– מבוא לאנליזה נומרית na141 Assignment 2 – Finding Roots of

‫מבוא לאנליזה נומרית – ‪na141‬‬
‫‪Assignment 2 – Finding Roots of Nonlinear Equations‬‬
‫הנחיות‪ :‬בכל שאלה בה אתם נדרשים לספק קוד מטלב יש לצרף לכל שאלה בצורה מסודרת הדפסה של‬
‫הקוד (הפונקציות) ושל שורות הפקודה הרלוונטיות בהן השתמשתם על מנת להריצו‪ .‬יש לדאוג כי הקוד‬
‫מוצג בצורה קומפקטית וקריאה ולא מתפרש על פני מספר רב של עמודים‪ .‬עבודות אשר יוגשו בצורה‬
‫מרושלת או שלא יהיו קריאות לא ייבדקו והניקוד עליהן יהיה בהתאם‪.‬‬
‫שאלה מספר ‪: 1‬‬
‫היכן נחתכים הגרפים של )‪ y  cos(x‬ושל ‪? y  x 3  1‬‬
‫פתור את הבעיה ב ‪ ,Matlab‬בעזרת שיטת החצייה ובעזרת ‪ .Regula Falsi‬הצג את תוכניותיך‪ ,‬והשווה‬
‫ביצועים (מספר איטרציות ואופן התקדמות הניחוש) תוך שימוש באותם תנאי התחלה של‬
‫‪.‬‬
‫ו‬
‫‪ a  x0  3‬ו ‪ b  x1  3‬עם‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הגרפים הנ"ל נחתכים כאשר הפונקציה ) (‬
‫דוגמא לקוד‪:‬‬
‫בשיטת החציה‪:‬‬
‫) ( מתאפסת‪.‬‬
‫)‪function [z,error,y]=bisect (f,a,b,delta‬‬
‫‪% input: f is the function‬‬
‫‪%‬‬
‫‪[a,b] is the interval‬‬
‫‪% output: z is the root we found‬‬
‫‪%‬‬
‫)‪y = f (z‬‬
‫‪%‬‬
‫‪error is the error of z‬‬
‫;)‪ya= feval (f,a‬‬
‫;)‪yb=feval (f,b‬‬
‫‪if ya*yb>0,return,end‬‬
‫;))‪max=1+round ((log (b-a)-log (delta))/log(2‬‬
‫‪for k=1:max‬‬
‫;‪z=(a+b)/2‬‬
‫;)‪y=feval (f,z‬‬
‫‪if y==0‬‬
‫;‪a=z‬‬
‫;‪b=z‬‬
‫‪elseif yb*y>0‬‬
‫;‪b=z‬‬
‫;‪yb=y‬‬
‫‪else‬‬
‫;‪a=z‬‬
‫;‪ya=y‬‬
‫‪end‬‬
‫)'‪disp ('the current step is:‬‬
‫))‪disp (num2str (z‬‬
‫)'‪disp ('the num of iterations is:‬‬
‫))‪disp (num2str (k‬‬
‫‪if b-a < delta, break, end‬‬
end
z=(a+b)/2;
error= abs (b-a);
y=feval (f,z);
disp ('the root is:')
disp (num2str (z))
disp ('the num of iterations is:')
disp (num2str (k))
end
.2.25.1 ‫ איטרציות מגיעים לניחוש‬52 ‫לאחר‬
:‫בשיטת רגולה פולסי‬
function [z,error,y,k] = regula (f,a,b,epsilon,maxi)
% Inputs: f is the function
%
[a,b] is the interval
%
maxi is the maximum number of iterations
% Output: z is the root we found
%
y=f(z)
ya=feval (f,a);
yb=feval (f,b);
if ya*yb>0
disp ('Note: f (a)*f (b)>0'),
return,
end
for k=1:maxi
dx=yb*(b-a)/(yb-ya);
z=b-dx;
ac=z-a;
y=feval (f,z);
disp (' the root is:')
disp (num2str (z))
disp (' Num of iterations')
disp (num2str (k))
if y==0,break;
elseif yb*y>0
b=z;
yb=y;
else
a=z;
ya=y;
end
dx=min (abs (dx),ac);
if abs (y)<epsilon,break,end
end
z;
error=abs (b-a)/2;
y=feval (f,z);
.2.25.1 ‫ איטרציות בלבד מגיעים לניחוש‬21 ‫לאחר‬
.‫לכן שיטה זו טובה יותר‬
:2 ‫שאלה מספר‬
‫ נתקל חוקר בצורך למצוא את השורשים של הפונקציה‬,‫בעת חקירת תופעה מסוימת‬
‫) ( ‪.‬‬
‫) (‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1.5‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪-2.5‬‬
‫‪-10‬‬
‫ציור גרף של הפונקציה גילה שלפונקציה חמישה שורשים שונים אשר תחומים בקטע ]‪( [6, 6‬ראה‬
‫איור)‪ .‬נסמן את אותם שורשים‬
‫כך ש ‪. x1  x2  x3  x4  x5‬‬
‫בהנחה שחיפוש השורש מתחיל מ ‪ bracket‬כלשהו ]‪ [a, b‬כך ש ‪ x5  b‬ו ‪ , a  x1‬ובהנחה שלעולם‬
‫אין הקירוב החדש באיטרציה כלשהי נופל בדיוק על שורש‪ ,‬הוכח או הפרך עבור החוקר שלנו את הטענות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫א) קיימים ‪ a, b‬כך ששיטת החצייה תתכנס ל ‪. x1‬‬
‫ב) קיימים ‪ a, b‬כך ששיטת ‪ regula falsi‬תתכנס ל ‪. x2‬‬
‫לאחר בחינת כל התכונות הנ"ל‪ ,‬החליט החוקר שאת ‪ x3‬ברצונו לקרב בעזרת שיטת ניוטון‪ ,‬אלא שהצורך‬
‫בניחוש התחלתי קרוב לשורש מעט הרתיע אותו‪ .‬הוכח או הפרח עבור החוקר שלנו את הטענה הבאה‪:‬‬
‫ג) קיימים‬
‫)‬
‫המקיימים‬
‫(‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א) הטענה נכונה‪:‬‬
‫כך שיטת ניוטון תתכנס ל‪ x3 -‬מכל ניחוש התחלתי בקטע‬
‫ניתן לבחור את‬
‫בתחום )‬
‫באופן בו נקודת האמצע המחושבת באיטראציה הראשונה תיפול‬
‫(‪) :‬‬
‫(‬
‫‪.‬‬
‫) ( בתחום הנ"ל‪ ,‬בסיום האיטרציה הראשונה‬
‫מכיוון ש‪-‬‬
‫) (‬
‫כעת האינטרוול כולל בדיוק את השורש היחיד ומכיוון ש‪-‬‬
‫תתכנס ל‪. -‬‬
‫ב) הטענה לא נכונה‪:‬‬
‫את האינטרוול בתחילת השלב ה‪ . -‬בכל שלב אנו מחשבים את נקודת החיתוך של‬
‫נסמן ב‪-‬‬
‫( )) (‬
‫הקו הישר העובר בנקודות )) (‬
‫( עם ציר ה‪ -‬ומחליפים את אחד הקצוות של‬
‫כך שנשמרת התכונה‬
‫האינטרוול הבא‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫( ‪ .‬לכן הסימן של ערך נקודת הקצה ) ( לא משתנה לכל ‪ .‬כנ"ל לגבי‬
‫הסימן של ערך נקודת הקצה ) ( ‪.‬‬
‫) (‬
‫) ( ‪ .‬לכן לא ייתכן שבשלב כלשהו נגיע‬
‫במקרה שלנו יתקיים תמיד כי‬
‫לאינטרוול שיכיל את בלבד‪ ,‬כיוון שלאינטרוול זה ערכי קצוות הפוכים מהנדרש‪.‬‬
‫ג) הטענה נכונה‪.‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫ו‪-‬‬
‫לפי משפט ההתכנסות של שיטת ניוטון עבור פונקציות‬
‫‪.‬‬
‫ו‪-‬‬
‫) ( שיטת החצייה‬
‫) ( ‪ ,‬אם‬
‫) (‬
‫אזי קיים‬
‫כך שהסדרה המוגדרת ע"י‬
‫תתכנס ל‪ -‬עבור כל ניחוש התחלתי בקטע )‬
‫לכן אם נבחר את הקצוות כך‪:‬‬
‫בנוסף‪ ,‬כיוון ש גזירה ברציפות אינסוף פעמים ו‪-‬‬
‫) ( מונוטונית עולה‪ ,‬נקבל כי הטענה נכונה‪.‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫(‪.‬‬
‫נקבל כי השורש היחיד בקטע‪.‬‬
‫הפונקציה‬
‫) ( שכן לכל ) (‬
‫שאלה מספר ‪( :3‬בעיית החמור)‬
‫קושרים חמור עם חבל לנקודה מסוימת על גדר של חצר עגולה המלאה בדשא‪ .‬החמור יכול לאכול את‬
‫הדשא שהחבל מאפשר לו להגיע אליו‪ .‬בשאלה זו נענה על השאלה מה צריך להיות היחס בין אורך החבל‬
‫לבין רדיוס החצר כך שהחמור יוכל לאכול בדיוק חצי מהדשא בחצר (זו דרישתו של בעל החצר)‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נניח כי החמור מגיע בדיוק למרחק מהנקודה בה הוא קשור וש‬
‫העזרו בשרטוט הבא כדי לענות על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫עבור כך שערכו של המקיים את הדרישה הנ"ל יהיה שייך לטווח‬
‫א‪ .‬מצא טווח ערכים‬
‫זה‪ .‬גבולות הטווח צריכים להיות מנומקים מילולית בצרוף שרטוט מתאים (לא צריך להציב‬
‫בנוסחאות)‪ .‬רצוי שגודל הטווח לא יעלה על ‪:5.2‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי השטח ‪ S‬אליו מגיע החמור כפונקציה של (אפשר גם כפונקציה של ו אבל יש‬
‫)‬
‫) (‬
‫) (‬
‫( ) ( ‪ ,‬לאחר החלפת המשתנים‬
‫) הינו‬
‫לזכור ש‬
‫הבאה‪( ) :‬‬
‫‪.‬‬
‫יש להראות דרך מלאה וחישובים מפורטים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מיצאו פתרון מקורב למשוואה בעזרת שיטת ניוטון‪ .‬הוכיחו כי מובטחת התכנסות מהתחום‬
‫?‬
‫ההתחלתי שסיפקתם‪ .‬כמה איטראציות נדרשות כדי להגיע לשגיאה של‬
‫הערה‪ :‬ניתן לפתור עבור ולהציב כדי לקבל את (חשוב‪ :‬לא לשכוח לחשב את הטווח המתאים ל‪-‬‬
‫לפי הטווח שחשבתם בסעיף א)‪ .‬כמו כן מומלץ להציב את התוצאה שקבלתם בביטוי של ‪ S‬שמצאתם‬
‫בסעיף ב' כדי לוודא את נכונות הפתרון‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫כיוון שבמקרה זה החמור לא יכול לעבור את קוטר החצר (זה המקביל למשיק‬
‫א‪ .‬ניקח‬
‫בנקודה בה קשור החמור) ולא יכול להגיע לכל חצי החצר הקרובה אליו ולכן חייב להתקיים‬
‫‪.‬‬
‫כיוון שבמקרה זה החמור מגיע לכל חצי החצר הקרובה אליו וגם‬
‫ניקח‬
‫√‬
‫‪.‬‬
‫מעבר לו ולכן ברור שכדי שיאכל רק חצי מהדשא בחצר צריך להתקיים‬
‫ב‪ .‬כדי לחשב את ‪ S‬נעזר בציור הבא של החצר‪:‬‬
‫השטח ‪ S‬הוא השטח הצבעוני‪ .‬שטחים המסומנים באותו צבע הם חופפים‪.‬‬
‫נזכור ששטח גזרה הוא במעגל בעל רדיוס ‪ r‬הוא‬
‫כש‬
‫היא הזווית ברדיאנים‪.‬‬
‫נצטרך לחשב את השטח של שתי הגזרות המסומנות בכחול סגול (במעגל שיוצר החבל אליו‬
‫קשור החמור) ושל שתי הגזרות המסומנות באדום וסגול במעגל של החצר‪ .‬נצטרך גם להוריד‬
‫את שטחי המשולשים הסגולים כיוון שהם יסכמו פעמיים‪.‬‬
‫√‬
‫)(‬
‫⇒‬
‫נשתמש במשפט הקוסינוסים כדי לחשב את‬
‫√‬
‫)‬
‫√‬
‫)‬
‫‪:‬‬
‫)(‬
‫(‬
‫(‬
‫ג‪ .‬נציב‪( ) :‬‬
‫(‬
‫)) ) (‬
‫) ) (‬
‫(‬
‫√ ) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫(‬
‫) (‬
‫נשתמש בזהויות הטריגונומטריות של זווית כפולה‪:‬‬
‫) (‬
‫(‬
‫)‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫(‬
‫)) (‬
‫)) (‬
‫) (‬
‫נגדיר את ‪ f‬פונקציה עליה נבצע את שיטת ניוטון‪:‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫(‬
‫) (‬
‫)‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫)‬
‫(‬
‫) (‬
‫) (‬
‫(‬
‫)‬
‫) (‬
‫) (‬
‫)‬
‫) (‬
‫)‬
‫)‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫(‬
‫(‬
‫) (‬
‫(‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫נבדוק האם ‪ g‬מכווצת בטווח שהגדרנו בסעיף א'‪:‬‬
‫נמצא את הטווח עבור ‪:x‬‬
‫]‬
‫[‬
‫⇒‬
‫(‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫)) ( (‬
‫)‬
‫)) (‬
‫( )) (‬
‫) (‬
‫נבדוק האם‬
‫)‬
‫) (‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫|) ( |‬
‫נבדוק מה הערך המקסימלי של המונה בטווח והמינימלי של המכנה ונראה שגם אם הם מקבלים ערכים‬
‫|) ( |‪ .‬ולכן נסיק שהתנאי מתקיים בכל הטווח ולכן ‪ g‬מכווצת בטווח‪.‬‬
‫אלו בו זמנית עדיין נקבל‬
‫√‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫)‬
‫√‬
‫(‬
‫|)) (‬
‫)‬
‫(‬
‫) (‬
‫⇒]‬
‫)‬
‫( )) (‬
‫[‬
‫(‬
‫) (‬
‫)‬
‫(‬
‫(|‬
‫הפונקציה ‪ g‬היא לתוך בכל הטווח ולכן נוכל לבצע כמה איטרציות כשנתחיל מנקודה כלשהי בטווח‪.‬‬
‫)‬
‫נקבל‬
‫(‬
‫⇒‬
‫אפשר לוודא זאת ע"י הצבה‪.‬‬
‫שאלה מספר ‪:4‬‬
‫א‪.‬‬
‫הראה כי קיים ‪ P0‬עבורו הנוסחה האיטרטיבית הבאה מוצאת את השורש השלישי של מספר‬
‫ב‪.‬‬
‫‪:‬‬
‫ממשי כלשהו‬
‫מהו סדר ההתכנסות של שיטה זו? (‪ 7‬נקודות)‬
‫נגדיר את האיטרציה הבאה לחישוב שורש ריבועי של ‪ :m‬המבוססת על שתי סדרות של מספרים‬
‫שלמים‪:‬‬
‫√‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ .‬כתוב‬
‫בצע ‪ 1‬איטרציות בשיטה זו כדי למצוא את השורש הריבועי של ‪ 5‬כש‬
‫את הערך המתקבל לאחר כל איטרציה בטבלה‪ .‬השווה את הערכים ל ‪ 1‬איטרציות של שיטת‬
‫המיתר ושיטת החציה‪ .‬האם יכול להיות שלשיטה שהוצגה סדר התכנסות טוב יותר משיטת‬
‫המיתר למרות שאחרי ‪ 1‬איטרציות קבלנו בשיטת המיתר תוצאה יותר טובה?‬
‫מה סדר ההתכנסות של השיטה שהוצגה בסעיף ב'? (הוכחה)‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נתבונן בפונקציה‬
‫המעברים השקולים הבאים‪:‬‬
‫) ( ‪ .‬נפתח איטראצית נקודת שבת מתאימה על ידי סדרת‬
‫ונגדיר את האיטראציה המתאימה‪:‬‬
‫)‬
‫) (‬
‫(‬
‫נבדוק האם קיים אינטרוול התכנסות עבורה בשורש‪:‬‬
‫( |‬
‫|)‬
‫|) (‬
‫|‬
‫|) √ ( | ולכן בוודאות יש אינטרוול בו היא‬
‫נקבל כי‬
‫כאשר נציב √‬
‫אינווריאנטית ומכווצת‪ .‬לכן אם ניקח נקודה מתוך אינטרוול זה‪ ,‬הנוסחא הרקורסיבית תוביל‬
‫אותנו לשורש‪.‬‬
‫הנגזרת של האיטראציה מתאפסת בשורש‪ ,‬ולכן סדר ההתכנסות שלה הוא לפחות ריבועי‪.‬‬
‫נבדוק שהוא בדיוק ריבועי‪:‬‬
‫) √(‬
‫) √(‬
‫ב‪.‬‬
‫שיטת החצייה‬
‫שיטה חדשה‬
‫שיטת המיתר‬
‫ערך‬
‫שגיאה‬
‫ערך‬
‫שגיאה‬
‫ערך‬
‫שגיאה‬
‫‪1.5‬‬
‫‪5.51.‬‬
‫‪2.1111‬‬
‫‪5.51‬‬
‫‪5.52‬‬
‫‪5.11.‬‬
‫‪2.52‬‬
‫‪5.2.1‬‬
‫‪2.1‬‬
‫‪5.521‬‬
‫‪2.2.1‬‬
‫‪5.222‬‬
‫‪2.1.2‬‬
‫‪5.511‬‬
‫‪2.121.‬‬
‫‪0.0004‬‬
‫‪2.155‬‬
‫‪0.0077‬‬
‫‪2.1215‬‬
‫‪1.41421‬‬
‫‪5.5511‬‬
‫‪2.11.2‬‬
‫‪1‬‬
‫לאחר ‪ 1‬איטרציות שיטת המיתר הכי מדויקת אבל השיטה החדשה שהוצאה יכולה להיות בעלת סדר‬
‫‪ .‬אם נמשיך לעוד איטרציה נראה שהשיטה‬
‫התכנסות גבוה יותר כיוון שההתכנסות תלויה גם ב‬
‫שהוצאה יותר מדויקת משיטת המיתר‪.‬‬
‫ג‪ .‬נראה שסדר ההתכנסות של השיטה החדשה שהוצאה הוא ריבועי‪:‬‬
‫נציב‪:‬‬
‫נחלק משוואות‪:‬‬
‫) ( ונראה שאיטרצית ניוטון שלה היא‬
‫נתבונן ב‬
‫) (‬
‫ולכן השיטה החדשה מתכנסת בדיוק כמו איטרצית ניוטון כלומר לפחות ריבועית‪.‬‬
‫√‬
‫) √(‬
‫הנגזרת השנייה לא מתאפסת ולכן ההתכנסות היא ריבועית‪.‬‬
‫שאלה מספר ‪:5‬‬
‫כמה נקודות שבת יש לפונקציה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪g ( x)  cos cos  19 x3  18 x 2  15 x ‬‬
‫בקטע ]‪ . [0,1‬הוכח את תשובתך!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נוכיח כי לפונקציה נקודת שבת אחת הקטע‪.‬‬
‫בברור טווח הפונקציה מקיים ‪ g ( x)  0,1‬מתוך תכונות פונקצית ה ‪ ,cos‬ולכן מובטח שלפונקציה יש‬
‫לפחות נקודת שבת אחת‪ .‬נגזרת הפונקציה מקיימת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪g ( x)   sin cos  19 x3  18 x 2  15 x    sin  91 x3  81 x 2  15 x    13 x 2  14 x  15  ‬‬
‫)‪ A( x)  B( x)  C ( x‬‬
‫מתכונות פונקציות טריגונומטריות מתקיים‬
‫‪| A( x) | 1‬‬
‫‪B( x)  1‬‬
‫וכיוון ש ‪ x   0,1‬מתקיים גם‬
‫‪1 2 1‬‬
‫‪1 1 1 1‬‬
‫‪x  x     1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5 3 4 5‬‬
‫‪C ( x) ‬‬
‫לכן‬
‫‪g ' ( x)  A( x)  B( x)  C ( x)  1‬‬
‫ועל פי משפט נקודת השבט מובטח ש )‪ g ( x‬היא בעלת נקודת שבת יחידה בתחום הנתון‪.‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫שאלה מספר ‪:6‬‬
‫הוכח כי לא יתכן כי לאיטראצית נקודת שבת נתונה ) ( המתכנסת לשורש‬
‫יחיד‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬הוכח יחידות בשלילה תוך שימוש בהגדרת סדר ההתכנסות‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נניח בשלילה כי מתקיימים התנאים הבאים עבור שגיאת האיטראציה‪| ,‬‬
‫‪1.‬‬
‫)‬
‫קיים יותר מסדר התכנסות‬
‫( |‬
‫‪:‬‬
‫‪2.‬‬
‫נניח ב‪.‬ה‪.‬כ כי‬
‫‪ .‬נחשב את מנת הגבולות‪:‬‬
‫)‬
‫מכיוון שנתון כי האיטרציה מתכנסת‪ ,‬ידוע כי‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫ולכן עבור‬
‫גם‬
‫סתירה‪.‬‬
‫לכן לא יתכן שקיים יותר מסדר התכנסות אחד עבור איטרצית נקודת שבת ) ( כלשהי‪.‬‬
‫‪.‬‬