Matematik3b,repetition
10,14mars
[email protected]
Kandudethär?Primitivafunktionerochintegraler
o
o
o
Vadmenasmedprimitivfunktion?Kanduhittaenprimitivfunktion?
Vadmenasmedenintegral?Kanduberäknaenintegral?
Användadigavprimitivafunktioenrochintegraleriproblemlösning.
Centralainnehållet
• Egenskaperhospolynomfunktioneravhögregrad.
• Begreppenprimitivfunktionochbestämdintegralsamtsambandetmellanintegral
ochderivata.
• Bestämningavenklaintegraleritillämpningarsomärrelevantaför
karaktärsämnena.
Enuppgiftellertextmarkeradmed*betyderattuppgiftenkanuppfattassom
litesvårare.**ännusvårare.
Miniräknaren
Medhjälpavminiräknarenkandubestämmaenfunktions
-värdemedhjälpav1:value
-nollställenmedhjälpav2:zero
-minimipunktermedhjälpav3:minimum
-maximipunktermedhjälpav4:maximum
-skärningmedandragrafermedhjälpav5:intersect
-derivataförettbestämt𝑥-värdemedhjälpav6:dy/dx
-integralmedhjälpav7: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Lärdigattanvändadessahjälpmedelsåkommerdubådefålättareförattlösa
uppgifternaochenökadförståelse.
Matematik3b,repetition
10,14mars
Primitivafunktioner
[email protected]
Enfunktion𝐹ärenprimitivfunktiontill𝑓om𝐹 % 𝑥 = 𝑓(𝑥)
Om𝐹 % 𝑥 = 𝑓(𝑥),såger𝐹 𝑥 + 𝐶,där𝐶ärenkonstant,samtligaprimitivafunktioner
till𝑓(𝑥).
Påformelbaldetstårdet
Funktion
Primitivfunktion
𝑘
𝑘𝑥 + 𝐶
𝑥 , (𝑛 ≠ −1)
𝑥 ,23
+ 𝐶
𝑛+1
𝑒5
𝑒 5 + 𝐶
𝑒 65 𝑎5 𝑒 65
+ 𝐶
𝑘
𝑎5
+ 𝐶
ln 𝑎
ExBestämsamtligaprimitivafunktionertill
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 : − 9
b) 𝑔 𝑥 = 𝑥
Lösning
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 : − 9.Samtligaprimitivafunktionerkanskrivas
𝑥=
𝐹 𝑥 =
− 9𝑥 + 𝐶
3
Kontroll
=5 ?
𝐹% 𝑥 =
− 9 = 𝑥 : − 9 = 𝑓 𝑥 𝑂𝐾
=
b) 𝑔 𝑥 = 𝑥 = 𝑥 3 : .Samtligaprimitivafunktionerkanskrivas
𝑥= :
2
2𝑥 = :
2𝑥 𝑥
= :
𝐺 𝑥 =
+𝐶 =𝑥
∙ +𝐶 =
+𝐶 =
+ 𝐶
3/2
3
3
3
Kontroll
=
=
=
:
𝐺 % 𝑥 = 𝑥 3 : = 𝑥 3 : ∙ = 𝑥 3 : = 𝑥𝑂𝐾
:
:
:
=
Ex1Angeenprimitivfunktiontill𝑓 𝑥 = 𝑥 F − 8𝑥 = Ex2Angesamtligaprimitivafunktionertill𝑓 𝑥 = 𝑥 = − 𝑥
Matematik3b,repetition
10,14mars
[email protected]
Ex3a)Angedenprimitivafunktiontill𝑓 𝑥 = 3𝑥 : + 4𝑥somuppfyllervillkoret
𝐹 2 = 20.
b)Angesamtligaprimitivafunktionertill𝑓 𝑥 = 𝑒 :5 − 1.
Ex4Bestämtvåolikaprimitivafunktionertill𝑓 𝑥 = 12𝑒 =5 .
Ex5År2016varfolkmängdenienkommun110200invånare.Tillväxthastighetenav
folkmängdenikommunen𝑁′(𝑡)förväntasunderdenärmstaårenfölja
𝑁 % 𝑡 = 15 ∙ 𝑒 NO,:QR Bestämettfunktionsuttryck𝑁(𝑡)sombeskriverfolkmängdenikommunen𝑡år
efter2016.
Ex6*Grefentillfunktionen𝑦 = 𝑓(𝑥)ärenrätlinjesomgårgenompunkterna(0,4)
och(2,0).Bestämenprimitivfunktiontill𝑓.
Ex7*Funktionen𝐹ärenprimitivfunktiontill𝑓 𝑥 = 𝑒 :5 − 1.Har𝐹någonlokal
minimipunktiintervallet−1 < 𝑥 < 1?Motiveradittsvar.(5127matematik
origo)
Ex8*Geexempelpåtvåolikafunktionervarsprimitivafunktionerantar
värdet0för𝑥 = 1.(5135matematikorigo)
Matematik3b,repetition
10,14mars
[email protected]
Integraler
V
Integralen W 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (integralenav”𝑓av𝑥”från𝑎till𝑏)gerareanmellankurvan,𝑥axelnochochlinjerna𝑥 = 𝑎och𝑥 = 𝑏.Areankanivissalägenvaraenkelattberäkna
medkunskaperfrångeometriniMa1ochgrundskolan,menoftastkrävsmer
avancerademetoder,vianvänderossdåavIntegralkalkylensfundamentalsats:
V
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥
V
W
= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 , där𝐹 % 𝑥 = 𝑓(𝑥)
W
ExBestämareanunderkurvan𝑦 = 𝑥 : + 1påintervallet1 ≤ 𝑥 ≤ 3
Lösning
Areangesav
=
𝑥=
𝑥 + 1 𝑑𝑥 =
+𝑥
3
=
:
3
=
3
3=
1=
1
32
+3−
+1 =9+3− −1= 3
3
3
3
=:
såareanär a.e
=
Kontroll:
Ritafunktionenochavnänd
7: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
medLowerlimit1ochUpperlimit3för
attberäknaintegralen.
Ex9Beräknaintegralernautanattanvändaminiräknare(5212matematikorigo)
=
=
𝑥 : 𝑑𝑥 b)
a)
3
:
4𝑥 = + 6𝑥 𝑑𝑥 c)
3
Ex10Användbildentillhögerförattbesvara
följandefrågor.
a) Beräknaareanavdetskuggadeområdet
utanminiräknare.
b) Beräknaareanavdetskuggadeområdet
medminiräknare.
F
8𝑥 − 2 𝑑𝑥d)
N3
𝑥 𝑑𝑥
3
Matematik3b,repetition
10,14mars
[email protected]
Ex11Funktionen𝑓′(𝑥)ärderivatanav𝑓 𝑥 = 2 𝑥 + 5.Bestäm
a
𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥.
3
(5219matematikorigo)
Ex12Sturepåstårattom𝐾′(𝑞)ärkontinuerligiintervallet1 ≤ 𝑞 ≤ 5,såär
Q
𝐾 % 𝑞 𝑑𝑞 = 𝐾 5 − 𝐾 1 .
3
StämmerdetsomSturesäger?Motiveradittsvar.(5217matematikorigo)
Ex13*Beräknaintegralernautanminiräknare(5219matematikorigo)
3
:
1 − 𝑥 : 𝑑𝑥 b)
a)
O
Ex14*Bestämtalet𝑎,såatt
a)𝑓 𝑥 =
3
𝑥
𝑥−1
𝑥
3
=
𝑓
O
𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑥 = 4 ∙ 𝑓(𝑎)om(5224matematikorigo)
b)𝑓 𝑥 = 𝑒 :5 Ex15*Vadhänderomduberäknar
3
N3
1
𝑑𝑥
𝑥:
meddingrafritanderäknare.Föklaradetresutatsomräknarenvisar(5225
matematikorigo)
Matematik3b,repetition
10,14mars
[email protected]
Problemlösningochtillämpningar
Närdetgällerproblemlösningärdetviktigtatthakollpåbegreppenochprocedurerna
somdutränatpåtidigareihäftetförattkunnaförståochhittalösningentillett
problem.
Närdetgällertillämpningarsomärrelevantaförekonomiämnenaoch
”vardagshändelser”såserviattdetbraatthakollpåsambandenirutannedan.
Tillämpningaravintegraler
Sträckanärintegralenavhastigheten
(ℎ𝑎𝑠𝑡𝑖𝑔ℎ𝑒𝑡𝑒𝑛) 𝑑𝑡 = ä𝑛𝑑𝑟𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟ä𝑐𝑘𝑎
Befolkningstillväxtenärintegralenavtillväxthastigheten
(𝑡𝑖𝑙𝑙𝑣ä𝑥𝑡ℎ𝑎𝑠𝑡𝑖𝑔ℎ𝑒𝑡𝑒𝑛) 𝑑𝑡 = 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑙𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙𝑣ä𝑥𝑡𝑒𝑛
Kostnadsändringenärintegralenavmarginalkostnaden
(𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑎𝑑𝑒𝑛) 𝑑𝑞 = ä𝑛𝑑𝑟𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑎𝑑
Intäktsändringenärintegralenavmarginalintäkten
(𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙𝑖𝑛𝑡ä𝑘𝑡𝑒𝑛) 𝑑𝑞 = ä𝑛𝑑𝑟𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑖𝑛𝑡ä𝑘𝑡
Ex16Underentioårsperiodföljdebefolkningstillväxten𝑁′(𝑡)invånare/årienmindre
stadfunktionen𝑁′ 𝑡 = 400 − 35𝑡,därtärtidenräknatiantalårfrån2005,
Medhurmångainvånareväxtebefolkningenfrån2010till2013?
Ex17 Marginalkostnaden,detvillsägakostnadenföratttillverkaytterligareenenhet,
påettföretagär
𝐾′ 𝑞 = 7 + 0,04𝑞kr/enhet
Beräknakostnadsökningenomföretagetökarsinproduktionfrån100till150
enheter.
Ex18 Hastighetenmättim/shosettfordongesav𝑣 𝑡 = 2 + 𝑡 + 0,6𝑡 : ,där𝑡ärtiden
isekunder.Hurlångtfärdasfordonetunderdeförsta6sekunderna?
Matematik3b,repetition
10,14mars
[email protected]
Ex19*Funktionen𝐹ärenprimitiv
funktiontill𝑓.Figurenvisar
𝑦 = 𝐹(𝑥).Bestäm
:
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.
3
Ex20**Kurvan𝑦 = 𝑥 = + 𝑥begränsartillsammansmed𝑥-axelnochlinjen𝑥 = 𝑎ett
områdeiförstakvadranten.Bestäm𝑎omareanavområdetär
21
a. e.
16
Matematik3b,repetition
10,14mars
Flerövningarsomdukan/börtränapå
DiagnosochBlandadeövningarrekommenderadeuppgifter
Steg1
Steg2
Diagnos,sid191
9,10
9,10
Blandadeövningar 2,6,16
6,15,16
sid192-194
Blandadeövningar 1,2,3,4,5,6,7,8,
12,13,14,15,16,
sid195-199
9,10,11,28,29
17,18,19,20,21,
30,31,332,33,34,
Förattrepetera
35,36
litefrånvarje
moment
Tittaävenpå
• Deanteckningarnifåtttillvarjelektion
• Sammanfattningpåsid188-189
• Kandudethär?2sid190
• Santellerfalsktsid187
Komihågattävenrepeteradetvigjortitidigaremoment!
[email protected]
Steg3
9,10
6,13,15,22
20,21,22,23,24,25,
26,27,37,38,39,40,
41