151126 Fagdag Matematikk med hjertebank

01.12.2015
1
«Matematikk med hjertebank»
«Kun den kan tenne et hjerte som selv brenner»
(Jon-Roar Bjørkvold)
Basert på teoriene til Ostad, Vygotsky og kognitiv psykologi.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
2
Innhold:















Jakten på mestring, samt eksamensresultatene fra våren 2015
Elevene i et flerkulturelt miljø
Metakognisjon, samt strategier (måter å lære på)
Rammer for undervisningen
Relevante matematikkoppgaver
Siffer og tall, samt 10-tallsystemet knyttet til penger og språket
Fire ulike nivåer for undervisningen
De fire regneartene, samt brøk, prosent og desimaltall
Grunnleggende sammenhenger i matematikk
Begreper i matematikk
Desimaltall
En kognitiv modell
Ikonisk minne, samt nærmeste utviklingssone
Tekstoppgaver og korttidsminnet
Kritikk av metoden
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
1
01.12.2015
3
Jakten på mestring

Sikre at elevene opplever læring/endring så fort
som mulig
Eksempel:
 Dersom vi teller sekunder sammen:
• 1.000 = 16 minutter og 40 sekunder
• 1.000.000 = 11 døgn, 13 timer, 46 minutter og 40
sekunder
• 1.000.000.000 = 31 år, 270 døgn, 15 timer, 33
minutter og 20 sekunder
 Dette viser at hjernen kan prøve å lure oss når vi
tolker informasjon og kunnskap.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
4
Det er systemet som har en vanske – ikke
elevene!

Eksamensresultatene i matematikk på 10. trinn
for våren 2015 viser at:



14,5% fikk karakteren 1
27,1% fikk karakteren 2
Eksamensresultatene i videregående skole,
Praktisk matematikk 2 året, studieforberedende
for våren 2015:
11.7% fikk karakteren1
34,4% fikk karakteren 2
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
2
01.12.2015
5
Samtalen med elevene






Du kan vel ikke forvente å lære et fag, når du ikke
har lest pensum, eller vet hvordan lese faget?
Kan en ha vansker i et fag en ikke har lært?
Vi skal begynne helt ved begynnelsen: Forståelse
for sifre og tall.
For noen vil enkeltemner være enkle, fordi dere vil
oppdage at dere innehar kompetanse dere ikke
visste dere hadde.
Dersom du ikke forstår det aktuelle emnet, må du
ta ansvar for å si ifra. Det er ikke noe poeng å
regne rett, dersom du ikke forstår det du gjør.
Sjekk fasit for hver underoppgave du gjør ( Regn ut
a) sjekk fasit, regn ut b) sjekk fasit etc.)
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
6
Elevene i et flerkulturelt miljø
En del av den ordinære gruppen norske
elever, og innvandrere
1.

Som iboende har et ønske om å lære med
bakgrunn i mestringsopplevelser
En del av den ordinære gruppen norske
elever og innvandrere
2.

Som går på skolen, fordi «det gjør alle»
Mennesker som har opplevd å feile tidligere i
livet når det gjelder læring:
3.

Motstand
Mennesker som ikke har hatt mulighet til å
lære tidligere i livet:
4.

For høy grad av respekt for systemet/lærerne
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
3
01.12.2015
7
Hvordan undervise ved hjelp av
metakognisjon
 Fokusere
på å bygge bro over avstanden
mellom eleven og «systemet».
 Bruke eksempler som elevene kan forstå
(«relevante oppgaver»).
 Snakke om kognisjon og måter å lære på
(strategier), uten å ha svarene.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
8
Metakognisjon defineres som:
«Kunnskap og kontroll over egne kognitive
prosesser»
(Margareth. W. Matlin, side 196)
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
4
01.12.2015
9
Strategier (måter å lære på)

Det er ikke en rett strategi for læring, og
«noen» som er feil. Dersom en elev har en
måte/en taktikk der han/hun faktisk tilegner
seg kunnskapen: Så er det en strategi.


En strategi kan kreve uhensiktsmessig mye tid og
energi.
Lærer kan gjennom veiledning hjelpe elever
til å effektivisere læringen gjennom å finslipe
strategien, eventuelt å finne en annen
strategi – som er mer hensiktsmessig.


Ønsker og håp er ikke læringsstrategier
Mestring og motivasjon er ikke det samme
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
10
Rammer for undervisningen
 To
retninger i undervisning av matematikk
for voksne:
1)
2)

Matematikk i hverdagslivet.
Grunnskolematematikk for å ta
studiespesialiserende ved videregående
skole.
Ikke nivå-tenkning: Progresjon til den
enkelte elev innenfor de ulike delemnene.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
5
01.12.2015
11
 OBS:


Først reprodusere, så skape.
For å dekke inn formell føring!
Samtidig trener en å bruke språket som
verktøy i problemløsning/læring.
 Samtale


med elevene:
Leste du pensumboken i matematikk da du
strøk/ikke fikk til matematikk i skolen?
Hvordan er lesing i matematikk
sammenlignet med andre fag?
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
12
Behovet for endring
Læring defineres ofte som: En relativt varig
endring av handling, som er et resultat av
erfaring.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
6
01.12.2015
13
Relevante matematikkoppgaver, fordi:
Når en leser forekommer ordene i en
språklig kontekst, og meningen av ordene
forstås ut fra dette. I tillegg farges
fortolkningen av bakgrunnskunnskapene en
har. Måten morsmålet er bygget opp på
har dermed en påvirkning på hvordan, og
hva en legger merke til i verden.
(Golden, 2009)
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
14
Relevante matematikkoppgaver


Forståelse for ny kunnskap i faget matematikk er
erfaringsbetinget, men den er også aldersbetinget.
Dersom en elev ikke har noe relevant å knytte den
nye kunnskapen til, så framstår kunnskapen som
meningsløs.
Uttrykket relevante matematikkoppgaver kan
defineres som oppgaver i matematikk der elevene
har erfaringsbakgrunn.


Det vil si at elever fra en subkultur i Norge, fra en
landsdel, eller flerspråklige elever kan ha behov for
andre eksempler når en introduserer et delemne i
matematikk.
Det er en rekke matematikkoppgaver som kan synes
relevante, men som er konstruerte ut fra et vokabular
og har lite med realiteten å gjøre. Påfølgende
eksempler er hentet fra matematikkbøker som
benyttes i norsk grunnskole.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
7
01.12.2015
15
Eksempler:
 Nina har like mange mynter av hvert slag: enkroner,
femkroner, tikroner og tjuekroner. Til sammen utgjør
myntene 144 kroner. Hvor mange mynter har Nina til
sammen?
 På en grillkveld ble det grillet kun pølser og
koteletter. 80 % av gjestene spiste koteletter og 60 %
spiste pølser. Alle gjestene spiste. Hvor mange
prosent av gjestene spiste bare pølser, hvor mange
prosent spiste bare koteletter og hvor mange
prosent spiste både pølser og koteletter?
 En saftblanding A inneholder 1/8 ren saft og resten
vann. En annen saftblanding B inneholder 5/8 ren
saft og resten vann. Vi vil lage en ny saftblanding av
disse to. Vi tar 3 deler av blanding A og en del av
blanding B.
Hvor stor del av den nye saftblandingen er ren saft?
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
16
Et lysbilde uten nyttig
informasjon PAUSE SLIDE !
 Det
bare fyller mellomrommet mellom det
forrige og det neste lysbildet (som følger
om et øyeblikk).
 Det er ikke nødvendig å skrive dette ned,
med mindre du føler det tvunget til å
gjøre det.
 Ingenting på denne har med fag å gjøre.
 Faktisk er jeg ikke sikker på hvorfor jeg
gadd å lage den.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
8
01.12.2015
17
Siffer og tall
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
18
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
9
01.12.2015
19
Slik skriver vi tall for å trene
plasseringsprinsippet:
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
20
10-tall systemet knyttet til
penger og til språket
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
10
01.12.2015
21
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
22
Det er fire ulike nivåer eller plan (Marit
Holm, 1998):
1.
2.
3.
4.

Konkrete plan
Halvkonkrete plan
Halvabstrakte plan
Abstrakt plan
Fremstillingen av tallet ”23” i de fire planene
(neste lysbilde): I det en tar bilde av noe, så er
en på det halvkonkrete planet. På bakgrunn
av dette blir det ikke mulig å fremstille
planene korrekt på papir.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
11
01.12.2015
23
Det konkrete
Det halvkonkrete
Det halvabstrakte
Det abstrakte
planet
planet
planet
Planet
(fysiske objekter)
(bilde av fysiske
objekter)
lllll
lllll
lllll
lllll
23
lll
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
24
Hensiktsmessig lagring
vs Ikke-hensiktsmessig lagring
Kunnskapslager
Delemner
(Ostad, 1997)
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
12
01.12.2015
25
Sammenhengen mellom
addisjon og subtraksjon
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
26
Sammenhengen mellom
addisjon og multiplikasjon
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
13
01.12.2015
27
Sammenhengen mellom
multiplikasjon og divisjon
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
28
Brøk og divisjon: To sider av samme sak
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
14
01.12.2015
29
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
30
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
15
01.12.2015
31
Forståelse for enhetene innenfor brøk:
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
32
Konkretiseringsmateriell
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
16
01.12.2015
33
Mer konkretiseringsmateriell:
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
34
Grunnleggende sammenhenger
i matematikk
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
17
01.12.2015
35
Addisjon med flersifrede tall
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
36
Subtraksjon med flersifrede tall
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
18
01.12.2015
37
Multiplikasjon med flersifrede tall
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
38
Vis alle utregningene elevene spør
etter!
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
19
01.12.2015
39
Brøk… (uekte brøk, blandete tall)
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
40
Et metakognitivt tankekart over
grunnleggende emner i matematikk
X 100
%
a,b
x
y
x= y+z
+
10-tall
Tallfor-
systemet
ståelse
X
23
:
© Iris S. Krokmyrdal, 2006
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
20
01.12.2015
41

Når det gjelder elever som skal lære matematikk, som de ”ikke forsto
noen ting av” i grunnskolen, bør en starte med å slå fast at de mystiske,
tidvis magiske tingene som skjer med tall i matematikk ikke er reelle.
Det finnes ikke flygende tall som skifter fortegn, og en stryker ikke vekk
tall uten videre. Det er alltid en matematisk forklaring, som elevene må
få forståelse for – før de kan ta i bruk «snarveiene» (f.eks.: «flytt og bytt» i
ligninger).

I praksis har det vist seg at når elever har mangler i
matematikkunnskapene sine, kan det metakognitive kartet fungere
som et rammeverk som tydeliggjør hvilke kunnskaper elevene må
tilegne seg. Når elever sliter i faget matematikk, blir ofte fokus rettet
mot hvilke sider i læreboken elevene må jobbe med, og hvilke
oppgaver de bør gjøre. Elever får da en opplevelse av at de jobber for
”å ta igjen de andre i klassen”. En av de voksne elevene, som mottok
undervisning etter modellen, og som hadde hatt spesialundervisning i
grunnskolen, fremmet at: ”Nå er fokuset på hva jeg skal kunne – og ikke
på hva jeg skal gjøre, eller hva jeg har å ta igjen”. Den individuelle
målsettingen med opplæringen blir dermed styrende for
undervisningen.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
42
Begrepsprøve i matematikk
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
21
01.12.2015
43
Prøven blir da:
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
44
Forklare poenget med begrepene
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
22
01.12.2015
45
Hvor bevisst er vi lærere med språket i
matematikk?
Finn X
X
Den er her!
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
46
Desimaltall:
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
23
01.12.2015
47
Desimaltall en gang til:
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
48
En kognitiv modell
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
24
01.12.2015
49
Ikonisk minne
«Visuell kunnskap blir ofte sett på som noe
mindreverdig.»
(G. Imsen, 2003, s. 137)
IT, smartboard og internett: Bygger i stor
grad på ikonisk minne.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
50
Ikonisk minne er altså en del av menneskets
mentale kapabilitet. Elever som styres av et
omfattende ikonisk minne må gjøres
oppmerksom på at hjernen ikke kan trylle
bildeminnene over til ord.
På prøver og tester i skolen er det for liten
tid til å oversette til språk, eller beskrive det
som er lagret i ikonisk minne.
Ikonisk minne kan være godt å bruke som
nøkler eller knagger for gjenkalling av
kunnskap. Men et bilde kan ikke
manipuleres så fleksibelt som språket.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
25
01.12.2015
51
Nærmeste utviklingssone:
«… er avstanden mellom det faktiske
utviklingsnivået, som bestemmes av barnets
selvstendige problemløsning – og nivået av
potensiell utvikling, som bestemmes
gjennom problemløsning med støtte av
voksen eller i samarbeid med mer kapable
medelever»
(L. S. Vygotsky, 1978, s. 86)
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
52
Tekstoppgaver og KTM
”Word problems require considerable
working memory because children must
read and represent the problem, determine
the best strategy for solving the problem
and carry out that solution strategy in
working memory”
(Carr og Hettinger s. 41 i Royer, 2003 )
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
26
01.12.2015
53
Kritikk av metoden!




Et moment en bør være oppmerksom på og kritisk overfor, når
en arbeider med den beskrevne metoden, og som kan oppstå
i spesialundervisning med voksne elever:
Metoden krever at eleven våger å være ærlig og snakke om
det han/hun tenker når han/hun arbeider med matematikk.
Når en gjennom en årrekke har erfart at ”en er mislykket” i
faget matematikk, er det mange som har utviklet en rekke
symptomer på angst i forhold til faget. Noen av disse elevene
har helt klart utviklet angst i forhold til matematikkfaget.
Dette kan observeres gjennom de vanlige autonome
reaksjonene som oppstår ved angst. Det er dermed svært viktig
at lærer/spesialpedagog er bevisst sin rolle, slik at han/hun ikke
glir over mot en psykologrolle. Dersom det skulle skje, vil
lærer/spesialpedagog befinne seg i et felt han/hun ikke er
ment å gå inn på, og sannsynligvis ikke har faglig kompetanse
til å mestre.
Eleven vil i så tilfelle befinne seg i en situasjon der han/hun ikke
kan være trygg på å bli ivaretatt. Åpen dialog med eleven
rundt dette momentet blir sentralt for å ivareta eleven, og for å
sikre at en ikke trør ut av rollen som lærer/spesialpedagog.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
54
Referanser:





Baddeley, Alan D. (1999). Essentials of Human
Memory. Hove (UK): Psychological Press.
Golden, A. (2009). Ordforråd, ordbruk og
ordlæring. Gyldendal Norsk Forlag AS, 3. utgave,
2. opplag 2011.
Imsen, G. (2005). Elevenes verden. Innføring i
pedagogisk psykologi. Universitetsforlaget.
Matlin, M. W. (2009). Cognitive psychology. John
Wiley & Sons, Inc.
Vygotsky, L.S. (1987). Mind in society. The
development of higher psycological processes
Harvard University Press, Cambridge,
Massachusetts, London, England.
©Iris S. Krokmyrdal, 2015
@Iris S. Krokmyrdal
27