Diskret Matematikk Fredag 30. oktober 2015
Avsnitt 6.2 i læreboka – «The pigeonhole principle»
La k være et positivt heltall. Hvis vi har k beholdere og k+1
objekter som skal plasseres i beholderne, så må minst en av
beholderne få minst to objekter.
Eksempel 1
Hvis 7 studenter tok eksamen i samme fag, fikk da minst to av
dem samme karakter?
Svar: Ja, fordi det er kun 6 forskjellige karakterer (A, B, C, D, E
og F).
Eksempel 2
Gitt en avgrenset barskog. Vil det der være to trær med
nøyaktig samme antall barnåler?
Svar: Ja, hvis det er flere trær i skogen enn det maksimale
antallet barnåler et tre kan ha.
Avsnitt 6.3 i læreboka – Permutasjoner og utvalg
En permutasjon av en samling objekter er en eller annen
rekkefølge objektene i samlingen kan settes opp i.
Eksempel 1
Gitt bokstavene a, b, c og d. Da er følgende oppstillingen en
permutasjon:
a, b, c, d
c, b, a, d
d, a, b, c
b, a, d, c
1
Diskret Matematikk Fredag 30. oktober 2015
De fire bokstavene kan permuteres på 4∙3∙2∙1 = 4! = 24
måter.
Eksempel 2
Gitt tallene 11, 12, 13, 14, 15 og 16. Da er følgende
oppstillingen en permutasjon:
11, 12, 13, 14, 15, 16
13 ,16, 14, 11, 12, 15
16, 15, 14, 13, 12, 11
15, 14, 11, 12, 13, 16
De seks tallene kan permuteres på 6∙5∙4∙3∙2∙1 = 6! = 720
måter.
Antall forskjellige permutasjoner
Gitt n forskjellige objekter. Det er n muligheter for å velge det
som skal stå først, n-1 mulighet for å velge det som skal stå
nest først, osv. Til sammen blir det:
n∙(n-1) ∙ (n-2) ∙…. ∙2∙1 = n!
forskjellige permutasjoner.
NB! n! leses som «n fakultet».
Ordnede r-utvalg (eller r-permutasjoner)
Gitt n forskjellige objekter. Ut fra disse n objektene skal vi
velge r objekter i rekkefølge. Et slikt utvalg kalles et ordnet rutvalg eller en r-permutasjon fordi rekkefølgen objektene
velges i har betydning.
Spørsmål: Hvor mange forskjellige ordnede r-utvalg er det?
Svar: n muligheter for å velge det som skal stå først, n-1,
mulighet for å velge det som skal stå nest først, osv. til n-r+1
2
Diskret Matematikk Fredag 30. oktober 2015
muligheter for å velge det siste av de r objektene som skal
velges. Dermed får vi:
n∙(n-1) ∙ (n-2) ∙…. ∙(n-r+1) =
𝑛!
(𝑛−𝑟 )!
Læreboka bruker formelen 𝑃(𝑛, 𝑟) =
𝑛!
(𝑛−𝑟 )!
(P står for Permutasjon, som betyr at rekkefølgen objektene
velges i har betydning.)
Eksempel 1
Gitt tallene 1 til 6. Hvor mange ordnede 3-utvalg er det?
Her er n = 6 og r = 3. Vi får da
𝑛!
6!
6!
=
= =
(𝑛−𝑟)! (6−3)! 3!
6∙5∙4∙3∙2∙1
3∙2∙1
= 6∙5∙4 = 120
Eksempel 2
Gitt bokstavene A til Å. Hvor mange ordnede 5-utvalg er det?
Her er n = 29 og r = 5. Vi får da
𝑛!
29!
29!
=
= = 29∙28∙27∙26∙25 = 14250600
(𝑛−𝑟)! (29−5)! 24!
Eksempel 3
En forening har 50 medlemmer. De skal velges et styre på fire
personer (leder, nestleder, kasserer og sekretær). Hvor
mange forskjellige styresammensetninger er det mulig å få
til? Her er n = 50 og r = 4. Vi får da
50!
50!
= = 50∙49∙48∙47 = 5527200
(50−4)! 46!
3
Diskret Matematikk Fredag 30. oktober 2015
Legg merke til at antall faktorer i svaret er lik r.
Uordnede r-utvalg eller r-kombinasjoner
Hvis en velger et utvalg på r stykker fra en samling på n
forskjellige objekter og rekkefølgen ikke er av betydning,
kalles det et uordnet r-utvalg eller en r-kombinasjon.
Ta som eksempel tallene fra 1 til 10. Vi skal velge tre tall,
f.eks. 2, 5, 8. De samme tallene kan også velges ut i disse
rekkefølgene: 2, 8, 5
5, 2, 8 8, 5, 2 8, 2, 5.
De tre tallene 2, 5 og 8 kan velges på 3! forskjellige måter,
men når rekkefølgen ikke betyr noe, vil alle disse 3! utvalgene
utgjøre det samme utvalget. Dermed må vi dele det
tilsvarende 3-permutasjonen på 3!:
10!
(10−3)!
3!
=
10!
(10−3)!∙3!
=
10∙9∙8
3!
=
10∙9∙8
3∙2∙1
= 120
forskjellige uordnede r-utvalg.
Dette gir oss følgende viktige formel:
𝑛!
(𝑛−𝑟)!
𝑟!
=
𝑛!
(𝑛−𝑟 )!∙𝑟!
Læreboka bruker formelen 𝐶 (𝑛, 𝑟) =
𝑛!
(𝑛−𝑟 )!∙𝑟!
(C står for Combination, som betyr at rekkefølgen objektene
velges i ikke har betydning.)
4
Diskret Matematikk Fredag 30. oktober 2015
Eksempel
Gitt en kortstokk med 52 kort. Hvor mange korthender på 5
kort finnes det. Rekkefølgen av kortene velges i spiller ingen
rolle.
Her er n = 52 og r = 5. Vi får:
𝑛!
(𝑛−𝑟 )!∙𝑟!
52!
=
(52−5)!∙5!
=
𝑛!
47!∙5!
=
52∙51∙50∙49∙48
5∙4∙3∙2∙1
= 52 ∙ 51 ∙ 49 ∙ 20 = 2598960
Denne formelen er så viktig at den har fått sitt eget symbol:
𝑛
(𝑟 )
=
𝑛!
𝑟 ≥ 0, 𝑛 ≥ 0
(𝑛−𝑟)!∙𝑟!
𝑛
Symbolet ( 𝑟 ) leses som «n over r» og kalles for en
binomialkoeffisient.
Læreboka bruker som sagt
𝑛
C(n, r) istedenfor ( 𝑟 ) og P(n, r) istedenfor
𝑛!
(𝑛−𝑟 )!
Merk! r = 0 gir mening:
(𝑛0) = 1
fordi
01 = 1
Eksempel
Hvor mange bit-sekvenser av lengde 8 har nøyaktig 3 1-ere
(og dermed 5 0-ere)?
5
Diskret Matematikk Fredag 30. oktober 2015
8
Vi kan velge de 3 plassene der det skal være 1-ere på (3)
forskjellige måter:
8!
8−3)!∙3!
(83) = (
=
8∙7∙6
3∙2∙1
= 56
Av de 28 = 256 mulige bit-sekvensene er det 56 som har
nøyaktig 3 1-ere.
Vi kunne ha tenkt omvendt: Det må være like mange bitsekvenser av lengde 8 som har nøyaktig 5 0-ere som det er
bit-sekvenser med nøyaktig 3 1-ere, dvs.
(83) = (85)
8!
8−5)!∙5!
(85) = (
=
8∙7∙6∙5∙4
5∙4∙3∙2∙1
=
8∙7∙6
3∙2∙1
= 56
Dette gir oss følgende formel:
𝑛
𝑛
( )=(
)
𝑟
𝑛−𝑟
Andre viktige observasjoner:
0! = 1
(00) = 1
(𝑛0) = 1
(𝑛1) = 𝑛
(𝑛𝑛) = 1
Avsnitt 6.4 i læreboka - Binomialkoffisienter
Husk første kvadratsetning:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
6
Diskret Matematikk Fredag 30. oktober 2015
Mer generelt har vi:
0
(a+b)0 = 1 = (0)
1
1
(a+b)1 = a+b = (0)a + (1)b
2
2
2
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 = (0) a2 + (1) ab + (2) b2
(a+b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3
3
3
3
3
= (0) a3 +(1)a2b + (2)ab2 + (3)b3
Her er det et mønster!
Hva blir (a+b)5 ?
5
5
5
5
5
5
(a+b)5 = (0)a5 +(1)a4b + (2)a3b2 + (3)a2b3 + (4)ab4 + (5)b5
= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Generell formel:
𝑛
𝑛
𝑛
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ( ) 𝑎𝑛 + ( ) 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑏 + ( ) 𝑎𝑛−2 ∙ 𝑏 2 + ⋯
0
1
2
𝑛
𝑛
……+ (
) 𝑎 ∙ 𝑏 𝑛−1 + + ( ) 𝑏 𝑛
𝑛−1
𝑛
= ∑𝑛𝑟=0(𝑛𝑟)𝑎𝑛−𝑟 ∙ 𝑏𝑟
Pascals trekant:
7
Diskret Matematikk Fredag 30. oktober 2015
Legg merke til møsteret!
Det gir oss
Pascals identitet:
(
𝑛+1
𝑛
𝑛
)= (
)+ ( )
𝑘
𝑘−1
𝑘
Sjekk med tabellen! La n = 5, og k = 4:
8
Diskret Matematikk Fredag 30. oktober 2015
(
5+1
6
5
5
)=( )=( )+ ( )
2
2
1
2
Det stemmer!
15 = 5 + 10
Pascals trekant på alternativ måte:
Kjente summer:
 2𝑛 = (𝑛0) + (𝑛1) + (𝑛2) + ⋯ . + (𝑛𝑛) = ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘)
Bevis:
2𝑛 = (1 + 1)𝑛 = ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑟)1𝑘 ∙ 1𝑛−𝑘 =∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑘)
 ∑𝑛𝑘=0(−1)𝑘 (𝑛𝑘) = 0
Bevis:
0 = 0𝑛 = (−1 + 1)𝑛 = ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑟)(−1)𝑘 ∙ 1𝑛−𝑘
= ∑𝑛𝑘=0(𝑛𝑟)(−1)𝑘
9
Diskret Matematikk Fredag 30. oktober 2015
10