– מבוא לאנליזה נומרית na161 Assignment 2 – Finding Roots of

‫מבוא לאנליזה נומרית – ‪na161‬‬
‫‪Assignment 2 – Finding Roots of Nonlinear Equations‬‬
‫הנחיות‪ :‬בכל שאלה בה אתם נדרשים לספק קוד מטלב יש לצרף לכל שאלה בצורה מסודרת הדפסה של‬
‫הקוד (הפונקציות) ושל שורות הפקודה הרלוונטיות בהן השתמשתם על מנת להריצו‪ .‬יש לדאוג כי הקוד‬
‫מוצג בצורה קומפקטית וקריאה ולא מתפרש על פני מספר רב של עמודים‪ .‬עבודות אשר יוגשו בצורה‬
‫מרושלת או שלא יהיו קריאות לא ייבדקו והניקוד עליהן יהיה בהתאם‪.‬‬
‫שאלה מספר ‪: 1‬‬
‫היכן נחתכים הגרפים של )‪ y  cos(x‬ושל ‪? y  x 3  1‬‬
‫א‪ .‬ממש ב‪ Matlab-‬את הפונקציות )‪ regula(f,a,b,tol‬ו‪ ,newton(f,x0,tol)-‬שמממשות את השיטות‬
‫למציאת שורשים ‪ Regula Falsi‬ו‪ ,Newton-‬בהתאמה‪ 2 .‬הפונקציות מקבלות כפרמטרים את הפונ' ‪f‬‬
‫לה צריך למצוא שורש‪ ,‬ואת ‪ ,tol‬הוא קריטריון העצירה ‪ 𝛿 > 0‬כך ש‪ .|𝑓(𝑥𝑛 )| ≤ 𝛿 :‬בנוסף‪regula ,‬‬
‫מקבלת את קצות הקטע ]‪ [a,b‬שמכיל את השורש‪ ,‬ו‪ newton-‬מקבלת את ‪ ,x0‬הערך ההתחלתי‬
‫לאלגוריתם‪.‬‬
‫מאחר ובשיטת ניוטון יש לחשב את הנגזרת‪ ,‬פונקציית הקלט ‪ f‬עבורה צריכה להיות סימבולית‪ .‬לצורך כך‬
‫תוכלו להעזר בפונקציות של ‪ ,subs, diff, eval :Matlab‬וכמובן ב‪.help-‬‬
‫ב‪ .‬מצאו פונקציה ‪ f‬שהשורש שלה הוא חיתוך הגרפים הנזכרים לעיל‪.‬‬
‫ג‪ .‬בדקו את האלגוריתמים שמימשתם על ידי הרצתם עם הפונקציה שמצאתם ב‪-‬ב'‪,‬‬
‫‪ ,x0 = 3, a = −3, b = 3‬עבור ‪ ,𝛿 = 0.01‬ופעם נוספת עבור ‪ .𝛿 = 0.0001‬עבור כל ניסוי דווחו‬
‫על מספר האיטרציות ואופן התקדמות הניחוש‪.‬‬
‫שאלה מספר ‪:2‬‬
‫בעת חקירת תופעה מסוימת‪ ,‬נתקל חוקר בצורך למצוא את השורשים של הפונקציה‬
‫𝑥‬
‫‪1‬‬
‫‪.𝑓(𝑥) = sin(𝑥) +‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1.5‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪-2.5‬‬
‫‪-10‬‬
‫ציור גרף של הפונקציה גילה שלפונקציה חמישה שורשים שונים אשר תחומים בקטע ]‪( [6, 6‬ראה‬
‫איור)‪ .‬נסמן את אותם שורשים ‪ 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, … ,5‬כך ש ‪. x1  x2  x3  x4  x5‬‬
‫בהנחה שחיפוש השורש מתחיל מ ‪ bracket‬כלשהו ]‪ [a, b‬כך ש ‪ x5  b‬ו ‪ , a  x1‬ובהנחה שלעולם‬
‫אין הקירוב החדש באיטרציה כלשהי נופל בדיוק על שורש‪ ,‬הוכח או הפרך עבור החוקר שלנו את הטענות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫א) קיימים ‪ a, b‬כך ששיטת החצייה תתכנס ל ‪. x1‬‬
‫ב) קיימים ‪ a, b‬כך ששיטת ‪ regula falsi‬תתכנס ל ‪. x2‬‬
‫לאחר בחינת כל התכונות הנ"ל‪ ,‬החליט החוקר שאת ‪ x3‬ברצונו לקרב בעזרת שיטת ניוטון‪ ,‬אלא שהצורך‬
‫בניחוש התחלתי קרוב לשורש מעט הרתיע אותו‪ .‬הוכח או הפרח עבור החוקר שלנו את הטענה הבאה‪:‬‬
‫ג) קיימים 𝑑 ‪ 𝑐,‬המקיימים 𝑑 < ‪ 𝑐 < 𝑥3‬כך שיטת ניוטון תתכנס ל‪ x3 -‬מכל ניחוש התחלתי בקטע‬
‫)𝑑 ‪.(𝑐,‬‬
‫שאלה מספר ‪3‬‬
‫מהנדסים רוצים לבנות גשר שיחבר אי לחוף‪ .‬קו החוף נתון כמשוואה ‪ .𝑦 = 2 𝑥 + 3‬קו המתאר של האי‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון בהצגה פרמטרית כ‪.𝑡 ∈ [0,2𝜋], 𝑒(𝑡) = (cos 𝑡 , sin 𝑡 − 10 (𝑡 2 − 2𝜋𝑡) :‬‬
‫היכן צריך לבנות את הגשר כדי שיהיה הקצר ביותר?‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫בטאו את הבעייה כפונקציה )𝑡(𝑓 שעבור אחד משורשיה 𝑧‪ 𝑒(𝑧) ,‬היא הנקודה על שפת האי‬
‫הקרובה ביותר לחוף‪.‬‬
‫פתחו את איטרצית נקודת השבת )𝑥(𝑔‪ ,‬המתאימה ל‪ 𝑓(𝑥)-‬בשיטת ניוטון‪.‬‬
‫מצאו קטע ]𝜋‪ ,[𝑎, 𝑏] ⊂ [0,2‬כך שהשורש המתאים למינימום תחום בקטע‪ ,‬ולכל נקודה‬
‫התחלתית ]𝑏 ‪ 𝑥 ∈ [𝑎,‬איטרציית ניוטון מתכנסת מנקודה זו‪.‬‬
‫מיצאו פתרון מקורב למשוואה בעזרת שיטת ניוטון‪ .‬הוכיחו כי מובטחת התכנסות מהתחום‬
‫ההתחלתי שסיפקתם‪ .‬כמה איטראציות נדרשות כדי להגיע לשגיאה של ‪?𝛿 = 0.0001‬‬
‫מקמו על פני התרשים את הנקודה )𝑧(𝑒 המתאימה לפתרון‪.‬‬
‫תזכורת‪ :‬מרחק נקודה ) ‪ (𝑥0 , 𝑦0‬מישר ‪ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0‬נתון על ידי‪:‬‬
‫|𝑐‪|𝑎𝑥0 +𝑏𝑦0 +‬‬
‫‪√𝑎2 +𝑏 2‬‬
‫‪.‬‬
‫שאלה מספר ‪:4‬‬
‫בחן את איטרצית נקודת השבת הבאה‬
‫) ‪xn ( xn 2  3a‬‬
‫‪3 xn 2  a‬‬
‫‪xn 1 ‬‬
‫א‪.‬‬
‫הראה כי זו איטרציית נקודת שבת המתכנסת ל (ולכן יכולה לחשב את) ‪. a‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הוכח את סדר ההתכנסות של האיטרציה‪.‬‬
‫נגדיר את האיטרציה הבאה לחישוב שורש ריבועי של ‪ :m‬המבוססת על שתי סדרות של מספרים‬
‫שלמים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑖𝑏 ∗ 𝑚 ‪𝑎𝑖+1 = 𝑎𝑖 +‬‬
‫𝑖𝑏 ∗ 𝑖𝑎 ∗ ‪𝑏𝑖+1 = 2‬‬
‫𝑖𝑎‬
‫‪√𝑚 = lim‬‬
‫𝑖𝑏 ∞→𝑖‬
‫בצע ‪ 4‬איטרציות בשיטה זו כדי למצוא את השורש הריבועי של ‪ 2‬כש ‪ .𝑎0 = 1, 𝑏0 = 2‬כתוב‬
‫את הערך המתקבל לאחר כל איטרציה בטבלה‪ .‬השווה את הערכים ל ‪ 4‬איטרציות של שיטת‬
‫המיתר ושיטת החציה עבור ‪ .𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 2‬האם יכול להיות שלשיטה שהוצגה סדר‬
‫התכנסות טוב יותר משיטת המיתר למרות שאחרי ‪ 4‬איטרציות קבלנו בשיטת המיתר תוצאה‬
‫יותר טובה?‬
‫ד‪.‬‬
‫מה סדר ההתכנסות של השיטה שהוצגה בסעיף ג? (הוכחה)‬
‫שאלה מספר ‪:5‬‬
‫כמה נקודות שבת יש לפונקציה‬
‫‪‬‬
‫בקטע ]‪ . [0,1‬הוכח את תשובתך!‬
‫שאלה מספר ‪:6‬‬
‫תכנן פונקצית נקודת שבת המתכנסת לוקלית ל ‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪g ( x)  cos cos  19 x3  18 x 2  15 x ‬‬
‫בסדר התכנסות ‪!! 4‬‬
‫א‪ .‬פרט שלבי התכנון והוכח כי הפונקציה עונה לדרישות הנ"ל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את קבוע ההתכנסות האסימפטוטי של הפונקציה‪.‬‬