skal dele et 24 m langt tau likt seg imellom. Hvor langt tau får de hver?
Dette synes kanskje å være en mindre naturlig problemstilling i denne konteksten.
Ved arbeidet med penger (side 41) er vi tilbake til delingsdivisjon igjen. Elevene
kan bruke lekepenger.
E-bok: I oppgave 9 kan elevene prøve ut en interaktiv animasjon som viser hvordan
de kan tenke når de skal dele 300 kr på to personer.
I oppgave 12 kan de benytte et regneark til å dele forskjellige beløp på forskjellig
antall personer. Regnearket regner kun med hele kroner og viser hva som ev. blir
rest.
KAPITTEL 4 – side 19
Sidene 42–43 Divisjon med 10 og 100
Det er en direkte kopling mellom oppgavene 13 og 14 (og 15-16). Vi får praktiske
begrunnelser for hvordan vi dividerer med 10. Snakk med elevene om det!
Likeledes for divisjon med 100 i oppgavene 18 og 19.
Side 43 Divisjon med mat og drikke
Disse to oppgavene kan nok bli en utfordring for en del av våre elever. De bør i alle
fall bruke lommeregner her (hvis de ikke er i stand til å se svarene direkte i hodet).
Sidene 44–45 Tenk fram og tilbake
Hensikten er her at elevene skal bli enda mer bevisst sammenhengen mellom
multiplikasjon og divisjon.
Oppgavene 27 og 28 kan elevene gjerne gjennomføre konkret med penger eller
annet egnet materiell. I oppgave 28 kan vi spesielt vise dem teknikken med å holde
over sifrene i dividenden, slik at bare ett av gangen kommer til syne. Eksempel:
64 : 2. Hold over 4-tallet. 6 tiere delt på 2 blir 3 tiere. Så tar vi fram enerne. 4 enere
delt på 2 blir 2. Svaret blir altså 32. Tilsvarende kan vi gjøre med tresifrede tall, som
525 : 5. Først får vi 1 hundrer, så 0 tiere og til slutt 5 enere (oppgave 29b).
Oppgave 36 er ment som bakgrunn for en samtale.
KAPITTEL 4 – side 20
KAPITTEL 5
REGN MED
PENGER
L97
MATEMATIKK I DAGLIGLIVET
Gjøre beregninger fra dagliglivet
Vinne erfaringer med myntenheter, kurs og omregning mellom norsk og
utenlandsk mynt
TALL
Gjøre erfaringer med multiplikasjon med desimaltall
Regne med lommeregner.
Bruke regnearter, ulike metoder og hjelpemidler, for eksempel
informasjonsteknologi, til å løse problemer og undersøke situasjoner
BEHANDLING AV DATA
Øve seg i å samle, tolke, systematisere og presentere data
Innhold og hensikt
· Priser
· Valuta, spesielt spanske penger
· Konstant-multiplikasjon på lommeregner
Vi regner mye med penger, både utenlandske og norske. Fremmed mynt og valuta
er et sentralt tema i dette kapitlet. Mange elever er kjent med utenlandske penger. I
dette kapitlet følger de mannskapet som benytter pesetas, på de første sidene.
Sekser'n er fortsatt i Las Palmas, og mannskapet er ute og handler forskjellige ting.
Nå møter vi også omregning mellom fremmed og norsk mynt. Deretter tar de fatt
på valuta generelt – men med Norden som utgangspunkt.
Det er ikke sikkert at begrepene kurs og valuta er så kjent blant elevene. Som
kurs er pund og dollar enklest. Og dette må utnyttes godt. Det kan gi økt forståelse
til andre lands kurs.
Har skolen eller foreldre kontanter i noen lands valuta til låns, er det en fordel.
Og alltid veldig motiverende! Enkelte banker låner ut gebyrfritt mot depositum eller
garanti.
KAPITTEL 5 – side 21
Ved omregning mellom forskjellige lands valuta må vi regne med kurs, det vil si
en konstant omregningsfaktor. Til dette kan vi utnytte en spesiell funksjon på
lommeregneren: konstant multiplikasjon. Ved hoderegning vil vi i praksis runde av
kursen til et jevnt tall, for eksempel kan vi runde av kursen på spanske penger til
5,00. Men hvis vi velger en dagsaktuell kurs, er det sjelden så jevne tall. For
eksempel er kursen på pesetas denne dagen dette skrives 5,214. Da er det nyttig å
kjenne til hvordan konstant-multiplikasjon virker på de fleste enkle lommeregnere.
Mange av elevene vil kjenne igjen denne måten å bruke lommeregneren på fra
addisjon og subtraksjon. Her får elevene anledning til å trene med konstantfunksjonen for multiplikasjon.
Elevene må gjerne legge tyngden i arbeidet til det landet de kjenner best. Uansett
vil de i dette kapitlet forhåpentligvis skjønne at mark er mer verd enn lire, men at
dette ikke sier noe om prisnivået i landet! Eller enda viktigere: I 2001 er den norske
kronen er mer verd enn den svenske, men mindre verd enn den danske. Men ved
overslag og cirkapriser er det temmelig likt - iallfall i Norge og Sverige.
E-bok: Mange steder i dette kapitlet er det mulig å slå opp på internettadresser der
man kan finne dagens valutakurs. Dessuten er det lenker til såkalte
valutakalkulatorer som vil omregne direkte inntastet beløp fra og til ønsket valuta.
Hensikten med kapittel 5 er at elevene
- skal få forståelse for at forskjellige land har ulike myntsystemer, og de skal bli
kjent med omregninger til norske penger
- skal få videre trening i hoderegning, spesielt med hele tiere og hundrere
- skal få noe erfaring med å multiplisere desimaltall med hele tall
Noen forslag og vink
Sidene 46–48 Spanske penger
På det store bildet på side 46 er mannskapet fra Sekser'n i en butikk på Las Palmas.
Varene ser dyre ut, men når vi får vite at vi får 100 pesetas for 5 kroner, forstår vi at
det ikke er så urimelig dyrt likevel. Bruk bildet som bakgrunn for samtale. Kanskje
noen har vært i Spania eller på Kanariøyene?
Det er et spesielt problem ved omregning til norske penger fra de fleste lands valuta
at kursen gjelder 100 enheter. Det betyr at kurs 5 for pesetas må tolkes som 5 kroner
for 100 pesetas (og at 1 peseta er verdt kun 5 øre). Dette bør vi snakke med elevene
om.
For øvrig er det i alle oppgavene på sidene 47-48 bare spørsmål om hele
hundretall, slik at elevene kan konsentrere seg om det begrepsmessige: hva kurs og
valuta er og hvordan vi tenker ved omregning.
KAPITTEL 5 – side 22
Sidene 49–50 Valuta
La gjerne noen elever arbeide sammen på side 49. Kanskje dette kan knyttes opp
mot arbeid med Europa som tema i flere fag?
Det kan være at enkelte elever har samlinger av mynter og/eller sedler fra
forskjellige land. Kanskje de kan ta dem med, slik at de kan studeres i klassen. Hva
finner vi på dem, hvilke personer er avbildet, hva er hun/han kjent for, osv?
Side 51 Mer om valuta
Det kan skape vanskeligheter for forståelsen at kursene på de forskjellige lands
valutaer varierer så enormt. Men det hjelper med konkrete erfaringer fra for
eksempel ferieturer til de aktuelle landene. De som har slike erfaringer, bør få
fortelle.
Side 52 Svenske kroner på Liseberg
Det kan være nyttig å snakke sammen om oppgavene 17 og 18. Hvis vi veksler til
oss svenske penger i en norsk bank, vil denne banken gjerne ta et vekslingsgebyr i
tillegg til det omregnede beløpet. Det kan også hende vi må betale gebyrer ved bruk
av minibanker (i Sverige kalt bankomat) eller veksleautomater.
Til beregningene i oppgavene 18 og 19 kan elevene bruke lommeregner.
Oppgavene 20-21 bør vi også snakke med elevene om.
Side 53 Danske kroner i Legoland
I 2001 er danske kroner noe mer verd enn norske, mens svenske er noe mindre verd.
For en del år siden var det motsatt: svenske mest verd, danske minst.
Side 54 Hjelp av lommeregneren
Denne måten å bruke lommeregneren på kan være veldig effektiv ved omregning av
valuta. Men mange elever vil nok trenge hjelp for å komme i gang.
Side 55 Sport på tilbud
Når vi bruker lommeregner, går slike omregninger like lett med desimaltall som
med hele tall.
Side 56 Regn med å fly
Dette gir videre trening i å bruke lommeregner til å regne på valuta. Kanskje noen
elever har reist til og i Amerika?
Merknad: Det er to feil i oppgave 27 i 1. opplag av boka:
– 27b: New York-Orlando
– 27d: Los Angeles-New York
KAPITTEL 5 – side 23
KAPITTEL 6
FORMER OG
FIGURER
L97
MATEMATIKK I DAGLIGLIVET
Gjøre beregninger fra dagliglivet
Arbeide mer med størrelser og enheter
GEOMETRI
Gjøre erfaringer med vinkel
Bli kjent med vinkelmål
Arbeide med grunnleggende plangeometriske begreper
Innhold og hensikt
·
·
·
·
Figurer: mangekanter, spesielt firkanter og trekanter, sirkler
Vinkler, vinkelmål
Omkrets og areal
Arealenheter
Praktiske begreper og grunnleggende ferdigheter er det sentrale i dette kapitlet.
Hovedtemaet er geometriske figurer. Vi ønsker at elevene skal bli trygge på
begrepene kvadrat, rektangel, trekant og sirkel. Vi arbeider med vinkelbegrepet, og
innfører gradskive og vinkelmåling med inndeling av sirkelen i 360°.Vi kan nå
karakterisere en rett vinkel som en vinkel med mål 90°, og spisse og stumpe vinkler
relateres naturlig til dette.
Elevene gjør flere målinger av omkrets, særlig av tre- og firkanter.
Begrepet areal tas opp som et mål for utstrekning av en flate. Arealmalen er et
rutenett av kvadratiske ruter på et gjennomsiktig plastark. Den gir elevene mulighet
til å finne arealer direkte ved å telle ruter.
Vi bør la konkrete aktiviteter med geometriske figurer i omgivelsene fylle ut stoffet
og oppgavene i boka. Eller kanskje bedre: legge hovedvekten på erfaringer med
geometriske figurer i dagliglivet, og bruke stoffet i boka til oppsummering og
systematisering. Slike virkelighetserfaringer kan gi avgjørende bidrag til at elevene
forstår sammenhengene.
KAPITTEL 6 – side 24
Hensikten med dette kapitlet er å gjøre elevene kjent med viktige geometriske
figurer, få kunnskaper om vinkler og bli kjent med vinkelmål, med omkrets og med
arealbegrepet. Arbeidet kan føre videre mot måter å beregne areal av enkelte
kvadrater og rektangler.
Noen forslag og vink
Side 57 Former og figurer
Det er viktig at elevene får praktiske opplevelser. Og at de snakker sammen om det
de gjør. Få dem til å fortelle hva de gjør når de tegner eller kopierer figurer. Det
hjelper dem til å bli mer bevisste på språket og til å bruke terminologien riktig.
Dette kan øves på blant annet ved å bruke "Bak ryggen-spill", slik som antydet på
bildet her: Én forklarer hvordan en figur ser ut, og en som ikke ser, skal tegne den ut
fra anvisningen.
Spørsmålet i oppgave 1c gir utgangspunkt for samtale om mange geometriske
former. Her er forskjellige firkanter, trekanter, sirkler og halvsirkler. Og vi ser
eksempler på romgeometriske former. Kanskje det kan være naturlig å snakke
sammen om akkurat dette på en enkel måte: forskjellen på plane figurer
(todimensjonal geometri, figurer på en flate) og romfigurer (tredimensjonal
geometri, figurer i rommet). Eksempler på det siste på bildet vårt er tre- og
firkantede prismeformer (bygninger, "kasser"), sylinder, kule (ball) og halvkule
(eller nesten det i TV-antenne og parasoll), kjegle, pyramide, torus (smultring –
gummislange).
Side 58 Mangekanter
Noen elever kan trenge hjelp til å kopiere trekanten. For å gjøre det nøyaktig trengs
en passer. La dem få prøve, selv om den egentlige innføringen i bruk av passer
kommer seinere (her i kapittel 10).
I forbindelse med oppgave 3 kan det bli en diskusjon om hva som menes med
ulike trekanter. Er de ulike hvis de har samme form og bare forskjellig størrelse?
(Det kommer selvsagt an på tolkningen av dagligordet ulike). Dette kan være et
grunnlag for å snakke om formlikhet.
I oppgave 4 gis ikke en fullstendig definisjon av begrepet kvadrat. Et kvadrat er
en "slik" firkant, den vi ser på tegningen, og her er alle fire vinklene like store.
Noen elever kan få problemer med oppgave 6 fordi friheten er så stor.
Sidene 59–60 Forskjellige figurer
Det viktige her er begrepslæringen, og vi konsentrerer oss om kvadrat, rektangel,
trekant og sirkel. Og elevene trenger da helt konkrete erfaringer.
En fin aktivitet i ei elevgruppe i tilknytning til oppgave 9 er at hver enkelt elev
viser sin figur til de andre i noen sekunder, og så skal de andre kopiere figuren etter
hukommelsen.
På side 60 kan vi lage en konkurranse om å finne flest av hvert slag.
KAPITTEL 6 – side 25
Side 61 Flere mangekanter
Hensikten er blant annet å la elevene få kjennskap til at mangekanter kan være av
mange slag. Spesielt gjelder det firkanter. De vanlige firkantene er jo rektangler.
Dem ser vi stadig omkring oss. Men firkanter kan også se helt annerledes ut. Navnet
firkant sier egentlig bare at det er fire sider på figuren.
Side 62 Rette vinkler
Aktiviteten øverst bygger direkte på definisjonen av rett vinkel: en like vinkel (rett
linje), som er 180 grader, delt i to.
Elevene kjenner A4-arket, og det kan brukes til å illustrere både rektangel, rette
vinkler og kvadrat ved å brette det inn som i oppgave 14. La dem gjerne formulere
sine ideer i spørsmålet i 14b muntlig, og så prøve å skrive det etterpå.
Side 63 Spisse og stumpe vinkler
Snakk sammen om forskjellige slags vinkler i tilknytning til oppgave 15. Rett vinkel
er aktuell ved bygging, når vi skal lage møbler, innredninger og annet. Eksempler
på andre vinkler kan vi finne ved å se på hvor mye hustak skråner (takvinkler),
kompassretninger, veikryss og mye annet.
Vi skal lage forskjellige vinkler i oppgave 16. Da er det ikke lengden på
vinkelbeina som betyr noe. En annen ting: Noen elever knytter oppfatningen av rett
vinkel til vannrett og loddrett. Få fram og la elevene se eksempler på at vinkelbeina
kan peke i en hvilken som helst retning (oppgave 16c).
E-bok: Elevene kan prøve å finne ut hvilke vinkler som er spisse, stumpe og rette.
Side 64 Vinkelmål
Sjekk at elevene legger gradskiva riktig, spesielt at gradskiva kommer på rett plass i
forhold til vinkelens toppunkt. Videre kan det være nødvendig med trening i å lese
av skalaen.
I oppgave 17 kan denne prosedyren være fornuftig: Først sette av et linjestykke,
velge og merke av et av endepunktene som toppunkt, og så legge gradskiva på plass
og merke av retningen for det andre vinkelbeinet. Elevene bør ikke alltid legge det
første linjestykket parallelt med arkets kant.
Oppgave 18 kan dramatiseres i klasserommet – la elevene prøve!
E-bok: Elevene kan øve seg på å måle vinkler med gradskive.
Side 65 Sirkler
Til å tegne sirkler kan vi bruke forskjellige redskaper. I oppgave 19 kan det være
greit nok med frihåndstegning. Elevene kan også finne et par gjenstander og tegne
omrisset, eller de kan bruke passer, noe vi kommer nærmere tilbake til i kapittel 10.
Ellers knytter innholdet og aktivitetene seg her tett til foregående side.
KAPITTEL 6 – side 26
Sidene 66–67 Omkrets og areal
Til oppgave 23 trenger elevene målebånd. La dem også prøve noen store figurer,
slik at de bruker meter som enhet.
Ellers vil vi også her nevne hvor viktig det er at elevene gjennomfører aktiviteter
rent fysisk, både de som boka legger opp til og tilsvarende aktiviteter på dagliglivets
geometriske objekter. For eksempel vil det være fint om hver enkelt elev har et
meterkvadrat, for eksempel i bølgepapp, som de kan bruke for å finne arealene til
forskjellige golvflater. Ikke stress noe om beregning av arealer her, hvis ikke
elevene selv finner på eller spør om det.
KAPITTEL 6 – side 27
KAPITTEL 7
TENK PÅ TALL
L97
TALL
Arbeide mer med hoderegning
Arbeide med å utnytte sammenhengen mellom regneartene
Undersøke og utforske tallmønstre
BEHANDLING AV DATA
Øve seg i å samle, tolke, systematisere og presentere data
Innhold og hensikt
· Tall-leker
· Partall og oddetall
· Tallmønster
Etter L97 skal elevene oppfordres til å gå på oppdagelsesreise i tallenes verden. Det
er egentlig ikke så veldig mye av dette kapitlet som elevene må arbeide med for å få
med seg sammenhengen i matematikken. Noen elever kan ha behov for å få frigjort
tid til å ta igjen andre sentrale temaer som de kanskje ikke har fått tilstrekkelig tak
på. Da kan det være aktuelt å arbeide bare kort tid med dette stoffet. Men elever
som har vanskeligheter med å tenke abstrakt, kan også være med på og ha glede av
å oppdage sammenhenger og finne resultater. Det er viktig at vi prøver å sette oss
inn i deres tanker, at vi tar deres forslag og idéer på alvor.
Kapittel 7 har til hensikt å gi de elevene som evner det, mulighet til å se
sammenhenger i forbindelse med de naturlige tallene og de fire regneartene.
Samtidig skal det bidra til at elevene trener opp sin regneferdighet – med spesiell
vekt på hoderegning – på en morsom måte.
Noen forslag og vink
E-bok: Her kan elevene lese litt mer om Panamakanalen.
KAPITTEL 7 – side 28
Side 69 Mitt skip er lastet med
Dette er en gammel lek, som her er tilpasset trening i hoderegning. Elevene bør få
tid til å tenke seg om. Det trengs en dommer til kontrollør. Den som bommer på 10
eller gjentar noe som er sagt før, går ut. Aktiviteten er også fin i mindre grupper, for
eksempel tre elever som konkurrerer og en fjerde som er kontrollør, gjerne med
lommeregner.
Det fins utallige måter å få fram tallet 10 på. Etter hvert kan det bli aktuelt å
innføre begrensninger. For eksempel kan det være at vi bare skal bruke addisjon.
Hvis vi skal lage tallet 10, fins det likevel ikke mindre enn 512 muligheter - så sant
vi regner to addisjoner som ulike hvis rekkefølgen til addendene er forskjellig.
Side 70 Bare tall
Dette er en oppfølging av lek-aktiviteten på forrige side. Hvem klarer å lage flest
regnestykker?
Sidene 70–72 Tenk på tall
Aktivitetene gir trening i hoderegning. Enkelte vil likevel ha problemer med å
gjennomføre dette. Da kan det også være nyttig trening for dem å bruke en
lommeregner, og på den måten følge med. Aktivitetene bygger på denne idéen: Det
tallet vi starter med, vil alltid på ett eller annet tidspunkt subtraheres bort, og
dermed er starttallet uten betydning for det siste svaret.
Side 73 Bussturen
Dette er også oppgaver som kan tas muntlig, og som gir trening i hoderegning i
tallområdet under 100.
E-bok: Sekser'n må gjennom slusene i Panamakanalen. Elevene kan se på en
interaktiv "tegneserie" hvordan en sluse virker.
Side 74 Partall og oddetall
Partall og oddetall forekommer på husnummer på hver side av gatene. Men de
brukes også i andre sammenhenger - i tilfeller der objekter ordnes i to rader.
Undersøk om elevene er i stand til å telle med to om gangen. Kan de klare det når
de starter på 1 istedenfor 0?
Partallene har også sammenheng med 2-gangen. Hvilke tall er "trippeltall", 3gangen, og så videre. Dette kan være stoff for samtale, og samtidig en anledning til
å repetere gangetabellen.
KAPITTEL 7 – side 29
Sidene 75–76 Trafikktelling - telle selv
Elevene får prøve seg på litt enkel opptelling og statistikk. Samtidig får de erfaring
med en praktisk måte å skrive tall på ved slike opptellinger - dette er en forbindelse
til 5-gangen. Det er i mange tilfeller nyttig å være trygg på den tabellen. La elevene
prøve seg på en slik undersøkelse selv (side 76). Eller de kan finne noe annet og
gjøre tilsvarende arbeid.
E-bok: Opptellingen til Telma i oppgave 18 blir vist i et søylediagram.
KAPITTEL 7 – side 30
KAPITTEL 8
DESIMALER
L97
MATEMATIKK FRA DAGLIGLIVET
Gjøre beregninger fra dagliglivet
Arbeide mer med størrelser og enheter
TALL
Arbeide mer med hoderegning og med å videreutvikle oppstilte
regnemetoder, spesielt med desimaltall
Gjøre erfaringer med multiplikasjon med desimaltall
Undersøke tall og utforske tallmønstre, f eks ved hjelp av lommeregner og
datamaskin
BEHANDLING AV DATA
Øve seg i å samle, tolke, systematisere og presentere data
Vinne erfaringer med å ordne dataene i rekkefølge etter størrelse
Innhold og hensikt
· Hele, tideler, hundredeler
· Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon
· Litt statistikk
I dette kapitlet er selve desimaltallbegrepet det sentrale. For eksempel må 3,27 bli
helt klart for elevene som 3 hele, 2 tideler og 7 hundredeler (eller 27 hundredeler),
og ikke som to sideordnede tall, 3 foran kommaet og 27 etter.
Desimaltall er det vi vanligvis bruker til å oppgi målte størrelser. Desimaltegnet er
komma (på lommeregnere punktum).
Elevene har møtt desimaltall i mange sammenhenger før. Vi har her et praktisk
utgangspunkt og arbeider mest med ti- og hundredeler. Hundredeler er desimaler
som er mye brukt i dagliglivet. Kjente eksempler er fra lengdemåling – meter og
centimeter. Vi kan da også ta for oss desimeter, og dermed tideler.
KAPITTEL 8 – side 31
Hensikten med kapittel 8 er
– at elevene skal få en forståelse av tall på desimalform
– at elevene skal lære å lese og skrive tall på desimalform
– at elevene skal lære å ordne tall på desimalform etter størrelse
Noen forslag og vink
Sidene 78–79 Desimaler, hundredeler
Meter og centimeter er et konkret og praktisk utgangspunkt for arbeid med tall med
to desimaler.
Tallet 7,40 øverst på side 79 kaller vi i dagligtalen ofte "sju komma førti". Men
denne talemåten kan være uheldige. Vi burde egentlig helst unngå den og heller si
"sju komma fire null". Men siden den første talemåten brukes i dagliglivet, bør den
kommenteres.
Vi må prøve å unngå at elevene opplever desimaltall som to tall, ett før komma
og ett etter. "Sju komma fire null" er en forkortelse for sju hele, fire tideler og null
hundredeler, som er det samme som sju hele og førti hundredeler.
Det kan passe at elevene arbeider med disse oppgavene sammen to og to, slik at de
kan lese og diktere for hverandre.
E-bok: Før oppgave 1 er tre tall anskueliggjort med figurer:
0,24: Ett hundrenett - 24 ruter er farget
2,40: Tre hundrenett - to helfarget, det tredje med 40 ruter farget
24,0: 24 hundrenett - alle helfarget
Etter oppgave 6 er 2 hele og 80 hundredeler vist med en figur:
Tre hundrenett - to helfarget, ett med 80 ruter farget
Sidene 80–81 Tideler
Snakk sammen om sammenhengen mellom meter og desimeter. 1 desimeter er 1/10
meter, som også skrives 0,1 meter.
For å få en klar oppfatning av størrelsene, bør elevene måle opp tau med noen av
lengdene. Spesielt bør vi legge merke til forskjellen mellom for eksempel 4,1 m og
4,01 m.
Tavlelinjalen er et utmerket hjelpemiddel. En fin aktivitet: La en av elevene
holde opp linjalen med skalaen vendt mot seg. Så peker denne eleven mot et punkt
på linjalen, og de andre elevene skal gjette omtrent hvor på linjalen det er. Dette er
god trening for de elevene som anslår lengdene, og det gir også øving i å lese av og
oppfatte desimaler for den som holder linjalen.
E-bok: Elevene får anledning til å lage en meter. De starter med en figur av en
desimeter og klikker for hver ny desimeter som skal legges til opp til en meter.
Total lengde så langt vises på alle steg i prosessen.
KAPITTEL 8 – side 32
Sidene 82–84 Hele, tideler og hundredeler
Oppgave 11 bør følges av en samtale om tall. Skriv for eksempel 3,4 og 0,19 på
tavla og la elevene lese disse tallene på forskjellige måter.
La elevene foreslå praktiske eksempler på enkelte av tallene i oppgavene 12-13.
7 hele og 3 tideler (i oppgave 12a) kan bety et langt lengdehopp på 7,3 m. 37,0
(oppgave 12d) kan være kroppstemperaturen om morgenen – og så videre.
I oppgavene 14-15 bør elevene oppfordres til å være nøye med å se etter skalaen
og enhetene. Gammeldagse febertermometer har skalaer hvor vi kan lese av tidelene
så nøyaktig.
I oppgave 17 blir det en oppgave å finne ut hvilken del av tallinja som vi bør
tegne opp. Vanligvis holder det med området fra 0 til 20 grader.
Oppgave 18: Vi bør være spesielt oppmerksomme på om elevene forstår
rekkefølgen mellom slike tall som 1,3 og 1,13. Her ser vi hvor misvisende
talemåten “en komma tretten” kan være. Det høres nesten ulogisk ut at dette er
mindre enn “en komma tre”. Vi legger igjen merke til nytten av mange ganger å ha
lest – og skrevet – en hel og tretten hundredeler, og liknende.
Side 84 inneholder flere oppgaver med tallinjer. De gir både øving i å lese av
skalaer og vurdere tallstørrelser, og i å legge nøye merke til enheter og inndeling.
Side 85 Høyder og lengder
Oppgave 22 skal gi elevene en enkel, praktisk erfaring med desimaltall. De fleste er
gjerne oppmerksomme på hvor høye de er. Her skal de skrive det på forskjellige
måter.
Oppgave 23 viser spesielt hvor mye kommaplasseringen betyr i desimaltall,
samtidig som den gir anledning til praktisk vurdering av lengdemål.
Side 86 Lange hopp
Desimaltall brukes ustanselig i forbindelse med målte størrelser. Ved
idrettskonkurranser er vi interessert i rekkefølge, og da er vi egentlig i gang med litt
statistikk.
I tilknytning til disse oppgavene ville det være fint om elevene har resultater fra
en eller annen konkurranse de selv har vært med i. For øvrig anbefaler vi sterkt at de
gjennomfører en konkurranse av ett eller annet slag i klassen, og at de da er nøye
med å gjengi resultatene skriftlig på en oversiktlig og god måte. Oppfordre dem til å
legge litt arbeid i dette.
E-bok: Elevene kan øve mer på å skrive desimaltall i rekkefølge etter størrelsen.
KAPITTEL 8 – side 33
Side 87 Legge sammen og trekke fra
Elevene har fått trening i addisjon og subtraksjon av desimaltall tidligere, i konkrete
sammenhenger. Det nye her er at vi går over til å arbeide også med ubenevnte tall.
Et spesielt problem er det å veksle over null – dette er nokså vrient for noen. La
dem sjekke sine resultater med lommeregner, og snakk sammen.
E-bok: Elevene kan øve mer på addisjon av desimaltall.
Side 88 Vi ganger
Dette likner på multiplikasjon av hele tall, hvis vi tenker på tideler eller hundredeler
som en slags ny enhet. Spesielt blir plasseringen av desimalkommaet nå helt
avgjørende. Oppfordre elevene til å gjøre overslag og på den måten vurdere hvor
det er rimelig at kommaet skal plasseres i svaret.
KAPITTEL 8 – side 34
KAPITTEL 9
BRUK BRØK
L97
MATEMATIKK I DAGLIGLIVET
Gjøre beregninger fra dagliglivet
TALL
Arbeide mer med brøk, med likeverdige brøker på en praktisk måte, med å
addere og subtrahere
Innhold og hensikt
· Brøkbegrepet
· Likeverdige brøker
· Addisjon
Kapittel 9 dreier seg først og fremst om selve brøkbegrepet, som innføres ved hjelp
av praktiske eksempler fra elevenes erfaringsverden. Enkle brøker brukes i
dagliglivet, og alle trenger å kjenne til det.
Hensikten med dette korte kapitlet er først og fremst å befeste og utdype de
begrepene i forbindelse med brøk som elevene har fra tidligere. Vi går ikke inn på
noe videre regning med brøk her.
Noen forslag og vink
Sidene 89–91 Mange brøker
Arbeidet med disse sidene bør følges av samtale om hvor vi bruker brøk. Gjør
denne samtalen konkret og enkel. Eller enda bedre: La elevene spise pizza. Men de
bør bestille (gjerne hos læreren) hvor mye de vil ha, som brøkdeler av en hel. På
den måten får de helt praktisk erfare forhold mellom størrelsene på brøker, at for
eksempel 1/2 er mer enn 1/5.
For øvrig bør vi utfordre elevene til å finne ut av sammenhengene i oppgavene
5-6, gjerne ved å tegne (oppgave 5) eller utføre det konkret med glass med vann
(oppgave 6).
KAPITTEL 9 – side 35
E-bok: På en interaktiv modell kan elevene se hvordan de kan dele en
sjokoladeplate med åtte ruter i forskjellige brøkdeler.
Side 92 Sammenlikn brøker
Igjen er hensikten å utvikle gode begreper om forholdet mellom brøker. La elevene
gjøre konkrete aktiviteter, for eksempel klippe i sirkelrunde papirskiver. Det er
avgjørende at de virkelig gjennomfører dette, og ikke bare leser oppgavetekster og
ser på bildene.
Side 93 Brøk i butikken
Ikke alle disse fire variantene av melkekartonger fins alle steder. På den andre siden
fins det noen steder kartonger som rommer 1 1/2 liter og 2 liter. La elevene finne ut
hva de kan få kjøpt i butikken på hjemstedet.
I forbindelse med disse oppgavene kan det være nyttig å repetere forholdet
mellom volumenhetene liter og desiliter, og mellom vektenhetene gram, hektogram
og kilogram.
Kanskje noen elever trenger litt hjelp for å komme i gang med oppgave 11. De
kan tenke på forskjellige måter. I 11a er det muligens nærliggende å utnytte at 1/2
kg er dobbelt så mye som 1/4 kg. Men om noen finner på å regne ut prisen på 1 kg
først (spørsmål b), er jo det bare fint. Da får vi et utgangspunkt for å drøfte disse to
framgangsmåtene, som begge er helt riktige.
I oppgave 13a er det igjen fint om elevene får gjøre dette fysisk: Helle opp tre 1/3
liter i en literkartong, og se at den blir full. Og/eller det motsatte: fordele innholdet i
en literkartong på tre 1/3-litere.
Side 94 Året rundt
For noen vil det nok oppleves som abstrakt og unødvendig å tenke på brøk i
forbindelse med kalenderen og årets måneder. Samtidig trenger alle å kjenne
kalenderen, og i det voksne livet er det ofte aktuelt å vite om årets fire kvartaler – et
kvartal er et kvart år. Men vi bør ikke gjøre det til et viktig poeng med
brøktankegangen i denne sammenhengen.
E-bok: Et regneark gir anledning til å sette opp et budsjett. Elevene kan fylle ut
med regninger, hvor ofte de betales osv. Regnearket viser utgiftene for hele året.
Side 95 Tid og brøk
Her har vi regning begge veier: Finne ut at 20 minutter er 1/3 av en time, altså 1/3
av 60 minutter, og at 1/3 av en time eller av 60 minutter er 20 minutter. Dette er
ganske krevende oppgaver, og de bør følges av samtale.
Til oppgave 20 kan ei øvingsklokke med bevegelige visere være nyttig.
KAPITTEL 9 – side 36
KAPITTEL 10
FORMER OG
MØNSTER
L97
GEOMETRI
Gjøre erfaringer med vinkel
Undersøke egenskapene til de ulike typene av firkanter og trekanter, blant
annet måle og beregne omkrets
Arbeide med parallellforskyvning i planet
Innhold og hensikt
·
·
·
·
·
·
Trekanter og firkanter
Mønster, border
Sirkler, bruke passer
Parallelle linjer
Vinkler i firkanter og trekanter
Pyramider
I kapitlet arbeider vi videre med geometri, som også var hovedtema i kapittel 6. Her
dreier det seg om vinkler, trekanter, firkanter og sirkler. Elevene blir kjent med
parallellitet, og da kan elevene få prøve hvordan parallellforskyvning kan utnyttes
til å lage bordemønster.
Elevene får arbeide med vinkler i firkanter og trekanter og erfarer at summen av
vinkelmålene er henholdsvis 180 grader og 360 grader.
Hensikten med kapittel 10 er at elevene skal få gode erfaringer med vinkler og noen
vanlige geometriske figurer. De skal mulighet til å oppleve hvordan geometri kan gi
grunnlag for å lage enkle mønstre. Videre skal de få litt trening med å håndtere
passer.
KAPITTEL 10 – side 37
Noen forslag og vink
Side 96 Bilde: former og mønster
Bildet bør være utgangspunkt for en samtale. La elevene fortelle om detaljer og
finne ulike geometriske figurer og mønster på bildet. Diskuter vinkelbegrepet, og la
elevene komme med eksempler på vinkler i bildet. Her er også forskjellige
romfigurer: firkantede prismer (kasser med firkantet grunnflate), sekskantet prisme,
sylindrer (tønner, tepperuller), pyramider.
Noen av de vinklene som er rette på bildet, er ikke rette i virkeligheten, og
omvendt. Ved perspektivtegning blir de fleste vinkler endret. I samtalen bør vi ta
opp dette, slik at vi er enige om hva vi ser etter: figurer på bildet eller i
virkelighetens verden.
I forbindelse med en slik samtale er det også rimelig å se etter geometriske
figurer i elevenes nærmiljø, kvadrater, rektangler, eventuelt trekanter, sekskanter
(se på enden av blyanten) og andre mangekanter, sirkler og vinkler.
Sidene 97–98 Mangekanter og andre figurer
Dette er en oppfølging og repetisjon av starten på kapittel 6.
I oppgave 5a er det lett å se seks kvadrater. Men vi kan også sette sammen fire og
fire av disse til to større kvadrater. På samme måten kan vi finne flere trekanter i 5b
og rektangler i 5c.
Sidene 99–100 Å lage et mønster
I arbeidet med mønster får elevene anledning til å bruke sin formsans. La dem finne
på mønster selv. Gjør det klart for dem at de har denne friheten. Poenget er at de
gjentar en figur, et grunnmønster. Grunnmønstrene kan være ganske enkle. La
elevene finne eksempler på mønstre i sine omgivelser. Vi ser dem mange steder.
Det kan være på klær eller møbler, og i og på bygninger. De fleste har sikkert
genser eller jakke, votter, lue eller annet som er strikket med ulike mønster. Kanskje
de har lyst til å prøve å kopiere disse mønstrene, og å kopiere mønster fra
hverandre? Utnytt forbindelsen til kunst og håndverk!
I oppgavene 6b og 7b blir elevene bedt om å forklare med ord hvordan mønstret
er laget. Dette bevisstgjør innsikten om mønstrene, men det kan være en vanskelig
oppgave å skrive det greit og entydig. Snakk derfor gjerne med elevene om dette, og
la dem forklare for hverandre.
Det kan kanskje være en idé å gjøre et slikt arbeid med mønster til et lite
prosjekt, som kan ende opp med en presentasjon. Vi kan lage en utstilling av
elevenes arbeide, men det kan også være aktuelt å utnytte bilder, lysbilder og video.
Bruk av dataprogrammer bør også være aktuelt her.
E-bok: Elevene får tilgang til rutenett og starten på mønstrene i oppgavene 6-8. Så
kan de eksperimentere og prøve seg fram.
KAPITTEL 10 – side 38
Side 101 Sirkler
Mye av aktiviteten på denne siden dreier seg egentlig ikke så mye om sirkelen som
geometrisk form. Vi får et sidesprang til å lage tabeller og holde orden på resultater,
altså litt statistikk. Men formen på blinken er en sirkel, og består av mange
sirkelringer. På den måten retter vi oppmerksomheten mot det som kommer på de
neste sidene: hvordan vi kan lage "fullkomne" sirkler, og hvilke egenskaper de har.
Sidene 102–104 Å bruke passer
La elevene få mye øvelse i å bruke passer til å tegne sirkler.
Ordet sirkel brukes ofte både om selve sirkellinja eller sirkelperiferien, og om
området innenfor sirkellinja. Denne tvetydigheten skaper vanligvis ikke problemer.
Elevene bør få fullstendig frihet i oppgave 16, bortsett fra at de selv bør mene at
det er fint.
Elevene bør bli fortrolige med begrepene sentrum, radius og diameter, og de bør
bli helt klar over at radien er halvparten så lang som diameteren. Dette oppdager de
gjennom oppgavene 18, og eventuelt flere av samme slag.
Det er mange muligheter til å tegne fine mønster med bruk av bare passer. Vi får
ei passerrose i oppgave 20, men elevene kan selvsagt finne på andre regelmessige
sirkelmønster også (som de kanskje gjorde i oppgave 16).
E-bok: Stegvis hjelp til hvordan man lager de tre første sirklene i en passerrose.
Side 105 Parallelle linjer
Vi prøver nå å klargjøre begrepet parallellitet. Gå gjerne tilbake til det store bildet
på side 103 og. La elevene finne og peke ut parallelle og ikke-parallelle linjer i
omgivelsene sine. Det er lett å finne eksempler.
I oppgave 22 er linjene b, c og e (innbyrdes) parallelle. Elevene kan gjerne lage
figurer med liknende oppgaver til hverandre.
Sidene 106–108 Vinkler i firkanter og trekanter
Vi repeterer først hva vi mener med en rett vinkel. Husker elevene at den har
vinkelmål 90°? Hensikten videre at elevene skal oppdage vinkelsummene for
firkanter og trekanter. La dem gjerne først prøve med rektangler som de tegner opp
nøyaktig, men med selvvalgte mål. Elevene vil tegne mange forskjellige, men felles
for alle er at summen av vinkelmålene blir 360°. Så kan elevene få prøve firkanter
med helt tilfeldig størrelse og fasong, og se at det samme gjelder da også.
Elevene kan arbeide på samme måte med trekanter og få vinkelsum 180°.
Vi kommer ikke inn på behovet for å bevise (eller begrunne ordentlig) at dette
gjelder i alle firkanter og trekanter, av alle størrelser og av enhver form.
Når elevene arbeider med gradskiva i oppgave 29, vil vinkelmålene måtte leses
av på en skala og derfor bare gi omtrentlige verdier. Elevene bør oppfordres til å
lese av så nøye som mulig. Vi kan likevel ikke vente å få vinkelsummen til en
trekant eksakt lik 180°.
KAPITTEL 10 – side 39
Elevene blir i oppgave 30 kjent med at enkelte trekanter har spesielle egenskaper.
Vi kan snakke sammen om trekanter som både er likebeint og rettvinklede. Alle
disse har samme form, de har alle to vinkler på 45 grader i tillegg til den rette
vinkelen.
Side 109 Pyramider
I oppgave 31 ser vi en måte å brette ut en pyramide. Når elevene skal lage denne i
papp, bør de gjøre den noe større enn tegningen i boka, kanskje dobbelt så stor? Det
er helt avgjørende at de fire trekantene er nøyaktig like. Til slutt kan elevene
kanskje lage en utstilling av figurene sine?
Kanskje ei elevgruppe kan få i oppgave å finne ut mer om Keopspyramiden og
andre pyramider i Egypt og legge dette fram for klassen. Vi møter for øvrig
pyramidene igjen i kapittel 11 (side 115).
I en romfigur som er satt sammen av flater som er mangekanter, slik som
pyramiden, kaller vi linjene hvor to flater møtes, for romfigurens kanter. Hjørnene
er punktene hvor tre eller flere kanter støter sammen. Keopspyramiden har dermed
åtte kanter og fem hjørner.
Side 110 Frie former og mønster
Her kan elevene bruke sin formsans og sin fantasi ganske fritt. La elevene utveksle
erfaringer, vise sine arbeider til hverandre.
KAPITTEL 10 – side 40
KAPITTEL 11
DET MESTE KAN
DELES
L97
MATEMATIKK I DAGLIGLIVET
Gjøre beregninger fra dagliglivet
TALL
Arbeide mer med hoderegning
Regne videre med lommeregner. Arbeide med å utnytte sammenhengen
mellom regneartene og få trening i å velge og bruke regnearter
Vinne erfaringer med å vurdere forskjellige framgangsmåter
Innhold og hensikt
· Multiplikasjon og divisjon, store tall
· Å multiplisere og dividere med hele tiere og hundrere
· Desimaltall dividert med hele tall
Hovedinnholdet i dette kapitlet er arbeid med divisjon. Det gjelder det helt
grunnleggende, og vi tar også for oss noe større tall og desimaltall. Det er utvilsomt
riktig å knytte dette til konkreter, og samtidig arbeide med oppgaver som viser den
betydningen posisjonsskrivemåten har. Det er for eksempel nær sammenheng
mellom 45 : 5 og 450 : 5. Fire tiere og fem enere delt likt mellom fem, eller fire
hundrere og fem tiere delt likt mellom fem – helt parallelle tenkemåter. Tilsvarende
har vi mellom 63 : 3 og 6,3 : 3.
Vi arbeider videre med beregninger fra dagliglivet – fra en virkelighet de aller
fleste elever kjenner. Vi følger fortsatt mannskapet på Sekser’n, og det nærmer seg
slutten på deres reise. Vi tar opp igjen litt aktiviteter både med kortstokk og
Monopol. Dette egner seg bra til både hoderegning og enklere kalkulatorregning.
Her er det også mulig å få med sammenhengen mellom regneartene – og få trening i
å velge riktig regneart!
Det er de samme tankene som ligger bak en tur innom pengespillene. Vi vil ikke
drive reklame for pengespill, men vi vet at dette er en del av manges verden.
KAPITTEL 11 – side 41
Oppstilt regning er svært lite benyttet for vår elevgruppe. Det er bedre å bruke
mye energi på begrepsforståelse gjennom praktiske og konkrete eksempler. Oppstilt
divisjon kan være en kilde til begrepsforståelse for noen. For andre vil det være
riktig å kutte ut hele oppstillingen og konsentrere seg om å få begrepsforståelse
gjennom praktiske og konkrete eksempler. Så kan utregninger som elevene ikke
klarer ved hoderegning eller uformelle skrivemåter, gjennomføres ved hjelp av
lommeregner. Vi går derfor her ikke inn på spesielle oppstillinger. For elever som
dette kan være aktuelt for, fins rikelig med kilder i forskjellige læreverk, for
eksempel den ordinære Regnereisen 6B.
Vi begrenser oss fortsatt til ensifret divisor. Divisjon med to- eller flersifret
divisor kan vi vente med, enskjønt det ikke skaper begrepsmessige problemer hvis
vi ikke legger vekt på manuell utregning, men lar elevene utnytte tekniske
hjelpemidler.
På slutten av dette kapitlet kommer vi inn på desimaltallet som dividend. Vi bør
sørge for at arbeidet med divisjon av desimaltall får en konkret tilknytning. Vi
benytter oss av praktiske sammenhenger for å få gode illustrasjoner av det som
foregår ved utregningene.
Hensikten med kapittel 11 er først og fremst å sikre elevenes begreper om divisjon,
spesielt i forbindelse med flersifret dividend, og dessuten å la elevene få erfaringer
med divisjon av desimaltall.
Noen forslag og vink
Side 111 Det meste kan deles
Oppgave 1 er en myk start: dele 12 pakker likt på to personer. Oppgave 2 åpner for
elevenes fantasi. La elevene fortelle til hverandre det de finner på. Her er det ikke
sagt at det skal være divisjonsoppgaver. Merk hvilke regnearter de legger opp til
med sine oppgaver, og snakk sammen om det.
Side 112 Kortstokker
Ordet "farge" brukes i en annen betydning enn i dagliglivet: Tegnene på kortene har
jo bare fargene sort og rød. Det bør være kortstokker tilgjengelig i klasserommet.
Side 113 Monopol
På denne siden får elevene oppgaver som dreier seg om større tall. Det bør være
Monopol-spill tilgjengelig for elevenes. Hvis det kan tas tid til det, vil elevene få
mye talltrening ved å spille Monopol. La dem bytte på å ha banken.
Oppgave 7 kan tankemessig knyttes til penger: hundrelapper, tohundrelapper osv.
E-bok: Elevene kan forsøke å finne andre måter (en annen fordeling av sedlene) der
hver deltaker kan få like mye penger på ved hjelp av et regneark.
KAPITTEL 11 – side 42
Side 114 Den store boligblokka
Her er noe av oppgaven å tolke tekster og finne ut hvilken regneart som er aktuell i
hvert tilfelle. La elevene prøve å klare det selv, eventuelt i samarbeid. Det kan være
til hjelp å lage en tegning av boligblokka, gi dem et vink om det!
Svaret på oppgave 9d kan finnes på flere måter. Elevene kan sammenlikne med
hverandre.
E-bok: En tegning av hele blokka kan hjelpe elevene på vei.
Side 115 Pyramidene i Egypt
I oppgave 10b vil vel de fleste tenke 60 : 4. Dette er en utmerket anledning til å
peke på at det blir det samme som 60 km × 1/4.
Likeledes i 10c: 240 : 2 = 240 × 1/2, og i 11b: 920 : 2 = 920 × 1/2.
E-bok: Mulighet for utskrift av informasjon om Kheopspyramiden.
Side 116 Travløp
Også her er noe av oppgaven å vurdere hvilken regneart som må brukes.
Divisjon opptrer praktisk både som målings- og delingsdivisjon. Her er det
delingsdivisjon i 13b, mens vi har målingsdivisjon i 13a og i oppgave 14.
Elever som trenger det, bør ha sedler og mynter tilgjengelig.
E-bok: Til hjelp i oppgave 13d fins en lenke til en valutakalkulator på internett som
omregner inntastet beløp til norske kroner.
Sidene 117–118 Tipping og Lotto
Det kan være en idé at elevene kan lese og diskutere oppgavetekstene sammen,
gjerne to og to, og finne ut hvilken regneart som er aktuell ved hvert spørsmål.
Side 119 Penger i banken
I oppgave 20b er det fint om elevene oppdager at det er to muligheter: De kan regne
direkte 99 600 : 2 (eventuelt 99 600 × 1/2), eller de kan gange svaret 8 300 fra a med
6.
Monopol-penger er greie til å konkretisere så store beløp som det er snakk om
her.
Side 120 Penger – penger
Til selve utregningene vil det for mange av elevene være naturlig å bruke
lommeregner.
KAPITTEL 11 – side 43
Side 121 Tjene penger
I oppgave 25 bør elevene prøve om de klarer utregningene i hodet. Kanskje noen
kan det i oppgave 26 også?
Sidene 122–123 Deler og biter
La gjerne elevene arbeide sammen to og to på side 122. Kanskje de kan finne på
mer enn én måte å løse noen av oppgavene? Eksempel – oppgave 27c: Noen vil dele
168 på fire. Andre kan kanskje tenke på at de blir to som må dele en pose, altså hver
får 84 : 2 karameller. Likeledes i 27d: Vi kan regne 168 : 8, eller vi kan ta 84 : 4.
Eller kanskje noen tenker på at nå er de dobbelt så mange, og da blir det bare
halvparten så mye som i c til hver, altså 42 : 2. Alle framgangsmåtene er gode.
På kapitlets siste side, side 123, lar vi elevene prøve seg på divisjon av
desimaltall. Vi knytter det til kjente enheter og kan utnytte omregning til kontroll:
1 meter = 10 dm og 1 kr = 100 øre.
E-bok: Til hjelp i oppgave 29 fins en lenke til en valutakalkulator på internett som
omregner inntastet beløp til norske kroner.
KAPITTEL 11 – side 44
KAPITTEL 12
VI RUNDER AV
L97
MATEMATIKK I DAGLIGLIVET
Gjøre beregninger fra dagliglivet
Arbeide mer med størrelser og enheter, og spesielt tidsberegning
Vinne erfaring med myntenheter, kurs og omregning
TALL
Erfare ulike kulturers måte å skrive tall på
Arbeide mer med hoderegning
Gjøre erfaringer med multiplikasjon med desimaltall
Regne videre med lommeregner. Arbeide med å utnytte sammenhengen
mellom regneartene og få trening i å velge og bruke regnearter, ulike
metoder og hjelpemidler til å løse problemer og undersøke situasjoner
Vinne erfaringer med å vurdere forskjellige framgangsmåter, metoder og
resultater
BEHANDLING AV DATA
Øve seg i å samle, tolke, systematisere og presentere data
Vinne erfaringer med å ordne dataene i rekkefølge etter størrelse
Innhold og hensikt
·
·
·
·
·
·
·
·
Praktiske oppgaver, penger, priser og annet
Overslag, avrunding
Tellemåter: dansk
Romertall og gamle egyptiske tall
Flersifrede tall, desimaltall
Tid, avstand, fart
Divisjon, spesielt med 10 og 5
Tallmønster
KAPITTEL 12 – side 45
Vi avslutter med et repetisjonskapittel som streifer innom en god del av det vi har
arbeidet med dette året.
Kapitlet har fått tittelen Vi runder av. I forbindelse med overslagsregning er det
svært ofte nødvendig å runde av tall. I dagliglivet har vi like ofte bruk for å gjøre
overslag og vurderinger som å utføre eksakte utregninger. Vi kan tenke på enkle
tidsberegninger, overslag over hvor mye vi skal betale for varer og tjenester eller
beregning av hva en aktivitet (ferie, billetter eller liknende) vil koste. Og om vi skal
regne ut noe helt nøyaktig, er det likevel nyttig med overslag for å bedømme
rimeligheten av svarene. L97 peker også på hvor viktig dette er i forbindelse med
bruk av moderne, tekniske hjelpemidler.
Foruten avrunding vil elevene i dette kapitlet trene på å vurdere tall og størrelser,
og til å gi realistiske anslag i praktiske sammenhenger.
På enkelte steder med flerkulturelle sammensatte klasser vil elevene være kjent
med at det fins forskjellige måter å regne på, og til dels ulike skrivemåter for tall.
Her prøver vi å åpne for både en kulturell og historisk innfallsvinkel til dette.
Den viktigste hensikten med kapittel 12 er at elevene skal trene på å bruke overslag
som et nyttig redskap.
Noen forslag og vink
Side 124 Vi runder av
Alle bør legge merke til den dobbelte betydningen av tittelen på kapitlet.
Sidene 125–126 Tilbud i Danmark
Svært mange priser i butikkene er som her - ja, det forekommer også slikt som 7,95
og til og med 7,98. Det er nærmest slik at vi må venne oss til å tenke nærmeste hele
krone over når vi er ute og handler. Den nøyaktige utregningen (med lommeregner)
blir egentlig mindre interessant.
E-bok: I forbindelse med oppgave 1 kan elevene øve på avrunding.
Sidene 127–129 Reisekassa tømmes
Det er en god del tekst å forholde seg til på disse sidene. La gjerne elevene få
arbeide med dette to og to. Noe av poenget er å sette seg inn i og forstå
situasjonene, og så bruke matematikk for å løse problemer - altså regnefortellinger,
som på høyere nivå kalles modellering i matematikken.
Mange av oppgavene her gjelder bruk av multiplikasjon (gjentatt addisjon) og
divisjon (gjentatt subtraksjon). Det viktigste er at elevene klarer å tolke situasjonen,
slik at de finner ut hvilken regneoperasjon som er aktuell. Så bør de få bruke den
metoden som de selv synes er greiest til selve utregningene (hoderegning, gjentatt
addisjon eller subtraksjon, en eller annen oppstilling eller lommeregner).
KAPITTEL 12 – side 46
Til oppgavene 11-14:
– Vanlig takhøyde i norske boliger er 2,40 m. Mange skoler har sikkert større
høyde under taket.
– Elevene bør merke seg at snabelen er cirka 2,50 m lang – det kan skille en hel del
fra dyr til dyr.
– Er det en idé å sammenlikne arealet til to elefantører med golvet i elevenes
soverom hjemme?
– I oppgave 14 kan elevene komme til å lure på hvor mye de skal regne som vekt
for en elev. Kanskje cirka 40 kg er rimelig? La dem foreslå selv. I alle tilfeller blir
det alt for lite i forhold til en elefant - om så hele klassen satte seg på huska.
E-bok: Et regneark kan hjelpe til å løse oppgave 16. Dessuten kan elevene bruke
det til å sette opp sitt eget regnskap fra en liknende tur.
Side 130 Telling på dansk
At tallene har forskjellige navn på grunn av at landene har ulike språk, er ingen
overraskelse. Men prinsippene for å lage navn på store tall, kan også være
forskjellige. Danskene har et system som delvis bygger på 20 som basis. Det hjelper
gjerne hvis vi kan huske den gamle betegnelsen snes som betyr 20. Så tenker vi
treds som forkortelse for tre snes, firs (fjerds) som fire snes og fems som fem snes.
Mange synes nok likevel for eksempel halv treds som 50 (halvveis fra to til tre snes)
er rart. Men vi har noen slike uttrykk på norsk også: Vi sier halvannen for en og en
halv, og vi sier at klokka er halv fire når den er halvveis fra tre til fire. Å si en og en
halv istedenfor halvannen er ganske vanlig, men det ville også vært logisk å si at
klokka er fire og en halv istedenfor halv fem.
Sidene 131–132 Tall i gamle dager
Mange av elevene kjenner nok igjen romertallene, både fra tidligere i matematikken
og fra dagliglivet. Dette er et tallsystem som har en blanding av 5 og 10 som
grunntall eller basis, og det er også et blandingssystem av addisjon og subtraksjon.
De ville være ubrukelige til å regne i med våre kjente metoder. Men de som brukte
romertallene, tenkte helt annerledes. For eksempel var kuleramma et sentralt
hjelpemiddel, og tallenes verdi ble nøye forbundet med kulenes plassering på
kuleramma (abakusen), som for dem var et slags tallbilde.
Det egyptiske tallsystemet er et rent additivt system med ti som basis: Egypterne
la sammen de enkelte sifrenes verdi og skrev det nødvendige antall av hver enkelt
ved siden av hverandre (eller på flere linjer).
Sidene 133–134 Gode minner
På disse to sidene tar vi opp igjen avrunding for å gjøre overslag. Vi runder av til
nærmeste hundrer og til nærmeste tier.
KAPITTEL 12 – side 47
Side 135 Minner fra London
Hvis noen elever her finner på å spørre om hvor mye beløpene utgjør i norske
penger, bør de oppfordres til å sjekke dagens kurs.
I oppgave 33 kan vi minne elevene spesielt om den gode sammenhengen mellom
å dividere med 10 og med 5: Når vi skal dividere med 5, kan vi (i hodet) dividere
med 10 og så (i hodet) fordoble svaret. Dette er en praktisk teknikk, som også
mange voksne ikke er vant til å utnytte.
Side 136 Strandhopp i Las Palmas
Mange bruker en terning ekstra i Yatzy når de spiller "tvungent". En ny vri ville
være å la elevene velge selv (i samme spilleomgang): De som vil spille fritt, får fem
terninger, men de som velger tvungent, får seks terninger. Det er ikke lett å si hva
som lønner seg. Når en spiller fritt, er det strategitenkning inne i bildet, mens
tvungent gir en masse trening i hoderegning.
Side 138 Sverdfisk og desimaler
Max har ennå ikke "glemt" sin feiloppfatning (fra side 78). Når en har sagt noe galt
én gang, kan det være fort gjort å gjenta feilen. Da trengs det bevisst bearbeiding.
Ellers er dette repetisjon av desimaltall, og vi bruker spesielt lengdemål, meter og
centimeter, som konkret tilknytning.
Side 139 Klokka
Vi bruker tid og klokke som en siste repetisjon av noen viktige brøker.
Side 140 I Egypt
Igjen har vi noen korte regnefortellinger, som utfordrer elevenes praktiske sans:
Alle har kjørt med buss, men vet de hvor mye drivstoff bussen bruker per mil? Vet
de hvor mye drivstoff personbiler bruker? Mopeder?
Videre får vi igjen en anledning til å repetere fremmed mynt og valutakurs.
Sidene 141–142 Snipp snapp snute, så er eventyret ute
Noen elever vet kanskje at den vanlige betegnelsen for fart til sjøs er knop (1 knop =
1 nautisk mil per time). Men det er kanskje færre som vet at 1 nautisk mil =
1 852 m, og at 1 sjømil, som noen tror er synonym for nautisk mil, egentlig er lik 4
sjømil. Det kan kanskje være interessant for elever som bor i nærheten av sjøen å få
kjennskap til dette.
Oppgave 48 innbyr til mer enn én oppgave. Det kan være:
- Hvor mange timer tok turen?
- Hvor mange minutter er det?
- Hvor stor var farta?
- Hvor langt seilte de hvert minutt?
- Hvor mye var klokka da de var halvveis (forutsatt jevn fart)?
Kanskje noen kommer på andre ting å spørre om?
KAPITTEL 12 – side 48
Oppgave 49, den siste oppgaven i boka, kan utvides til et helt prosjekt: undersøke
priser på båter, størrelser, tilstand. Hva koster årlig vedlikehold, finne ut årlige
driftskostnader, og så videre. Eller det kan dreies i andre retninger: Hva om en
heller vil satse på campingvogn/-bil, hytte, lange turer. Til slutt: La elevene skrive
helt fritt (49c) om hva de ville brukt så mange penger til. Forslaget om luftballong
er jo nokså spesielt, men det skal vi møte i Regnereisen 7+.
Vel møtt igjen!
KAPITTEL 12 – side 49