1. No category

Diskret Matematikk tirsdag 17. november 2015
Repetisjon fra siste uke:
Relasjoner
En relasjon R på en mengde
produktmengden A  A .
A
er en delmengde av
La R være en relasjon på en mengde A .
R
er refleksiv hvis
R
er symmetrisk hvis
R
er antisymmetrisk hvis
a  b og (a, b)  R ,
R
er transitiv hvis
og
(a, a)  R
for alle
(a, b)  R ,
(a, b)  R
a  A.
så er
(b, a)  R .
(b, c)  R ,
så er
(b, a)  R .
så er (a, c)  R .
Ekvivalensrelasjoner
En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis
den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.
Eksempel
Gitt relasjonen R på A der A er heltallene og
R = {(a, b) | a + b er et partall}
Vi skal avgjøre om R er en ekvivalensrelasjon.
Er R refleksiv? Ja, fordi a + a = 2a er et partall.
Er R symmetrisk? Ja, fordi hvis a + b er et partall må b + a
være et partall siden a + b = b + a.
Er R transitiv? Ja. Begrunnelse:
La (a, b) ∈ R og (b, c) ∈ R, dvs. a + b er et partall og b + c er et
partall. Summen av to partall er et partall og da får vi at
(a + b) + (b + c) = 2x
a + c + 2b = 2x
Diskret Matematikk tirsdag 17. november 2015
a + c = 2x – 2b = 2(x-b).
Vi ser at a + c et partall og følgelig er R transitiv.
Siden R både er refleksiv, symmetrisk og transitiv er R en
ekvivalensrelasjon.
Partisjoner (oppdelinger)
Gitt en mengde A, og delmengdene A1 og A2, der A1 ∪ A2 = A
og A1 ∩ A2 = Ø, dvs. A1 og A2 er disjunkte mengder uten felles
elementer. Vi sier da et A1 og A2 utgjør en partisjon av A.
Et annet ord for partisjon er oppdeling.
En partisjon (oppdeling)
En samling delmengder A , A , A , . . . , A av en mengde A
utgjør en partisjon av A hvis A  A  A  . . .  A  A og A  A  Ø
for alle i  j .
1
3
2
1
n
2
3
n
Eksempel
La A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, der
A1 = {1, 3, 5, 7, 9}, dvs. mengde av oddetallene i A
A2 = {2, 4, 6, 8, 10} dvs. mengde av partallene i A
A1 ∪ A2 = A
i
j
Diskret Matematikk tirsdag 17. november 2015
A1 ∩ A2 = Ø, dvs. A1 og A2 er disjunkte mengder uten felles
elementer.
Delmengdene A1 og A2 utgjør en partisjon av A.
Ekvivalensklasser
La R være en ekvivalensrelasjon på en mengde A. La a ∈ A.
Ekvivalensklassen til a betegnes som [𝑎]R og er beskrevet som
følgende delmengde av A:
[𝑎]R = { b ∈ A| (a, b) ∈ R }
Eksempel 1
La A = {1, 2, 3} og R = {(a, b) | a ≤ b}
R kan også skrives helt ut:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3,3)}
[1]R = {1, 2, 3}
[2]R = { 2, 3}
[3]R = {3}
Hvis (a, b) er et verdipar i R er ekvivalensklassen til a
mengden av alle andrekoordinater i verdipar der a er
førstkoordinat.
Diskret Matematikk tirsdag 17. november 2015
Eksempel 2
La A være heltallene og R = {(a, b)| a ≡ b(mod 5)}
Vi får da følgende ekvivalensklasser:
[0]R = {…, -10, -5, 0, 5, 10, 15, ….}
[1]R = {…, -9, -4, 1, 6, 11, 16, ….}
[2]R = {…, -8, -3, 2, 7, 12, 17, ….}
[3]R = {…, -7, -2, 3, 8, 13, 18, ….}
[4]R = {…, -6, -1, 4, 9, 14, 19, ….}
Vi får at
[5]R =[0]R, [6]R =[1]R, [7]R =[2]R, [8]R =[3]R, [9]R =[4]R, [10]R =[0]R osv.
[0]R ∪ [1]R ∪ [2]R ∪ [3]R ∪ [4]R = A
[0]R ∩ [1]R = Ø, [1]R ∩ [2]R = Ø osv.
Setning 1:
La R være en ekvivalensrelasjon på en mengde A. Da vil
ekvivalensklassene til R utgjøre en partisjon av A.
Setning 2 – omvendt:
Gitt en partisjon av en mengde A. Da definerer den en
ekvivalensrelasjon R på A ved at alle elementer i hver
delmengde relateres til hverandre og seg selv.
Eksempel
La A = { a, b, c, d, e, f, g }.
La A1 = {a, b, c}, A2 = {d, e} og A3 = {f, g}
Vi ser at A1 ∪ A2 ∪ A3 = A og at A1 ∩ A2 ∩ A3= Ø.
Dette definerer følgende ekvivalensrelasjon:
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b),
(d, d), (e, e), (d, e), (e, d), (f, f), (g, g), (f, g), (g, f)}
Diskret Matematikk tirsdag 17. november 2015
Kombinasjoner av relasjoner
En relasjon R på A er en delmengde av AxA.
La R og S være to relasjoner på A. Da vil også
R ∪ S, R ∩ S, R– S, S – R og R ⨁ S være relasjoner på A.
La MR og MS være matrisene til henholdsvis R og S.
Da har vi at
MR∩S = MR ∧ MS
MR∪S = MR ∨ MS
Sammensetningen av to relasjoner
La R og S være to relasjoner på A. Sammensetningen av R og S
betegnes som
S∘R = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ A slik at det finnes en b ∈ A
der (a, b) ∈ R og (b, c) ∈ R}
La MR og MS være matrisene til henholdsvis R og S. Da gjelder
M S∘R = MR ⊙ MS
Diskret Matematikk tirsdag 17. november 2015
Eksempel
La A = {1, 2, 3}. Relasjonene R og S på A er definert som
R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)}
S = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 3)}
S∘R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), ( 3, 2)}
En vei (eng. path) i en relasjonsgraf
Eksempel
La A = {a, b, c, d, e } og relasjonen R på A gitt ved
R = {(a, b), (a, d), (b, a), (b, c), (b, e), (c, d), (d, e)}
Diskret Matematikk tirsdag 17. november 2015
Det går en vei fra et punkt til et annet punkt hvis det er mulig
å gå fra det første til det andre punktet ved å følge kantene I
pilens retning.
Veien består av endepunktene (start/slutt) og de punktene vi
passerer. Veiens lengde er antall kanter.
Spørsmål 1
Hvor mange veier finnes det fra a til e?
1) a, b, e
2) a, d, e
3) a, b, a, d, e osv.
Spørsmål 2
Hvilke par (x, y) er det som har en vei fra x til y med lengde 2?
1) (a, a)
2) (a, c)
3) (a, e)
4) (b, b)
5) (b, d)
6) (c, e)
Vi kan også finne dette ved hjelp av et matriseprodukt:
Vi finner at
Diskret Matematikk tirsdag 17. november 2015
Det går en vei fra x til y hvis det står 1 på plassen til (x, y) i
matrisen.
Generell regel:
La 𝑀𝑅 [𝑛] = 𝑀𝑅 ⊙ 𝑀𝑅 ⊙ 𝑀𝑅 ⊙ 𝑀𝑅 ⊙ 𝑀𝑅
Da vil det finnes en vei med lengde n fra x til y hvis det står 1
på plassen til (x, y) i matrisen 𝑀𝑅 [𝑛] .