1. No category

1
Formelark, TEP4105 Fluidmekanikk
Overflatespenning
∆p = Υ
1
1
+
R1
R2
.
Langs en strømlinje
Reynolds transportteorem (φ = βρ hos White)
Z
Z
I
d
d
∂
~ · ~n dA.
Bsyst ≡
φ dV =
φ dV+ φ V
dt
dt syst
∂t CV
CS
Bernoulli, langs en strømlinje
v
dy
= .
dx
u
Atmosfæretrykk
p(z)
=
p0
T (z)
T0
Tidsavhenging strømning:
5.26
.
Energilikningen
Q̇−Ẇshaft −Ẇviscous
Ideell gass:
p = ρRT ; Rluft =
287 J/kg K.
Kinematisk viskositet
ν=
UL
.
ν
µ
.
ρ
∂u ∂v
+
.
τxy = µ
∂y
∂x
Impulssatsen (stasjonær strømning og stasjonært CV)
X
dp
= −ρg.
dz
~˙ UT − M
~˙ INN ,
F~ = M
hvor
Hydrostatiske krefter på plane flater (atmosfæretrykk
utelatt)
F = γhCG A.
~˙ UT =
M
Z
xCP
Ixy
=−
.
ξCG A
Kraft på krum flate
FV = γV.
Trykkfordeling ved alselerasjon
~ + ρg~k = −ρ~a.
∇p
Trykkfordeling ved jevn rotasjon
1
p = p0 + ρr2 Ω2 − ρgz.
2
Akselerasjon (Kartesisk)
~
~
~
~
~
~
DV
∂V
~ · ∇)V
~ = ∂V + u ∂V + v ∂V + w ∂V .
=
+ (V
Dt
∂t
∂t
∂x
∂y
∂z
Virvling
~ ×V
~.
ζ~ = 2~
ω=∇
~ V
~ · ~n dA,
ρV
UT
~˙ INN = −
M
Med ξCP = trykksenter og ξCG = centroide, er
FH = γhCG Ax ,
I
+ hturbin + hfriksjon − hpumpe .
Hydraulisk trykk
ξCP − ξCG
p ~
ρ e dV+
ρ e+
V · ~n dA,
ρ
CV
CS
Z
Energilikning for stasjonær, inkompressibel strømning
med ett inn- og utløp
p
V2
p
V2
+
+z
=
+
+z
ρg
2g
ρg
2g
inn
ut
Skjærspenning
Ixx
=
,
ξCG A
∂
=
∂t
hvor total energi per masseenhet er
1
e = û + V 2 + gz.
2
Reynolds tall:
Re =
p 1 2
+ V + gz = konst.
ρ 2
∂φ p 1 2
+ + V + gz = konst.
∂t
ρ 2
Stasjonær strømning:
Z
~ V
~ · ~n dA.
ρV
INN
Trykkrefter på CV
F~press = −
I
pgage ~n dA
CS
Kritisk Reynoldstall for rørstrømning
Recrit ≈ 2300.
Darcys friksjonsfaktor for laminær strømning
64
f=
.
Re
Kontinuitetslikningen
∂ρ ~ ~ + ∇ · ρ V = 0.
∂t
Kontinuitetslikningen i sylindriske koordinater
∂ρ 1 ∂(rρvr ) 1 ∂(ρvθ ) ∂(ρvz )
+
+
+
= 0.
∂t
r ∂r
r ∂θ
∂z
Inkompressibel kontinuitetslikning
~ ·V
~ = 0.
∇
2
Eulerlikningen
~
∂V
~ ·∇
~ V
~ = −∇p
~ + ρ~g .
ρ
+ρ V
∂t
Bølgetall
Inkompressibel Navier-Stokes
~
∂V
~ ·∇
~ V
~ = −∇p
~ + ρ~g + µ∇2 V
~.
ρ
+ρ V
∂t
Vinkelfrekvens
Hastighetspotesnial
Fasehastighet
~ = ∇φ.
~
V
k=
2π
.
L
ω=
2π
.
T
c=
L
ω
= .
k
T
Inkompressibel strømningsfunction ψ
Gruppehastighet
(kartesisk)
(sylindrisk)
(aksesymmetrisk)
∂ψ
;
u=
∂y
1 ∂ψ
vr =
;
r ∂θ
1 ∂ψ
vr = −
;
r ∂z
∂ψ
v=−
;
∂x
∂ψ
vθ = −
;
∂r
1 ∂ψ
vz =
.
r ∂r
Potensialstrømning
cg =
∂ω
.
∂k
Vannbølger
φ=
ga cosh k(z + d)
cos(ωt − kx)
ω
cosh kd
Dispersjonsrelasjonen
∇2 φ = ∇2 ψ = 0.
ω 2 = gk tanh kd.
Noen strømningsfelt
Kinematisk overflatebetingelse
(Uniform strømning) ψ =V y;
(kilde/sluk) ψ =mθ;
(linjevirvel) ψ = − K ln r;
sin θ
;
(dublett) ψ = − λ
r
φ = V x;
φ = m ln r;
φ = Kθ;
cos θ
φ=λ
.
r
∂η
∂η
+u
= w,
∂t
∂x
ved
Dynamisk trykk
pd = −ρ
Strømning forbi en sylinder
ψ = V∞ r − a2 /r sin θ.
∂φ
∂t
Komplekst potensial
w(z) = φ(x, y) + iψ(x, y);
Drag og løft
1
L = CL · ρV 2 A.
2
1
D = CD · ρV 2 A,
2
I
Γ=
~ · d~s
V
dw
= u − iv = V e−iθ .
dz
Blasius’ teorem
1
Fx − iFy = iρ
2
Kutta-Joukowsky
L = −ρU Γ.
z = x + iy.
Kompleks hastighet
w0 (z) =
Sirkulasjon
z = η.
I
c
2
(w0 (z)) dz