TFY 4170 - Fysikk 2 Forelesning 17: Atomic physics
The quantum mechanical one-electron atom. The Zeeman
effect, electron spin.
Mansfield & O’Sullivan: 19.7,19.9,19.10,19.11
Atomic physics
!
!
!
!
!
!
Atomic models.
Atomic spectra.
Bohr’s postulates.
Bohr’s atomic theory.
Quantum mechanical
one-electron atom.
Spin.
!
!
!
!
!
!
Zeeman effect.
Electron spin.
Pauli-principle.
Many electron
systems.
Periodic system.
Atoms with many
electrons.
Repetisjon:
Ett-elektronatomet
Repetition:
The one-electron atom
Repetisjon: Ett-elektronatomet
Tidsuavhengig
Schrødingerligning
Time independent
Schrødinger equation
dsuavhengig
Schrødingerligning
2
!
2
2
!
"
! 2m2 ! (r, ! , " ) +U(r)! (r, ! , " ) = E! (r, ! , " ),
!
" ! (r, ! , " ) +U(r)! (r, ! , " ) = E! (r, ! , " ),
2m
Løsning
Solution
sning
! n,l,ml (r, ! , " ) = Rn,l (r)!l,ml (! )" ml (! )
! n,l,ml (r, ! , "2) = Rn,l (r)!l,ml (! )" ml (! )
Z E
En =Z#2 E 2 0
En = # 2 0n
n
2
Ze
U(r) = Ze
!2
U(r) = ! 4!" 0 r
4!" 0 r
(se lærebok tabell 20.1)
(se lærebok tabell 20.1)
(Hydrogen:
Z=1)
(Hydrogen:
Z=1)
(Hydrogen: Z=1)
Kvantetallene
Quantum numbers
vantetallene
• Hovedkvantetallet
n=1,2,3,...
(energi)
• Principal quantum
number n=1,2,3,...
(energy)
• Hovedkvantetallet
n=1,2,3,...
(energi)
• Banespinnkvantetallet
l<n
(dreieimpuls)
• Angular momentum quantum number l<n (angular momentum)
• Banespinnkvantetallet
l<n l|<=l (dreieimpuls)
• Magnetisk
kvantetall
egenskaper)
quantum|m
number |m(magnetiske
(magnetic properties)
• Magnetic
l|<=l
• Magnetisk kvantetall |ml|<=l
(magnetiske egenskaper)
One-electron atom:
Quantum numbers
Electronic states are defined by the numbers:
The angular momentum values are also
given names:
l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…
s, p, d, f, g, h, i
sharp
principal
diffuse
fundamental
One-electron atom:
Degeneration
The energy of the electron only depends on the radial quantum number
States are said to be `degenerate’ is they have the same energy (but the
other quantum numbers are different)
n
l
m
1
0
0
2
0
1
0
-1,0,1
3
0
1
2
0
-1,0,1
-2,-1,0,1,2
Denradielle
radielle
sannsynlighetsfordelingen
Den
sannsynlighetsfordelingen
The
radial
probability
distribution
Sannsynlighet
innenfor
Sannsynlighet
innenfor
dV dV
The probability of finding an electron within volume dV
! R! (r)R (r)"
! ! (! )"
!)#! (" )# ("2 )r 2 sin ! drd! d"
Pn,l,m
(r,
!
,
"
)dV
=
(
!
Pn,l,m
(r,
!
,
"
)dV
=
R
(r)R
(r)"
(
!
)"
(
!
)#
ml )# m ("
ml )r sin ! drd! d"
l
n,l n,l n,l n,l l,ml l,ml
l,ml l,ml
ml ("
l
l
Radiell
sannsynlighet
Radiell
sannsynlighet
Radial probability:
2
2
2
r dr
n,l (r)dr
n,l (r)
Pn,lP
(r)dr
= R=n,lR(r)
4! 4r 2!dr
zz z
r+dr
r+dr
r+dr
rr r
xx
yy
y
x
volum-element
volum-element
volume element
The radial probability distribution
The radial probability distribution
The radial probability distribution
Probability density in the x-z plane
n=1,l=0,m=0
n=2,l=1,m=0
n=2,l=0,m=0
n=2,l=1,m=+1,-1
Probability density in the x-z plane
n=3,l=2,m=1,-1
One-electron atom
Dynamic (time dependent) picture
Quantum-mechanical picture
Banespinn
(dreieimpuls)
Banespinn
(dreieimpuls)
Banespinn
(dreieimpuls)
Orbital
angular
momentum
Banespinn
(dreieimpuls)
Bohr
postulerte
et
kvantisert
bane-spinn
Bohr
postulerte
kvantisert
bane-spinn
Bohr
postulerte
kvantisert
bane-spinn
Bohr
postulated
aetet
quantised
angular
momentum
Bohr
postulerte
et
kvantisert
bane-spinn
= =mvr
= n!,
1,3,...
2, 3,...
=Lmvr
mvr
=n!,
n!,
1,=2,3,...
2,
3,...
=n!,
LL=L=mvr
nn=n=1,=n1,2,
Eksakt
løsning
av
det
kvantemekaniske
en-elektron
atomet
Eksakt
løsning
av
det
kvantemekaniske
en-elektron
atomet
Eksakt
løsning
av
det
kvantemekaniske
en-elektron
atomet
Eksakt
løsning
av
det
kvantemekaniske
en-elektron
atomet
The
exact
solution
of
the
quantum-mechanical
one-electron
atom:
!n,l,m
(r,!(r,
!, "
,!"),)" )
!(r,
(r,
n,l,m
n,l,m
!!n,l,m
l !l , " )
l
l
Kvantetallet
Bestemmer
banespinnet
Kvantetallet
l:
Bestemmer
banespinnet
Kvantetallet
Bestemmer
banespinnet
Kvantetallet
l:l:l:
Bestemmer
Quantum
number
l: tells isbanespinnet
the
orbital angular momentum.
2 2
2 2 =2 l(l +1)!
2L
22
L
=
l(l
+1)!
L
=
l(l
+1)!
L = l(l +1)!
=0,1,
2,...n
!1!1
l 0,1,
=2,...n
0,1,
2,...n
2,...n
!1
l l=l=0,1,
!1
Komponenten
av
banespinnet
iz-retningen
z-retningen
Komponenten
av
banespinnet
i z-retningenin the z-direction
The
component
of
orbital
angular
momentum
Komponenten
av
banespinnet
Komponenten
av
banespinnet
i iz-retningen
=m
m
! l!
=l !lm
zl !
LLz Lz=z=Lm
m=
=!l,
!l,
!l+1,...,
+1,...,
0,...,
!1,
l
=!l!l,
!l +1,...,
lm
0,...,
l l!1,
l !l
mm
+1,...,
0,...,
l0,...,
!1,
ll l!1,
l !l,
l =
magnetic
quantum number:
Banespinn
Banespinn
zz z
z
LL
z Lz
Possible
angle
between
LLand
the z-: :
Mulige
vinkler
mellom
og
z-aksen
Mulige
vinkler
mellom
L og
z-aksen
axis:
LL L
L L
m !m !
m m
cos
cos!
=! !=z =!z = l l 1/2 =1/2 = l 1/2l 1/2
2
l(l +1)
L L(l(l (+1)!
l(l +1)!
) )
) 2 ) (l(l(+1)
θ
θ" θ"
xx x
yy y
ϕ
ϕ" ϕ"
" cos
!1 !1
" cos
! "!1" 1
= !l,...,
0,1,...l
# # ml m
= l!l,...,
!1,!1,
0,1,...l
L
Lz z Lz
Example:
Eksempel:
Eksempel:
2h 2h
1h 1h
l = 2l = 2
1/2
1/2
= [+1)
l(l ]+1)!] = ! =6! 6!
! !
L = L[l(l
0h 0h
−1h−1h
−2h−2h
Zeemaneffekt
The
Zeeman
effect
Zeemaneffekt
Symmetrisk
system:
Ingen
forskjell
på
x-,
z-aksen
system:
forskjell
på
og
InSymmetrisk
a symmetric
system Ingen
there
is
no
difference
in the
x-, y-,
y-, og
and
z-axes
Symmetrisk
system:
Ingen
forskjell
på x-,
x-, y-,
y-,
og z-aksen
z-aksen
Brutt
Magnetisk
Brutt
symmetri:
Magnetisk
felt
But
we can
breaksymmetri:
the
symmetry
magnetic field:
Brutt
symmetri:
Magnetisk
feltusing afelt
ulike banespinntilstander
ulike
separeres
ulike banespinntilstander
banespinntilstander
separeressepareres
trajectories
are affected differently
Ladet iipartikkel
bane
har
magnetisk
moment
bane
moment
A Ladet
charged
particle
in
an har
orbit
has a
magnetic
moment
Ladet partikkel
partikkel
bane
hari magnetisk
magnetisk
moment
!
!
!!
!! m
(like a current in a solenoid):
= IAn
m = IAn
m = IAn
Gjennomsnittsstrøm:
Gjennomsnittsstrøm:
Average
current:
Gjennomsnittsstrøm:
ee
22!!!eRR, T = 2! R
I
=
II == !! ,, TT ==
v
TT
vvT
!ee !! ! ev
e ! 2 !!ev
!!
!! m
2 !
ev
2
=
IA
n
=
!
A
n
=
!
!
R
n
m
m == IA
IAnn == !! AAnn == !! T !!RR 2nn! R
TT
22!!RR
1ee ! !! e ee !! !
e !
!!
11
n =nn!== !! mvR
L
== !! evR
mvR
LL n = !
evRnn == !! 2 evR
mvR
2m2m
2m
22
2m
2m
2m
(
)
(
)
Zeemaneffekt
Zeemaneffekt
The
Zeeman effect
Zeemaneffekt
Zeemaneffekt
Potensiell
energi
til til
magnetisk
dipol
Potensiell
energi
til
dipol
Potensiell
energi
magnetisk
dipol
Potential
energy
of magnetisk
a magnetic
dipole:
Potensiell
energi
til
magnetisk
dipol
! ! ! ! ! ! !! !! !
!mcos
!!=B
•!B
m=•=!m!B!=Bm
cos
UU= =!UB
•m
!!
!
U = !B • m = ! B !
m Bcosm!cos!
Energienererminst
minst
nårnår
magnetfeltet
rettet
langs
magnetiseringen.
Energien
når
magnetfeltet
ererrettet
langs
magnetiseringen.
minst
magnetfeltet
er
rettet
magnetiseringen.
TheEnergien
energy
iserleast
when
the
magnetic
field
is
inlangs
the
same
direction as
Energien
er minst
når
magnetfeltet
er rettet
langs
magnetiseringen.
the magnetic moment (magnetisation).
Laz-aksen
z-aksen
være
langs
B along the direction of B
La
være
langs
La
z-aksen
være
langs
We
define
the
z-axis
toB
La
z-aksen
være
langs
Bbe B
m
LLzL=z==
m
l!
l!
L
=
m
!
z l ml !
z
ee e e
ee e e
U= =!m
!m
B
=
L
B
=
Bm
U
B
=
L
B
=
Bm
z = B = Lz B
z L
l! !
l!
!m
B
=
Bm
U =U
!m=zz B
=
Bm
!
z2m
z
l
z
l
2m
2m
2m
2m
2m
2m
2m
e! e!
e!
"23"23
"2"2
e!
"23"2
"2
U
=
µ
Bm
,
µ
=
=
0.927
!10
Am
U
=
µ
Bm
,
µ
=
=
0.927
!10
Am
"23
B µ l ,Bm
l
, BB B=µ2m
= = 0.927
= 0.927
U =U
µBB=Bm
!10 !10
Am Am
Bl
lµ
B2m
2m 2m
(Bohrmagneton)
(Bohrmagneton)
(Bohrmagneto
(Bohr
magneton)
(Bohrmagneton)
energi
avhenger
m
energi
avhenger
avavm
l-kvantetallet
l-kvantetallet
energi
avhenger
av
m
The
energy
depends
on
the
quantum number ml
energi
avhenger
av m
-kvantetallet
l-kvantetallet
l
The Zeeman effect
Pieter Zeeman (1865-1943):
Transition between l=1 and l=0:
E
ml=1
l=1
ml=0
ml=-1
l=0
Without magnetic field
With magnetic field
Inhomogeneous magnetic field:
Consider and inhomogeneous magnetic field in the z-axis:
Energy of an atom in the field:
Resulting force on the atom:
The force depends on Lz
Deflection depends on quantum number ml
Stern Gerlach experiment
Stern (1888-1969) and Gerlach (1899-1981) carried out this experiment:
Hydrogen’s ground-state: n=1, l=0, ml=0.
hydrogen atoms should not be deflected
Stern and Gerlach’s result: To different deflection angles!
There is some `inner magnetic moment’... this is because of
the electron-spin
Elektronspinn
Electron
spin
Elektronspinn
! !! e ! ee !!
m==!!L LL
m = !m
2m
2m 2m
! !! e ! ee !!
m
mS =m
!SS ==!!S SS
2m
2m 2m
Elektronspinnet
er
Elektronspinnet
Elektronspinnet
The
electron er
spiner
is:
22
22
2
s(s+1)!
+1)!
==+1)!
s(s
S 2 =SSs(s
s: spinnkvantetall
spinnkvantetall
s:
s: spinnkvantetall
s: spin
quantum
number
Komponenten
z-retningen
Komponenten
ii z-retningen
Komponenten
i z-retningen
The
component
in
the z-direction
mss!!
Sz =SSmzz s==
!m
m
ms !m
sss !!ss
Stern-Gerlach:
To avbøyningsvinkler
avbøyningsvinkler
Stern-Gerlach:
To
Stern-Gerlach:
To avbøyningsvinkler
Stern-Gerlach:
Two
deflections are observed
kun
to mulige
mulige
verdier
for
mm
kun
to
verdier
for
m
kunonly
to
mulige
verdier
for m
ss.. .
s.of
two
possible
values
s
1 11
1 11
⇒ms =m
m±ss == ±±
s = ss == ⇒ ⇒
2 22
2 22
Spin
one
of viktigste
the most
important
sources(i of
magnetism
in solid
Spinn
er
den
viktigste
kilden
til magnetisme
magnetisme
(i faste
faste
stoffer).
Spinn
er
den
kilden
til
(i
stoffer).
Spinn
er is
den
viktigste
kilden
til magnetisme
faste
stoffer).
materials.
The one electron atom: Quantum
Ett-elektronatomet:
Kvantetallene
numbers:
n, l , ml , ms
•n=1,2,3, … called the `principal quantum number’. It tells us the total
• n=1,2,3, … kalles hovedkvantetallet. Dette kvantetallet bestemmer
energy of the system
totalenergien til atomet.
•l can
takeverdier
valuesslik
such
l=0,1,…,(n-1).
• l kan
ta alle
at that
l<n.l<n.
Det The
betyrexample;
at l=0,1,…,(n-1).
l is called the orbital angular momentum quantum-number, or the
l kalles banespinnkvantetallet.
azimuthal quantum number.
• ml kalles det magnetiske kvantetallet.
ml is called the magnetic quantum number:
|m•
|<=l,
dvs. ml=-l,…,-1,0,1,…,l.
l
|ml|<=l, i.e. ml=-l,…,-1,0,1,…,l.
• ms er elektronets spinn
•ms is the `electron spin’; ms=-1/2,1/2
ms=-1/2,1/2
DenThe
totale
bølgefunksjonen
total
wavefunction iser
now:
Ψ n ,l ,ml ,ms (r , θ , ϕ ) = Rn ,l (r )Θl ,ml (θ )Φ ml (ϕ ) χ ms